Αναλυτικό Υπόµνηµα Εργασιών

Αναλυτικό Υπόµνηµα Εργασιών 1 Explicit multistep methods for nonstiff partial differential equations, Applied Numerical Mathematics, 27, 13 31, (1998) Σε αυτή την εργασία ϑεωρούµε ένα µη άκαµπτο πρόβληµα αρχικών τιµών της µορφής Au (t) = B(t,u(t)), t J [0,t ], t > 0, (11) όπου A είναι ένας αυτοσυζυγής, ϑετικά ορισµένος γραµµικός τελεστής σε ένα χώρο Hilbert H και B ένας πιθανόν µη γραµµικός τελεστής Μας ενδιαφέρουν συγκεκριµένες µη άκαµπτες µερικές διαφορικές εξισώσεις που ανήκουν στην παϱαπάνω κατηγορία διαφορικών εξισώσεων Ετσι υποϑέτουµε ορισµένες ιδιότητες του B ώστε το (11) να µην είναι άκαµπτο ιακριτοποιούµε το χώρο H µε µεθόδους πεπεϱασµένων στοιχείων στη συνέχεια διακριτοποιούµε και ως προς το χρόνο µε γραµµικές άµεσες πολυβηµατικές µεθόδους Επειδή, σύµφωνα µε τις υποϑέσεις για τον B, το (11) είναι µη άκαµπτο, δεν χρειάζεται να διακριτοποιήσουµε ως προς το χρόνο µε µία µέθοδο µε πολύ καλές ιδιότητες ευστάθειας, όπως είναι µερικές µέθοδοι Runge Kutta Το γεγονός αυτό µας επιτρέπει να εφαρµόσουµε µεθόδους που είναι λιγότερο δαπανηρές σε πράξεις Στη συνέχεια αποδεικνύουµε ϐέλτιστης τάξεως εκτιµήσεις σφάλµατος για τα πλήρως διακριτά σχήµατα που προκύπτουν διακριτοποιώντας µε την άµεση µέθοδο του Euler και µε µία γενικότερη άµεση γραµµική πολυϐηµατική µέθοδο Επειδή ο A είναι αυτοσυζυγής και ϑετικά ορισµένος στον H, ο A 1/2 είναι καλά ορισµένος Θέτουµε λοιπόν V := D(A 1/2 ), και ορίζουµε την εξής νόρµα στον V, v = ( A 1/2 v,a 1/2 v ) 1/2 Τη νόρµα στον H, που επάγεται από το εσωτερικό γινόµενο(, ), τη συµβολίϲουµε µε Ακόµα ταυτίζουµε τον H µε τον δυϊκό του χώρο, οπότε V H V, όπου V είναι ο δυϊκός του V και συµβολίζουµε ξανά µε (, ) το δυϊκό Ϲεύγος µεταξύ V και V Επίσης υποθέτουµε ότι ο τελεστής B µπορεί να επεκταθεί σε έναν τελεστή από το J V στον V Θεωρούµε τώρα τη συµµετρική διγραµµική µορφή a(, ) : V V R που ορίζεται ως εξής a(v,w) = (A 1/2 v,a 1/2 w), και γράφουµε το (11) στην παρακάτω µεταβολική µορφή: Ζητούµε µία συνάρτηση u(t) V, t J, τέτοια ώστε { a(u (t),v) = (B(t,u(t)),v), v V, t J, u(0) = u 0 (12) Αν V h ένας πεπερασµένης διάστασης υπόχωϱος του V, το αντίστοιχο ηµιδιακριτό πρόβληµα του (12) είναι το εξής: Ζητούµε µία συνάρτηση u h (t) V h, t J, τέτοια ώστε { a(u h (t),χ) = (B(t,u h (t)),χ), χ V h, t J, u h (0) = u 0 h, (13) όπου u 0 h V h είναι µία δοσµένη προσέγγιση της u 0 ΣυµβολίϹουµε µε T, T : V V, Tf := v, τον τελεστή λύσεως αυτού του προϐλήµατος Ισχύει εποµένως ότι, a(tf,w) = (f,w), w V (14) Ορίζουµε στη συνέχεια τον τελεστή της ελλειπτικής προβολής στον V h, R h : V V h, ως a(r h v,χ) = a(v,χ), χ V h (15) 1

προσεγγιστικές ιδιότητες για την ελλειπτική προβολή R h Υποθέτουµε λοιπόν τα εξής: Υπόθεση 1: Η R h v είναι µία προσέγγιση της v τάξεως r Συγκεκριµένα, για αρκετά οµαλή συνάρτηση v, όπου N(v) είναι ϕραγµένο αν µία κατάλληλη νόρµα της v είναι ϕραγµένη Υπόθεση 2: Υπάρχει σταθερά C, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε, v R h v +h d/2 v R h v N(v)h r, (16) v R h v Ch d/2 v, v V (17) Θέτουµε τώρα M = {v V : t J u(t) v < 1} και υποθέτουµε για τους τελεστές B και TB τα εξής: Υπόθεση 3: Υπάρχει σταθερά L 1, ανεξάρτητη των t και h, τέτοια ώστε όπου η νόρµα στον V B(t,v) B(t,W(t)) L 1 v W(t), v M, t J, (18) Υπόθεση 4: Υπάρχει σταθερά L 2, ανεξάρτητη των t και h, τέτοια ώστε TB(t,v) TB(t,W(t)) L 2 v W(t), v M, t J, (19) µε W(t) = R h u(t) ΚατασκευάϹουµε λοιπόν προσεγγίσεις του (13) όπως ϑα κατασκευάζαµε για το ακόλουθο πρόβλη- µα αρχικών τιµών: Ζητούµε y : J R, τέτοια ώστε y = f(t,y), y(0) = y 0, t J, (110) όπου f : J R R Μία κατηγορία µεθόδων για την προσέγγιση της λύσεως του προβλήµατος αρχικών τιµών (110) είναι οι άµεσες πολυϐηµατικές µέθοδοι, που περιγράφονται ως εξής: Θεωρούµε µία διαµέριση του J, t n = nk, n = 0,,N, k = t /N Με µία άµεση q ϐηµατική µέθοδο κατασκευάϲουµε προσεγγίσεις Y n της y n := y(t n ),n = q,,n, ως εξής: q q 1 α j Y n+j = k β j f(t n+j,y n+j ), n = 0,,N q, (111) j=0 j=0 όπου α j, j = 0,,q, και β j, j = 0,,q 1, δοσµένες πραγµατικές σταθερές και Y 0,,Y q 1 δοσµένες προσεγγίσεις των y 0,,y q 1 Η µέθοδος (111) για το πρόβληµα (13) παίρνει τη µορφή: Ζητούµε U n V h, 0 n N, τέτοιες ώστε να ικανοποιούν q j=0 q 1 α j a(u n+j,χ) = k β j (B(t n+j,u n+j ),χ), χ V h, n = 0,,N q, (112) j=0 Αν η µέθοδος (111) είναι ευσταθής, έχει τάξη p N και η λύση u του (11) είναι αρκετά οµαλή, τότε για h και k αρκετά µικρά, υπάρχει σταθερά C ανεξάρτητη των k και h τέτοια ώστε max 0 n N un U n C ( k p +h r d/2) και max 0 n N un U n C ( k p +h r) (113) Εφαρµόζουµε τα αφηρηµένα αποτελέσµατα σε συγκεκριµένα παραδείγµατα Πιο αναλυτικά: 2

Α Στην εξίσωση του Rosenau στο R m, m 3, u t + 2 u t = f(u), στο Ω J u = u n = 0, στο Ω J u(,0) = u 0, στο Ω, (114) όπου Ω ένα ϕραγµένο χωρίο του R m, m 3, µε οµαλό σύνορο Ω, u 0 δοσµένη συνάρτηση αρκετά οµαλή και f : R R m συνάρτηση µε οµαλές συνιστώσες Β Σε µία γενικευµένη εξίσωση τύπου Sobolev σε µία χωρική διάσταση, (b(x)u tx ) x +c(x)u t = (γ(x,t,u)u x ) x +δ(x,t,u)u x +ε(x,t,u), για x R, t J, u(x,0) = u 0 (x), για x R, u(x+1,t) = u(x,t), για (x,t) R J (115) Οι b και c είναι αυστηρά ϑετικές, συνεχώς παραγωγίσιµες συναρτήσεις του x, 1 περιοδικές Οι γ, δ και ε είναι συνεχώς παραγωγίσιµες συναρτήσεις των x, t και u, 1 περιοδικές ως προς x Γ Σε µία ψευδοπαραβολική εξίσωση στον R m, m = 2,3, u t (x,t) η u t (x,t) = λ u(x,t), στο Ω J, (116) u(,0) = u 0, στο Ω, (117) u = 0, στο Ω J, (118) όπου u 0 δοσµένη οµαλή συνάρτηση και Ω ϕραγµένο χωρίο του R m, m 3, µε οµαλό σύνορο Ω, η > 0 και λ R Σε ένα σύστηµα εξισώσεων τύπου Boussinesq, u t 1 6 u xxt = B(u), στο [0,L 0] J u(,0) = u 0, στο [0,L 0 ], u = 0, στο {0,L 0 } J, (119) όπουu 0 είναι δοσµένη αρκετά οµαλή διανυσµατική συνάρτηση,b : [0,L 0 ] J R 2,B(v) = ( (v 2 ) x (v 1 v 2 ) x, (v 1 ) x v 2 (v 2 ) x ), και συµβολίζουµε µε v x = ((v 1 ) x,(v 2 ) x ) 2 A finite volume method based on the Crouzeix Raviart element for elliptic pde s in two dimensions, Numeriche Mathematik, 82, 409 432, (1999) Σε αυτή την εργασία αναλύουµε µια µεθόδο πεπερασµένων χωρίων για τη διακριτοποίηση γραµµικών ελλειπτικών εξισώσεων δεύτερης τάξεως σε ένα ϕραγµένο, κυρτό, πολυγωνικό χωρίο Ω R 2, της µορφής div(a u)+σu = f, στο Ω, u = 0, στο Ω, (21) όπου A = (a ij ) 2 i,j=1 ένας δοσµένος πίνακας πραγµατικών συναρτήσεων a ij W 1, (Ω), 1 i,j 2, και σ µία οµαλή, µη αρνητική συνάρτηση στο Ω, ϕραγµένη οµοιόµοϱφα από πάνω από µία σταθερά σ Οι µέθοδοι πεπερασµένων χωρίων (finite volume methods) µπορούν να υλοποιηθούν µε τη χρήση είτε πεπεϱασµένων διαφορών είτε πεπεϱασµένων στοιχείων, στη δεύτερη περίπτωση καλούνται και finite volume element methods ή covolume methods Εχουν ευρέως χρησιµοποιηθεί, κυρίως ως σχήµατα πεπεϱασµένων διαφορών, για τη διακριτοποίηση προβληµάτων που συναντούµε στη µηχανική των ϱευστών και γενικότερα σε προϐλήµατα νόµων διατήρησης Εµείς µελετούµε σχήµατα των οποίων η λύση ανήκει σε ένα χώρο πεπεϱασµένων στοιχείων Πιο συγκεκριµένα κατασκευάζουµε ένα σχήµα πεπερασµένων 3

e 3 m e e e 1 Ke1 K e3 z K K e2 e 2 Σχήµα 1: Αριστερά: Με διακεκοµµένες γραµµές το χωρίο b e εξιά: Ενα τρίγωνο Κ διαµερισµένο σε τρία υποτρίγωνα K e χωρίων όπου Ϲητούµε µία προσεγγιστική λύση στο χώρο των όχι κατ ανάγκη συνεχών, κατά τµήµατα γραµµικών συναϱτήσεων, δηλαδή το χώρο πεπεϱασµένων στοιχείων των Crouzeix Raviart σε έναν τριγωνισµό T h του Ω, και αποδεικνύουµε ϐέλτιστης τάξης εκτιµήσεις σφάλµατος τόσο στην H 1 όσο και στην L 2 νόρµα Πριν περιγραψουµε το αριθµητικό σχήµα, ϑα εισάγουµε κάποιο συµβολισµό Αν K T h, ένα δοσµένο τρίγωνο, έστω E h (K) το σύνολο των πλευρών του K, E h = K Th E h (K) και Eh in το σύνολο των εσωτερικών πλευρών του T h Επίσης, συµβολίζουµε µε m e το µέσον της πλευράς e E h Κατασκευάζουµε ακόµα την πεπερασµένη συλλογή χωρίων B n Θεωρούµε ένα εσωτερικό σηµέιο z K του K T h και το συνδέουµε µε ευθυγραµµα τµήµατα µε τις κορυφες του K Ετσι διαµερίζουµε το K σε τρία µικρότερα τρίγωνα K e, e E h (K) Τωρα µε κάθε πλευρα e Eh in συσχετίζουµε ένα χωρίο b e που αποτελείται από δυο υποχωρία K e, µε κοινή πλευρά την e (ϐλ Σχήµα 1) και ϑέτουµε B n = {b e : e Eh in} Τα χωρια b e B n καλούνται χωρία ελέγχου (control volumes) Θεωρούµε, ακόµα το χώρο των πεπερασµένων στοιχείων S h που αποτελείται από τις όχι κατ ανάγκη συνεχείς συναρτήσεις, οι οποίες περιορισµένες σε κάθε τρίγωνο K T h είναι γραµµικά πολυώνυµα και είναι συνεχείς στα σηµείαm e,e Eh in Επειδή, λοιπόν, τα στοιχεία του χώρουs h είναι συναρτήσεις που δεν είναι κατ ανάγκη συνεχείς σε µία πλευράe Eh in τον ονοµάζουµε χώρο µη προσαρµοζόµενων (nonconforming) τµηµατικά γραµµικών συναρτήσεων Ακόµα, συµβολίϲουµε µε Sh 0 τον υπόχωρο {v S h : v(m e ) = 0, e E h \Eh in } Επίσης µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι ο S h δεν είναι υπόχωρος του H 1 (Ω) Η κατασκευή της µεθόδου πεπερασµένων χωρίων στηρίζεται όχι σε µία (ολική) διγραµµική µορφή, όπως η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων αλλά σε µία τοπική ιδιότητα της λύσεως: Θεωρούµε λοιπόν µία πλευρά e Eh in και το αντίστοιχο χωρίο b e Ολοκληρώνουµε µετά την (21) στο b e και εφαρµόζουµε τον τύπο ολοκλήρωσης του Green Ετσι, λαµβάνουµε A u nds+ σudx = f dx (22) b e b e b e Εχοντας υπόψιν την εξίσωση (22), ϑεωρούµε την ακόλουθη διακριτή µέϑοδο για την (21): Ζητείται u B Sh 0 τέτοια ώστε A u B nds+u B (m e ) σdx = f dx, e E in h (23) b e b e b e Αξίζει να παρατηρήσουµε ότι στην περίπτωση της εξίσωσης του Poisson η µέθοδος πεπεϱασµένων χωρίων, είτε χρησι- µοποιούµε συνεχείς κατά τµήµατα γραµµικές συναρτήσεις είτε συναρτήσεις του χώρου των Crouzeix Raviart, και οι αντίστοιχες µέθοδοι πεπερασµένων στοιχείων είναι ισοδύναµες µε γραµµικά συστήµατα που διαφέρουν µόνο στο δεξιό µέλος Αυτή όµως η ιδιότητα δεν διατηρείται και στην περίπτωση ενός γενικότερου ελλειπτικού τελεστή Αν τώρα συµβολίσουµε µε s,k και s,k τη νόρµα και την ηµινόρµα του χώρου Sobolev H s (K), µε K R 2, s N, s,h, v s,h = { K T h v 2 s,k }1/2, s N, και h, v 2 h = ( v 2 1,h + (σ)v 2 ), για το αριθµητικό 0,Ω σχήµα (23), αποδεικνύουµε τις ακόλουθες εκτιµήσεις σφάλµατος: ( ) 1/2 u u h h C h 2 K u 2 2,K, (24) K T h 4

και, αν f H 1 (Ω), a ij C 2 (Ω), 1 i,j 2, σ C 1 (Ω) και z K είναι το ϐαρύκεντρο του K, u u h 0,Ω Ch 2( u 2,Ω + f 1,Ω ) (25) 3 Finite volume methods for elliptic pde s: A new approach, M2AN Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 36, 307 324, (2002) Σε αυτή την εργασία αναλύουµε µεθόδους πεπερασµένων χωρίων για τη διακριτοποίηση γραµµικών ελλειπτικών εξισώσεων δεύτερης τάξεως σε ένα ϕραγµένο, κυρτό, πολυγωνικό χωρίο Ω R 2, της µορφής: Για δοσµένη συνάρτηση f L 2 (Ω), αναζητούµε µια συνάρτηση u : Ω R που ικανοποιεί Lu = f στο Ω και u = 0 στο Ω, (31) όπου Lv div(a v) και A = (a ij ) 2 i,j=1 ένας δοσµένος πίνακας πραγµατικών συναρτήσεων a ij W 1, (Ω), 1 i,j 2 Η διαφορά µε την [1] ϐρίσκεται στον τρόπο ανάλυσης των µεθόδων καθώς και στο γεγονός ότι µελετούµε τρείς επιπλέον µεθόδους πεπερασµένων χωρίων Οι µέθοδοι που ϑεωρούµε προκύπτουν προσεγγίζοντας τα ολοκληρώµατα στη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων Χρησιµοποιώντας το τύπο του Green σε κάθε τρίγωνοk ενός δοσµένου τριγωνισµούt h τουω, η µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων µπορεί να γραφεί στη µορφή: Βρείτε u h V h, τέτοιο ώστε h{ (A u h ) nχds+ Lu h χdx } = fχdx, χ V h (32) K T K K Ω Ο χώρος πεπερασµένων στοιχείωνv h µπορεί να είναι είτε ο χώρος των συνεχών κατά τµήµατα γραµµικών συναρτησέων στο T h µε µηδέν συνοριακές συνθήκες ή στο χώρο των όχι κατ ανάγκη συνεχών, κατά τµήµατα γραµµικών συναϱτήσεων, δηλαδή το χώρο πεπεϱασµένων στοιχείων των Crouzeix Raviart που µηδενίζονται στο µέσο της πλευράς που ανήκει στο Ω Συµβολίζουµε αυτούς τους χώρους ως Xh 0 και S0 h, αντίστοιχα Προσεγγίζουµε τον πρώτο όρο της (32) µε (A u h ) nq K 2 χds και τους επόµενους µε Lu h Q 1 χdx, και f Q 1 χdx, αντίστοιχα, όπου Q K 2 wds, και Q1 wdx ορίζουν κανόνες αριθµητικής ολοκλήρωσης σε µια και δύο διαστάσεις, αντίστοιχα Οπότε, ϑεωρούµε τη διακριτή µέθοδο: Ζητείται u h V h, τέτοια ώστε K T h{ K (A u h ) nq K 2 χds+ K Lu h Q 1 χdx } = f Q 1 χdx, χ V h, (33) Ω και δείχνουµε ϐέλτιστης τάξεως εκτιµήσεις σφάλµατος στην H 1 και L 2 νόρµα Για το διακριτό σχήµα (33) δείχνουµε τις ακόλουθες εκτιµήσεις σφάλµατος: u u h 1,h Ch u H 2, (34) και αν f W 1,p (Ω), 1 < p 2, και a ij W 2, (Ω), 1 i,j 2, u u h L 2 Ch 2( u H 2 + f W 1,p), (35) όπου η (35) ισχύει αν K Q 1χdx = K χdx, για κάθε γραµµική συνάρτηση χ στο τρίγωνο K T h και 1,h = { K T h 2 H 1 (K) }1/2 Η απόδειξη αυτών των εκτιµήσεων ϐασίζεται στις υπόθέσεις για τις προσεγγιστικές ιδιότητες των Q 1 και Q K 2 Για συγκεκριµµένα παραδείγµατα τελεστών Q 1 και Q K 2 έχουµε ισοδύναµα διακριτά σχήµατα µε τη µέθοδο των πεπερασµένων χωρίων Εφαρµογές που καλύπτονται από αυτή την προσσέγγιση είναι οι κλασσικές µέθοδοι πεπερασµένων χωρίων µε συνεχείς κατά τµήµατα γραµµικές προσεγγίσεις και µε τις όχι κατ ανάγκη συνεχείς κατά τµήµατα γραµµικές προσεγγίσεις και δύο ακόµα σχήµατα µε επικαλυπτόµενα χωρία ελέγχου Θεωρούµε τις ακόλουθες πεπερασµένες συλλογές χωρίων ελέγχου B c και B n Για K T h ϑέτουµε ως Z h (K) και E h (K) τις κορυφές και τις πλευρές του K, αντίστοιχα επίσης Z h = K Th Z h (K), E h = K Th E h (K) και Zh in και Eh in τις εσωτερικές κορυφές και πλευρές, αντίστοιχα του T h, Eh ext = E h \Eh in και m e το µέσο της πλευράς e E h 5

z 2 z z e N e z z e S z 1 A z1 z K Az 2 ez 1 Az 3 mez1 z 3 Σχήµα 2: Αριστερά: Ενα τυχαίο χωρίο V z Με διακεκοµµένες γραµµές το αντίστοιχο χωρίο b z εξιά: Ενα τρίγωνο K T h διαµερισµένο σε τρία υποχωρία A z Κατασκευάζουµε τιςb c καιb e κατά τον ακόλουθο τρόπο: Σε κάθε τρίγωνοk T h ϑεωρούµε ένα εσωτερικό σηµείο z K το οποίο συνδέουµε µε το µέσο των πλευρών του K Ετσι διαµερίζουµε το K σε τρία υποχωρία A z, z Z h (K) Με κάθε κορυφή z Zh in συσχετίζουµε ένα χωρίο b z, που αποτελείται από την ένωση των υποχωρίων A z µε κοινή κορυφή τη z και ϑέτουµε B c = {b z : z Zh in} Επίσης συνδέοντας το εσωτερικό σηµείοz K τουk T h µε τις κορυφές τουk, διαµερίζουµε τοk σε τρία υποχωρία K e, e E h (K) Τώρα µε κάθε πλευρά e Eh in συσχετίζουµε ένα χωρίο b e το οποίο αποτελείται από τα δύο υποχωρία K e,µε κοινή πλευρά e και ϑέτουµε B n = {b e : e Eh in} Οι µέθοδοι πεπερασµένων χωρίων µε χωρία ελέγχου από τάb c και B e, έχουν αναλυθεί από πολλούς ερευνητές Για κατάλληλους τελεστέςq 1 καιq K 2, αποτελούν παραδείγµατα της (33) Επίσης, ϑεωρούµε νέες µεθόδους πεπερασµένων χωρίων µε τη χαρακτηριστική ιδιότητα ότι τα χωρία ελέγχου είναι επικαλυπτόµενα Στην περίπτωση όπου V h είναι ο Xh 0 ϑέτουµε Q 1 χ K = χ(z)q Az, και Q K 2 χ e = χ(ze N )qe N +χ(ze)q S e S χ Xh, 0 (36) z Z h (K) µε q Az συµβολίζουµε τη χαρακτηριστική συνάρτηση του A z και µε qe N και qs e, τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις των ευθύγραµµων τµηµάτων που συνδέουν το µέσο της e µε τις αντίστοιχες κορυφές της ze N και zs e Αν ο V h είναι ο Sh 0, τότε ϑέτουµε Q 1 χ K = χ(m e )q Ke, και Q K 2 χ e = χ(m e), χ Sh 0, (37) e E h (K) όπου K T h, K e T h (K) είναι τα χωρία στα οποία διαµερίσαµε το K κατά την κατασκευή των χωρίων ελέγχου B n και µε q Ke συµβολίζουµε τη χαρακτηριστική συνάρτηση του K e Παρατηρήστε ότι αν το z K είναι το ϐαρύκεντρο του K τότε και για τα δύο παραδείγµατα του Q 1 που ϑεωρήσαµε παραπάνω έχουµε, K Q 1χdx = χ, για κάθε γραµµική K συνάρτηση χ στο K Τότε, η διακριτή µέθοδος (33) µπορεί να γραφεί ισοδύναµα στην κλασσική τοπική µορφή των µεθόδων πεπερασµένων χωρίων, δηλαδή για το πρώτο παράδειγµα: Ζητείται u h Xh 0 τέτοια ώστε (A u h ) nds = f dx, z Z in h, (Μέθοδος Ι), (38) b z b z και για το δεύτερο παράδειγµα: Ζητείται u h Sh 0 τέτοιο ώστε (A u h ) nds = f dx, e E in h, (Μέθοδος ΙΙ) (39) b e b e ιαφορετική επιλογή τελεστών Q 1 και Q K 2 οδηγεί σε νέες µεθόδους πεπερασµένων χωρίων Οι οποίες, όµως, δεν ειναι συντηρητικές στα χωρία ελέγχου Στην περίπτωση που V h είναι ο Xh 0 ϑέτουµε Q 1 χ K = 1 3 z Z h (K) χ(z), και Q K 2 χ e = 1 2 (χ(zn e )+χ(zs e )) χ X0 h, (310) 6

όπου ze N και zs e οι αντίστοιχες κορυφές της e Αν τώρα ο V h είναι ο Sh 0, τότε ϑέτουµε Q 1 χ K = 1 3 e E h (K) χ(m e ), και Q K 2 χ e = χ(m e ), χ S 0 h (311) Στην περίπτωση της εξίσωσης του Poisson η διακριτή µέθοδος (33) µπορεί να γραφεί ισοδύναµα: Ζητείταιu h Xh 0 τέτοια ώστε (A u h ) nds = 2 f dx, z Z in V z 3 h, (Μέθοδος ΙΙΙ), (312) V z ή Ϲητείται u h Sh 0 τέτοια ώστε ( u h ) nds = 1 f dx, e E in V e 3 h, V e (Μέθοδος IV), (313) όπου V z και V e είναι η ένωση των τριγωνών µε κοινή κορυφή τη z και κοινή πλευρά την e, αντίστοιχα Τά αντίστοιχα διακριτά σχήµατα για την (31) είναι: Ζητείται u h Xh 0 τέτοια ώστε (A u h ) nds+ 1 V z 2 e E h (Vz) e [A u h ] n e ds = V z f dx, z Z in h, (Μέθοδος ΙΙΙ), (314) και Ϲητείται u h Sh 0 τέτοια ώστε (A u h ) nds+2 [A u h ] n e ds = f dx, e E in h, V e e V e (Μέθοδος ΙV), (315) όπου [A(x) χ] n e = (A(x) χ K +e) n e (A(x) χ K e) n e, x e, χ X 0 h, (316) όπου µε K +e, K e συµβολίζουµε τα δύο τρίγωνα µε κοινή πλευρά e E in h και n e το κανονικό εξωτερικό διάνυσµα της e E h (K +e ) και E h (V z) = {e E h : z e} Βιβλιογραφία [1] P Chatzipantelidis, A finite volume method based on the Crouzeix Raviart element for elliptic pde s in two dimensions, Numeriche Mathematik, 82, 409 432, (1999) 4 On solving elliptic stochastic partial differential equations, (σε συνεργασία µε τον I Babuška), Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, (191), 4093 4122, (2002) Σε αυτή την εργασία µελετούµε ένα στοχαστικό πρόβληµα συνοριακών τιµών της µορφής: οσµένης f L 2 (D), να ϐρεθεί µια συνάρτηση ũ : D R, τέτοια ώστε Ãũ = f, στο D, ũ = 0, στο D, (41) όπου D είναι ένα ϕραγµένο χωρίο του R k, k = 1,2,3, Ãv = div(ã v) και ã τέτοια ώστε υπάρχουν α 1,α 2 > 0, α 1 ã α 2, σπ στο D (42) Υποθέτουµε ότι η ã είναι µια πραγµατική στοχαστική συνάρτηση Τότε υπάρχει µοναδική στοχαστική λύση ũ Για να απλοποιήσουµε την ανάλυση υποθέτουµε ότι η f είναι µια ντετερµινιστική συνάρτηση και η ã είναι ϐαθµωτή συνάρτηση 7

Υποθέτουµε ότι υπάρχει ένας πεπερασµένος γραµµικός συνδυασµός γραµµικώς ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών X n, n = 1,,K, K N, πού έχουν µέση τιµή µηδέν, διασπορά ένα, ϕραγµένες εικόνες και συνάρτηση πυκνότητας, τέτοιες ώστε K ã = E[ã]+ b n X n, (43) όπου E[ã] είναι η µέση τιµή της ã και b n είναι πραγµατικές, οµοιόµορφα ϕραγµένες, µή τυχαίες συναρτήσεις Τότε, σύµφωνα µε το Λήµµα των Doob Dynkin, µπορούµε να γραψουµε το αρχικό πρόβληµα ισοδύναµµα ως ένα ντετερµινιστικό n=1 Au = f, στο D Γ, u = 0, στο D Γ, (44) όπου Av = div(a v), και µε div και συµβολίζουµε παραγώγιση µόνο ως προς τη µεταβλητή x, a(x,y) = E[ã](x)+ K b n (x)y n, (45) y = (y 1,,y K ), y Γ = Γ 1 Γ K και Γ n είναι οι ϕραγµένες εικόνες των τυχαίων µεταβλητών X n, n = 1,,K είχνουµε ύπαρξη και µοναδικότητα της λύσης u του (44) σε έναν κατάλληλο χώρο συναρτήσεων Sobolev Λόγω του αναπτύγµατος Karhunen Loeve, η (43) µπορεί να ϑεωρηθεί ως αποκοπή της σειράς αναπτύγµατος των Karhunen Loeve Παρόλα αυτά, αυτή η αποκοπή µπορεί να οδηγήσει σε ένα πρόβληµα της µορφής (44), το οποίο δεν ϑα έχει λύση Θεωρούµε µια οικογένεια τυχαίων συναρτήσεων ã, που χρησιµοποιούνται στη ϐιβλιογραφια, όπου τα αντίστοιχα διαταραγµένα πρόβληµατα δεν έχουν λύση, µε µή µηδενική πιθανότητα Εποµένως, είναι αναγκαίο να ϑεωρήσουµε επιπλέον υποθέσεις σχετικά µε το ανάπτυµα των Karhunen Loeve Μελετούµε ακόµα διαταραχές του (44) που προκύπτουν αν αντικαταστήσουµε την a µε a N (x,y) = E[ã](x)+ n=1 N b n (x)y n, 1 N K (46) n=1 είχνουµε ύπαρξη και µοναδικότητα της λύσεως αυτών των προβληµάτων καθώς και εκτιµήσεις σφάλµατος ανάµεσα στις λύσεις αυτών και του (44), σε κατάλληλες νόρµες Sobolev Επίσης κατασκευάζουµε προσεγγίσεις του (44) συνδυάζοντας την (43) µε το ανάπτυγµα σε σειρά τύπου Neumann Γράφουµε τον τελεστή A του (44) ως A = Φ+Ψ, όπου Φ και Ψ πρόκύπτουν αν αντικαταστήσουµε τον συντελεστη a του A, µε E[ã] και K n=1 b ny n, αντίστοιχα Χρησιµοποιώντας την ελλειπτική οµαλότητα του A µπορούµε να δείξουµε την υπάρξη των Φ 1, (I +Φ 1 Ψ) 1 καθώς και A 1 = n=0 ( 1)n (Φ 1 Ψ) n Φ 1 Τότε οι συναρτήσεις U k, οι οποίες ορίζονται αναδροµικά ως U 0 = Φ 1 f, U k = (Φ 1 Ψ)U k 1, k 1, (47) µπορούν να συνδυαστούν ώστε να προσεγγίσουµε τη λύση του (44) Επιπλέον δείχνουµε εκτιµήσεις σφάλµατος αυτής της προσέγγισης σε κατάλληλες νόρµες Sobolev Αν και κάθε συνάρτηση U k είναι ορισµένη σέ ένα χώρο µεγάλης διάστασης, µπορούµε να δείξουµε ότι αυτές οι συναρτήσεις ορίζονται ως ένας κατάλληλος συνδυασµός συναρτήσεων που είναι λύσεις προβληµάτων της µορφής ΦU = g, (48) µε κατάλληλες συναρτήσεις g L 2 (D) είχνουµε ότι αυτή η µέθοδος συγκλίνει όταν υπάρχει η λύση του (44) Η τάξη της σύγκλισης εξαρτάται από πολλόυς παράγοντες Θεωρούµε ακόµα µια παραλλαγή της παραπάνω µεθόδου όπου ϐελτιώνουµε την τάξη σύγκλισης Τέλος παρουσιάζουµε ορισµένα αριθµητικά αποτελέσµατα για την καλύτερη παρουσίαση των ϑεωρητικών αποτελεσµάτων 8

5 α The finite volume element method in nonconvex polygonal domains, (σε συνεργασία µε τον R Lazarov), Finite Volumes for Complex Applications III, ed R Herbin και D Kröner, Lab Anal Topol Probab CNRS, Marseille, 157 164, (2002), και ϐ Error estimates for a finite volume element method for elliptic PDEs in nonconvex polygonal domains, (σε συνεργασία µε τον R Lazarov), SIAM Journal on Numerical Analysis, (42), 1932 1958, (2005) Σε αυτές τις εργασίες µελετούµε τη κλασική µέθοδο πεπερασµένων χωρίων, ϐλ Μέθοδο Ι, [2], για τη διακριτοποίηση δευτέρου ϐαθµού ελλειπτικών µερικών διαφορικών εξισώσεων σε ένα µη-κυρτό πολυγωνικό χωρίο Ω R 2 µε συνοριακές συνθήκες Dirichlet Ετσι, για δοσµένη συνάρτηση f, αναζητούµε u τέτοια ώστε Lu = f, στο Ω, και u = 0 στο Ω, (51) µε Lv div(a v), A = A(x) = (a ij ) 2 i,j=1 ένας συµµετρικός πίνακας πραγµατικών συναρτήσεων a ij W 1,, 1 i, j 2 Υποθέτουµε επίσης ότι ο A(x) είναι οµοιόµορφα ϑετικά ορισµένος Θεωρούµε, τότε το ακόλουθο σχήµα πεπερασµένων χωρίων, ϐλέπε [2]: Αναζητούµε u h Xh 0 τέτοια ώστε (A u h ) nds = f dx, z Z in h, (52) b z b z όπου ο χώρος πεπερασµένων στοιχείων Xh 0 και τα χωρία ελέγχου b z δίνονται όπως στη Μέθοδο Ι της [2] Σκοπός µας είναι να µελετήσουµε την επιρροή των ιδιάζουσων γωνιών και της ανεπαρκής οµαλότητας του δεξιού µέλους f, πχ f L p (Ω), p < 2, ή f H l (Ω), 0 l < 1/2, στην τάξη σύγκλισης του σχήµατος πεπερασµένων χωρίων Η ανάλυση των εκτιµήσεων στην H 1 και L 2 νόρµα ϐασίζεται στην [2] και χρησιµοποιεί γνωστές εκτιµήσεις οµαλότητας των λύσεων ελλειπτικών προβληµάτων συνοριακών τιµών Για ευκολία υποθέτουµε ότι το Ω έχει µόνο µια γωνία µεγαλύτερη από π, ω 0 (π,2π) Είναι γνωστό ότι υπάρχει µοναδική λύση u H0 1 του (52) Επιπλέον, µπορούµε να γράψουµε τη u ως u = c 0w 0 +v, όπου v W 2,p H0 1, c 0 είναι σταθερά και w 0 = r λm 1 ω0λ m sin(λ m θ)η(re iθ ) Με λ m = mπ ω 0, m N, η είναι µια συνάρτηση αποκοπής (cutoff) γύρω από τη κορυφή S 0 και µηδέν µακρυά της S 0 και (r,θ) είναι οι πολικές συντεταγµένες ως προς τη S 0 µε γωνία 2 ω 0 Σηµαντικό ϱόλο στον καθορισµό της οµαλότητας της u έχει η σταθερά p 0 2 π/ω 0 Σύµφωνα µε το [3], έχουµε ότι όπου p = αν f L p, p > 1, τότε u W 2 p, (53) { p, p < pω, γ, κάθε γ < p ω, p p ω, p ω Επιπλέον χρησιµοποιόντας την εµφύτευση W 2 p H 1+s, για s = 2 2/ p, έχουµε: 2 2 π/ω (54) αν f L p, p > 1, τότε u H 1+s, για s = 2 (55) 2 p Επίσης, για το πρόβληµα (51), µε A = I έχουµε, ϐλέπε [1]: όπου s = αν f H l, 0 l 1, τότε u H 1+s, (56) { 1 l, s0 < l 1, δ, κάθε δ < π/ω, 0 l s 0, s 0 = 2 p 0 1 = 1 π ω (57) Ετσι αν u h είναι η προσεγγιστική λύση του αντίστοιχου προβλήµατος πεπερασµένων στοιχείων, δηλαδή A u h χdx = fχdx, χ Xh 0, (58) Ω Ω 9

τότε u u h +h δ u u h H 1 Ch s+δ { u H 1+s, u W 2 p, για κάθε δ < π/ω, (59) όπου s δίνεται από την (55) ή (57), p από (54) και ω είναι η µη κυρτή γωνία του Ω Αποδεικνύουµε τότε τα ακόλουθα Θεωρήµατα Θεώρηµα 51 Εστω u καιu h οι λύσεις των (51) και (52), αντίστοιχα, µε f L p, p > 1 Τότε υπάρχει µια σταθεράc, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε u u h H 1 C ( h s u W 2 p +h min(1,2 2/p) f Lp ) Ch s f Lp, (510) u u h C ( h s+δ u W 2 p +h min(1,s+δ) f Lp ), για κάθε δ < π/ω, (511) όπου p και s δίνονται από τις (54) και (55), αντίστοιχα Παρατήρηση 51 Η H 1 norm εκτίµηση σφάλµατος (510) είναι ϐέλτιστης τάξης Οµως η L 2 norm εκτίµηση σφάλ- µατος δεν είναι της ίδιας τάξης µε τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων, ϐλ (59), για κάθε p Παραδείγµατος χάριν, για p αρκετά κοντά στο 1, s + δ < 1, οπότε, u u h = O(h s+δ ) Οµως για p 2, s = 2 2/ p π/ω Οπότε, αφού s+δ 2π/ω > 1, u u h = O(h) Το πιο ενδιαφέρον αποτέλεσµα αυτού του Θεωρήµατος είναι ότι η τάξη σύγκλισης για την L 2 norm δεν είναι ϐέλτιστη και µάλιστα είναι µικρότερη από τη µη ϐέλτιστη τάξη της µεθόδου πεπερασµένων στοιχείων (58) Αυτό το ϑεωρητικό αποτέλεσµα είναι ακριβές όπως ϕαίνεται από ένα αντιπαράδειγµα που παρουσιάζεται στην [4], για κυρτά χωρία και από ενά τροποποιηµένο παράδειγµα που παρουσιάζουµε σε αυτή την εργασία για µή κυρτά χωρία Στην περίπτωση, που τα δεδοµένα, f, είναι περισσότερο οµαλά, µπορούµε να ϐελτιώσουµε την τάξη σύγκλισης της µεθόδου: Θεώρηµα 52 Εστω u και u h οι λύσεις των (51) και (52), αντίστοιχα Εστω ότι f Wα t, 1 < α 2, 0 < t 1, A W 2 Τότε υπάρχει µια σταθερά C, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε ) u u h C (h s+δ f Lp +h 1+t+min(0,1 2/α+δ) f W, για κάθε δ < π/ω, (512) ta µε p = 2α/(2 tα), και p και s δίνονται από τις (54) και (55), αντίστοιχα Παρατήρηση 52 Γιαα < p ω = 2pω 3p ω 2, έχουµε2/α > 1+π/ω Οπότε1+t+min(0,1 2/α+δ)= 2+t 2/α+δ = 2 2/p+δ s +δ Αρα, u u h = O(h s+δ ), δηλαδή, σε αυτή τη περίπτωση η L 2 norm εκτίµηση σφάλµατος της µεθόδου πεπερασµένων χωρίων έχει την ίδια τάξη σύγκλισης µε τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων Ανα p ω, δηλαδή 2/α 1+δ τότε η τάξη του σφάλµατος u u h είναι min(s+δ,1+t) Θεώρηµα 53 Εστω u και u h οι λύσεις των (51) και (52), αντίστοιχα, µε f L p, p > 1 και A W 2 Τότε υπάρχει µια σταθερά C, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε όπου s δίνεται από την (55) u u h L Ch s log 1 h f L p, (513) Θεώρηµα 54 Εστω u και u h οι λύσεις των (51) και (52), αντίστοιχα, µε A = I, και f H l, 0 l < 1/2 Τότε υπάρχει µια σταθερά C, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε όπου s δίνεται από την (57) u u h H 1 C ( h s u H 1+s +h 1 l f H l) Ch s f H l, (514) u u h C ( h s+δ u H 1+s +h 1 l f H l), για κάθε δ < π/ω, (515) 10

Θεώρηµα 55 Εστω u και u h οι λύσεις των (51) και (52), αντίστοιχα, µε A = I, και f H l, 0 l < s 0 Τότε υπάρχει µια σταθερά C, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε όπου s 0 δίνεται από την (57) u u h H 1 C 1 s 0 l hπ/ω f H l, (516) Θεώρηµα 56 Εστωuκαιu h οι λύσεις των (51) και (52), αντίστοιχα, µεa = I,f H l,0 < l < 1/2 καιa W 2 Τότε υπάρχει µια σταθερά C, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε όπου s δίνεται από την (57) u u h L Ch s log 1 h f H l, (517) Επίσης παρουσιάζουµε αριθµητικά και ϑεωρητικά παραδείγµατα που επαληθεύουν τα παραπάνω αποτελέσµατα Πίνακας 1: Θεωρητική τάξη σύγκλισης των µεθόδων Πεπερασµένων Στοιχείων και Πεπερασµένων Χωρίων σε ένα κύρτο πολυγωνικό χωρίο, όταν η ακριβής λύση u του προβλήµατος (51) είναι στον H 1+s, όπου το s ορίζεται από (55) είτε (57), και δ < π/ω p ω = 2/(2 π/ω), s 0 = 1 π/ω H 1 norm L 2 norm L norm p ω = 2p ω /(3p ω 2) FVE FE FVE FE FVE FE p ω < 2 1 < p < p ω s+δ p ω < p ω p ω < p < p ω min(1,s+δ) f L p p ω p 1 1 < α < p ω s s+δ s+δ s f Wα t p ω α 2 min(s+δ,1+t) s 0 < 1/2 l < s 0 1 l f H l s 0 < l < 1/2 1 l Βιβλιογραφία [1] C Bacuta, J H Bramble and J E Pasciak, Using finite element tools in proving shift theorems for elliptic boundary value problems, Numer Linear Algebra Appl, 10, 33 64, (2003) [2] P Chatzipantelidis, Finite volume methods for elliptic pde s: A new approach, M2AN Math Model Numer Anal, 36, 307 324, (2002) [3] P Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Massachusetts, 1985 [4] H Jianguo and X Shitong, On the finite volume element method for general self adjoint elliptic problems, SIAM J Numer Anal, 35, 1762 1774, (1998) 6 A posteriori error estimates for a finite volume method for the Stokes problem in two dimensions, (σε συνεργασία µε τους Χ Μακριδάκη και Μ Πλεξουσάκη), Applied Numerical Mathematics, 46, 45 58, (2003) Η σύνδεση των µεθόδων πεπερασµένων χωρίων µε τεχνικές αυτόµατης προσαρµογής πλέγµατος, (adaptive mesh refinement techniques), δεν έχει αναπτυχθεί, κυρίως λόγω της ελλειψης µη κατάλληλων εκτιµητών a posteriori Σε αυτή την εργασία ϑεωρούµε µια µέθοδο πεπερασµένων χωρίων για την ηµιδιακριτοποίηση του προβλήµατος Stokes σε ένα κυρτό πολυγωνικό χωρίο Ω R 2 και µελετουµε κατάλληλους εκτιµητές a posteriori Η ανάλυση ϐασίζεται στην [1], και οι εκτιµητές είναι παρόµοιοι µε αυτούς για τη αντίστοιχη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων 11

Πιο συγκεκριµένα αναζητούµε µια διανυσµατική συνάρτηση u: Ω R 2 και µια ϐαθµωτή συνάρτηση p : Ω R τέτοιες ώστε: u+ p = f, στο Ω, divu = 0, στο Ω, u = 0, στο Ω (61) Οπου f L 2 (Ω) 2 είναι το διανυσµατικό πεδίο των εξωτερικών δυνάµεων Για τη διακριτοποίηση αυτού του προβλήµατος ϑεωρούµε τη µέθοδο πεπερασµένων χωρίων που ϐασίζεται στο χώρο των Crouzeix Raviart, δηλαδή τη Μέθοδο ΙΙ της [1] Πιο συγκεκριµένα ϑεωρούµε το χώρο V h Q h, µε V h = {χ H 1 (Ω) 2 : χ P 2 1, K T h}, Q h = {ψ L 2 0 : ψ K P 0, K T h }, (62) και αναζητούµε (u h,p h ) V h Q h τέτοια ώστε u h n+ p h n = f, e E in h, (63) b e b e b e divu h = 0, K T h (64) K Οπου µε b e συµβολίζουµε τα χωρία ελέγχου, και µε K και e τα στοιχεία και τις πλευρές του τριγωνισµού Για την a priori ανάλυση αυτού του προβλήµατος παραπέµπουµε στο [2] Στη συνέχεια ϑα ορίσουµε τους εκτιµητές σφάλµατος Για µια δοσµένη πλευρά e επιλέγουµε µια τυχαία διεύθυνση n e = (n 1,n 2 ) t και συµβολίζουµε K + και K τα δύο τρίγωνα που µοιράζονται αυτή τη πλευρά Στην περίπτωση που e ανήκει στο σύνορο επιλέγουµε n e το εξωτερικό κανονικό διάνυσµα Ορίζουµε τότε και [( u h p h I)n e ] e = ( u h K p h K I)n e ( u h K + p h K +I)n e, [ u h t e ] e = ( u h K )t e ( u h K +)t e, όπου t e = ( n 2,n 1 ) t είναι το εφαπτοµενικό διάνυσµα και I ο ταυτοτικός πίνακας Για όλες τις πλευρές e E h ϑέτουµε { { [( u h p h I)n e ] e, αν e Eh in J e,n =, [ u h t e ] e, αν e Eh ιν J e,t =, (65) 0, διαφορετικά, 2 u h t e, διαφορετικά Ορίζουµε τότε τους τοπικούς εκτιµητές η K, K T h, η 2 K = K f 2 0,K + 1 2 και τον συνολικό εκτιµητή του σφάλµατος στην H 1 -νόρµα e E h (K) e 2( J e,n 2 + J e,t 2 ), (66) η = ( ηk) 2 1/2 (67) Συµβολίζουµε τα σφάλµατα µε ε = p p h και e = u u h και αποδεικνύουµε ότι K ε + h e C 1 η, (68) ( ) 1/2, C 2 η ε + h e + h 2 K f f K 0,K (69) K 12

όπου f K είναι η µέση τιµή f στο K και h e K = e Ο ίδιος εκτιµητής σφάλµατος χρησιµοποιείται και για την εκτίµηση του σφάλµατος της µεθόδου πεπερασµένων στοιχείων, ϐλ [3] Για την εκ των υστέρων εκτίµηση του σφάλµατος u u h στην L 2 νόρµα, αποδεικνύουµε u u h C η, (610) όπου και η 2 K = K 2 ( f 2 0,K + f f K 2 0,K)+ K divu h 2 0,K + 1 2 η = ( η K) 2 1/2 (611) K e E in h (K) ( e 4 J e,n 2 + e [u h ] e 2 ) 0,e, (612) µε [u h ] συµβολίζουµε τη διαφορά τιµών της u h κατά πλεύρως τηςe Παρόµοιος εκτιµητής σφάλµατος χρησιµοποιείται και για την εκτίµηση του σφάλµατος της µεθόδου πεπερασµένων στοιχείων, ϐλ [4] Βιβλιογραφία [1] P Chatzipantelidis, Finite volume methods for elliptic PDE s: a new approach, M2AN Math Model Numer Anal, 36(2), 307 324, (2002) [2] S H Chou, Analysis and convergence of a covolume method for the generalized Stokes problem, Math Comp, 66, 85 104, (1997) [3] E Dari, R Duran, C Padra, Error estimators for nonconforming finite element approximations of the Stokes problem, Math Comp, 64, 1017 1033, (1995) [4] V John, A posteriori L 2 error estimates for the nonconforming P 1 /P 0 finite element discretization of the Stokes equations, J Comp Appl Math, 96, 99 116, (1998) 7 Error estimates for a finite volume element method for parabolic equations in convex polygonal domains, (σε συνεργασία µε τους R Lazarov και V Thomée), Numerical Methods for Partial Differential Equations, 20, 650 674, (2004) Σε αυτή την εργασία ϑεωρούµε µια µέθοδο πεπερασµένων χωρίων για την ηµιδιακριτοποίηση ενός προβλήµατος αρχικών και συνοριακών τιµών της µορφής: Για δοσµένα T > 0, J [0,T], f L 2 (Ω J), και u 0 µια οµαλή πραγµατική συνάρτηση, αναζητούµε µια συνάρτηση u : Ω J R τέτοια ώστε u t +Lu = f, στο Ω J, u(t) = 0, στο Ω J, u(0) = u 0, στο Ω, (71) όπου Ω είναι ένα ϕραγµένο, κυρτό πολυγωνικό χωρίο στο R 2, Lu div(a u), A = (a ij ) 2 i,j=1 µια πραγµατική συνάρτηση σε µορφή πίνακα και A W 1, (Ω) Υπόθέτουµε επίσης ότι η A είναι οµοιόµορφα ϑετικά ορισµένη Οι µέθοδοι πεπερασµένων χωρίων ϐασίζονται σε µια τοπική ιδιότητα διατήρησης της διαφορικής εξίσωσης Ολοκλήρώνοντας την (71) σε ένα χωρίο b Ω και χρησιµοποιώντας το τύπο του Green, έχουµε u t dx (A u) nds = f dx, t J, b b b (72) u(0) = u 0 13

Εχοντας υπόψιν την (72) διακριτοποιούµε την (71) ως προς το χώρο σύµφωνα µε τη µέθοδο πεπερασµένων χωρίων Θεωρούµε και πάλι ένα τριγωνισµό T h του Ω, όπου h K είναι η διάµετρος ενός τριγώνου K T h και h = max K Th h K Χρησιµοποιούµε τον ίδιο συµβολισµό όπως και στην [1] Θεωρούµε το χώρο πεπερασµένων στοιχείων X h = {χ C(Ω) : χ K γραµµική στο K T h } και συµβολίζουµε Xh 0 τον υπόχωρο {χ X h : χ Ω = 0} Κατασκευάζουµε τα χωρία ελέγχου όπως στην Μέθοδο Ι της [1] Ετσι το ηµιδιακριτό πρόβληµα πεπερασµένων χωρίων είναι: Ζητούµε µια συνάρτησηu h (t) Xh 0 t J, τέτοια ώστε u h,t dx (A u h ) nds = f dx, z Z in h, t J, b z b z b z (73) u h (0) = u 0 h, όπου u 0 h είναι δοσµένη προσέγγιση της u0 Το αντίστοιχο ηµιδιακριτό πρόβληµα πεπερασµένων στοιχείων είναι: Ζητείται u h (t) Xh 0, t J, τέτοια ώστε όπου η a(, ) : H 1 0 H 1 0 R ορίζεται ως (u h,t,χ)+a(u h,χ) = (f,χ), χ V h, t J, u h (0) = u 0 h, (74) a(v,w) = Ω A v w dx Το πρόβληµα (73) µπορεί να διατυπωθεί παρόµοια µε το (74) Ετσι ϑεωρούµε το χώρο X h 0 = { χ L2 (Ω) : χ bz είναι σταθερά, z Zh in, χ b z = 0, αν z Ω}, η ϐάση αυτού του χώρου δίνεται από τις συναρτήσεις ϕ z, z Z h, οι οποίες ικανοποιούν ϕ z bz = 1 και µηδενίζονται αλλού Επίσης ϑεωρούµε το τελεστή παρεµβολής Īh : C(Ω) X h 0, Ī h v = Μπορούµε εύκολα να δούµε ότι για κάθε f L 2 (Ω) και χ Xh 0, (f,īhχ) = χ(z) f ϕ z dx = z Z Ω h z Z h v(z) ϕ z (75) z Z in h Θεωρούµε ακόµα τη διγραµµική µορφή a h (, ) : Hh 2 H2 h R που ορίζεται a h (v,w) = w(z) (A v) nds, b z z Z in h και H 2 h = H2 (Ω)+X h Τότε, µπορούµε να διατυπώσουµε την (73) ισοδύναµα, ως χ(z) f dx (76) b z (u h,t,īhχ)+a h (u h,χ) = (f,īhχ), χ X 0 h, t J, u h (0) = u 0 h (77) Η σύνδεση των µεθόδων πεπερασµένων στοιχείων και χωρίων ϐασίζεται στο γεγονός ότι µπορούµε να γράψουµε τη διγραµµική µορφή a h ισοδύναµα ως, a h (v,w) = K (Lv,Īhw) K (A v n,īhw) K, v,w H 2 h (78) Επίσης, έχουµε ότι Ī h χds = χds, χ Xh, 0 (79) e e 14

όπου e είναι µια πλευρά του T h Εποµένως, στην περίπτωση που ο πίνακας A έχει σταθερούς συντελεστές έχουµε a h (χ,ψ) = a(χ,ψ), χ,ψ Xh 0 (710) Στην περίπτωση µεταβλητών συντελεστών η παραπάνω σχέση δεν ισχύει Μπορούµε όµως να δείξουµε ότι a(χ,ψ) a h (χ,ψ) Ch χ 1 ψ 1, χ,ψ Xh 0 Για το ηµιδιακριτό πρόβληµα (77) είναι γνωστό ότι u(t) u h (t) u 0 u 0 h +Ch 2( u 0 W 3,p + u(t) W 3,p + t ( u W 3,p + u t W 3,p)dτ ), (711) 0 ϐλ πχ [2] Η απόδειξη ϐασίζεται στη χρήση της ελλειπτικής προβολής R h : H 2 H0 1 X h που ορίζεται ως a h ( R h v,η) = a h (v,η), η Y h, (712) για την οποία ισχύει ότι R h v v Ch 2 v W 3 p (713) Το δεξιό µέρος είναι ϕραγµένο για p < p 0, όπου p 0 = 2/(3 π/ω 0 ), και ω 0 είναι η µεγαλύτερη εσωτερική γωνία του Ω Αυτό, δηλώνεται από την εκτίµηση ελλειπτικής οµαλότητας v W 3 p C p Lv W 1 p, 1 < p < p 0, v W 3 p H1 0, (714) ϐλ [3] Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι σε ένα γενικό κυρτό πολυγωνικό χωρίο αυτό δεν ισχύει για p = 2 Για να πάρουµε ένα σφάλµα O(h 2 ) για τη µέθοδο (77), δείχνουµε ότι για p < p 0 t 0 u t W 3 p dτ C ( g 1 Lp + t f tt Lp dτ ), t T, (715) 0 όπου g 1 = f t (0) Lg 0 και g 0 = f(0) Lu 0 Μια διαφορετική αναλύση για να πάρουµε O(h 2 ) εκτίµηση σφάλµατος για τη µέθοδο (77), είναι να ϐασιστούµε στην κλασσική ελλειπτική προβολή R h στον υπόχωρο X 0 h, δηλ R h : H 1 0 X 0 h, Σε αυτή την περίπτωση δείχνουµε a(r h u,χ) = a(u,χ), χ X 0 h u h (t) u(t) Ch 2( u 0 H 2 + ( t ) ( u t 2 H 2 + f 2 H 1)dτ) 1/2, t T (716) Επίσης δείχνουµε την ακόλουθη εκτίµηση, t 0 0 t u t 2 H dτ C( g 0 2 2 H + f 1 t 2 dτ), t T, (717) µε την συνθήκη ότι g 0 = 0 στο Ω, έχουµε µια O(h 2 ) εκτίµηση σφάλµατος, µε λίγο διαφορετικές συνθήκες από ότι στην (715) Επίσης ϐασιζόµενοι στην ίδια µεθοδολογια ανάλυσης δείχνουµε εκτιµήσης σφάλµατος στις H 1 και L νόρµες Στη δεύτερη περίπτωση δείχνουµε 0 u h (t) u(t) L Ch β ε( log 1 h) ( u 0 H 2 + g 0 L + g 0 H 1 + g 1 + f(0) L + t f t L dτ + ( t ( f t 2 H + f tt 2 )dτ ) ) 1/2, t T, 1 0 0 (718) 15

όπου ε > 0 και β (1,2) και εξαρτάται από το χωρίο Ω και τον τελεστή L Στην περίπτωση που L =, β = π/ω Επίσης δείχνουµε ότι µακρυά από τις γωνίες του πολυγωνικού χωρίου η τάξη σύγκλισης µπορεί να ϐελτιωθεί και u h (t) u(t) L = O(h 2 log(1/h)) Επιπλέον ϑεωρούµε µια lumped mass µέθοδο πεπερασµένων χωρίων Αυτή η µέθοδος παρουσιάζει αρκετές οµοιότητες µε την αντίστοιχη lumped mass µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων µέθοδο Ζητούµε λοιπόν τώρα u h (t) Xh 0, t J, τέτοια ώστε u h,t (z,t) b z (A u h ) nds = f dx, z Z in h, t J, b z b z (719) u h (0) = u 0 h, όπου u 0 h δοσµένη προσέγγιση της u0 Θεωρούµε τώρα τον ακόλουθο κανόνα αριθµητικής ολοκλήρωσης Q K,h (f) = K 3 και το αντίστοιχο διακριτό εσωτερικό γινόµενο στον X 0 h, z Z h (K) f(z), (720) (χ,ψ) h = K Q K,h (χψ), χ,ψ X 0 h (721) Μπορούµε να δούµε ότι (χ,ψ) h = z Z ιν h χ(z)ψ(z) b z, χ,ψ X 0 h, επειδή A z = K 3 Επίσης, αν συµβολίσουµε µε h τη διακριτή νόρµα χ h (χ,χ) 1/2 h, (722) αυτή είναι ισοδύναµη µε την L 2 νόρµα στον Xh 0 Τότε η (719) µπορεί να γραφεί ισοδύναµα (u h,t,χ) h +a h (u h,χ) = (f,īhχ), χ X 0 h, t J, u h (0) = u 0 h (723) Η αντίστοιχη lumped mass µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων είναι (u h,t,χ) h +a(u h,χ) = (f,χ), χ X 0 h, t J, u h (0) = u 0 h (724) Στην περίπτωση ενός πίνακα A µε σταθερούς συντελεστές οι (723) και (724) µπορούν να διατυπωθούν ως το ίδιο σύστηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων µε διαφορετικά δεξιά µέλη είχνουµε για την (723) παρόµοια αποτελεσµατα µε την µέθοδο (77) Βιβλιογραφία [1] P Chatzipantelidis, Finite volume methods for elliptic PDE s: a new approach, M2AN Math Model Numer Anal, 36(2), 307 324, (2002) [2] Ewing, RE, Lin, T and Lin, Y, On the accuracy of the finite volume element method based on piecewise linear polynomials, SIAM J Numer Anal, 39, 1865 1888, (2002) [3] Grisvard, P, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Massachusetts, 1985 16

8 A finite volume element method for a non linear elliptic problem, (σε συνεργασία µε τους V Ginting και R Lazarov), Numerical Linear Algebra with Applications, 12, (2005), 515 546 Μελετούµε µια µέθοδο πεπερασµένων χωρίων για τη διακριτοποίηση µιας δεύτερης τάξεως, µη γραµµικής, ελλειπτικής διαφορικής εξίσωσης σε ένα πολυγωνικό χωρίο Ω R 2 Για µια δοσµένη συνάρτηση f αναζητούµε u τέτοια ώστε L(u)u (A(u) u) = f στο Ω, και u = 0, στο Ω, (81) µε A : R R κατάλληλα οµαλή συνάρτηση, τέτοια ώστε υπάρχουν σταθερές β i, i = 1,2,3, που να ικανοποιούν 0 < β 1 A(x) β 2, A (x) β 3, για x R (82) Η µέθοδος των πεπερασµένων χωρίων που µελετούµε ϐασίζεται στη προσέγγιση του νόµου διατήρησης που εκφράζει η διαφορική εξίσωση (81), δηλαδή, για κάθε χωρίο V Ω ισχύει (A(u) u) nds = f dx, (83) V V όπου n είναι το κανονικό εξωτερικό διάνυσµα του V Είναι γνωστό ότι για χωρία µε οµαλό σύνορο και f C r, µε r (0,1), υπάρχει µοναδική λύση u C 2+r, ϐλέπε πχ [3] Επίσης για f κατάλληλα µικρή, υπάρχει µοναδική λύση u H 2 H0 1 Οµως επειδή το χωρίο Ω είναι πολυγωνικό, δεν περιµένουµε η u να έχει τέτοια οµαλότητα Υποθέτουµε ότι για f L 2, το πρόβληµα (81) έχει µια λύση u Wq 2 H0 1, µε 4/3 < q 2 Παρατηρούµε ότι για να είναι η (83) καλά ορισµένη, πρέπει u H1+s µε s > 1/2 Χρησιµοποιώντας εµφύτευση Sobolev ϐλέπουµε ότι για u Wq 2, µε q > 4/3 αυτό είναι αληθές Αναζητούµε µια προσεγγιστική λύση µε τη µέθοδο των πεπερασµένων χωρίων στο χώρο των κατά τµήµατα γραµµικών συναρτήσεων X h X h (Ω) = {χ C(Ω) : χ K γραµµική, K T h ; χ Ω = 0}, όπου {T h } 0<h<1 είναι µια οικογένεια οιωνεί-οµοιόµορφων τριγωνισµών του Ω, και h δηλώνει τη µέγιστη διάµετρο των τριγώνων του T h Η συλλογή των χωρίων ελέγχου κατασκευάζεται όπως και προηγουµένως ϐλέπε Μέθοδο Ι της [1] Και η προσεγγιστική µέθοδος είναι: Ζητείται u h X h τέτοια ώστε (A(u h ) u h ) nds = f dx, z Zh 0 (84) V z V z Η µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων για το (81) είναι: Ζητείται u h X h τέτοια ώστε a(u h ;u h,χ) = (f,χ), χ X h, (85) µε Είναι γνωστό ότι u h ικανοποιεί a(v,w,φ) = A(v) w wdx Ω u h u +h (u h u) C(u,f)h 2 u h u L C p inf χ X h (u χ) W 1 p, µε p > 2 (86) Σε αυτή την εργασία αποδεικνύουµε ύπαρξη της λύσης u h του (84), χρησιµοποιώντας µια µέθοδο σταθερού σηµείου Για την ακρίβεια δείχνουµε ότι οι επαναληπτικές προσεγγίσεις παραµένουν σε µια µπάλλα της οποίας η ακτίνα εξαρτάται µόνο από την f Επίσης για κατάλληλα µικρή f, η µέθοδος σταθερού σηµείου είναι Lipschitz συνεχής µε σταθερά Lipschitz µικρότερη του 1 Αποδεικνύουµε ύπαρξη της προσεγγιστικής λύσης µε τη µέθοδο των πεπερασµένων χωρίων u h του (84) κάτω από κάποιες συνηθισµένες συνθήκες Εφαρµόζουµε µια επαναληπτική µέθοδο σταθερού σηµείου στο (84) και αποδεικνύουµε ύπαρξη στο µπάλλα B M που ορίζεται ως B M = {χ X h : χ Lp M}, µε p > 2, 17

για κάποιο M > 0 εν χρειάζεται να υποθέσουµε κάτι για τη σταθερά M για την ύπαρξη της u h Βασικό στοιχείο για την απόδειξη της ύπαρξης λύσης της (84) είναι η συνθήκη που ονοµάζεται inf sup condition Υποθέτουµε ότι υπάρχουν σταθερές α = α(a,ω) > 0, h α > 0 και ǫ = ǫ(a,ω) > 0 τέτοιες ώστε για κάθε 0 < h h α και v h X h και w L, a(w;v h,χ) v h Lp α sup, (87) 0 χ X h χ Lp µε 2 p 2+ǫ και 1 p + 1 p = 1 Χρησιµοποιώντας τώρα την (87) και υποθέτοντας επιπλέον συνθήκες για τα δεδοµένα του προβλήµατος, όπως ότι η A είναι Lipschitz συνεχής και το M είναι κατάλληλα µικρό, µπορούµε να δείξουµε µοναδικότητα της λύσης του (84) Αποδεικνύουµε εκτιµήσεις σφάλµατος του u h u στην Ws 1, µε 2 s < p, L 2 και L -νόρµα Υποθέτουµε ότι f L 2 και ότι το µη γραµµικό πρόβληµα (81) έχει µια µοναδική λύση u Wq 2 H0 1, µε 4/3 < q 2 Θεώρηµα 81 Εστω u h και u οι λύσεις των (84) και (81), αντίστοιχα, µε f L 2 Τότε, αν γ = αβ 3 M < 1 υπάρχει µια σταθερά C = C(u,f), ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε για 0 < h h M όπου α είναι η σταθερά στην (87) (u h u) Ls C(u,f)h 1+2/s 2/q, µε 2 s < p < 2+ǫ, 4 < q 2, (88) 3 Θεώρηµα 82 Αν η λύση u του (81) ανήκει στον H 1 0 W1 p, µε p > 2 και είναι µοναδική στον H1 0 L τότε u h u στον H 1 0 Θεώρηµα 83 Εστω u h και u οι λύσεις των (84) και (81), αντίστοιχα, µε u W 2 q H1 0, 4/3 < q 2 Τότε u h W 1 q, οµοιόµορφα για κάθε 0 < h h M, δηλαδή, u h L q C(u,f), µε 2 + = 1 (89) q 2 q Θεώρηµα 84 Εστω u h και u οι λύσεις των (84) και (81), αντίστοιχα, µε u Wq 2 H0 1 W 1, 4/3 < q 2 Τότε, αν u και A είναι Lipschitz συνεχείς, A L 1 (R), f H 1 και γ = β1 1 β 3M < 1 τότε υπάρχει σταθερά C, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε για κατάλληλα µικρό h, u h u C(u,f)h 4 2/q 2/q0 (810) Θεώρηµα 85 Εστωu h καιuοι λύσεις των (84) και (81), αντίστοιχα Τότε, ανωείναι κυρτό,γ = C Ω β 1 1 β 2β 3 u W 1 p < 1, µε C Ω > 0 µια σταθερά που εξαρτάται µόνο από το Ω, u W 2 και f L, υπάρχει µια σταθερά C ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε για κατάλληλα µικρό h, u u h L C(u,f)h 2 log( 1 ) (811) h Επίσης µελετούµε µια µέθοδο Newton για τον υπολογισµό της λύσης u h του (84) Η ανάλυση ϐασίζεται σε µια παρόµοια µελέτη για τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων της [2] Υποθέτουµε ότι το πρόβληµα (81) έχει µια µοναδική λύση u H 2 H 1 0 Για φ H1 ορίζουµε τη διγραµµική µορφή N(φ;, ) ον H 1 0 H 1 0 ως N(φ;v,w) = a(φ;v,w)+d(φ;v,w), (812) όπου η d δίνεται από d(φ;v,w) = (A (φ)v φ, w) (813) Επίσης, έστω N h η αντίστοιχη µορφή της N, που σχετίζεται µε τη µέθοδο πεπερασµένων χωρίων N h (φ;v,w) = a h (φ;v,w) +d h (φ;v,w), (814) για φ H 2 H0 1 στο (H2 H0)+X 1 h (H 2 H0)+X 1 h, και d h δίνεται από d h (φ;v,w) = div(a (φ)v φ)i h wdx+ (A (φ)v φ) ni h wds (815) K K K 18

Για u 0 h X h, ορίζουµε την ακολουθία {u k h } k=0 ιν X h προσεγγίσων της u h µε την µέθοδο Newton έτσι ώστε N h (u k h ;uk+1 h u k h,χ) = (f,i hχ) a h (u k h ;uk h,i hχ), χ X h (816) Επίσης υποθέτουµε ότι η u h συγκλίνει στη u καταλλήλως γρήγορα, δηλαδή u u h L +σ h u u h H 1 0, καθώς h 0, (817) όπου σ h sup{ χ L / χ H 1 : 0 χ X h } (818) Ακόµα επειδή ο τριγωνισµός T h είναι οιωνεί οµοιόµορφος, υπάρχει σταθερά C, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε σ h Clog( 1 ) (819) h Αποδεικνύουµε ότι u k h u h στη H 1 νόρµα καθώς k, µε τάξη δύο, αν u 0 h είναι `κοντά στην u h Θεώρηµα 86 Υπάρχει ϑετικές σταθερές h 0, δ και C 5 τέτοιες ώστε αν 0 < h h 0 και σ h u 0 h u h H 1 δ τότε η ακολουθία {u k h } k=0 υπάρχει και ν k = u k h u h H 1 είναι µια ϕθίνουσα ακολουθία που ικανοποιεί ν k+1 C 5 σ h ν 2 k (820) Επίσης παρουσιάζουµε διάφορα αριθµητικά πειράµατα που επαληθεύουν τα ϑεωρητικά αποτελέσµατα Βιβλιογραφία [1] P Chatzipantelidis, Finite volume methods for elliptic PDE s: a new approach, M2AN Math Model Numer Anal, 36(2), 307 324, (2002) [2] J Douglas, Jr and T Dupont A Galerkin method for a nonlinear Dirichlet problem, Math Comp, 29, 689 696, (1975) [3] J Douglas, Jr, T Dupont, and J Serrin Uniqueness and comparison theorems for nonlinear elliptic equations in divergence form, Arch Rational Mech Anal, 42,157 168, (1971) 9 Parabolic finite element equations in nonconvex polygonal domains, (σε συνεργασία µε τους R Lazarov, V Thomée και L Wahlbin), BIT Numerical Mathematics, 46, 113 143, (2006) Σε αυτή την εργασία αναλύεται η διακριτοποίηση ως προς το χώρο, µε τη κλασσική µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων, ενός απλού παραβολικού προβλήµατος, σε µή κυρτά πολυγωνικά χωρία Αποτελεί συνεχεία της [1] Θεωρούµε λοιπόν το πρόβληµα u t u = f(t) στο Ω, µε u(,t) = 0 στο Ω, για t > 0, u(,0) = v στο Ω, (91) όπου Ω είναι ένα µη κυρτό πολυγωνικό χωρίο στο R 2 Για απλότητα ϑεωρούµε ότι µόνο µια γωνία, ω, είναι µή κυρτή, δηλαδή, ω (π,2π), και ϑέτουµε β = π/ω ( 1 2,1) Η προσεγγιστική λύση ανήκει στο χώρο των κατά τµήµατα γραµµικών συναρτήσεων S h S h (Ω) = {χ C(Ω) : χ K γραµµική, K T h ; χ Ω = 0}, όπου{t h } 0<h<1 είναι µια οικογένεια συνήθων τριγωνοποιήσεων τουω, καιh δηλώνει τη µέγιστη διάµετρο των τριγώνων του T h 19

Το στατικό ελλειπτικό πρόβληµα που αντιστοιχεί στο (91) είναι το u = f στο Ω, µε u = 0 στο Ω (92) Για αυτό το πρόβληµα, η λύση κοντά στη µη κυρτή γωνία του χωρίου Ω, έχει µια ιδιάζουσα συµπεριφορά, της µορφής c(f)r β sin(βθ), η οποία είναι εκφρασµένη σε πολικές συντεταγµένες µε κέντρο τη µη-κυρτή κορυφή Αυτή η συνάρτηση δεν ανήκει σε κανέναν χώρο H 1+s για οποιοδήποτε s β Αν u h S h είναι η λύση µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων, µπορούµε να δείξουµε ότι u h u +h β u h u H 1 Ch 2β u H 1+s, όπου = L2 και β < s 1 (93) Η ελάτωση της τάξης σύγκλισης από την περίπτωση που το σύνορο του Ω είναι οµαλό ή κυρτό πολυγωνικό, µπορεί να αποφευχθεί χρησιµοποιώντας κατάλληλες τεχνικές αναπροσαρµογής του τριγωνισµού κοντά στη µη κυρτή γωνία Η κατάσταση είναι παρόµοια και για το σφάλµα στη νόρµα µεγίστου Σε αυτή την εργασία δείχνουµε ότι οι παραπάνω εκτιµήσεις για το ελλειπτικό πρόβληµα επεκτείνονται και στο ηµιδιακρίτό πρόβληµα (u h,t,χ)+a(u h,χ) = (f,χ), χ S h, t > 0, µε u h (0) = v h, (94) όπου a(u,v) = ( u, v) Τα αποτελέσµατα ϐαζίζονται στη µεθοδολογία που αναπτύχθηκε στην [1], καθώς και γνωστά αποτελέσµατα για το αντίστοιχο στατικό πρόβληµα (ελλειπτικό), όπως εκτιµήσεις οµαλότητας, (shift theorems) καθώς και εκτιµήσεις σφάλµατος σε διάφορες νόρµες για το αντίστοιχο πρόβληµα πεπερασµένων στοιχείων Αποδεικνύονται εκτιµήσεις οµαλότητας ακριβούς λύσης του παραβολικού προβλήµατος, σε νόρµες Sobolev κλασµατικής τάξης, όπου το ϕράγµα αποτελείται από κατάλληλες νόρµες των δεδοµένων του προβλήµατος, (αρχικές συνθήκες και δεξιό µέρος, f) Στην περίπτωση της εκτίµησης του σφάλµατος στην L 2 νόρµα, ισχύει ότι u h (t) u(t) Ch 2β( t ) u(t) H 1+s + u t (τ) H 1+sdτ, (95) 0 µε s (β,1] Για να ισχύει η παραπάνω εκτίµηση πρέπει να υποθέσουµε κατάλληλη οµαλότητα από τα δεδοµένα του προβλήµατος f και v, έτσι ώστε το δεξιό µέλος της (95) να είναι ϕραγµένο Αποδεικνύουµε ότι t 0 ( u t (τ) H 1+sdτ C g 0 + t 0 ) f t (τ) dτ, όπου g 0 = u t (0) = v +f(0) Καταλήγουµε δηλαδή σε ικανές συνθήκες για τα f και v ώστε να ισχύει η (95) Αποδεικνύουµε παρόµοια αποτελέσµατα για τις νόρµεςh 1 και µεγίστου, καθώς και στην περίπτωση του οµογενούς προβλήµατος µε µη οµαλά αρχικά δεδοµένα αποδεικνύεται µια κατάλληλη εκτίµηση σφάλµατος στην νόρµα L 2 Ακόµα, αποδεικνύονται εκτιµήσεις σφάλµατος όπου ϐελτιώνεται η τάξη σύγκλισης µακρυά από τις γωνίες του χωρίου καθώς και στην περίπτωση εφαρµογής κατάλληλης τεχνικής εκλεπτινσµού του τριγωνισµού Τέλος αποδεικνύονται εκτίµησεις σφάλµατος για πλήρως διακριτά σχήµατα, διακριτοποιώντας το ηµιδιακριτό πρόβληµα µε τις µεθόδους πεπλεγµένης Euler και Crank Nicolson Βιβλιογραφία [1] P Chatzipantelidis, R D Lazarov, and V Thomée, Error estimates for a finite volume element method for parabolic equations in convex polygonal domains, Numer Methods Partial Differential Equations, 20(5), 650 674, (2004) 10 Parabolic finite volume element equations in nonconvex polygonal domains, (σε συνεργασία µε τους R Lazarov και V Thomée), Numerical Methods for Partial Differential Equations, 25, 507 525, (2009) Σε αυτή την εργασία αναλύεται η διακριτοποίηση ως προς το χώρο, ενός απλού παραβολικού προβλήµατος, σε µή κυρτά πολυγωνικά χωρία, µε τη µέθοδο των πεπερασµένων χωρίων που χρησιµοποιήσαµε στην [1], (Μέθοδος Ι) Αποτελεί συνεχεία της [3] 20

Θεωρούµε λοιπόν το πρόβληµα u t u = f(t) στο Ω, µε u(,t) = 0 στο Ω, γιαt > 0, u(,0) = v στο Ω, (101) όπου Ω είναι ένα µη κυρτό πολυγωνικό χωρίο στο R 2 Για απλότητα ϑεωρούµε ότι µόνο µια γωνία, ω, είναι µή κυρτή, δηλαδή, ω (π,2π), και ϑέτουµε β = π/ω ( 1 2,1) Η προσεγγιστική λύση ανήκει στο χώρο των κατά τµήµατα γραµµικών συναρτήσεων S h S h (Ω) = {χ C(Ω) : χ K γραµµική, K T h ; χ Ω = 0}, όπου{t h } 0<h<1 είναι µια οικογένεια συνήθων τριγωνοποιήσεων τουω, καιh δηλώνει τη µέγιστη διάµετρο των τριγώνων του T h Για να διατυπώσουµε την ηµιδιακριτή µορφή του προβλήµατος πεπερασµένων χωρίων ϑεωρούµε το χώρο πεπερασµένης διάστασης Y h = {η L 2 : η Vz = σταθερά, z Z 0 h ; η V z = 0, z Ω}, όπου V z είναι το χωρίο ελέγχου που αντιστοιχεί στην κορυφή z του τριγωνισµού T h και Zh 0 το σύνολο των εσωτερικών κορυφών Η µορφή Petrov Galerkin του προβλήµατος είναι (u h,t,η)+a h (u h,η) = (f,η), η Y h, t > 0, µε u h (0) = v h, (102) όπου (v,w) = Ω vwdx και η διγραµµική µορφή a h(, ) : S h Y h R ορίζεται ως a h (v,η) = η(z) v nds, v S h, η Y h z Zh 0 V z Τα αποτελέσµατα ϐασίζονται στη µεθοδολογία που αναπτύχθηκε στις [2] και [3], καθώς και σε γνωστά αποτελέσµατα για το αντίστοιχο στατικό πρόβληµα (ελλειπτικό), όπως εκτιµήσεις οµαλότητας, (shift theorems) καθώς και εκτιµήσεις σφάλµατος σε διάφορες νόρµες για το αντίστοιχο πρόβληµα πεπερασµένων στοιχείων Το στατικό ελλειπτικό πρόβληµα που αντιστοιχεί στο (101) είναι το u = f στο Ω, µε u = 0 στο Ω (103) Για αυτό το πρόβληµα, η λύση κοντά στη µη κυρτή γωνία του χωρίου Ω, έχει µια ιδιάζουσα συµπεριφορά, της µορφής c(f)r β sin(βθ), η οποία είναι εκφρασµένη σε πολικές συντεταγµένες µε κέντρο τη µη-κυρτή κορυφή Αυτή η συνάρτηση δεν ανήκει σε κανέναν χώρο H 1+s για οποιοδήποτε s β Αν u h S h είναι η λύση µε τη µέθοδο των πεπερασµένων χωρίων, µπορούµε να δείξουµε ότι u h u Ch 2β u H 2β 1, όπου = L2 και 1/2 < β < 1 (104) Αν u h S h είναι η λύση του αντίστοιχου προβλήµατος µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων τότε το σφάλµα είναι της ίδιας τάξης αλλά χρειαζόµαστε λιγότερη οµαλότητα από την ακριβή λύση, u h u C s h 2β u H 1+s, για β < s 1 (105) Η ανάλυση ϐασίζεται στην ανάλυση του αντίστοιχου προβλήµατος πεπερασµένων στοιχείων, (u h,t,χ)+a(u h,χ) = (f,χ), χ S h, t > 0, µε u h (0) = v h (106) Για τη µελέτη του σφάλµατος στο (106) συνηθίζεται η διάσπαση του σε δύο µέρη, u h (t) u(t) = (u h (t) R h u(t))+(r h u(t) u(t)) = ϑ(t)+ (t), όπου R h : H 1 0 S h συµβολίζουµε την προβολή Ritz a(r h v,χ) = a(v,χ), χ S h, (107) 21