ΑΡΧΗ Η ΔΛΙΓΑ Γ ΗΜΔΡΗΙΩΝ ΣΔΛΟ Η ΑΠΟ 5 ΔΛΙΓΔ ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ΣΔΣΑΡΣΖ ΜΑΪΟΤ 0 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΣΟΗΥΔΗΑ ΣΑΣΗΣΗΚΖ ΓΔΝΗΚΖ ΠΑΗΓΔΗΑ ΤΝΟΛΟ ΔΛΗΓΩΝ: ΠΔΝΣΔ (5 ΘΔΜΑ Α Α. Αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη παξαγωγίζηκεο ζην R, λα απνδείμεηε όηη (f ( + g( = f (+ g (, R Μονάδες 7 Α. ε έλα πείξακα κε ηζνπίζαλα απνηειέζκαηα λα δώζεηε ηνλ θιαζηθό νξηζκό ηεο πηζαλόηεηαο ελόο ελδερνκέλνπ Α Μονάδες 4 Α. Πώο νξίδεηαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο ή ζπληειεζηήο κεηαβιεηόηεηαο κηαο κεηαβιεηήο X, αλ 0 θαη πώο, αλ 0 ; Μονάδες 4 Α4. Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ πος ακολοςθούν, γπάθονηαρζηο ηεηπάδιό ζαρ, δίπλα ζηο γπάμμα πος ανηιζηοισεί ζε κάθεππόηαζη, ηη λέξη Σωστό, αν η ππόηαζη είναι ζωζηή, ήλάθος, αν η ππόηαζη είναι λανθαζμένη. α Σν θπθιηθό δηάγξακκα ρξεζηκνπνηείηαη κόλν γηα ηε γξαθηθή παξάζηαζε πνζνηηθώλ δεδνκέλωλ (κνλάδεο. β Η παξάγωγνο ηεο f ζην 0 εθθξάδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ = f ( ωο πξνο, όηαλ = 0 (κνλάδεο. γ Αλ Α,Β ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω κε A B, ηόηε ηζρύεη όηη Ρ(Α > Ρ(Β (κνλάδεο. δ Σν εύξνο, ε δηαθύκαλζε θαη ε ηππηθή απόθιηζε ηωλ ηηκώλ κηαο κεηαβιεηήο είλαη κέηξα δηαζπνξάο (κνλάδεο. ε lm, R (κνλάδεο. 0 0 0 Μονάδες
ΘΔΜΑ Β Οη ρξόλνη (ζε ιεπηά πνπ ρξεηάζηεθαλ νη καζεηέο κηαο ηάμεο γηα λα ιύζνπλ έλα καζεκαηηθό πξόβιεκα αλήθνπλ ζην δηάζηεκα [5,45 θαη έρνπλ νκαδνπνηεζεί ζε ηέζζεξηο θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο. Σα δεδνκέλα ηωλ ρξόλωλ εκθαλίδνληαη ζην παξαθάηω ηζηόγξακκα αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήηωλ επί ηνηο εθαηό. Β. Με βάζε ην παξαπάλω ηζηόγξακκα αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήηωλ επί ηνηο εθαηό, λα ππνινγίζεηε ηε δηάκεζν ηωλ ρξόλωλ πνπ ρξεηάζηεθαλ νη καζεηέο. Μονάδες 4 Β. ηνλ επόκελν πίλαθα ζπρλνηήηωλ ηεο θαηαλνκήο ηωλ ρξόλωλ, λα απνδείμεηε όηη α=8 (κνλάδεο θαη λα κεηαθέξεηε ηνλ πίλαθα θαηάιιεια ζπκπιεξωκέλν ζην ηεηξάδηό ζαο (κνλάδεο 5. Χξόλνη f% N F% (ιεπηά [5,. α+4 [.,. α-6 [.,. α+8 [., 45 α- ύλνιν Μονάδες 8 Β. Να βξεζεί ε κέζε ηηκή αη ε ηππηθή απόθιηζε s ηωλ ρξόλωλ πνπ ρξεηάζηεθαλ νη καζεηέο. (Γίλεηαη όηη: 84 9, 7 Μονάδες 8 Β4. Να βξεζεί ην πνζνζηό ηωλ καζεηώλ πνπ ρξεηάζηεθαλ ηνπιάρηζηνλ 7 ιεπηά λα ιύζνπλ ην καζεκαηηθό πξόβιεκα. Μονάδες 5
ΘΔΜΑ Γ Από ηνπο καζεηέο κηαο ηάμεο ελόο ζρνιείνπ επηιέγνπκε ηπραία έλαλ καζεηή. Αλ λ θπζηθόο αξηζκόο κε λ, ηόηε ε πηζαλόηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ ν καζεηήο λα καζαίλεη Γαιιηθά είλαη Ιζπαληθά είλαη θαη ηηο δύν παξαπάλω γιώζζεο είλαη κία ηνπιάρηζηνλ από ηηο παξαπάλω γιώζζεο είλαη ίζε κε ην όξην lm Γ. Να απνδείμεηε όηη ην ελδερόκελν ν καζεηήο λα καζαίλεη κία ηνπιάρηζηνλ από ηηο παξαπάλω δύν γιώζζεο είλαη βέβαην. Μονάδες 7 Γ. Να απνδείμεηε όηη λ= Μονάδες 6 Γ. Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ ν καζεηήο λα καζαίλεη κόλν κία από ηηο δύν γιώζζεο. Μονάδες 6 Γ4. Αλ ν αξηζκόο ηωλ καζεηώλ πνπ καζαίλνπλ θαη ηηο δύν παξαπάλω γιώζζεο είλαη, λα βξείηε ηνλ αξηζκό ηωλ καζεηώλ ηεο ηάμεο. Μονάδες 6 ΘΔΜΑ Γ ln (, 0 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f Γ. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα. Μονάδες 5 Γ. Έζηω Μ(,f (, >0 ζεκείν ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f. Η παξάιιειε επζεία από ην Μ πξνο ηνλ άμνλα ηέκλεη ηνλ εκηάμνλα O ζην ζεκείν Κ(,0 θαη ε παξάιιειε επζεία από ην Μ πξνο ηνλ άμνλα ηέκλεη ηνλ εκηάμνλα O ζην ζεκείν Λ(0,f (. Αλ O είλαη ε αξρή ηωλ αμόλωλ, λα απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηνπ νξζνγωλίνπ παξαιιειόγξακκνπ ΟΚΜΛ γίλεηαη ειάρηζην, όηαλ απηό γίλεη ηεηξάγωλν. Μονάδες 7 Γ. Έζηω ε επζεία ε :=ι+β, β, ε νπνία είλαη παξάιιειε πξνο ηελ εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν (,f(.
Θεωξνύκε δέθα ζεκεία (,, =,,, ηεο επζείαο ε, ηέηνηα ώζηε νη ηεηκεκέλεο ηνπο λα έρνπλ κέζε ηηκή θαη ηππηθή απόθιηζε s =. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ β ην δείγκα ηωλ ηεηαγκέλωλ ηωλ δέθα ζεκείωλ είλαη νκνηνγελέο. Μονάδες 8 Γ4. Αλ Α θαη Β είλαη ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ κε ηζνπίζαλα απιά ελδερόκελα, ηέηνηα ώζηε Α Ø θαη Α Β Ø, ηόηε λα απνδείμεηε όηη f (Ρ(Α+ f (Ρ(Α Β f (Ρ(Α Β Μονάδες 5
Απαντήςεισ Μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ Γ λυκείου Θέμα Α Α. Θεωρία χολικοφ βιβλίου (ςελ. Α. Θεωρία χολικοφ βιβλίου (ςελ. 48-49 Α. Θεωρία χολικοφ Βιβλίου (ςελ. 96 Α4. (α Λ (β (γ Λ (δ (ε Θέμα Β Β. δ=5 λεπτά Β. Χρόνοσ F% N% F% (λεπτά [5,5 0 0 [5,5 0 8 0 0 50 [5,5 0 4 40 54 90 [5,45 40 6 60 0 φνολο - 60 0 - - Αφοφ δ=5 λεπτά ιςχφει ότι F %+F %=F %+F 4 % + = + 4 α+4+α-6=α+8+α- α=8 4 0 8 0 4 40 6 Β. 4 60 S 84 ( ά ( 4 (0 4 8 (0 60 4 4 (40 4 6 Άρα S 84 9, 7 λεπτά Β4. Σο ποςοςτό των μαθητών που χρειάςτηκαν τουλάχιςτον 7 λεπτά να λφςουν το 8 πρόβλημα είναι % 8% Θεμα Γ Ζςτω Γ το ενδεχόμενο είναι μαθητήσ να μαθαίνει Γαλλικά και Ι το ενδεχόμενο να μαθαίνει Ιςπανικά Οπότε: P (, P ( I, Και P (,
( ( lm ( ( ( ( lm ( ( Άρα Ρ(Γ Ι= ( ( 4 ( lm ( ( 4 Γ. Αφοφ Ρ(Γ Ι= το ενδεχόμενο ο μαθητήσ να μαθαίνει μια τουλάχιςτον από τισ δφο γλώςςεσ είναι βζβαιο ενδεχόμενο. Γ. P ( ( ( ( 0 ( 0 Απορρίπτεται ή = 0 Γ. P [( ( ] ( ( P( I ( 9 5 4 6. 5 4 Γ4. Ρ ( ή 40% Άρα αφοφ μαθητζσ είναι το 40% των μαθητών ζχουμε ότι: 0 80 40 έ Θέμα Δ. ln ( ln ( ln f ( Δ. (ln ln (ln 0 >0, άρα η f είναι γνηςίωσ φθίνουςα ςτο (0,+ ln ln ln Δ. Μ(, f( ζχω f(>0, >0 ln E(= ( ( ( f ( = ln, 0 ln E ( ( ln, ln 0 E 0 0 Και E ( 0 E ( 0 0 Ε(= ln και τότε ζχω (ΟΚ==, ln ( f ( (, άρα ΟΚΜΛ τετράγωνο. ( n Δ. f (, άρα ε:=-+β,
S Ζχω Y=-+β και, άρα Ζχω S = S = =...,0 0 0 (... ( Άρα CV = S Πρζπει 0 0 ή 0 0 Δ4. A Ø, Ø A A B άρα 0 ( ( και f γνηςίωσ φθίνουςα, άρα f ( P( A f ( PA B( Και A B Ø Ø A B A B άρα 0 P ( A B P( A B Άρα f ( P( A B f ( P( A B ( Ζχω (+(: f ( P( A f ( P( A B P( A B