3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ

3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Η θεωρία μεταβολών είναι μια μαθηματική θεωρία που λέγεται και Λογισμός των Μεταβολών ή σωστότερα, Λογισμός Παραλλαγών ( Cacuus of Varatos). Σχετίζεται με τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Προβλήματα που μπορούν να λυθούν με θεωρία μεταβολών υπάρχουν στις εργασίες των Αρχαίων Ελλήνων, π.χ. η Αρχή του Ήρωνος για το φως, το πρόβλημα της Διδώς κ.α. Η θεωρία μεταβολών, στη μορφή που χρησιμοποιείται στη Μηχανική, σχετίζεται με την εύρεση της πραγματικής διαδρομής η οποία χαρακτηρίζεται από το ότι κατά μήκος της κάποιο ολοκλήρωμα, γενικώς, έχει στάσιμη τιμή. Η σύγκριση γίνεται με πολύ γειτονικές διαδρομές ως προς την ζητούμενη, δηλαδή την πραγματική. Οι μεταβολές δ του ολοκληρώματος είναι μηδέν σε προσέγγιση διαφορικών πρώτης τάξης. Αυτό σημαίνει ότι αν η μεταβολή εξαρτάται από 3 3 την μικρή παράμετρο τότε δ 0... ή 0..., δηλαδή τα, είναι ίσα με προσέγγιση πρώτης τάξης. Σημειώνομε ότι για να λύνεται το πρόβλημα πρέπει να υπάρχει οικογένεια αποδεκτών τροχιών που να διαφέρουν λίγο μεταξύ τους και σε αυτές να περιλαμβάνεται η ζητούμενη πραγματική τροχιά. Οι αποδεκτές τροχιές συνήθως χαρακτηρίζονται από συνέχεια και κατά διαστήματα παραγωγισιμότητα και έχουν συνεχείς παραγώγους μέχρι την τάξη που χρειάζεται το συγκεκριμένο πρόβλημα. Κατά περίπτωση μπορεί να υπάρχουν και άλλες απαιτήσεις. Πολλές φορές θα θεωρούμε χωρίς να το αναφέρομε ότι κάποιες απαραίτητες συνθήκες ισχύουν. Αυτό καλύπτεται μερικές φορές με την έκφραση: οι συναρτήσεις είναι «καλά» συμπεριφερόμενες. Η συνθήκη της στασιμότητας του ολοκληρώματος δεν μας λέει αν το ολοκλήρωμα θα έχει μέγιστη τιμή ή ελάχιστη ή πρόκειται για σημείο καμπής. Αυτό είναι το ανάλογο που συμβαίνει στη συνήθη θεωρία με συναρτήσεις, απλώς εδώ το πρόβλημα είναι πολύ πιο δύσκολο. Δεν θα ασχοληθούμε συστηματικά με το θέμα του είδους του στάσιμου σημείου. Απλώς αναφέρομε ότι μπορεί να μελετηθεί λαμβάνοντας τη δεύτερη μεταβολή (secod varato), κάτι ανάλογο με τον αντίστοιχο έλεγχο στη συνήθη θεωρία με συναρτήσεις, όπου λαμβάνονται υπόψη οι δεύτερες παράγωγοι. Ποιό γενικά, μπορούμε να αναφερόμαστε και σε προβλήματα Μηχανικής που σχετίζονται με ολοκληρώματα, χωρίς να εμπίπτουν στην θεωρία μεταβολών με την αυστηρή έννοια του όρου, όπως θα δούμε παρακάτω. Η εισαγωγή στην Κλασική Δυναμική, αρχών που σχετίζονται με ολοκληρω(μα)τικές σχέσεις συνήθως οδηγούν στις (διαφορικές) εξισώσεις Euer-Lagrage. Η λύση όμως τέτοιων προβλημάτων μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, χωρίς κατ ανάγκη τη χρήση των εξισώσεων Euer-Lagrage. Υπάρχουν διάφοροι τέτοιοι τρόποι που αναφέρονται ως απευθείας (drect) μέθοδοι. Δηλαδή, μπορεί να γίνει χρήση ακόμη και αριθμητικών μεθόδων για να βρεθούν οι λύσεις που καθορίζουν την πραγματική χρονική εξέλιξη του συστήματος, για τις οποίες τα ολοκληρώματα γίνονται στάσιμα. Γενικώς στη θεωρία μεταβολών, αν δεν ισχύουν παντού κατάλληλες συνθήκες συνέχειας, παραγωγισιμότητας κτλ, δεν είναι δυνατόν να βρεθούν για όλο το διάστημα ορισμού του προβλήματος εξισώσεις Euer-Lagrage, μπορεί βέβαια αυτές οι εξισώσεις να ισχύουν κατά διαστήματα. Σε διάφορα προβλήματα όπως τα παραπάνω με ολοκληρώματα, μπορεί να υπάρχουν και διάφορες παράμετροι που δεν «φεύγουν» με την ολοκλήρωση ή ακόμη

μπορεί να υπάρχουν όροι που προστίθενται στο ολοκλήρωμα, γι αυτό όταν σχηματίζομε την παραλλαγή (μεταβολή) πρέπει να ληφθούν όλα αυτά υπόψη. Γενικώς, πολλά προβλήματα της Φυσικής όπως της δυναμικής διακριτών συστημάτων, της θεωρίας πεδίων, της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, της υδροδυναμικής, του ηλεκτρομαγνητισμού κτλ, μπορούν να αντιμετωπιστούν με παρόμοιες μεθόδους όπου εισέρχονται ολοκληρώματα. Ουσιαστικά, τέτοια προβλήματα αφορούν σε συστήματα που εξελίσσονται στο χρόνο και λέγονται δυναμικά συστήματα. Τα μηχανικά συστήματα στα οποία αναφερόμαστε είναι προφανώς ένα είδος δυναμικών συστημάτων. 3. Αρχή (του) Hamto Αν θυμηθούμε τις σχέσεις Εξ.(.) και την Εξ.(.48), καταλαβαίνομε ότι η αρχή του D Aembert αναφέρεται σε κάποια απειροστή ποσότητα η οποία είναι το ολικό δυνατό έργο των αδρανειακών και ασκούμενων δυνάμεων για κάποιο μηχανικό σύστημα. Η αρχή λέει ότι αυτή η ποσότητα είναι μηδέν. Θα δείξομε την αρχή του Hamto ξεκινώντας από την αρχή του D Aembert της Εξ.(.48), δηλαδή από την d T T δ q Q =0 dt q q (3.) Ας ολοκληρώσομε την Εξ.(3.) μεταξύ δυο δεδομένων χρονικών στιγμών t, t (οι οποίες μπορεί να είναι αρκετά αυθαίρετες) οπότε έχομε t t d T T dt q q Q δq d t =0 (3.) Στη συνέχεια απαιτούμε οι θέσεις q ( t), q ( t) να είναι καθορισμένες και να μη μεταβάλλονται κατά τις δυνατές μετατοπίσεις, δηλαδή δ q ( t )=δ q ( t )=0,,,..., (3.3) Ολοκληρώνομε παραγοντικά τον πρώτο όρο της Εξ.(3.) οπότε εφόσον ισχύουν για τα άκρα της ολοκλήρωσης οι Εξ.(3.3) και επίσης αφού d δ q δ q, βρίσκομε dt t d T T d T δq d t (δ q )dt δq dt q q dt q T δ q d t. q t t t t t t t (3.4)

3 Αντικαθιστώντας την Εξ.(3.4) στην Εξ.(3.) βρίσκομε t t T T δq δq Q δq d t =0 j j j j j q j q j. (3.5) Όμως ισχύουν δw Q δq j j T T δt δq j δq j j q j q j j (3.6) Επομένως από τις Εξ.(3.5) και (3.6) καταλήγομε στις παρακάτω σχέσεις t t δt δw dt 0. (3.7) Εννοείται ότι αυτή η ισότητα ισχύει στην προσέγγιση πρώτης τάξης, με την έννοια που έχομε αναφέρει στην αρχή αυτού του κεφαλαίου, δηλαδή t 3 () 0 0 A B.... t Η αρχή που εκφράζεται με τις Εξ.(3.7) προέκυψε από την αρχή του D Aembert, επομένως οι δυνατές μετατοπίσεις πρέπει να είναι τέτοιες που το ολικό δυνατό έργο των δυνάμεων του κάθε ενός δεσμού να είναι μηδέν. Σημειώνομε επίσης, ότι το δw δεν είναι πάντα δυνατή μεταβολή κάποιας συνάρτησης αλλά το στοιχειώδες έργο των ασκούμενων δυνάμεων κατά τη στοιχειώδη δυνατή μεταβολή των γενικευμένων συντεταγμένων από την πραγματική τροχιά. Θα μπορούσε να δηλώνεται ως δw, βλ. Σχ. 3. για μια γενικευμένη συντεταγμένη. Είναι ευνόητο ότι το δt είναι πάντα δυνατή μεταβολή της συνάρτησης της κινητικής ενέργειας T του συστήματος. Η πραγματική τροχιά είναι η c και η μια απειροστά γειτονική της είναι η c.

4 Σχήμα 3. Το ολοκλήρωμα ως προς t είναι το όριο του αθροίσματος (δt δ W )Δt κατά μήκος της πραγματικής τροχιάς όπου οι μεταβολές τύπου δ- είναι μεταξύ σημείων με ίδιο t που βρίσκονται σε οποιαδήποτε απειροστά γειτονική τροχιά σε σχέση με την πραγματική. Κάθε τροχιά περνά από τις δυο ακραίες δεδομένες θέσεις q( t), q( t ) κατά τις δυο δεδομένες χρονικές στιγμές t, t. Το ολοκλήρωμα είναι μηδέν όπως δηλώνει η Εξ.(3.7). Εδώ στην πραγματικότητα δεν έχομε ένα πρόβλημα θεωρίας μεταβολών, απλώς καταλήξαμε σε μια ολοκληρω(μα)τική αρχή της Μηχανικής. Η Εξ.(3.7) είναι η πιο γενική έκφραση που αναφέρεται ως Αρχή του Hamto και δεν είναι αρχή μεταβολών με την αυστηρή έννοια. Ισχύει για όλες τις περιπτώσεις, ακόμη και για συστήματα που δεν υπάρχει δυναμική συνάρτηση, δεν υπάρχει λαγκρανζιανή, δεν υπάρχουν μονογενείς δυνάμεις. Αν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα είναι μονογενείς (δηλαδή προκύπτουν από δυναμική συνάρτηση) τότε το σύστημα μπορεί να εξεταστεί ως λαγκρανζιανό αφού μπορεί να οριστεί κάποια λαγκρανζιανή που το περιγράφει. Σε αυτή την περίπτωση έχομε, U U ( q, q, t) d U U δw Q δq δq j j j j j dt q j q j (3.8) Επομένως έχομε τις σχέσεις

5 d U d U U δq δq δq dt q dt q q d U U δwdt δq jdt j dt q j q j t t t t t t U U U δq δq δq dt j j j j q j t j q j q j t t 0 δudt t (3.9) Με χρήση και της Εξ.(3.7) βρίσκομε t t δt δw dt δ T U dt 0 t t t t δldt δ Ldt 0,,,..., M. t t (3.0) Το δ μπορεί να βγει έξω από το ολοκλήρωμα διότι η έκφραση δl δt U είναι δυνατή μεταβολή κάποιας συνάρτησης, διαφορικό της L με t =σταθερό, και όχι απλώς κάποιο απειροστό μέγεθος το οποίο γενικώς δεν είναι διαφορικό κάποιας συνάρτησης. Επομένως υπάρχει συνάρτηση που μπορεί να ολοκληρωθεί κατά μήκος τροχιάς που περνά από τα δυο ακραία δεδομένα σημεία. Έτσι έχομε την αρχή του Hamto στη μορφή t δ L( q, q, t)dt 0. (3.) t Αυτή η μορφή της αρχής του Hamto λέει ότι η κίνηση ενός λαγκρανζιανού συστήματος, από μια αυθαίρετη δεδομένη στιγμή t μέχρι μιαν αυθαίρετη δεδομένη στιγμή t, είναι τέτοια που για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I (που λέγεται δράση ή ολοκλήρωμα δράσης) ισχύουν, t I L( q, q, t)d t t δi 0 (3.) δηλαδή το ολοκλήρωμα έχει στάσιμη τιμή για την πραγματική τροχιά κίνησης. Η προσέγγιση είναι πάντοτε προσέγγιση πρώτης τάξης. Όλες οι τροχιές πραγματική και γειτονικές περνούν από τις ίδιες ακραίες θέσεις τις δεδομένες χρονικές στιγμές t, t,

6 δηλαδή δ q ( t) δ q ( t) 0, βλ. Σχ.3.. Η c είναι η πραγματική τροχιά και η c είναι η απειροστά γειτονική της. Η αρχή Χάμιλτον στην ειδική μορφή των σχέσεων (3.), δηλαδή για μονογενικά συστήματα είναι αρχή μεταβολών με την αυστηρή έννοια του όρου, είναι πραγματική αρχή μεταβολών. Σχήμα 3. Καταλήξαμε στην αρχή του Hamto ξεκινώντας από την αρχή D Aembert, όμως η αρχή του Hamto μπορεί να θεωρηθεί και ως βασική Αρχή της δυναμικής και μπορεί κάποιος να ξεκινήσει από αυτήν για τη θεμελίωση της Δυναμικής. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν μερικές από τις δυνάμεις δεν προκύπτουν από δυναμική συνάρτηση τότε θα έχομε αντί της σχέσης την Εξ.(3.3). t t δldt 0 t δl Q kδqk dt 0. (3.3) k t

7 3. Πιθανές τροχιές Στηριζόμενοι σε όσα είδαμε σε προηγούμενα, μπορούμε να πούμε ότι οι τροχιές οι οποίες αποτελούνται από σημεία που αντιστοιχούν σε πιθανές καταστάσεις λέγονται πιθανές τροχιές. Επομένως συμπεραίνομε ότι, όταν διαγράφεται η πιθανή τροχιά πληρούνται, αν υπάρχουν, οι αντίστοιχες σχέσεις δεσμών. Είναι ευνόητο ότι η πραγματική τροχιά είναι και πιθανή τροχιά. Επίσης κάθε πιθανή τροχιά μπορεί να γίνει πραγματική τροχιά με την εφαρμογή των κατάλληλων ασκούμενων δυνάμεων. Στην περίπτωση που δεν έχομε δεσμούς (αν υπάρχουν ολόνομοι δεσμοί, έχουν εμφυτευτεί με την εισαγωγή των γενικευμένων συντεταγμένων) κάθε τροχιά είναι πιθανή τροχιά. Μια σημαντική απαίτηση που βάλαμε στα προηγούμενα είναι ότι όλες οι πραγματική και γειτονικές τροχιές πρέπει να περνούν από τα ίδια σημεία σε δυο δεδομένες χρονικές στιγμές. Αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι οι δυνατές μετατοπίσεις από πιθανή κατάσταση πάντοτε οδηγούν σε πιθανή κατάσταση, αν δεν είναι ολόνομοι αυτό δεν ισχύει. Οι δυνατές μετατοπίσεις στην αναλυτική δυναμική είναι τέτοιες που το δυνατό έργο των δυνάμεων των δεσμών να είναι μηδέν. 3.3 Εξισώσεις του Lagrage από την Αρχή του Hamto για Διακριτά Συστήματα Στα προηγούμενα βρήκαμε την αρχή του Hamto ξεκινώντας από τις εξισώσεις του Lagrage, τώρα θα θεωρήσομε ως βάση την αρχή του Hamto και θα καταλήξομε στις εξισώσεις του Lagrage. Μπορούμε να ξεκινήσομε κάνοντας χρήση του Παραρτήματος Π4 όπου αναπτύσσεται η γενική περίπτωση θεωρίας μεταβολών για χώρο με πολλές διαστάσεις, όπου οι εξαρτημένες προς προσδιορισμό μεταβλητές εξαρτώνται από πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές. Η γενική αυτή θεώρηση περιλαμβάνει και την κλασική θεωρία πεδίων της Φυσικής. Η περίπτωση των διακριτών συστημάτων της Δυναμικής, αναφέρεται σε μια διάσταση, δηλαδή υπάρχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή που είναι ο χρόνος και οι εξαρτημένες από το χρόνο μεταβλητές που θέλομε να προσδιορίσομε (για τον προσδιορισμό της κίνησης του συστήματος) είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Θα εξετάσομε την περίπτωση των διακριτών συστημάτων (δηλαδή της μιας διάστασης) αυτοτελώς, δηλαδή δεν θα κάνομε χρήση τις θεωρίας με πολλές διαστάσεις. Α) Λαγκρανζιανό σύστημα χωρίς δεσμούς Αυτό είναι ένα γνήσιο πρόβλημα θεωρίας μεταβολών. Η δράση (ή ολοκλήρωμα δράσης) πρέπει να είναι στάσιμη. Αυτό σημαίνει ότι ισχύει η Εξ.(3.) ή η (3.), δηλαδή έχομε

8 t t δ L( q, q, t)dt δ L( q, q, t)dt 0. (3.4) t t Θεωρούμε ότι επίσης ισχύουν οι σχέσεις δ q ( t) δ q ( t) 0. Για τη δυνατή μεταβολή (varato) της λαγκρανζιανής έχομε L L δ L( q, q, t) δq δq. (3.5) q q Από τις σχέσεις (.8), έχομε d(δ q ) δq. (3.6) dt Θα κάνομε παραγοντική ολοκλήρωση. Ισχύουν οι σχέσεις d L d L L d(δ q ) d L L δq δq δq δq dt q dt q q dt dt q q άρα L d L d L δq δq -δ q. q dt q dt q (3.7) Από τις (3.4), (3.5), (3.7) βρίσκομε t d L d L L δq -δq δq dt 0 dt q d t t q q. (3.8) Το ολοκλήρωμα του πρώτου αθροίσματος περιλαμβάνει ολικό διαφορικό ως προς το χρόνο οπότε γίνεται t L L L. d δq δ q ( t) δ q ( t). t q q q (3.9) Αυτό είναι μηδέν διότι

9 δ q ( t ) δ q ( t ) 0, οπότε καταλήγομε στη σχέση t t d L L δq dt 0 dt q q. (3.0) Στη θεωρία μεταβολών μετά τη δυνατή μεταβολή, το αρχικό ολοκλήρωμα (συναρτησιακό, που στη γενική περίπτωση είναι ένα είδος συνάρτησης κάποιας ή κάποιων συναρτήσεων) πάντοτε δίνει δυο όρους, ο ένας όρος είναι ολοκλήρωμα πάνω (μέσα) στο χώρο του συναρτησιακού και ο δεύτερος αναφέρεται, στη γενική περίπτωση, σε ολοκλήρωμα στο σύνορο αυτού του χώρου. Στην περίπτωσή μας που ο αρχικός χώρος είναι μιας διάστασης (μια ανεξάρτητη μεταβλητή) δεν έχομε ολοκλήρωμα στο σύνορο αλλά τις τιμές κάποιας ποσότητας στα δυο άκρα της ολοκλήρωσης. Οι συνοριακές συνθήκες για τις μεταβολές, στα δυο άκρα ( t, t) της ολοκλήρωσης, των εξαρτημένων μεταβλητών κάνουν αυτούς τους όρους συνόρου μηδέν. Εδώ δεν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις άρα τα δ q ( t ) είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, έτσι μπορούμε να θεωρήσομε ότι μόνο ένα είναι μη μηδενικό και όλα τα άλλα είναι μηδέν. Με αυτό τον τρόπο καταλήγομε στο ότι ο κάθε όρος του αθροίσματος είναι μηδέν, δηλαδή t t d L L δq dt 0 dt q q. (3.) Επειδή το κάθε δ q ( t ) είναι αυθαίρετη συνάρτηση του χρόνου, εκτός από τα σημεία t, t όπου είναι μηδέν, μπορεί να διαλεχτεί έτσι που να είναι παντού μηδέν εκτός από μια αρκούντως μικρή περιοχή γύρω από τη χρονική στιγμή t όπου για λόγους συνέχειας δεν αλλάζει το πρόσημο της παράστασης μέσα στην παρένθεση που πολλαπλασιάζει το δ q ( t ). Το δ q ( t) διαλέγεται να είναι μηδέν έξω από αυτή την περιοχή ενώ μέσα στην περιοχή το δ q ( t) 0 διαλέγεται έτσι που να έχει το ίδιο πρόσημο με την ανωτέρω παρένθεση. Αυτό σημαίνει ότι η υπό ολοκλήρωση παράσταση είναι θετική ενώ το ολοκλήρωμά της είναι μηδέν, αυτό είναι άτοπο, επομένως η παράσταση της παρένθεσης είναι μηδέν. Αυτό λέγεται θεμελιώδες λήμμα του λογισμού μεταβολών το οποίο ισχύει για συνεχείς υπό ολοκλήρωση εκφράσεις. Έτσι τελικώς βρίσκομε τις εξισώσεις Euer-Lagrage d L L 0,,..., dt q q. (3.) Αξίζει να τονίσομε κάτι που συνήθως δεν αναφέρεται αλλά εννοείται σιωπηλά. Κατά τη μεθοδολογία της αρχής Χάμιλτον, αλλά και σε κάποιες περιπτώσεις θεωρίας μεταβολών (παραλλαγών) υποτίθεται ότι η αρχική και τελική θέση του συστήματος είναι δεδομένες (γνωστές). Είναι πρόβλημα που κατά κάποιο τρόπο, μπορεί να χαρακτηριστεί ως ένα

0 είδος προβλήματος Drchet με ανεξάρτητη μεταβλητή το χρόνο. Στην πράξη λύνομε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης του συγκεκριμένου συστήματος, οι οποίες προκύπτουν από τις εξισώσεις Λαγκράνζ. Οι λύσεις εξαρτώνται από σταθερές. Κανονικά πρέπει να τις προσδιορίσομε από τις δεδομένες τιμές των συντεταγμένων κατά την αρχική και τελική στιγμή. Όμως στην πράξη αγνοούμε αυτή τη διαδικασία και προσδιορίζομε τις σταθερές, για παράδειγμα, από την αρχική θέση στο θεσικό χώρο και από τις αρχικές ταχύτητες. Αυτό μπορεί κατά κάποιο τρόπο, να χαρακτηριστεί ως ένα είδος προβλήματος Cauchy. Είναι εύκολο να κατανοήσει κάποιος ότι ακολουθούμε αυτή την μη ορθόδοξη διαδικασία, ενώ αναφερόμαστε σε αρχή μεταβολών (με την ευρεία έννοια), διότι έχοντας τη γενική λύση με τις σταθερές, μπορούμε πράγματι να τις προσδιορίσομε από την αρχική και την τελική θέση. Έτσι έχομε τη λύση του προβλήματος με δεδομένες την αρχική και τελική θέση. Προφανώς από τη λύση αυτή μπορούμε να προσδιορίσομε τις αρχικές ταχύτητες. Στη συνέχεια μπορούμε να πάμε αντίστροφα, δηλαδή να θεωρήσομε και πάλι τη λύση της διαφορικής εξίσωσης που προκύπτει από τις εξισώσεις Λαγκράνζ, με τις σταθερές της, και να τις προσδιορίσομε με δεδομένα την αρχική θέση και τις αρχικές ταχύτητες. Θα βρούμε την ίδια λύση με πριν. Η τελική θέση θα είναι ίδια με πριν. Στην ουσία, από πρόβλημα Drchet οδηγηθήκαμε σε ισοδύναμο πρόβλημα Cauchy. Ακόμη αξίζει να σημειώσομε ότι πολλές φορές είναι δυνατόν, το πρόβλημα και η λύση να μην περιορίζονται στο χρονικό διάστημα ( t, t ), αλλά να ισχύουν και έξω από αυτό. B) Λαγκρανζιανό σύστημα με ανολόνομους δεσμούς Έστω ότι έχομε ανολόνομους δεσμούς, αυτό σημαίνει ότι οι δεσμοί είναι της μορφής των Εξ.(.67), δηλαδή έχομε τις (3.3) k k A ( q, t) q A ( q, t) 0,,,..., M k k ή A ( q, t)d q A ( q, t)dt 0,,,..., M. k k (3.3) Τώρα τα δq δεν είναι ανεξάρτητα. Θα χρησιμοποιήσομε ξανά τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrage όπως κάναμε στα προηγούμενα, με τη διαφορά ότι εδώ έχομε και ολοκληρώματα. Οι δυνατές μετατοπίσεις, μετατοπίσεις με παγωμένο το χρόνο, που σχετίζονται με το γεγονός ότι το δυνατό έργο των δυνάμεων των δεσμών είναι μηδέν, προκύπτουν από τις διαφορικές εξισώσεις για ανολόνομους ή ολόνομους δεσμούς, Εξ.(3.3), θέτοντας dt 0, οπότε καταλήγομε στις (3.4) Ak ( q, t)δqk 0,,,..., M. (3.4) k Αυτές είναι οι πρόσθετες δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δq. Πολλαπλασιάζομε την κάθε μια από αυτές επί μια συνάρτηση του χρόνου ( t), στη συνέχεια τις αθροίζομε και ολοκληρώνομε ως προς το χρόνο μεταξύ t, t οπότε έχομε

t M ( t) Ak ( q, t)δqkdt 0. (3.5) t k Στη συνέχεια προσθέτομε κατά μέλη τη σχέση και τις Εξ.(3.5) οπότε βρίσκομε t δldt 0 από τις Εξ.(3.0) t δ L ( t) Aj ( q, t)δq j dt 0. (3.6) j t M t Αντικαθιστούμε το δl κατά τα γνωστά οπότε, t M t L L d δ q (δ q ) ( t) A ( q, t)δq dt 0. (3.7) j j j j j q j j q j dt j Ολοκληρώνομε παραγοντικά το δεύτερο όρο και κάνοντας χρήση των σχέσεων για τις μεταβολές στα άκρα του ολοκληρώματος δ q j ( t) δ q j ( t) 0, καταλήγομε στη σχέση t M t d L L ( t) Aj ( q, t) δq jdt 0. dt q (3.8) q j j j Κατόπιν κάνομε τον εξής συλλογισμό, τα δq j δεν είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, αφού υπάρχουν μεταξύ τους M δεσμευτικές σχέσεις. Επομένως δεν μπορούμε να διαλέξομε διαδοχικά ένα από αυτά μη μηδενικό στο άθροισμα των ολοκληρωμάτων πάνω στα j,,..., και όλα τα άλλα μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να συμπεράνομε ότι κάθε ένα από αυτά τα ολοκληρώματα του αθροίσματος είναι μηδέν. Είναι ευνόητο ότι υπάρχουν μόνο m M από αυτές τις δυνατές μεταβολές είναι ανεξάρτητες, οι άλλες M το πλήθος εξαρτώνται από αυτές. Μπορούμε να διαλέξομε τις πρώτες m ως ανεξάρτητες (δεν είναι απαραίτητο να διαλέξομε τις πρώτες, όμως η διάταξη είναι αυθαίρετη). Επειδή οι συναρτήσεις (πολλαπλασιαστές Λαγκράνζ) ( t) είναι αυθαίρετες μπορούμε να τις διαλέξομε έτσι ώστε να ισχύουν οι σχέσεις d M L L ( t) Aj ( q, t) 0 j m, m,..., dt q. (3.9) j q j Έτσι η Εξ. (3.8) γίνεται

t m M t d L L ( t) Aj ( q, t) δq jdt 0. dt q (3.30) q j j j Τώρα όμως τα δq j είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα επομένως ο κάθε όρος του αθροίσματος είναι μηδέν, δηλαδή t t d M L L ( t) Aj ( q, t) δq jdt 0, j,,..., m dt q. (3.3) j q j Στη συνέχεια εφαρμόζομε το θεμελιώδες λήμμα του λογισμού των μεταβολών και καταλήγομε στις d M L L ( t) Aj ( q, t), j,,..., m dt q. (3.3) j q j Προφανώς από τις Εξ. (3.3), (3.9) και (3.3) καταλήγομε στις εξισώσεις d M L L ( t) Aj ( q, t) 0, j,,..., dt q j q j k A ( q, t) q A ( q, t) 0,,,..., M k k (3.33) Σημειώνομε ότι οι ανωτέρω δυνατές μετατοπίσεις δεν είναι κατ ανάγκη συμβατές με τις εξισώσεις των δεσμών, όπως αυτές στην Εξ. (3.33). Από όσα είπαμε στο Εδάφιο 7. είναι ευνόητο ότι μόνον όταν ισχύει η συμβατότητα αυτή, τότε οι δυνατές μετατοπίσεις οδηγούν από πιθανή τροχιά σε πιθανή τροχιά. Τονίζομε ξανά ότι, στη Μηχανική το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι οι δυνατές μετατοπίσεις είναι τέτοιες που το δυνητικό (δυνατό) έργο των δυνάμεων δεσμών είναι μηδέν. Τονίζομε ότι και στην περίπτωση αυτή αν οι δεσμοί δεν είναι ολόνομοι δεν μπορούμε να μετατρέψομε το πρόβλημα σε (αμιγές) πρόβλημα θεωρίας μεταβολών. Στην απλή περίπτωση που οι δεσμοί είναι ολόνομοι σε ολοκληρωμένη μορφή τότε έχομε τις δεσμευτικές σχέσεις f ( q, t) 0,,,..., M f δq A δq 0,,..., M (3.34) q A f. q Ας σχηματίσομε τη λαγκρανζιανή M L L ( t) f ( q, t). (3.35)

3 Αυτός, θυμίζομε, είναι ο κανόνας του πολλαπλασιασμού, παράθεση δεσμού. Η θεωρία μεταβολών δίνει Ισχύουν d L L 0, j,,..., m. (3.36) dt q j q j L L q q, M L L f ( q, t) ( t) q q q j j j j j Άρα βρίσκομε τις σωστές εξισώσεις που λύνουν το πρόβλημα, βλέπε Εξ.(3.33), d M L L f ( t) 0, f 0, j,,...,,,..., M dt q j q j q j. (3.37) Σε αυτή την περίπτωση βλέπομε ότι καταλήγομε σε πραγματικό (αμιγές) πρόβλημα θεωρίας μεταβολών. 3.4 Διευκρινίσεις για την Αρχή Hamto Εδώ θα ξεκαθαρίσομε καλύτερα τι σημαίνει αρχή μεταβολών (παραλλαγών) και τι σημαίνει αρχή Hamto. Θα αναφερθούμε σε προβλήματα σε χώρο μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, δηλαδή σε μονοδιάστατο χώρο, όπως είναι τα προβλήματα των διακριτών συστημάτων της Μηχανικής, όπου η μοναδική ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος. Δεν θα κάνομε χρήση της γενικότερης περίπτωσης του Παραρτήματος Π4, αλλά θα ασχοληθούμε με το θέμα αυτοτελώς. Έστω ότι έχομε το παρακάτω ολοκλήρωμα Z, το οποίο είναι ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης F( y, y, x), το Z είναι ένα είδος συναρτησοειδούςς της F (συνάρτηση συνάρτησης), x Z Z( y( x)) F( y, y, x) x d y ( x) d y ( x) d y ( x) y y x y x y x y x y x ( ) ( ), ( ),..., ( ),, ( ),,...,. (3.38) Η συνάρτηση F είναι το ανάλογο της λαγκρανζιανής, το x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, το αντίστοιχο του χρόνου της μηχανικής. Το πρόβλημα της θεωρίας μεταβολών είναι να προσδιοριστούν οι το πλήθος συναρτήσεις y( x ), που καθορίζουν μια πραγματική τροχιά υπό παραμετρική μορφή στο χώρο τους ο οποίος είναι διαστάσεων, έτσι ώστε η δυνατή μεταβολή του συναρτησοειδούς Z που προκύπτει από τη διαφορά των τιμών του πάνω στην πραγματική τροχιά και σε κάθε απείρως γειτονική της να είναι μηδέν. Αναφερόμαστε πάντοτε σε μεταβολές με διαφορικά πρώτης τάξεως.

4 Θα δεχτούμε, όπως στη Μηχανική, ότι στα άκρα έχομε δ y( x ) δ y( x ) 0,,,...,. Άρα η αρχή μεταβολών μας λέει ότι x x x δz δ F( y, y, x) δ F( y, y, x) 0 x x F F δz δy δy 0. x y y (3.39) Ακολουθούμε τη διαδικασία της Παραγράφου 3.3, καταλήγομε σε δυο ολοκληρώματα, το ένα είναι ολοκλήρωμα ολικού διαφορικού ως προς το χρόνο και οδηγεί σο όρους που σχετίζονται με τα δυο άκρα της ολοκλήρωσης (σύνορο), οπότε με την επιλογή για τη σταθερότητα των εξαρτημένων μεταβλητών στα άκρα βλέπομε ότι αυτοί οι όροι του συνόρου μηδενίζονται και έτσι καταλήγομε στις Εξ.(3.0) γραμμένες στο νέο συμβολισμό. Δηλαδή έχομε x x d F F δy 0. (3.40) y y Είναι ευνόητο ότι αν δεν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις θα οδηγηθούμε στις εξισώσεις Euer-Lagrage, δηλαδή στις d F F 0. y y (3.4) Η αρχή Hamto για τη Μηχανική συμπίπτει με τη θεωρία μεταβολών όταν δεν υπάρχουν δεσμοί. Δηλαδή, τότε σίγουρα η αρχή Hamto είναι αρχή μεταβολών. Όταν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις τότε, γενικώς, μπορεί να υπάρχει διαφορά μεταξύ της αρχής Hamto και της θεωρίας μεταβολών. Θα περιοριστούμε σε δεσμευτικές σχέσεις της μορφής των Εξ. (3.4) g ( y, y, x) 0,,..., M. (3.4) Σημειώνομε ότι η δυνατή μεταβολή είναι η μεταβολή κατά την οποία η ανεξάρτητη μεταβλητή x παραμένει σταθερή, ισχύει ανάλογο σχήμα όπως το Σχ.3.. Στη θεωρία μεταβολών υποθέτομε ότι αυτές οι δεσμευτικές σχέσεις πληρούνται κατά τη δυνατή μεταβολή, δηλαδή έχομε

5 g ( y, y, x) 0 g g g ( y δ y, y δ y, x) g ( y, y, x) δy δy 0 y y g g άρα δy δy 0 =,,..., M. y y (3.43) Οι τελευταίες είναι οι βοηθητικές ή πρόσθετες σχέσεις (sde codtos, auxary codtos), οι οποίες σημειώστε ότι είναι σχέσεις μεταξύ των ( δy, δy ) και προκύπτουν από τις σχέσεις των δεσμών. Γενικώς, δεν είναι ίδιες σχέσεις με αυτές των ολόνομων ή ημιολόνομων δεσμών της Δυναμικής. Στη Δυναμική οι δεσμευτικές σχέσεις είναι της μορφής Gδq 0. Αυτές είναι, όπως έχομε πει, ανάλογες προς τις σχέσεις των δυνατών έργων των δεσμών οι οποίες δεν περιέχουν τις λεγόμενες δυνατές ταχύτητες, δq, αλλά μόνο τις δυνατές μετατοπίσεις δq. Αυτό δεν απαιτείται σε άλλα προβλήματα που δεν ανήκουν στη Μηχανική. Εφόσον υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις, τα δy στην Εξ.(3.40) δεν είναι ανεξάρτητα άρα δεν μπορούμε να καταλήξομε στις εξισώσεις Euer-Lagrage. Για να λύσομε το πρόβλημα θα εφαρμόσομε τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrage. Πολλαπλασιάζομε την κάθε μια από τις δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των μεταβολών επί μια συνάρτηση λ ( x),,..., M, άρα έχομε τελικώς λ g λ g δy δy 0. (3.44) x M M x y y Κάνομε παραγοντική ολοκλήρωση στο δεύτερο ολοκλήρωμα. Ισχύουν οι αντίστοιχες των σχέσεων της Εξ.(3.6), οπότε έχομε dy dδy δ y =δ d x d x d ( λg ) d ( λg ) ( λg ) δy δy δ y. y y y (3.45) Επομένως το δεύτερο ολοκλήρωμα γίνεται x λ g d λ g d λ g x M M M δy δy δy y d d x x y x x y. (3.46) Το πρώτο ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους αυτής της σχέσης είναι μηδέν αφού τα δ y( x ) δ y( x ). Επομένως από τις Εξ.(3.44), (3.46) βρίσκομε

6 λ g d λ g δ 0. (3.47) x M M y y d x x y Αφαιρούμε από τις Εξ.(3.40) τις (3.47) οπότε καταλήγομε στις σχέσεις λ g d λ g δ 0. (3.48) x M M d F F y y d x y y x y Εύκολα συμπεραίνομε ότι αν εισαγάγομε τη νέα συνάρτηση, κανόνας του πολλαπλασιασμού, M h( x, y, y) F( x, y, y) λ ( x) g ( x, y, y) (3.49) τότε καταλήγομε στη σχέση x d h h δy 0. (3.50) d x x y y Τα δy δεν είναι ανεξάρτητα αφού υπάρχουν μεταξύ τους M δεσμευτικές σχέσεις. Ακολουθούμε τη διαδικασία της Παραγράφου 3.3 και καταλήγομε στις εξισώσεις Euer- Lagrage που μαζί με τις δεσμευτικές σχέσεις λύνουν το πρόβλημα, Eξ.(3.5) d h h 0,,..., y y (3.5) g ( x, y, y) 0,,..., M. Μπορούμε να πάμε αντίστροφα, να ξεκινήσομε με τη συνάρτηση της Εξ.(3.49) να σχηματίσομε το αντίστοιχο συναρτησιακό και κάνοντας αμιγή θεωρία μεταβολών να καταλήξομε στις εξισώσεις Euer-Lagrage λαμβάνοντας τα δy ως ανεξάρτητα. Οι άγνωστες συναρτήσεις που πρέπει να προσδιοριστούν είναι M γι αυτό χρειάζονται και οι δεσμευτικές σχέσεις διότι πρέπει να προσδιοριστούν και οι M το πλήθος άγνωστοι πολλαπλασιαστές λ ( x ). Σημασία έχει ότι αυτό είναι ένα πρόβλημα θεωρίας μεταβολών. Εδώ οι δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των μεταβολών των συντεταγμένων δεν σχετίζεται με το έργο των δυνάμεων των δεσμών της Μηχανικής που πρέπει να είναι μηδέν (αρχή των δυνατών έργων). Οι δεσμευτικές σχέσεις για τις μεταβολές των γενικευμένων συντεταγμένων (sde codtos), προκύπτουν από τις δεδομένες δεσμευτικές σχέσεις αφού υποθέσομε ότι αυτές ισχύουν και μετά τις δυνατές μετατοπίσεις.

7 Προσέξτε τη διαφορά με τη Μηχανική όπου οι δεσμευτικές σχέσεις (sde codtos) για δεσμούς που εξαρτώνται και από τις ταχύτητες κατά γενικό τρόπο, πρέπει να εκφράζουν τον μηδενισμό των δυνατών έργων των δεσμών. Είδαμε ότι στη Μηχανική μπορούμε να τροποποιήσομε τη λαγκρανζιανή και να έχομε λαγκρανζιανό πρόβλημα (χωρίς δεσμούς) μόνο όταν οι δεσμοί είναι ημιολόνομοι. Δηλαδή μόνο σε αυτή την περίπτωση μπορεί να καταλήξομε σε αμιγές πρόβλημα θεωρίας μεταβολών. Η εύκολη περίπτωση είναι αυτή που είδαμε με ολοκληρωμένους ολόνομους δεσμούς. 3.5 Εισαγωγή για εφαρμογές στη Γενική Σχετικότητα Υποθέτομε ότι έχομε έναν χώρο διαστάσεων, γενικώς, μη ευκλείδειο. Εδώ υπενθυμίζομε μερικές βασικές έννοιες. Τα σημεία του χώρου έχουν συντεταγμένες x ( x, x,..., x ), το x είναι το διάνυσμα θέσης του σημείου και τα x είναι οι ανταλλοίωτες (cotravarat) συνιστώσες του. Οι λεγόμενες συναλλοίωτες (covarat), j x, συνιστώσες συνδέονται με τις ανταλλοίωτες με σχέσεις της μορφής x g x. Για την απόσταση, ds, μεταξύ δυο πολύ γειτονικών σημείων ισχύει η σχέση j j j ds gj d x, gj g j, j, j. (3.5) Τα είναι οι διαφορές των συντεταγμένων των σημείων. Τα gj είναι οι συνιστώσες του μετρικού τανυστή του χώρου. Γενικώς οι τιμές των συνιστωσών του μετρικού τανυστή εξαρτώνται από τις συντεταγμένες θέσης του σημείου. Πολλές φορές χρησιμοποιείται η σύμβαση άθροισης των άνω και κάτω δεικτών (βωβοί δείκτες), χωρίς να δηλώνεται το το σύμβολο της άθροισης. Στην περίπτωση του συνήθους ευκλείδειου χώρου των τριών διαστάσεων όταν χρησιμοποιούνται καρτεσιανές συντεταγμένες, ο μετρικός τανυστής είναι διαγώνιος και όλα τα στοιχεία του είναι ίσα με τη μονάδα. Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ ανταλλοίωτων και συναλλοίωτων συνιστωσών. Για τον ίδιο χώρο όταν οι συντεταγμένες είναι (ορθογώνιες) σφαιρικές, κυλινδρικές κτλ ο μετρικός τανυστής είναι διαγώνιος αλλά τα στοιχεία του είναι γενικώς διαφορετικά μεταξύ τους και υπάρχει διαφορά μεταξύ ανταλλοίωτων και συναλλοίωτων συνιστωσών. Η γεωδαισιακή που διέρχεται από δυο σημεία ενός χώρου είναι μια καμπύλη που το μήκος της είναι στάσιμο. Η σύγκριση του μήκους της γεωδαισιακής γίνεται με τα μήκη πολύ γειτονικών καμπύλων που διέρχονται από τα δυο ίδια ακραία σημεία. Για την κίνηση δοκιμαστικών υλικών σημείων, δοκιμαστικών σωματίων, μέσα σε πεδίο βαρύτητας ισχύει ότι αυτά ακολουθούν της γεωδαισιακές του τετραχώρου, ο οποίος έχει μια συνιστώσα χρόνου και τρεις συνιστώσες συνήθους τρισδιάστατου χώρου. Αν δεν υπάρχει βαρύτητα ούτε άλλες δυνάμεις, τότε έχομε την απλή περίπτωση της Ειδικής Σχετικότητας χωρίς δυνάμεις. Αναφερόμαστε σε δοκιμαστικά σωμάτια, δηλαδή σωμάτια τα οποία έχουν πολύ μικρή μάζα και μικρή έκταση, επίσης δεν έχουν σπιν, ώστε να μην επηρεάζουν το βαρυτικό πεδίο μέσα στο οποίο κινούνται. Αν δεν υπάρχουν άλλες δυνάμεις εκτός από την επίδραση της βαρύτητας, λέμε ότι τα σωμάτια εκτελούν ελεύθερη πτώση.

8 Το πρόβλημα είναι να προσδιορίσει κάποιος το μετρικό τανυστή g του (εξωτερικού) πεδίου βαρύτητας μέσα στο οποίο κινείται το δοκιμαστικό σωμάτιο. Αυτό γίνεται λύνοντας της εξισώσεις της βαρύτητας του Este, αλλά αυτό δεν είναι αντικείμενο αυτού του βιβλίου. Ας αναφερθούμε γενικά σε κάθε καμπύλο χώρο πολλών διαστάσεων,. Εισάγομε ένα αναλλοίωτο (βαθμωτό, scaar) μέγεθος, ως μια παράμετρο η οποία περιγράφει μια καμπύλη στο χώρο των διαστάσεων, δηλαδή ισχύουν x x ( ). Μεταξύ δυο σημείων Α, Β για τις τιμές της παραμέτρου έχομε A B και στα σημεία Α, Β ισχύουν x ( ), x ( ). Εδώ υποθέτομε ότι A B j j ds gj 0, gj g j, j, j. Θεωρούμε τη λαγκρανζιανή που δίνεται από τη σχέση L( x, x ) g ( x) x x d x x. d, j j j (3.53) Σχηματίζομε το ολοκλήρωμα δράσης και κάνομε κατά τα γνωστά δυνατή μεταβολή με σταθερό. I B A L( x, x )d δ 0, δ I x ( ) δ x ( ) 0. A B (3.54) Αυτό μας οδηγεί στις εξισώσεις Lagrage d L L 0,,,...,. (3.55) λ x x d Η L είναι ομογενής ου βαθμού ως προς τις παραγώγους, επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Euer ισχύει L x L. (3.56) x Χρησιμοποιούμε τις (3.55) και την (3.56) οπότε βρίσκομε dl L L d L L x x x d x x d x x d d L dl x. d x d (3.57)

9 Από αυτήν βρίσκομε ότι κατά μήκος των καμπύλων που είναι λύσεις του προβλήματος ισχύουν dl 0, L( x, x) σταθερό 0 d. (3.58) Οι καμπύλες (λύσεις) που προκύπτουν από την αρχή μεταβολών της Εξ.(3.54), όπως θα δούμε παρακάτω, είναι γεωδαισιακές. Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχομε j ds (, ) j ( )., j d d d L x x g x (3.59) Οι εξισώσεις Euer, από τις σχέσεις (3.55), οδηγούν στις k k d gk d x gk,,,...,. (3.60) d d x d d Στις τελευταίες σχέσεις έχομε χρησιμοποιήσει την άθροιση άνω και κάτω δεικτών, βωβοί δείκτες. Είδαμε ότι (μόνον) κατά μήκος της καμπύλης (λύσης), έχομε τη σχέση (3.58), δηλαδή L( x, x ) =σταθερό. (3.6) Η παράμετρος σχετίζεται με γραμμικό τρόπο με το μήκος κατά μήκος της γεωδαισιακής, βλέπε Εξ. (3.59), δηλαδή s και η λαγκρανζιανή έχει σταθερή τιμή κατά μήκος της γεωδαισιακής. Τονίζομε ότι και τα d s, d είναι αναλλοίωτες ποσότητες. Συνήθως διαλέγομε ως παράμετρο το μήκος της καμπύλης της γεωδαισιακής, δηλαδή s οπότε L. Έτσι οι σχέσεις (3.59) και (3.60) γίνονται j gj ( x) ds ds k k d g k d x gk,,,...,. ds ds x ds ds (3.6) Ας θεωρήσομε ως λαγκρανζιανή την L L, έχομε j L L gj ( x) d d j d s gj ( x) d Ld Ld d d (3.63) οπότε καταλήγομε στις εξισώσεις Lagrage

0 d L L 0,,,..., dλ L x L x. (3.64) Αν υποθέσομε ότι η L σταθερά 0 κατά μήκος της λύσης, οι (3.64) ταυτίζονται με τις (3.55). Είναι ευνόητο ότι αυτό μπορεί να γίνει πάντοτε διότι μπορούμε να διαλέξομε s, οπότε από τις (3.63), (3.64) καταλήγομε στις (3.55). Προφανώς κάθε που πληροί τη σχέση s οδηγεί σε L σταθερό 0. Η παράμετρος αυτού του είδους λέγεται συναφής παράμετρος (affe parameter). Τα προηγούμενα σημαίνουν ότι και η σχέση μεταβολών j δ gj ( x) d =δ ds 0 d d (3.65) οδηγεί στις ίδιες λύσεις, είναι το ίδιο πρόβλημα με το προηγούμενο. Οι σχέσεις (3.65) αποτελούν τον ορισμό των γεωδαισιακών, επομένως πράγματι η επιλογή (3.53) για τη λαγκρανζιανή οδηγεί στις γεωδαισιακές του πολυδιάστατου χώρου αν η παράμετρος είναι συναφής παράμετρος της γεωδαισιακής. Συνήθως, ως εξισώσεις των γεωδαισιακών λαμβάνονται οι (3.6), όπου η παράμετρος είναι το μήκος κατά μήκος της γεωδαισιακής. Στη Σχετικότητα, πολλές φορές η επιλογή της παραμέτρου είναι τέτοια που η τιμή της λαγκρανζιανής κατά μήκος της γεωδαισιακής να μην είναι αλλά να ισχύει L c, όπου c το μέτρο της ταχύτητας του φωτός στο κενό. Στην περίπτωση της Ειδικής και της Γενικής Σχετικότητας ο χώρος είναι ο γνωστός τετραδιάστατος χώρος. Στην ειδική σχετικότητα έχομε την απλούστερη μετρική του χώρου Mkowsk. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για το πως ορίζονται οι συνιστώσες και η μετρική του τετραδιάστατου χώρου. Εδώ ακολουθούμε τη σύμβαση κατά την οποία ο δείκτης που καθορίζει τις συνιστώσες του τετραχώρου παίρνει τις τιμές 0,,,3. Η 0 συνιστώσα x είναι η συνιστώσα του χρόνου και οι άλλες ( x, x, x 3 ) είναι οι συνιστώσες του γνωστού μας τρισδιάστατου χώρου. Το τετραδιάνυσμα είναι το 0 0 3 x ( x, r ) ( x, x, x, x ), όπου οι χωρικές συνιστώσες μπορεί να μην είναι οι συνήθεις καρτεσιανές. Οι χωρικές συνιστώσες μπορεί να είναι μήκη, γωνίες, γενικώς ότι είναι βολικό κατά περίπτωση. Συνήθως χρησιμοποιούνται ελληνικά γράμματα όπως τα, για να δηλωθούν δείκτες του τετραχώρου, δηλαδή 0,,,3 και λατινικά γράμματα όπως τα, j για τους δείκτες του συνήθους τρισδιάστατου χώρου, δηλαδή,,3. Στην περίπτωση της Σχετικότητας έχομε πάντα ότι για κίνηση σωματίων με μη μηδενική μάζα, κατά μήκος της γεωδαισιακής, το ds 0, L 0, δηλαδή έχομε χρονοειδές μήκος. Έχομε ds 0, L 0 κατά μήκος της γεωδαισιακής, φωτοειδές μήκος, για κίνηση σωματίων με μηδενική μάζα όπως είναι η περίπτωση των φωτονίων. Σημειώνομε ότι ο ιδιόχρονος d σχετίζεται με το αντίστοιχο τετραμήκος με τη σχέση ds cd. Γι αυτό πολλές φορές ως παράμετρος λαμβάνεται ο ιδιόχρονος αντί του τετραμήκους και οι εξισώσεις τροποποιούνται κατά προφανή τρόπο. Οι σχέσεις (3.6) με τον συμβολισμό δεικτών της Σχετικότητας γίνονται

g ( x) ds ds d g g, 0,,,3 ds ds x ds ds (3.66) ή g ( x) c d d d g g, 0,,,3. d d x d d (3.67) Στα προηγούμενα αναφερθήκαμε στην περίπτωση που μπορεί να καλύψει σωματίδια με μη μηδενική μάζα. Η περίπτωση σωματίων με μηδενική μάζα χρειάζεται ελαφρά τροποποίηση στη μεθοδολογία. Οι γεωδαισιακές του τετραδιάστατου χώρου για σωμάτια με μηδενική μάζα έχουν μήκος ίσο με μηδέν και δεν μπορεί να οριστεί ιδιόχρονος διότι ο ιδιόχρονος αναφέρεται σε σύστημα που κινείται με το σωματίδιο και υπάρχει όταν το σωματίδιο κινείται με ταχύτητα μικρότερη του c. Θα ξεκινήσομε με την υπόθεση ότι η μάζα είναι μη μηδενική οπότε κατά μήκος της γεωδαισιακής ds 0, L 0 και στη συνέχεια θα πάμε στο όριο όπου ds 0, L 0, δηλαδή στην περίπτωση σωματίων με μηδενική μάζα. Ξεκινούμε από τις (3.60), (3.6) και (3.64) οπότε, κάνομε την ίδια διαδικασία εισάγοντας την L L 0 και πριν πάμε στο όριο όπου ds 0, L 0 ( L 0), βρίσκομε πάλι τις (3.60). Στη συνέχεια (στο όριο) η σταθερά στις (3.6) γίνεται μηδέν, επομένως καταλήγομε στις παρακάτω σχέσεις για σωμάτια με μηδενική μάζα g ds ( x) 0 d d d d g g, 0,,,3. d d x d d (3.68) Η L 0, μόνον κατά μήκος της καμπύλης λύσης. Στις (3.68) χρησιμοποιούμε το συμβολισμό της Σχετικότητας. Η περιγραφή γίνεται ως προς αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων όπου η τροχιά (γεωδαισιακή) είναι της μορφής x x ( ). Το δεν μπορεί να μετασχηματιστεί σε τετραμήκος ή σε ιδιόχρονο. Εκτός από τη διατήρηση του L κατά την πραγματική κίνηση, θα δούμε παρακάτω ότι αν υπάρχουν κάποιες συμμετρίες, μπορεί κάποιος να βρει και άλλες ποσότητες που διατηρούνται και έτσι να λύσει προβλήματα με εύκολο τρόπο. Για παράδειγμα, αν η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται από κάποια συνιστώσα του τετραδιάστατου χώρου τότε η αντίστοιχη ποσότητα L διατηρείται (πρόκειται για τη συζυγή γενικευμένη ορμή). x

Ας ξεκινήσομε από τις εξισώσεις κίνησης (3.60), παραγωγίζομε και καταλήγομε στις k k d x gk gk k g 0 d x x d d k k k ότι g g g g δ βρίσκομε m k d x m gk g gk g k πολλαπλασιάζομε επί 0. Από αυτές βρίσκομε d x x x d d m g και λαμβάνομε υπόψη k d x k 0, d d d m g g g r όπου, και k k k g m k, k gr k. k x x x (3.69) Τα σύμβολα Γ, k είναι τα σύμβολα (του) Chrstoffe πρώτου είδους. Τα σύμβολα είναι τα σύμβολα του Chrstoffe δευτέρου είδους. Γ k 3.6 Θεωρία μεταβολών με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές Μέχρι τώρα εξετάσαμε την περίπτωση που υπάρχουν γενικώς πολλές άγνωστες μεταβλητές (συναρτήσεις που πρέπει να προσδιοριστούν) αλλά η ανεξάρτητη μεταβλητή ήταν μία. Αυτό είδαμε ότι είναι χρήσιμο για τη μελέτη διακριτών μηχανικών συστημάτων όπου η μόνη ανεξάρτητη μεταβλητή είναι μια μόνο παράμετρος, όπως ο συνήθης χρόνος ή ο ιδιόχρονος στη Σχετικότητα αν μπορεί να γίνει αυτή η επιλογή. Υπάρχουν όμως και άλλα προβλήματα, όπως στη θεωρία πεδίου, όπου οι προς προσδιορισμό συναρτήσεις μπορεί να εξαρτιόνται από πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές, π.χ. το χρόνο και τις τρεις συντεταγμένες θέσης. Θα επανέλθομε στο θέμα όταν εξετάσομε αργότερα τα συνεχή συστήματα (θεωρία πεδίου). Τώρα θα εξετάσομε την περίπτωση που η συνάρτηση f, της οποίας σχηματίζομε το συναρτησοειδές, θα εξαρτάται από δυο ανεξάρτητες μεταβλητές x, y, μιαν εξαρτημένη u( x, y ), και τις πρώτες παραγώγους της. Σε αυτή την περίπτωση υπάγεται η περίπτωση ταλαντευόμενης χορδής που η ταλάντωσή της γίνεται στο επίπεδο, τότε η μια ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος και η άλλη η απομάκρυνση κάθε ενός υλικού σημείου της χορδής από τη θέση ισορροπίας της. Χρειάζεται να βρούμε για ποιες συναρτήσεις u( x, y) γίνεται στάσιμο το διπλό ολοκλήρωμα (συναρτησοειδές) Z f ( x, y, u, u, u )dy. (3.70) S x y S είναι το δισδιάστατο χωρίο S ( x, y) όπου γίνεται η ολοκλήρωση και u u ux, uy x y.

3 Η ποιο γενική θεώρηση, που περιλαμβάνει ακόμη και παραγώγους ανώτερης τάξης για διάφορους συνδυασμούς ανεξάρτητων μεταβλητών, δίνεται στο Παράρτημα Π4. Μπορούμε να κάνομε χρήση αυτού του παραρτήματος αλλά προτιμούμε να εξετάσομε το θέμα αυτοτελώς. Υποθέτομε ότι κατά τη δυνατή μεταβολή δz 0 η συνάρτηση u( x, y ) δεν μεταβάλλεται στο σύνορο, c, του χωρίου S, δηλαδή δ u( x, y) c 0. Κατά τη δυνατή μεταβολή τα x, y είναι σταθερά και το χωρίο ολοκλήρωσης δεν μεταβάλλεται. Από την (3.70) βρίσκομε δz δ f ( x, y, u, u, u )dy 0 S f f f δf δu δux δ uy. u u u x x y y (3.7) Έχομε τις σχέσεις du u x d f d f f d(δ u) δu δu ux ux ux d f f du d f f δu δ δu δu ux ux ux ux f d f d f δux δu δ u. ux ux ux x (3.7) Ισχύουν και οι σχέσεις που προκύπτουν θέτοντας όπου x το y. Από τις (3.7), (3.7) βρίσκομε f d f d f δz δu dy u ux dy u S y d f d f δu δu dy 0. ux dy u S y (3.73) Σύμφωνα με το θεώρημα της απόκλισης (θεώρημα του Gauss) το τελευταίο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στο σύνορο, c, του δισδιάστατου χωρίου S =( x, y ). Έχομε επομένως για αυτό το ολοκλήρωμα συνόρου, δz b,

4 f f δz b δu dy u c x u. (3.74) y Αυτό είναι μηδέν αφού οι μεταβολές στο σύνορο, δu c =0. Επομένως από τις (3.73) προκύπτει ότι και το πρώτο ολοκλήρωμα είναι μηδέν. Οι μεταβολές δ u( x, y) σε κάθε σημείο ( x, y ) είναι αυθαίρετες, επομένως σύμφωνα με το θεμελιώδες λήμμα της θεωρίας μεταβολών ο μύστακας μέσα στο ολοκλήρωμα είναι μηδέν, οπότε d f d f f 0. (3.75) ux dy u y u Αυτή είναι η εξίσωση Euer-Lagrage για δυο ανεξάρτητες μεταβλητές. 3.7 Θεωρία μεταβολών με μια ανεξάρτητη και μια εξαρτημένη μεταβλητή και με ανώτερες παραγώγους Εδώ κάνομε χρήση του παραρτήματος Π4. Υποθέτομε ότι η συνάρτηση είναι της μορφής k () () ( ) ( k ) d y( x) (0) f f ( x, y, y, y,..., y ), έχομε για τις παραγώγους y ( x), y y. k Εφαρμόζομε τη θεωρία μεταβολών για το συναρτησοειδές x () () ( ) Z f ( x, y, y, y,..., y ). (3.76) x Βρίσκομε x x f f f f δi δy δy δ y... δy y y y y x x 0 f y ( ) () () ( ) () () ( ) d (δ y) 0. (3.77) Στη συνέχεια κάνομε χρήση της ταυτότητας d d ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( 3) ( ) FG ( ) GF FG F G F G...( ) F G ( ) ( ) ( ) ( ) GF ( ) F G. (3.78)

5 Όταν 0, θεωρούμε ότι ο όρος που έχει την αγκύλη στην παραπάνω ταυτότητα ισούται f d (δ y) με μηδέν. Θέτομε F, G και κάνομε παραγοντική ολοκλήρωση, οπότε ( ) y βρίσκομε, x d f δz δ y( ) ( ) 0 y x d d d (δ y) ( ) 0. x f ( ) x 0 y (3.79) d Η παραγώγιση μετατίθεται με τη δυνατή μεταβολή δ. Όμως το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα ολικού διαφορικού και οδηγεί σε έκφραση που έχει τιμές στα άκρα του χωρίου ολοκλήρωσης δηλαδή στα x, x, στο σύνορο. Είναι ο όρος συνόρου. Συγκεκριμένα το δεύτερο ολοκλήρωμα συνόρου γίνεται 0 d f ( ) δ y ( ) y ( ). (3.80) Υποθέτομε ότι στο σύνορο οι δυνατές μεταβολές δ ( ) y 0, 0,,..., x, x. Δηλαδή στο σύνορο, οι μεταβολές της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της μέχρι την τάξη είναι μηδέν. Αυτό μηδενίζει τον όρο συνόρου και έχομε ότι το πρώτο ολοκλήρωμα της (3.79) είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή x d f ( ) (3.8) 0 y x δz δ y ( ) 0. Επειδή η δy είναι αυθαίρετη συνάρτηση του x, το θεμελιώδες λήμμα της θεωρίας μεταβολών μας οδηγεί στο ότι το άθροισμα στην υπό ολοκλήρωση ποσότητα στη σχέση (3.8) είναι μηδέν, 3 d f f d f d f d f d f ( )...( ) 0. ( ) () () 3 (3) ( ) 0 y y y y y y (3.8) Αυτή είναι η εξίσωση Euer-Lagrage. Αν στη λαγκρανζιανή υπάρχουν παράγωγοι μέχρι τάξη τότε, γενικώς, η διαφορική εξίσωση που προκύπτει έχει τάξη μέχρι. Αν η εξάρτηση της λαγκρανζιανής από την παράγωγο τάξης είναι γραμμική τότε η αντίστοιχη συμβολή στην τελική διαφορική εξίσωση οδηγεί σε παραγώγους με μέγιστη τάξη. Γραμμική εξάρτηση από παραγώγους δεύτερης τάξης έχομε στη Βαρύτητα στα πλαίσια της Γενικής Σχετικότητας.

6 Αν υπάρχουν συγχρόνως πολλές άγνωστες συναρτήσεις που πρέπει να προσδιοριστούν και πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές, το πρόβλημα με ανώτερες παραγώγους γίνεται πιο πολύπλοκο, βλέπε παράρτημα Π4. Σημειώνομε ότι στην περίπτωση μιας άγνωστης συνάρτησης με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές, μπορεί να υπάρχει εξάρτηση της f και μεικτές μεικτές παραγώγους διαφόρων τάξεων, π.χ. 3 u x y κτλ. Καλό είναι να τονιστεί ξανά αυτό που έχομε ξαναπεί, ότι δηλαδή δεν είναι ανάγκη να καταλήξει κάποιος από τη θεωρία μεταβολών σε εξισώσεις Λαγκρανζ οι οποίες με τη σειρά τους οδηγούν σε διαφορικές εξισώσεις των οποίων η λύση είναι η λύση του προβλήματος. Μπορεί να λύσει το πρόβλημα με διάφορους τρόπους αρκεί να βρει τη λύση που οδηγεί στο στάσιμο του συναρτησιακού. 3.8 Συνοριακές συνθήκες Μέχρι τώρα υποθέταμε ότι οι συναρτήσεις λύσεις των προβλημάτων της θεωρίας μεταβολών παίρνουν καθορισμένες τιμές στο σύνορο της περιοχής ολοκλήρωσης. Όμως σε πολλά προβλήματα μπορεί να μην υπάρχουν τέτοιες συνθήκες εκ των προτέρων σε κάθε σημείο του συνόρου ή μπορεί οι συνθήκες στο σύνορο να είναι πιο γενικές. Είναι γνωστό πως αν έχομε να λύσομε μια συνήθη διαφορική εξίσωση τάξεως, χρειαζόμαστε το πλήθος συνοριακές συνθήκες για να έχομε μοναδικότητα στη λύση. Στα προηγούμενα αυτές οι συνθήκες υπαγορεύονταν εξ αρχής, από το δεδομένο πρόβλημα. Αν δεν υπάρχουν εκ των προτέρων συνοριακές συνθήκες στο βασικό δεδομένο σύνορο τότε μιλούμε για ελεύθερες (αδέσμευτες) συνοριακές τιμές. Γενικώς μπορεί οι δυνατές μεταβολές των άγνωστων συναρτήσεων και παραγώγων τους να μην είναι κατ ανάγκη μηδέν στο σύνορο.. Φυσιολογικές (Natura) Συνοριακές. Συνθήκες Ελεύθερου Συνόρου Ας θεωρήσομε το πρόβλημα μεταβολών με συναρτησιακό το x dy Z f ( x, y, yx)d x yx (3.83) x με μιαν άγνωστη συνάρτηση y( x ) μιας μεταβλητής x, χωρίς δεδομένες εκ των προτέρων συνοριακές συνθήκες στα άκρα x, x. Απαιτούμε το συναρτησιακό Z να είναι στάσιμο. Για να είναι στάσιμο το συναρτησιακό πρέπει η (πρώτη) δυνατή μεταβολή δz να μηδενίζεται. Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχομε

7 x f d f f δz δy δy y y x x y (3.84) x x x Υποθέτομε ότι το Z είναι στάσιμο, ανεξάρτητα του ποιες είναι οι δυνατές μεταβολές του δy. Αφού ισχύει αυτό, κάνομε την επιλογή στα άκρα να ισχύουν δ y( x) δ y( x) 0. Αυτό όμως οδηγεί στο ότι για τη λύση του προβλήματος, y y( x), το ολοκλήρωμα στην (3.84) είναι μηδέν και, κατά τα γνωστά, ισχύουν οι εξισώσεις (Euer-)Lagrage. Αυτό σημαίνει ότι εξασφαλίσαμε ότι και σε αυτή την πιο γενική περίπτωση ισχύουν οι εξισώσεις Euer-Lagrage και ότι πρέπει (προφανώς) ο δεύτερος όρος, ο όρος συνόρου, στην (3.84) να είναι μηδέν ανεξάρτητα από τις τιμές των δυνατών μεταβολών στα άκρα. f Αν οι τιμές αυτές δεν είναι μηδέν τότε πρέπει να ισχύει 0 για x x και x x. yx Αυτές είναι οι φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες (atura boudary codtos) του προβλήματος. Αν έχομε πολλές άγνωστες μεταβλητές έτσι που το συναρτησιακό να έχει τη μορφή x dy (,,,...,,,,..., )d. (3.85) x Z f x y y y y y y x y Ισχύουν οι κατάλληλες εξισώσεις Euer-Lagrage και οι φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες είναι f 0,,,..., στο σύνορο x x, x x y. (3.86) Δίνομε παρακάτω τις φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες για δυο περιπτώσεις σε δισδιάστατα προβλήματα. Θεωρούμε ότι ο συμβολισμός είναι αυτονόητος. Στα προβλήματα με μια ανεξάρτητη μεταβλητή, μετά την παραγοντική ολοκλήρωση, το ολοκλήρωμα συνόρου που προκύπτει, είναι ολοκλήρωμα ολικού διαφορικού και οδηγεί σε τιμές στα δυο άκρα του διαστήματος ολοκλήρωσης, που είναι το σύνορο. Στην περίπτωση που οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι περισσότερες της μιας το ολοκλήρωμα που αναφέρεται στο σύνορο, είναι ολοκλήρωμα κάποιας απόκλισης (dvergece) και μετατρέπεται με χρήση του θεωρήματος του Gauss ( θεωρήματος της απόκλισης), σε ολοκλήρωμα πάνω στο σύνορο. Στην περίπτωση των δυο ανεξάρτητων μεταβλητών, μαθηματικό δισδιάστατο πρόβλημα, το αρχικό ολοκλήρωμα (συναρτησιακό) εκτείνεται σε μαθηματικό χωρίο (επιφάνεια) δυο διαστάσεων και το ολοκλήρωμα συνόρου είναι επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος της καμπύλης που περιβάλλει το δισδιάστατο χωρίο. Τα δισδιάστατα παραδείγματα είναι: Για την περίπτωση όπου υπάρχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή έχομε,

8 Z f ( x, y, u, u, u )dy S x y f dy f στο σύνορο δuds 0 (3.87) c ux ds uy ds f dy f 0. u ds u ds x y Το τελευταίο προκύπτει υποθέτοντας ότι το δu c (στο σύνορο) είναι αυθαίρετο, οπότε ισχύει το γνωστό θεμελιώδες λήμμα της θεωρίας μεταβολών. Για πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές έχομε, Z f ( x, y, u, u, u,,,,...)dy S x y x y f dy f f dy f στο σύνορο δu δ... ds 0, (3.88) ux ds u y ds x ds y ds c f dy f f dy f 0, 0,... u ds u ds ds ds x y x y Σε αυτές τις περιπτώσεις (3.87), (3.88) οι φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες που δίνομε ισχύουν στο σύνορο το οποίο είναι η κλειστή καμπύλη, c, που περικλείει το δισδιάστατο χωρίο ολοκλήρωσης, S. Το στοιχειώδες μήκος κατά μήκος της κλειστής καμπύλης, c, του συνόρου παριστάνεται με ds. Η έννοια των φυσιολογικών συνοριακών συνθηκών μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε γενικεύσεις της θεωρίας μεταβολών, συμπεριλαμβανομένων αυτών που οι συνοριακές συνθήκες δίνονται εκ των προτέρων. Ως παράδειγμα δίνομε την περίπτωση που το συναρτησοειδές (συνάρτηση συναρτήσεων) δεν αποτελείται μόνο από ένα ολοκλήρωμα, αλλά είναι της πιο γενικής μορφής: x (,, )d ( 0) ( ), 0 ( 0), ( ). (3.89) x0 Z F x y y x y y y y x y y x Οι συναρτήσεις, επιλέγονται ανάλογα με το πρόβλημα που θέλομε να λύσομε, τα y0, y δεν είναι προκαθορισμένα. Από την (3.89) βρίσκομε, x F d F d F d F δz δy δy δy 0. (3.90) y y dy y dy y x0 x x0 Έτσι καταλήγομε στην εξίσωση Euer-Lagrage και σε δυο φυσιολογικές συνθήκες συνόρου:

9 F d F d F d F 0, 0, 0. (3.9) y y dy y dy y x x0 Μπορούμε να δούμε στη συνέχεια πως από αυτές τις φυσιολογικές συνθήκες καταλήγομε στις γνωστές προκαθορισμένες συνθήκες. Υποθέτομε ότι, ( y) ( y a), ( y) ( y b) (3.9) οπότε οι συνοριακές συνθήκες γίνονται F F y0 a 0, y b 0. y y x0 x (3.93) Πηγαίνομε στο όριο όταν και καταλήγομε στην περίπτωση όπου οι τιμές στο σύνορο είναι καθορισμένες, δηλαδή στις y0 a, y b.. Ισοπεριμετρικά προβλήματα Το όνομα, ισοπεριμετρικό, προέρχεται από τον αρχαίο μύθο της πριγκίπισσας Διδώς (Διδούς, Ddo s probem). Ο μύθος σχετίζεται με το εξής πρόβλημα, να βρεθεί επιφάνεια που να έχει μέγιστο εμβαδόν αν η περίμετρός της έχει δεδομένο μήκος. Αυτό είναι πρόβλημα που όπως θα δούμε μπορεί να αντιμετωπιστεί με τη θεωρία μεταβολών. Εξετάζομε το πρόβλημα κατά το οποίο το παρακάτω συναρτησιακό είναι στάσιμο, χωρίς να μας ενδιαφέρει αν είναι μέγιστο, x dy Z f ( x, y, y)d x, y (3.94) x με προκαθορισμένες συνοριακές τιμές, y( x )= y, y( x )= y άρα δ y( x ) δ y( x ) 0 (3.95) και με τον περιορισμό ότι η y y( x) πληροί ολοκληρωτικές σχέσεις της μορφής x K g ( x, y, y) a σταθ.,,...,. (3.96) x Μπορούμε να γενικεύσομε το πρόβλημα θεωρώντας πολυδιάστατους χώρους για τις ανεξάρτητες μεταβλητές και πολλές άγνωστες συναρτήσεις. Επειδή κατά τις δυνατές μεταβολές πρέπει να ληφθούν υπόψη οι δεσμευτικές σχέσεις (3.96), κάνομε χρήση της μεθόδου των πολλαπλασιαστών Lagrage. Χρησιμοποιούμε τις (3.94),(3.96), και ακολουθούμε τη σχετική διαδικασία για μονοδιάστατα προβλήματα, που επεκτείνεται και για περισσότερες διαστάσεις. Αφού πάρομε τις δυνατές μεταβολές των (3.94), (3.96) έχομε,

30 x δz δ f ( x, y, y) 0 x x δk δ g ( x, y, y) 0,,,...,. x (3.97) Δηλαδή απαιτούμε οι δεσμευτικές σχέσεις-ολοκληρώματα να ισχύουν και για τις παραλλαγμένες διαδρομές. Στη συνέχεια ακολουθούμε τη μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrage, πολλαπλασιάζομε τις δεύτερες σχέσεις επί άγνωστες σταθερές,,,..., αντιστοίχως και προσθέτομε στην πρώτη σχέση. Αφού το Z είναι στάσιμο και εφόσον ισχύουν και για τις παραλλαγμένες διαδρομές οι (3.96), θα είναι στάσιμο και το συναρτησιακό x Z f d x, f f g. (3.98) k k k x Υπολογίζομε τις δυνατές μεταβολές, κάνομε την παραγοντική ολοκλήρωση, ο όρος συνόρου μηδενίζεται και καταλήγομε στη σχέση, x fk d fk δy 0. y y (3.99) x Εδώ χρειάζεται λίγη σκέψη, η δy δ y( x) δεν είναι τελείως αυθαίρετη συνάρτηση του x διότι πρέπει να είναι σε συμφωνία με τις (3.96) και τις δεύτερες από τις (3.97). Μπορεί κάποιος να ισχυριστεί, χωρίς μαθηματική αυστηρότητα, ότι η δ y( x ) έχει χάσει βαθμούς ελευθερίας. Οι το πλήθος αυθαίρετες σταθερές μπορεί να ρυθμιστούν έτσι που η αγγύλη στην (3.99) να είναι μηδέν ανεξάρτητα από τη δ y( x ). Αυτό οδηγεί στην εξίσωση Euer-Lagrage, fk d fk 0. y y (3.00) Δηλαδή, καταλήγομε σε πρόβλημα με τροποποιημένη συνάρτηση, όπου αντί της f έχομε την f k, κανόνας πολλαπλασιασμού. Από την (3.00) προκύπτει γενικώς, συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως. Η λύση της έχει άγνωστες σταθερές και τις το πλήθος άγνωστες σταθερές. Αυτές οι σταθερές προσδιορίζονται από τις συνθήκες στο σύνορο (3.95) και τις (3.96). Αν έχομε περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές θα έχομε ανάλογες σχέσεις. Συγκεκριμένα, για δυο ανεξάρτητες μεταβλητές έχομε,

3 x dy j Z f ( x, y, y, y, y )d x, yj j, x x K g ( x, y, y, y, y ) a σταθ.,,...,. x Από αυτές θα βρούμε, (3.0) x Z f d x, f f g k k k x fk d fk fk d f k 0, 0. y y y y (3.0) Φυσικά για τον προσδιορισμό όλων των σταθερών χρειάζονται και οι δεύτερες από τις (3.0). Παραδείγματα. Διαφορετικός τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος της θεωρίας μεταβολών Ξεκινούμε από το συναρτησιακό x dy dyk (,, )d,, (,,..., ), (,,..., ), k. Εννοείται ότι dt x Z f y y x x y y y y y y y y y y όλες οι τροχιές, η πραγματική και οι γειτονικές περνούν από τα ίδια δυο ακραία σημεία στις θέσεις x, x, οπότε τα yk ( x), yk ( x ) είναι δεδομένα ίδια για όλες τις τροχιές. Ζητούμε την πραγματική διαδρομή (λύση) y y( x) η οποία οδηγεί σε στάσιμη τιμή του συναρτησιακού. Θα οδηγηθούμε και πάλι στην εξίσωση Euer-Lagrage. Εδώ αναφέρομε αυτά που στις προηγούμενες περιπτώσεις θεωρήσαμε ότι ισχύουν σιωπηρώς. Δηλαδή, πρέπει να υπάρχουν παράγωγοι της y( x ) μέχρι δεύτερης τάξης και να είναι συνεχείς, επίσης πρέπει να υπάρχουν οι παράγωγοι της f ως προς τα ορίσματά της και να είναι συνεχείς.