ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.

Transcript

1 Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.: Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι ξίσωση: Η ξίσωση της σφαίρας ίναι µια παράσταση δυτέρου βαθµού ως προς,, ιδικού τύπου. Συγκκριµένα οι συντλστές των,, ίναι όλοι ίσοι και πιπλέον δν υπάρχουν οι όροι,,. Γνικά µια ξίσωση της µορφής: Γ Β παριστάνι τη σφαίρα: Γ Β Γ Β µ κέντρο Γ Β,, και ακτίνα Γ Β. Παραδίγµατα. Η σφαίρα µ ξίσωση έχι κέντρο,, και ακτίνα αφού Β. Η ξίσωση 5 παριστάνι σφαίρα µ -,, και 5. G. Η ξίσωση 9 παριστάνι σφαίρα µ,-,- και 3. ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΙΡΣ

2 3 ΤΟΜΗ ΣΦΙΡΣ ΜΕ ΕΥΘΕΙ Λαµβάνοντας υπόψη την ξίσωση της σφαίρας: a καθώς και την παραµτρική ξίσωση της υθίας : β, γ όπου Ρ,, σηµίο της υθίας και n a, β, γ το διάνυσµα διύθυνσής της µπορούµ να βρούµ τα σηµία τοµής τους που καθορίζονται από την πίλυση του συστήµατος αυτών δηλαδή: a β γ. ν οι λύσις του παραπάνω συστήµατος ίναι δυο πραγµατικές και διάφορς µταξύ τους τότ η υθία τέµνι τη σφαίρα σ δύο σηµία διαφορτικά µταξύ τους. A Β Σ αυτή την πρίπτωση, <, δηλαδή η απόσταση του κέντρου της σφαίρας από την υθία ίναι µικρότρη της ακτίνας. Β. ν το παραπάνω σύστηµα έχι µια λύση τότ η υθία φάπτται της σφαίρας. ηλαδή,. A Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:

3 Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.: Γ. ν το παραπάνω σύστηµα δν έχι λύσις πραγµατικές τότ η υθία βρίσκται κτός σφαίρας και ισχύι >,. Παραδίγµατα. Να βρθούν τα σηµία τοµής της υθίας : µ τη σφαίρα 5. : S Λύση Λύνουµ το σύστηµα των: ± Για :. Άρα,,. Για :. Άρα Β-,-,.

4 3 Β. Να διχθί ότι η υθία : S :. 9 Λύση φάπτται της σφαίρας Για να φάπτται η υθία στη σφαίρα πρέπι,. Έστω Ο,, το 3 σηµίο παφής της σφαίρας µ την υθία. φού το Ο ανήκι στην υθία, άρα:,, ο, ο, ο Είναι Ο. Άρα n Ο n Ο Είναι n,, και Ο,,,, Εποµένως n Ο 3 3 Οπότ Ο,, Πράγµατι Ο Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:

5 35 ΤΟΜΗ ΣΦΙΡΣ ΜΕ ΕΠΙΠΕ Ο Γνωρίζοντας την ξίσωση της σφαίρας µ κέντρο,, και ακτίνα : S : καθώς και την ξίσωση του πιπέδου Π: a β γ δ όπου n a, β, γ το κάθτο διάνυσµα στο πίπδο µπορούµ να βρούµ την τοµή τους που καθορίζται από την λύση του συστήµατος αυτών, δηλαδή: a β γ δ. ν η απόσταση του πιπέδου από το κέντρο,, της σφαίρας ίναι µικρότρη της ακτίνας, δηλαδή S, < τότ το πίπδο τέµνι την σφαίρα. Η τοµή της σφαίρας µ το πίπδο ίναι κύκλος. Η ακτίνα r και το κέντρο Ο του κύκλου υπολογίζονται λαµβάνοντας υπόψη τα ξής: r n α,β,γ π Σύµφωνα µ το Πυθαγόριο Θώρηµα έχουµ: r r όπου η απόσταση του κέντρου της σφαίρας από το πίπδο Π. a β γ δ ηλαδή:, Π a β γ Το κέντρο Ο,, του κύκλου υπολογίζται λαµβάνοντας υπόψη ότι Ο λn και ότι Ο Π. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:

6 36 Β. ν η απόσταση του πιπέδου Π από το κέντρο,, της σφαίρας ισούται µ την ακτίνα τότ το πίπδο φάπτται της σφαίρας. Το σηµίο παφής του πιπέδου µ την σφαίρα ίναι το σηµίο. Ισχύι, Π και Π. n π Γ. ν η απόσταση του πιπέδου από το κέντρο της σφαίρας ίναι µγαλύτρη της ακτίνας, δηλαδή, Π > τότ το πίπδο ίναι ξωτρικό της σφαίρας. π > Παραδίγµατα. ίνται η σφαίρα S : 5 5. Να διχθί ότι φάπτται στο πίπδο Π: 5. Λύση πό την ξίσωση της σφαίρας 5 5 προκύπτι ότι έχι κέντρο,5, και ακτίνα 5. Για να φάπτται η σφαίρα στο πίπδο Π: 5 πρέπι, Π Πράγµατι, Π 5. Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:

7 37 Β. Να βρθί η τοµή της σφαίρας S : 9 µ το πίπδο Π: 3. Λύση,, r n,, Η τοµή της σφαίρας µ το πίπδο ίναι κύκλος µ κέντρο Ο,, και ακτίνα r. 3 3 Ισχύι, Π 3. 3 Σύµφωνα µ το Πυθαγόριο Θώρηµα ίναι: r r r 6 Ισχύι Ο,,,, λ Επίσης Ο λn λ και Ο Π δηλαδή: λ 3 3λ 3 λ. Άρα Ο,, Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:

8 38 ΕΦΠΤΟΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΣΤΗ ΣΦΙΡ α τρόπος Έστω σφαίρα S : µ κέντρο,, και ακτίνα. Έστω Ρ,, το σηµίο παφής της σφαίρας µ το φαπτόµνο πίπδο σ αυτήν.,, n P,, P,, Το διάνυσµα Ρ,, n ίναι κάθτο στο πίπδο Π. Επίσης το διάνυσµα Ρ Ρ,, ανήκι στο πίπδο. Η ξίσωση του πιπέδου Π ίναι: β τρόπος Π: ν F,, τότ το κάθτο διάνυσµα στην πιφάνια της σφαίρας στο Ρ,, ίναι το: F,, Ρ Το φαπτόµνο πίπδο ίναι: Π: Βλέπ σλ. 5 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΒΛΗΤΩΝ, Ι. Π. ΡΟΟΥ Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:

9 39 Παράδιγµα Να βρθί το φαπτόµνο πίπδο στη σφαίρα S : 3 5 στο σηµίο Ρ,3,5. πό την ξίσωση της σφαίρας S : 3 5 προκύπτι ότι έχι κέντρο,3, και ακτίνα 5. Το φαπτόµνο πίπδο έχι ξίσωση: Π: Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.: