Εφαρµογές στη δυναµική του κέντρου µάζας στρού σώµατος Εφαρµογή 1η Οµογνής δίσκος ακτίνας R ηρµί στην άκρη οριζόντιου τραπζιού µ το κέντρο του Κ να βρίσκται στην κατακόρυφη που διέρχται από την ία Ο του τραπζιού. ίνουµ στο δίσκο µια αµλητέα αρχική ταχύτητα και αυτός αρχίζι να στρέφται πρί το Ο χωρίς να ολισθαίνι. Να υπολογίστ: α. τη ία κατά την οποία έχι στραφί ο δίσκος µέχρι τη στιγµή που γκαταλίπι το τραπέζι β. τη ιακή ταχύτητα, την κντροµόλο πιτάχυνση και την πιτρόχιο πιτάχυνση του κέντρου µάζας του δίσκου και την ιακή πιτάχυνση του δίσκου, αµέσως µτά την γκατάλιψη του τραπζιού. Να θωρήστ αµλητέα την αντίσταση του αέρα. ίνονται η ακτίνα του δίσκου R και η πιτάχυνση της βαρύτητας g. ίνται η ροπή αδράνιας του δίσκου ως ος άξονα που διέρχται από το κέντρο µάζας του 1 και ίναι κάθτος σ αυτόν Ι = mr. Εφαρµογή η Η οµογνής ράβδος µήκους L του σχήµατος ίναι τοποθτηµένη πάνω σ L τραπέζι έτσι ώστ, το κέντρο µάζας της Κ O να απέχι από το άκρο Ο του τραπζιού d L/ απόσταση d. Η ράβδος συγκρατίται σ οριζόντια θέση και κάποια στιγµή αφήνται λύθρη οπότ αρχίζι να στρέφται γύρω από την άκρη Ο του τραπζιού. Αν ο συντλστής οριακής στατικής τριβής µταξύ της ράβδου και του άκρου Ο του τραπζιού ίναι µ στ,ορ =µ, να βρθί η ία που σχηµατίζι η ράβδος µ την αρχική οριζόντια διύθυνσή της, όταν αρχίζι να ολισθαίνι. Να θωρήστ αµλητέα την αντίσταση του αέρα. ίνται η ροπή αδράνιας της ράβδου ως ος άξονα που 1 διέρχται από το κέντρο µάζας της και ίναι κάθτος σ αυτήν Ι = ml. 1 Εφαρµογή 3 η Το τριικό ίσµα ΑΒ ίας ˆΒ = και µάζας m έχι τοποθτηθί πάνω σ λίο οριζόντιο δάπδο και ο οµογνής Α m R κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R κυλίται ος τα κάτω κατά µήκος της έδρας ΑΒ του ίσµατος. m α. Να οσδιορίστ την κατύθυνση κίνησης του ίσµατος ως ος το δάπδο. Β (Το πόµνο ρώτηµα απυθύνται ος τους διδάσκοντς) β. Να υπολογίστ την πιτάχυνση του ίσµατος. Να θωρήστ αµλητέα την αντίσταση του αέρα. ίνονται η πιτάχυνση της βαρύτητας g και η ροπή αδράνιας του δίσκου ως ος άξονα που διέρχται από το κέντρο µάζας του και ίναι κάθτος σ αυτόν 1 Ι = mr. R O 1
Εφαρµογή 1η α. Ο δίσκος µέχρι να γκαταλίψι το τραπέζι στρέφται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχται από το Ο. Από τον ορισµό του κέντρου µάζας και για την κυκλική κίνηση ακτίνας R που αυτό κτλί γύρω από το Ο έχουµ: Στη διύθυνση της ακτίνας ΟΚ: mυ συνθ ˆ Ν = R ˆ mgσυνθ Ν = mω R. Απαντήσις R-Rσυνθ Τη χρονική στιγµή που ο δίσκος χάνι την παφή του µ το τραπέζι, Ν=0 και ω R= gσυνθ (1) Στη διύθυνση της φαπτοµένης στο σηµίο Κ της κυκλικής τροχιάς που διαγράφι το κέντρο µάζας Κ: ηµθ ˆ = mα ˆ ˆ mgηµθ = mα α = gηµθ () Στο δίσκο ασκούνται η συντηρητική δύναµη του βάρους και η δύναµη Ν από το τραπέζι που έχι διαρκώς τη διύθυνση της ακτίνας ΚΟ και δν µτατοπίζι το σηµίο φαρµογής της, άρα η µηχανική του νέργια διατηρίται. Αν θωρήσουµ ότι η δυναµική νέργια του δίσκου ίναι µηδέν, όταν το κέντρο µάζας Κ βρίσκται στο οριζόντιο πίπδο στη θέση γκατάλιψης του τραπζιού (ΙΙ): (Θ.Steiner) E M(I) = E M(II) mg(r Rσυνθ) ˆ = 1 Ι ˆ 1 1 ( Ο) ω mgr(1 συνθ) = ( mr + mr )ω 3 4 Rg(1 συνθ) ˆ = R ω ω R = g(1 συνθ) ˆ (3) 4 3 Από (1) και (3): gσυνθ= ˆ 4 g(1 συνθ) ˆ 4 3συνθˆ = 4 4συνθˆ συνθˆ = 3 7 4 4 4g g β. Από (3) και : ω R = g(1 ) ω = ω=. 3 7 7R 7R (3) 4g a κ = ω R aκ =. 7 R N θ O θ συνθ ˆ U β =0 ηµθ (Ι) (ΙΙ) 16 33 33 ηµθ= 1 συν θ ηµθ= 1 ηµθ= ηµθ= 49 49 7 (5) Από () και (5): α = g 33 7. Ο δίσκος µτά την γκατάλιψη του τραπζιού κτλί σύνθτη κίνηση. Οι οηγούµνς τιµές των a κ και α σχτίζονται µ την καµπυλόγραµµη µταφορική που κτλί ο δίσκος ο οποίος ταυτόχρονα θα στρέφται µ g σταθρή ιακή ταχύτητα ω= καθόσον Στ (κ) =0 και α =0. 7 R
Εφαρµογή η Η ράβδος στρέφται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχται από το Ο κατά ία Τ στ,ορ Ν ˆθµέχρι να αρχίσι η ολίσθησή της. Από (I) τον ορισµό του κέντρου µάζας και για την ˆθ O d dηµθ κυκλική κίνηση ακτίνας d που αυτό ˆθ (II) Σ x κτλί γύρω από το Ο έχουµ, ˆθ στη διύθυνση της ακτίνας ΟΚ: y Τστ,ορ x = maκ, ˆ µν mgηµθ = mω d (1), στη διύθυνση της φαπτοµένης στο σηµίο Κ της κυκλικής τροχιάς που διαγράφι το κέντρο µάζας Κ: N = ma mgσυνθˆ N = ma mgσυνθˆ N = mα d () y Όπου, a κ, = η κντροµόλος πιτάχυνση του κέντρου µάζας Κ της ράβδου, a = η πιτρόχιος πιτάχυνση του κέντρου µάζας της ράβδου και α = η ιακή πιτάχυνση της ράβδου. Από τον θµλιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµ: (Θ.Steiner) 1 1gdσυνθˆ Στ(ο) = Ι(ο) α ˆ mgdσυνθ = ( ml + md ) α ˆ α = (3) ( ΚΣ ) = dσυνθ 1 L + 1d Μέχρι να αρχίσι η ολίσθηση της ράβδου σ αυτήν ασκούνται η συντηρητική δύναµη του βάρους, η στατική τριβή Τ στ η οποία δν µτατοπίζι το σηµίο φαρµογής της και η δύναµη Ν από το τραπέζι που έχι διαρκώς τη διύθυνση της ακτίνας ΟΚ και δν κτλί έργο, άρα η µηχανική νέργια της ράβδου µέχρι αυτή να αρχίσι την ολίσθησή της διατηρίται. Αν θωρήσουµ ότι η δυναµική νέργια της ράβδου ίναι µηδέν, όταν το κέντρο µάζας Κ βρίσκται στο οριζόντιο πίπδο στη θέση γκατάλιψης του τραπζιού (ΙΙ): 1 1 4gdηµθˆ E M(I) = E M(II) mgdηµθ ˆ = ( ml + md ) ω ω = 1 L + 1d 4gdηµθˆ mgηµθˆ md 4gdηµθˆ Από (1) και : µν mgηµθ ˆ = md Ν = + ( ) (5) L + 1d µ µ L + 1d Από () και (5): mgηµθˆ md 4gdηµθˆ gσυνθˆ gηµθˆ 1 4gdηµθˆ mgσυνθ ˆ ( ) = mα d α = ( ) (6) µ µ L + 1d d µd µ L + 1d Από (3) και (6): 1gdσυνθˆ gσυνθˆ gηµθˆ 1 4gdηµθˆ 4d 1 1 1d = ( ) ηµθ ˆ = συνθˆ + ( ) L + 1d d µd µ L + 1d µ(l + 1d ) µd d L + 1d 1 1d L + 1d 1d ˆ d L 1d ˆ d(l + 1d ) µl φθ = + φθ = φθ ˆ =. 4d 1 4d L 1d L 36d + + + + µ(l + 1d ) µd µd(l + 1d ) Παρατήρηση Από την τλυταία σχέση οκύπτι ότι αν d=0, δηλαδή το κέντρο µάζας της ράβδου βρίσκται στην άκρη Ο του τραπζιού, τότ φ ˆθ = µ και η ία ˆθίναι η ία τριβής για την οποία πίκιται ολίσθηση της ράβδου ως ος το τραπέζι. Η ράβδος τότ δν στρέφται διότι Στ (Ο) =0. Εφαρµογή 3 η α. Στην οριζόντια διύθυνση xx κίνησης του ίσµατος το σύστηµα «κύλινδρος ίσµα» ίναι µονωµένο διότι οι δυνάµις T στκαι Tστ,ΝκαιΝ έχουν σχέση δράσης - αντίδρασης, δηλαδή ίναι σωτρικές δυνάµις του συστήµατος, άρα η ορµή του συστήµατος ως ος τον ακίνητο παρατηρητή διατηρίται: 3
υ υ m α α m R Σ α υ ω α Β x υ υ,x υ ηµ30 ο = υ υ κυλ ΑΒ y y υ,y υ συν30 ο υ,y υ,x υ x Α Ν x Τ στ Τ στ,x Ν δ Τ στ,y Ν Ν Τ στ,y y Ν y Ν x x Τ στ,x Τ στ Β Σχήµα 1 Σχήμα Σχήµα 3 p κυλ,xx + p = 0 p = p κυλ,xx mυ = mυ κυλ,xx υ = υ κυλ,xx, όπουυ κυλ,xx =η συνιστώσα της ταχύτητας του κυλίνδρου στην οριζόντια διύθυνση xx κίνησης του ίσµατος, αλλά ο κύλινδρος κατβαίνι σ σχέση µ την έδρα ΑΒ του ίσµατος, δηλαδή η έχι κατύθυνση ος τα δξιά, άρα το ίσµα κινίται ος τα αριστρά. (Σχήµα 1) υ κυλ,xx β. Επιδή ο κύλινδρος κυλίται πάνω στην έδρα ΑΒ του ίσµατος θα έπι το σηµίο Σ (Σχήµα 1) κάθ χρονική στιγµή να έχι την ίδια ταχύτητα µ την συνιστώσα της οριζόντιας ταχύτητας του ίσµατοςυ στην διύθυνση της έδρας ΑΒ του ίσµατος : υ συν30 = υ υ (Σχήµα ). dυ dυ dυ Μ παραγώγιση της τλυταίας σχέσης έχουµ: = = dt dt dt Σύµφωνα µ το (Σχήµα 3),από τον θµλιώδη νόµο της µηχανικής για τη µταφορική κίνηση του κυλίνδρου: T στ mg συν30 a συν30 a a ο T = ma mgηµ30 T = ma T = ma () x στ στ στ Από τον θµλιώδη νόµο της µηχανικής για τη στροφική κίνηση του κυλίνδρου: 1 1 T R = mr α T = ma (3) στ στ Από τις () και (3) : ma = mg ma a = g a Από τις (1) και : a συν30 = g a a a 3 = g 3a a = g a 3 (5) 3 6 ια να διατηρίται η παφή κυλίνδρου ίσµατος στη διύθυνση που ίναι κάθτη ος την έδρα ΑΒ του ίσµατος, έπι η ταχύτητα του κυλίνδρου υ κυλ ΑΒ,να ίναι ίση µ τη συνιστώσα της ταχύτητας του ίσµατος στην ίδια διύθυνσηυ = υ ηµ30, µ παραγώγιση κυλ ΑΒ dυ dυ ηµ30 κυλ ΑΒ = a = a ηµ30 (6). κυλ ΑΒ dt dt Ο θµλιώδης νόµος της µηχανικής για τον κύλινδρο στην ίδια διύθυνση δίνι: (6) y aκυλ ΑΒ aηµ30 mgσυν30 maηµ30 N = m mgσυν30 N = m N = (1) της τλυταίας σχέσης έχουµ: Από τον θµλιώδη νόµο της µηχανικής για την κίνηση του κέντρου µάζας του ίσµατος στην οριζόντια διύθυνση xx (Σχήµα 3): x στ,x Τστσυν30 T' στ =Tστ N' Τ = ma Nηµ30 = ma Ν ' =Ν mg Nηµ30 Τ συν30 ma mgσυν30 ηµ30 ma ηµ 30 ma συν30 ma = () = στ (7) (7) 4
mg 3 ma mg 3 3 g 3 3 5a 4 4 4 3 6 4 (5) + ma = ma a = g 3 3 5a g 3 6a g 3 a = = a =. 6 1 4 6 4 9 5