ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΡΟΜΠΟΤ ΜΕΣΩ ΥΒΡΙΔΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΤ. ΣΑΓΡΗΣ ΔΙΠΛ. ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ (Α.Π.Θ) ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2008
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙ ΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΤ. ΣΑΓΡΗΣ ΔΙΠΛ. ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΤΟΥ Α.Π.Θ. από τις Σέρρες ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΡΟΜΠΟΤ ΜΕΣΩ ΥΒΡΙΔΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ Διδακτορική διατριβή που υποβλήθηκε στο τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, για την απόκτηση του Διδακτορικού Διπλώματος. (Αρ. ΔΔ 22/ΕΕΔΜ) Μέλη της τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής: 1. Σ. Μήτση, Καθηγήτρια, επιβλέπουσα της διατριβής 2. Κ.-Δ. Μπουζάκης, Καθηγητής 3. Γκ. Μανσούρ, Επ. Καθηγητής Λοιπά μέλη της Επταμελούς Εξεταστικής Επιτροπής: 4. Β. Πετρίδης, Καθηγητής 5. Κ. Ευσταθίου, Αναπλ. Καθηγητής 6. Α. Μιχαηλίδης, Αναπλ. Καθηγητής και 7. Ι. Τσιάφης, Επ. Καθηγητής Ημερομηνία προφορικής εξέτασης: 21 Απριλίου 2008 iii
Δημήτριος Σταύρου Σαγρής Α.Π.Θ. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης και κινήσεων βιομηχανικών ρομπότ μέσω υβριδικής μεθόδου. «Η έγκριση της παρούσης Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέως» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2) iv
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με την ολοκλήρωση της παρούσας διατριβής, στα πλαίσια της εργασίας μου ως Επιστημονικός Συνεργάτης στο Εργαστήριο Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους συνέβαλαν στην ολοκλήρωσή της. Ευχαριστώ ιδιαιτέρως την Καθηγήτρια κ. Σεβαστή Μήτση, που με στήριξε σε όλη τη διάρκεια της διδακτορικής διατριβής μου, παρέχοντας εύστοχη και αποτελεσματική καθοδήγηση της ερευνητικής μου δραστηριότητας μέσω της άρτιας γνώσης της σε επιστημονικά θέματα στον τομέα της Ρομποτικής, αλλά και στηρίζοντάς με προσωπικά στις δύσκολες καμπές της. Επίσης, ευχαριστώ θερμά τον Διευθυντή του Εργαστηρίου Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας και Καθηγητή Κωνσταντίνο-Διονύσιο Μπουζάκη, τόσο για την υλικοτεχνική υποδομή που μου παρείχε, όσο και για την υποστήριξή και την καθοδήγησή του σε επιστημονικά θέματα. Παράλληλα, ευχαριστώ τον Επίκουρο Καθηγητή Γκαπριέλ Μανσούρ, ο οποίος με γνώση και καλή διάθεση ήταν πάντα πρόθυμος να συνδράμει στην ερευνητική μου δραστηριότητα. Ευχαριστώ θερμά όλους τους φίλους και συναδέλφους μηχανικούς, με τους οποίους συνεργάστηκα άριστα στο Εργαστήριο σε επιμέρους θέματα, ενώ ταυτόχρονα μέσα από την πολυετή συναναστροφή μας αναπτύξαμε και δυνατές σχέσεις φιλίας. Ιδιαίτερα, ευχαριστώ τον Δρ. Μηχ. Μηχ. Γεώργιο Μάλιαρη για την σημαντική βοήθεια του και δη στα πρώτα στάδια της διατριβής μου. Επίσης, ευχαριστώ για την καθοριστική τους βοήθεια όλους τους φοιτητές τους οποίους επέβλεψα κατά την εκπόνηση της διπλωματικής τους εργασίας. Φυσικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου Σταύρο και Γαρυφαλλιά και τον αδερφό μου Νίκο, που έδειξαν την αμέριστη συμπαράστασή τους, τόσο ηθικά όσο και υλικά, όλα αυτά τα χρόνια και μου παρείχαν το σταθερό περιβάλλον, που ήταν απαραίτητο για την ολοκλήρωση των σπουδών μου. Τις θερμότερες ευχαριστίες μου θέλω να εκφράσω στην αρραβωνιαστικιά μου Αθανασία Μιζούρη, που με άπαυτη υπομονή και αγάπη με στήριξε και με ενεθάρρυνε όλα τα χρόνια που διήρκεσε η διδακτορική μου διατριβή. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2008 Σαγρής Στ. Δημήτριος v
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πίνακας συμβόλων και συντομογραφιών...ix 1. Εισαγωγή...1 2. Στάθμη γνώσεων...3 2.1. Προσομοίωση, off line προγραμματισμός και έλεγχος ρομποτικού βραχίονα...3 2.2. Μέθοδοι βελτιστοποίησης...5 2.2.1. Ντετερμινιστικές μέθοδοι βελτιστοποίησης...7 2.2.2. Ημιστοχαστικές ή ημιντετερμινιστικές μέθοδοι βελτιστοποίησης...7 2.2.3. Στοχαστικές μέθοδοι βελτιστοποίησης, γενετικοί αλγόριθμοι...8 2.2.4. Μέθοδοι ελέγχου ορίων μεταβλητών...11 2.3. Προσδιορισμός γεωμετρίας, τοποθέτησης και σχηματισμών ρομποτικού βραχίονα...12 2.3.1. Σχεδιασμός ρομποτικού βραχίονα...12 2.3.2. Τοποθέτηση ρομποτικού βραχίονα...13 2.3.3. Επίλυση προβλήματος αντίστροφης κινηματικής...14 2.4. Σχεδιασμός κίνησης του βραχίονα...15 2.4.1. Προσδιορισμός διαδρομής κίνησης του βραχίονα, με αποφυγή σύγκρουσης με εμπόδια...16 2.4.2. Προσδιορισμός τροχιάς κίνησης του βραχίονα, με προκαθορισμένη διαδρομή κίνησης...17 2.4.3. Προσδιορισμός τροχιάς κίνησης του βραχίονα, με ταυτόχρονο προσδιορισμό διαδρομής κίνησης...18 3. Σκοπός της εργασίας...20 4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά...22 4.1. Ρομποτικός βραχίονας RV-Movemaster (5 DOF)...22 4.1.1. Κινηματικό μοντέλο βραχίονα RV-M1...23 4.2. Βιομηχανικός ρομποτικός βραχίονας RV6 (6 DOF)...24 4.2.1. Κινηματικό μοντέλο βραχίονα...24 4.2.2. Ιακωβιανό μητρώο βραχίονα...26 4.3. Visual Basic...27 4.4. Fortran...27 4.5. SolidWorks...28 5. Προσδιορισμός βέλτιστης τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα, με τη βοήθεια υβριδικού γενετικού αλγορίθμου...30 5.1. Μαθηματική διατύπωση προβλήματος...32 5.2. Προτεινόμενος αλγόριθμος...35 5.3. Αριθμητική εφαρμογή...39 5.3.1. 1 η εφαρμογή: Βέλτιστη τοποθέτηση βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας με κριτήριο βελτιστοποίησης την τοποθέτηση...39 5.3.2. 2 η εφαρμογή: Βέλτιστη τοποθέτηση βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας με κριτήρια βελτιστοποίησης την τοποθέτηση και το μέτρο ευχρηστίας...50 5.3.3. 3 η εφαρμογή: Βέλτιστη τοποθέτηση βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας με κριτήρια βελτιστοποίησης την τοποθέτηση, το μέτρο ευχρηστίας και τον vii
χρόνο κίνησης του άκρου, σε ανοιχτούς και κλειστούς κύκλους κατεργασίας...57 6. Προσδιορισμός βέλτιστων γεωμετρικών παραμέτρων ρομποτικού βραχίονα, με την βοήθεια υβριδικού γενετικού αλγορίθμου...64 6.1. Μαθηματική διατύπωση προβλήματος...64 6.2. Προτεινόμενος αλγόριθμος...66 6.3. Αριθμητική εφαρμογή σε βραχίονα 2 βαθμών ελευθερίας (RR)...67 7. Προσδιορισμός βέλτιστης διαδρομής κίνησης, με τη βοήθεια υβριδικού γενετικού αλγορίθμου...74 7.1. Μαθηματική διατύπωση προβλήματος σχεδιασμού διαδρομής κίνησης...74 7.2. Προτεινόμενος αλγόριθμος βελτιστοποίησης διαδρομής κίνησης...77 7.3. Έλεγχος αποφυγής σύγκρουσης με εμπόδια...80 7.3.1. Μοντελοποίηση μελών βραχίονα και χώρου εργασίας με χρήση νέφους σημείων...82 7.3.2. Προσδιορισμός ορίου ελέγχου σύγκρουσης με χρήση μοντέλου νέφους σημείων...85 7.4. Αριθμητική εφαρμογή...87 8. Ανάπτυξη μεθοδολογίας για τον οff line προγραμματισμό, την προσομοίωση και την αυτόματη δημιουργία κώδικα NC ρομποτικού βραχίονα σε μηχανουργικές κατεργασίες...92 8.1. Γραφική προσομοίωση του βραχίονα και του χώρου εργασίας του...92 8.2. Κινηματική ανάλυση του ρομπότ...93 8.3. Σχεδιασμός διαδρομής και γραφικός έλεγχος της ποιότητάς της μέσω προσομοίωσης...95 8.4. Διαδικασία εκπόνησης NC κώδικα με χρήση τεχνικών χαρακτηριστικών κατεργασίας και προσομοίωση...97 8.5. Έλεγχος μεθοδολογίας σε βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας...99 8.6. Εφαρμογή σε Η/Υ (RV6 Simulator)...102 9. Σύνοψη και συμπεράσματα...106 10. Βιβλιογραφία...109 11. Extended summary in English...123 12. Παράρτημα...138 viii
Πίνακας συμβόλων και συντομογραφιών Σύμβολο Ανάλυση Περιγραφή συμβόλου DOF Degrees Of Freedom : Βαθμοί ελευθερίας GA Genetic Algorithm : Γενετικός αλγόριθμος QNA Quasi-Newton Algorithm : Μέθοδος αναρρίχησης με κλίση CHM Constraints Handling Method : Μέθοδος ελέγχου ορίων μεταβλητών RC Robot Configuration : Σχηματισμός βραχίονα IKM Inverse Kinematics Model : Μοντέλο αντίστροφης κινηματικής RP Reference Point : Σημείο αναφοράς TCP Tool Centre Point : Άκρο κατεργασίας του βραχίονα On line Off line H/Y : Σε απευθείας σύνδεση : Άνευ απευθείας σύνδεσης : Ηλεκτρονικός Υπολογιστής D-H Denavit-Hartenberg : Μέθοδος εκλογής συστ. συντεταγμένων θ i Παράμετρος D-H : Γωνία μεταξύ αξόνων x i-1, x i α i Παράμετρος D-H : Γωνία μεταξύ αξόνων z i-1, z i a i Παράμετρος D-H : Μήκος κοινής καθέτου μεταξύ των αξόνων z i-1, και z i d i Παράμετρος D-H : Μήκος κοινής καθέτου μεταξύ των αξόνων x i-1 και x i CAD Computer Aided Design : Λογισμικό γραφικής απεικόνισης σε Η/Υ R n : Χώρος πραγματικών τιμών CMM Coordinate Measuring Machine : Μηχανή τρισδιάστατων μετρήσεων NC code Network Channel code : Κώδικας ελέγχου μηχανών 2D 2 Dimension : Δυσδιάστατος 3D 3 Dimension : Τρισδιάστατος P Prismatic joint : Πρισματική άρθρωση R Revolute joint : Περιστροφική άρθρωση RS232 RETMA Standard 232 : Πρωτόκολλο σειριακής επικοινωνίας 232 O i (x,y,z) P i : Σύστημα συντεταγμένων Ο i : Σύστημα συντεταγμένων μέλους i Χ, Υ, Ζ : Συντεταγμένες τοποθέτησης άκρου A, B, C : Γωνίες προσανατολισμού άκρου MIG Metal Inertia Gas : Μέθοδος συγκόλλησης με αδρανές αέριο i A i 1 : Ομογενές μητρώο μετασχηματισμού (4x4) W i Manipulability measure : Μέτρο ευχρηστίας σχηματισμού του βραχίονα ix
Σύμβολο Ανάλυση Περιγραφή συμβόλου W m Mean manipulability measure : Μέσο μέτρο ευχρηστίας n σχηματισμών του βραχίονα Α(i,j) : Στοιχείο i-γραμμής, j-στήλης σε πίνακα Α det(a) Determinant of A : Ορίζουσα του μητρώου A q i q i Τ i : Μεταβλητή της άρθρωσης i (γωνιακή ή γραμμική μετατόπιση) : Ταχύτητα της άρθρωσης i : Διάνυσμα τοποθέτησης του άκρου στη θέση i α, β, γ : Συντελεστές βαρύτητας TSP Traveling Salesman Problem : Το πρόβλημα κίνησης του πωλητή min Minimum : Ελάχιστο max Maximum : Μέγιστο PFV Penalty Function Value : Τιμή συνάρτησης ποινής x
1. Εισαγωγή 1. Εισαγωγή Από την εποχή της βιομηχανικής επανάστασης και έπειτα, άρχισε για τον άνθρωπο μια συνεχής προσπάθεια για μεγαλύτερη, γρηγορότερη, ποιοτικότερη και κυρίως φθηνότερη παραγωγή προϊόντων. Έτσι, δημιουργήθηκαν ειδικά εργαλεία, γρήγορες και δυνατές μηχανές ή πιο σύνθετοι μηχανισμοί /1/. Γρήγορα άρχισε και η εξέλιξη αυτών, η αυτοματοποίησή τους που σε συνδυασμό με την εξέλιξη των υπολογιστών οδήγησε σε ανάπτυξη μονάδων ελέγχου και προγραμματισμού των μηχανών αυτών. Έτσι, στο χώρο της βιομηχανίας εμφανίστηκαν οι πρώτοι βιομηχανικοί βραχίονες ή ρομπότ, σε μορφή ανοικτής κινηματικής αλυσίδας, οι αναφερόμενοι ως σειριακοί βραχίονες /2/. Η χρήση των βιομηχανικών ρομπότ στην παραγωγική διαδικασία σήμερα είναι πλέον καθιερωμένη, ειδικά σε ορισμένες εργασίες, όπως η συγκόλληση μετάλλων, η βαφή κυρίως σύνθετων επιφανειών, η συναρμολόγηση, η κοπή ή η διάτρηση, κτλ. Τα μεγάλα τους πλεονεκτήματα είναι η πολύ μεγάλη ακρίβεια, η ταχύτητα, η αδιάκοπη λειτουργία τους. Επίσης, μεγάλο πλεονέκτημά τους είναι το ότι δεν επηρεάζονται από τον χώρο εργασίας και συνεπώς χρησιμοποιούνται σε ανθυγιεινό περιβάλλον όπως πολύ υψηλών θερμοκρασιών, με εκρηκτικές ύλες, με τοξικά ή ραδιενεργά υλικά, υποθαλάσσια και γενικότερα, όπου ο άνθρωπος θα κινδύνευε. Επίσης, όπου η εργασία είναι μονότονη ή ιδιαίτερα κουραστική, τότε οι βιομηχανικοί βραχίονες επιλέγονται κατά κύριο λόγο, αφού ούτε πλήττουν, ούτε κουράζονται /3/. Ακόμη ένας λόγος για την ραγδαία εξάπλωση της Ρομποτικής, ιδιαίτερα τις τελευταίες τρεις δεκαετίες, εντοπίζεται στην στενή αλληλεπίδραση της με τεχνολογίες αιχμής, όπως κύρια η πληροφορική, η ηλεκτρονική και η τεχνολογία των αισθητήρων, αλλά και των σύγχρονων συστημάτων αυτομάτου ελέγχου και τεχνητής νοημοσύνης. Αυτή η αλληλεπίδραση λειτουργεί ως καταλύτης για κάθε μια τεχνολογία χωριστά, πυροδοτώντας αλυσιδωτές εξελίξεις. Ο κύριος χώρος που αναζητά και υποστηρίζει όλες αυτές τις εξελίξεις όλων των τεχνολογιών είναι η βιομηχανία, με κύριο πυρήνα δράσης την αυτοκινητοβιομηχανία, τόσο σε εφαρμογές κατεργασίας με αφαίρεση υλικού /4/, όσο και σε κατεργασίες πλαστικής παραμόρφωσης /5/. Έτσι, με αυτή την συνεχή ώθηση, επήλθε η εξέλιξη από τους απλούς βραχίονες των λίγων βαθμών ελευθερίας, σε βραχίονες προγραμματιζόμενους off line, με πολλούς πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας, συνεργαζόμενους σε ομάδες, με αισθητήρες περιβάλλοντος και κεντρικές μονάδες λήψης αποφάσεων, σε συνδυασμό με τεχνητή νοημοσύνη. Στις σύγχρονες βιομηχανικές εφαρμογές γίνεται περιορισμένη χρήση μεθόδων και συστημάτων βελτιστοποίησης βασισμένων σε κριτηριακή ή πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση. Η έννοια της βελτιστοποίησης γενικότερα, βρισκόταν πάντα στις προτεραιότητες μιας παραγωγικής διαδικασίας και ιδιαίτερα αυτών που βασίζονται στη χρήση ρομποτικών συστημάτων. Τις τελευταίες δεκαετίες η ραγδαία εξέλιξη των υπολογιστών ενίσχυσε την χρήση αριθμητικών - 1 -
1. Εισαγωγή μεθόδων και ταυτόχρονα δημιούργησε την ανάγκη για εμφάνιση νέων, ταχύτερων και πιο αξιόπιστων μεθόδων βελτιστοποίησης. Πρόσφορο έδαφος εφαρμογής αυτών, αποτελούν τα προβλήματα που άπτονται της περιοχής των ρομποτικών βραχιόνων, στους οποίους η βελτιστοποίηση του κύκλου παραγωγής κρίνεται επιτακτική /6,7,8,9/. Απώτερος στόχος της παρούσας εργασίας είναι να αναπτυχθούν αποδοτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης, βασισμένες σε μια ή περισσότερες αριθμητικές μεθόδους (υβριδικές μέθοδοι), που θα εξασφαλίζουν ταχύτητα και αξιοπιστία αποτελεσμάτων. Τα κριτήρια βάση των οποίων αξιολογείται η απόδοση των μεθόδων είναι η ακρίβεια τοποθέτησης του άκρου, η ευχρηστία του βραχίονα, η αποφυγή σύγκρουσης και η ταχύτητα του κύκλου κατεργασίας. Οι μέθοδοι εστιάζονται σε προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού νέου βραχίονα, βέλτιστης σχετικής τοποθέτησης κατεργαζόμενου τεμαχίου βραχίονα, σχεδιασμό βέλτιστης διαδρομής κίνησης του άκρου κατεργασίας και γενικά σε προβλήματα βέλτιστης απόδοσης ρομποτικών βραχιόνων. Απαιτείται η μορφή των μεθόδων να είναι γενικευμένη ώστε να εξασφαλίζει την δυνατότητα χρήσης τους σε οποιοδήποτε ρομποτικό βραχίονα, ανοικτής κινηματικής αλυσίδας, ανεξαρτήτως βαθμών ελευθερίας και είδους αρθρώσεων. - 2 -
2. Στάθμη γνώσεων 2. Στάθμη γνώσεων 2.1. Προσομοίωση, off line προγραμματισμός και έλεγχος ρομποτικού βραχίονα Η μέθοδος off line προγραμματισμού ενός ρομπότ έχει το πλεονέκτημα της ταχύτερης διαθεσιμότητας στην παραγωγική διαδικασία, της μείωσης του συνολικού χρόνου προγραμματισμού και συγχρονισμού, της αύξησης της ασφάλειας των χειριστών, καθώς και της καλύτερης προσομοίωσης της διαδικασίας. Η εφαρμογή της ιδέας του off line προγραμματισμού απαιτεί την ύπαρξη ενός μοντέλου βάσει του οποίου θα επιτυγχάνεται η off line διαχείριση του πραγματικού βραχίονα. Τα χαρακτηριστικά του μοντέλου πρέπει να εξασφαλίζουν πλήρη αντιστοιχία με τον πραγματικό βραχίονα, ενώ ταυτόχρονα να επιτρέπουν την εύκολη διαχείρισή του μέσω ενός συστήματος γραφικής απεικόνισης. Έτσι, αναπτύχθηκαν ορισμένα μαθηματικά μοντέλα περιγραφής της γεωμετρίας του ρομποτικού βραχίονα, που σε συνδυασμό με μοντέλα γραφικής απεικόνισης επιτρέπουν την πλήρη μοντελοποίηση, τόσο του βραχίονα όσο και του περιβάλλοντος χώρου εργασίας του. Βασικό τμήμα της μοντελοποίησης του ρομποτικού βραχίονα αποτελεί η εκλογή των συστημάτων συντεταγμένων των μελών του με βάση την μεθοδολογία Denavit-Hartenberg /10/ και την χρήση των 4x4 ομογενών μητρώων μετασχηματισμού /3,11,12/. Έχοντας ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει την λειτουργία του βραχίονα, η εμπλοκή ενός υπάρχοντος ή η ανάπτυξη ενός λογισμικού γραφικής απεικόνισης δίνει την δυνατότητα, τόσο για πλήρη εποπτεία του χειριστή όσο και για την ανάπτυξη μιας διαδικασίας προσομοίωσης της λειτουργίας του σε ευθεία και αντίστροφη κινηματική. Κατ επέκταση δίνεται η δυνατότητα για ανάπτυξη αποδοτικών εργαλείων σε ένα περιβάλλον on line ή off line προγραμματισμού, με στόχο τον δυναμικό έλεγχο του βραχίονα και την ταυτόχρονη επίτευξη μείωσης του χρόνου προγραμματισμού, την αύξηση της ασφάλειας των χειριστών, καθώς και την επίτευξη πλήρους διαθεσιμότητας της διάταξης του βραχίονα κατά την διάρκεια του προγραμματισμού. Οι ερευνητικές προσπάθειες στην κατεύθυνση της ανάπτυξης αποδοτικών off line συστημάτων ποικίλουν ως προς τον τρόπο προσέγγισης και ως προς το τμήμα του προβλήματος που προσεγγίζουν. Χαρακτηριστικά παραδείγματα εργασιών, όπου απαριθμούνται οι εξελίξεις είναι οι /13,14/. Αναμφισβήτητη κινητήρια δύναμη στον τομέα αυτό αποτελεί η αυτοκινητοβιομηχανία, μέσω της οποίας αποκτά υπόσταση η απαίτηση για εύχρηστη, αποδοτική και βελτιστοποιημένη, τόσο προσομοίωση όσο και off line ανάπτυξη κώδικα χειρισμού του ρομποτικού βραχίονα. Στην /15/ αναλύεται αυτή η άμεση εξάρτηση μεταξύ ρομπότ και αυτοκινητοβιομηχανίας, ενώ παρατίθενται παραδείγματα περιοχών εφαρμογής με τα αντίστοιχα επιτευχθέντα αποτελέσματα. Η ποιότητα των αποτελεσμάτων πάντα συνδέεται με τον χρόνο που απαιτείται ανά κύκλο κατεργασίας, μια και είναι το πλέον κρίσιμο μέγεθος, όπως περιγράφεται στην /16/ και σε - 3 -
2. Στάθμη γνώσεων πλήθος εργασιών της ενότητας 2.4, με στόχο την μεγιστοποίηση της ποσότητας των κατεργασιών. Ο off line προγραμματισμός βραχιόνων με χρήση σχεδιαστικού λογισμικού αποτελεί αντικείμενο πολλών ερευνών τα τελευταία χρόνια /13-21/. Τα πλεονεκτήματα της άμεσης οπτικής αναπαράστασης του ρομποτικού μοντέλου, δίνουν την δυνατότητα για παράλληλη ανάπτυξη μεθοδολογιών προσομοίωσης και βελτιστοποίησης. Η γραφική προσομοίωση σε υπολογιστή του βραχίονα και του κατεργαζόμενου τεμαχίου μπορεί να επιτευχθεί με χρήση διαφόρων γραφικών μοντέλων, όπως διαφανείς επιφάνειες και συμπαγή μοντέλα /11/. Αυτά τα μοντέλα και αντίστοιχοι αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αποφυγή σύγκρουσης και για την ανάλυση της κινηματικής και της δυναμικής συμπεριφοράς του βραχίονα. Έτσι, με βάση ένα σύστημα CAD αναπτύσσεται μεθοδολογία για την αυτόματη συναρμολόγηση μηχανισμών με ρομποτικό σύστημα /17/, ενώ λαμβάνεται υπόψη η βελτιστοποίηση διαφόρων χαρακτηριστικών μεγεθών, όπως η διαδρομή, ο χρόνος, η χρήση αισθητήρων, κα. Μια γενικευμένη προσέγγιση σε βραχίονες 6 βαθμών ελευθερίας με προσομοίωση σε ευθεία και αντίστροφη κινηματική, βασιζόμενη και πάλι σε λογισμικό CAD παρουσιάζεται στην /18/. Βασιζόμενη σε σύστημα Denavit-Hartenberg και σε ομογενή μητρώα μετασχηματισμού, αναλύει κινηματικά και δυναμικά μεγέθη σε συνδυασμούς πρισματικών και περιστροφικών αρθρώσεων με 6 συνολικούς βαθμούς ελευθερίας. Ένα ενοποιημένο σύστημα ελέγχου ρομποτικού βραχίονα /19/, συνεργαζόμενο επίσης με σύστημα CAD, διαθέτει πλήθος εργαλείων στον χρήστη για χειρισμό και εποπτεία του βραχίονα. Αναπτύσσει μια σύνδεση μεταξύ μεθόδων off line προγραμματισμού και μεθόδων σχεδιασμού τροχιάς, όπως συμβαίνει και στις περισσότερες μεθοδολογίες off line που αναλύονται, μέσω εργαλείων που προσφέρει για δημιουργία και έλεγχο διαδρομής. Ιδιαίτερη βαρύτητα στο τμήμα της τροχιάς σε μεθοδολογίες off line προγραμματισμού δίνεται στην /20/ υπό το πρίσμα του κατασκευαστή του ελεγκτή (controller) του βραχίονα και στην /21/ υπό το πρίσμα του χειριστή. Ιδιαίτερα στην /21/, πέρα από τον σχεδιασμό και τον έλεγχο της τροχιάς, εισάγονται παράλληλα και στοιχεία βελτιστοποίησής της με μια μεθοδολογία χαρακτηριστικών διανυσμάτων που περιγράφουν την κίνηση. Μέσω ανάλογων μεθοδολογιών δεν εξασφαλίζεται μόνο η δημιουργία μιας αποδεκτής τροχιάς βάσει της προσομοίωσης σε CAD περιβάλλον, αλλά η προτεινόμενη τροχιά διακρίνεται από βελτιστοποιημένα μεγέθη, όπως θα αναλυθεί και στην ενότητα που ακολουθεί για τον σχεδιασμό και την βελτιστοποίηση της τροχιάς. Αναφορικά με τα λογισμικά σχεδίασης CAD, μέσα από μια πολύχρονη και αλματώδη διαδικασία εξέλιξης ιδιαίτερα στις μεθόδους γραφικής απεικόνισης, επικράτησαν ισχυρά λογισμικά (CATIA, SolidWorks, κα), τα οποία παρέχουν και επιπρόσθετα εργαλεία ειδικά για ρομποτικούς βραχίονες, πλησιάζοντας πολύ προς τα λογισμικά off line προγραμματισμού. Εντούτοις, στις διαδικασίες off line προγραμματισμού, ακόμα και τα πλέον σύγχρονα ρομποτικά CAD - 4 -
2. Στάθμη γνώσεων συστήματα διαθέτουν περιορισμένες δυνατότητες ως προς την βέλτιστη τοποθέτηση του ρομπότ σε σχέση με τα δεδομένα σημεία εργασίας, ή το πρόβλημα βελτιστοποίησης της σειράς με την οποία προσεγγίζονται τα σημεία, γνωστό ως πρόβλημα κίνησης του πωλητή (TSP). 2.2. Μέθοδοι βελτιστοποίησης Η διαδικασία της βελτιστοποίησης είναι συνδεδεμένη άμεσα με την κατασκευή και διαχείριση μηχανολογικών διατάξεων και συνεπώς βρισκόταν πάντα μεταξύ των προτεραιοτήτων μιας παραγωγικής διαδικασίας. Η εξέλιξη όμως των ηλεκτρονικών υπολογιστών, σε συνδυασμό με τη μεγάλη πρόοδο στους τομείς της ανάλυσης και μοντελοποίησης με αριθμητικές μεθόδους, που πραγματοποιήθηκε κατά τις τελευταίες δεκαετίες, έχουν καταστήσει πλέον τη βελτιστοποίηση αναπόσπαστο τμήμα της μελέτης οποιουδήποτε συστήματος, κατ επέκταση και των ρομποτικών βραχιόνων, με ή χωρίς πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας /22/. Συνεπώς, η απαίτηση εφαρμογής μεθόδων αριθμητικής βελτιστοποίησης, που χαρακτηρίζονται από υψηλή ταχύτητα αλλά και αξιοπιστία, γίνεται εντονότερη. Ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης συνεχών παραμέτρων, το οποίο εμπλέκει κάποιο κριτήριο ποιότητας, ισοδυναμεί με ένα μαθηματικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης μίας πραγματικής συνάρτησης μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών. Για τη διατύπωση του προβλήματος βελτιστοποίησης με μαθηματικές έννοιες ορίζεται ένα διάνυσμα μεταβλητών /23/: x = R n ( x,x,...,x ) 1 2 n (2.1) καθώς και μια συνάρτηση, f x :A (2.2) n ( ) R R η οποία ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση ή συνάρτηση κόστους ή αλλιώς συνάρτηση αξιολόγησης των συνδυασμών των παραμέτρων και η οποία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί. Ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης μπορεί να θεωρηθεί πρόβλημα ελαχιστοποίησης της αντίθετης συνάρτησης και συνεπώς δεν αλλοιώνεται η γενικότητα των όσων αναλύονται. Σε μια γενική περίπτωση προβλήματος μπορεί να προκύψουν περιορισμοί για τους συνδυασμούς των παραμέτρων, με μορφή ανισότητας ή ισότητας: ck x 0 (2.3) c x = 0 k ( ) ( ) - 5 -
2. Στάθμη γνώσεων Το πλήθος των παραμέτρων βελτιστοποίησης περιορίζεται από τους περιορισμούς ισότητας, όταν μία παράμετρος μπορεί να γραφεί σαν συνάρτηση άλλων παραμέτρων. Οι περιορισμοί ανισότητας μειώνουν το μέγεθος του χώρου έρευνας, όχι όμως και τη διάστασή του, ενώ οι ανισότητες τύπου δεν αναφέρονται, μια και μπορούν να καλυφθούν από την παραπάνω σχέση με αντίθετα πρόσημα, χωρίς αλλοίωση της γενικότητας. Έχοντας προσδιορίσει το πρόβλημα βελτιστοποίησης πραγματικής συνάρτησης, ορίζονται οι έννοιες σημείου ολικού ελαχίστου /24/ και τοπικού ελαχίστου /25/, ώστε να αναλυθούν στη συνέχεια αριθμητικές μέθοδοι για την επίτευξη του ελαχίστου. Ορισμός ολικού ελαχίστου Έστω, μία κάτω φραγμένη πραγματική συνάρτηση n f:a R R. Ένα σημείο x0 A f x f x, x A. ονομάζεται σημείο ολικού ελάχιστου της συνάρτησης f, όταν ισχύει ( ) ( ) 0 Ορισμός τοπικού ελαχίστου Έστω, μία πραγματική συνάρτηση n f:a R R. Ένα σημείο x0 A ονομάζεται σημείο τοπικού ελάχιστου της συνάρτησης f, όταν υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός ε, έτσι ώστε f x f x, x N x, ε N x,ε συμβολίζουμε την ανοικτή περιοχή με κέντρο το σημείο ( ) ( ) ( ). Με ( ) x R 0 0 0 n και ακτίνα ε. 0 Προφανώς, ένα σημείο ολικού ελαχίστου είναι και σημείο τοπικού ελαχίστου της αντικειμενικής συνάρτησης, χωρίς να ισχύει απαραίτητα και το αντίστροφο. Η έρευνα για το σημείο ολικού ελαχίστου μίας πραγματικής συνάρτησης καθίσταται μία δύσκολη διαδικασία, όταν η συνάρτηση παρουσιάζει σημεία τοπικών ελαχίστων, λόγω του πολύ πιθανού ενδεχομένου εγκλωβισμού της διαδικασίας σε περιοχή τοπικού ελαχίστου. Άρα, το ζητούμενο δεν είναι απλά ο εντοπισμός ενός τοπικού ελαχίστου, αλλά η εύρεση του ολικού ελαχίστου. Η ταχύτητα σύγκλισης των αλγορίθμων στο ολικό ελάχιστο είναι επίσης βαρύνουσας σημασίας, διότι όλοι οι αλγόριθμοι είναι επαναληπτικοί και κάθε επανάληψή τους απαιτεί σημαντικό χρόνο υπολογισμών. Οι κατηγορίες αλγορίθμων βελτιστοποίησης που υπάρχουν μπορούν να χωριστούν: α) σε αυτούς που λειτουργούν χωρίς κάποιο είδος βελτιστοποίησης (αλγόριθμοι απαρίθμησης και τυχαίας αναζήτησης) και β) σε αυτούς που λειτουργούν βασιζόμενοι σε κάποια βελτιστοποίηση (αλγόριθμοι ντετερμινιστικοί, ημιστοχαστικοί και στοχαστικοί). Ακολουθεί μία απλή αναφορά στους πρώτους αλγορίθμους, οι οποίοι δεν έχουν κάποια ιδιαίτερη βαρύτητα, ενώ οι δεύτεροι αναλύονται εκτενώς στη συνέχεια. Μέθοδοι απαρίθμησης (enumeration methods): - 6 -
2. Στάθμη γνώσεων Για τον εντοπισμό μιας βέλτιστης τιμής σε έναν πεπερασμένο χώρο αναζήτησης οι τεχνικές απαρίθμησης, που αποτελούν την απλούστερη μορφή αλγορίθμου βελτιστοποίησης, εξετάζουν την τιμή της συνάρτησης σε κάθε σημείο του χώρου και έτσι εντοπίζουν το βέλτιστο. Είναι όμως προφανές, ότι η απαρίθμηση σε χώρους, όχι απαραίτητα πολύ μεγάλους, δεν είναι αποδοτική, ενώ και το υπολογιστικό φορτίο είναι μεγάλο και δυσανάλογα αυξανόμενο με την αύξηση του χώρου αναζήτησης. Εντούτοις, φέρνουν αποτέλεσμα σε προβλήματα μικρού χώρου αναζήτησης, με ταυτόχρονη εμπλοκή μη συνεχών συναρτήσεων κόστους ή σύνθετων υπολογιστικών τελεστών /26/. Μέθοδοι τυχαίας αναζήτησης (random search methods): Οι μέθοδοι τυχαίας αναζήτησης, βασιζόμενοι στην τυχαιότητα, εντοπίζουν διακριτές θέσεις στον χώρο αναζήτησης και καταγράφοντας σε κάθε νέο βήμα την καλύτερη, οδηγούνται σε κάποια ελάχιστη τιμή. Αυτή προφανώς δεν είναι απαραίτητο να είναι το γενικό ελάχιστο ή κάποιο τοπικό ελάχιστο, μια και δεν υφίσταται κάποια διαδικασία εξέλιξης. Η αποτελεσματικότητά τους και η απόδοσή τους είναι διαβλητές, όπως και των μεθόδων απαρίθμησης. 2.2.1. Ντετερμινιστικές μέθοδοι βελτιστοποίησης Οι ντετερμινιστικές μέθοδοι αποτέλεσαν τις πρώτες μεθόδους, που επιστρατεύθηκαν για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης. Βασίζονται σε απειροστικό λογισμό και σε πληροφορίες, που προέρχονται από τις παραγώγους της αντικειμενικής συνάρτησης, ενώ εφαρμόζονται κυρίως σε προβλήματα βελτιστοποίησης με συνεχείς παραμέτρους και παραγωγίσιμη αντικειμενική συνάρτηση. Εφαρμόζονται σε προβλήματα, που περιλαμβάνουν ή όχι περιορισμούς, ενώ παρουσιάζουν μεγάλο αριθμό παραλλαγών, με τις σημαντικότερες να αναλύονται στα /27,28,29/. Η μέθοδος quasi-newton που αποτελεί μια από τις πλέον χρησιμοποιούμενες μεθόδους σε προβλήματα βελτιστοποίησης ανήκει σε αυτή την κατηγορία. Το ότι βασίζονται στις παραγώγους της αντικειμενικής συνάρτησης, ως πηγή πληροφόρησης για τον προσδιορισμό της συμπεριφοράς της αντικειμενικής συνάρτησης, προσδίδει στις ντετερμινιστικές μεθόδους το κύριο πλεονέκτημά τους, που είναι ο υψηλός ρυθμός σύγκλισης που παρουσιάζουν. Το ίδιο όμως χαρακτηριστικό είναι και η αιτία της χαμηλής τους αξιοπιστίας, σχετικά με την προσέγγιση του ολικού ελαχίστου της αντικειμενικής συνάρτησης και όχι κάποιου τοπικού ελαχίστου, το οποίο με βάση τις κλίσεις της αντικειμενικής συνάρτησης δεν παρουσιάζει διαφοροποίηση. 2.2.2. Ημιστοχαστικές ή ημιντετερμινιστικές μέθοδοι βελτιστοποίησης Οι ημι-ντετερμινιστικές ή αλλιώς ημι-στοχαστικές μέθοδοι έκαναν την εμφάνισή τους με σκοπό να λειτουργήσουν σε απαιτητικότερα προβλήματα, όπου οι αντικειμενικές συναρτήσεις - 7 -
2. Στάθμη γνώσεων παρουσίαζαν περισσότερα από ένα τοπικά ακρότατα ή ασυνέχειες /30/. Βασίζονται στη φιλοσοφία των ντετερμινιστικών μεθόδων, αποφεύγοντας τον υπολογισμό των παραγώγων της αντικειμενικής συνάρτησης, ενώ ορισμένες παραλλαγές τους εμπλέκουν στοχαστικές μεθόδους /31/. 2.2.3. Στοχαστικές μέθοδοι βελτιστοποίησης, γενετικοί αλγόριθμοι Το επόμενο βήμα εξέλιξης στις μεθόδους βελτιστοποίησης είναι οι ονομαζόμενες στοχαστικές, που βασίζονται στο γεγονός, ότι η διαδικασία εξέλιξης των ειδών της φύσης είναι ουσιαστικά μια διαδικασία βελτιστοποίησης. Εμφανίστηκαν την δεκαετία του 60, ονομάζονται και εξελικτικοί αλγόριθμοι (Evolutionary algorithms) /32/ και αποτελούνται από τρεις διαφορετικές μορφές της ίδιας βασικής ιδέας, οι οποίες είναι: - οι στρατηγικές εξέλιξης (Evolution strategies), /33/, - ο εξελικτικός προγραμματισμός (Evolutionary programming), /34/ και - οι γενετικοί αλγόριθμοι (Genetic algorithms), /35/. Και οι τρεις αυτοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, αν και εξελίχθηκαν ανεξάρτητα, έχουν κοινά στοιχεία και μέχρι σήμερα αποτελούν αντικείμενο μεγάλης ερευνητικής δραστηριότητας, με μεγάλο πλήθος σχετικών δημοσιεύσεων. Οι στρατηγικές εξέλιξης, με τις πρώτες τους εφαρμογές σε πειραματικό επίπεδο, αποτέλεσαν κοινή ερευνητική προσπάθεια των Rechenberg, Schwefel και Bienert στο πολυτεχνείο του Βερολίνου. Επικεντρώνονταν στην περιοχή της αριθμητικής βελτιστοποίησης συναρτήσεων με συνεχείς παραμέτρους, ενώ χαρακτηρίζονταν από αναπαράσταση των παραμέτρων στο δεκαδικό σύστημα και από ντετερμινιστικό τελεστή επιλογής. Ο εξελικτικός προγραμματισμός διατυπώθηκε το 1962 από τον L. Fogel στην αρχική του μορφή και επικεντρωνόταν στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης με διακριτές παραμέτρους, ενώ ο υιός του (D. Fogel) στη συνέχεια, επεκτάθηκε σε προβλήματα με συνεχείς παραμέτρους. Ο εξελικτικός προγραμματισμός παρουσιάζει πολλές ομοιότητες με τις στρατηγικές εξέλιξης, ενώ οι σημαντικότερες διαφορές είναι η απουσία τελεστή διασταύρωσης και ο στοχαστικός τελεστής επιλογής. Οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι η πλέον διαδεδομένη και συνεχώς εξελισσόμενη μορφή των εξελικτικών αλγορίθμων, όπως αποδεικνύεται και από το πλήθος των άρθρων που δημοσιεύονται σε επιστημονικά περιοδικά κάθε ειδικότητας. Την πρώτη απόπειρα γενετικού αλγορίθμου αποτέλεσε η προσομοίωση του μηχανισμού εξέλιξης των ειδών από τον βιολόγο Frazer (1960). Η βασική και πλέον διαδεδομένη μορφή τους διατυπώθηκε από τον Holland (1975), ο οποίος επισήμανε τις ομοιότητες φυσικής εξέλιξης των ειδών και των διαδικασιών - 8 -
2. Στάθμη γνώσεων βελτιστοποίησης. Στη βασική τους μορφή, κύρια χαρακτηριστικά τους είναι η αναπαράσταση των παραμέτρων σε δυαδικό σύστημα, καθώς επίσης και ο στοχαστικός τελεστής επιλογής, ενώ μια εκτενής παρουσίασή τους γίνεται στην επόμενη ενότητα. Οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι μια επαναληπτική διαδικασία γενικευμένης βελτιστοποίησης, που δεν απαιτεί προηγούμενη εμπειρία στο επιλυόμενο πρόβλημα. Βασίζεται σε έναν σταθερού μεγέθους πληθυσμό ατόμων, όπου κάθε άτομο αναπαρίσταται από μία σταθερού μήκους συμβολοσειρά γνωστή ως χρωμόσωμα (chromosome), που με τη σειρά του αντιπροσωπεύει μια πιθανή λύση στον δεδομένο χώρο λύσεων του προβλήματος, περιλαμβάνοντας όλες τις μεταβλητές του προβλήματος /36/. Αυτός ο χώρος αποτελεί τον χώρο αναζήτησης, που περιλαμβάνει όλες τις πιθανές λύσεις του προς επίλυση προβλήματος. Οι γενετικοί αλγόριθμοι παρουσιάζονται με διάφορες μορφές και πολλές τροποποιήσεις, βασισμένες στην ίδια βασική ιδέα της εξέλιξης στο πέρασμα των γενεών /37,38/. Γενικά, ενδείκνυνται για προβλήματα με πολύ μεγάλους και πολλών διαστάσεων χώρους αναζήτησης, ενώ κάθε μορφή τροποποίησής τους έχει ως στόχο, να δώσει λύση σε ορισμένη κατηγορία προβλημάτων, επιδιώκοντας πάντα την γενικότητα. Τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα στις συμβολοσειρές είναι συνήθως οι χαρακτήρες του δυαδικού συστήματος, αν και πιο πρόσφατα έχουν χρησιμοποιηθεί και άλλα, όπως αναπαράσταση χαρακτήρων και αναπαραστάσεις ακέραιων αριθμών και πραγματικών τιμών /39/. Η βασική μορφή του γενετικού αλγορίθμου ακολουθεί τα εξής βήματα: - Δημιουργείται ένας αρχικός πληθυσμός ατόμων τυχαία ή ευρετικά. - Σε κάθε βήμα (γενιά), τα άτομα του πληθυσμού αποκωδικοποιούνται και με βάση κάποιο προκαθορισμένο κριτήριο ποιότητας, που είναι γνωστό ως συνάρτηση ποιότητας, αξιολογείται η ποιότητά τους. Με κριτήριο την ποιότητά τους επιλέγονται ορισμένα άτομα για να αποτελέσουν τα άτομα, στα οποία θα εφαρμοστούν οι διαδικασίες τροποποίησής τους (τελεστές), με σκοπό την εξέλιξη τους και την δημιουργία της επόμενης γενιάς. Οι συνήθεις τελεστές είναι η διασταύρωση, η μετάλλαξη και ο ελιτισμός. - Μέσω αλλεπάλληλων επαναλήψεων, με αναδιαμόρφωση των ατόμων σε κάθε γενιά επιτυγχάνεται η εξέλιξή τους και η κυριαρχία του ισχυρότερου, άρα και της καλύτερης λύσης στο πρόβλημα που βελτιστοποιείται. Η συμπλήρωση ενός μέγιστου αριθμού γενιών ή η επίτευξη μιας ικανοποιητικής ποιότητας των ατόμων σε μια γενιά αποτελεί το κριτήριο τερματισμού της διαδικασίας. Οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι στοχαστικές, επαναληπτικές μέθοδοι, που δεν εγγυώνται τη σύγκληση στο γενικό βέλτιστο, παρά μόνο προσεγγίζουν διακριτές θέσεις (λύσεις) στο χώρο αναζήτησης, που μέσω των επαναλήψεων και των εφαρμοζόμενων τελεστών τείνουν να ωθούν τις λύσεις προς τις πλέον ποιοτικές. Οι διαδικασίες και οι τελεστές που ενεργοποιούνται σε κάθε γενιά γενετικού αλγορίθμου, αναλύονται στη συνέχεια: - 9 -
2. Στάθμη γνώσεων Επιλογή (Selection): Υπάρχουν πολλές μέθοδοι επιλογής με απλούστερη αλλά και συνηθέστερη την προτεινόμενη από τον Holland, στην οποία τα χρωμοσώματα επιλέγονται με πιθανότητα ανάλογη της ποιότητάς τους (roulette-wheel selection), που καθορίζεται από την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Αυτό εξασφαλίζει, ότι η πιθανότητα επιλογής ενός ατόμου είναι προσεγγιστικά ανάλογη της απόδοσής του στον πληθυσμό. Άρα, τα ποιοτικότερα άτομα έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να επιλεγούν ως άτομα της επόμενης γενιάς. Ο τελεστής της επιλογής δεν εισάγει νέα άτομα στον πληθυσμό, άρα και δεν μπορεί να εντοπίσει νέες λύσεις στον χώρο αναζήτησης. Διασταύρωση (Cross-over): Η διασταύρωση εφαρμόζεται σε ζεύγη επιλεγμένων ατόμων που ονομάζονται γονείς, μεταφέροντας τμήματα των χρωμοσωμάτων τους με σκοπό τον σχηματισμό δύο νέων χρωμοσωμάτων, που ονομάζονται απόγονοι. Η πιθανότητα διασταύρωσης εκφράζει το ποσοστό πραγματοποίησης ενός ανασυνδυασμού μεταξύ δύο γονέων. Στην πιο απλή μορφή της πραγματοποιείται σε ένα σημείο διασταύρωσης, το οποίο έχει επιλεχθεί τυχαία, με τα τμήματα των χρωμοσωμάτων να ανταλλάσσονται μετά από αυτό, ενώ σε συνθετότερες διασταυρώσεις υπάρχουν δύο ή περισσότερα σημεία διασταύρωσης και τα τμήματα των γονέων ανταλλάσσονται διαδοχικά. Μετάλλαξη (Mutation): Η δημιουργία τροποποιημένων ατόμων κατά την εξελικτική διαδικασία, με σκοπό να αποτραπεί η σύγκλιση σε τοπικά βέλτιστα, επιτυγχάνεται με τον συντελεστή μετάλλαξης. Ο τελεστής μετάλλαξης επιλέγει τυχαία χαρακτήρες μέσα στη συμβολοσειρά και τροποποιεί την τιμή τους, οδηγώντας έτσι στην επίτευξη νέου σημείου στον χώρο αναζήτησης. Η τροποποίηση αυτή περιγράφεται και πάλι από μια πιθανότητα πραγματοποίησης της. Όταν η κωδικοποίηση γίνεται με χαρακτήρες του δυαδικού συστήματος, τότε η μετάλλαξη γίνεται με αλλαγή του 0 σε 1 και αντίστροφα. Στην κωδικοποίηση πραγματικών αριθμών γίνεται με την πρόσθεση ή αφαίρεση ενός μικρού αριθμού στους επιλεγμένους προς μετάλλαξη χαρακτήρες. Ελιτισμός (Elitism): Όταν η πιθανότητα επιλογής ενός ατόμου εκφράζεται ανάλογα με την ποιότητά του, υπάρχει πάντα η πιθανότητα, το καλύτερο άτομο μιας γενιάς να μην επιλεγεί στην επόμενη γενιά και συνεπώς να χαθεί, οδηγώντας σε βραδυπορία της εξελικτικής διαδικασίας. Αυτό το παράδοξο έρχεται να καταργήσει ο ελιτισμός, ο οποίος επιβάλει την μεταφορά του καλύτερου ατόμου στην επόμενη γενιά. Η ανάπτυξη θεωρητικού υπόβαθρου των εξελικτικών αλγορίθμων είναι αντικείμενο πολλών ερευνητικών προσεγγίσεων, εφ όσον υπάρχουν προβλήματα ταχύτητας, αξιοπιστίας και σύγκλισης /40,41,42/. Η αναζήτηση λύσεων σε αυτά έφερε ως αποτέλεσμα, μεταξύ άλλων, τον συνδυασμό των εξελικτικών αλγορίθμων με τεχνητά νευρωνικά δίκτυα, που αποσκοπούν στην προσέγγιση της αντικειμενικής συνάρτησης, αυξάνοντας την ταχύτητα σύγκλισης /43/. Μια - 10 -
2. Στάθμη γνώσεων εξελιγμένη μέθοδος /44/ συνδυάζει τα νευρωνικά δίκτυα με μια μορφή γενετικού αλγορίθμου με σκοπό τον βέλτιστο σχεδιασμό επίπεδων μηχανισμών, περιοχή έρευνας η οποία άπτεται των θεμάτων που αναπτύσσονται στην παρούσα εργασία και αναλύονται στη συνέχεια. Στην περιοχή των παράλληλων ρομποτικών βραχιόνων, προτείνεται η χρήση γενετικών αλγορίθμων για την βελτιστοποίηση, τόσο του όγκου του χώρου εργασίας, όσο και της ευχρηστίας ενός βραχίονα τριών βαθμών ελευθερίας, χρησιμοποιούμενου σε μηχανουργικές κατεργασίες /45/. Στον τομέα της ρομποτικής και ιδιαίτερα στις μεθόδους σχεδιασμού τροχιάς κίνησης σε περιβάλλον με εμπόδια και των βέλτιστων χρονικών εξελίξεων αυτών των κινήσεων, έχουν παρουσιασθεί πλήθος εργασιών βασιζόμενες σε εξελικτικούς αλγορίθμους. Συνηθέστεροι όλων είναι βέβαια οι γενετικοί αλγόριθμοι, με διάφορες μορφές και μετατροπές της βασικής ιδέας, όπως αναλύεται και στην ενότητα 2.4, σχετική με τις διαδρομές κίνησης του βραχίονα, που ακολουθεί. 2.2.4. Μέθοδοι ελέγχου ορίων μεταβλητών Οι μέθοδοι ελέγχου των ορίων των μεταβλητών αποτελούν μεθόδους υποστήριξης αριθμητικών μεθόδων βελτιστοποίησης. Δεν είναι διαδικασίες, οι οποίες μπορούν να λειτουργήσουν ανεξάρτητα οδηγώντας σε κάποιο είδος βελτιστοποίησης, παρά μόνο να υποβοηθήσουν κάποια μέθοδο βελτιστοποίησης, που λειτουργεί με πεπερασμένα όρια στις μεταβλητές της. Έχουν ως αποτέλεσμα, να επιταχύνουν την διαδικασία βελτιστοποίησης ή να επιτυγχάνουν την εστίαση της διαδικασίας αναζήτησης σε ορισμένη περιοχή των δυνατών λύσεων. Βασίζονται στον αναπροσδιορισμό των ορίων των ανεξάρτητων μεταβλητών, που εμπλέκονται σε κάποιο πρόβλημα, έτσι ώστε σε κάθε νέο βήμα, ιδίως σε επιλύσεις βασιζόμενες σε εξελικτικούς αλγόριθμους, να περιορίζεται η αναζήτηση σε περισσότερο «κρίσιμες» περιοχές. Οι εργασίες που άπτονται της περιοχής αυτής είναι ποικίλες και συνεργάζονται και με τις τρεις μορφές εξελικτικών αλγορίθμων σε διάφορα πεδία εφαρμογής. Ενδεικτικά, αναφέρεται η μέθοδος ελέγχου των ορίων των μεταβλητών συνεργαζόμενη με στρατηγική εξέλιξης /46/, η οποία φέρνει καλύτερα αποτελέσματα από αυτά που προέκυπταν με την χρήση του καθιερωμένου «σχήματος απόρριψης». Αντίστοιχα, με χρήση εξελικτικού προγραμματισμού βελτιστοποιείται ο σχεδιασμός εξαρτημάτων με χρήση μεθόδου ελέγχου ορίων μεταβλητών /47/. Γενικευμένες μορφές μεθόδων ελέγχου ορίων μεταβλητών, σε συνδυασμό με γενετικούς αλγόριθμους /48,49/, λειτουργούν με μείωση, αύξηση ή επαναπροσδιορισμό των ορίων, που οδηγούν σε αποδοτικότερες μεθόδους αναζήτησης. - 11 -
2. Στάθμη γνώσεων 2.3. Προσδιορισμός γεωμετρίας, τοποθέτησης και σχηματισμών ρομποτικού βραχίονα Στις βιομηχανικές εφαρμογές η συμπεριφορά του ρομποτικού βραχίονα μπορεί να βελτιωθεί αισθητά με τον κατάλληλο προσδιορισμό των παραμέτρων σχεδίασης του, λαμβάνοντας υπόψη διάφορα κριτήρια. Κατά την διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών έχουν αναπτυχθεί διάφορες μεθοδολογίες σχεδιασμού ρομποτικών συστημάτων προσανατολισμένων σε χωρικές εργασίες. Στην πλειονότητα των περιπτώσεων οι μεθοδολογίες προσεγγίζουν το πρόβλημα του σχεδιασμού ενός βραχίονα, σε συνδυασμό με αυτό της τοποθέτησης της βάσης του, ενώ η τοποθέτηση αποτελεί και ανεξάρτητο προβληματισμό πολλών εργασιών /50,51/. Η επίλυση του προβλήματος της αντίστροφης κινηματικής και του προσδιορισμού των σχηματισμών του βραχίονα, πέρα από την αναλυτική της μορφή που επιτυγχάνεται για κάθε βραχίονα, αποτελεί και αντικείμενο έρευνας πλήθους εργασιών με διάφορες μεθόδους προσέγγισης. 2.3.1. Σχεδιασμός ρομποτικού βραχίονα Οι μεθοδολογίες που εφαρμόζονται για τον σχεδιασμό ρομποτικών βραχιόνων, μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες: στις αναλυτικές μεθόδους (exact synthesis) και στις αριθμητικές μεθόδους (approximate synthesis). Οι αναλυτικές μέθοδοι έχουν το πλεονέκτημα να εντοπίζουν όλες τις δυνατές λύσεις του προβλήματος, πρέπει όμως να ισχύουν κάποιες προϋποθέσεις για την δημιουργία ομογενούς συστήματος εξισώσεων, το οποίο θα έχει λύση. Πρέπει απαραίτητα το πλήθος των εξισώσεων του συστήματος να ισούται με το πλήθος των ανεξαρτήτων μεταβλητών, απαίτηση που επιβάλει την χρήση π.χ. συγκεκριμένου πλήθους τελικών σημείων κατεργασίας για ορισμένο βραχίονα. Για σύνθετους μηχανισμούς προκύπτουν ογκώδη συστήματα εξισώσεων και συνεπώς το πρόβλημα του γεωμετρικού σχεδιασμού μπορεί να επιλυθεί μόνο για λίγους χωρικούς μηχανισμούς, περιορισμένων βαθμών ελευθερίας. Χαρακτηριστικό παράδειγμα γεωμετρικού σχεδιασμού ενός RR βραχίονα, χωρίς την εμπλοκή της τοποθέτησης της βάσης, αποτελεί η /52/, στην οποία επιτυγχάνεται η προσέγγιση ορισμένης τροχιάς με χρήση τριάδων σημείων και σύνθεση των προτεινόμενων τμηματικών λύσεων. Ο κύριος όγκος ενασχόλησης και σχετικών εργασιών εστιάζεται στο πρόβλημα βελτιστοποίησης της γεωμετρίας και της τοποθέτησης της βάσης, ταυτόχρονα. Σε αυτές τις περιπτώσεις επιστρατεύονται και εξειδικευμένες μεθοδολογίες για την απλοποίηση και εν συνεχεία την επίλυση του εν γένει σύνθετου συστήματος εξισώσεων. Επί παραδείγματι, η εργασία /53/ χρησιμοποιεί μια πολυωνυμική τεχνική απαλοιφής για τον προσδιορισμό των διαστάσεων των γεωμετρικών παραμέτρων ενός βραχίονα RR, συμπεριλαμβανομένης της τοποθέτησης της βάσης, όταν τρία σημεία κατεργασίας του άκρου είναι προκαθορισμένα. Επέκταση της εν λόγω εργασίας αποτελεί η /54/, στην οποία με την ίδια μεθοδολογία επιτυγχάνεται η επίλυση του - 12 -
2. Στάθμη γνώσεων προβλήματος με βραχίονα 3 ων βαθμών ελευθερίας (PRR). Το πρόβλημα των 3 ων βαθμών ελευθερίας με συνδυασμό μόνο περιστροφικών και πρισματικών αρθρώσεων (PRR, RPR και RRP) προσεγγίζει η εργασία /55/. Σε άλλες περιπτώσεις στα κριτήρια βελτιστοποίησης εντάσσονται και γενικευμένες κινηματικοί παράμετροι, όπως στην /56/, στην οποία ο προσδιορισμός των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του βραχίονα εξαρτάται από το μέγεθος της ευχρηστίας του βραχίονα. Οι αριθμητικές μέθοδοι, οι οποίες βασίζονται σε κάποια μέθοδο βελτιστοποίησης, χρησιμοποιούνται σε προβλήματα γεωμετρικού σχεδιασμού, στα οποία τα προκαθορισμένα σημεία είναι είτε λιγότερα, είτε περισσότερα από αυτά που απαιτούνται από τις αναλυτικές μεθόδους, όπως προαναφέρθηκε. Ένας συνδυασμός αναλυτικής μεθόδου και μεθόδου βελτιστοποίησης χρησιμοποιείται στην εργασία /57/ για τον σχεδιασμό ενός χωρικού βραχίονα RR με ορισμένη τροχιά του άκρου. Μια καθαρά εφαρμοσμένη διαδικασία σύνθεσης ρομποτικού βραχίονα με χρήση σε αγροτικές εργασίες παρουσιάζεται στην /58/. Η αριθμητική προσέγγιση του προβλήματος πραγματοποιείται με χρήση γενικών αλλά και ειδικών εμπορικών λογισμικών βελτιστοποίησης, με τους περιορισμούς που αυτό εισάγει, ώστε να επιτευχθεί η βελτίωση ορισμένων χαρακτηριστικών του βραχίονα. Ο βέλτιστος σχεδιασμός ενός ρομποτικού βραχίονα 3R με αριθμητικές μεθόδους λαμβάνει υπόψη του ιδιομορφίες /59/ ή περιορισμούς /60/ του χώρου εργασίας του βραχίονα, προσεγγίζοντας ένα ρεαλιστικότερο αλλά ταυτόχρονα και συνθετότερο πρόβλημα. 2.3.2. Τοποθέτηση ρομποτικού βραχίονα Για ένα ορισμένο βραχίονα γνωστής γεωμετρίας, ο χρόνος του κύκλου εργασίας του, που αποτελεί και το σύνηθες μέγεθος προς βελτιστοποίηση, εξαρτάται από παραμέτρους, όπως η σωστή σχετική τοποθέτηση της βάσης του βραχίονα και του κατεργαζόμενου τεμαχίου, οι μέγιστες ταχύτητες και επιταχύνσεις των μηχανισμών κίνησης, οι επιθυμητοί σχηματισμοί του βραχίονα και η αποφυγή ιδιομορφιών. Στις /61,62/ προτείνεται μια μέθοδος αυτόματου προσδιορισμού της τοποθέτησης βραχιόνων, χρησιμοποιώντας μια γενική μέθοδο βελτιστοποίησης συνυπολογίζοντας διάφορα κριτήρια κινηματικής του βραχίονα. Αντίστοιχα οι /63,64/ προσεγγίζουν το πρόβλημα ως τοποθέτηση των κατεργασιών στον χώρο εργασίας του βραχίονα αποσκοπώντας στην βελτιστοποίηση μεγεθών όπως η ευχρηστία ή η κινηματική του βραχίονα. Μια επαναληπτική μέθοδος χαρακτηρισμού της τοποθέτησης της βάσης, με τη βοήθεια μιας συνάρτησης κόστους, παρουσιάζεται στην /50/. Η συνάρτηση κόστους αποτελεί σε αυτή την προσέγγιση το κριτήριο, βάσει του οποίου, ο υπολογιζόμενος χώρος εργασίας κατευθύνεται προς τα προκαθορισμένα τελικά σημεία. Η /65/ από την πλευρά της προτείνει μια απλή γεωμετρική μέθοδο επίλυσης για την προσέγγιση των προκαθορισμένων τελικών σημείων, είτε σταθερών, είτε κινούμενων. Βελτιστοποίηση - 13 -
2. Στάθμη γνώσεων τοποθέτησης επιτυγχάνεται από την /66/ σε μονό ή δύο συνεργαζόμενους βραχίονες, οι οποίοι εργάζονται σε μια συνεχή διαδρομή με σταθερή ταχύτητα, χρησιμοποιώντας μια διαδικασία ελαχιστοποίησης του κύκλου εργασίας. Ένας αλγόριθμος, επίσης βασισμένος στην ελαχιστοποίηση του κύκλου εργασίας, προτείνεται στην /67/, ο οποίος χρησιμοποιεί μια αρχή καρτεσιανής κίνησης για την εκτίμηση του χρόνου κίνησης σε επίπεδο παρεμβολής των αρθρώσεων. Μια μέθοδος ισχυροποίησης με προσομοίωση εφαρμόζεται στην /68/ για την βελτιστοποίηση της τοποθέτησης του βραχίονα και της αλληλουχίας των θέσεων κατεργασίας, σε περιβάλλον κατεργασιών συγκόλλησης, όπου χρησιμοποιείται μια απλούστευση του χώρου αναζήτησης των λύσεων. Στην /69/ παρουσιάζεται μια διαδικασία βασισμένη σε γενετικό αλγόριθμο, για τον προσδιορισμό της βέλτιστης τοποθέτησης RR επίπεδου βραχίονα. Η βελτιστοποίηση της τοποθέτησης ενός βραχίονα σε περιβάλλον με εμπόδια προσεγγίζεται στην /70/. Προτείνεται η χρήση τεχνικών τυχαίου σχεδιασμού τροχιάς με παρεμβολή αναζήτησης σε επίπεδο αρθρώσεων, επιδιώκοντας την ελαχιστοποίηση του χρόνου κίνησης του άκρου. 2.3.3. Επίλυση προβλήματος αντίστροφης κινηματικής Έχοντας αρχικά σχεδιάσει και εν συνεχεία τοποθετήσει την βάση του βελτιστοποιημένου βραχίονα, το επόμενο κρίσιμο βήμα είναι ο προσδιορισμός των μεταβλητών των αρθρώσεων του βραχίονα, βάσει του οποίου επιτυγχάνεται η επιθυμητή θέση του άκρου, ικανοποιώντας ταυτόχρονα και άλλα κριτήρια βελτιστοποίησης, εξαρτώμενα από μεγέθη όπως η ευχρηστία /71/. Έτσι, για την επίλυση του προβλήματος της βέλτιστης λύσης η οποία επιτυγχάνει μια επιθυμητή θέση κατεργασίας, εφαρμόζονται διάφορες μέθοδοι, με συνηθέστερες τις αριθμητικές και δη τους εξελικτικούς αλγορίθμους /72,73,74,75/. Η πλειονότητα αυτών των εργασιών αναφέρεται σε βραχίονες με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας (redundant manipulators) οι οποίες επιλέγουν από τους πολλούς διαθέσιμους σχηματισμούς, που προσεγγίζουν την επιθυμητή τελική θέση, αυτή που βελτιστοποιεί και άλλα κρίσιμα μεγέθη. Μια μέθοδος επίλυσης του προβλήματος ενός βραχίονα n-βαθμών ελευθερίας προσεγγίζεται με χρήση γενετικών αλγορίθμων στην /72/. Επέκταση αυτής, με χρήση πραγματικής κωδικοποίησης στα χρωμοσώματα των γενετικών αλγορίθμων, αποτελεί η /73/. Στις εφαρμογές που παρουσιάζονται γίνεται χρήση της μεθόδου σε διάφορους εμπορικούς βραχίονες, ενώ αποκλειστικό κριτήριο βελτιστοποίησης αποτελεί η απόκλιση επιθυμητής και υπολογιζόμενης τοποθέτησης του άκρου του βραχίονα. Μια διαφορετική διατύπωση του αναλύεται στην /74/, η οποία προσεγγίζει το πρόβλημα με χρήση εξελικτικού προγραμματισμού. Η μαθηματική διατύπωση της μεταβλητής κάθε άρθρωσης αποτελεί το προς εξέλιξη μέγεθος, με κριτήριο βελτιστοποίησης την επίτευξη της επιθυμητής θέσης του άκρου. Έτσι, για κάθε άρθρωση προκύπτει μια σύνθετη έκφραση τριγωνομετρικών κυρίως συναρτήσεων, που προσεγγίζει την αναλυτική διατύπωση της άρθρωσης για το αντίστροφο πρόβλημα. Βασισμένη σε μια τροποποιημένη μορφή γενετικού αλγορίθμου είναι και η /75/, η οποία αντίστοιχα με τις - 14 -
2. Στάθμη γνώσεων προηγούμενες μεθόδους, προσεγγίζει το πρόβλημα της αντίστροφης κινηματικής σε βραχίονες με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας, όμως επιπρόσθετα εμπλέκει την ύπαρξη εμποδίων στον χώρο εργασίας. Μεταβλητές του προβλήματος βελτιστοποίησης δεν είναι οι τιμές των γωνιών των αρθρώσεων, αλλά οι μεταβολές αυτών, με όρια αυτών των μεταβολών, που προσδιορίζονται από τις συνθήκες του προβλήματος. Έτσι, με την πάροδο των γενεών καθοδηγείται ο βραχίονας μέσω των στοιχειωδών μεταβολών των αρθρώσεων, συνυπολογίζοντας τα όρια αρθρώσεων και τα εμπόδια του χώρου εργασίας, μέχρι να επιτευχθεί η επιθυμητή θέση του άκρου. Στο πρόβλημα της αντίστροφης κινηματικής, σε βραχίονες όμως χωρίς πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας επικεντρώνεται η /76/ αναζητώντας βέλτιστες λύσεις στο πρόβλημα της κίνησης του πωλητή μεταξύ θέσεων κατεργασίας. Παράλληλα προτείνεται μια τροποποιημένη κωδικοποίηση των συμβολοσειρών του γενετικού αλγορίθμου με σκοπό τον άμεσο υπολογισμό όλων των λύσεων του αντιστρόφου προβλήματος. Πέρα από τις εξελικτικές μεθόδους στην αναζήτηση λύσεων του προβλήματος της αντίστροφης κινηματικής δραστηριοποιούνται και άλλες μέθοδοι. Η αναλυτική μέθοδος /77/ προσεγγίζει το πρόβλημα με κριτήριο την «ελάχιστη προσπάθεια» του βραχίονα, όπου εκτός από την αναλισκόμενη ενέργεια συνυπολογίζονται και άλλα μεγέθη, με σκοπό την επίτευξη και ταχύτερης κίνησης μεταξύ διαδοχικών θέσεων. Μια πιο ολοκληρωμένη αριθμητική προσέγγιση, βασιζόμενη στη μέθοδο Newton-Raphson, συνυπολογίζει τόσο την αποφυγή εμποδίων, όσο και τα όρια των αρθρώσεων του βραχίονα /78/, με κριτήριο βελτιστοποίησης την απόκλιση υπολογιζόμενου και προκαθορισμένου σημείου του άκρου. Εφαρμόζεται σε βραχίονες με ή χωρίς πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας και περιγράφει το σύνολο της γεωμετρίας του βραχίονα με ισοδύναμες σφαίρες για την αποφυγή των εμποδίων. Τέλος, αναφέρονται και μεθοδολογίες, που συνδέουν την αντίστροφη κινηματική με την αποφυγή εμποδίων και τον σχεδιασμό τροχιάς και βασίζονται είτε σε νευρωνικά δίκτυα /79/, είτε ακόμα και σε τυχαία αναζήτηση και επιλογή του βέλτιστου σχηματισμού του βραχίονα και της τροχιάς του άκρου /80/. 2.4. Σχεδιασμός κίνησης του βραχίονα Η επίτευξη βέλτιστης χρήσης ρομποτικών βραχιόνων είναι άμεσα συνδεδεμένη με διαδικασίες σχεδιασμού και βελτιστοποίησης της κίνησης του βραχίονα. Το πρόβλημα δημιουργίας μιας «βέλτιστης» κίνησης εμπλέκει πλήθος παραγόντων και μεγεθών και είναι από τα πλέον πολυσύνθετα στον τομέα της ρομποτικής, γεγονός που στοιχειοθετείται και από το πλήθος των σχετικών με το αντικείμενο εργασιών, που έχουν δημοσιευθεί. Μια βελτιστοποιημένη κίνηση βραχίονα πρέπει απαραίτητα να αποφεύγει τα εμπόδια του χώρου εργασίας και συνεπώς να εξασφαλίζει την απρόσκοπτη λειτουργία όλων των μελών του. - 15 -
2. Στάθμη γνώσεων Επιπρόσθετα, πρέπει να λαμβάνει υπόψη και να τηρεί τα όρια κινηματικής και δυναμικής λειτουργίας, που θέτει ο κατασκευαστής, όπως τα όρια των γωνιών των αρθρώσεων, τις μέγιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες και επιταχύνσεις, τις κινητήριες ροπές, κα. Επιπλέον, πρέπει να είναι «βέλτιστη» ως προς κάποιο μέγεθος-δείκτη σχετικό με την λειτουργία του βραχίονα, με συνηθέστερα επιλεγόμενα μεγέθη τον χρόνο και την καταναλισκόμενη ενέργεια. Οι προσεγγίσεις στο πρόβλημα, που απαντώνται στην βιβλιογραφία, διαχωρίζονται σε δύο κατηγορίες /3/: 1. Σχεδιασμός διαδρομής (path planning) 2. Σχεδιασμός τροχιάς (trajectory planning) Ο σχεδιασμός διαδρομής αφορά στον εντοπισμό του γεωμετρικού χώρου, απαλλαγμένου από εμπόδια, που επιτρέπει την ελεύθερη κίνηση του βραχίονα, από κάποιο δεδομένο σημείο εκκίνησης, σε άλλο δεδομένο σημείο τερματισμού. Ο σχεδιασμός τροχιάς ακολουθεί το βήμα σχεδιασμού διαδρομής και αφορά τον προσδιορισμό συνάρτησης, χρονικά παραμετρικής, η οποία ελαχιστοποιεί κάποιον δείκτη λειτουργίας του βραχίονα, συνυπολογίζοντας τους κινηματικούς και δυναμικούς περιορισμούς του προβλήματος /81/. Οι δύο αυτές προσεγγίσεις είναι αποσυμπλεγμένες μεταξύ τους και ως αποσυμπλεγμένες εμφανίζονται σε πολλές περιπτώσεις στην βιβλιογραφία. Εντούτοις, υπάρχουν πολλές εργασίες που προσεγγίζουν το πρόβλημα συνολικά, με ταυτόχρονη επίλυση του σχεδιασμού της διαδρομής και του σχεδιασμού της τροχιάς. Αυτή η συνδυασμένη προσέγγιση, λαμβάνοντας υπόψη την πολυπλοκότητα των επιμέρους προβλημάτων, χαρακτηρίζεται από επιπρόσθετη δυσκολία και απαιτεί επιπλέον υπολογιστικό χρόνο. Έτσι, ως επί το πλείστον εφαρμόζεται σε off line αλγορίθμους και όχι σε εφαρμογές πραγματικού χρόνου. Η πλειονότητα των ερευνητικών προσπαθειών στον τομέα της τροχιάς κίνησης του βραχίονα, αντιστοιχεί τον βραχίονα με ένα σημείο ή με κάποια απλοποίηση της γεωμετρίας του, με σημεία, με στοιχειώδεις γεωμετρίες, κοκ. Επιπρόσθετα, πλήθος εργασιών διερευνούν την δημιουργία τροχιάς, απαλλαγμένη από εμπόδια, για κινητά ρομπότ τα οποία έχουν ορισμένες ιδιαιτερότητες σε σχέση με τα σταθερά. Τα συγκεκριμένα δεν αναλύονται στην παρούσα εργασία, μια και δεν αποτελούν μέρος της έρευνας της. 2.4.1. Προσδιορισμός διαδρομής κίνησης του βραχίονα, με αποφυγή σύγκρουσης με εμπόδια Οι απλούστερες μέθοδοι, που έχουν εφαρμοστεί για τον σχεδιασμό της διαδρομής κίνησης ενός βραχίονα, βασίζονται αποκλειστικά σε γεωμετρικές προσεγγίσεις περιγραφής του αποδεκτού χώρου κίνησης για τον βραχίονα /82,83/, σε δύο ή τρεις διαστάσεις, αντίστοιχα. Σε πολλές περιπτώσεις η αξιολόγηση του χώρου εργασίας πραγματοποιείται βάσει μιας τοπογραφικής - 16 -
2. Στάθμη γνώσεων αποτύπωσης, ενός χάρτη, στον οποίο αποτυπώνεται η τιμή μιας συνάρτησης μετατροπής των αξιολογούμενων μεγεθών. Η μορφή αυτής της συνάρτησης μπορεί να βασίζεται στην Ευκλείδεια απόσταση /84/, ή σε συνδυασμό της με διαδικασίες τμηματοποίησης του χώρου με τετραγωνική ή οκταγωνική διαίρεση /85/, η σε μια αντιστοίχηση των σχηματισμών του βραχίονα με τον χώρο εργασίας /86/. Σε άλλες περιπτώσεις, ο σχεδιασμός διαδρομής επικεντρώνεται στην αξιοποίηση των πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας για μια κατεργασία, με χρήση είτε γενετικών αλγορίθμων /87,88/, είτε νευρωνικών δικτύων /89/, σκοπεύοντας στην βελτιστοποίηση της χρηστικότητας του βραχίονα. Στην /90/ παρουσιάζεται μια προσέγγιση που εφαρμόζεται σε δύο διαστάσεις, τόσο σε επίπεδους βραχίονες με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας, όσο και σε επίπεδους βραχίονες άνευ πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας, η οποία προσέγγιση ελαχιστοποιεί την απόσταση, με χρήση ενός τροποποιημένου γενετικού αλγορίθμου. Οι αλγόριθμοι αναζήτησης, με χρήση δυναμικών πεδίων και βασιζόμενοι σε κλασικές μεθόδους βελτιστοποίησης, εφαρμόζονται από τον σχεδιασμό διαδρομής σε τοπικό επίπεδο /91/, με σταθερά εμπόδια /78/, έως τον πλήρη χώρο εργασίας με ταυτόχρονη ύπαρξη κινούμενων εμποδίων /92/. Στον σχεδιασμό διαδρομής κίνησης ελεύθερης συγκρούσεως, δραστηριοποιούνται επιπλέον και μεθοδολογίες ασαφούς λογικής (fuzzy logic) /93/, αρμονικών συναρτήσεων /94/ σε μη σταθερά γεωμετρικά πλέγματα εμποδίων, καθώς και συνδυασμοί μεθόδων όπως η /95/, με διαγράμματα Voronoi, μεθόδους οπτικής και δυναμικά πεδία. Στην προσπάθεια απλοποίησης των σχετικών προβλημάτων, σε ορισμένες προσεγγίσεις γίνεται καταμερισμός των λειτουργιών, μεταξύ των βαθμών ελευθερίας του βραχίονα και των βαθμών ελευθερίας της τράπεζας εργασίας, οδηγώντας σε δύο απλοποιημένα συστήματα, τα οποία προσεγγίζονται, είτε γεωμετρικά /96/, είτε αναλυτικά /97/. 2.4.2. Προσδιορισμός τροχιάς κίνησης του βραχίονα, με προκαθορισμένη διαδρομή κίνησης Έχοντας προσδιορίσει τη διαδρομή κίνησης του άκρου του βραχίονα, στην οποία δεν υπάρχει σύγκρουση με εμπόδια του χώρου εργασίας, για την επίτευξη μιας βέλτιστης τροχιάς κίνησης, απαιτείται ο προσδιορισμός της χρονικής εξέλιξης της τοποθέτησης του άκρου και κατ επέκταση της ταχύτητας του, της επιτάχυνσης του, κοκ. Στις περισσότερες εργασίες που προσεγγίζουν την αποσυμπλεγμένη αυτή μορφή προσδιορισμού τροχιάς, το μέγεθος το οποίο επιδιώκεται να ελαχιστοποιηθεί είναι ο χρόνος κίνησης από το αρχικό έως το τελικό σημείο της προκαθορισμένης διαδρομής, ενώ οι περιορισμοί αυτού του προβλήματος βελτιστοποίησης είναι τα όρια των γωνιών των αρθρώσεων, οι μέγιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες και επιταχύνσεις τους, καθώς και οι κινητήριες ροπές και οι παράγωγοί τους /98,99,100/. Σε - 17 -
2. Στάθμη γνώσεων παραπλήσια προσέγγιση, επιπρόσθετα των προαναφερθέντων, δεν θεωρείται προκαθορισμένη όλη η διαδρομή κίνησης, αλλά μόνο ένα πλήθος ενδιάμεσων κομβικών σημείων /101/. Στην /102/, το προς βελτιστοποίηση μέγεθος είναι η καταναλισκόμενη ενέργεια, με τους περιορισμούς του προβλήματος να παραμένουν ανάλογοι των προαναφερθέντων, ενώ στον αλγόριθμο προσδιορισμού βέλτιστης λύσης δραστηριοποιείται ένας γενετικός αλγόριθμος. Συνδυασμός δύο μεγεθών προς βελτιστοποίηση προτείνεται στην /103/, στην οποία πέρα από τον χρόνο ελαχιστοποιείται και η μέση κινητήρια ροπή των αρθρώσεων, ενώ και σε αυτή την εργασία ο αλγόριθμος βελτιστοποίησης είναι ένας γενετικός αλγόριθμος. Συνδυασμός βελτιστοποιούμενων μεγεθών προτείνεται και στην /104/, με μεγέθη προς βελτιστοποίηση τον χρόνο και την καταναλισκόμενη ενέργεια, όχι όμως μόνο στον βραχίονα, αλλά και στην τράπεζα εργασίας, η οποία διαθέτει και αυτή περιορισμένους βαθμούς ελευθερίας. Αυτή η εργασία αποτελεί συνέχεια της εργασίας /96/, οι οποίες ως συνδυασμός θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως μια προσέγγιση που αντιμετωπίζει το συνολικό πρόβλημα σχεδιασμού διαδρομής και προσδιορισμού τροχιάς ταυτόχρονα, σύμφωνα με τα όσα αναλύονται ακολούθως. 2.4.3. Προσδιορισμός τροχιάς κίνησης του βραχίονα, με ταυτόχρονο προσδιορισμό διαδρομής κίνησης Η ταυτόχρονη επίλυση του προβλήματος σχεδιασμού διαδρομής και τροχιάς κίνησης του άκρου του βραχίονα, αποτελεί αντικείμενο έρευνας επίσης πολλών εργασιών, οι οποίες διαφοροποιούνται μεταξύ τους στον τρόπο προσέγγισης του προβλήματος, αλλά και ως προς το αντικείμενο, στο οποίο επικεντρώνουν το ενδιαφέρον τους. Υπό το πρίσμα μιας κοινής προσέγγισης, αντιμετωπίζεται τόσο το πρόβλημα του σχεδιασμού επιτρεπόμενης ή επιθυμητής διαδρομής, ελεύθερης εμποδίων, όσο και το πρόβλημα της τροχιάς κίνησης, δηλαδή της χρονικής εξέλιξης της κίνησης, στην υπολογιζόμενη διαδρομή. Ο αυξημένος βαθμός δυσκολίας στο σχεδιασμό διαδρομής και τροχιάς, οδηγεί σε θεωρήσεις ή περιορισμό του εύρους εφαρμογής κάθε μεθοδολογίας. Οι απλούστερες προσεγγίσεις περιορίζονται σε δύο ή τρεις βαθμούς ελευθερίας του βραχίονα, ενώ και τα εμπόδια θεωρούνται σημεία ή απλές γεωμετρικές μορφές /105,106,107,108,109/. Για την βελτιστοποίηση των παραμέτρων του προβλήματος, επιστρατεύεται κάποιος απλός γενετικός αλγόριθμος με αντικειμενική συνάρτηση μονού ή πολλαπλού κριτηρίου. Για την βελτιστοποίηση της αλληλουχίας των εργασιών χρησιμοποιούνται μεθοδολογίες σχετικές με το γνωστό πρόβλημα κίνησης του πωλητή (TSP) /107,110/, ενώ ειδικά στην δεύτερη, ως εργασίες θεωρούνται ομάδες γειτονικών σημείων κατεργασίας και η τροχιά υπολογίζεται για την κίνηση από ομάδα σε ομάδα. Η κατάστρωση των εξισώσεων περιγραφής του προβλήματος, βασίζεται σε κινηματική /108/ ή δυναμική /111/ ανάλυση του βραχίονα, με κύριο στόχο την ελαχιστοποίηση του χρόνου κίνησης - 18 -
2. Στάθμη γνώσεων του βραχίονα, την ελαχιστοποίηση της καταναλισκόμενης ενέργειας /109,112/, ή σε συνδυασμό με άλλα μεγέθη όπως η μεταβολή των γωνιών των αρθρώσεων, το μέτρο ευχρηστίας, κα /21,113/. Οι περιορισμοί που συνυπολογίζονται στο πρόβλημα είναι τα όρια των γωνιών των αρθρώσεων, οι μέγιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες και επιταχύνσεις τους, οι κινητήριες ροπές και οι παράγωγοί τους /106,109,111,112,114/, καθώς και διάφορα άλλα μεγέθη που κατά περίπτωση θεωρούνται κρίσιμα /21,108/. Οι γενετικοί αλγόριθμοι, που κατά κόρο εφαρμόζονται /105,106,113/, σε ορισμένες περιπτώσεις συνδυάζονται και με άλλες μεθοδολογίες, όπως π.χ. μεθοδολογίες ασαφούς λογικής /115/. Η περιγραφή της γεωμετρίας των μελών του βραχίονα σε τρεις διαστάσεις χωρίς ουσιαστικές απλοποιήσεις, που πραγματοποιείται εν μέρει στην /114/, αποτελεί βασική προϋπόθεση για την ένταξη μιας μεθοδολογίας σε ένα off line σύστημα, αποτελεί όμως αντικείμενο που παρουσιάζει έλλειμμα στην πλειονότητα των εργασιών. Όλοι οι αναφερθέντες αλγόριθμοι προσφέρουν πλεονεκτήματα, ο καθένας σε ορισμένα είδη προβλημάτων, ταυτόχρονα όμως παρουσιάζουν και αδυναμίες που περιορίζουν την γενικευμένη χρήση τους. Τα περισσότερα εκ των CAD ρομποτικών συστημάτων διαθέτουν ισχυρά εργαλεία γραφικών, τα οποία επιτρέπουν προσομοίωση κινήσεων, εικονική τοποθέτηση της βάσης του ρομποτικού βραχίονα, σχεδιασμό τροχιάς και άλλα συναφή, όμως με τη μέθοδο δοκιμής και διόρθωσης. Συνεπώς, οι δυνατότητες προσομοίωσης και off line χειρισμού περιορίζονται από τις πεπερασμένες δυνατότητες των λογισμικών CAD, λόγω έλλειψης εργαλείων βελτιστοποίησης. Έτσι η διαδικασία είναι χρονοβόρα χωρίς να βασίζεται σε αλγόριθμο βελτιστοποίησης (ντετερμινιστικό, στοχαστικό ή άλλο) με χρήση αντικειμενικού κριτηρίου, όπως η ευχρηστία, η αποφυγή σύγκρουσης, ο χρόνος κίνησης, κα. Η ανάπτυξη αλγορίθμων, που θα βασίζονται ή θα συνδυάζουν στοχαστικές μεθοδολογίες βελτιστοποίησης, ντετερμινιστικές μεθοδολογίες και μεθόδους ελέγχου του χώρου αναζήτησης λύσεων, είτε ταυτόχρονα είτε σε συνδυασμούς αυτών, αποτελεί μια προσέγγιση που δύναται να ξεπεράσει τις αδυναμίες των επιμέρους μεθοδολογιών. Ο υβριδικός αλγόριθμος εκμεταλλεύεται τα πλεονεκτήματα των επιμέρους μεθοδολογιών, για την επίτευξη βέλτιστων λύσεων γενικά σε προβλήματα βελτιστοποίησης και δη σε προβλήματα σειριακών ρομποτικών βραχιόνων, όπως παρουσιάζεται στην παρούσα εργασία. - 19 -
3. Σκοπός της εργασίας 3. Σκοπός της εργασίας Η ανάπτυξη μοντέλων προσομοίωσης ρομποτικών βραχιόνων και συστημάτων off line προγραμματισμού, επέτρεψε την βελτίωση της χρήσης τους και την αποδοτικότερη ένταξή τους στην παραγωγική διαδικασία. Επέτρεψε τον εξ αποστάσεως προγραμματισμό των ρομπότ, μειώνοντας τον κόπο του χειριστή και αυξάνοντας τις εποπτικές δυνατότητες, οδηγώντας στην ποιοτικότερη παραγωγή αυξημένων ποσοτήτων σε αλυσίδες παραγωγής. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάπτυξη μεθοδολογιών για την χρήση και τον προγραμματισμό των ρομποτικών βραχιόνων, εντάσσοντας μεθοδολογίες βελτιστοποίησης που θα εξασφαλίζουν αντικειμενικά καλές λύσεις, υπό το πρίσμα ορισμένων κριτηρίων. Περιοχές οι οποίες θα αποτελέσουν αντικείμενο έρευνας της παρούσας εργασίας είναι α) η βέλτιστη επιλογή των γεωμετρικών χαρακτηριστικών ενός βραχίονα, β) η βέλτιστη σχετική τοποθέτηση κατεργαζόμενου τεμαχίου και βραχίονα, γ) η βέλτιστη σχεδίαση της διαδρομής κίνησης του άκρου με αποφυγή σύγκρουσης με εμπόδια και δ) η ανάπτυξη ενός μοντέλου με ταυτόχρονη γραφική προσομοίωση, off line προγραμματισμό και αυτόματη παραγωγή NC κώδικα. Αναφορικά με τα εργαλεία βελτιστοποίησης για τις ενότητες που αναφέρθηκαν, θα διερευνηθεί η δυνατότητα ανάπτυξης αλγορίθμων, που θα βασίζονται ή θα συνδυάζουν στοχαστικές μεθοδολογίες βελτιστοποίησης, ντετερμινιστικές μεθοδολογίες και μεθόδους ελέγχου του χώρου αναζήτησης λύσεων, είτε ταυτόχρονα είτε σε συνδυασμούς αυτών. Εν προκειμένω, αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας εργασίας ένας υβριδικός αλγόριθμος που συνδυάζει έναν γενετικό αλγόριθμο, μια μέθοδο αναρρίχησης quasi-newton και μια μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών. Κατά την εφαρμογή του ελέγχθηκε σε διάφορα προβλήματα ρομποτικών βραχιόνων, όπου εκμεταλλευόμενος τα πλεονεκτήματα των επιμέρους μεθοδολογιών, πέτυχε τον προσδιορισμό βέλτιστων λύσεων στα προβλήματα που προαναφέρθηκαν. Κύριο πρόβλημα, στο οποίο επιζητείται βέλτιστη λύση, είναι ο προσδιορισμός των γεωμετρικών χαρακτηριστικών των μελών ενός ρομποτικού βραχίονα και της τοποθέτησης της βάσης του, έτσι ώστε το άκρο του να επιτύχει την προσέγγιση ορισμένων θέσεων, υπό το πρίσμα κριτηρίων βελτιστοποίησης, αναφορικά με τον σχηματισμό και την λειτουργικότητα του βραχίονα. Επιπρόσθετα, βέλτιστη λύση επιζητείται στο πρόβλημα του προσδιορισμού της σχετικής τοποθέτησης μεταξύ βραχίονα γνωστής γεωμετρίας και του τεμαχίου κατεργασίας, το οποίο προσδιορίζεται, είτε από διακριτά σημεία κατεργασίας, είτε από ομάδες γειτονικών σημείων, υπό το πρίσμα κριτηρίων βελτιστοποίησης, αναφορικά με τον σχηματισμό, την λειτουργικότητα και την αποδοτικότητα του βραχίονα. Τέλος, εξίσου σημαντική είναι η ανάγκη προσδιορισμού βέλτιστης διαδρομής κίνησης του άκρου κατεργασίας μεταξύ των θέσεων κατεργασίας, σε - 20 -
3. Σκοπός της εργασίας βραχίονα γνωστής γεωμετρίας και τοποθέτησης, με αποφυγή συγκρούσεων όχι μόνο για το σημείο του άκρου κατεργασίας, αλλά για όλα τα μέλη του βραχίονα και όλα τα εμπόδια του χώρου εργασίας. Για την επίτευξη ενός μοντέλου προσομοίωσης θα διερευνηθεί η δυνατότητα συνδυασμού μαθηματικών μοντέλων και ομογενών μητρώων μετασχηματισμού, με κάποιο ισχυρό και διαδεδομένο λογισμικό γραφικής απεικόνισης. Παράλληλα, επιζητείται η ανάπτυξη ολοκληρωμένου λογισμικού off line προγραμματισμού με δυναμικά εργαλεία, το οποίο με συνυπολογισμό των τεχνικών χαρακτηριστικών του εκάστοτε ρομποτικού βραχίονα θα επιτρέπει την αυτόματη παραγωγή του NC κώδικα. Το εν λόγω λογισμικό θα πρέπει να αναπτυχθεί ως εφαρμογή Η/Υ και να συμπεριλάβει και τα εργαλεία βελτιστοποίησης, που επίσης αποτελούν στόχο της εργασίας. Απώτερος σκοπός είναι η ανάπτυξη μιας ολοκληρωμένης και αποτελεσματικής μεθοδολογίας με χρήση εργαλείων βελτιστοποίησης της γεωμετρίας, της τοποθέτησης, των σχηματισμών και της κίνησης οποιουδήποτε ρομποτικού βραχίονα, με ενσωμάτωσή τους σε ένα σύστημα off line χειρισμού και ελέγχου του βραχίονα, ώστε να επιτευχθεί η αποδοτικότερη χρήση του, μέσω ενός εύχρηστου και δυναμικού περιβάλλοντος επικοινωνίας. - 21 -
4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά 4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά 4.1. Ρομποτικός βραχίονας RV-Movemaster (5 DOF) Ο ρομποτικός βραχίονας RV-M1, της εταιρείας Mitsubishi (Σχήμα 4.1), αποτελεί ένα ιδανικό ρομπότ για μηχανουργικές κατεργασίες και για ερευνητική και εκπαιδευτική χρήση, χάρη στα τεχνικά χαρακτηριστικά του. Βρίσκεται εγκατεστημένος στο Εργαστήριο Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας (ΕΕΔΜ) και αποτελείται από πέντε κινητά μέλη και πέντε αρθρώσεις περιστροφής (θ 1 θ 5 ). Οι διαστάσεις των μελών και οι επιτρεπόμενες γωνίες των αρθρώσεων δημιουργούν τον χώρο εργασίας, όπως παρουσιάζεται στο ίδιο σχήμα. Η διάταξη του ρομποτικού βραχίονα αποτελείται από τον μηχανικό βραχίονα, την κεντρική μονάδα ελέγχου, τον Η/Υ στον οποίο αναπτύσσεται ο προγραμματισμός, καθώς και τη γλώσσα προγραμματισμού στην οποία καταγράφονται οι εντολές χειρισμού του, τη συσκευή χειροκίνητης εκμάθησης σημείων (teaching box) και πλήθος περιφερειακών εξαρτημάτων. Η κίνηση πραγματοποιείται με σερβοκινητήρες, ώστε να υπάρχει η μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια στην κίνηση των μελών. Η επικοινωνία της μονάδας ελέγχου του βραχίονα με τον Η/Υ επιτυγχάνεται μέσω θύρας RS-232, ενώ οι εντολές μπορούν να αναπτυχθούν σε περιβάλλον προγραμματισμού Basic. Στο άκρο του μπορούν να προσαρμοστούν διαφόρων ειδών συσκευές (αρπάγη, τσοκ, κτλ), για διάφορα είδη κατεργασίας /116/. Σχήμα 4.1: Βιομηχανικός ρομποτικός βραχίονας RV-Μ1 με πέντε αρθρώσεις περιστροφής, τα όρια των αρθρώσεων και ο χώρος εργασίας του. - 22 -
4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά 4.1.1. Κινηματικό μοντέλο βραχίονα RV-M1 Εκλέγοντας τα συστήματα συντεταγμένων κάθε μέλους, κατά Denavit-Hartenberg /10/, καταστρώνεται το κινηματικό μοντέλο του βραχίονα, που προσδιορίζει τη θέση και τον προσανατολισμό του κάθε μέλους στο χώρο, ως προς ένα ακίνητο σύστημα αναφοράς O 0 (x 0, y 0, z 0 ). Παράλληλα προσδιορίζονται οι αντίστοιχοι παράμετροι θ i, α i, a i, d i κάθε μέλους. Η γραφική απεικόνιση του βραχίονα, των συστημάτων συντεταγμένων και των παραμέτρων, κατά Denavit-Hartenberg, παρουσιάζονται στο σχήμα 4.2. Με αυτά τα δεδομένα, προσδιορίζονται τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού μεταξύ των i διαδοχικών μελών ( ) A i 1,..5 με βάση τη γενική μορφή του ομογενούς μητρώου i 1 = μετασχηματισμού (4x4) (Παράρτημα Π.1). Κατ επέκταση προσδιορίζεται το ομογενές μητρώο μετασχηματισμού 5 A 0, που εκφράζει την θέση και τον προσανατολισμό του άκρου, ως προς το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων (Παράρτημα Π.2). Με βάση τη σχέση (Π.8), επιλύεται το ευθές και/ή το αντίστροφο πρόβλημα της κινηματικής του βραχίονα. Η τοποθέτηση του άκρου σε καρτεσιανές συντεταγμένες προσδιορίζεται από τις σχέσεις (Π.10 Π.12), ενώ οι γωνίες προσανατολισμού του προσδιορίζονται από τις σχέσεις (Π.13 Π.14). Σχήμα 4.2: Συστήματα συντεταγμένων κατά Denavit-Hartenberg και οι αντίστοιχοι παράμετροι του βραχίονα RV-Μ1. - 23 -
4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά 4.2. Βιομηχανικός ρομποτικός βραχίονας RV6 (6 DOF) Χαρακτηριστικό παράδειγμα ιδανικού ρομπότ για απαιτήσεις βιομηχανικού περιβάλλοντος αποτελεί το μοντέλο RV6 της εταιρείας Reis Robotics AG (Σχήμα 4.3), το οποίο έχει καθιερωθεί λόγω πολύ καλής αναλογίας δυνατοτήτων - κόστους. Αποτελείται από έξι κινητά μέλη και έξι αρθρώσεις περιστροφής (θ 1 θ 6 ). Οι κινητήρες που χρησιμοποιούνται είναι εναλλασσόμενου ρεύματος, μονοφασικοί (AC Servomotors) και φέρουν ενσωματωμένο οπτικό κωδικοποιητή θέσης για την απόλυτη μέτρηση της γωνιακής μετατόπισης κάθε άξονα. Οι παλμοί (σήματα) από τους οπτικούς κωδικοποιητές οδηγούνται σε ανεξάρτητη μονάδα ελέγχου, η οποία και μετατρέπει το αναλογικό σήμα που δέχεται σε ψηφιακό, δηλαδή σε γωνία περιστροφής της κάθε άρθρωσης. Όλοι οι κινητήρες είναι εφοδιασμένοι με φρένο, έτσι ώστε οι άξονες να κρατούνται σε δεδομένη θέση, ακόμα και όταν διακόπτεται η παροχή ρεύματος. Με αυτόν τον τρόπο αποφεύγονται οι παρεμβολές πρόσθετων στοιχείων κίνησης, που αποτελούν αιτίες περιορισμένης δυναμικής συμπεριφοράς και ακρίβειας τοποθέτησης του συστήματος. Το ρομπότ συνδέεται με τον πίνακα ελέγχου του, ο οποίος περιέχει την κεντρική μονάδα καθοδήγησης, τις μονάδες ισχύος, τον οδηγό δισκέτας, το χειριστήριο (teaching box), κ.α. Στο άκρο του ρομπότ βρίσκεται το εργαλείο συγκόλλησης το οποίο είναι προσαρμοζόμενο και μπορεί να αλλάζει εύκολα /117/. 4.2.1. Κινηματικό μοντέλο βραχίονα Για να δημιουργηθεί το κινηματικό μοντέλο του βραχίονα και να προσδιοριστεί η θέση και ο προσανατολισμός του κάθε μέλους στο χώρο, ως προς ένα ακίνητο σύστημα αναφοράς O 0 (x 0, Σχήμα 4.3: Βιομηχανικός ρομποτικός βραχίονας RV6 με έξι αρθρώσεις περιστροφής. - 24 -
4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά y 0, z 0 ), εκλέγονται τα συστήματα συντεταγμένων κάθε μέλους κατά Denavit-Hartenberg /10/ και προσδιορίζονται οι αντίστοιχοι παράμετροι κάθε μέλους. Ως αρχή των αξόνων του απόλυτου συστήματος συντεταγμένων ορίζεται το «σημείο τομής του άξονα περιστροφής 1 και του οριζόντιου επιπέδου, που διέρχεται από τον άξονα περιστροφής 2». Η γραφική απεικόνιση του βραχίονα και των συστημάτων συντεταγμένων παρουσιάζονται στο σχήμα 4.4, ενώ στον πίνακα στο ίδιο σχήμα παρατίθενται οι παράμετροί του, κατά Denavit-Hartenberg. Έτσι, με αυτά τα δεδομένα προσδιορίζονται τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού μεταξύ των μελών, με βάση τη γενική μορφή του ομογενούς μητρώου μετασχηματισμού της σχέσης (Π.1) και στη συνέχεια το μητρώο μετασχηματισμού του άκρου ως προς το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων 6 A 0 από τη σχέση (Π.22). Εάν στο άκρο του ρομπότ (μέλος 6) συναρμολογείται ένα εργαλείο (πχ μια τσιμπίδα), η θέση του άκρου κατεργασίας σε σχέση με το 6 ο μέλος προσδιορίζεται από το μητρώο (Π.35), όπου η γωνία ω, και οι διαστάσεις x και z δίνονται από τον κατασκευαστή /12,117/. Έτσι, η θέση του άκρου κατεργασίας σε σχέση με το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων Ο 0 του πλαισίου προσδιορίζεται από το ομογενές μητρώο μετασχηματισμού 7 A 0 (Π.36). Σε αυτές τις σχέσεις βασίζεται, κατά κύριο λόγο, στη συνέχεια η ανάπτυξη αριθμητικών μεθόδων για την προσομοίωση του βραχίονα, αλλά και την βελτιστοποίηση των κινηματικών χαρακτηριστικών του. Σχήμα 4.4: Συστήματα συντεταγμένων κατά Denavit-Hartenberg και οι αντίστοιχες παράμετροι του βραχίονα RV6. - 25 -
4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά 4.2.2. Ιακωβιανό μητρώο βραχίονα Κατά τον προσδιορισμό της κίνησης ενός βραχίονα, σημαντικά στοιχεία μελέτης αποτελούν η αποφυγή θέσεων ιδιομορφίας και η αύξηση της ευχρηστίας του. Το βασικό εργαλείο που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των χαρακτηριστικών αυτών είναι το Ιακωβιανό μητρώο. To Ιακωβιανό μητρώο αποτελεί στην ουσία ένα μητρώο μετασχηματισμού των ταχυτήτων από τον χώρο των αρθρώσεων στον καρτεσιανό χώρο. Εξαρτάται από την τιμή των μεταβλητών των αρθρώσεων του μηχανισμού για κάθε χρονική στιγμή. Η θέση του άκρου του βραχίονα μπορεί να εκφραστεί με την σχέση: x = f(q) (4.1) όπου x το διάνυσμα θέσης του άκρου, q το διανυσμάτων μεταβλητών των αρθρώσεων και f(q) η συνάρτηση που τα συνδέει. Η καρτεσιανή ταχύτητα του άκρου προκύπτει με παραγώγιση της (4.1) ως προς τον χρόνο και περιγράφεται με την εξίσωση: ϑf ϑq ϑq x = = J(q) = J(q) q (4.2) ϑq ϑt ϑt όπου J(q) το Ιακωβιανό μητρώο. Όπως φαίνεται στην παραπάνω σχέση, το Ιακωβιανό μητρώο απαρτίζεται από τις μερικές παραγώγους των μεταβλητών του άκρου του βραχίονα, που εκφράζονται συναρτήσει των μεταβλητών στον χώρο των αρθρώσεων. Χρησιμοποιώντας, επομένως τα στοιχεία των ομογενών μητρώων (Π.16)-(Π.34), υπολογίζεται το Ιακωβιανό μητρώο για τον βραχίονα 6 αρθρώσεων περιστροφής από τη σχέση (Π.37). Σε αυτή τη σχέση όπου 0 1 2 3 4 5 R,R,R,R,R,R 0 0 0 0 0 0 είναι τα υπομητρώα περιστροφής των μητρώων μετασχηματισμού 0 1 2 3 4 5 A 0,A 0,A 0,A 0,A 0,A 0, όπως αυτά παρουσιάστηκαν παραπάνω. Εφόσον οι αρθρώσεις που έχουμε είναι όλες περιστροφής, έπεται ότι τα δ i = 1 ( i= 1,..6 ). Οι όροι U mi είναι οι μερικοί παράγωγοι του μητρώου m A 0 ως προς τη μεταβλητή q i ( U mi m 0 A = ), ενώ στην παρένθεση q i ορίζουμε τον όρο του μητρώου m A 0 στον οποίο αναφερόμαστε. Οι σχέσεις που περιγράφουν τους όρους του Ιακωβιανού μητρώου της σχέσης (Π.37), παρατίθενται στο Παράρτημα (Π.38- Π.56). Για τον υπολογισμό της ορίζουσας του Ιακωβιανού μητρώου, ώστε να εντοπισθούν οι θέσεις ιδιομορφίας του βραχίονα, εφαρμόζεται μια μέθοδος με την οποία επιτυγχάνεται αποσυμπλεγμένη μορφή της και εντοπίζονται ως σχηματισμοί προς αποφυγή αυτοί που περιλαμβάνουν τις τιμές θ 3 =90 ο και θ 5 =180 ο, όπως αναλυτικά παρουσιάζεται στη /3,12/. - 26 -
4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά 4.3. Visual Basic Η ανάγκη για χειρισμό του βραχίονα από τον χρήστη, μέσω ενός διαύλου απλού αλλά και αποδοτικού ταυτόχρονα, οδήγησε στη χρήση της γλώσσας προγραμματισμού Visual Basic /118,119/. Μέσω ενός απλού περιβάλλοντος, αλλά ταυτόχρονα με όλα τα απαραίτητα προγραμματιστικά εργαλεία, δίνει στον προγραμματιστή την δυνατότητα να αναπτύξει εφαρμογές σύνθετες, σε σύντομο χρόνο και με το περιβάλλον της τελικής εφαρμογής συμβατό με όλες τις συνήθεις εφαρμογές σε Η/Υ. Βασιζόμενη σε αντικειμενοστραφή προγραμματισμό και δίνοντας ταυτόχρονα την δυνατότητα επικοινωνίας με εξωτερικά αντικείμενα, μέσω του πρωτοκόλλου Win32, αποτελεί το ιδανικό εργαλείο ανάπτυξης απλών ή σύνθετων εφαρμογών. Μέσω αυτού του πρωτοκόλλου υπάρχει δυνατότητα διασύνδεσής της με άλλα λογισμικά, όπως π.χ. το SolidWorks. Όπως παρουσιάζεται και στο σχήμα 4.5, χωρίζεται στο σχεδιαστικό τμήμα και στο τμήμα καταγραφής του κώδικα. Στο σχεδιαστικό τμήμα παρέχονται έτοιμα αντικείμενα και εργαλεία. Έτσι, δίνεται η δυνατότητα στον προγραμματιστή να αναπτύξει το επιθυμητό περιβάλλον σε ελάχιστο χρόνο. Στο τμήμα καταγραφής του κώδικα προσδιορίζονται οι λειτουργίες της εφαρμογής, ανάλογα με τις εντολές που θα λαμβάνει από τον χρήστη. 4.4. Fortran Τα προβλήματα, που άπτονται της περιοχής διερεύνησης της παρούσας εργασίας, απαιτούν για Σχήμα 4.5: Περιβάλλον εργασίας της Visual Basic συμπεριλαμβανομένης της σχεδιασμένης φόρμας και του κώδικα που την υποστηρίζει. - 27 -
4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά την επίλυση τους πολλούς υπολογισμούς και μάλιστα σε πολλαπλές επαναληπτικές διαδικασίες, πράγμα που οδηγεί σε χρονοβόρες διαδικασίες. Η Visual Basic, αν και είναι μια πλήρης και εύχρηστη γλώσσα προγραμματισμού, δεν είναι το ιδανικό περιβάλλον για προβλήματα με πολλές υπολογιστικές απαιτήσεις. Έτσι, για να καλυφθεί αυτή η απαίτηση χρησιμοποιείται η Fortran /120/, η οποία αποτελεί μια πολύ ισχυρή γλώσσα, ειδικά όταν οι υπολογιστικές απαιτήσεις είναι αυξημένες. Διαθέτει εντολές με τις οποίες αυτοματοποιούνται, αλλά και επιταχύνονται οι υπολογισμοί, ενώ ταυτόχρονα η διαχείρισή τους γίνεται ευκολότερη. Η βιβλιοθήκη IMSL /121/, η οποία διαθέτει γενικευμένες υπολογιστικές ρουτίνες, αποτελεί ένα μοναδικό εργαλείο για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων με ελάχιστο κώδικα από τον χρήστη της. Στο σχήμα 4.6 παρουσιάζεται το περιβάλλον εργασίας της Fortran, καθώς και ένα χαρακτηριστικό δείγμα προγραμματιστικού κώδικα, για τον υπολογισμό των ομογενών μητρώων μετασχηματισμού για τον βραχίονα RV6. 4.5. SolidWorks Στα στάδια της παρούσας εργασίας ανακύπτει η ανάγκη ύπαρξης ενός εποπτικού μέσου, στο οποίο ο χρήστης θα έχει ανάδραση όσων εντολών δίνει με γραφικό τρόπο, ώστε να δίνει την αίσθηση χειρισμού του πραγματικού βραχίονα. Το λογισμικό τρισδιάστατης γραφικής σχεδίασης SolidWorks /122/ αποτελεί ένα δυνατό εργαλείο παραμετρικής σχεδίασης, με δυνατότητα Σχήμα 4.6: Περιβάλλον εργασίας της Fortran συμπεριλαμβανόμενου του κώδικα που αναπτύσσεται. - 28 -
4. Πειραματικές διατάξεις και λογισμικά προγραμματισμού των εντολών του μέσω διαφόρων πρωτοκόλλων διασύνδεσης, αφού όλα τα στοιχεία, που εμπλέκονται στον σχεδιασμό, αποτελούν δομημένα αντικείμενα (αντικειμενοστραφής δομή). Η μια ενότητα του λογισμικού που χρησιμοποιήθηκε είναι η καθαρά σχεδιαστική. Μέσω του, προσφερόμενου από το λογισμικό, περιβάλλοντος επικοινωνίας με τον χρήστη (Σχήμα 4.7), δίνεται η δυνατότητα ανάπτυξης του τρισδιάστατου αντικειμένου βήμαβήμα, δημιουργώντας κάθε είδους στερεά γεωμετρία. Η δεύτερη ενότητα του λογισμικού που χρησιμοποιήθηκε είναι η προγραμματιστική, η οποία δίνει την δυνατότητα ελέγχου όλων των αντικειμένων, των χαρακτηριστικών και των παραμέτρων τους, με σκοπό την εμπλοκή τους σε μια επαναληπτική διαδικασία και την ανάπτυξη εφαρμογής με την βοήθεια κάποιας γλώσσας προγραμματισμού. Υπάρχει δυνατότητα αμφίδρομης επικοινωνίας μεταξύ γλώσσας προγραμματισμού και του SolidWorks, επιτρέποντας την ανάγνωση ή τον προσδιορισμό παραμέτρων των αντικειμένων. Χαρακτηριστικό στοιχείο του λογισμικού είναι η δυνατότητα χειρισμού της τοποθέτησης και του προσανατολισμού των σχεδιασμένων σωμάτων, μέσω μητρώων μετασχηματισμού ανάλογων των ομογενών μητρώων μετασχηματισμού, που περιγράφουν την τοποθέτηση και την κινηματική συμπεριφορά του βραχίονα. Συνδυάζοντας αυτές τις δύο ενότητες και μέσω της σχεδίασης των μελών και της προσομοίωσης της λειτουργίας τους επιτυγχάνεται η ανάπτυξη του off line προγραμματισμού του βραχίονα, όπως παρουσιάζεται στην επόμενη ενότητα. Σχήμα 4.7: Γραφικό περιβάλλον του SolidWorks και τα σχεδιασμένα μέλη του βραχίονα. - 29 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα 5. Προσδιορισμός βέλτιστης τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα, με τη βοήθεια υβριδικού γενετικού αλγορίθμου Για έναν ορισμένο βραχίονα με ορισμένο χώρο εργασίας, η παραγωγικότητα της εργασίας εξαρτάται από πολλές παραμέτρους, όπως η τοποθέτηση της βάσης του βραχίονα σε σχέση με τα σημεία εργασίας, οι μέγιστες ταχύτητες και επιταχύνσεις των μηχανισμών κίνησης, οι σχηματισμοί του βραχίονα, η αποφυγή ιδιομορφιών, κτλ. Πλήθος μεθόδων έχουν χρησιμοποιηθεί με σκοπό την βελτιστοποίηση διαφόρων παραμέτρων του βραχίονα, σε σχέση με την πραγματοποιούμενη εργασία /61-70/. Τα περισσότερα εκ των CAD ρομποτικών συστημάτων διαθέτουν ισχυρά εργαλεία γραφικών, τα οποία επιτρέπουν προσομοίωση κινήσεων, εικονική τοποθέτηση της βάσης του ρομποτικού βραχίονα, σχεδιασμό τροχιάς και άλλα συναφή, πάντα με σκοπό την επιτάχυνση και την απλούστευση της διαδικασίας προγραμματισμού του ρομπότ. Η προσέγγιση αυτών όμως, γίνεται με επαναλαμβανόμενη εφαρμογή της μεθόδου δοκιμής και διόρθωσης, διαδικασία η οποία είναι χρονοβόρα και εφαρμόζεται από τον χρήστη, χωρίς να βασίζεται σε κάποιο αντικειμενικό κριτήριο βελτιστοποίησης κάποιου μεγέθους, όπως η ευχρηστία ή η αποφυγή σύγκρουσης, με χρήση περιορισμών όπως τα όρια των αρθρώσεων. Η ανάγκη των βιομηχανικών εφαρμογών για κατεργασία τεμαχίων διαφορετικής γεωμετρίας, με την βοήθεια ενός ήδη τοποθετημένου βραχίονα, οδηγεί στην αναζήτηση της βέλτιστης σχετικής τοποθέτησης μεταξύ της βάσης του βραχίονα και του κατεργαζόμενου τεμαχίου, καθώς και των γωνιών των αρθρώσεων, όταν οι θέσεις εργασίας του άκρου είναι προκαθορισμένες, αποφεύγοντας ταυτόχρονα τις θέσεις ιδιομορφίας του βραχίονα /123-128/. Μια ισοδύναμη διατύπωση του ίδιου προβλήματος είναι η «αναζήτηση της βέλτιστης τοποθέτησης του κατεργαζόμενου τεμαχίου ως προς τη βάση του βραχίονα, καθώς και των γωνιών των αρθρώσεων, όταν οι θέσεις εργασίας του άκρου είναι προκαθορισμένες, αποφεύγοντας ταυτόχρονα τις θέσεις ιδιομορφίας του βραχίονα», διατύπωση που αποδίδεται γραφικά στο σχήμα 5.1. Χαρακτηριστικές εφαρμογές που συνδέονται με αυτό το πρόβλημα είναι η σημειακή συγκόλληση, η κοπή με laser, η πολλαπλή διάτρηση, η διαχείριση και τοποθέτηση τεμαχίων, κ.α. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος επίλυσης αυτού του προβλήματος συνδυάζει έναν γενετικό αλγόριθμο (GA) /36/, μια μέθοδο αναρρίχησης (QNA) με βάση την κλίση (gradient) /121/ και μια μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών (CHM). Ο συνδυασμός αυτών των μεθόδων μέσω του αλγορίθμου αποσκοπεί αφενός στην εκμετάλλευση των πλεονεκτημάτων της κάθε μεθόδου και αφετέρου στην αποφυγή των μειονεκτημάτων τους. Ο γενετικός αλγόριθμος (GA), όταν εφαρμόζεται αυτόνομα, έχει το πλεονέκτημα ότι αναζητά λύσεις σε όλο το εύρος των δυνατών λύσεων και έτσι δεν παγιδεύεται σε κάποιο τοπικό ελάχιστο. Από την άλλη, ο γενετικός - 30 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.1: Διατύπωση προβλήματος: Προσδιορισμός βέλτιστης θέσης τεμαχίου λαμβάνοντας υπόψη τις διακριτές τοποθετήσεις του άκρου κατεργασίας. αλγόριθμος αποδεικνύεται αποδοτικός, όταν το πλήθος των μεταβλητών είναι περιορισμένο, ενώ σημάδια αδυναμίας εμφανίζονται, όταν το πλήθος των μεταβλητών ή ο συνολικός χώρος αναζήτησης των λύσεων μεγαλώνει. Η μέθοδος αναρρίχησης όντας μια μέθοδος αναζήτησης με βάση την κλίση της συνάρτησης, έχει το πλεονέκτημα να εντοπίζει τα τοπικά ελάχιστα και για μεγαλύτερο πλήθος μεταβλητών, αλλά εξαρτάται άμεσα από την αρχική εκτίμηση του διανύσματος των μεταβλητών. Η μέθοδος ελέγχου των ορίων των μεταβλητών (CHM) εφαρμόζεται για να περιορίσει τα όρια των μεταβλητών, κατά τις απαιτήσεις ανά περίπτωση, συνεπώς να περιορίσει τον χώρο στον οποίο γίνεται αναζήτηση της λύσης και κατ επέκταση να επιταχύνεται η όλη διαδικασία. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος είναι πολύ αποδοτικός στον εντοπισμό της βέλτιστης λύσης με μικρό υπολογιστικό χρόνο, όπως θα φανεί και από τις εφαρμογές που παρατίθενται στη συνέχεια. Το πρόβλημα της βέλτιστης σχετικής τοποθέτησης, μεταξύ της βάσης του ρομποτικού βραχίονα και του κατεργαζόμενου τεμαχίου, επιλύεται με κριτήρια α) την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των αποκλίσεων μεταξύ προκαθορισμένων και υπολογιζόμενων θέσεων του άκρου του βραχίονα, β) την μεγιστοποίηση του μέτρου ευχρηστίας για όλους τους σχηματισμούς του βραχίονα στις θέσεις κατεργασίας, και γ) την ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου κίνησης μεταξύ των θέσεων κατεργασίας από το αρχικό σημείο μέχρι το τελικό, με ταυτόχρονη επιλογή της βέλτιστης αλληλουχίας των θέσεων κατεργασίας. - 31 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Η αποδοτικότητα της αναπτυχθείσας μεθόδου ελέγχεται με την εφαρμογή της σε δύο βραχίονες. Στον βραχίονα RV-M1 των πέντε βαθμών ελευθερίας και στον βραχίονα RV6 των έξι βαθμών ελευθερίας, με διάφορα κριτήρια βελτιστοποίησης, σε προβλήματα με ένα έως δέκα τελικά σημεία. 5.1. Μαθηματική διατύπωση προβλήματος Στην παρούσα ανάλυση της μαθηματικής διατύπωσης του προβλήματος χρησιμοποιείται ο βραχίονας RV6 των 6 βαθμών ελευθερίας, μιας και είναι αυτός στο οποίον κατά κόρον εφαρμόσθηκε η μεθοδολογία. Ο βραχίονας που θεωρείται ανοικτή κινηματική αλυσίδα με έξι αρθρώσεις περιστροφής, σχηματικά παρίσταται στο σχήμα 5.2. Ορίζεται ένα σύστημα αναφοράς P i σε κάθε μέλος (i=0,1 6), καθώς και ένα σύστημα στο άκρο του εργαλείου P 7. Επίσης, ορίζεται ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων P S, ως προς το οποίο μετρώνται τα προκαθορισμένα σημεία εργασίας. Η σχετική θέση μεταξύ δύο διαδοχικών συστημάτων περιγράφεται με την χρήση των 4x4 ομογενών μητρώων μετασχηματισμού και των παραμέτρων Denavit-Hartenberg /10/. Στον πίνακα του σχήματος 5.2 παρατίθενται οι παράμετροι Denavit- Hartenberg του συγκεκριμένου βραχίονα /117/. Οι παράμετροι του προβλήματος, που πρέπει να επιλεγούν για να προκύψει βέλτιστη λύση, είναι οι γωνίες των αρθρώσεων θ i (i=1,2 6) για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου και οι παράμετροι τοποθέτησης της βάσης θ 0, α 0, a 0 και d 0. Η βέλτιστη τοποθέτηση της βάσης μπορεί να διατυπωθεί ως ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης, όπου η αντικειμενική συνάρτηση (F) λαμβάνει υπόψη την απόκλιση τοποθέτησης μεταξύ προκαθορισμένων και υπολογιζόμενων θέσεων (F 1 ), το μέτρο ευχρηστίας w k για τις προκαθορισμένες θέσεις του άκρου (F 2 ) και τον συνολικό χρόνο κίνησης του άκρου ανάμεσα σε όλες τις προδιαγεγραμμένες θέσεις διαδοχικά (F 3 ): F= F1+α F2 +β F3 (5.1) n 3 4 2 ( ) 7 7 με F1 = A Sr ( i, j) A Spr ( i, j), F F n 1 2 2 k= 1 wk k= 1 i= 1 j= 1 =, 2 3 tt =, k 7 όπου A ( ) Sr i,j είναι η υπολογισμένη τιμή του στοιχείου (i,j) του μητρώου 7 S 7 A, A ( ) Spr i, j είναι η προκαθορισμένη τιμή του στοιχείου (i,j), w k είναι το μέτρο ευχρηστίας του βραχίονα για τον συγκεκριμένο σχηματισμό στην θέση k, ενώ t t είναι ο χρόνος κίνησης του άκρου που απαιτείται για την προσέγγιση όλων των σημείων κατεργασίας. Οι συντελεστές βαρύτητας α και β - 32 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα καθορίζουν την συνεισφορά του δευτέρου και του τρίτου όρου της αντικειμενικής συνάρτησης, αντίστοιχα. Το πρώτο τμήμα (F 1 ) της αντικειμενικής συνάρτησης (5.1), περιλαμβάνει το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων μεταξύ προκαθορισμένων και υπολογιζόμενων θέσεων κατεργασίας του άκρου του βραχίονα για όλες τις θέσεις κατεργασίας. Χρησιμοποιώντας τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού, η τοποθέτηση του συστήματος του εργαλείου P 7 σε σχέση με το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων P S δίνεται από την σχέση: 7 0 6 7 Sr S 0 6 A = A A A (5.2) όπου το 6 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 A = A A A A A A περιγράφει την τοποθέτηση του συστήματος του άκρου P 6 ως προς το σύστημα της βάσης, ενώ το μητρώο συστήματος i ως προς το σύστημα i-1. Τα στοιχεία του μητρώου i Ai 1 περιγράφει την τοποθέτηση του 7 A 6 είναι γνωστά, λόγω του ότι ορίζουν την θέση και τον προσανατολισμό του συστήματος του εργαλείου P 7 σε σχέση με το άκρο του βραχίονα P 6. Η εξίσωση (5.2) περιλαμβάνει όλες τις άγνωστες παραμέτρους, οι οποίες είναι οι γωνίες των αρθρώσεων θ i (i=1,2 6) για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου και οι παράμετροι Denavit-Hartenberg θ 0, α 0, a 0 και d 0 του μητρώου 0 A S. Οι γωνίες των αρθρώσεων θ i (i=1,2 6) έχουν διαφορετική τιμή για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου, ενώ οι άλλοι τέσσερις παράμετροι Denavit-Hartenberg θ 0, α 0, a 0 και d 0 του μητρώου 0 A S παραμένουν σταθεροί. Σχήμα 5.2: Ρομπότ έξι βαθμών ελευθερίας και οι Denavit-Hartenberg παράμετροί του. - 33 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Το δεύτερο τμήμα (F 2 ) της αντικειμενικής συνάρτησης (5.1), περιλαμβάνει το άθροισμα των αντίστροφων τετραγώνων του μέτρου ευχρηστίας για όλες τις θέσεις κατεργασίας. Για τις προκαθορισμένες τοποθετήσεις του εργαλείου είναι πολύ σημαντικό να αποφεύγονται τα σημεία ιδιομορφίας του βραχίονα. Αυτό μπορεί να εξασφαλισθεί με την μεγιστοποίηση του μεγέθους ευχρηστίας w του βραχίονα. Η μεγιστοποίηση του w επιτυγχάνεται μέσω της αντιστροφής στην αντικειμενική συνάρτηση, ενώ το μέτρο του μεγέθους ευχρηστίας ορίζεται ως /71/: T ( ) w = det J J (5.3) όπου J είναι το Ιακωβιανό μητρώο. Για έναν βραχίονα χωρίς πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας, όπως είναι τόσο ο RV6 των 6 βαθμών ελευθερίας, όσο και ο RV-M1 των 5 βαθμών ελευθερίας, το μέτρο του w απλοποιείται σε w = detj. Το Ιακωβιανό μητρώο του ρομποτικού βραχίονα RV6 έχει υπολογιστεί αναλυτικά /12/ και λαμβάνει υπόψη τις τιμές των γωνιών των αρθρώσεων για κάθε υπολογιζόμενη θέση του άκρου. Το τρίτο τμήμα (F 3 ) της αντικειμενικής συνάρτησης (5.1), περιλαμβάνει το συνολικό χρόνο κίνησης μεταξύ των θέσεων κατεργασίας από το αρχικό σημείο μέχρι το τελικό, ενώ ταυτόχρονα γίνεται επιλογή της βέλτιστης αλληλουχίας των θέσεων κατεργασίας από υπορουτίνα, που προσδιορίζει την σειρά με τον ελάχιστο απαιτούμενο χρόνο κίνησης. Ο συνολικός χρόνος κίνησης του άκρου t t που απαιτείται για την προσέγγιση όλων των σημείων, δίνεται από την σχέση: t n 1 t = min t (5.4) k k= 1 όπου t k είναι ο χρόνος κίνησης μεταξύ των προδιαγεγραμμένων σημείων k και k+1, ενώ n είναι το πλήθος των προκαθορισμένων σημείων. Ο συνολικός χρόνος κίνησης υπολογίζεται ως ο ελάχιστος απαιτούμενος χρόνος. Λαμβάνοντας υπόψη όλες τις δυνατές διαθέσιμες αλληλουχίες μεταξύ των προκαθορισμένων σημείων κατεργασίας, υπολογίζονται οι αντίστοιχοι χρόνοι κίνησης και ο ελάχιστος υπολογισμένος επιλέγεται, ως ο συνολικός χρόνος κίνησης. Ο χρόνος t k μπορεί να γραφεί ως: qi,k+ 1 q i,k tk = max,(i= 1,2,...6) q imax (5.5) όπου q i,k είναι η μεταβλητή (γωνία) της i άρθρωσης για το k σημείο και q imax είναι η μέγιστη επιτρεπόμενη ταχύτητα περιστροφής της άρθρωσης i, καθορισμένη από τον κατασκευαστή - 34 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα /117/. Η πλέον αργή άρθρωση καθορίζει τον χρόνο κίνησης μεταξύ των k και k+1 σημείων. Οι εξισώσεις (5.4) και (5.5) σημειώνουν, ότι ο σχηματισμός του βραχίονα επηρεάζει άμεσα τον χρόνο κίνησης του άκρου κατεργασίας. Κατά την διάρκεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης, τα αρχικά καθορισμένα όρια των αγνώστων μεταβλητών περιγράφονται από τη σχέση: x < x < x, =1,2, m (5.6) min max όπου m είναι το πλήθος των μεταβλητών και x min και x max είναι το κάτω και άνω όριο, αντίστοιχα, της μεταβλητής. Οι περιορισμοί αυτοί λαμβάνουν υπόψη τα όρια των μεταβλητών των αρθρώσεων από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά σχεδιασμού του βραχίονα, καθώς και τη γεωμετρία του χώρου εργασίας του. Στην εξίσωση (5.1) η συνάρτηση F 3 είναι ασυνεχής και η εφαρμογή μιας μεθόδου βελτιστοποίησης, βασισμένης σε μέθοδο κλίσης (gradient), υποβαθμίζει την συμπεριφορά της κατά την αναζήτηση του γενικού ελάχιστου. Για να αποφευχθεί αυτό το πρόβλημα, στην παρούσα εργασία προτείνεται ένας νέος υβριδικός αλγόριθμος, που περιγράφεται στο επόμενο κεφάλαιο. 5.2. Προτεινόμενος αλγόριθμος Το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφηκε, επιλύεται με μια υβριδική μέθοδο που συνδυάζει έναν γενετικό αλγόριθμο (GA), έναν αλγόριθμο βελτιστοποίησης quasi-newton (QNA) και μια μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών (CHM). Δεδομένα εισόδου του αλγορίθμου αποτελούν οι διαστάσεις των μελών, το πλήθος και το είδος των αρθρώσεων, το πλήθος των ανεξαρτήτων μεταβλητών και τα άνω και κάτω όρια αυτών, οι προκαθορισμένες θέσεις κατεργασίας του άκρου και οι παράμετροι του αλγορίθμου. Σε αυτές τις παραμέτρους περιλαμβάνονται οι αρχικές παράμετροι του γενετικού αλγόριθμου (GA), όπως ο αρχικός πληθυσμός των ατόμων, η πιθανότητα διασταύρωσης, η πιθανότητα μετάλλαξης, καθώς επίσης και το πλήθος των επαναλήψεων του γενετικού αλγόριθμου (GA), της μεθόδου αναρρίχησης (QNA) και της μεθόδου ελέγχου των ορίων των μεταβλητών (CHM). Με βάση την εξίσωση (5.1) ορίζεται η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία χρησιμοποιείται σε όλα τα βήματα του αλγορίθμου (Σχήμα 5.3), όπως αυτά αναλύονται παρακάτω: Στο πρώτο βήμα του προτεινόμενου αλγορίθμου, δημιουργούνται τυχαία αρχικοί πληθυσμοί ατόμων, για να ορίσουν τις τιμές των μεταβλητών, οι οποίες χρησιμοποιούνται, για να υπολογιστεί η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Ο γενετικός αλγόριθμος χρησιμοποιεί - 35 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.3: Διάγραμμα ροής του προτεινόμενου αλγόριθμου. συγκεκριμένες διαδικασίες για την δημιουργία νέων γενεών, οι οποίες είναι η επιλογή, ο ελιτισμός, η διασταύρωση και η μετάλλαξη. Οι νέες γενιές με διαδοχικές επαναλήψεις συγκλίνουν προς κάποιο ελάχιστο, το οποίο δεν είναι απαραίτητα το γενικό. Το πλήθος των επαναλήψεων περιορίζεται, είτε από κάποιο μέγιστο πλήθος επαναλήψεων, είτε από την επίτευξη μιας κρίσιμης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, προκαθορισμένα και τα δύο από τον χρήστη. Η ελάχιστη υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης επιλέγεται, ως τελική τιμή του γενετικού αλγορίθμου και έτσι προσδιορίζεται και το βέλτιστο διάνυσμα των ανεξαρτήτων μεταβλητών σε αυτό το βήμα. - 36 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Αυτές οι βέλτιστες τιμές των ανεξαρτήτων μεταβλητών εισάγονται στο δεύτερο βήμα στη μέθοδο αναρρίχησης (QNA), ως διάνυσμα αρχικής εκτίμησης μεταβλητών. Η μέθοδος αναρρίχησης (QNA) τροποποιεί τις τιμές των μεταβλητών σε αυτό το διάνυσμα, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο κλίσης πεπερασμένων διαφορών, με τρόπο που η αντικειμενική συνάρτηση να κινείται προς την μεγαλύτερη κλίση, που εντοπίζει στην περιοχή αναζήτησης. Αυτές οι τροποποιήσεις στις τιμές των μεταβλητών εσωτερικά της μεθόδου αναρρίχησης επαναλαμβάνονται, είτε ως το προκαθορισμένο μέγιστο πλήθος επαναλήψεων, είτε έως ότου εντοπιστεί τοπικό ελάχιστο. Αυτό το βήμα επαναλαμβάνεται κάποιες ορισμένες φορές, συμπεριλαμβανομένων των επαναλήψεων του 1 ου βήματος, με σκοπό τον εντοπισμό διαφόρων τοπικών ελαχίστων, μέσω του γενετικού αλγορίθμου και την προσέγγιση του γενικού ελαχίστου, με την χρήση της μεθόδου αναρρίχησης (QNA). Το πλήθος αυτών των επαναλήψεων περιορίζεται, είτε από κάποιο μέγιστο πλήθος επαναλήψεων, είτε από την επίτευξη μιας κρίσιμης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, που είναι επίσης ορισμένα και τα δύο από τον χρήστη. Η ελάχιστη υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης επιλέγεται ως τελική τιμή της μεθόδου αναρρίχησης (QNA) και έτσι, προσδιορίζεται και το βέλτιστο διάνυσμα των ανεξαρτήτων μεταβλητών σε αυτό το βήμα. Μετά από κάποιο ορισμένο πλήθος επαναλήψεων του 2 ου βήματος (στο οποίο περιλαμβάνονται επαναλήψεις του 1 ου βήματος), οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών χρησιμοποιούνται στο 3 ο βήμα για τον περιορισμό των ορίων των μεταβλητών, γύρω από την τιμή που επιλέχθηκε ως βέλτιστη (Σχήμα 5.4) για κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή. Η βέλτιστη τιμή κάθε μεταβλητής στο i-1 βήμα, i 1 opt x ( = 1,...m ), ορίζεται ως το κέντρο του εύρους στο επόμενο βήμα i. Τα νέα όρια i min x και i max x ( = 1,...m ) δίνονται από τις σχέσεις: i i 1 i min = opt Δ x x x /2 (5.7) i i 1 i max = opt +Δ x x x /2 (5.8) όπου το εύρος i Δx είναι ένα ποσοστό του εύρους στο i-1 βήμα: i i 1 Δ x = c Δx (5.9) με i 1 i 1 i 1 max min, Δ x = x x ενώ τα i 1 x max, i 1 x min είναι τα όρια των μεταβλητών του βήματος i-1 και c είναι μια σταθερά, που προσδιορίζεται από τον χρήστη. Οι συνηθέστερες τιμές αυτής της σταθεράς c είναι από 0.15 έως 0.75. - 37 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.4: Περιορισμός ορίων μεταβλητών με χρήση της μεθόδου CHM. Κάθε νέος περιορισμός των ορίων των μεταβλητών οδηγεί σε ένα νέο κύκλο γενεών γενετικού αλγορίθμου (GA) και επαναλήψεων της μεθόδου αναρρίχησης (QNA) (βλ. σχήμα 5.3). Η μέθοδος περιορισμού των ορίων των μεταβλητών (CHM) εφαρμόζεται με σκοπό να περιοριστούν τα όρια των μεταβλητών και συνεπώς να επιταχυνθεί η όλη διαδικασία, λόγω της πραγματοποίησης αναζητήσεων σε πιο περιορισμένη περιοχή λύσεων. Η μέθοδος περιορισμού των ορίων των μεταβλητών (CHM) τερματίζεται, άρα ολοκληρώνεται και όλος ο αλγόριθμος, όταν επιτευχθεί είτε το μέγιστο πλήθος επαναλήψεων της (CHM), είτε μία κρίσιμη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, ορισμένα και τα δύο από τον χρήστη. Η ελάχιστη υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης καθορίζει και τις τιμές των ανεξαρτήτων μεταβλητών, που επιλέγονται στο τρίτο βήμα, οι οποίες αντιστοιχούν ταυτόχρονα και στις βέλτιστες τιμές των μεταβλητών του προτεινόμενου αλγορίθμου. Αυτές οι μεταβλητές προσδιορίζουν την βέλτιστη τοποθέτηση της βάσης του βραχίονα, καθώς και τους σχηματισμούς του, μέσω των μεταβλητών των γωνιών των αρθρώσεων, για όλες τις προκαθορισμένες θέσεις κατεργασίας του άκρου. Ο γενετικός αλγόριθμος που υλοποιήθηκε αποτελεί την απλή μορφή γενετικού αλγορίθμου /35,38,37/, βάση της διατύπωσης του Holland, με τυπική δυαδική κωδικοποίηση. Η τιμή κάθε ανεξάρτητης μεταβλητής περιγράφεται από ένα αλφαριθμητικό, με στοιχεία 0 και 1, μήκους 12 χαρακτήρων. Δίνεται έτσι δυνατότητα ανάλυσης 2 12 διακριτών τιμών της κάθε μεταβλητής στο εύρος των τιμών της, που θεωρείται απόλυτα ικανοποιητική. Μολονότι ένα τμήμα της αντικειμενικής συνάρτησης είναι ασυνεχές, η διαδοχική εφαρμογή του γενετικού αλγορίθμου (GA) και της μεθόδου αναρρίχησης (QNA), βασισμένη σε στοιχειώδεις κλίσεις (gradient), αποφεύγει την υποβάθμιση της συμπεριφοράς του προτεινόμενου αλγορίθμου στην αναζήτηση του ελαχίστου. Αυτό αποδεικνύεται και από εφαρμογές του αλγορίθμου σε προβλήματα βελτιστοποίησης, εκτός της Ρομποτικής, με αντικειμενική συνάρτηση που περιέχει όρους ασυνεχείς, στα οποία επίσης επιτυγχάνονται άριστα αποτελέσματα, με βάση την σχετική βιβλιογραφία /129/. - 38 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Εφαρμογή Βραχίονας Κριτήρια βελτιστοποίησης Πλήθος θέσεων κατεργασίας 1η RV-M1 (5-DOF) Τοποθέτηση 1 έως 5 2η RV6 (6-DOF) Τοποθέτηση Μέτρο ευχρηστίας 1 έως 9 3η RV6 (6-DOF) Τοποθέτηση Μέτρο ευχρηστίας Χρόνος κίνησης άκρου 1 έως 9 και χρήση σημείου αναφοράς Πίνακας 5.1: Εφαρμογές του αλγορίθμου βελτιστοποίησης τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα. 5.3. Αριθμητική εφαρμογή Η αναπτυχθείσα μέθοδος εφαρμόζεται τόσο στον βραχίονα RV-M1 των πέντε βαθμών ελευθερίας, όσο και στον βραχίονα RV6 των έξι βαθμών ελευθερίας με διάφορα κριτήρια βελτιστοποίησης, σύμφωνα με τον πίνακα 5.1. Ανά εφαρμογή, ο ίδιος αλγόριθμος εφαρμόζεται με διαφορετική αντικειμενική συνάρτηση βελτιστοποίησης, από την οποία αρχικά απουσιάζουν οι τελευταίοι όροι της (F 2 και F 3 ) για λόγους απλότητας, ενώ η πρώτη εφαρμογή πραγματοποιείται στον βραχίονα των 5 βαθμών ελευθερίας. Με την εξέλιξη της μεθοδολογίας αναζητήθηκαν απαιτητικότερες εφαρμογές (βραχίονας 6 βαθμών ελευθερίας) και προστέθηκαν τα εν λόγω τμήματα της αντικειμενικής συνάρτησης, ώστε να επιτυγχάνεται βελτιστοποίηση σε περισσότερα του ενός χαρακτηριστικά μεγέθη. Εν συνεχεία, παρατίθενται αναλυτικά οι προαναφερθείσες εφαρμογές, στις οποίες ελέγχθηκε ο αλγόριθμος και τα αποτελέσματα που επιτεύχθηκαν. 5.3.1. 1 η εφαρμογή: Βέλτιστη τοποθέτηση βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας με κριτήριο βελτιστοποίησης την τοποθέτηση Η πρώτη εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας /124,125/, πραγματοποιείται στον βραχίονα RV-Μ1 των 5 βαθμών ελευθερίας, ο οποίος θεωρείται ως ανοικτή κινηματική αλυσίδα με πέντε αρθρώσεις περιστροφής και σχηματικά παρίσταται στο σχήμα 5.5. Σύμφωνα με τα προαναφερθέντα ορίζεται ένα σύστημα αναφοράς P i σε κάθε μέλος (i=0,1 4), καθώς και ένα σύστημα στο άκρο του εργαλείου P 5. Επίσης ορίζεται ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων P S, ως προς το οποίο μετρώνται τα προκαθορισμένα σημεία κατεργασίας. Στον πίνακα του σχήματος 5.5 παρατίθενται οι παράμετροι Denavit-Hartenberg του συγκεκριμένου βραχίονα /116/. - 39 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.5: Γραφική προσομοίωση του βραχίονα RV-M1 και οι παράμετροι Denavit- Hartenberg. Χρησιμοποιώντας τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού, η τοποθέτηση του συστήματος του εργαλείου P 5 σε σχέση με το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων P S δίνεται από την σχέση: 5 0 4 5 Sr S 0 4 A = A A A (5.10) όπου 4 1 2 3 4 0 0 1 2 3 A = A A A A και το μητρώο i Ai 1περιγράφει την τοποθέτηση του συστήματος i, ως προς το σύστημα i-1. Τα στοιχεία του μητρώου 5 A 4 είναι γνωστά, λόγω του ότι ορίζουν την θέση και τον προσανατολισμό του συστήματος του εργαλείου P 5 σε σχέση με το άκρο του βραχίονα P 4. Η εξίσωση (5.10) περιλαμβάνει όλες τις άγνωστες παραμέτρους, οι οποίες είναι οι γωνίες των αρθρώσεων θ i (i=1,2 5) για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου και οι παράμετροι Denavit-Hartenberg θ 0, α 0, a 0 και d 0 του μητρώου 0 A S, για την θέση της βάσης. Οι γωνίες των αρθρώσεων θ i (i=1,2 6) έχουν διαφορετική τιμή για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου, ενώ οι άλλοι τέσσερις παράμετροι Denavit-Hartenberg θ 0, α 0, a 0 και d 0 του μητρώου 0 A S παραμένουν σταθεροί, από τοποθέτηση σε τοποθέτηση. Για τον προσδιορισμό αυτών των αγνώστων παραμέτρων καταστρώνεται η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία στη συγκεκριμένη περίπτωση διαφοροποιείται για λόγους απλότητας. Αυτή η απλούστευση δεν δύναται να πραγματοποιηθεί στον βραχίονα των 6 βαθμών ελευθερίας, μια και δεν υπάρχει τρόπος μονοσήμαντης αντιστοίχησης του υπολογιζόμενου ομογενούς μητρώου μετασχηματισμού σε καρτεσιανές συντεταγμένες και γωνίες προσανατολισμού του άκρου του βραχίονα. Έτσι, στην περίπτωση του βραχίονα των 5 βαθμών ελευθερίας, η αντικειμενική συνάρτηση αποτελείται από το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων μεταξύ των προκαθορισμένων τιμών του διανύσματος ( ) T X = x,y,z, αβ, και των υπολογιζόμενων τιμών pr - 40 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα ( ) T X = x,y,z, α, β του ίδιου διανύσματος. Αυτό το διάνυσμα περιλαμβάνει τους πέντε real r r r r r βαθμούς ελευθερίας στον Καρτεσιανό χώρο, δηλαδή την τοποθέτηση (x,y,z) και τις γωνίες προσανατολισμού (α και β) για κάθε θέση του άκρου, για τις οποίες γωνίες προσανατολισμού γνωρίζουμε επίσης, ότι ισχύουν: α= π +θ 2 2 +θ 3 +θ 4 (5.11) β=θ 5 (5.12) Έτσι, η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: n 5 k= 1 i= 1 ( pr () real ()) 2 F= X i X i (5.13) k όπου n είναι το πλήθος των προκαθορισμένων θέσεων κατεργασίας. Εφαρμόζοντας την, κατά τα άλλα ίδια, μεθοδολογία και ενεργοποιώντας τον υβριδικό αλγόριθμο αναζητούνται βέλτιστες λύσεις του προβλήματος της τοποθέτησης ενός βραχίονα 5 βαθμών ελευθερίας στον χώρο εργασίας του, όταν είναι προκαθορισμένες κάποιες θέσεις κατεργασίας, ως προς ένα απόλυτο σύστημα συντεταγμένων. Τα δεδομένα εισόδου στον αλγόριθμο είναι τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του βραχίονα (Πίνακας στο σχήμα 5.5), τα όρια των μεταβλητών (Πίνακας 5.2) και οι προκαθορισμένες θέσεις κατεργασίας του άκρου, συναρτήσει του απόλυτου συστήματος αναφοράς P S (Σχήμα 5.6). Τέσσερις αριθμητικές εφαρμογές με χρήση ενός, δύο, τριών ή πέντε τελικών θέσεων κατεργασίας παρουσιάζονται στη συνέχεια. Σε κάθε αριθμητική εφαρμογή από αυτές, εφαρμόζονται δύο μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος βελτιστοποίησης. Στην πρώτη μέθοδο δίνεται βαρύτητα στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και η επίλυση συνεχίζεται, έως ότου επιτευχθεί μια τιμή ικανοποιητική ως προς την τοποθέτηση, ενώ στη δεύτερη μέθοδο δίνεται βαρύτητα στον υπολογιστικό χρόνο και ελέγχεται η ποιότητα της λύσης, σε μια γρήγορη επίλυση. Οι πέντε προκαθορισμένες τοποθετήσεις του άκρου (Τ 1 έως Τ 5 ) παρουσιάζονται γραφικά στο σχήμα 5.6. Μεταβλητές θ 0 α 0 a 0 d 0 ( o ) ( o ) (mm) (mm) θ 1 ( o ) θ 2 ( o ) θ 3 ( o ) θ 4 ( o ) θ 5 ( o ) Min 0 0 0 0-60 -30-110 -180 - Max 360 360 1000 1000 240 100 0 0 - Μέγιστες ταχύτητες ( o - - - - 120 72 109 100 163 /s) Πίνακας 5.2: Όρια μεταβλητών και μέγιστες ταχύτητες αρθρώσεων του βραχίονα RV-M1. - 41 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.6: Προκαθορισμένες θέσεις κατεργασίας του άκρου (τοποθέτηση και γωνίες προσανατολισμού). Στον πίνακα αυτού του σχήματος δίνονται οι συντεταγμένες (x, y, z) αυτών των σημείων κατεργασίας και οι γωνίες προσανατολισμού τους (α και β) συναρτήσει του απολύτου συστήματος συντεταγμένων P S. Από αυτά τα δεδομένα προσδιορίζονται τα διανύσματα των προκαθορισμένων θέσεων κατεργασίας X pr i (i=1,,5), οι οποίες θέσεις είναι οι στόχοι, στους οποίους πρέπει να φτάσει ο βραχίονας. Για κάθε επιπρόσθετο σημείο κατεργασίας χρησιμοποιούνται τέσσερις νέες μεταβλητές αρθρώσεων, οι οποίες εκφράζουν αυτόν τον επιπλέον σχηματισμό, διογκώνοντας το πρόβλημα και καθιστώντας το πιο πολύπλοκο και χρονοβόρο στην επίλυση. Η τιμή της γωνίας της πέμπτης άρθρωσης (θ 5 ) δεν εμπλέκεται στην βελτιστοποίηση, διότι προσδιορίζεται άμεσα από τα δεδομένα εισόδου (Σχέση 5.12). Οι παράμετροι που εμπλέκονται σε όλα τα παραδείγματα που παρατίθενται, ιδιαίτερα αυτές που αφορούν τους γενετικούς αλγορίθμους, διατηρούνται σταθερές και έχουν επιλεγεί μέσα από μεγάλο πλήθος δοκιμών: πλήθος γονέων = 50, πιθανότητα διασταύρωσης = 70%, πιθανότητα μετάλλαξης =8% και η μείωση του εύρους των μεταβλητών 1-c= 50%. Όλες οι άλλες παράμετροι του αλγορίθμου, όπως το πλήθος των επαναλήψεων και στα τρία βήματα του αλγορίθμου είναι διαφορετικές, σε κάθε αριθμητική εφαρμογή και παρατίθενται στους ακόλουθους πίνακες. - 42 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Πρώτη μέθοδος εφαρμογής: Ελάχιστη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης Στην πρώτη μέθοδο το κριτήριο τερματισμού του αλγορίθμου είναι η επίτευξη μιας πολύ μικρής τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης και η μη περαιτέρω ουσιαστική αλλαγή αυτής, για σημαντικό αριθμό γενεών και επαναλήψεων. Έτσι, ο αλγόριθμος με αυτή τη μέθοδο εφαρμογής απαιτεί πάρα πολλές επαναλήψεις και συνεπώς πολύ υπολογιστικό χρόνο. Οι παράμετροι του αλγορίθμου, η επιτευχθείσα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος για τις τέσσερις αριθμητικές εφαρμογές παρουσιάζονται στον πίνακα 5.3. Στο σχήμα 5.7 παρουσιάζονται οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης σε λογαριθμική κλίμακα, συναρτήσει του πλήθους των γενεών, για τις τέσσερις αριθμητικές εφαρμογές. Όπως φαίνεται Παράδειγμα Θέσεις άκρου Πίνακας 5.3: Παράμετροι Πλήθος επαναλήψεων Μείωση σε ορίων GA QNA CHM μεταβλητών (1-c) Αποτελέσματα Υπολογιστικός χρόνος Τιμή αντικειμ. συνάρτ. 1 1 T 1 100 3,000 4 85% 0:05:14 7.1E-13 2 2 T 1,T 2 100 15,000 4 85% 1:39:20 4.6E-09 3 3 T 1,T 2,T 3 100 20,000 4 85% 2:45:23 4.9E-08 4 5 T 1,,T 5 200 3,000 19 30% 2:53:20 7.2E-06 Παράμετροι αλγορίθμου και τα αντίστοιχα αποτελέσματα με χρήση της μεθόδου ελάχιστης τιμής αντικειμενικής συνάρτησης. Σχήμα 5.7: Η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης προς το πλήθος των γενεών, χρησιμοποιώντας το κριτήριο ελάχιστης αντικειμενικής συνάρτησης. - 43 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα στο σχήμα, για μια προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου, η τιμή της αντικειμενικής είναι πολύ χαμηλή και επιτυγχάνεται σε πολύ λίγες επαναλήψεις, ενώ για περισσότερα τελικά σημεία (δύο, τρία και πέντε) επιτυγχάνεται μεν άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, όμως σε περισσότερες επαναλήψεις και συνεπώς σε περισσότερο υπολογιστικό χρόνο. Οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών αυτών των αριθμητικών εφαρμογών, που επιτεύχθηκαν με τον προτεινόμενο αλγόριθμο, παρουσιάζονται στον πίνακα 5.4. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των επιλύσεων προκύπτει ότι για όλα τα αριθμητικά παραδείγματα, η μέγιστη απόκλιση τοποθέτησης για όλες τις αριθμητικές εφαρμογές είναι περίπου 0.0002 mm, ενώ η μέγιστη απόκλιση προσανατολισμού είναι 0.0026 rad (περίπου 0.15 μοίρες), που είναι ασήμαντες τιμές. Για να αποτυπωθούν γραφικά αυτές οι λύσεις, παρατίθενται το σχήμα 5.8, το σχήμα 5.9 και το σχήμα 5.10, στα οποία παρουσιάζεται η προτεινόμενη τοποθέτηση της βάσης και ο πρώτος σχηματισμός (για την θέση Τ 1 ) για τις αριθμητικές εφαρμογές των δύο, τριών και πέντε τελικών σημείων, αντίστοιχα. Τοπο θέτηση βάσης Σχηματισμός βραχίονα Πίνακας 5.4: 1 ος 2 ος 3 ος 4 ος 5 ος Μεταβλητές Αποτελέσματα της αριθμητικής εφαρμογής: 1 ης 2 ης 3 ης 4 ης 1 θ 0 ( o ) 56.91 216.15 28.15 44.11 2 α 0 ( o ) 51.84 3.15 352.39 14.87 3 a 0 mm 350.64 51.09 97.38 34.83 4 d 0 mm 85.63 224.90 44.28 47.45 5 θ 1 ( o ) 61.73 230.18 69.86 49.74 6 θ 2 ( o ) -30.00-3.53 51.97 19.40 7 θ 3 ( o ) -110.00-7.33-59.08-54.73 8 θ 4 ( o ) 0.00-129.14-132.89-104.69 9 θ 1 ( o ) - 200.32 29.64 28.98 10 θ 2 ( o ) - 24.76 80.01 37.68 11 θ 3 ( o ) - -52.73-83.31-47.10 12 θ 4 ( o ) - -42.02-66.70-60.60 13 θ 1 ( o ) - - 111.84 83.01 14 θ 2 ( o ) - - 45.19 27.50 15 θ 3 ( o ) - - -92.49-109.98 16 θ 4 ( o ) - - -132.69-97.67 17 θ 1 ( o ) - - - 28.21 18 θ 2 ( o ) - - - 16.61 19 θ 3 ( o ) - - - -58.79 20 θ 4 ( o ) - - - -137.80 21 θ 1 ( o ) - - - 60.98 22 θ 2 ( o ) - - - 11.76 23 θ 3 ( o ) - - - -60.05 24 θ 4 ( o ) - - - -131.71 Βέλτιστες τιμές μεταβλητών με χρήση της μεθόδου ελάχιστης τιμής αντικειμενικής συνάρτησης. - 44 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.8: Τοποθέτηση βάσης και πρώτος σχηματισμός (στη θέση Τ 1 ) για την δεύτερη αριθμητική εφαρμογή, με το κριτήριο ελάχιστης αντικειμενικής συνάρτησης. Σχήμα 5.9: Τοποθέτηση βάσης και πρώτος σχηματισμός (στη θέση Τ 1 ) για την τρίτη αριθμητική εφαρμογή, με το κριτήριο ελάχιστης αντικειμενικής συνάρτησης. Σχήμα 5.10: Τοποθέτηση βάσης και πρώτος σχηματισμός (στη θέση Τ 1 ) για την τέταρτη αριθμητική εφαρμογή, με το κριτήριο ελάχιστης αντικειμενικής συνάρτησης. - 45 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Δεύτερη μέθοδος εφαρμογής: Υπολογιστικός χρόνος Για να γίνει εμφανές το πλεονέκτημα του προτεινόμενου αλγορίθμου, όχι μόνο όσον αφορά την ακρίβεια τοποθέτησης, αλλά και τον απαιτούμενο υπολογιστικό χρόνο, εφαρμόζεται μια δεύτερη μέθοδος. Σε αυτή τη μέθοδο η διαδικασία τερματίζεται το συντομότερο δυνατό, αφού όμως έχει επιτευχθεί μια κρίσιμη-ικανοποιητική τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Η τιμή 10-3 της αντικειμενικής συνάρτησης, μετά από κάποιους βασικούς ελέγχους των αποτελεσμάτων, θεωρείται ως μια κρίσιμη τιμή τερματισμού του αλγορίθμου, έτσι ώστε τα αποτελέσματα να βρίσκονται σε ικανοποιητικό επίπεδο και να επιτυγχάνονται σε σύντομο υπολογιστικό χρόνο και για τις τέσσερις αριθμητικές εφαρμογές. Αντίστοιχα με τα προηγούμενα αποτελέσματα, οι παράμετροι λειτουργίας του αλγορίθμου, η επιτευχθείσα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος για τις τέσσερις αριθμητικές εφαρμογές παρουσιάζονται στον πίνακα 5.5. Στο σχήμα 5.11 παρουσιάζονται οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης σε λογαριθμική κλίμακα, συναρτήσει του πλήθους των γενεών για τις τέσσερις αριθμητικές εφαρμογές, αλλά με κριτήριο τον υπολογιστικό χρόνο. Όπως φαίνεται στο σχήμα, για μία και δύο προκαθορισμένες τοποθετήσεις του εργαλείου, η τιμή της αντικειμενικής είναι πολύ χαμηλή και επιτυγχάνεται σε Παράδειγμα Πίνακας 5.5: Θέσεις άκρου Παράμετροι Πλήθος επαναλήψεων GA QNA CHM % μείωσης εύρους μεταβλητών (1-c) Αποτελέσματα Τιμή Υπολογιστικός χρόνος αντικειμενικής συνάρτησης 1 1 T 1 10 30 4 85% 0:00:04 1.44E-05 2 2 T 1,T 2 10 30 4 85% 0:00:20 6.10E-05 3 3 T 1,T 2,T 3 30 100 4 85% 0:01:12 5.80E-04 4 5 T 1,,T 5 30 100 14 30% 0:04:00 7.00E-04 Παράμετροι αλγορίθμου και τα αντίστοιχα αποτελέσματα με χρήση της μεθόδου ελάχιστης τιμής αντικειμενικής συνάρτησης. Σχήμα 5.11: Η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης προς το πλήθος των γενεών, χρησιμοποιώντας το κριτήριο του υπολογιστικού χρόνου. - 46 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα πολύ λίγες επαναλήψεις, ενώ για περισσότερα τελικά σημεία (τρία και πέντε), επιτυγχάνεται μεν τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης εντός των επιθυμητών ορίων, όμως σε περισσότερες επαναλήψεις και συνεπώς σε περισσότερο υπολογιστικό χρόνο. Ωστόσο, για όλες τις αριθμητικές εφαρμογές, παρατηρείται ότι επετεύχθη το όριο του 10-3 στην αντικειμενική συνάρτηση. Οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών αυτών των αριθμητικών εφαρμογών, που επιτεύχθηκαν με τον προτεινόμενο αλγόριθμο και κριτήριο τον υπολογιστικό χρόνο, παρουσιάζονται στον πίνακα 5.6 και οδηγούν σε μέγιστη απόκλιση τοποθέτησης για όλες τις αριθμητικές εφαρμογές περίπου 0.0014 mm και σε μέγιστη απόκλιση προσανατολισμού 0.0223 rad (περίπου 1.28 μοίρες). Αν και παρατηρείται μείωση στην ακρίβεια τοποθέτησης σε σχέση με τη πρώτη μέθοδο υπολογισμού, εν τούτοις ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ορίου του 10-3 στην αντικειμενική συνάρτηση. Το όριο του 10-3 αποτελεί αποδεκτή τιμή απόκλισης βάση του γεγονότος ότι η μεθοδολογία της παρούσας ενότητας προτείνει λύση συνολικά για την τοποθέτηση της βάσης και τον σχηματισμό του βραχίονα. Η τοποθέτηση και ο προσανατολισμός του άκρου στην εκάστοτε θέση κατεργασίας δύναται να έχει μια ορισμένη απόκλιση. Αυτή η απόκλιση, εφόσον προσδιορισθεί η τοποθέτηση της βάσης, πολύ εύκολα εν συνεχεία θα εκμηδενισθεί είτε Τοποθέτηση βάσης Σχηματισμοί βραχίονα Πίνακας 5.6: 1 ος 2 ος 3 ος 4 ος 5 ος Μεταβλητές Αποτελέσματα της αριθμητικής εφαρμογής: 1 ης 2 ης 3 ης 4 ης 1 θ 0 ( o ) 133.04 35.92 21.51 59.72 2 α 0 ( o ) 151.48 31.29 30.46 304.22 3 a 0 mm 649.79 417.34 283.95 149.93 4 d 0 mm 200.11 8.24 35.52 43.45 5 θ 1 ( o ) 121.12 97.46 96.63 8.12 6 θ 2 ( o ) 79.90 5.28-12.49 92.46 7 θ 3 ( o ) -105.86-81.67-42.25-76.41 8 θ 4 ( o ) -114.25-63.70-85.51-155.37 9 θ 1 ( o ) - 72.10 70.96-45.00 10 θ 2 ( o ) - 35.93 3.29 1.76 11 θ 3 ( o ) - -101.75-39.99-30.43 12 θ 4 ( o ) - -4.61-34.57-41.46 13 θ 1 ( o ) - - 146.12 97.42 14 θ 2 ( o ) - - -3.02 92.09 15 θ 3 ( o ) - - -28.40-101.01 16 θ 4 ( o ) - - -148.14-171.01 17 θ 1 ( o ) - - - 17.77 18 θ 2 ( o ) - - - 56.33 19 θ 3 ( o ) - - - -99.20 20 θ 4 ( o ) - - - -138.18 21 θ 1 ( o ) - - - 51.66 22 θ 2 ( o ) - - - 77.61 23 θ 3 ( o ) - - - -76.81 24 θ 4 ( o ) - - - -179.97 Βέλτιστες τιμές των μεταβλητών, με χρήση της μεθόδου υπολογιστικού χρόνου. - 47 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα επιλύοντας το πρόβλημα με σταθερή βάση για κάθε μια θέση κατεργασίας (6 μεταβλητές), είτε επιλύοντας αναλυτικά το αντίστροφο πρόβλημα. Ενδεικτικά, στο σχήμα 5.12 παρουσιάζεται για την περίπτωση της αριθμητικής εφαρμογής με δύο προκαθορισμένες θέσεις κατεργασίας, η προτεινόμενη θέση της βάσης του βραχίονα, καθώς και ο σχηματισμός του βραχίονα για την 1 η τοποθέτηση (Τ 1 ), με χρήση του κριτηρίου υπολογιστικού χρόνου. Η αλλαγή του κριτηρίου τερματισμού του αλγορίθμου οδηγεί σε εμφανή τροποποίηση της προτεινόμενης τοποθέτησης και σχηματισμού του βραχίονα. Η αποδοτικότητα του προτεινόμενου αλγορίθμου μπορεί να ελεγχθεί, σε σύγκριση με άλλες μεθόδους ή συνδυασμό μεθόδων, όπως με ένα γενετικό αλγόριθμο, μια gradient μέθοδο βελτιστοποίησης ή μια μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών. Έτσι, πραγματοποιείται μια συγκριτική εφαρμογή σε ένα ενδεικτικό πρόβλημα, με δύο προκαθορισμένες θέσεις κατεργασίας του άκρου, με τους ακόλουθους συνδυασμούς: Α - Απλός γενετικός αλγόριθμος Β - Συνδυασμός γενετικού αλγόριθμου με μέθοδο ελέγχου ορίων μεταβλητών Γ - Συνδυασμός γενετικού αλγόριθμου με gradient μέθοδο βελτιστοποίησης Δ - Ο προτεινόμενος αλγόριθμος Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν κατά την συγκριτική εφαρμογή των αλγορίθμων, καθώς και τα αποτελέσματα που προέκυψαν (τιμή αντικειμενικής συνάρτησης και υπολογιστικός χρόνος), παρουσιάζονται στον πίνακα 5.7. Το πλήθος των επαναλήψεων σε όλα τα βήματα τόσο του υβριδικού αλγορίθμου (γενετικός αλγόριθμος, μέθοδος αναρρίχησης και μέθοδος Σχήμα 5.12: Τοποθέτηση βάσης και πρώτος σχηματισμός (στη θέση Τ 1 ) για την δεύτερη αριθμητική εφαρμογή, με το κριτήριο υπολογιστικού χρόνου. - 48 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Παράμετροι Εφαρμοσμένη Πλήθος επαναλήψεων σε μέθοδος GA QNA CHM Μείωση ορίων μεταβλητών (1-c) Αποτελέσματα Υπολογιστικός χρόνος Τιμή αντικειμ. συνάρτ. Μόνο GA 7,500,000 - - - 2:16:40 6.64E+02 GA και CHM 300,000-24 25% 2:19:20 6.75E+00 GA και QNA 500 15,000 - - 3:18:30 5.40E-04 Προτεινόμενη 100 15,000 4 85% 1:39:20 4.60E-09 Πίνακας 5.7: Παράμετροι αλγορίθμων και τα συγκριτικά αποτελέσματα διαφόρων μεθόδων επίλυσης για την εφαρμογή των δύο τελικών θέσεων κατεργασίας. ελέγχου ορίων μεταβλητών), όσο και των λοιπών μεθόδων, επιλέχθηκε με τέτοιο τρόπο, ώστε οι συνολικές γενιές που εφαρμόστηκαν να είναι ίσες, έτσι ώστε τα αποτελέσματα να είναι συγκρίσιμα μεταξύ τους. Στο σχήμα 5.13 παρουσιάζονται οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης σε λογαριθμική κλίμακα, συναρτήσει του πλήθους των γενεών για τις τέσσερις συγκρινόμενες μεθόδους, με κριτήριο την ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Το πλεονέκτημα της προτεινόμενης μεθοδολογίας, έναντι των άλλων τριών, είναι προφανές τόσο ελέγχοντας την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, όσο και τον υπολογιστικό χρόνο. Έχοντας ολοκληρώσει την διαδικασία επίλυσης και έχοντας οδηγηθεί σε μια σταθερή (μη ουσιαστικά μειούμενη) τιμή αντικειμενικής συνάρτησης είναι εμφανές, ότι η επιτευχθείσα τιμή με Σχήμα 5.13: Η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης προς το πλήθος των γενεών, για τις τέσσερις συγκρινόμενες μεθοδολογίες. - 49 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα τον προτεινόμενο αλγόριθμο είναι πέντε τάξεις μεγέθους μικρότερη. Ταυτόχρονα, η καλύτερη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης που επετεύχθη από τις άλλες τρεις μεθόδους σε όλο τον χρόνο επίλυσης (5.4*10-4 από τον συνδυασμό γενετικού αλγόριθμου με gradient μέθοδο βελτιστοποίησης), επιτυγχάνεται από τον προτεινόμενο αλγόριθμο σε λιγότερο από τον μισό υπολογιστικό χρόνο. Άρα, η μέθοδος επιτυγχάνει ποιοτικές λύσεις σε συντομότερο χρόνο, συγκριτικά με τις άλλες μεθοδολογίες. 5.3.2. 2 η εφαρμογή: Βέλτιστη τοποθέτηση βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας με κριτήρια βελτιστοποίησης την τοποθέτηση και το μέτρο ευχρηστίας Η δεύτερη εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας πραγματοποιείται στον βραχίονα RV6 με έξι βαθμούς ελευθερίας και έξι αρθρώσεις περιστροφής /123,126/, ο οποίος χρησιμοποιείται σε συγκολλήσεις πλαισίων επίπλων γραφείου και παρουσιάζεται γραφικά στο σχήμα 5.2, όπως και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του με τις παραμέτρους Denavit-Hartenberg. Τα δεδομένα εισόδου στον αλγόριθμο για αυτή την εφαρμογή είναι οι διαστάσεις των μελών, τα αρχικά όρια των μεταβλητών και οι μέγιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες των αρθρώσεων (Πίνακας 5.8), καθώς και οι προκαθορισμένες τοποθετήσεις του εργαλείου (Πίνακας 5.9). Στο σχήμα 5.14 παρουσιάζεται μια γραφική προσομοίωση της βάσης της καρέκλας, προσαρτημένη στην τράπεζα εργασίας, καθώς επίσης το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων (P S ), το σύστημα της βάσης του ρομπότ (P 0 ) και όλες οι προκαθορισμένες τοποθετήσεις του εργαλείου (T 1 T 9 ). Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι αριθμητικές εφαρμογές αναφορικά με μια έως και εννιά προκαθορισμένες τοποθετήσεις του εργαλείου, οι οποίες λαμβάνουν υπόψη δύο κριτήρια για την αντικειμενική συνάρτηση. Το πρώτο κριτήριο της ακρίβειας τοποθέτησης χρησιμοποιεί μόνο την απόκλιση μεταξύ υπολογιζόμενων και προκαθορισμένων τοποθετήσεων του εργαλείου (F 1 ). Κατ αυτόν τον τρόπο η αντικειμενική συνάρτηση έχει μια απλοποιημένη μορφή, όπου οι συντελεστές βαρύτητας είναι α=0 και β=0. Το δεύτερο κριτήριο της ακρίβειας τοποθέτησης και α 0 a 0 Μεταβλητές θ 0 ( o ) ( o ) d 0 (mm) (mm) Min 0 0-2000 -2000 Max 360 360 2000 2000 Μεταβλητές θ 1 ( o ) θ 2 ( o ) θ 3 ( o ) θ 4 ( o ) θ 5 ( o ) θ 6 ( o ) Min -180-30 -60-270 -300-180 Max 150 135 210 90-54 180 Max θ i ( o /s) 140 140 140 270 270 400 Πίνακας 5.8: Αρχικά όρια των μεταβλητών και μέγιστες ταχύτητες. Θέση X Y Z A B C (mm) (mm) (mm) ( o ) ( o ) ( o ) T RP 1024.0-117,8 185.0-60.0 0.0-120.0 T 1 1100.0 800.0 100.0 120.0 90.0 90.0 T 2 1200.0-700.0 0.0 60.0 120.0 60.0 T 3 692.8 612.2-221.8 90.0 135.0 45.0 T 4 692.8-587.8-221.8-150.0 135.0 45.0 T 5 862.8 273.2-203.0 40.0 15.0-160.0 T 6 862.8-248.8-203.0-90.0-10.0-160.0 T 7 1024.0 142.2 185.0-150.0 110.0-60.0 T 8 1182.4 142.2 207.3-150.0 110.0-60.0 T 9 1182.4-117.8 207.3-60.0 0.0-120.0 Πίνακας 5.9: Προκαθορισμένες θέσεις του άκρου. - 50 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.14: Συντεταγμένες προκαθορισμένων τοποθετήσεων του εργαλείου. ευχρηστίας εμπλέκει, επιπρόσθετα του πρώτου και τη μεγιστοποίηση του μέτρου ευχρηστίας για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου (F 2 ), χωρίς όμως και πάλι να ενεργοποιείται το τμήμα (F 3 ), δηλαδή β=0. Στη πρώτη αριθμητική εφαρμογή, όπου μια τελική θέση προκαθορίζεται, το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι δέκα. Συγκεκριμένα, αυτές είναι οι τέσσερις παράμετροι Denavit- Hartenberg, θ 0, α 0, a 0 και d 0, που ορίζουν την τοποθέτηση της βάσης και οι άλλες έξι, που ορίζουν τις τιμές των γωνιών των αρθρώσεων θ i (i=1 6). Για κάθε επιπρόσθετη προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου των ακολούθων αριθμητικών εφαρμογών προστίθεται μια ομάδα έξι ανεξαρτήτων μεταβλητών, που περιγράφουν τις τιμές των γωνιών των αρθρώσεων του επιπλέον σχηματισμού του βραχίονα. Οι παράμετροι που εμπλέκονται σε όλα τα παραδείγματα που παρατίθενται, ιδιαίτερα αυτές που αφορούν τους γενετικούς αλγορίθμους, διατηρούνται σταθερές και έχουν επιλεγεί μέσα από μεγάλο πλήθος δοκιμών: πλήθος γονέων = 50, πιθανότητα διασταύρωσης = 70%, πιθανότητα μετάλλαξης =8% και η μείωση του εύρους των μεταβλητών 1-c= 50%. Το πλήθος των επαναλήψεων και στα τρία βήματα του αλγορίθμου είναι επιλεγμένο, έτσι ώστε οι επιλύσεις και των δύο κριτηρίων να είναι ακριβείς, αλλά και γρήγορες ταυτόχρονα. Επιπλέον, οι τιμές των παραμέτρων επίλυσης διατηρούνται σταθερές και στα δύο κριτήρια, έτσι ώστε τα αποτελέσματα να είναι συγκρίσιμα μεταξύ τους (Πίνακας 5.10). Πρώτο κριτήριο: Ακρίβεια τοποθέτησης Στο πρώτο κριτήριο της ακρίβειας τοποθέτησης (βλέπε πίνακα 5.10) παρουσιάζονται, για τις έξι αριθμητικές εφαρμογές, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος, το μέτρο ευχρηστίας και η μέση απόκλιση των στοιχείων μεταξύ των μητρώων 7 A Sprk - 51 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Παράδειγμα Τελικά σημεία Παράμετροι Αποτελέσματα με κριτήριο την ακρίβεια τοποθέτησης Αποτελέσματα με κριτήριο την ακρίβεια τοποθέτησης και ευχρηστίας Πλήθος Συντελ Μέση Τιμή Μέση Τιμή Μέσο Υπολ. Μέσο Υπολογ επαναλ. βαρύτ. απόκλιση αντικειμαπόκλιση αντικειμ w χρόνος w χρόνος GA QNA CHM α στοιχείων συνάρτ. στοιχείων συνάρτ. 1 ο 1 30 30 1 10-3 2.3E-07 0.07 0:00:02 3.3E-13 5.5E-06 0.38 0:00:05 6.8E-03 2 ο 2 30 50 1 10-3.5 4.0E-07 0.19 0:00:07 4.5E-12 2.4E-04 0.37 0:00:18 4.6E-03 3 ο 3 30 100 1 10-4 9.6E-07 0.06 0:00:12 2.0E-11 2.1E-04 0.36 0:01:00 2.3E-03 4 ο 5 100 100 1 10-5 1.4E-06 0.12 0:01:47 8.6E-11 2.1E-04 0.25 0:03:25 1.0E-03 5 ο 7 100 200 1 10-6 4.7E-06 0.11 0:06:00 1.3E-10 6.5E-05 0.25 0:10:27 1.4E-04 6 ο 9 150 300 1 10-7 2.6E-06 0.11 0:16:00 4.5E-10 4.0E-05 0.19 0:32:17 1.3E-04 Πίνακας 5.10: Παράμετροι των έξι αριθμητικών εφαρμογών και αντίστοιχα αποτελέσματα. και 7 A Srk. Στο σχήμα 5.15 παρουσιάζεται η πορεία της αντικειμενικής συνάρτησης σε λογαριθμική κλίμακα, συναρτήσει του πλήθους των γενεών για τις έξι αριθμητικές εφαρμογές. Όπως φαίνεται στο σχήμα, για λίγες προκαθορισμένες τοποθετήσεις του εργαλείου, η τιμή της αντικειμενικής είναι χαμηλότερη και επιτυγχάνεται σε λιγότερες επαναλήψεις, ενώ για περισσότερα τελικά σημεία επιτυγχάνεται μεν άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, όμως σε περισσότερες επαναλήψεις και συνεπώς σε περισσότερο υπολογιστικό χρόνο. Για όλα τα αριθμητικά παραδείγματα, η μέση απόκλιση για όλα τα στοιχεία των μητρώων είναι μικρότερη από 4.7. 10-6. Αυτή η τιμή εξασφαλίζει για όλα τα παραδείγματα, ότι η μέγιστη απόκλιση θέσης είναι 0.015 mm και η μέγιστη απόκλιση προσανατολισμού είναι 0.00001 rad (0.0006 μοίρες), που είναι αποδεκτές τιμές. Όμως το μέτρο του μεγέθους ευχρηστίας έχει πολύ μικρές τιμές, οι οποίες δεν εξασφαλίζουν την αποφυγή των σημείων ιδιομορφίας του βραχίονα. Δεύτερο κριτήριο: Ακρίβεια τοποθέτησης και μέτρο ευχρηστίας Για την μεγιστοποίηση της ευχρηστίας του βραχίονα και την αύξηση της ευκινησίας του, εισάγεται στην διαδικασία βελτιστοποίησης το μέτρο ευχρηστίας (w) /71/, μέσω του δευτέρου κριτηρίου, το οποίο συνδυάζει την ακρίβεια τοποθέτησης και την ευχρηστία στην ίδια συνάρτηση. Η συνεισφορά της απόκλισης τοποθέτησης και του μέτρου ευχρηστίας εξισορροπείται με την χρήση του συντελεστή βαρύτητας α. Ένας χαμηλός συντελεστής βαρύτητας α οδηγεί σε αποδεκτή απόκλιση τοποθέτησης, αλλά σε μικρότερες τιμές μέτρου ευχρηστίας, αυτό όμως δεν εξασφαλίζει την αποφυγή των θέσεων ιδιομορφίας. Αντίστροφα μια μεγάλη τιμή του συντελεστή βαρύτητας α οδηγεί σε μεγάλο μέτρο ευχρηστίας, όμως οι λύσεις που προκύπτουν είναι μη αποδεκτές ως προς την ακρίβεια τοποθέτησης. Θέτοντας λοιπόν, ως όριο ακρίβειας τοποθέτησης το 1mm, προκύπτει ότι αυτό εκφράζεται από μια τιμή της μέσης τιμής των στοιχείων της αντικειμενικής συνάρτησης 10-3.5. - 52 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.15: Εξέλιξη αντικειμενικής συνάρτησης ως προς το πλήθος των γενεών, με κριτήριο την ακρίβεια τοποθέτησης. Για κάθε αριθμητική εφαρμογή πραγματοποιούνται διάφορες δοκιμές του συντελεστή βαρύτητας και καταγράφονται (Σχήμα 5.16) ως αποτελέσματα α) η μέση απόκλιση των στοιχείων των ομογενών μητρώων και β) η μέση τιμή του μέτρου ευχρηστίας του συνόλου των θέσεων κατεργασίας, που χρησιμοποιούνται. Μέσω αρκετών δοκιμών για κάθε αριθμητική εφαρμογή, η μέγιστη αποδεκτή τιμή της μέσης απόκλισης των στοιχείων καθορίζει τον συντελεστή βαρύτητας, ο οποίος επιλέγεται ως βέλτιστος (Πίνακας 5.10) και οδηγεί σε ένα μέγιστο μέτρο ευχρηστίας. Το δεξίο τμήμα του πίνακα 5.10 περιλαμβάνει τους αντίστοιχους υπολογιστικούς χρόνους, τα μέτρα ευχρηστίας και τις μέσες αποκλίσεις όλων των στοιχείων μεταξύ των Σχήμα 5.16: Επιλογή βέλτιστου συντελεστή βαρύτητας α. - 53 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα μητρώων 7 A Sprk και 7 A Srk για τις έξι αριθμητικές εφαρμογές, χρησιμοποιώντας το κριτήριο ακρίβειας τοποθέτησης και ευχρηστίας. Στο σχήμα 5.17 παρουσιάζεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε λογαριθμική κλίμακα, συναρτήσει του πλήθους γενεών για τις έξι αριθμητικές εφαρμογές. Για λίγες προκαθορισμένες τοποθετήσεις του εργαλείου, η ελάχιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης υπολογίζεται σε λίγες επαναλήψεις, όμως έχει υψηλότερη τιμή. Ο λόγος εμφάνισης αυτής της υψηλότερης τιμής είναι το όριο του 1mm, που τέθηκε ως αποδεκτή τιμή απόκλισης τοποθέτησης, το οποίο οδηγεί το πρώτο τμήμα (F 1 ) της εξίσωσης (5.1) σε υψηλότερες τιμές, μέσω της υψηλότερης βαρύτητας που του δίνεται. Για όλες τις εφαρμογές δεν εμφανίζεται απόκλιση τοποθέτησης μεγαλύτερη από 0.87 mm και απόκλιση προσανατολισμού μεγαλύτερη από 0.003 rad (0.17 μοίρες), που είναι αποδεκτές τιμές. Επιπρόσθετα, το μέτρο ευχρηστίας μεγιστοποιείται για τις τρεις πρώτες εφαρμογές και διπλασιάζεται για τις άλλες τρεις, σε σύγκριση με την περίπτωση του κριτηρίου ακρίβειας τοποθέτησης (Σχήμα 5.18). Συγκριτικός έλεγχος αποτελεσμάτων, αριθμητικής εφαρμογής επτά θέσεων κατεργασίας Αναλύονται λεπτομερέστερα τα αποτελέσματα μιας χαρακτηριστικής αριθμητικής εφαρμογής όπου προκαθορίζονται επτά θέσεις κατεργασίας, έτσι ώστε να γίνει εμφανής η αποδοτικότητα του προτεινόμενου αλγορίθμου, εφαρμόζοντας και τα δύο κριτήρια. Το πλήθος των μεταβλητών είναι 46, εκ των οποίων, ως γνωστόν, 4 είναι αυτές που εκφράζουν την θέση της βάσης και 42 Σχήμα 5.17: Εξέλιξη αντικειμενικής συνάρτησης ως προς το πλήθος των γενεών, με κριτήριο την ακρίβεια τοποθέτησης και μέτρο ευχρηστίας. - 54 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.18: Μέσο μέτρο ευχρηστίας για όλες τις αριθμητικές εφαρμογές. μεταβλητές (6 αρθρώσεις x 7 θέσεις) είναι αυτές που εκφράζουν τις τιμές των αρθρώσεων για τους 7 σχηματισμούς. Οι βέλτιστες τιμές των μεταβλητών που επιτεύχθηκαν με τον προτεινόμενο αλγόριθμο και για τα δύο κριτήρια, παρουσιάζονται στον πίνακα 5.11. Επιπλέον, στον ίδιο πίνακα παρουσιάζεται η τιμή του μέτρου ευχρηστίας για κάθε μια από τους επτά σχηματισμούς, ενώ στο σχήμα 5.19 γίνεται μια σύγκριση των μέτρων ευχρηστίας μεταξύ των δύο μεθόδων. Η αύξηση της τιμής της ευχρηστίας με το δεύτερο κριτήριο είναι προφανής και αποδεικνύει την ανάγκη εφαρμογής του δεύτερου τμήματος (F 2 ) της αντικειμενικής συνάρτησης, για την επίτευξη ακριβούς τοποθέτησης και μέγιστης ευχρηστίας. Στο σχήμα 5.20 παρουσιάζεται γραφικά η τοποθέτηση της βάσης και ο τρίτος σχηματισμός του βραχίονα. Το αριστερό τμήμα του σχήματος αντιπροσωπεύει την λύση, με βάση το πρώτο κριτήριο της ακρίβειας τοποθέτησης (πρώτη στήλη του πίνακα 5.11), ενώ το δεξιό τμήμα του σχήματος αντιπροσωπεύει την λύση, με βάση το δεύτερο κριτήριο της ακρίβειας τοποθέτησης και ευχρηστίας (δεύτερη στήλη του πίνακα 5.11). Η τροποποίηση, τόσο της τοποθέτησης της βάσης, όσο και του σχηματισμού του βραχίονα είναι προφανής. Σχήμα 5.19: Μέτρο ευχρηστίας των επτά σχηματισμών για την αριθμητική εφαρμογή των επτά προκαθορισμένων θέσεων κατεργασίας. - 55 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Τοποθέτηση βάσης 1 ος σχηματισμός βραχίονα 2 ος σχηματισμός βραχίονα 3 ος σχηματισμός βραχίονα Τιμή Τιμή Μεταβλητή 1* 2* 1* 2* 1 θ 0 ( o ) 10.5 127.6 23 θ 1 ( o ) -163.6-179.5 2 α 0 ( o ) 10.6 0.0 24 θ 2 ( o ) 0.1 38.5 3 a 0 mm -107.2 150.9 25 θ 3 ( o ) 173.6 30.3 Μεταβλητή 4 ος σχηματισμός βραχίονα 4 d 0 mm 388.8-207.6 26 θ 4 ( o ) -220.7 40.6 5 θ 1 ( o ) 2.1-98.0 27 θ 5 ( o ) -110.4-66.1 6 θ 2 ( o ) 47.9 66.1 28 θ 6 ( o ) 69.9 33.7 7 θ 3 ( o ) 152.0 0.1 τιμή W 4 0.29 0.33 8 θ 4 ( o ) 24.5-1.0 29 θ 1 ( o ) -179.5-125.8 9 θ 5 ( o ) -141.1-203.8 30 θ 2 ( o ) 79.2 68.0 10 θ 6 ( o ) 18.1 134.9 31 θ 3 ( o ) 151.2-4.3 5 ος σχηματισμός βραχίονα τιμή W 1 0.09 0.14 32 θ 4 ( o ) -269.5-153.0 11 θ 1 ( o ) -178.2-154.4 33 θ 5 ( o ) -121.3-247.5 12 θ 2 ( o ) 104.6-8.6 34 θ 6 ( o ) 152.9-98.2 13 θ 3 ( o ) 19.8 149.6 τιμή W 5 0.05 0.30 14 θ 4 ( o ) -150.5-30.7 35 θ 1 ( o ) 11.9-156.5 15 θ 5 ( o ) -194.6-109.6 36 θ 2 ( o ) 106.2 70.9 16 θ 6 ( o ) 56.8-180.0 37 θ 3 ( o ) 154.0-9.7 6 ος σχηματισμός βραχίονα τιμή W 2 0.04 0.33 38 θ 4 ( o ) -232.9 23.6 17 θ 1 ( o ) -16.7-77.6 39 θ 5 ( o ) -258.6-129.6 18 θ 2 ( o ) 17.6 71.9 40 θ 6 ( o ) -28.1-176.6 19 θ 3 ( o ) 173.7-29.3 τιμή W 6 0.12 0.24 20 θ 4 ( o ) 51.4-251.7 41 θ 1 ( o ) -153.1-113.5 21 θ 5 ( o ) -219.9-245.4 42 θ 2 ( o ) 93.4 84.9 22 θ 6 ( o ) 62.2 121.4 43 θ 3 ( o ) 156.5-8.4 7 ος σχηματισμός βραχίονα τιμή W 3 0.16 0.22 44 θ 4 ( o ) -21.6-269.5 1* Λύση με ακρίβεια τοποθέτησης 45 θ 5 ( o ) -69.8-224.7 2* Λύση με ακρίβεια τοποθέτησης και 46 θ 6 ( o ) -169.3 35.7 ευχρηστίας τιμή W 7 0.08 0.20 Πίνακας 5.11: Βέλτιστες τιμές μεταβλητών της αριθμητικής εφαρμογής με επτά θέσεις του άκρου και για τα δύο κριτήρια βελτιστοποίησης. Σχήμα 5.20: Γραφική προσομοίωση του τρίτου σχηματισμού στην αριθμητική εφαρμογή των επτά προκαθορισμένων θέσεων κατεργασίας για τo κριτήριo α) ακρίβειας τοποθέτησης και (β) ακρίβειας τοποθέτησης και ευχρηστίας. - 56 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Προκειμένου να αποδειχθεί η αποδοτικότητα του προτεινόμενου αλγορίθμου, το πέμπτο παράδειγμα των επτά προκαθορισμένων θέσεων που χρησιμοποιεί το κριτήριο της ακρίβειας τοποθέτησης και ευχρηστίας λύνεται σε σύγκριση με άλλες μεθόδους. Ο εφαρμοσμένος αριθμός γενεών είναι ο ίδιος προκειμένου να αποκτηθούν συγκρίσιμα αποτελέσματα. Το σχήμα 5.21 παρουσιάζει την εξέλιξη της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς τον αριθμό των γενεών στο εν λόγω παράδειγμα, εφαρμόζοντας ένα απλό γενετικό αλγόριθμο (GA), μια μέθοδο που συνδυάζει το γενετικό αλγόριθμο με μέθοδο ελέγχου ορίων των μεταβλητών (GA+CHM) και τον προτεινόμενο υβριδικό αλγόριθμο. Ο υπολογιστικός χρόνος του απλού γενετικού αλγορίθμου και της μεθόδου που συνδυάζει το γενετικό αλγόριθμο με μέθοδο ελέγχου ορίων των μεταβλητών είναι περίπου 9 λεπτά και 17 δευτερόλεπτα, ο οποίος δεν έχει κρίσιμη διαφορά σε σύγκριση με τα 10 λεπτά και 27 δευτερόλεπτα του προτεινόμενου αλγορίθμου. Αυτό το σχήμα παρουσιάζει σαφώς το πλεονέκτημα του αναπτυγμένου αλγορίθμου, αφού στον ίδιο περίπου χρόνο επιτυγχάνει πολύ χαμηλότερη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης από τις άλλες μεθόδους. 5.3.3. 3 η εφαρμογή: Βέλτιστη τοποθέτηση βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας με κριτήρια βελτιστοποίησης την τοποθέτηση, το μέτρο ευχρηστίας και τον χρόνο κίνησης του άκρου, σε ανοιχτούς και κλειστούς κύκλους κατεργασίας Μια επιπλέον εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας πραγματοποιείται στον βραχίονα RV6 των έξι βαθμών ελευθερίας, χρησιμοποιώντας όμως την πλήρη αντικειμενική συνάρτηση, ώστε να συνυπολογίζεται και ο χρόνος εκτέλεσης της απαιτούμενης διαδρομής /127,128/. Η εφαρμογή εκτός από ανοιχτούς, περιλαμβάνει και κλειστούς κύκλους κατεργασίας, στους οποίους λαμβάνεται υπόψη στη βελτιστοποίηση και ένα σημείο αναφοράς (Reference point). Εκτός από τον χρόνο κίνησης μεταξύ των θέσεων κατεργασίας αξίζει να τονισθεί, ότι πραγματοποιείται ταυτόχρονα και προσδιορισμός της βέλτιστης αλληλουχίας των θέσεων Σχήμα 5.21: Σύγκριση της προτεινόμενης μεθοδολογίας με άλλες γενετικών αλγορίθμων, στο πρόβλημα των επτά προκαθορισμένων θέσεων, με το κριτήριο της ακρίβειας τοποθέτησης και ευχρηστίας. - 57 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα κατεργασίας. Έτσι, στην τελική βέλτιστη λύση ορίζεται και η σειρά των θέσεων, που πρέπει να περάσει διαδοχικά το άκρο για να επιτύχει τον ελάχιστο χρόνο κίνησης που υπολογίσθηκε. Τα δεδομένα εισόδου στον αλγόριθμο για αυτή την εφαρμογή είναι ανάλογα με αυτά της 2 ης εφαρμογής, όπως και οι παράμετροι επίλυσης, με σκοπό τα αποτελέσματα να έχουν μια κοινή βάση σύγκρισης. Για να επαληθευτεί η αναλυθείσα προτεινόμενη μεθοδολογία, παρουσιάζεται ένα πλήθος αριθμητικών εφαρμογών με δύο έως εννιά προκαθορισμένα σημεία κατεργασίας. Στην πρώτη αριθμητική εφαρμογή, όπου δύο θέσεις κατεργασίας προκαθορίζονται, το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι δεκαέξι. Συγκεκριμένα αυτές είναι οι τέσσερις παράμετροι Denavit-Hartenberg, θ 0, α 0, a 0 και d 0, που ορίζουν την τοποθέτηση της βάσης ως προς το απόλυτο σύστημα αναφοράς και δύο εξάδες μεταβλητών που ορίζουν τις τιμές των γωνιών των αρθρώσεων θ i (i=1 6) για τις δύο θέσεις κατεργασίας. Για κάθε επιπρόσθετη θέση κατεργασίας του εργαλείου των ακολούθων παραδειγμάτων προστίθεται μια ομάδα έξι ανεξαρτήτων μεταβλητών, που περιγράφουν τις τιμές των γωνιών των αρθρώσεων του επιπλέον σχηματισμού του βραχίονα. Στις διαδρομές κλειστού κύκλου προστίθεται επιπλέον μια εξάδα μεταβλητών, που ορίζουν τις τιμές των γωνιών των αρθρώσεων για το σημείο αναφοράς (RP). Οι παράμετροι που εμπλέκονται σε όλα τα παραδείγματα που παρατίθενται, ιδιαίτερα αυτές που αφορούν τους γενετικούς αλγορίθμους, διατηρούνται σταθερές και έχουν επιλεγεί μέσα από μεγάλο πλήθος δοκιμών: πλήθος γονέων = 50, πιθανότητα διασταύρωσης = 70%, πιθανότητα μετάλλαξης =8% και η μείωση του εύρους των μεταβλητών είναι CHM 1-c= 50%. Το πλήθος των επαναλήψεων και στα τρία βήματα του αλγορίθμου είναι επιλεγμένο, έτσι ώστε οι επιλύσεις να είναι ακριβείς, αλλά και γρήγορες ταυτόχρονα (Πίνακας 5.12). Η αντικειμενική συνάρτηση συνδυάζει την ακρίβεια τοποθέτησης, το μέτρο ευχρηστίας και τον χρόνο κίνησης του άκρου κατεργασίας. Γενικά, οι συντελεστές βαρύτητας α και β επιλέγονται λαμβάνοντας υπόψη την σημασία των στόχων, που πρέπει να επιτύχει το ρομπότ. Μια υψηλή τιμή του συντελεστή βαρύτητας α αυξάνει την σημασία του β μέρους της αντικειμενικής συνάρτησης (F 2 ), με το οποίο επιτυγχάνεται μεγάλο μέτρο ευχρηστίας. Αντίστροφα μια υψηλή τιμή του συντελεστή βαρύτητας β αυξάνει την σημασία του γ όρου της αντικειμενικής συνάρτησης (F 3 ) και οδηγεί σε λύσεις με μικρότερο χρόνο κίνησης του άκρου, περιορίζοντας όμως την ποιότητα του μέτρου ευχρηστίας. Απαιτείται, λοιπόν, μια ισορροπία μεταξύ των συντελεστών βαρύτητας που θα επιτυγχάνει ικανοποιητικές τιμές για όλα τα εμπλεκόμενα μεγέθη. Πολλαπλές επιλύσεις με διαφορετικούς συντελεστές α και β (με τη μέθοδο try and error) για κάθε μια εκ των αριθμητικών εφαρμογών που επιλύθηκαν, οδήγησαν στην εκλογή των βέλτιστων συντελεστών βαρύτητας του πίνακα 5.12, με διαδικασία ανάλογη της εκλογής συντελεστών βαρύτητας στην 2 η εφαρμογή. Χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη προσέγγιση επιτυγχάνονται η βέλτιστη θέση της βάσης και οι σχηματισμοί του βραχίονα που επαληθεύουν - 58 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Παράμετροι Αποτελέσματα Παράδειγμα σημεία απόκλιση κίνησης GA QNA CHM α β w χρόνος αλληλουχία Τελικά Πλήθος επαναλ. Συντελ βαρύτ. Μέση Χρόνος Μέσο Υπολογ Προτεινόμενη στοιχείων (s) 1 ο 2 10 50 1 10-3.5 10-2 2.42E-04 0.37 0.38 00:00:26 1,2 2 ο 3 10 100 1 10-4 10-3 3.29E-04 0.33 0.63 00:01:39 2,1,3 3 ο 5 30 150 1 10-5 10-4 1.42E-04 0.26 2.05 00:04:38 2,5,3,1,4 4 ο 7 30 200 1 10-6 10-5 2.42E-04 0.18 3.25 00:13:02 6,4,1,2,3,5,7 5 ο 9 50 300 1 10-7 10-6 1.55E-05 0.17 6.03 00:39:15 4,3,7,5,6,1,9,2,8 Πίνακας 5.12: Παράμετροι και αποτελέσματα, με την προτεινόμενη μέθοδο σε ανοιχτό κύκλο κατεργασίας. τις προδιαγεγραμμένες θέσεις του άκρου (βλέπε πίνακα 5.13 για το παράδειγμα των τριών προκαθορισμένων θέσεων). Επιπρόσθετα, στον πίνακα 5.12 παρουσιάζονται και για τις έξι αριθμητικές εφαρμογές η μέση απόκλιση των στοιχείων μεταξύ των μητρώων 7 A Sprk και 7 A Srk, το μέτρο ευχρηστίας, ο χρόνος κίνησης του άκρου, ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος και η προτεινόμενη αλληλουχία σημείων, ανά περίπτωση. Για να επαληθευτεί η συμπεριφορά της προτεινόμενης μεθοδολογίας, τα παραπάνω αποτελέσματα συγκρίνονται με αποτελέσματα που επιτυγχάνονται με ανάλογη μεθοδολογία, η οποία όμως συνδυάζει μόνο την ακρίβεια τοποθέτησης και το μέτρο ευχρηστίας, ενώ για τον χρόνο κίνησης γίνεται επιλογή του ελαχίστου υπολογισμένου και όχι βελτιστοποίηση, όπως στην προτεινόμενη. Πρόκειται ουσιαστικά για την 2 η εφαρμογή που προηγήθηκε, στην οποία όμως υπολογίζεται ο χρόνος κίνησης του άκρου, αλλά δεν αποτελεί τμήμα της αντικειμενικής συνάρτησης. Η αντικειμενική συνάρτηση έχει μια απλοποιημένη μορφή με β=0, ενώ ο συντελεστής α δεν αλλάζει τιμές, ώστε τα αποτελέσματα να είναι συγκρίσιμα. Η μέθοδος επιλογής του βέλτιστου συντελεστή α περιγράφεται στην παράγραφο 5.3.2, στην ενότητα που αναφέρεται στο δεύτερο κριτήριο, για τις ίδιες αριθμητικές εφαρμογές. Για κάθε αριθμητική εφαρμογή, με χρήση αυτής της μεθόδου πραγματοποιούνται τρεις έως πέντε επιλύσεις, έτσι ώστε να είναι δυνατή η επιλογή της λύσης με τον μικρότερο χρόνο κίνησης του άκρου. Οι παράμετροι επίλυσης και τα αντίστοιχα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πίνακα 5.14. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων των δύο προσεγγίσεων, που παρουσιάστηκαν στους πίνακες 5.12 και 5.14, οδηγεί στα ακόλουθα συμπεράσματα. Για να επιτευχθούν λύσεις, όπου η ακρίβεια τοποθέτησης και το μέτρο ευχρηστίας θα έχουν συγκρίσιμες τιμές για τις δύο προσεγγίσεις, η μέθοδος της επιλογής του χρόνου κίνησης πρέπει να εφαρμοστεί πάνω από μία φορά. Η ανάγκη πολλαπλής εφαρμογής αυτής της προσέγγισης, έτσι ώστε να είναι δυνατή η επιλογή του μικρότερου χρόνου κίνησης, οδηγεί σε αύξηση μεγαλύτερη από 100% του υπολογιστικού χρόνου για κάθε αριθμητική εφαρμογή. Επίσης, παρατηρείται ότι οι προτεινόμενες αλληλουχίες σημείων είναι διαφορετικές για τις δύο μεθόδους, γεγονός που είναι αναμενόμενο και οφείλεται - 59 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα στο ότι οι αντικειμενικές συναρτήσεις είναι διαφορετικές μια και εκφράζουν προσεγγίσεις Τοποθέτηση βάσης 1 ος σχηματισμός βραχίονα Μεταβλητή Τιμή Προτεινόμενη μέθοδος Μέθοδος επιλογής χρόνου 1 θ 0 ( ) 240.3 284.9 2 α 0 ( ) 179.1 151.3 3 a 0 mm 186.5 142.6 4 d 0 mm -106.0 700.0 2 ος σχηματισμός βραχίονα Μεταβλητή Τιμή Προτεινόμενη μέθοδος Μέθοδος επιλογής χρόνου 11 θ 1 ( ) -105.8-62.6 12 θ 2 ( ) 21.3-30.4 13 θ 3 ( ) 9.2 169.7 14 θ 4 ( ) -41.8-130.1 15 θ 5 ( ) -260.9-236.3 16 θ 6 ( ) 1.4 157.8 Τιμή W 2 0.36 0.32 5 θ 1 ( ) -161.4-116.4 17 θ 1 ( ) -179.5-130.4 6 θ 2 ( ) 17.6-30.4 18 θ 2 ( ) 36.6-11.4 7 θ 3 ( ) 18.6 162.0 19 θ 3 ( ) -3.4 158.5 8 θ 4 ( ) -14.5-171.1 20 θ 4 ( ) -76.9 89.5 9 θ 5 ( ) -234.2-249.8 21 θ 5 ( ) -296.7-102.2 3 ος σχηματισμός βραχίονα 10 θ 6 ( ) -38.3 118.5 22 θ 6 ( ) 27.0-22.2 Τιμή W 1 0.30 0.36 Τιμή W 3 0.32 0.36 Πίνακας 5.13: Αποτέλεσμα της εφαρμογής για τρεις προκαθορισμένες θέσεις, σε ανοιχτό κύκλο κατεργασίας. διαφορετικού προβλήματος, χωρίς ή με βελτιστοποίηση του χρόνου κίνησης, αντίστοιχα. Για όλα τα αριθμητικά παραδείγματα της προτεινόμενης μεθοδολογίας, η μέση απόκλιση για όλα τα στοιχεία των μητρώων είναι μικρότερη από 3.3. 10-4. Αυτή η τιμή, εξασφαλίζει για όλα τα παραδείγματα, ότι η μέγιστη απόκλιση θέσης είναι 0.98 mm και η μέγιστη απόκλιση προσανατολισμού είναι 0.009 rad (0.52 μοίρες), που είναι αποδεκτές τιμές, αφού ως όρια είχαν αρχικά ορισθεί το 1mm και η 1 μοίρα. Το μέσο μέτρο ευχρηστίας, ο συνολικός χρόνος κίνησης του άκρου κατεργασίας και ο υπολογιστικός χρόνος συναρτήσει του πλήθους των προκαθορισμένων θέσεων, παρουσιάζονται στα διαγράμματα του σχήματος 5.22. Για τις περισσότερες αριθμητικές Παράμετροι Αποτελέσματα Παράδειγμα σημεία βαρύτ. απόκλιση κίνησης GA QNA CHM w χρόνος αλληλουχία Τελικά Πλήθος επαναλ. Συντελ Μέση Χρόνος Μέσο Υπολογ Προτεινόμενη α στοιχείων (s) 1 ο 2 10 50 1 10-3.5 2.10E-04 0.37 0.39 00:01:00 1,2 2 ο 3 10 100 1 10-4 1.90E-04 0.35 1.20 00:04:20 1,2,3 3 ο 5 30 150 1 10-5 3.80E-05 0.31 2.60 00:12:17 3,2,1,4,5 4 ο 7 30 200 1 10-6 1.20E-05 0.3 4.20 00:25:42 6,2,1,3,4,7,5 5 ο 9 50 300 1 10-7 2.32E-05 0.21 7.27 01:21:15 9,1,8,7,3,6,5,2,4 Πίνακας 5.14: Παράμετροι και αποτελέσματα, με τη μέθοδο επιλογής χρόνου σε ανοιχτό κύκλο κατεργασίας. - 60 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 5.22: Μέσο μέτρο ευχρηστίας, συνολικός χρόνος κίνησης του άκρου και υπολογιστικός χρόνος, χρησιμοποιώντας: α. την μέθοδο βελτιστοποίησης του χρόνου (προτεινόμενη) β. την μέθοδο επιλογής του χρόνου. εφαρμογές το μέτρο ευχρηστίας έχει μια σταθερή διαφορά μεταξύ των δύο προσεγγίσεων, με μεγαλύτερη τιμή για την μέθοδο επιλογής του χρόνου κίνησης. Ο υπολογισμένος χρόνος κίνησης του άκρου είναι αρκετά χαμηλότερος για την προτεινόμενη μέθοδο, μια διαφορά η οποία αυξάνει περίπου 10-15% για κάθε επιπλέον προκαθορισμένο σημείο κατεργασίας. Ο υπολογιστικός χρόνος εμφανίζει μια σαφέστατη διαφοροποίηση υπέρ της προτεινόμενης μεθοδολογίας, γεγονός που εντείνεται με την αύξηση του πλήθους των συνυπολογιζόμενων θέσεων κατεργασίας. Έτσι, ο υπολογιστικός χρόνος με την προτεινόμενη μεθοδολογία κυμαίνεται στο 40% του αντίστοιχου της μεθόδου επιλογής του χρόνου κίνησης. Αυτά τα πλεονεκτήματα σε χρόνο κίνησης και σε υπολογιστικό χρόνο είναι ουσιαστικά, διότι αφενός η απόδοση ενός βραχίονα αξιολογείται άμεσα από τον χρόνο κίνησης στον κάθε κύκλο εργασίας και αφετέρου η ελαχιστοποίηση του υπολογιστικού χρόνου αποτελεί ζητούμενο σε κάθε επίλυση προβλήματος. Επιπρόσθετα, η προτεινόμενη μεθοδολογία έχει το πλεονέκτημα της χρήσης των δύο συντελεστών βαρύτητας α και β, που δίνει την δυνατότητα ελέγχου του ποσοστού συνεισφοράς του μέτρου ευχρηστίας και του χρόνου κίνησης του άκρου, ανάλογα με τις απαιτήσεις του χρήστη. - 61 -
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα Κλειστός κύκλος κατεργασίας Αφού ο χρόνος που απαιτείται ανά κύκλο εργασίας, αποτελεί βασικότατο κριτήριο αξιολόγησης μιας σχετικής τοποθέτησης βραχίονα τεμαχίου κατεργασίας και των βελτιστοποιημένων σχηματισμών στις θέσεις κατεργασίας, πραγματοποιήθηκαν εφαρμογές της προτεινόμενης μεθόδου και με κλειστούς κύκλους κατεργασίας, ως εξέλιξη της εφαρμογής με ανοιχτούς κύκλους. Η αντικειμενική συνάρτηση στην εφαρμογή της μεθοδολογίας σε κλειστούς κύκλους κατεργασίας έχει την ίδια μορφή και συνδυάζει την ακρίβεια τοποθέτησης, το μέτρο ευχρηστίας και τον χρόνο κίνησης του άκρου κατεργασίας, ενώ οι συντελεστές βαρύτητας προκύπτουν από πολλαπλές επιλύσεις με διαφορετικούς συντελεστές α και β, με τη μέθοδο try and error. Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν σε όλα τα παραδείγματα κατά την επίλυσή τους, παρουσιάζονται στον πίνακα 5.15, μαζί με τους βέλτιστους συντελεστές βαρύτητας που προσδιορίσθηκαν. Επιπρόσθετα, στον ίδιο πίνακα παρουσιάζονται και για τις έξι αριθμητικές εφαρμογές η μέση απόκλιση των στοιχείων μεταξύ των μητρώων 7 A Sprk και 7 A Srk, το μέτρο ευχρηστίας, ο συνολικός χρόνος κίνησης του άκρου για έναν πλήρη κύκλο κατεργασίας, ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος και η προτεινόμενη αλληλουχία σημείων, ανά περίπτωση. Ολοκληρώνοντας την παρουσίαση των αποτελεσμάτων για όλες τις εφαρμογές σε ανοιχτό και κλειστό κύκλο κατεργασίας, με παραμετρικό πλήθος τελικών θέσεων κατεργασίας και διάφορα Παράμετροι Παράδειγμα Τελικά σημεία Πλήθος επαναλήψεων Συντελεστής βαρύτητας GA QNA CHM α β 1 ο 1(+RP) 10 30 1 10-3.5 10-2 2 ο 2(+RP) 10 70 1 10-5 10-4 3 ο 3(+RP) 30 150 1 10-5 10-4 4 ο 5(+RP) 20 200 1 8*10-6 10-4 5 ο 7(+RP) 30 200 1 10-6 10-5 6 ο 9(+RP) 40 300 1 10-8 10-7 Παράδειγμα Τελικά σημεία Μέση απόκλιση στοιχείων Μέσο w - 62 - Αποτελέσματα Χρόνος κίνησης (s) Υπολογ χρόνος Προτεινόμενη αλληλουχία 1 ο 1(+RP) 2 4,46Ε-05 0,36 0.665 00:00:07 RP,1,RP 2 ο 2(+RP) 3 5,26E-05 0.32 1.210 00:01:16 RP,1,2,RP 3 ο 3(+RP) 4 9.97E-05 0.26 1.672 00:03:40 RP,1,2,3,RP 4 ο 5(+RP) 6 1.98E-04 0.29 3.382 00:08:09 RP,1,3,5,4,2,RP 5 ο 7(+RP) 8 4.19E-04 0.23 5.351 00:16:42 RP,4,1,7,6,3,2,5,RP 6 ο 9(+RP) 10 1.53E-05 0.18 5.592 00:27:38 RP,3,2,9,4,6,7,1,5,8,RP Πίνακας 5.15: Παράμετροι και αποτελέσματα, με την προτεινόμενη μέθοδο σε κλειστό κύκλο κατεργασίας.
5. Βελτιστοποίηση τοποθέτησης ρομποτικού βραχίονα κριτήρια βελτιστοποίησης, αποδεικνύεται ότι η προτεινόμενη υβριδική μεθοδολογία επιτυγχάνει πολύ καλά αποτελέσματα. Προσδιορίζονται βέλτιστες λύσεις στο πρόβλημα της σχετικής τοποθέτησης βραχίονα και κατεργαζόμενου τεμαχίου, καθώς και οι σχηματισμοί του βραχίονα στις θέσεις κατεργασίας, με κριτήρια βελτιστοποίησης την ακρίβεια τοποθέτησης, το μέτρο ευχρηστίας, και τον χρόνο κίνησης, συνυπολογίζοντας περιορισμούς κινηματικούς, ταχύτητας αρθρώσεων και ορίων χώρου εργασίας. Όλες οι αριθμητικές επιλύσεις πραγματοποιήθηκαν σε Η/Υ με τεχνικά χαρακτηριστικά που αναφέρονται στο παράρτημα (Η/Υ-1). Η εξέλιξη της τεχνολογίας των Η/Υ επιτρέπει την ταχύτερη επίλυση αυτών των προβλημάτων. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι στο πρόβλημα των τριών τελικών θέσεων σε κλειστό κύκλο, δηλαδή στο 3 ο παράδειγμα του πίνακα 5.15, με χρήση του υπολογιστή (Η/Υ-2) η λύση προσδιορίζεται περίπου στον μισό χρόνο, ήτοι σε 1 λεπτό και 51 δευτερόλεπτα. - 63 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα 6. Προσδιορισμός βέλτιστων γεωμετρικών παραμέτρων ρομποτικού βραχίονα, με την βοήθεια υβριδικού γενετικού αλγορίθμου Σε πολλές βιομηχανικές εφαρμογές η απόδοση του ρομπότ μπορεί να παρουσιάσει ουσιαστική αύξηση με τον βέλτιστο καθορισμό των παραμέτρων σχεδίασης του βραχίονα, λαμβάνοντας υπόψη διάφορα κριτήρια και χρησιμοποιώντας αριθμητικές ή σπανιότερα αναλυτικές μεθόδους επίλυσης /53,57/. Στη διεθνή βιβλιογραφία για το συγκεκριμένο πρόβλημα υπάρχει πλήθος αναφορών που αναλύουν το βραχίονα των δύο ή τριών βαθμών ελευθερίας /52,53,54,55,57,59,60/. Συγκεκριμένα η /53/ επιχειρεί μια αναλυτική προσέγγιση τοποθέτησης και γεωμετρίας του βραχίονα RR, όμως μόνο για την περίπτωση ακριβώς τριών προκαθορισμένων τελικών θέσεων, αφού μόνο σε αυτή την περίπτωση υφίσταται ομογενές σύστημα προς επίλυση. Αυτή η εργασία αποτέλεσε το αρχικό ερέθισμα για αριθμητική προσέγγιση του προβλήματος και κατ επέκταση την εφαρμογή της μεθοδολογίας σε προβλήματα περισσότερων βαθμών ελευθερίας και με διάφορα είδη αρθρώσεων. Η μεθοδολογία που παρουσιάσθηκε, με ορισμένες τροποποιήσεις, προτείνει λύση στο πρόβλημα του προσδιορισμού βέλτιστων γεωμετρικών παραμέτρων ενός ρομποτικού βραχίονα, ο οποίος πρέπει να φθάσει σε πεπερασμένο πλήθος διακριτών σημείων κατεργασίας, καθώς και στο πρόβλημα της βέλτιστης τοποθέτησής του στο χώρο εργασίας, με την βοήθεια υβριδικού γενετικού αλγορίθμου /130,131/. Δύναται να εφαρμοστεί χωρίς περιορισμούς που αφορούν το πλήθος των αρθρώσεων του βραχίονα ή το είδος αυτών (περιστροφής, πρισματικές, σφαιρικές, κα). 6.1. Μαθηματική διατύπωση προβλήματος Στην παρούσα ενότητα ο βραχίονας θεωρείται ως μια ανοικτή χωρική κινηματική αλυσίδα, με δύο αρθρώσεις περιστροφής (Σχήμα 6.1), στον οποίο σε σύγκριση με την προηγούμενη ενότητα άγνωστες μεταβλητές δεν είναι μόνο οι αρθρώσεις περιστροφής, αλλά και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των μελών του βραχίονα, όπως αναλύεται στη συνέχεια. Ορίζεται ένα σύστημα αναφοράς P i σε κάθε μέλος (i=0,1 2), καθώς και ένα σύστημα στο άκρο του εργαλείου P 3. Επίσης, ορίζεται ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων P S, ως προς το οποίο μετρώνται τα προκαθορισμένα σημεία εργασίας. Η σχετική θέση μεταξύ δύο διαδοχικών συστημάτων περιγράφεται με την χρήση των 4x4 ομογενών μητρώων μετασχηματισμού και των παραμέτρων Denavit-Hartenberg /10/. Στον πίνακα του σχήματος 6.1 παρατίθενται οι παράμετροι Denavit-Hartenberg του συγκεκριμένου βραχίονα. Χρησιμοποιώντας τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού, η τοποθέτηση του συστήματος του εργαλείου P 3 σε σχέση με το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων P S, υπολογίζεται από την σχέση: - 64 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 6.1: 2-DOF βραχίονας και οι παράμετροι Denavit-Hartenberg 3 0 1 2 3 Sr S 0 1 2 A = A A A A (6.1) όπου το μητρώο i Ai 1περιγράφει την τοποθέτηση του συστήματος i ως προς το σύστημα i-1. Το δεξίο τμήμα της σχέσης (6.1) περιλαμβάνει όλες τις άγνωστες παραμέτρους, οι οποίες είναι οι παράμετροι Denavit-Hartenberg θ i, α i, a i και d i (i=0,1,2) στα μητρώα 0 A S, 1 A 0, 2 A 1 και των οποίων τα θ i είναι οι γωνίες περιστροφής των αρθρώσεων. Ειδικά το μητρώο 3 A 2, εκ περιλαμβάνει μόνο τις παραμέτρους θ 3 και d 3, ενώ οι παράμετροι α 3 και a 3 είναι σταθερά μηδέν. Για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου χρησιμοποιούνται διαφορετικές τιμές των γωνιών θ 1 και θ 2. Έτσι, για μια προκαθορισμένη θέση του άκρου κατεργασίας απαιτούνται 14 άγνωστες παράμετροι, ενώ για δυο και τρεις θέσεις 16 και 18 παράμετροι αντίστοιχα. 3 A 2 Για τον προσδιορισμό αυτών των παραμέτρων ορίζεται η αντικειμενική συνάρτηση (F), που λαμβάνει υπόψη την απόκλιση τοποθέτησης μεταξύ προκαθορισμένων και υπολογιζόμενων θέσεων: 3 3 ( Sr ( ) Spr ( )) n 3 4 2 F = A i, j A i, j (6.2) k= 1 i= 1 j= 1 k 3 όπου n είναι το πλήθος των προκαθορισμένων σημείων, A ( ) του στοιχείου (i,j) του μητρώου 3 S 3 A και A ( ) Spr Sr i,j είναι η υπολογισμένη τιμή i, j είναι η προκαθορισμένη τιμή του στοιχείου (i,j). - 65 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα Τα στοιχεία του μητρώου 3 A Spr είναι γνωστά για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του άκρου, λόγω του ότι ορίζουν την θέση και τον προσανατολισμό του συστήματος του εργαλείου P 3, σε σχέση με το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων P S και προσδιορίζονται από τον χρήστη ως οι θέσεις στις οποίες πρέπει να φτάσει το άκρο του βραχίονα. Από την ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης προκύπτουν οι βέλτιστες τιμές των αρχικά αγνώστων παραμέτρων. Κατά την διάρκεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης, τα αρχικά καθορισμένα όρια των αγνώστων αυτών μεταβλητών περιγράφονται από τη σχέση: x < x < x, =1,2, m (6.3) min max όπου m είναι το πλήθος των μεταβλητών και x min και x max είναι το κάτω και άνω όριο της μεταβλητής, αντίστοιχα. Οι περιορισμοί αυτοί λαμβάνουν υπόψη τα όρια των μεταβλητών των γεωμετρικών χαρακτηριστικών σχεδιασμού του βραχίονα, καθώς και τη γεωμετρία του χώρου εργασίας του. 6.2. Προτεινόμενος αλγόριθμος Ο αλγόριθμος που εφαρμόστηκε στην παρούσα ενότητα είναι ο υβριδικός αλγόριθμος, όπως αυτός αναλύθηκε στην παράγραφο 5.2 και παρουσιάσθηκε γραφικά σε βήματα στο σχήμα 6.3. Εφαρμόζονται τα τρία γνωστά βήματα (γενετικός αλγόριθμος, μέθοδος αναρρίχησης, μέθοδος ελέγχου ορίων μεταβλητών), με κάποιες όμως διαφοροποιήσεις σε σχέση με το πρόβλημα βελτιστοποίησης τοποθέτησης της βάσης γνωστού βραχίονα. Οι διαφοροποιήσεις εντοπίζονται στα δεδομένα εισόδου, στις επαναλήψεις ανά βήμα του αλγορίθμου, καθώς και στην αντικειμενική συνάρτηση. Η ελάχιστη υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, έχοντας ολοκληρώσει το σύνολο της επίλυσης, καθορίζει και τις τιμές των ανεξαρτήτων μεταβλητών που επιλέγονται στο τρίτο βήμα, οι οποίες αντιστοιχούν ταυτόχρονα και στις βέλτιστες τιμές των μεταβλητών. Αυτές οι μεταβλητές προσδιορίζουν την βέλτιστη τοποθέτηση της βάσης του βραχίονα, τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά και για τα τρία μέλη, καθώς και τους σχηματισμούς του μέσω των μεταβλητών των γωνιών των αρθρώσεων, για όλες τις προκαθορισμένες θέσεις του άκρου. - 66 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα 6.3. Αριθμητική εφαρμογή σε βραχίονα 2 βαθμών ελευθερίας (RR) Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόζεται σε χωρικό βραχίονα με δύο βαθμούς ελευθερίας και δύο αρθρώσεις περιστροφής. Τα δεδομένα εισόδου που χρησιμοποιούνται στον αλγόριθμο, είναι οι παράμετροι του αλγορίθμου (Πίνακας 6.1), οι προκαθορισμένες θέσεις του άκρου κατεργασίας (Σχήμα 6.2) και τα όρια των μεταβλητών. Τα αρχικά εφαρμοζόμενα όρια των μεταβλητών είναι για τις γωνίες: 0 o <θ i <360 o (i=0,1,2,3), 0 o <α i <360 o (i=0,1,2) και για τις Θέσεις άκρου 1 ο Μία 2 ο Δύο 3 ο Τρεις Αλγόριθμος Παράμετροι Πλήθος επαναλήψεων Περιορισμός εύρους GA QNA CHM μεταβλητών (1-c) Αποτελέσματα Παράδειγμα Υπολογιστικός χρόνος Τελική τιμή Μόνο GA 2.50E+05 - - - 0:06:52 6.36E+00 GA και CHM 10,000-24 25% 0:07:48 3.36E-01 GA και QNA 500 500 - - 0:10:08 1.80E-06 Προτεινόμενος 1 100 500 4 85% 0:13:04 1.20E-09 Προτεινόμενος 2 10 10 1 85% 0:00:03 4.73E-06 Only GA 5.00E+05 - - - 0:18:06 1.42E+02 GA και CHM 20,000-24 25% 0:18:15 3.70E+00 GA και QNA 500 1,000 - - 0:34:31 6.00E-02 Προτεινόμενος 1 100 500 9 65% 0:36:13 4.33E-06 Προτεινόμενος 2 100 100 4 65% 0:02:48 2.66E-02 Only GA 1.00E+06 - - - 0:41:53 3.77E+02 GA και CHM 40,000-24 25% 0:42:18 1.95E+01 GA και QNA 500 2,000 - - 1:48:35 5.60E-01 Προτεινόμενος 1 100 500 19 30% 2:44:29 4.22E-03 Προτεινόμενος 2 100 200 9 55% 0:22:06 1.20E-01 1 Ελέγχοντας την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης 2 Ελέγχοντας τον υπολογιστικό χρόνο Πίνακας 6.1: Παράμετροι των τεσσάρων μεθόδων και τα αντίστοιχα αποτελέσματά τους. A 3 Spr1 A 3 Spr2 A 3 Spr3 0.656 0.113 0.746 162.037 0.219 0.975 0.045 82.184 = 0.722 0.193 0.664 48.743 0 0 0 1 0.144 0.929 0.341 72.964 0.990 0.140 0.036 42.775 = 0.014 0.343 0.939 113.399 0 0 0 1 0.764 0.641 0.069 43.273 0.477 0.491 0.729 16.141 = 0.433 0.590 0.681 88.682 0 0 0 1 Σχήμα 6.2: Προκαθορισμένες θέσεις άκρου - 67 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα αποστάσεις: 0mm < a 0 < 1000mm, 0mm < a i < 100mm (i=1,2), 0mm < d 0 < 1000mm και 0mm<d i <100mm (i=1,2,3). Παρουσιάζονται τρεις αριθμητικές εφαρμογές με ένα, δύο ή τρία προκαθορισμένα σημεία κατεργασίας. Οι τρεις προκαθορισμένες θέσεις του συστήματος του άκρου του εργαλείου (T 1, T 2, T 3 ), σε σχέση με το απόλυτο Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς P S, παρουσιάζονται στο σχήμα 6.2. Χρησιμοποιώντας αυτές τις τοποθετήσεις, προσδιορίζονται τα μητρώα A 3 Sprk (k=1,2,3), που εκφράζουν την θέση και τον προσανατολισμό του άκρου, ως προς το απόλυτο σύστημα αναφοράς (δεξιά στο σχήμα 6.2). Για να γίνει εμφανές το πλεονέκτημα ακρίβειας της προτεινόμενης μεθοδολογίας, γίνεται σύγκριση τεσσάρων μεθόδων σε κάθε μια εκ των τριών αριθμητικών εφαρμογών. Η πρώτη μέθοδος χρησιμοποιεί μόνο γενετικό αλγόριθμο (GA), η δεύτερη συνδυάζει γενετικό αλγόριθμο με μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών (GA και CHM), η τρίτη συνδυάζει γενετικό αλγόριθμο με μέθοδο αναρρίχησης (gradient) (GA και QNA) και η τέταρτη είναι η προτεινόμενη. Οι παράμετροι που εμπλέκονται σε όλους τους ελέγχους, ιδιαίτερα αυτές του γενετικού αλγορίθμου, διατηρούνται σταθεροί και έχουν επιλεγεί ως βέλτιστες μετά από πολλές δοκιμές: πληθυσμός γονέων=50, πιθανότητα διασταύρωσης=70% και πιθανότητα μετάλλαξης=8%. Όλες οι άλλες παράμετροι του αλγορίθμου που εμπλέκονται στο πρόβλημα είναι διαφορετικές και ανά παράδειγμα παρουσιάζονται στον πίνακα 6.1. Το πλήθος των επαναλήψεων του GA, του QNA και του CHM έχει επιλεγεί, έτσι ώστε το σύνολο των γενεών των τεσσάρων μεθόδων να είναι ίδιο και έτσι τα αποτελέσματα να είναι συγκρίσιμα μεταξύ τους. Επιπρόσθετα είναι τέτοιες που να επιτυγχάνουν αποδεκτές λύσεις και για τις τέσσερις μεθόδους, ώστε η σύγκριση να είναι εφικτή και ουσιαστική. Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε λογαριθμική κλίμακα, συναρτήσει του πλήθους των γενεών για τις τέσσερις εφαρμοσμένες μεθόδους για ένα, δύο ή τρία τελικά σημεία, παρουσιάζεται αντίστοιχα στο σχήμα 6.3, στο σχήμα 6.4 και στο σχήμα 6.5. Όπως γίνεται εμφανές από αυτά τα σχήματα, η συμπεριφορά της προτεινόμενης μεθοδολογίας είναι σταθερά καλύτερη από αυτή των τριών άλλων μεθόδων, σε όλη την διάρκεια της επίλυσης, τόσο ως προς την ακρίβεια, όσο και ως προς τον υπολογιστικό χρόνο. Η τελική τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και στις τρεις αριθμητικές εφαρμογές κάνει ξεκάθαρο το πλεονέκτημα της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Οι τιμές των μεταβλητών, που αντιστοιχούν στην βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που επιτεύχθηκε, για κάθε αριθμητική εφαρμογή παρουσιάζονται στον πίνακα 6.2. - 68 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 6.3: Τιμή αντικειμενικής συνάρτησης για μία προκαθορισμένη θέση του άκρου. Σχήμα 6.4: Τιμή αντικειμενικής συνάρτησης για δύο προκαθορισμένες θέσεις του άκρου. - 69 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 6.5: Τιμή αντικειμενικής συνάρτησης για τρεις προκαθορισμένες θέσεις του άκρου. Λύση Τοποθέτηση βάσης Γεωμετρία 1 ου μέλους Γεωμετρία 2 ου μέλους Μεταβλητές Λύσεις των εφαρμογών 1 η 2 η 3 η 1 θ 0 ( o ) 0.000 11.43 36.89 2 α 0 ( o ) 237.634 295.72 50.04 3 a 0 (mm) 95.78 63.83 37.93 4 d 0 (mm) 69.17 59.81 6.52 5 α 1 ( o ) 80.83 135.24 215.56 6 a 1 (mm) 43.84 40.81 94.20 7 d 1 (mm) 65.71 48.99 44.38 8 α 2 ( o ) 94.51 83.08 246.46 9 a 2 (mm) 4.03 34.83 40.02 10 d 2 (mm) 55.81 10.47 5.01 Γεωμετρία 11 θ 3 ( o ) 140.42 43.44 45.43 3 ου μέλους 12 d 3 (mm) 5.41 65.45 27.78 1 ος σχηματ. 13 θ 1 ( o ) 26.79 23.45 5.23 βραχίονα 14 θ 2 ( o ) 114.373 64.99 323.47 2 ος σχηματ. 15 θ 1 ( o ) - 74.91 36.30 Βραχίονα 16 θ 2 ( o ) - 228.38 222.64 3 ος σχηματ. 17 θ 1 ( o ) - - 67.19 βραχίονα 18 θ 2 ( o ) - - 176.72 Πίνακας 6.2: Βέλτιστες τιμές μεταβλητών. - 70 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα Εισάγοντας αυτές τις τιμές στην εξίσωση (6.1), υπολογίζονται τα μητρώα A 3 Sri, που περιγράφουν την υπολογισμένη θέση του άκρου. Η σύγκριση των στοιχείων των μητρώων 3 A Sri και των αντίστοιχων των προκαθορισμένων θέσεων A 3 Spri, δείχνει, ότι η μέγιστη απόκλιση τοποθέτησης είναι μικρότερη από 0.0008 mm και για τις τρεις εφαρμογές. Η απόκλιση προσανατολισμού του άκρου είναι μικρότερη από 0.0009 rad (0.052 μοίρες) για τις δύο πρώτες εφαρμογές, που είναι αμελητέα τιμή, και μικρότερη από 0.0318 rad (1.822 μοίρες), που θεωρείται αποδεκτή τιμή, για ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης της γεωμετρίας και όχι. Στο σχήμα 6.6 παρουσιάζονται γραφικά η βέλτιστη τοποθέτηση της βάσης και όλοι οι σχηματισμοί του βραχίονα, ανά αριθμητική εφαρμογή και για τις τρεις εφαρμογές. Αυτός ο πρώτος έλεγχος μπορεί να αποτελέσει απόδειξη της αποδοτικότητας της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Όπως ήδη αναφέρθηκε, η /53/ επιτυγχάνει αναλυτικές λύσεις, αλλά μόνο για την εφαρμογή των τριών τελικών θέσεων, αφού μόνο σε αυτή την περίπτωση το προς επίλυση σύστημα είναι ομογενές. Εφόσον στην προτεινόμενη μεθοδολογία διατεθεί επιπρόσθετος χρόνος επίλυσης, τότε η λύση συγκλίνει στην αναλυτική επιτευχθείσα της εν λόγω εργασίας, γεγονός που αποδεικνύει την αποδοτικότητά της. Αυτό δεν επιτυγχάνεται με καμία εκ των τριών άλλων μεθόδων, στα πλαίσια του διαθέσιμου χρόνου επίλυσης. Ένας δεύτερος έλεγχος του προτεινόμενου αλγορίθμου πραγματοποιείται με σκοπό να δοκιμασθεί η αποδοτικότητα της προτεινόμενης μεθοδολογίας, εν συγκρίσει με τις άλλες τρεις και ως προς τον υπολογιστικό χρόνο, στον οποίο επιτυγχάνεται η λύση. Έτσι, τίθεται, για κάθε αριθμητική εφαρμογή ανεξάρτητα, ως κρίσιμη τιμή ολοκλήρωσης των επαναλήψεων η ελάχιστη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης, που πέτυχε η καλύτερη εκ των τριών άλλων μεθόδων, όπως αυτές παρουσιάζονται στον πίνακα 6.1. Για τις τρεις αυτές αριθμητικές εφαρμογές, όπως παρατηρείται στο σχήμα 6.7, η προτεινόμενη μεθοδολογία επιτυγχάνει ανάλογης ποιότητας τιμή αντικειμενικής συνάρτησης, σε πολύ μικρότερο πλήθος γενεών σε σύγκριση με την καλύτερη εκ των τριών άλλων μεθόδων και συνεπώς σε πολύ λιγότερο υπολογιστικό χρόνο. Αναλυτικότερα, για την εφαρμογή με μία τελική θέση του άκρου επιτυγχάνεται ελάχιστα μεγαλύτερη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης απαιτώντας όμως το 0.5% του υπολογιστικού χρόνου. Αντίστοιχα, για τις άλλες δύο αριθμητικές εφαρμογές το ποσοστό του υπολογιστικού χρόνου που απαιτείται από την προτεινόμενη μέθοδο, σε σύγκριση με την καλύτερη εκ των τριών άλλων είναι για την μεν εφαρμογή των δύο τελικών θέσεων 8%, ενώ για την εφαρμογή των τριών τελικών θέσεων 20%. - 71 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 6.6: Γραφικές λύσεις των αριθμητικών εφαρμογών για μία, δύο και τρεις προκαθορισμένες τελικές θέσεις του άκρου. Συνοψίζοντας, την παρούσα ενότητα, προσδιορίσθηκε η βέλτιστη θέση της βάσης, τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά, καθώς και οι σχηματισμοί του βραχίονα μέσω των γωνιών των αρθρώσεων, ενός βραχίονα 2 βαθμών ελευθερίας με αρθρώσεις περιστροφής (RR), με χρήση - 72 -
6. Βελτιστοποίηση γεωμετρίας ρομποτικού βραχίονα Σχήμα 6.7: Τιμή αντικειμενικής συνάρτησης για τις τρεις αριθμητικές εφαρμογές με κριτήριο τερματισμού του αλγόριθμου τον υπολογιστικό χρόνο. ενός υβριδικού αλγόριθμος. Η αντικειμενική συνάρτηση υπολογίζει το άθροισμα των αποκλίσεων μεταξύ των προκαθορισμένων τοποθετήσεων του άκρου του εργαλείου και των υπολογισμένων τοποθετήσεων, λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς του χώρου εργασίας και των ορίων των μεταβλητών. Η προτεινόμενη μεθοδολογία, έχει επιπλέον το πλεονέκτημα της χρήσης περισσοτέρων ή λιγότερων προκαθορισμένων τελικών σημείων σε σύγκριση με τις αναλυτικές μεθόδους, οι οποίες απαιτούν συγκεκριμένο πλήθος σημείων, δίνοντας έτσι την δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων με μικρό ή μεγάλο πλήθος προδιαγεγραμμένων θέσεων του άκρου. Σε περίπτωση χρήσης ίσου πλήθους σημείων με αυτά της αναλυτικής μεθόδου /53/, η προτεινόμενη μεθοδολογία συγκλίνει στην λύση της αναλυτικής προσέγγισης. Τόσο οι αλγόριθμοι όσο και οι γραφικές προσομοιώσεις μπορούν εύκολα να τροποποιηθούν, για να ανταποκρίνονται σε οποιοδήποτε τύπο βραχίονα και οποιεσδήποτε συνθήκες προβλήματος, που αποτελεί επίσης μεγάλο πλεονέκτημα της προτεινόμενης μεθοδολογίας σε σύγκριση με τις αναλυτικές μεθόδους. Όλες οι αριθμητικές επιλύσεις πραγματοποιήθηκαν σε Η/Υ με τεχνικά χαρακτηριστικά που αναφέρονται στο παράρτημα (Η/Υ-1). - 73 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής 7. Προσδιορισμός βέλτιστης διαδρομής κίνησης, με τη βοήθεια υβριδικού γενετικού αλγορίθμου Η ανάπτυξη μεθόδων βελτιστοποίησης διαδρομής σε ρομποτικούς βραχίονες αποτελεί αντικείμενο έρευνας πολλών ομάδων σε όλο τον κόσμο, λόγω του ότι αποτελεί μια σύνθετη και πολυδιάστατη λειτουργία /82-97/. Για λόγους απλούστευσης εφαρμόζονται απλοποιήσεις της γεωμετρίας του χώρου από τρεις σε δύο διαστάσεις ή ακόμη και μία. Εν γένει όμως υπάρχει η απαίτηση για αποφυγή συγκρούσεων μεταξύ μελών και εμποδίων που αποτελούν σύνθετες γεωμετρίες τριών διαστάσεων, ενώ ταυτόχρονα πρέπει η κίνηση από την αρχική θέση στην τελική θέση του βραχίονα να διακρίνεται από βελτιστοποιημένα χαρακτηριστικά μεγέθη, όπως η ακρίβεια τοποθέτησης, το μέτρο ευχρηστίας και ο χρόνος κίνησης. Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται μια μεθοδολογία σχεδιασμού βέλτιστης διαδρομής, μέσω ενός υβριδικού αλγορίθμου /132/. Η χρήση εργαλείων του σχεδιαστικού λογισμικού SolidWorks για τον έλεγχο κίνησης και την αποφυγή συγκρούσεων δεν ενδείκνυται, λόγω του γεγονότος ότι το λογισμικό αυτό προσομοιώνει κινήσεις σε επίπεδο καρτεσιανού χώρου και όχι σε επίπεδο αρθρώσεων. Επίσης, ο συνδυασμός παρεμβολών σε επίπεδο αρθρώσεων και επαναληπτικών βημάτων βελτιστοποίησης στην διαδρομή κίνησης, επιβάλλει τον σχεδιασμό όλων των ενδιάμεσων ελεγχόμενων τοποθετήσεων, αποσκοπώντας κυρίως στην αποφυγή σύγκρουσης. Η διαδικασία αυτή επανασχεδιασμού είναι πολύ χρονοβόρα, καθιστώντας απαραίτητη την αναπαράσταση του χώρου με λίγα δεδομένα, εκτός γραφικού περιβάλλοντος. Μια παλαιότερη προσέγγιση του προβλήματος αποτέλεσε η /78/, η οποία περιγράφει τα εμπόδια και τα μέλη του βραχίονα βασιζόμενη σε χρήση σφαιρών, με κέντρα και ακτίνες. Αυτή η μεθοδολογία αποτέλεσε την βάση ανάπτυξης της προτεινόμενης, συνδυάζοντας όμως παράλληλα και μια μέθοδο άντλησης δεδομένων από το SolidWorks, με μια αυτοματοποιημένη διαδικασία, καθιστώντας την προτεινόμενη μεθοδολογία ικανή να λειτουργήσει σε έναν επαναληπτικό αλγόριθμο βελτιστοποίησης και κατ επέκταση σε ένα off line σύστημα. 7.1. Μαθηματική διατύπωση προβλήματος σχεδιασμού διαδρομής κίνησης Η ανάλυση της μαθηματικής διατύπωσης του προβλήματος βασίζεται στον βραχίονα RV6, αφού διαθέτει 6 βαθμούς ελευθερίας και μπορεί έτσι να προσεγγίσει με το άκρο του οποιοδήποτε σημείο του χώρου εργασίας του, με οποιοδήποτε προσανατολισμό. Ο βραχίονας σχηματικά παρίσταται στο σχήμα 5.2, ενώ τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά παρατίθενται στον πίνακα του ίδιου σχήματος. Η περιγραφή της γεωμετρίας της διάταξης του βραχίονα /117/ βασίζεται, σύμφωνα με τα αναλυθέντα στην ενότητα 5.1, σε αναπαράσταση κατά Denavit-Hartenberg /10/ και σε 4x4 ομογενή μητρώα μετασχηματισμού. Οι παράμετροι του προβλήματος, που πρέπει να - 74 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής επιλεγούν για να προκύψει βέλτιστη λύση, είναι οι γωνίες των αρθρώσεων θ i (i=1,2 6) για κάθε ενδιάμεση τοποθέτηση του εργαλείου. Ως δεδομένα του προβλήματος θεωρούνται ο αρχικός και τελικός σχηματισμός του βραχίονα, μεταξύ των οποίων αναζητείται η βέλτιστη διαδρομή, η τοποθέτηση των εμποδίων ως προς τη βάση του ρομπότ και το πλήθος των ενδιάμεσων κομβικών σημείων που θα χρησιμοποιηθούν για τους υπολογισμούς. Η βέλτιστη διαδρομή κίνησης του βραχίονα, με σταθερή τοποθέτηση της βάσης, μπορεί να διατυπωθεί ως ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης, όπου η αντικειμενική συνάρτηση (F) λαμβάνει υπόψη: - την απόσταση μεταξύ υπολογιζόμενου σημείου και του αντίστοιχου της αρχικής διαδρομής (F 1 ), - την απόσταση των μελών του βραχίονα από τα εμπόδια (F 2 ), - τον συνολικό χρόνο κίνησης του άκρου (F 3 ), - την ισοκατανομή των ενδιάμεσων θέσεων κατά μήκος της διαδρομής (F 4 ) και - το μέτρο ευχρηστίας w k για τις υπολογισμένες θέσεις του άκρου (F 5 ): F= F1+α F2 +β F3 + γ F4 +δ F5 (7.1) ( ) n 3 2 7 7 με F1 = A 0r ( i, 4) A 0 ( i,4), F F 2 k= 1 i= 1 n link n obst 1 PFV, ( P P ) = + 3 t i= 1 e= 1 = t, i e min n n F4 = tk t k /n k= 0 k= 0 F, n 1 =, 5 2 k= 1 wk 2 k 7 όπου A ( ) 0r i,4 είναι η υπολογισμένη τιμή του στοιχείου (i,4) του μητρώου - 75 - A, A 7 ( i,4) 7 0 0 είναι η προκαθορισμένη τιμή του στοιχείου (i,4) που προκύπτει από την γραμμική παρεμβολή σε n ενδιάμεσες θέσεις μεταξύ αρχικού και τελικού σχηματισμού της διαδρομής, ( P P ) i είναι η ελάχιστη απόσταση του μέλους i και του εμποδίου e, ενώ η συνάρτηση ποινής (PFV) φέρει τιμή μηδέν αν δεν υπάρχει σύγκρουση ή μια πολύ μεγάλη τιμή σε περίπτωση σύγκρουσης. Επιπλέον, t t είναι το άθροισμα των τετραγώνων των χρόνων κίνησης μεταξύ των ενδιάμεσων θέσεων από τον αρχικό σχηματισμό μέχρι και τον τελικό, t k είναι ο χρόνος κίνησης μεταξύ ενδιάμεσων διαδοχικών θέσεων, ενώ w k είναι το μέτρο ευχρηστίας για τον σχηματισμό του βραχίονα στην θέση k. Οι συντελεστές βαρύτητας α, β, γ και δ καθορίζουν την συνεισφορά του κάθε όρου της αντικειμενικής συνάρτησης, στο άθροισμα της. Τα τμήματα F 2 και F 4 της e min
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής αντικειμενικής συνάρτησης δεν βελτιστοποιούν κάποιο ποιοτικό μέγεθος, είναι όμως απαραίτητα για την επίτευξη ποιοτικής λύσης. Το πρώτο τμήμα (F 1 ) της αντικειμενικής συνάρτησης (7.1), περιλαμβάνει το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων μεταξύ όλων των προκαθορισμένων και υπολογιζόμενων ενδιάμεσων θέσεων του άκρου του βραχίονα. Οι n προκαθορισμένες θέσεις του άκρου για μια διαδρομή προκύπτουν με γραμμική παρεμβολή στις τιμές των γωνιών των αρθρώσεων μεταξύ του αρχικού και του τελικού σχηματισμού του βραχίονα, σχηματισμοί που αποτελούν δεδομένα του προβλήματος. Υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού, βάσει των οποίων η τοποθέτηση του συστήματος του εργαλείου P 7 σε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων P 0 της βάσης, δίνεται από την σχέση : 7 6 7 0 0 6 A = A A (7.2) όπου το 6 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 A = A A A A A A περιγράφει την τοποθέτηση του συστήματος του άκρου P 6 ως προς το σύστημα της βάσης, ενώ το μητρώο συστήματος i ως προς το σύστημα i-1. Τα στοιχεία του μητρώου i Ai 1 περιγράφει την τοποθέτηση του 7 A 6 είναι γνωστά από τον κατασκευαστή, λόγω του ότι ορίζουν την θέση και τον προσανατολισμό του συστήματος του εργαλείου P 7 σε σχέση με το άκρο του βραχίονα P 6. Στο άθροισμα της F 1 υπολογίζονται μόνο οι συντεταγμένες του άκρου, εφόσον κατά μήκος της διαδρομής δεν ενδιαφέρει ο προσανατολισμός του άκρου. Το δεύτερο τμήμα (F 2 ) της αντικειμενικής συνάρτησης, περιλαμβάνει το αντίστροφο των αθροισμάτων των αποστάσεων των μελών του βραχίονα από τα εμπόδια του χώρου εργασίας. Κάθε μέλος του βραχίονα και κάθε εμπόδιο στον χώρο εργασίας αναπαρίσταται αρχικά από σφαίρες και εν συνεχεία από νέφος σημείων που προκύπτει από μια διαδικασία, όπως θα αναλυθεί στην υποενότητα 7.3.1. Η απόσταση κάθε μέλους από τα εμπόδια υπολογίζεται με την διαδικασία που αναλύεται στην υποενότητα 7.3, η οποία διατρέχει το σύνολο των σημείων μέλους και εμποδίων και προσδιορίζει το ζεύγος σημείων που έχει την ελάχιστη απόσταση. Η εν λόγω διαδικασία επαναλαμβάνεται για το σύνολο των μελών τα οποία δύνανται να υποστούν σύγκρουση. Επιπρόσθετα, αυτό το τμήμα της αντικειμενικής συνάρτησης έχει και ρόλο, ουσιαστικά, απόρριψης της λύσης. Σε περίπτωση που εντοπιστεί τιμή απόστασης μέλους εμποδίου μικρότερη από μια κρίσιμη (όριο ελέγχου σύγκρουσης), γεγονός που θεωρείται σύγκρουση για λόγους ασφαλείας, τότε η τιμή της F 2 επιβαρύνεται με μια υπερβολική τιμή (PFV), ώστε η λύση να αποτελέσει σίγουρα μια μη ικανοποιητική, κατά την αξιολόγησή της. Διαφορετικά αυτή η τιμή είναι μηδενική. - 76 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής Το τρίτο τμήμα (F 3 ) της αντικειμενικής συνάρτησης, περιλαμβάνει το άθροισμα των τετραγώνων των χρόνων κίνησης μεταξύ των ενδιάμεσων θέσεων από τον αρχικό σχηματισμό μέχρι και τον τελικό. Αυτό το μέγεθος περιγράφεται από την σχέση: t t n 2 tk k= 0 = (7.3) όπου t k είναι ο χρόνος κίνησης μεταξύ των ενδιάμεσων σημείων k και k+1, n είναι το πλήθος των ενδιάμεσων σημείων, ενώ t 0 και t n είναι ο χρόνος κίνησης από τον αρχικό σχηματισμό στο πρώτο ενδιάμεσο σημείο και από το τελευταίο σημείο στον τελικό σχηματισμό, αντίστοιχα. Ο χρόνος t k υπολογίζεται από την σχέση (5.5). Η πλέον αργή άρθρωση καθορίζει τον χρόνο κίνησης μεταξύ του k και k+1 σημείου. Το τέταρτο τμήμα (F 4 ) της αντικειμενικής συνάρτησης, δεν αφορά την βελτιστοποίηση κάποιου χαρακτηριστικού μεγέθους, αποτελεί όμως αναπόσπαστο τμήμα της αντικειμενικής συνάρτησης. Η απουσία του οδηγεί στην συγκέντρωση των ενδιάμεσων σημείων σε μια περιοχή, με συνέπεια την εικονική μείωση του χρόνου κίνησης. Αυτό το τμήμα της αντικειμενικής συνάρτησης εξασφαλίζει μια ισοκατανομή του χρόνου κίνησης μεταξύ των διαστημάτων, διατάσσοντας σημεία σε όλο το μήκος της διαδρομής. Η συνάρτηση F 4 εκφράζεται ως η χρονική διαφορά κάθε διαστήματος κίνησης, από την μέση τιμή του χρόνου κίνησης σε όλα τα διαστήματα. Το πέμπτο τμήμα (F 5 ) της αντικειμενικής συνάρτησης, περιλαμβάνει το άθροισμα των αντίστροφων τετραγώνων του μέτρου ευχρηστίας για όλες τις ενδιάμεσες θέσεις (βλέπε και ενότητα 5.1). Η μεγιστοποίηση του w επιτυγχάνεται μέσω της αντιστροφής του όρου στην αντικειμενική συνάρτηση. 7.2. Προτεινόμενος αλγόριθμος βελτιστοποίησης διαδρομής κίνησης Το μαθηματικό μοντέλο που αναπτύχθηκε, επιλύεται με μια υβριδική μέθοδο ανάλογη αυτής που αναλύθηκε στην ενότητα 5.2, με ορισμένες όμως τροποποιήσεις. Συνδυάζει έναν γενετικό αλγόριθμο (GA) και έναν αλγόριθμο βελτιστοποίησης quasi-newton (QNA), χωρίς όμως να ενεργοποιείται η μέθοδος ελέγχου των ορίων των μεταβλητών (CHM) με την μορφή που είχε παρουσιασθεί. Δεδομένα εισόδου του αλγορίθμου (Σχήμα 7.1) αποτελούν οι διαστάσεις των μελών, τα νέφη σημείων τους καθώς και τα νέφη σημείων των εμποδίων, το πλήθος και το είδος των αρθρώσεων, το πλήθος των ανεξαρτήτων μεταβλητών και τα άνω και κάτω όρια αυτών. Επιπρόσθετα δεδομένα εισόδου αποτελούν ο αρχικός και τελικός σχηματισμός του βραχίονα, μεταξύ των οποίων αναζητείται μια βελτιστοποιημένη διαδρομή, το πλήθος των ενδιάμεσων σημείων από τα οποία πρέπει να περνά η διαδρομή, τα ελάχιστα βήματα εξέλιξής της που - 77 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής Σχήμα 7.1: Διάγραμμα ροής του προτεινόμενου αλγόριθμου βελτιστοποίησης διαδρομής. πρέπει να εφαρμοστούν, καθώς και οι παράμετροι λειτουργίας του αλγορίθμου. Σε αυτές τις παραμέτρους περιλαμβάνονται οι αρχικές παράμετροι του γενετικού αλγόριθμου (GA), όπως ο αρχικός πληθυσμός των ατόμων, η πιθανότητα διασταύρωσης, η πιθανότητα μετάλλαξης, καθώς επίσης και το πλήθος των επαναλήψεων του γενετικού αλγόριθμου (GA) και της μεθόδου αναρρίχησης (QNA). Με βάση την εξίσωση (7.1) ορίζεται η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία χρησιμοποιείται ως κριτήριο αξιολόγησης σε όλη την διαδικασία του αλγορίθμου. Ο αλγόριθμος αρχικά υπολογίζει τη θέση του άκρου για όλες τις n ενδιάμεσες θέσεις του βραχίονα, με χρήση γραμμικής παρεμβολής στις τιμές των αρθρώσεων μεταξύ του αρχικού και του τελικού σχηματισμού του βραχίονα. Με αυτή την παρεμβολή υπολογίζονται οι τιμές των γωνιών στις n ενδιάμεσες θέσεις ( θ i,i= 1...6) και δημιουργείται μια υποθετική διαδρομή στην οποία δεν λαμβάνεται υπόψη η ύπαρξη εμποδίων και συνεπώς η διαδρομή διαπερνά το εμπόδιο. Με αρχή την υποθετική διαδρομή, η οποία αποτελείται από n ενδιάμεσες θέσεις, πραγματοποιούνται s βήματα εξέλιξής της, που έχουν ως στόχο την τροποποίηση των τιμών των αρθρώσεων, έτσι ώστε να επιτευχθεί μια διαδρομή ελεύθερη εμποδίων και βελτιστοποιημένη με βάση την αντικειμενική συνάρτηση. Τα επαναληπτικά βήματα του αλγορίθμου, για κάθε βήμα (s ) εξέλιξης της διαδρομής, αρχίζουν με μια διαδικασία προσδιορισμού των ορίων των μεταβλητών (CHM) εντός των οποίων θα πραγματοποιηθεί η αναζήτηση με τη χρήση του γενετικού αλγορίθμου (GA) και της μεθόδου - 78 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής αναρρίχησης (QNA). Αυτός ο προσδιορισμός των ορίων, αφορά κάθε μία (n ) εκ των ενδιάμεσων θέσεων ανεξάρτητα. Στο πρώτο βήμα, η περιοχή αναζήτησης για κάθε ένα ενδιάμεσο σημείο είναι ένα σταθερού εύρους διάστημα, γύρω από την τιμή που προέκυψε με την γραμμική παρεμβολή. Σε κάθε επόμενο βήμα εξέλιξης, αυτό το σταθερού εύρους διάστημα περιβάλει την βέλτιστη τιμή της εκάστοτε γωνίας και αποτελεί το διάστημα αναζήτησης σε αυτό το βήμα εξέλιξης. Έτσι σε κάθε βήμα εξέλιξης (s ) της διαδρομής, η αναζήτηση της εξελιγμένης 1 ης ενδιάμεσης θέσης (n =1) για παράδειγμα, πραγματοποιείται γύρω από τη βέλτιστη λύση που προέκυψε από το προηγούμενο βήμα εξέλιξης (s -1) για την ίδια ενδιάμεση θέση (n =1). Η βέλτιστη τιμή κάθε μεταβλητής στο s -1 βήμα εξέλιξης, για μια ορισμένη ενδιάμεση θέση (n ), s' 1,n' x opt ( = 1,...m), ορίζεται ως το κέντρο του εύρους στο επόμενο βήμα εξέλιξης s. Τα νέα όρια s,n' x min και s,n' max x ( = 1,...m) δίνονται από τις σχέσεις: s,n' min s 1,n' opt x = x Δx/2 (7.4) s,n' max s 1,n' opt x = x +Δx/2 (7.5) όπου το Δ x είναι ένα σταθερό εύρος καθοριζόμενο από τον χρήστη και εξαρτώμενο από την επιθυμητή ταχύτητα εξέλιξης και την ταχύτητα επίλυσης. Το ίδιο ισχύει, ανεξάρτητα μεταξύ τους, για όλες τις ενδιάμεσες θέσεις που αποτελούν την εξελισσόμενη διαδρομή, ενώ ταυτόχρονα κανένα όριο δεν πρέπει να υπερβαίνει τα όρια των γωνιών των αρθρώσεων που ορίζει ο κατασκευαστής, το οποίο επίσης συνυπολογίζεται. Το επόμενο επαναληπτικό βήμα, για το ίδιο βήμα εξέλιξης (s ), λειτουργεί ως ένας συνδυασμός γενετικού αλγορίθμου (GA) και μεθόδου αναρρίχησης (QNA), όπως είχε διεξοδικά αναλυθεί στην ενότητα 5.2. Έχει ως στόχο τον προσδιορισμό βέλτιστης λύσης για την (n ) τρέχουσα ενδιάμεση θέση, κατά το (s ) τρέχον βήμα εξέλιξης της διαδρομής, στα όρια αναζήτησης που προέκυψαν από το πρώτο επαναληπτικό βήμα (CHM). Εφόσον ολοκληρωθεί η αναζήτηση για όλες τις n ενδιάμεσες θέσεις της υπό εξέλιξη διαδρομής, τότε μπορεί να αξιολογηθεί η ποιότητά της. Η διαδρομή που έχει προκύψει από το τρέχον (s ) βήμα εξέλιξης, αξιολογείται βάση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης για το τελευταίο ενδιάμεσο σημείο (n =n) του τρέχοντος βήματος εξέλιξης (s ). Αυτό επιτρέπεται εφόσον η αντικειμενική συνάρτηση, στα τμήματά της, αποτελείται από τα αθροίσματα για όλες τις n ενδιάμεσες θέσεις. Συνεπώς εκφράζει την ποιότητα του συνόλου των n ενδιάμεσων θέσεων. Αν έχουν ολοκληρωθεί τα s προκαθορισμένα βήματα εξέλιξης ή αν η ποιότητα της συνολικής διαδρομής στο τρέχον βήμα εξέλιξης (s ) έχει φτάσει την προκαθορισμένη απαιτούμενη τιμή, τότε η διαδρομή του τελευταίου βήματος εξέλιξης θεωρείται βέλτιστη και είναι - 79 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής η προτεινόμενη. Αλλιώς επαναλαμβάνονται βήματα εξέλιξης (s =s +1) της διαδρομής, σύμφωνα με το διάγραμμα ροής του αλγορίθμου. Η ελάχιστη υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης καθορίζει και τις τιμές των ανεξαρτήτων μεταβλητών, οι οποίες αντιστοιχούν ταυτόχρονα και στις βέλτιστες τιμές των μεταβλητών του προτεινόμενου αλγορίθμου. Αυτές οι μεταβλητές τιμές προσδιορίζουν τους σχηματισμούς του βραχίονα για τις n ενδιάμεσες θέσεις, μέσω των μεταβλητών των γωνιών των αρθρώσεων. 7.3. Έλεγχος αποφυγής σύγκρουσης με εμπόδια Η διαδικασία ελέγχου της σύγκρουσης (Σχήμα 7.2) που εφαρμόζεται στα επαναλληπτικά βήματα του προτεινόμενου αλγορίθμου ως τμήμα της αντικειμενικής συνάρτησης (F 2 ) προϋποθέτει τη δημιουργία μοντέλων που θα περιγράφουν την γεωμετρία για κάθε μέλος του ρομπότ και για κάθε εμπόδιο. Τα προσομοιωτικά μοντέλα που αναπτύσσονται είναι α) με χρήση σφαιρών και β) με χρήση νέφους σημείων. Στο προσομοιωτικό μοντέλο με σφαίρες, έχοντας ως πηγή πληροφοριών της γεωμετρίας, τόσο των μελών όσο και των εμποδίων, την τρισδιάστατη γραφική τους απεικόνιση, γίνεται μια αντιστοίχηση κάθε αντικειμένου με μία σφαίρα που περικλείει τον συνολικό του όγκο. Για τον υπολογισμό του κέντρου και της ακτίνας της σφαίρας διατρέχεται το σύνολο των σημείων του σώματος και υπολογίζονται οι αποστάσεις μεταξύ όλων των σημείων. Εντοπίζονται τα δύο πλέον απομακρυσμένα σημεία του σώματος, τα οποία ορίζουν την διάμετρο της σφαίρας και συνεπώς προσδιορίζεται τόσο το κέντρο της σφαίρας όσο και η ακτίνα της. Το προσομοιωτικό μοντέλο της γεωμετρίας με χρήση νέφους σημείων, που αποτελεί την πρώτη προυπόθεση λειτουργίας του αλγορίθμου, βασίζεται στην γραφική απεικόνιση του ρομπότ και των εμποδίων. Ο τρόπος δημιουργίας του περιγράφεται στην ενότητα 7.3.1, ενώ ο υπολογισμός του ορίου ελέγχου σύγκρουσης (r i,e ), που αποτελεί την δεύτερη προυπόθεση λειτουργίας του αλγορίθμου, περιγράφεται στην ενότητα 7.3.2. Για κάθε ενδιάμεσο αξιολογούμενο σχηματισμό του βραχίονα μετασχηματίζονται οι συντεταγμένες τόσο των κέντρων των σφαιρών όσο και των νεφών σημείων όλων των αντικειμένων. Στη συνέχεια υπολογίζεται η ελάχιστη απόσταση των σφαιρών κάθε εμποδίου e από κάθε μέλος i του βραχίονα Dmin i,e (Σχήμα 7.3). Όταν για κάποιο ζεύγος μέλους-εμποδίου προκύπτει ότι η απόσταση των κέντρων τους είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών των σφαιρών τους, τότε εξασφαλίζεται ότι ο βραχίονας στην συγκεκριμένη ενδιάμεση θέση δεν έχει σύγκρουση με τα εμπόδια του χώρου εργασίας και η τιμή της συνάρτησης ποινής (Penalty - 80 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής Σχήμα 7.2: Διαδικασία ελέγχου σύγκρουσης και προσδιορισμού τιμής συνάρτησης ποινής (PFV). Function Value - PFV) ορίζεται μηδέν. Διαφορετικά υπάρχει κίνδυνος σύγκρουσης και ανάγκη για περεταίρω έλεγχο σύγκρουσης με την βοήθεια του προσομοιωτικού μοντέλου νεφών σημείων. Η διαδικασία ελέγχου σύγκρουσης συνεχίζεται με τον προσδιορισμό της ελάχιστης απόστασης των νεφών σημείων μέλους i και εμποδίου e (dmin i,e ). Εάν εντοπισθεί τιμή απόστασης - 81 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής Σχήμα 7.3: Έλεγχος σύγκρουσης με χρήση σφαιρών. μικρότερη του ορίου ελέγχου σύγκρουσης (r i,e ) τότε υπάρχει σύγκρουση. Έτσι ως τιμή της συνάρτησης ποινής (PFV) δίνεται μια πολύ υψηλή τιμή, ώστε να απορριφθεί από την διαδικασία αξιολόγησης βάση της αντικειμενικής συνάρτησης, ως μη αποδεκτή. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλα τα ζεύγη μέλους εμποδίου που μπορεί να εμφανίσουν σύγκρουση. Όταν έστω και ένα ζεύγος μέλους-εμποδίου εμφανίσει σύγκρουση, είτε στο στάδιο του ελέγχου με το μοντέλο των σφαιρών, είτε του μοντέλου νέφους σημείων, τότε και ο σχηματισμός του βραχίονα στην συγκεκριμένη θέση δεν μπορεί να θεωρηθεί αποδεκτός. Η χρήση μοντέλου νεφών σημείων αυξάνει εν μέρει τον υπολογιστικό χρόνο σε σχέση με τη χρήση του μοντέλου των σφαιρών, προσφέρει όμως μεγαλύτερη ακρίβεια γεωμετρικών δεδομένων των αντικειμένων και συνεπώς εξασφαλίζει ακρίβεια ελέγχου σύγκρουσης. 7.3.1. Μοντελοποίηση μελών βραχίονα και χώρου εργασίας με χρήση νέφους σημείων Η προτεινόμενη μέθοδος αποσκοπεί στην δημιουργία μιας διακριτοποιημένης αναπαράστασης οποιουδήποτε σώματος, με χρήση νέφους σημείων που προκύπτει ως αποτέλεσμα της διαδικασίας που αναλύεται παρακάτω. Η πυκνότητα του αρχικού δομημένου πλέγματος και κατ επέκταση του τελικού νέφους σημείων, αποτελεί παράμετρο επιλογής. Προκύπτει από μια ισορροπία μεταξύ της επιθυμητής ταχύτητας της επαναληπτικής διαδικασίας βελτιστοποίησης και της αξιοπιστίας που πρέπει να διακρίνει τα αποτελέσματα. Άξονας για τον προσδιορισμό της - 82 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής χρυσής τομής για την πυκνότητα του πλέγματος, αποτελεί η λογική δημιουργίας ενός νέφους σημείων, που θα εξασφαλίζει «γρήγορο έλεγχο αποφυγής σύγκρουσης». Τα βήματα στα οποία βασίζεται η προτεινόμενη μεθοδολογία για την δημιουργία νέφους σημείων είναι: 1. Δημιουργία δομημένου κυβικού πλέγματος σημείων που περικλείει το σώμα, 2. Αντιστοίχηση του κυβικού πλέγματος στα πλησιέστερα σημεία στην επιφάνεια του σώματος, 3. Μείωση αριθμού σημείων της επιφάνειας, βάσει της ελάχιστης απόστασης μεταξύ τους. Η όλη διαδικασία είναι πλήρως αυτοματοποιημένη σε περιβάλλον Visual Basic /118,119/ και βασίζεται σε εντολές υποστηριζόμενες από το λογισμικό γραφικής απεικόνισης Solidworks /122/. Δύναται να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε σχεδιασμένο αντικείμενο, είτε αυτό είναι μέλος του βραχίονα, είτε είναι μέρος του χώρου εργασίας, δηλαδή εμπόδιο προς αποφυγή στην διαδικασία επιλογής διαδρομής κίνησης. Εν συνεχεία αναλύονται εκτενέστερα τα βήματα που οδηγούν στην αναπαράσταση κάθε σώματος από νέφος σημείων, δίνοντας λεπτομέρειες για τον τρόπο λειτουργίας της προτεινόμενης μεθόδου. 1. Δημιουργία δομημένου κυβικού πλέγματος σημείων που περικλείει το σώμα. Ο παραλληλεπίπεδος χώρος τον οποίο καταλαμβάνει ένα σώμα, αποτελεί τον όγκο μέσα στον οποίο δημιουργείται ένα συμπαγές, κυβικά δομημένο πλέγμα σημείων. Ο αριθμός των συνολικών σημείων που θα αναπτυχθούν, αποτελεί ελεγχόμενο μέγεθος μέσω της επιθυμητής πυκνότητας για το επεξεργαζόμενο σώμα. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί το νέφος που αναπτύσσεται για το μέλος 1 του βραχίονα RV6, των έξι βαθμών ελευθερίας, όπως παρουσιάζεται στο σχήμα 7.4 (α). Σχήμα 7.4: (α). Δημιουργία δομημένου κυβικού πλέγματος σημείων (β). Αρχικό νέφος σημείων στην επιφάνεια του σώματος. - 83 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής 2. Αντιστοίχηση του κυβικού πλέγματος στα πλησιέστερα σημεία στην επιφάνεια του σώματος. Για κάθε σημείο του δομημένου πλέγματος του βήματος 1, προσδιορίζεται το πλησιέστερό του στην επιφάνεια του σώματος. Από ένα αρχικό ισοκατανεμημένο κυβικό πλέγμα, δημιουργείται ένα περίπου ισοκατανεμημένο πλέγμα στην επιφάνεια του σώματος. Ο όρος περίπου αφορά περιοχές κορυφών ή ακμών της επιφάνειας του σώματος, οι οποίες έχουν περισσότερα του ενός πλησιέστερα σημεία στο αναπτυχθέν κυβικό πλέγμα. Η ύπαρξη συμπαγούς αρχικού πλέγματος σημείων εξασφαλίζει την περιγραφή και των εσοχών του σώματος, που αποτελούν επικίνδυνες περιοχές για αδυναμία εντοπισμού σύγκρουσης. Το αποτέλεσμα αυτού του βήματος, για το μέλος 1 του βραχίονα RV6, παρουσιάζεται στο σχήμα 7.4 (β). 3. Μείωση αριθμού σημείων της επιφάνειας βάσει της ελάχιστης απόστασης μεταξύ τους. Στο αναπτυχθέν νέφος σημείων εντοπίζονται συγκεντρώσεις σημείων στις κορυφές και τις ακμές, γεγονός που οφείλεται στην ύπαρξη πολλών γειτονικών σημείων σε αυτές τις γεωμετρικές οντότητες, κατά την δημιουργία του αρχικού πλέγματος. Αυτά τα συγκεντρωμένα σημεία, κάτω ενός ορίου απόστασης, δεν προσφέρουν επιπλέον πληροφορίες για την γεωμετρία του σώματος και συνεπώς απομακρύνονται ως περιττά. Το τελικό νέφος σημείων που προκύπτει για κάθε μέλος του βραχίονα (Σχήμα 7.5) ή εμπόδιο του χώρου εργασίας, αποτελεί μια αναπαράσταση του με χρήση σημείων εκφρασμένη ως προς το τοπικό σύστημα Denavit-Hartenberg. Έτσι, ως εύχρηστα πλέον δεδομένα της γεωμετρίας του (α) (β) Σχήμα 7.5: Μετάβαση από (α) σχεδιασμένη τρισδιάστατη γεωμετρία, σε (β) αναπαράσταση νέφους σημείων. - 84 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής σώματος, μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε μια διαδικασία βελτιστοποίησης διαδρομής με επαναληπτικές διαδικασίες, για την αποφυγή σύγκρουσης. Για κάθε ενδιάμεσο προτεινόμενο σχηματισμό σε μια διαδρομή, υπολογίζεται εκ νέου η θέση κάθε νέφους σημείων, με χρήση ομογενών μητρώων μετασχηματισμού και ελέγχεται η σύγκρουση των νεφών μεταξύ των μελών ή των μελών και των εμποδίων. Όπως παρουσιάζεται στο σχήμα 7.5, τα δεδομένα για τον έλεγχο σύγκρουσης δεν θα αποτελέσουν πλέον οι τρισδιάστατες γεωμετρίες (α), αλλά τα νέφη σημείων που προκύπτουν από αυτές (β). Στο τμήμα (β) του σχήματος 7.5, οι επιφάνειες των σωμάτων εξακολουθούν να υφίστανται για οπτικούς και μόνο λόγους. Σε επίπεδο εφαρμογών, η μεθοδολογία δύναται να λειτουργήσει σε δύο διαδοχικά στάδια, με διαφορετικές πυκνότητες νέφους σημείων. Σκοπός του διαχωρισμού θα είναι ο ταχύς έλεγχος, με το μικρής πυκνότητας νέφος σημείων, πολλών πιθανών σχηματισμών που θα συνθέτουν μια διαδρομή, ενώ εν συνεχεία θα πραγματοποιείται ενδελεχής έλεγχος στην περιοχή της προτεινόμενης διαδρομής με το νέφος μεγάλης πυκνότητας, για την εξασφάλιση της αποφυγής σύγκρουσης, εκτελώντας λίγες επιπλέον επαναλήψεις. Αναμφισβήτητα τα νέφη σημείων θα μπορούσαν να δημιουργηθούν με την χρήση σχετικών εμπορικών λογισμικών, τα οποία όμως δεν θα μπορούσαν να ενσωματωθούν ως κώδικας σε ένα off line σύστημα, ενώ ταυτόχρονα θα δημιουργούσαν και εξάρτηση από αυτά. Για τον λόγο αυτό και δεν επελέγησαν. 7.3.2. Προσδιορισμός ορίου ελέγχου σύγκρουσης με χρήση μοντέλου νέφους σημείων Για να θεωρηθεί ότι υφίσταται σύγκρουση μεταξύ ενός μέλους (i) και ενός εμποδίου (e) και κατ επέκταση να συμπεριληφθεί αυτό στην αντικειμενική συνάρτηση, πρέπει να εντοπισθεί απόσταση δύο σημείων μικρότερη από το αντίστοιχο όριο ελέγχου σύγκρουσης για τα δύο αυτά αντικείμενα. Ως όριο ελέγχου σύγκρουσης r i,e ορίζεται η τιμή που προκύπτει από τον υπολογισμό των αποστάσεων μέλους και εμποδίου, στην δυσμενέστερη τοποθέτηση των περιοχών μέγιστης αραίωσης των νεφών (σχήμα 7.6-α). Σε αυτή την δυσμενέστερη περίπτωση υπάρχει ο μέγιστος κίνδυνος αστοχίας της διαδικασίας εντοπισμού σύγκρουσης που πραγματοποιείται κατά τον υπολογισμό της αντικειμενικής συνάρτησης. Με την χρήση του ορίου ελέγχου σύγκρουσης για κάθε ζεύγος μέλους-εμποδίου, εξασφαλίζεται ο εντοπισμός της σύγκρουσης. Με δεδομένα εισόδου στην διαδικασία τα νέφη σημείων τόσο των μελών όσο και των εμποδίων, προσδιορίζονται ανεξάρτητα για κάθε ένα εξ αυτών οι ελάχιστες αποστάσεις μεταξύ όλων των σημείων του νέφους του (d j min για τα μέλη και d k min για τα εμπόδια) και στην συνέχεια η μέγιστη εξ αυτών (r i και r e ) αντίστοιχα. Αυτές οι τιμές αντιστοιχούν στην περιοχή στην οποία εμφανίζει το νέφος την μέγιστη αραίωση και συνεπώς είναι η πλέον επικίνδυνη για αποτυχία εντοπισμού σύγκρουσης, ενώ υφίσταται. Η δυσμενέστερη περίπτωση τοποθέτησης των αραιών - 85 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής Σχήμα 7.6: Διάγραμμα ροής διαδικασίας προσδιορισμού ορίου ελέγχου σύγκρουσης. περιοχών δύο σωμάτων, όπως παρουσιάζεται στο σχήμα 7.6-β, είναι να τέμνονται κάθετα στο μέσον τους. Τότε η απόσταση των δύο νεφών μεγιστοποιείται και υπολογίζεται από την σχέση: r i,e = 2 2 i + re r 2 (7.6) Έτσι υπολογίζεται για όλα τα ζεύγη μελών - εμποδίων (i,e) το όριο ελέγχου σύγκρουσης r i,e, στη δυσμενέστερη μεταξύ τους τοποθέτηση. Έτσι στο εξής σε κάθε έλεγχο σύγκρουσης μέλους - εμποδίου (i,e) χρησιμοποιείται το αντίστοιχο όριο ελέγχου σύγκρουσης - 86 - r i,e ως κριτήριο αξιολόγησης της σύγκρουσης των νεφών τους. Εξασφαλίζεται, λοιπόν, ότι δεν θα υπάρξει σύγκρουση που δεν θα εντοπιστεί κατά την διαδικασία υπολογισμού της αντικειμενικής συνάρτησης, για έναν τυχαίο σχηματισμό του βραχίονα.
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής 7.4. Αριθμητική εφαρμογή Η εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας, πραγματοποιείται στον βραχίονα RV6 των έξι βαθμών ελευθερίας, χρησιμοποιώντας την αντικειμενική συνάρτηση που αναλύθηκε παραπάνω. Ως περιβάλλον ελέγχου της μεθοδολογίας, αφού έχουν προηγηθεί έλεγχοι σε απλές γεωμετρίες, επιλέγεται μια βάση καρέκλας, προσαρτημένη στην τράπεζα εργασίας, στην οποία πραγματοποιούνται συγκολλήσεις (Σχήμα 7.7). Ζητείται ο σχεδιασμός της διαδρομής κίνησης του βραχίονα μεταξύ του γνωστού αρχικού σχηματισμού (1) και του γνωστού τελικού σχηματισμού (2), η οποία διαδρομή δεν θα έχει συγκρούσεις και θα βελτιστοποιεί τα προαναφερθέντα μεγέθη. Οι δύο αυτοί σχηματισμοί περιγράφονται από τις τιμές των γωνιών των αρθρώσεων που παρατίθενται στον πίνακα 7.1. Στο σχήμα παρουσιάζεται και η αρχική ευθύγραμμη διαδρομή, η οποία αν και αποτελεί την συντομότερη (χρόνος κίνησης 0.51s) δεν Σχήμα 7.7: Δεδομένος αρχικός και τελικός σχηματισμός του βραχίονα, για τον σχεδιασμό βέλτιστης ενδιάμεσης διαδρομής. θ 1 Μεταβλητές ( o ) θ 2 ( o ) θ 3 ( o ) θ 4 ( o ) θ 5 ( o ) θ 6 ( o ) Αρχικός σχηματισμός 27 30 26-69 -113-60 Τελικός σχηματισμός -23 75-8 67-115 78 Πίνακας 7.1: Τιμές των γωνιών των αρθρώσεων για τον αρχικό και τον τελικό σχηματισμό του βραχίονα. - 87 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής μπορεί να εφαρμοστεί, αφού εμφανίζει συγκρούσεις. Για να επαληθευτεί η προτεινόμενη μεθοδολογία, παρουσιάζεται ένα πλήθος αριθμητικών εφαρμογών με τέσσερα έως είκοσι ενδιάμεσα σημεία στην διαδρομή (Πίνακας 7.2). Οι παράμετροι που εμπλέκονται σε όλα τα παραδείγματα που παρατίθενται, διατηρούνται σταθερές και έχουν επιλεγεί μέσα από μεγάλο πλήθος δοκιμών: πλήθος γονέων = 50, πιθανότητα διασταύρωσης = 70% και η πιθανότητα μετάλλαξης =8%. Άλλες παράμετροι που παραμένουν σταθεροί για όλα τα παραδείγματα είναι το εύρος αναζήτησης για κάθε μια εκ των αρθρώσεων σε κάθε ενδιάμεση θέση Δx=15 Ο, καθώς και τα μοντέλα με χρήση σφαιρών και νεφών σημείων των μελών του βραχίονα και των εμποδίων. Για το μοντέλο με την χρήση σφαιρών ισχύουν: R i=1 =0.375m, R i=2 =0.427m, R i=3 =0.265m, R i=4 =0.289m, R i=5 =0.074m, R i=6 =0.185m, R e=1 =0.515m, ενώ για το μοντέλο με τη χρήση νεφών σημείων (r i,e ) ισχύουν: r 1,1 =0.190m, r 2,1 =0.181m, r 3,1 =0.176m, r 4,1 =0.175m, r 5,1 =0.143m, r 6,1 =0.104m. Το πλήθος των σημείων ανά νέφος σημείων και κατ επέκταση τα όρια ελέγχου σύγκρουσης προέκυψαν από πλήθος δοκιμών και εξασφαλίζουν ακρίβεια υπολογισμών και ταχύτητα επιλύσεων. Το πλήθος των επαναλήψεων και στα τρία βήματα του αλγορίθμου είναι επιλεγμένο, έτσι ώστε οι επιλύσεις να είναι ακριβείς, αλλά και γρήγορες ταυτόχρονα. Έτσι σε κάθε κύκλο λειτουργούν 10 γενετικοί αλγόριθμοι (GA=10), 3 μέθοδοι αναρρίχησης (QNA=3), ενώ τα βήματα εξέλιξης της διαδρομής των n ανά περίπτωση ενδιάμεσων θέσεων είναι 8 (s=8). Στον πίνακα 7.2 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που επιτευχθήκαν με την προτεινόμενη μεθοδολογία για όλες τις αριθμητικές εφαρμογές. Ανά παράδειγμα αναφέρεται ο συνολικός χρόνος κίνησης, ο υπολογιστικός χρόνος που καταναλώθηκε, η χρονική ισοκατανομή των διαστημάτων δηλ. το ποσοστό απόκλισης των ενδιάμεσων χρόνων κίνησης από τον μέσο χρόνο κίνησης μεταξύ των ενδιάμεσων θέσεων, όπως και το μέτρο ευχρηστίας των ενδιάμεσων Απόκλιση Μέτρο Χρόνος Υπολογ. Παράδειγμα σημεία Ενδιάμεσα ισοκατανομής (%) ευχρηστίας κίνησης χρόνος (sec) (h:mm:ss) Μέσος Μέσος Μέγιστο Μέγιστο όρος όρος 1 4 0.605 0:05:51 2.02 3.27 0.3 0.35 2 6 0.705 0:12:24 1.98 5.95 0.31 0.36 3 8 0.791 0:23:35 2.43 7.4 0.32 0.36 4 10 0.904 0:35:58 1.88 4.8 0.33 0.37 5 20 1.134 2:31:43 2.25 5.65 0.33 0.38 Συντελεστές βαρύτητας: α = 0.01, β = 20, γ = 1000, δ = 0.01 Βήματα εξέλιξης: s=8 Πίνακας 7.2: Αποτελέσματα αριθμητικών εφαρμογών σχεδιασμού διαδρομής και οι εφαρμοσμένοι συντελεστές βαρύτητας. - 88 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής θέσεων. Πολλαπλές επιλύσεις με διαφορετικούς συντελεστές βαρύτητας (με τη μέθοδο try and error) για κάθε μια εκ των αριθμητικών εφαρμογών που επιλύθηκαν, οδήγησαν στην εκλογή των βέλτιστων συντελεστών βαρύτητας του πίνακα 7.2. Εκ των αποτελεσμάτων παρατηρείται ότι ο χρόνος κίνησης παρουσιάζει μια αύξηση ανάλογη με την αύξηση των ενδιάμεσων θέσεων της διαδρομής, γεγονός που οφείλεται στο ότι αυξάνει αντίστοιχα το πλήθος των ενδιάμεσων διαστημάτων, δίνοντας ταυτόχρονα στην διαδρομή μεγαλύτερη ευελιξία για την αποφυγή των εμποδίων. Περίπου γραμμική αύξηση παρουσιάζει και ο υπολογιστικός χρόνος γεγονός που οφείλεται στην αύξηση των επαναλήψεων στις εξεταζόμενες ενδιάμεσες θέσεις. Οι αποκλίσεις ισοκατανομής του χρόνου κίνησης εμφανίζουν πολύ μικρά ποσοστά, τόσο κατά μέσο όρο, όσο και προς τις μέγιστες τιμές τους, καθιστώντας την ισοκατανομή των διαστημάτων επιτυχή. Σταθερά υψηλές παρουσιάζονται οι τιμές του μέτρου ευχρηστίας για όλα τα παραδείγματα, επιβεβαιώνοντας την αποτελεσματικότητα της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Η αύξηση των ενδιάμεσων σημείων μπορεί να προσφέρει καλύτερη ανάλυση της ενδιάμεσης κίνησης, απαιτεί όμως περισσότερο υπολογιστικό χρόνο και επιπλέον δημιουργεί αυξημένο κίνδυνο εμφάνισης άσκοπων μετατοπίσεων, όχι προς τον στόχο του τελικού σχηματισμού. Κυριότερο βέβαια κίνητρο για τον περιορισμό του πλήθους των ενδιάμεσων θέσεων αποτελεί το πλάνο μελλοντικής χρήσης αυτών των σημείων ως κομβικά για τον προσδιορισμό πολυωνυμικών καμπύλων μεταβολής των γωνιών. Σε αυτό το πλάνο, που ήδη αναπτύσεται, απαιτούνται λίγα κομβικά σημεία ώστε ο υπολογισμός να είναι ταχύς και η εις βάθος ανάλυση της διαδρομής είναι πλέον εξαρτώμενη από το πλήθος των παρεμβαλλόμενων σημείων στα πολυώνυμα που την περιγράφουν. Χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη μεθοδολογία αναλύεται εκτενέστερα μια διαδρομή κίνησης με τέσσερα ενδιάμεσα σημεία, που επιλέγεται ως η πλέον αντιπροσωπευτική περίπτωση. Οι τιμές των γωνιών των αρθρώσεων που προκύπτουν για αυτές τις ενδιάμεσες θέσεις παρατίθενται στον πίνακα 7.3, ενώ παρουσιάζονται και διαγραμματικά στο σχήμα 7.8. Ειδικά σε αυτό το σχήμα γίνεται εμφανές ότι το πλάνο χρήσης πολυωνυμικών συναρτήσεων περιγραφής των γωνιών των αρθρώσεων κατά την δημιουργία διαδρομής κίνησης είναι εφικτό και διευκολύνεται από την λειτουργία της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας. Στο σχήμα 7.9 παρουσιάζονται οι τέσσερεις ενδιάμεσοί σχηματισμοί του βραχίονα ως λύση του προβλήματος κίνησης από τον αρχικό σχηματισμό (1) στον τελικό σχηματισμό (2), σύμφωνα με το σχήμα 7.7. - 89 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής Γωνίες Αρχικός Τελικός 1η θέση 2η θέση 3η θέση 4η θέση σχηματισμός σχηματισμός θ 1 ( ο ) 27 32 20 3-13 -23 θ 2 ( ο ) 30 41 58 76 89 75 θ 3 ( ο ) 26 30 30 22 5-8 θ 4 ( ο ) -69-35 -2 15 35 67 θ 5 ( ο ) -113-96 -117-104 -100-115 θ 6 ( ο ) -60-22 5 22 42 78 Πίνακας 7.3: Τιμές των γωνιών των αρθρώσεων για την εφαρμογή των τεσσάρων ενδιάμεσων θέσεων. Ολοκληρώνοντας την παρουσίαση των αποτελεσμάτων, αποδεικνύεται ότι η προτεινόμενη μεθοδολογία επιτυγχάνει πολύ καλά αποτελέσματα στο πρόβλημα του σχεδιασμού διαδρομής κίνησης μεταξύ δυο γνωστών σχηματισμών του βραχίονα με συνυπολογισμό της τρισδιάστατης γεωμετρίας του βραχίονα και των εμποδίων, ενώ ταυτόχρονα προσφέρει δυνατότητα άμεσης εξέλιξης. Εφαρμόζεται αυτόματα σε όλα τα στάδιά της, από την ανάγνωση των νεφών σημείων μελών και εμποδίων από υπάρχοντα τρισδιάστατα γραφικά μοντέλα έως την διαδικασία βελτιστοποίησης. Κριτήρια βελτιστοποίησης αποτελούν η ακρίβεια τοποθέτησης, ο χρόνος κίνησης και το μέτρο ευχρηστίας, ενώ ταυτόχρονα εξασφαλίζεται αποφυγή των εμποδίων του χώρου εργασίας και ισοκατανομή των ενδιάμεσων διαστημάτων κίνησης, συνυπολογίζοντας περιορισμούς κινηματικούς, ταχύτητας αρθρώσεων και ορίων χώρου εργασίας. Όλες οι αριθμητικές επιλύσεις πραγματοποιήθηκαν σε Η/Υ με τεχνικά χαρακτηριστικά που αναφέρονται στο παράρτημα (Η/Υ-1). Σχήμα 7.8: Εξέλιξη των τιμών των γωνιών των αρθρώσεων από τον αρχικό σχηματισμό στον τελικό, για την εφαρμογή των τεσσάρων ενδιάμεσων θέσεων. - 90 -
7. Βελτιστοποίηση διαδρομής Σχήμα 7.9: Ενδιάμεσες θέσεις διαδρομής για το παράδειγμα των τεσσάρων ενδιάμεσων σημείων. - 91 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση 8. Ανάπτυξη μεθοδολογίας για τον οff line προγραμματισμό, την προσομοίωση και την αυτόματη δημιουργία κώδικα NC ρομποτικού βραχίονα σε μηχανουργικές κατεργασίες Η εισαγωγή των βιομηχανικών ρομπότ στην διαδικασία παραγωγής οδηγεί στη μείωση του χρόνου παραγωγής και στην βελτίωση της ποιότητας του προϊόντος. Οι μικρές και μεσαίες επιχειρήσεις, που παράγουν μεγάλη ποικιλία τεμαχίων με κατεργασίες, χρειάζονται μια μέθοδο που θα δημιουργεί τον NC κώδικα αυτόματα. Ο off line προγραμματισμός του βραχίονα, χρησιμοποιώντας ένα σχεδιαστικό λογισμικό (CAD), έχει τη δυνατότητα να παράγει μια οπτική παρουσίαση του βραχίονα κατά την διάρκεια της εργασίας του, καθώς και να εξαλείφει κατά τον σχεδιασμό προβλήματα προσέγγισης, πρόσβασης, σύγκρουσης, χρονισμού, κλπ. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται σημαντική εξοικονόμηση χρόνου, μια και η πραγματική διαδικασία παραγωγής χρειάζεται να διακοπεί για ελάχιστο χρόνο, μόνο κατά την διάρκεια προώθησης του προγράμματος στην κεντρική μονάδα ελέγχου του βραχίονα. Η παρούσα ενότητα της εργασίας περιγράφει ένα σύστημα για την αυτόματη δημιουργία του προγράμματος καθοδήγησης του ρομπότ κατά την κατεργασία τεμαχίων ή ειδικότερα συγκολλήσεων /133-138/. Το προτεινόμενο σύστημα προγραμματισμού περιλαμβάνει: την γραφική προσομοίωση του βραχίονα και του περιβάλλοντος χώρου εργασίας, την κινηματική ανάλυση του ρομπότ, τον σχεδιασμό της κίνησης και την δημιουργία του NC κώδικα της προδιαγραμμένης κατεργασίας. Εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας πραγματοποιείται σε δύο περιπτώσεις βραχιόνων. Η πρώτη βασίζεται στον RV-M1 βραχίονα με πέντε βαθμούς ελευθερίας και πέντε αρθρώσεις περιστροφής, ενώ η δεύτερη στον RV6 βραχίονα με έξι βαθμούς ελευθερίας και έξι αρθρώσεις περιστροφής, όπως αυτοί παρουσιάσθηκαν στις ανωτέρω ενότητες. Οι δύο αυτοί βραχίονες, χρησιμοποιούνται για διάφορες μηχανουργικές κατεργασίες, με τον δεύτερο να επικεντρώνεται κυρίως σε συγκολλήσεις. 8.1. Γραφική προσομοίωση του βραχίονα και του χώρου εργασίας του Για την γραφική προσομοίωση του βραχίονα, του εργαλείου, του κατεργαζόμενου τεμαχίου και του χώρου εργασίας, χρησιμοποιείται το πρόγραμμα SolidWorks, το οποίο ανήκει στην κατηγορία των παραμετρικών στερεών μοντελοποιητών (parametric solid modelers) /122/. Για την κατασκευή του προσομοιωτικού μοντέλου του ρομπότ, τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των μελών (μέγεθος, σχήμα, κλπ) και η κινηματική του, εισάγονται σε μια βάση δεδομένων. Η περιγραφή της κινηματικής περιλαμβάνει πληροφορίες σχετικά με τους βαθμούς ελευθερίας, το είδος των αρθρώσεων, τις παραμέτρους Denavit Hartenberg /10/, τα όρια των γωνιών των - 92 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση αρθρώσεων, κλπ. Μετά την σχεδίαση των μελών του βραχίονα σε τρισδιάστατο χώρο με ανεξάρτητα συστήματα συντεταγμένων, αυτά συναρμολογούνται λαμβάνοντας υπόψη το σύστημα συντεταγμένων Denavit Hartenberg, ανάλογα με την θέση των αρθρώσεων και τη σχετική κίνηση μεταξύ των μελών. Στο σχήμα 8.1 παρουσιάζεται η σχεδίαση των μελών σε ανεξάρτητα συστήματα συντεταγμένων, καθώς και η γραφική προσομοίωση του συναρμολογημένου ρομπότ RV-M1 με πέντε αρθρώσεις περιστροφής, που διαθέτει το Εργαστήριο Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας (ΕΕΔΜ). Με την χρήση αυτών των δεδομένων, οποιοσδήποτε βραχίονας μπορεί να προσομοιωθεί γραφικά. Το προσομοιωτικό μοντέλο του χώρου εργασίας του βραχίονα περιλαμβάνει τα γεωμετρικά δεδομένα του χώρου εργασίας, των κατεργαζόμενων τεμαχίων και μπορεί να περιγραφεί με τον ίδιο τρόπο όπως η γεωμετρία του βραχίονα. Στο σχήμα 8.1 παρουσιάζεται ταυτόχρονα ένα δείγμα κατεργαζόμενου τεμαχίου. 8.2. Κινηματική ανάλυση του ρομπότ Για να είναι δυνατή η σχεδίαση και η προσομοίωση της κίνησης του βραχίονα, είναι απαραίτητη η επίλυση της ευθείας και της αντιστρόφου κινηματικής του ρομπότ, λαμβάνοντας υπόψη το κινηματικό μοντέλο του. Στο σχήμα 8.2 παρουσιάζεται ο βραχίονας RV6, μια ανοιχτή κινηματική αλυσίδα με έξι βαθμούς ελευθερίας. Χρησιμοποιώντας τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού και τις παραμέτρους Denavit-Hartenberg, που παρατίθενται στον πίνακα του σχήματος 8.2, αναπτύσσονται οι εξισώσεις κίνησης του βραχίονα, όπως αναφέρθηκαν σε προηγούμενη ενότητα. Αυτές οι εξισώσεις είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση του ευθέως ή του αντιστρόφου προβλήματος της κινηματικής του ρομπότ. Σχήμα 8.1: Σχεδιασμός μελών βραχίονα RV-M1 και η συναρμολογημένη του διάταξη. - 93 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση Σχήμα 8.2: Παράμετροι Denavit-Hartenberg, όρια των μεταβλητών των γωνιών και μέγιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες περιστροφής των αρθρώσεων του βραχίονα RV6. Για προδιαγεγραμμένες τιμές της θέσης και του προσανατολισμού του άκρου του ρομπότ απαιτείται ο προσδιορισμός των μεταβλητών (γωνιών) των αρθρώσεων. Η επίλυση του προβλήματος αντιστρόφου κινηματικής του ρομπότ γίνεται με αναλυτική μέθοδο, η οποία επιτρέπει τον προσδιορισμό όλων των δυνατών σχηματισμών του βραχίονα. Ειδικά ο βραχίονας RV6 του σχήματος 8.2 διαθέτει λύση κλειστής μορφής, διότι οι άξονες 4,5 και 6 διασταυρώνονται σε ένα σημείο /8/. Έτσι, με την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος καθορίζονται οι ομάδες λύσεων των μεταβλητών των αρθρώσεων, που αντιστοιχούν σε σχηματισμούς του βραχίονα. Για τον βραχίονα RV6 των 6 βαθμών ελευθερίας προσδιορίζονται 8 λύσεις /134/, ενώ για τον βραχίονα RV-M1 των 5 βαθμών ελευθερίας 4 λύσεις /135/. Από αυτές επιλέγεται η λύση που εξασφαλίζει την αποφυγή σύγκρουσης, την αποφυγή θέσεων ιδιομορφίας και η οποία βρίσκεται εντός των ορίων λειτουργίας των αρθρώσεων. Το χρησιμοποιούμενο σχεδιαστικό λογισμικό διαθέτει εργαλεία ελέγχου σύγκρουσης υψηλών δυνατοτήτων για τους σχεδιασμένους σχηματισμούς του βραχίονα. Η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται αριθμητικά για όλα τα σημεία της διαδρομής του άκρου, με την μέθοδο που αναλύεται παρακάτω, με χρήση της γλώσσας προγραμματισμού Fortran /120,121/. - 94 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση 8.3. Σχεδιασμός διαδρομής και γραφικός έλεγχος της ποιότητάς της μέσω προσομοίωσης Με τη χρήση του σχεδιασμένου μοντέλου του κατεργαζόμενου τεμαχίου, ο χρήστης δημιουργεί έναν κατάλογο αρχικών και τελικών σημείων για κάθε περιοχή κατεργασίας του τεμαχίου καθώς και χαρακτηριστικά της κατεργασίας, όπως το είδος του υλικού, η θέση κατεργασίας, η ταχύτητα πρόωσης, κλπ. Ο σχεδιασμός διαδρομής, βασιζόμενος στο προσομοιωτικό μοντέλο του ρομπότ και του κατεργαζόμενου τεμαχίου, διαιρείται σε σχεδιασμό διαδρομής ταχείας μεταφοράς και διαδρομής κατεργασίας. Ο σχεδιασμός διαδρομής ταχείας μεταφοράς αναφέρεται σε κινήσεις προσέγγισης και απομάκρυνσης του τελικού σημείου του εργαλείου, προς και από την περιοχή κατεργασίας αντίστοιχα. Η δημιουργία μιας διαδρομής απαλλαγμένης από συγκρούσεις επιτυγχάνεται με την μέθοδο της «υπόθεσης και ελέγχου» /6/. Αυτή η προσέγγιση δεν περιλαμβάνει κάποια βελτιστοποίηση της διαδρομής όπως αναλύθηκε σε προηγούμενη ενότητα. Αποτελεί την βασική προσέγγιση του προβλήματος σχεδιασμού διαδρομής στην οποία ο χρήστης προσδιορίζει γραφικά την επιθυμητή κίνηση. Για μια υποψήφια διαδρομή, από μια αρχική έως μια τελική τοποθέτηση του άκρου, ο χρήστης μπορεί να επιλέξει το πλήθος των παρεμβαλλόμενων σημείων, που υπολογίζονται με χρήση είτε γραμμικής, είτε πολυωνυμικής παρεμβολής. Για κάθε σημείο της διαδρομής επιλύεται το αντίστροφο κινηματικό πρόβλημα και λαμβάνοντας υπόψη τα όρια λειτουργίας των αρθρώσεων, ελέγχεται η αποφυγή σύγκρουσης του άκρου με τον περιβάλλοντα χώρο εργασίας. Εάν εντοπιστεί σύγκρουση, προτείνεται μια νέα υποψήφια διαδρομή, εξετάζοντας τα εμπλεκόμενα στη σύγκρουση εμπόδια. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται, έως ότου εντοπιστεί διαδρομή απαλλαγμένη από συγκρούσεις. Ένα παράδειγμα διαδρομής απαλλαγμένης από συγκρούσεις, δημιουργημένη με την χρήση του σχεδιασμού διαδρομής ταχείας μεταφοράς, παρουσιάζεται στο σχήμα 8.3. Ο σχεδιασμός διαδρομής κατεργασίας αναφέρεται στην κίνηση από το αρχικό στο τελικό σημείο κατεργασίας, για κάθε μία κατεργασία. Κατά την διάρκεια της κατεργασίας, το ρομπότ πρέπει να συγκρατεί το εργαλείο με σωστό προσανατολισμό ως προς το τεμάχιο, στη σωστή απόσταση και να κινείται με σταθερή ταχύτητα. Λαμβάνοντας υπόψη τον προσανατολισμό του συγκρατητή του εργαλείου, υπολογίζεται ο προσανατολισμός του άκρου ως προς το πλαίσιο του ρομπότ. Λόγω του γεγονότος ότι κάποιοι προσανατολισμοί οδηγούν σε σύγκρουση του εργαλείου με το τεμάχιο, δίνεται η δυνατότητα αλλαγής των γωνιών προσανατολισμού, ώστε να αποφεύγεται η σύγκρουση. - 95 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση Η προκύπτουσα διαδρομή αποθηκεύεται σε αρχείο και με χρήση γραφικής προσομοίωσης παρουσιάζεται η αλληλουχία των κινήσεων του βραχίονα για επαλήθευση πριν την πραγματοποίηση της πραγματικής κατεργασίας. Αν και η μέθοδος «υπόθεσης και ελέγχου» που εφαρμόζεται έχει ως αποτέλεσμα πολύ καλές λύσεις διαδρομής, εντούτοις δεν εμπεριέχει καμιά μορφή βελτιστοποίησης με κάποιο κριτήριο. Γι αυτό το λόγο κρίνεται απαραίτητη και σε Σχήμα 8.3: Γραφικός σχεδιασμός διαδρομής προς αποφυγή εμποδίων. - 96 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση επόμενη ενότητα αναπτύσσεται μια μεθοδολογία βελτιστοποίησης διαδρομής, με κριτήρια βελτιστοποίησης την τοποθέτηση, το μέτρο ευχρηστίας και τον χρόνο κίνησης. 8.4. Διαδικασία εκπόνησης NC κώδικα με χρήση τεχνικών χαρακτηριστικών κατεργασίας και προσομοίωση Για να δημιουργηθεί ο κώδικας NC για την κατεργασία, το πρόγραμμα σχεδιασμού κίνησης του βραχίονα ολοκληρώνεται με εντολές σχετικές με την διαδικασία της κατεργασίας, όπως α) η ταχύτητα πρόωσης, η ταχύτητα περιστροφής, η παροχή του ψυκτικού υγρού σε κατεργασίες αφαίρεσης υλικού και β) η παροχή σύρματος, η ένταση του τόξου, η τάση του τόξου, η ταχύτητα συγκόλλησης σε κατεργασίες συγκόλλησης /139/. Ταυτόχρονα λαμβάνονται υπόψη και τα τεχνολογικά δεδομένα της κατεργασίας, όπως το υλικό του τεμαχίου και του εργαλείου, η θέση κατεργασίας, καθώς επίσης και οι δυνατότητες παρεμβολής της κεντρικής μονάδας ελέγχου. Τέλος, το πρόγραμμα μεταφέρεται στον υπολογιστή ελέγχου του βραχίονα. Η δομή του συστήματος δημιουργίας του NC κώδικα παρουσιάζεται στο σχήμα 8.4. Το τμήμα του σχεδιασμού διαδρομής, που έχει αναπτυχθεί σε περιβάλλον της Visual Basic, προσομοιώνει την κίνηση του βραχίονα και λειτουργεί παράλληλα, αφενός με την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος της κινηματικής, που έχει αναπτυχθεί σε περιβάλλον της Fortran και αφετέρου με τα γραφικά μοντέλα κατασκευασμένα στο σχεδιαστικό λογισμικό SolidWorks. Το λογισμικό προσομοίωσης σχεδιασμού διαδρομής, λαμβάνοντας υπόψη τις τεχνικές Σχήμα 8.4: Διαδικασία επικοινωνίας λογισμικών για την δημιουργία NC κώδικα. - 97 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση προδιαγραφές της κατεργασίας, παράγει αυτόματα τον NC κώδικα. Ο αλγόριθμος προσομοίωσης αναπτύχθηκε, με σκοπό η παραπάνω αυτόματη δημιουργία προγράμματος καθοδήγησης του ρομπότ για την κατεργασία τεμαχίων, να είναι εύκολη στον χρήστη /12/. Όλες οι κινήσεις, που ορίζονται στο επίπεδο αυτού του λογισμικού, βρίσκονται σε αλληλεπίδραση με σχεδιασμένο μοντέλο στο επίπεδο του SolidWorks, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η πλήρης εποπτεία του χρήστη στον προγραμματισμό της διαδρομής. Ο έλεγχος κίνησης του βραχίονα επιτυγχάνεται μέσω του καθορισμού της θέσης και του προσανατολισμού του άκρου. Για να βελτιωθεί η ακρίβεια κατά την διάρκεια της προσομοίωσης της διαδικασίας, λαμβάνει χώρα μια διαδικασία παρεμβολής σημείων στην επιλεγμένη διαδρομή. Η γραμμική παρεμβολή αναφέρεται όχι μόνο στις συντεταγμένες αλλά και στον προσανατολισμό του άκρου. Τέλος, οι διαδρομές αποθηκεύονται σε αρχείο, ώστε να είναι εύκολη η πρόσβαση σε αυτές. Με την χρήση του αναπτυγμένου αλγόριθμου, ο NC κώδικας της κατεργασίας μπορεί να δημιουργηθεί, λαμβάνοντας υπόψη τα τεχνολογικά δεδομένα της και τις δυνατότητες παρεμβολής της κεντρικής μονάδας του βραχίονα (Σχήμα 8.5). Το προτεινόμενο σύστημα μπορεί επιπλέον, να χρησιμοποιηθεί για δημιουργία διαδρομής σε οποιοδήποτε κατεργαζόμενο τεμάχιο, με μείωση του απαιτούμενου χρόνου του κύκλου εργασίας. Παρέχοντας τον κώδικα στην κεντρική μονάδα του βραχίονα, αυτή τον εκτελεί, γίνεται η κίνηση του άκρου του ρομπότ στα προκαθορισμένα σημεία και δημιουργείται η συγκόλληση. Σχήμα 8.5: Δημιουργία κώδικα NC για συγκόλληση τεμαχίου. - 98 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση 8.5. Έλεγχος μεθοδολογίας σε βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας Αρχικά, η παραπάνω μεθοδολογία εφαρμόζεται στον βραχίονα RV6 με έξι αρθρώσεις περιστροφής (Σχήμα 4.4, σχήμα 8.2), που χρησιμοποιείται για την συγκόλληση σκελετών επίπλων γραφείου /133,136-138/. Κάθε άρθρωση ενεργοποιείται από ανεξάρτητο κινητήρα, ενώ ο βραχίονας είναι δυνατό να εξοπλιστεί με αισθητήρια όργανα, όπως αισθητήρες ανίχνευσης, οπτικούς αισθητήρες και laser scanners για παρακολούθηση της πορείας ραφής της συγκόλλησης /117/. Το περιβάλλον, μέσω του οποίου ο χρήστης έχει τον έλεγχο για την off line ανάπτυξη του NC κώδικα, είναι ένα λογισμικό που αναπτύχθηκε και περιλαμβάνει διάφορες φόρμες επικοινωνίας χειριστή Η/Υ, όπως αυτές αναλύονται στην ενότητα 8.6. Ο NC κώδικας για την καθοδήγηση του άκρου του βραχίονα παράγεται αυτόματα, χρησιμοποιώντας τις φόρμες παράλληλα, δηλαδή υποθέτοντας και ελέγχοντας σημεία, ελέγχοντας τα όρια των γωνιών των αρθρώσεων, εξασφαλίζοντας διαδρομή χωρίς συγκρούσεις, προσομοιώνοντας την προγραμματισμένη διαδρομή και φτάνοντας έτσι στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Στο σχήμα 8.6 εμφανίζεται η διαδρομή του σημείου αναφοράς του άκρου (Λεπτομέρεια Α), η οποία αποτελείται από τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα (3-4, 7-8, 11-12 και 15-16) για συγκόλληση και τρεις ενδιάμεσες πολυωνυμικές καμπύλες (4-5-6-7, 8-9-10-11 και 12-13-14-15) για αποφυγή εμποδίων. Παράλληλα, υπάρχουν δύο κινήσεις γρήγορης μεταφοράς (1-2 και 17-18), καθώς και δύο αργές κινήσεις προσέγγισης και απομάκρυνσης (2-3 και 16-17) (Πίνακας σχήματος 8.6). Η αλληλουχία μεταξύ των διαδρομών συγκόλλησης επιλέχθηκε έτσι ώστε να Σχήμα 8.6: Προσδιορισμός μορφής τμημάτων διαδρομής. - 99 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση μειώνεται η χρονική διάρκεια της κατεργασίας, ενώ τα πολυωνυμικά τμήματα για την αποφυγή των εμποδίων έχουν προσδιορισθεί από τον χρήστη, χωρίς να ενεργοποιείται κάποια διαδικασία βελτιστοποίησης. Μια άλλη εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας στον ίδιο βραχίονα παρατίθεται παρακάτω. Η γραφική προσομοίωση του βραχίονα, του προς συγκόλληση τεμαχίου προσαρμοσμένο στην τράπεζα εργασίας και της διαδρομής παρουσιάζεται στο σχήμα 8.7. Έχοντας επιλύσει την αντίστροφη κινηματική για όλα τα σημεία της διαδρομής, τέσσερις βασικές θέσεις του άκρου του ρομπότ κατά τη διαδικασία συγκόλλησης παρουσιάζονται στο σχήμα 8.7 σε περιβάλλον SolidWorks. Τα τεχνικά χαρακτηριστικά συγκόλλησης, που χρησιμοποιούνται σε αυτή την εφαρμογή, παρατίθενται στον πίνακα 8.1 και επιλέχθηκαν με κριτήριο την ικανοποίηση όλων των τεχνικών προδιαγραφών συγκόλλησης. Αυτές οι παράμετροι καθορίζονται στην υπορουτίνα WELDON, που καλείται από το κυρίως πρόγραμμα του NC κώδικα. Η υπορουτίνα WELDON χρησιμοποιεί γραμμική παρεμβολή κίνησης (CP_Linear) και σταθερή ταχύτητα 3mm/s. Ο NC κώδικας που παρουσιάζεται στο σχήμα 8.5, έχει δημιουργηθεί με το αναπτυγμένο λογισμικό και με την χρήση όλων των προγραμματισμένων σημείων της διαδρομής. Παρέχοντας τον κώδικα στην κεντρική μονάδα του βραχίονα, αυτή τον εκτελεί, γίνεται η κίνηση του άκρου του ρομπότ στα προκαθορισμένα σημεία και δημιουργείται η συγκόλληση (Σχήμα 8.8). Σχήμα 8.7: Διαδρομή κατεργασίας συγκόλλησης. - 100 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση Η εφαρμογή του οff line προγραμματισμού, σε συνδυασμό με τη χρήση συστήματος CAD, για εκτέλεση καινούργιας κατεργασίας, μειώνει σημαντικά το χρόνο θέσεως του βιομηχανικού ρομπότ εκτός λειτουργίας. Εκτός από τα παραπάνω, παρόλο που ο αναπτυγμένος αλγόριθμος κρύβει υψηλό επίπεδο προγραμματισμού, η εφαρμογή είναι εύχρηστη, απλή και γρήγορη στη Παράμετρος Μέθοδος συγκόλλησης Τιμή Μονάδες Χαρακτηριστικά Ένταση ρεύματος 120 A Συνεχές ρεύμα Τάση τόξου 21 V Παροχή σύρματος 7,6 m/min Ταχύτητα συγκόλλησης 3 mm/s Ροή αερίου 20 l/min Αργό Συγκόλληση με αδρανές αέριο (MIG) Διάμετρος σύρματος 0,8 mm Υλικό: Κράμα χάλυβα Πρόβολος σύρματος 15 mm Πάχος ελάσματος 4 mm Υλικό: Κράμα χάλυβα Μήκος συγκόλλησης 100 mm Γωνίες προσανατολισμού ηλεκτροδίου Πίνακας 8.1: Τεχνικά χαρακτηριστικά συγκόλλησης. Σχήμα 8.8: Εφαρμογή σε πραγματικό περιβάλλον εργασίας του βραχίονα. - 101 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση χρήση της, κάνοντας την διαδικασία παραγωγής πολύ αποδοτικότερη. Το αναπτυχθέν λογισμικό off line προγραμματισμού για τον ρομποτικό βραχίονα RV6, ως εφαρμογή Η/Υ αναλύεται εκτενέστερα στην ενότητα 8, όπου παρουσιάζονται τόσο ο τρόπος λειτουργίας του όσο και τα εργαλεία που διαθέτει. 8.6. Εφαρμογή σε Η/Υ (RV6 Simulator) Για την δημιουργία ενός διαύλου επικοινωνίας της μαθηματικής διατύπωσης του μοντέλου με ένα σύγχρονο και ισχυρό λογισμικό γραφικής απεικόνισης, μέσω ενός συστήματος για τον off line προγραμματισμό ρομποτικών βραχιόνων, αναπτύχθηκε μια εύχρηστη και λειτουργική εφαρμογή σε H/Y /12,136,137,138/, η οποία συμπεριέλαβε το μοντέλο γραφικής απεικόνισης, τις διαδικασίες ελέγχου και τα εργαλεία βελτιστοποίησης, που αναπτύχθηκαν και παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες ενότητες. Η ανάπτυξη της φόρμας επικοινωνίας έγινε σε Visual Basic /118,119/, με ταυτόχρονη χρήση ρουτινών υπολογισμού και επίλυσης της Visual Fortran /120/, καθώς και των εργαλείων γραφικής απεικόνισης και προγραμματισμού του SolidWorks /122/. Στον χρήστη του λογισμικού δεν γίνεται εμφανές το μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται, ούτε οι ρουτίνες επίλυσης που έχουν αναπτυχθεί. Αυτό που χρειάζεται ο χρήστης να έχει στα χέρια του είναι μια εφαρμογή, που θα είναι εύχρηστη και παραστατική αναφορικά με τις διαθέσιμες λειτουργίες της, ακολουθώντας τους γενικούς κανόνες εφαρμογών σε Η/Υ, καθώς και παραγωγική ως προς το αποτέλεσμα, στοχεύοντας πάντα στη βέλτιστη χρήση των δυνατοτήτων και επιλογών του ρομπότ, εξασφαλίζοντας έτσι την μέγιστη απόδοση της διαδικασίας off line χειρισμού του βραχίονα. Η αναπτυχθείσα εφαρμογή βρίσκεται σε άμεση διασύνδεση με το λογισμικό γραφικής απεικόνισης, ώστε ο χειριστής του να έχει ανάδραση των εντολών που δίνει στο σύστημα, μέσω ενός γραφικού περιβάλλοντος, όπως χαρακτηριστικά παρουσιάζεται στο σχήμα 8.9. Το SolidWorks, ως λογισμικό γραφικής απεικόνισης, δίνει τη δυνατότητα ελέγχου των λειτουργιών του, μέσω εντολών από διάφορες γλώσσες προγραμματισμού (SolidWorks API). Υπάρχει μια εκτενής δομή, η οποία ελέγχεται πλήρως από αυτές τις εντολές, δίνοντας έτσι πρόσβαση για ανάγνωση και καθορισμό στοιχείων, σχετικά με τα σχεδιασμένα αντικείμενα. H κύρια φόρμα του προγράμματος (Σχήμα 8.9), σε συνδυασμό με τις βοηθητικές (Σχήμα 8.10 και σχήμα 8.11), περιλαμβάνει χειριστήρια και εργαλεία για την διαχείριση του ευθέως και αντιστρόφου προβλήματος, για την αποθήκευση και χειρισμό των τελικών επιθυμητών θέσεων, καθώς και για την άντληση δεδομένων (όπως συντεταγμένες σημείων, κορυφών, ακμών, κτλ) από την γραφική προσομοίωση του βραχίονα και του χώρου εργασίας του. Επίσης, ενσωματώνονται λειτουργίες γραφικής προσομοίωσης κίνησης με χρήση παρεμβαλλόμενων σημείων, όπως και αυτόματης παραγωγής του NC κώδικα. Επιπλέον, στις διαδικασίες βελτιστοποίησης περιλαμβάνεται αυτή που αφορά στην σχετική τοποθέτηση μεταξύ βάσης - 102 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση Σχήμα 8.9: Βασική φόρμα διαχείρισης off line συστήματος με την ενεργή βάση σημείων των επιθυμητών θέσεων κατεργασίας, σε άμεση σύνδεση με το γραφικό μοντέλο του βραχίονα. βραχίονα και κατεργαζόμενου τεμαχίου, που συνδυάζει εργαλεία αξιολόγησης των προκαθορισμένων θέσεων κατεργασίας, καθώς και γραφικής απεικόνισης των βελτιστοποιημένων λύσεων. Όλες οι λειτουργίες βασίζονται σε παραμετρικό έλεγχο, με χρήση φόρμας παραμέτρων (options) που δίνει την δυνατότητα διαχείρισης και καθορισμού των λειτουργιών, με βάση τις απαιτήσεις του χρήστη. Οι φόρμες, μέσω των οποίων ο χειριστής ελέγχει τα εργαλεία και τις λειτουργίες που αναπτύχθηκαν και προαναφέρθηκαν, είναι οι εξής: - Φόρμα των τελικών θέσεων κατεργασίας (Points Base), στην οποία περιλαμβάνονται όλες οι τοποθετήσεις (X, Y, Z) και γωνίες προσανατολισμού (A, B, C) του άκρου, στις οποίες επιθυμεί ο χειριστής να εκτελεστεί μια ορισμένη εργασία (βλ. σχήμα 8.9). Για κάθε θέση εμφανίζεται τόσο η τοποθέτηση του άκρου, όσο και οι τιμές των γωνιών των αρθρώσεων, το μέτρο ευχρηστίας w του συγκεκριμένου σχηματισμού, καθώς και επιλογές για να προσδιορίσει ο χρήστης αν το σημείο αποτελεί βοηθητικό σημείο ή σημείο συγκόλλησης. - Φόρμα ανάκτησης δεδομένων από το μοντέλο γραφικής απεικόνισης του βραχίονα (Read Points). Υποστηρίζει γεωμετρικές οντότητες όπως σημεία, κορυφές και ακμές κάθε γεωμετρίας, ενώ έχει δυνατότητα παρεμβολής παραμετρικού πλήθους σημείων σε κάθε μορφή καμπύλης (βλ. σχήμα 8.10-a). Ελέγχει την συνέχεια μεταξύ των επιλογών του χρήστη, ενώ μετά από κατάλληλη επεξεργασία, τα σημεία εισάγονται ως σημεία της φόρμας των τελικών θέσεων κατεργασίας. - 103 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση Σχήμα 8.10: Βοηθητικές φόρμες διαχείρισης off line συστήματος, με εργαλεία: (a) ανάκτησης δεδομένων από το μοντέλο γραφικής απεικόνισης του βραχίονα, (b) αντιστρόφου και ευθέως χειρισμού του βραχίονα - Φόρμα ευθέως και αντίστροφου χειρισμού του βραχίονα (Navigation), με έλεγχο του μέτρου ευχρηστίας και των επιτρεπόμενων τιμών των αρθρώσεων και ταυτόχρονη δυνατότητα εισαγωγής της επιτευχθείσας τοποθέτησης στα σημεία της φόρμας των τελικών θέσεων κατεργασίας (βλ. σχήμα 8.10-b). - Φόρμα βελτιστοποίησης της σχετικής τοποθέτησης βραχίονα-τεμαχίου (Optimization) με χρήση του υβριδικού αλγορίθμου, που παρουσιάστηκε παραπάνω και με δυνατότητα επιλογής του τεμαχίου εργασίας, των θέσεων κατεργασίας που θα συνυπολογιστούν στην βελτιστοποίηση και πλήθους παραμέτρων του αλγορίθμου βελτιστοποίησης (βλ. σχήμα 8.11-a). Επίσης, τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης, δύναται να παρουσιασθούν γραφικά στο λογισμικό γραφικής απεικόνισης του Solidworks. - Φόρμα δημιουργίας νέφους σημείων (Point Clouds) για τα μέλη του βραχίονα και τα εμπόδια του χώρου εργασίας (βλ. σχήμα 8.11-b). Αποτελεί ενδιάμεσο βήμα για την βελτιστοποίηση της διαδρομής κίνησης του βραχίονα, μια και ο αλγόριθμος βελτιστοποίησης, για την αποφυγή της σύγκρουσης, προϋποθέτει την αναπαράσταση των κινούμενων μελών και των εμποδίων από νέφος σημείων. Τα αποτελέσματα της βελτιστοποιημένης διαδρομής, βάση της μεθοδολογίας που προτείνεται, δύνανται να προσομοιωθούν ή ακόμα και να αποτελέσουν σημεία της διαδρομής για τον NC κώδικα με την εισαγωγή τους στην αρχική - 104 -
8. Off line προγραμματισμός και προσομοίωση Σχήμα 8.11: Βοηθητικές φόρμες διαχείρισης off line συστήματος, με εργαλεία: (a) βελτιστοποίησης της σχετικής τοποθέτησης βραχίονα-τεμαχίου. (b) δημιουργίας νέφους σημείων για μέλη και εμπόδια. φόρμα της εφαρμογής. Επιπρόσθετα, δίνεται η δυνατότητα ελέγχου σύγκρουσης στους σχηματισμούς που αποτελούν την αναπτυσσόμενη διαδρομή, με χρήση αποκλειστικά των αναπτυχθέντων νεφών σημείων. Επιπλέον των βασικών φορμών διαχείρισης, διατίθενται οι κλασικές λειτουργίες δημιουργίας, αποθήκευσης και ανάκτησης αρχείων θέσεων κατεργασίας, μέσω ενός εύχρηστου και λειτουργικού περιβάλλοντος. Οι διαδικασίες προσομοίωσης κίνησης, παρεμβολής σημείων σε επίπεδο καρτεσιανών συντεταγμένων ή σε επίπεδο αρθρώσεων και αυτόματης δημιουργίας NC-κώδικα υποστηρίζονται από ανεξάρτητες φόρμες, με επιπλέον χαρακτηριστικά και λειτουργίες. Η παραμετρική διαχείριση των λειτουργιών, που υποστηρίζει η αναπτυχθείσα εφαρμογή, απαιτεί την χρήση διαφόρων φορμών επιλογών, μέσω των οποίων ο χειριστής καθορίζει παραμέτρους, όπως το πλήθος των παρεμβαλλόμενων σημείων ανά μορφή καμπύλης, τις συντεταγμένες του άκρου κατεργασίας (TCP), τα ελεγχόμενα προς σύγκρουση μέλη του βραχίονα, τις παραμέτρους βελτιστοποίησης του υβριδικού αλγορίθμου για την σχετική τοποθέτηση βραχίονα και κατεργαζόμενου τεμαχίου και πλήθος άλλων παραμέτρων. - 105 -
9. Σύνοψη και συμπεράσματα 9. Σύνοψη και συμπεράσματα Οι ανάγκες της σύγχρονης βιομηχανίας κατασκευών, για μειωμένο κόστος και υψηλή ποιότητα προϊόντων στον ελάχιστο δυνατό χρόνο παραγωγής, επιβάλλουν τη μέγιστη χρήση ρομποτικών συστημάτων υψηλών δυνατοτήτων. Προϋπόθεση βέβαια αποτελεί η βέλτιστη χρήση τους, που θα εξασφαλίζει την μέγιστη απόδοσή τους. Η παρούσα εργασία πραγματεύτηκε διάφορες ενότητες αναφορικά με τον τρόπο χρήσης των ρομποτικών βραχιόνων, στοχεύοντας στην ανάπτυξη μεθοδολογιών βελτιστοποίησης και κατ επέκταση στην μεγιστοποίηση της απόδοσής τους. Η όλη προσέγγιση, όπως αποδείχθηκε στην πορεία της, αποτέλεσε μια πολυδιάστατη και σύνθετη διαδικασία, η οποία συνδύαζε την ουσιαστική και αποτελεσματική ανάπτυξη μοντέλων, την ταυτόχρονη μαθηματική διατύπωσή τους, με την εφαρμογή τους σε πραγματικό πρόβλημα, μέσω ενός εύχρηστου παραμετρικού περιβάλλοντος. Τα αντικείμενα, στα οποία επικέντρωσε την δραστηριότητά της η παρούσα εργασία, αφορούν αρχικά στην ανάπτυξη μοντέλου προσομοίωσης για ρομποτικό βραχίονα, καθώς και περιβάλλοντος off line προγραμματισμού και ελέγχου του, με αυτοματοποιημένες διαδικασίες χειρισμού. Με παράλληλη χρήση αυτού του μοντέλου προσομοίωσης, αναπτύχθηκαν μεθοδολογίες και επετεύχθησαν ουσιαστικά αποτελέσματα βελτιστοποίησης σε προβλήματα που άπτονται της χρήση ρομποτικών βραχιόνων. Αναφορικά, αυτά περιλαμβάνουν τον προσδιορισμό της επιθυμητής γεωμετρίας του ρομποτικού βραχίονα, την βέλτιστη σχετική τοποθέτηση του βραχίονα ως προς τις επιθυμητές θέσεις του άκρου κατεργασίας με ταυτόχρονη βελτιστοποίηση της αλληλουχίας των κατεργασιών, καθώς και την βελτιστοποίηση της διαδρομής κίνησης μεταξύ δύο διαδοχικών θέσεων κατεργασίας. Εν συνεχεία συνοψίζονται τα αποτελέσματα σε αυτές τις επιμέρους περιοχές. Αναφορικά με τα εργαλεία βελτιστοποίησης, στα πλαίσια της παρούσας εργασίας αναπτύχθηκαν νέοι υβριδικοί αλγόριθμοι, που συνδυάζουν δύο ή τρεις μεθοδολογίες κατά περίπτωση, με σκοπό την εκμετάλλευση μόνο των πλεονεκτημάτων των επί μέρους διαδικασιών. Ο κλασικός γενετικός αλγόριθμος (στοχαστική μέθοδος) με δυαδική κωδικοποίηση, επιλέχθηκε και λειτουργεί ως εναρκτήριο βήμα για την υβριδική μεθοδολογία, έχοντας ως πλεονέκτημα την αναζήτηση σε όλο τον χώρο των δυνατών λύσεων. Εν συνεχεία ενεργοποιείται μια μέθοδος κλίσεων quasi-newton (ντετερμινιστική μέθοδος), η οποία βασιζόμενη σε απειροστικό λογισμό προσδιορίζει το τοπικό ελάχιστο στην περιοχή του, προερχόμενου από τον γενετικό αλγόριθμο, διανύσματος μεταβλητών. Ενίοτε, στον υβριδικό αλγόριθμο συνδυάζεται και μέθοδος περιορισμού των ορίων των μεταβλητών, για ταχύτερη αναζήτηση σε ορισμένη μόνο περιοχή των δυνατών λύσεων. - 106 -
9. Σύνοψη και συμπεράσματα Η γενική μορφή αυτού του υβριδικού αλγορίθμου μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πρόβλημα, και όχι μόνο σε προβλήματα Ρομποτικής, αρκεί να αφορά βελτιστοποίηση μεγεθών εξαρτώμενα από μεταβλητές ορισμένων ορίων. Ήδη έχουν πραγματοποιηθεί έλεγχοι σε προβλήματα σύνθεσης νεφών σημείων, διαφόρων μετρήσεων ενός μοντέλου, με πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα. Στην περιοχή της Ρομποτικής, τα προβλήματα στα οποία εφαρμόστηκε ο υβριδικός αλγόριθμος, αναλύονται ακολούθως. Αναλύθηκε μαθηματικά και προσδιορίσθηκαν βέλτιστες λύσεις στο πρόβλημα του καθορισμού των γεωμετρικών χαρακτηριστικών ενός βραχίονα, καθώς ταυτόχρονα και του προσδιορισμού της βέλτιστης τοποθέτησής του, όταν έχουν προκαθορισθεί ένα πλήθος διακριτών επιθυμητών τελικών θέσεων ή ομάδες τελικών θέσεων. Κριτήριο βελτιστοποίησης αποτέλεσε η τοποθέτηση του άκρου, ενώ ταυτόχρονα με την εκλογή βραχίονα επιλύθηκε και το αντίστροφο πρόβλημα, για κάθε έναν εκ των σχηματισμών του βραχίονα. Αναλύθηκε και επιτεύχθηκαν βέλτιστες λύσεις στο πρόβλημα του προσδιορισμού της σχετικής τοποθέτησης μεταξύ του βραχίονα γνωστής γεωμετρίας και του τεμαχίου κατεργασίας, στο οποίο έχουν προκαθορισθεί είτε ένα πλήθος διακριτών θέσεων κατεργασίας, είτε ένα πλήθος ομαδοποιημένων, γειτονικών μεταξύ τους, σημείων. Οι βελτιστοποιήσεις πραγματοποιήθηκαν με κριτήρια την τοποθέτηση του άκρου σε σχέση με τις προκαθορισμένες θέσεις κατεργασίας, το μέτρο ευχρηστίας του βραχίονα, την αλληλουχία προσέγγισης των επιθυμητών θέσεων σε συνδυασμό με τον συνολικό απαιτούμενο χρόνο κίνησης μεταξύ τους. Για μια δεδομένη γεωμετρία βραχίονα και γνωστή τοποθέτηση της βάσης του, προσδιορίσθηκε η βέλτιστη διαδρομή κίνησης μεταξύ των θέσεων κατεργασίας, απαλλαγμένη από συγκρούσεις των μελών του ρομπότ με εμπόδια του χώρου εργασίας. Κριτήρια βελτιστοποίησης αποτέλεσαν ο συνολικός χρόνος κίνησης, το μέτρο ευχρηστίας του βραχίονα στις ενδιάμεσα παρεμβαλλόμενες θέσεις και φυσικά η αποφυγή της σύγκρουσης. Για κάθε μια εκ των παρεμβαλλόμενων θέσεων, επιλύθηκε ταυτόχρονα και το αντίστροφο πρόβλημα. Σχετικά με την ανάπτυξη της περιγραφής του μοντέλου προσομοίωσης, διατυπώθηκε ένα μαθηματικό μοντέλο ευθείας και αντίστροφης κινηματικής, βασιζόμενο στην παράσταση Denavit-Hartenberg και σε ομογενή μητρώα μετασχηματισμού. Η δημιουργία διαύλου επικοινωνίας της μαθηματικής διατύπωσης του μοντέλου με ένα σύγχρονο και ισχυρό λογισμικό γραφικής απεικόνισης, για το οποίο δεν προαπαιτείται να διαθέτει εξειδικευμένα εργαλεία για ρομπότ, έδωσε την δυνατότητα της δημιουργίας μιας βάσης για την ανάπτυξη ενός συστήματος για τον off line προγραμματισμό ρομποτικών βραχιόνων. Πάνω σε αυτή τη βάση, αναπτύχθηκαν εργαλεία για τον ευθύ και αντίστροφο κινηματικό έλεγχο του βραχίονα, την γραφική προσομοίωση της κίνησης των μελών του, με ταυτόχρονους γραφικούς ελέγχους αποφυγής σύγκρουσης, αποφυγής θέσεων ιδιομορφίας (singularities) και λειτουργίας εντός των - 107 -
9. Σύνοψη και συμπεράσματα αποδεκτών γωνιών των αρθρώσεων. Πέραν αυτών των ελέγχων, οι διαδικασίες βελτιστοποίησης που αναπτύχθηκαν, εντάχθηκαν ως τμήματα του συστήματος off line προγραμματισμού δημιουργώντας ένα ισχυρό και ολοκληρωμένο λογισμικό με εργαλεία βελτιστοποίησης που λείπουν από τα εμπορικά λογισμικά CAD. Με σκοπό την άμεση εκτέλεση των off line ελεγχθέντων και προσομοιωμένων στο μοντέλο διαδικασιών, αναπτύχθηκε σύστημα αυτόματης παραγωγής κώδικα NC για την τροφοδοσία του βραχίονα. Το σύστημα off line προγραμματισμού ελέγχεται μέσω μιας εύχρηστης και λειτουργικής εφαρμογής σε H/Y, ενώ δύναται να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε βραχίονα, γνωστής ανοικτής κινηματικής αλυσίδας. Άρα, έχοντας προσδιορίσει την γεωμετρία του βραχίονα, την τοποθέτηση του και την ελεύθερη από συγκρούσεις διαδρομή κίνησης μεταξύ των θέσεων κατεργασίας, προτείνεται μια ολοκληρωμένη προσέγγιση στο γενικό πρόβλημα της βέλτιστης χρήσης ρομποτικών βραχιόνων. Σε συνδυασμό με το σύστημα off line προγραμματισμού που αναπτύχθηκε και την εφαρμογή σε Η/Υ, που λειτουργεί ως δίαυλος επικοινωνίας του με τον χρήστη, επιτυγχάνεται μια ολοκληρωμένη μεθοδολογία για τον βέλτιστο χειρισμό ρομποτικών βραχιόνων. Επιπρόσθετα, στους τομείς που διερευνήθηκαν προέκυψαν νέα πεδία με μεγάλο ερευνητικό ενδιαφέρον, για διεξαγωγή διδακτορικών διατριβών από νέους ερευνητές. - 108 -
10. Βιβλιογραφία 10. Βιβλιογραφία 1. Κ.-Δ. Μπουζάκης, Ανάλυση και σύνθεση μηχανισμών, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 2006. 2. Σ. Μήτση, Χωρικοί μηχανισμοί βιομηχανικά ρομπότ, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, 1995. 3. Δ. Εμίρης, Ρομποτική, Εκδόσεις Άνωση, Αθήνα, 1999. 4. Κ.-Δ. Μπουζάκης, Μορφοποιήσεις με αφαίρεση υλικού, β έκδοση, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 2001. 5. Κ.-Δ. Μπουζάκης, Μορφοποιήσεις με πλαστική παραμόρφωση υλικού, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 2000. 6. Ph.J. McKerrow, Introduction on robotics, Addison Wesley Publishing Company, Wokingham, 1993. 7. L.W. Tsai, Robot Analysis: The mechanics of serial and parallel manipulators, John Wiley and Sons Inc., New York, 1999. 8. J.J. Craig, Introduction to robotics, mechanics and control, Addison-Wesley, Reading, 1986. 9. F.L. Lewis et.al, Mechanical engineering handbook Robotics, Ed. Frank Kreith, Boca Raton, CRC Press LLC, 1999. 10. J. Denavit, R.S. Hartenberg, A kinematic notation for lower pair mechanisms based on matrices, ASME Journal of Applied Mechanisms, Ε 22, pp.215-221, 1955. 11. S.M. Megahed, Principles of robot modeling and simulation, John Willey & Sons, New York, 1993. 12. Δ. Σαγρής, Ανάπτυξη λογισμικού για τον off line προγραμματισμό του βιομηχανικού βραχίονα RV6, Διπλωματική εργασία (13-2001), Ε.Ε.Δ.Μ, Α.Π.Θ., 2001. 13. J. Hollingum, Simulation, calibration and off line programming, Industrial Robot, Vol. 21, No. 5, pp.20-21, 1994. 14. G. Wittenberg, Developments in off line programming: an overview, Industrial Robot, Vol. 22, No. 3, pp.21-23, 1995. 15. B. Rooks, Off line programming: a success for the automotive industry, Industrial Robot, Vol. 24, No. 1, pp.30-34, 1997. 16. R. Bernhardt, Approaches for commissioning time reduction, Industrial Robot, Vol. 24, No. 1, pp.62-71, 1997. - 109 -
10. Βιβλιογραφία 17. M. Prinz, H.C. Liu, B.O. Nnaji, T. Lueth, From CAD-based kinematic modeling to automated robot programming, Robotics and Computer Integrated Manufacturing, Vol. 12, No. 1, pp.99-109, 1996. 18. T. Sobh, A.A. Abuzneid, R. Mihali, A PC-based simulator/controller/monitor software for a generic 6-DOF manipulator, Journal of Intelligent and Robotic Systems, Vol. 31, pp.355-377, 2001. 19. K.S. Hong, K.H. Choi, J.G. Kim, S. Lee, A PC-based open robot control system: PC- ORC, Robotics and Computer Integrated Manufacturing, Vol. 17, pp.355-365, 2001. 20. L. Zlajpah, Integrated environment for modelling, simulation and control design for robotic manipulators, Journal of Intelligent and Robotic Systems, Vol. 32, pp.219-234, 2001. 21. X.F. Zha, H. Du, Generation and simulation of robot trajectories in a virtual CAD-based off line programming environment, International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Vol. 17, pp.610-624, 2001. 22. Y. Nakamura, Advanced robotics, redundancy and optimization, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts, 1991. 23. Γρ. Τσάγκας, Γραμμική άλγεβρα με στοιχεία άλγεβρας και αναλυτικής γεωμετρίας, Εκδόσεις Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη, 1989. 24. Στ. Ανδρεαδάκη, Μαθηματικά θετικής κατεύθυνσης Γ τάξης ενιαίου λυκείου, Έκδοση Ο.Ε.Δ.Β., 2005. 25. Γρ. Τσάγκας, Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός μιας μεταβλητής, Εκδόσεις Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη, 1989. 26. A. Jajszczyk, R. Wojcik, The enumeration method for selecting optimum switching network structures, IEEE Communications Letters, Vol. 9, No. 1, pp.64-65, 2005. 27. R. Fletcher, Practical methods of optimization, John Wiley & Sons, Chichester, 1987. 28. J. Nocedal, S. J. Wright, Numerical optimization, Springer series in operations research, Springer-Verlag, New York, 1999. 29. D.P. Bertsekas, Constrained optimization and Lagrange multipliers methods, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts, 1996. 30. G.V. Reklaitis, A. Ravindran, Κ.Μ. Ragsdell, Engineering optimization - methods & applications, John Wiley & Sons, 1983. 31. M.J. Box, A method of constrained optimization and comparison with other methods, Computer Journal, Vol. 8, pp.42-45, 1965. 32. T. Baeck, Evolutionary algorithms in theory and practice, Oxford University Press, 1996. - 110 -
10. Βιβλιογραφία 33. H.P. Schwefel, Evolution & optimum seeking, John Wiley & Sons, Inc., 1995. 34. Τ. Baeck, Η.P. Schwefel, An overview of evolutionary algorithms for parameter optimization, Evolutionary Computation, Vol. 1, No. 1, pp.1-23, 1993. 35. Z. Michalewicz, Genetic algorithms + data structures = evolution programs, Springer- Verlag, 3 rd edition, New York, 1996. 36. D. Coley, An introduction to genetic algorithms for scientists and engineers, World Scientific Press, 1999. 37. V. Gordon, D. Whitley, Serial and parallel genetic algorithms as function optimizers, proceedings of the 5 th international conference on genetic algorithms, San Mateo CA, pp.177-183, 1993. 38. C. Karr, M. Freeman, Industrial application of genetic algorithms, CRC Press LLC, 1999. 39. C.Z. Janikow, Z. Michalewicz, An experimental comparison of binary and floating point representations in genetic algorithms, in Procedings of the 4th International Conference on Genetic Algorithms, Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Mateo, CA, pp.31-36, 1991. 40. A.I. Oyman, H.P. Schwefel, H.G. Beyer, Analysis of the (1,λ)-ES on the parabolic curve, Evolutionary computation, Vol. 8, No. 3, pp.249-265, MIT press, 2000. 41. J.E. Rowe, M.D. Vose, A.H. Wright, Group properties of crossover and mutation, Evolutionary computation, Vol. 10, No. 2, pp.151-184, MIT Press, 2002. 42. Α. Agapie, Theoretical analysis of mutation-adaptive evolutionary algorithms, Evolutionary computation, Vol. 9, No. 2, pp.127-146, MIT Press, 2001. 43. L. Zhang, G. Subbarayan, An evaluation of back-propagation neural networks for the optimal design of structural systems. I. training procedures, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 191, pp.2873-2886, 2002. 44. J.L. Marcelin, A metamodel using neural networks and genetic algorithms for an integrated optimal design of mechanisms, Intenational Journal of Advanced Manufacturing Technology, Vol.24, pp.708-714, 2004. 45. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, L. Misopolinos, D. Milutinovic, Workspace and manipulability optimization with genetic algorithms of a 3-DOF spatial parallel mechanism used in machining processes, Proceedings of the 2 nd international conference on manufacturing engineering ICMEN, October 5-7, ZITI publications, Thessaloniki-Greece, pp.363-372, 2005. 46. A. Oyman, K. Deb, H.G. Beyer, An alternative constraint handling method for evolution strategies, Proceedings of the Congress on Evolutionary Computation, IEEE Press, Vol. 1, pp.612-620, 1999. - 111 -
10. Βιβλιογραφία 47. Y.J. Cao, Q.H. Wu, Mechanical design optimization by mixed-variable evolutionary programming, Editors: Th. Bäck, Z. Michalewicz, X. Yao, Proceedings of the International Conference on Evolutionary Computation, IEEE, Indianapolis, Indiana, pp.443-446, 1997. 48. S. Carlson, A general method for handling constraints in genetic algorithms. Proceedings of the 2nd Annual Joint Conference on Information Science; pp.663-667, 1995. 49. Z. Michalewicz, Genetic algorithms, numerical optimization and constraints. Proceedings of 6 th International Conference on Genetic Algorithms, Pittsburgh, July 15-19, 1995. 50. K. Abdel-Malek, W. Yu, On the placement of serial manipulator, Proceedings of DETC00 2000 ASME Design Engineering Technical Conferences, Baltimore, pp. 1-8, 2000. 51. J. Angeles, Fundamentals of robotic mechanical systems. Theory, methods and algorithms, 2 nd edition, Springer-Verlag, New York, 2002. 52. A. Perez, M.J. McCarthy, Dimensional synthesis of spatial RR robots, Advances in Robot Kinematics (J. Lenarcic, M.M. Stanisic, eds.), Kluwer Academic Publications, Netherlands, pp.93-102, 2000. 53. C. Mavroidis, E. Lee, M. Alam, A new polynomial solution to the geometric design problem of the spatial R-R robot manipulators using the Denavit-Hartenberg parameters, Transactions of the ASME, Journal of Mechanical Design, Vol. 123, pp.58-67, 2001. 54. E. Lee, C. Mavroidis, Geometric design of spatial PRR manipulators, Mechanism and Machine Theory, Vol. 39, pp.395-408, 2004. 55. A. Perez, M.J. McCarthy, Geometric design of RRP, RPR and PRR serial chains, Mechanism and Machine Theory, Vol. 40, pp.1294-1311, 2005. 56. J.R. Singh, J. Rastegar, Optimal synthesis of robot manipulators based on global kinematic parameters, Mechanism and Machine Theory, Vol. 30, No. 4, pp.569-580, 1995. 57. J.A. Pamanes, J.P. Montes, E. Cuan, F.C. Rodriguez, Optimal placement and synthesis of a 3R manipulator, International symposium on robotics and automation (ISRA 2000), Monterrey, Mexico, 2000. 58. B. Sivaraman, T.F. Burks, J.K. Schueller, Using modern robot synthesis and analysis tools for the design of agricultural manipulators, Agricultural Engineering International: the CIGR, Invited Overview Paper, Vol. 8, No. 2, 2006. 59. P.R. Bergamaschi, A.C. Nogueira, F.P. Saramago, Design and optimization of 3R manipulators using the workspace features, Applied Mathematics and Computation, No.172, pp.439-463, 2006. 60. M. Ceccarelli, C. Lanni, A multi-objective optimum design of general 3R manipulators for prescribed workspace limits, Mechanism and Machine Theory, Vol.39, pp.119-132, 2004. - 112 -
10. Βιβλιογραφία 61. J.A. Pamanes, S. Zeghloul, Optimal placement of robotic manipulators using multiple kinematic criteria. Proceedings of the IEEE Conference on Robotics and Automation; pp.933-938, 1991. 62. S. Zeghloul, J. A. Pamanes, Multi-criteria optimal placement of robots in constrained environments. Robotica, Vol.11, Part 1, pp.105-110, 1993. 63. B. Nelson, K. Pedersen, M. Donath, Locating assembly tasks in a manipulator s workspace, Proceedings of the IEEE Conference on Robotics and Automation, pp.1367-1372, 1987. 64. S.L. Chiu, Task compatibility of manipulator postures, International Journal of Robotics Research, Vol.7, No.5, pp.13-21, 1988. 65. H. Seraji, Reachability analysis for base placement in mobile manipulator, Journal of Robotic Systems, Vol.1, No.12, pp.29-43, 1995. 66. B. Tabarah, B. Benhabib, R. Fenton, R. Cohen, Cycle-time optimization for single-arm and two-arm robots performing continuous path operation, 21 st Biennial mechanisms conference, Chicago, pp.401-406, 1990. 67. J.T. Feddema, Kinematically optimal robot placement for minimum time coordinated motion, Proceedings of the 1996 IEEE Int. Conf. of Robotics and Automation, Minneapolis, pp.3395-3400, 1996. 68. D. Barral, J.P. Perrin, E. Dombre, A. Liegeois, Development of optimization tools in the context of an industrial robotic CAD software product, International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Vol.15, pp.822-831, 1999. 69. L. Tian, C. Collins, Optimal placement of a two-link planar manipulator using a genetic algorithm. Robotica, Vol.23, pp.169 176, 2005. 70. D. Hsu, J.C. Latombe, S. Sorkin, Placing a robot manipulator amid obstacles for optimized execution, Proceedings IEEE International Symposium on Assembly and Task Planning, pp.280-285, 1999. 71. T. Yoshikawa, Manipulability of robotic mechanisms, International Journal of Robotics Research, Vol.4, No.2, pp.3-9, 1985. 72. L. Baron, A genetic algorithm for computing the real solutions of the inverse kinematics of serial manipulators, Proc. IFToMM 99, 10 th World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms, pp.1-6, 1999. 73. P. Karla, P.B. Mahapatra, D.K. Aggarwal, An evolutionary approach for solving the multimodal inverse kinematics problem of industial robots, Mechanism and Machine Theory, Vol.41, pp.1213-1229, 2006. - 113 -
10. Βιβλιογραφία 74 F. Chapelle, Ph. Bidaud, Closed form solutions for inverse kinematics approximation of general 6R manipulators, Mechanism and Machine Theory, Vol.39, pp.323-338, 2004. 75 A. Nearchou, Solving the inverse kinematics problem of redundant robots operating in complex environments via a modified genetic algorithm, Mechanism and Machine Theory, Vol.33, No.3, pp.273-292, 1998. 76. P.Th. Zacharia, N.A. Aspragathos, Optimal robot task scheduling based on genetic algorithms, Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, Vol.21, pp.67-79, 2005. 77 A. Deo, I. Walker, Minimum effort inverse kinematics for redundant manipulators, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol.13, No.5, pp.767-775, 1997. 78 S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, G. Mansour, Optimization of robot links motion in inverse kinematics solution considering collision avoidance and joint limits, Mechanism and Machine Theory, Vol.30, No.5, pp.653-663, 1995. 79. Z. Mao, T.C. Hsia, Obstacle avoidance inverse kinematics solution of redundant robots by neural networks, Robotica, Vol.15, pp.3-10, 1997. 80. J.M. Ahuactzin, K. Gupta, A motion planning based approach for inverse kinematics of redundant robots: the kinematic roadmap, Expert Systems with Applications, Vol.14, pp.159-167, 1998. 81. M. Ceccarelli, Fundamentals of mechanics of robotic manipulation, series: Microprocessor-based and intelligent systems engineering, Vol.27, Editor: S. Tzafestas, Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 2004. 82. A. Meystel, A. Guez, G. Hillel, Minimum time path planning for robot motion in obstacle strewn environment, ACM annual computer science conference, ACM Press, pp.367-376, 1986. 83. W. Zhang, T.M. Sobh, Obstacle avoidance for manipulators, Systems Analysis Modelling Simulation, Vol.43, No.6, pp.749-757, 2003. 84. F.Y. Shih, Y.T. Wu, Three-dimensional euclidean distance transformation and its application to shortest path planning, Pattern Recognition, Vol.37, No.1, pp.79-92, 2004. 85. J. Vörös, Low-cost implementation of distance maps for path planning using matrix quadtrees and octrees, Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, Vol.17, No.6, pp.447-459, 2001. 86. Y. Ting, W.I. Lei, H.C. Jar, A path planning algorithm for industrial robots, Computers & Industrial Engineering, Vol. 42, pp.299-308, 2002. 87. L. Wu, K. Cui, S.B. Chen, Redundancy coordination of multiple robotic devices for welding through genetic algorithm, Robotica, Vol.18, pp.669 676, 1999. - 114 -
10. Βιβλιογραφία 88. T. Shibata, T. Abe, K. Tanie, M. Nose, Motion planning by genetic algorithm for a redundant manipulator using a model of criteria of skilled operators, Information Sciences, Vol.102, No.1, pp.171-186, 1997. 89. X. Zhu, H. Qiao, Obstacle avoidance for kinematically redundant manipulators using polyhedral approximations, Proceedings of the institution of mechanical engineers, part C, Journal of Mechanical Engineering Science, Vol.217, No.5, pp.533-542, 2003. 90. V. Cueva, F. Ramos, Adapting the messy genetic algorithm for path planning in redundant and non-redundant manipulators, Lecture Notes in Computer Science, Vol.2313, Springer-Verlag, London, pp.21-30, 2002. 91. A. Elnagar, A heuristic approach for local path planning in 3D environments, Robotica, Vol.20, pp.281-290, 2002. 92. J. Agirrebeitia, R. Avilés, I.F. Bustos, G. Ajuria, A new APF strategy for path planning in environments with obstacles, Mechanism and Machine Theory, Vol.40, No.6, pp.645-658, 2005. 93. P.G. Zavlangas, S.G. Tzafestas, Industrial robot navigation and obstacle avoidance employing fuzzy logic, Journal of Intelligent and Robotic Systems, Vol.27, No.1-2, pp.85-97, 2000. 94. P. Iniguez, J. Rosell, Efficient path planning using harmonic functions computed on a non-regular grid, Lecture Notes in Computer Science, Vol.2504, Springer Berlin- Heidelberg, pp.345-354, 2002. 95. E. Masehian, M. Amin-Naseri, A Voronoi diagram-visibility graph-potential field compound algorithm for robot path planning, Journal of Robotic Systems, Vol.21, No.6, pp.275-300, 2004. 96. M. Jouaneh, Z. Wang, D. Dornfeld, Trajectory planning for coordinated motion of a robot and a positioning table. I. Path specification, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol.6, No.6, pp.735-745, 1990. 97. A.P. Pashkevich, A.B. Dolgui, K.I. Semkin, Kinematic aspects of a robot-positioner system in an arc welding application, Control Engineering Practice, Vol.11, No.6, pp.633-647, 2003. 98. J.E. Bobrow, D. Dubowsky, J.S. Gibson, Time-optimal control of robotic manipulators along specified paths, The International Journal of Robotics Research, Vol.4, No.3, pp.3-17, 1985. 99. Z. Shiller, H. Chang, V. Wong, The practical implementation of time-optimal control for robotic manipulators, Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, Vol.12, No.1, pp.29-39, 1996. - 115 -
10. Βιβλιογραφία 100. D. Constantinescu, E. A. Croft, Smooth and time-optimal trajectory planning for industrial manipulators along specified path, Journal of Robotic Systems, Vol.17, No.5, pp.233-249, 2000. 101. G. Padro-Castellote, R. H. Cannon, Proximate time-optimal parameterization of robot paths, STAN-ARL-92-88, Stanford University Aerospace Robotics Laboratory, 1992. 102. Z.S. Abo-Hammour, N.M. Mirza, S.M. Mirza, M. Arif, Cartesian path generation of robot manipulators using continuous genetic algorithms, Robotics and Autonomous Systems, Vol.41, No.4, pp.179-223, 2002. 103. T. Chettibi, Synthesis of dynamic motions for robotic manipulators with geometric path constraints, Mechatronics, Vol.16, pp.547-563, 2006. 104. M. Jouaneh, D. Dornfeld, M. Tomizuka, Trajectory planning for coordinated motion of a robot and a positioning table. II. Optimal trajectory specification, IEEE transactions on Robotics and Automation, Vol.6, No.6, pp.746-759, 1990. 105. L. Tian, C. Curtis, An effective robot trajectory planning method using a genetic algorithm, Mechatronics, Vol.14, No.5, pp.455-470, 2004. 106. E.J. Pires, J.A. Machado, P.B. Oliveira, Robot trajectory planning using multi-objective genetic algorithm optimization, Lecture notes in computer science, Vol.3102, Springer Berlin-Heidelberg, pp.615-626, 2004. 107. J.F. Petiot, P. Chedmail, J.Y. Hascoet, Contribution to the scheduling of trajectories in robotics - mathematics, Programming and control, Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, Vol.14, No.3, pp.237-251, 1998. 108. D.Y. Leng, C. Mingyuan, Robot trajectory planning using simulation, Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, Vol.13, No.2, pp.121-129, 1997. 109. F.P. Sezimaria, S. Valder, Optimal trajectory planning of robot manipulators in the presence of moving obstacles, Mechanism and Machine Theory, Vol.35, No.8, pp.1079-1094, 2000. 110. M. Saha, T. Roughgarden, J.C. Latombe, G. Sanchez-Ante, Planning tours of robotic arms among partitioned goals, International Journal of Robotics Research, Vol.25, No.3, pp.207-223, 2006. 111. L. Zlajpah, On time optimal path control of manipulators with bounded joint velocities and torques, In Proceedings IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Minneapolis, 1996. 112. S.F.P. Saramago, M. Ceccarelli, Effect of basic numerical parameters on a path planning of robots taking into account actuating energy, Mechanism and Machine Theory, Vol.39, No.3, pp.247-260, 2004. - 116 -
10. Βιβλιογραφία 113. X.F. Zha, Optimal pose trajectory planning for robot manipulators, Mechanism and Machine Theory, Vol.37, No.10, pp.1063-1086, 2002. 114. F. Valero, V. Mata, A. Besa, Trajectory planning in workspaces with obstacles taking into account the dynamic robot behaviour, Mechanism and Machine Theory, Vol.41, No.5, pp.525-536, 2006. 115. E. Merchan-Cruz, A. Morris, Fuzzy-GA-based trajectory planner for robot manipulators sharing a common workspace, IEEE Transactions on Robotics, Vol.22, No.4, pp.613-624, 2006. 116. Mitsubishi, Industrial micro-robot system RV-M1, Instruction Manual, Mitsubishi Electric Corporation, Nagoya, Japan. 117. Reis, RV-6 robot manual, Reis Gmbh & Co Machinefabrik. 118. Microsoft Corp., Microsoft Visual Basic manual, 1998. 119. Ε. Πετρούτσος, Πλήρες εγχειρίδιο της Visual Basic 6, Εκδόσεις Γκιούρδας, Αθήνα, 1999. 120. Compaq Computer Corp., Compaq Visual Fortran, 2001. 121. IMSL, Fortran subroutines for mathematical applications, Visual Numerics, 1977. 122. SolidWorks, 2006 User s guide manual, SolidWorks Corporation, 2006. 123. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, D. Sagris, G. Mansour, Determination of optimum robot base location considering discrete end-effector positions by means of hybrid genetic algorithm, Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, Elsevier, Vol.24, pp.50-59, 2008. 124. D. Sagris, S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, G. Mansour, 5-DOF robot base location optimization using a hybrid algorithm, Proceedings of the 7th CIRP International Conference on Mechatronics and Precision Engineering of Intelligent Computation in Manufacturing Engineering, COMEFIM 7, Bucharest, pp.103-104, 2004. 125. D. Sagris, S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, G. Mansour, 5-DOF robot base location optimization using a hybrid algorithm, Mecatronica, Vol.1, pp.76-81, 2004. 126. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, D. Sagris, G. Mansour, Optimization of robot base location using a hybrid genetic algorithm, Proceedings of 4th CIRP International Seminar of Intelligent Computation in Manufacturing Engineering, ICME, Sorrento, Italy, pp.139-144, 2004. 127. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, D. Sagris, G. Mansour, A multi-objective optimum robot base placement using a hybrid genetic algorithm, International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Vol.1, pp.709-714, 2005. - 117 -
10. Βιβλιογραφία 128. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, D. Sagris, G. Mansour, A multi-objective optimum robot base placement using a hybrid genetic algorithm, Proceedings of the 2nd International Conference on Manufacturing Engineering ICMEN, October 5-7, ZITI Publications, Thessaloniki-Greece, pp.341-349, 2005. 129. K.-D. Bouzakis, G. Mansour, E. Varitis, D. Sagris, Processing of CMM point clouds by means of genetic algorithm for the solid modeling of parts and NC-code creation, Proceedings of the 2nd international conference on manufacturing engineering ICMEN, October 5-7, ZITI publications, Thessaloniki-Greece, pp.633-642, 2005. 130. D. Sagris, S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, G. Mansour, Geometric design optimization of spatial RR robot manipulator using a hybrid algorithm, Acta Technica Napocensis, Series: Applied Mathematics and Mechanics, Romania, Vol.47, No.2, pp.717-722, 2004. 131. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, D. Sagris, G. Mansour, Geometric design optimization of spatial RR robot manipulator using a hybrid algorithm, Proceedings of the 2nd International Conference on Manufacturing Engineering ICMEN, October 5-7, ZITI Publications, Thessaloniki-Greece, pp.373-380, 2005. 132. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, D. Sagris, G. Mansour, Optimum collision free robot path planning using a hybrid genetic algorithm, International Conference on Manufacturing Systems, ICMS, October 18-19, Iasi-Romania, pp.369-376, 2007. 133. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, G. Mansour, Automatic NC code generation for welding by means of an industrial robot. In: T.C.M.M. (Technologies, Quality, Machines, Materials), Vol. 40, Technical Publishing House, Bucharest, pp.311-316, 2000. 134. Σ. Μήτση, Κ.-Δ. Μπουζάκης, Γκ. Μανσούρ, Αυτόματη δημιουργία κώδικα NC για συγκόλληση με τη βοήθεια βιομηχανικού ρομπότ με συνεκτίμηση του περιβάλλοντος εργασίας, 5ο Συνέδριο ΕΕΔΜ εργαλειομηχανές και μηχανουργικές κατεργασίες, Θεσσαλονίκη, σελ.367-375, 1999. 135. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, G. Mansour, G. Maliaris, Development of NC code for small parts manufacturing using an industrial robot with five revolute joints, International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2001, Bucharest, Vol.2, pp.215-220, 2001. 136. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, G. Mansour, D. Sagris, G. Maliaris, Off line programming of an industrial robot for manufacturing, International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Vol.26, pp.262-267, 2005. 137. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, G. Mansour, G. Maliaris, D. Sagris, Off line programming of an industrial robot for welding, Proceedings of 3rd CIRP International Seminar of Intelligent Computation in Manufacturing Engineering, ICME, Ischia, Italy, pp.557-562, 2002. - 118 -
10. Βιβλιογραφία 138. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, G. Mansour, D. Sagris, G. Maliaris, Off line programming of an industrial robot for manufacturing, Proceedings of the 1st International Conference on Manufacturing Engineering ICMEN, October 3-4, ZITI Publications, Thessaloniki-Greece, pp.769-776, 2002. 139. Θ.Α. Διαμαντούδης, Συγκολλήσεις μετάλλων, Θεσσαλονίκη, 2000. - 119 -
ARISTOTELES UNIVERSITY OF THESSALONIKI (A.U.TH.) MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT LABORATORY FOR MACHINE TOOLS AND MANUFACTURING ENGINEERING DIMITRIOS STAVROU SAGRIS Dipl. Mechanical Engineer (Α.U.TH.) PLACEMENT AND MOVEMENTS OPTIMIZATION OF INDUSTRIAL MANIPULATORS BY MEANS OF Α HYBRID METHOD DOCTORAL DISSERTATION EXTENDED SUMMARY SUBMITTED TO THE MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT OF THE ARISTOTELES UNIVERSITY OF THESSALONIKI (Α.U.TH.) THESSALONIKI MARCH 2008
11. Extended summary in English 11. Extended summary in English Placement and movements optimization of industrial manipulators by means of a hybrid method Doctoral thesis of Dipl. Mechanical Engineer D. Sagris Abstract In the frame of the present doctoral thesis a hybrid method was developed for the optimization of problems in fields of robotics. The proposed algorithm combines a genetic algorithm (GA) with a hill climbing method (quasi-newton algorithm - QNA) and furthermore a constraints handling method (CHM) is involved. The developed algorithm uses the above-mentioned methods in order to avoid the disadvantages and exploit the advantages of each individual method. GA applied alone has the advantage of searching the whole space of solutions as well as not being entrapped in a local minimum. Furthermore GA is efficient only for limited number of variables and weakness signs are detected when the number of variables or the total search space rises. QNA, being a gradient-based search method, has the advantage of detecting local minimums for higher number of variables, but is strongly depending on the initial variables vector. The synthesis of these methods combines their advantages and detects local minimums in the whole search area. Finally CHM is applied in order to reduce the variables limits, reduce the space to be searched and accelerate the whole procedure. The proposed algorithm is very efficient in finding the optimal solution in a reduced computation time. In order to test the efficiency of the developed method, it is applied on several fields of robotics. The determination of optimum robot base position and joint angles, considering discrete end-effector positions of a spatial 6-DOF manipulator with revolute joints, is approached using this method. Furthermore it is applied to robot design in order to determine the optimum robot geometry, robot base position and joint angles of a 2-DOF spatial RR manipulator. The optimization method is also applied on the problem of path planning through the determination of an amount of intermediate configurations as node poses for given initial and final configurations. In this case the robot links and obstacles point clouds representations are retrieved by means of given 3D models using automated procedures of a developed off line system. The fitness function that quantifies the problem in each case consists of the sum of the deviations squares between the prescribed poses and the real poses of the end-effector, the manipulability measure of each configuration, the total cycle time of the process, as well as the obstacles avoidance. Furthermore the smoothness of the path and the normal distribution of the intermediate poses are taken into account, as well as the workspace restricts and variables limits. Numerical examples according all the aforementioned problems, demonstrate the efficiency of the developed method in comparison with other optimization methods. An off line system for manipulation of robots is developed that includes optimization procedures through an application that combines a user form with a 3D graphic model in Solidworks environment. Some of the available tools for the robot programming are the setting and reading the end-effector pose through the direct and inverse kinematics problem, the graphical collision avoidance, the path simulation and the NC code automatic generation. This off line system includes the aforementioned developed optimization algorithms like robot base placement, path planning and point clouds generation. The proposed system can be used further for optimization of the cycle duration of the process. 1. Introduction The robotics application in manufacturing leads to the reduction of production time and the improvement of the workpieces quality, especially when optimization procedures are involved. Small and medium enterprises that produce a wide variety of products require a method that generates automatically the NC code, through easy and powerful CAD-based off line systems. Most of the current robotic CAD systems have powerful graphic capabilities, allowing motion simulation, virtual robot base location, path planning and so on. Their approaches use the trial and error loop that is a time consuming procedure applied by the user, without use of any optimization concept. The productivity of a manipulator used into a workcell is mainly associated to the cycle time of the end-effector. The cycle time is affected of many parameters, such as the placement of the robot base relative to the task /1, 2/, the maximum velocities and accelerations of the actuators, the configurations of the robot on the path that obtains a collision free movement, etc. Furthermore, the avoidance of singular configurations and the geometrical robot design are parameters that correlate with the efficiency and the performance of an off line based robotic system. - 123 -
11. Extended summary in English 2. Determination of optimum robot base location considering discrete end-effector positions, by means of hybrid genetic algorithm The need of small and medium industries for production of a variety of workpieces on the same robot that is already located leads to a search of the optimum workpiece location with respect to the robot reference system /3, 4, 5/. The aim is to determine the optimal placement of the robot base for prescribed tasks, which is equivalent with the aforementioned problem. A new formulation is proposed in the form of a multi objective optimization problem using prescribed task points and singularities avoidance. Given the prescribed task points with respect to a work cell reference system, the objective of the optimization is to find the optimum base placement and the configurations of the robot, maximizing the manipulability, minimizing the process cycle time and considering the joints limits imposed by the designer. 2.1 Mathematical formulation In the present paper the manipulator is considered as an open space kinematic chain with six revolute joints (Figure 1). In table of figure 1 are inserted the corresponding Denavit-Hartenberg parameters of the model, the joints angles limits and the maximum allowed rotational velocities. A reference frame P i attached at each link i (i=0,1 6) and at tool P 7 are considered. In addition a fixed reference frame P S is assumed. The relative position between two successive frames is described using the 4x4 homogeneous transformation matrices and the Denavit-Hartenberg parameters /6/. The optimal base location could be formulated as an optimization problem, where the objective function takes into account the deviations between the prescribed and the real end-effector poses, the manipulability measure for the calculated poses, as well as the total motion time among all poses successively. The objective function can be described by: F = F1+α F2 +β F3 (1) where 7 7 ( ( ) ( )) n 3 4 2 1 = Sr Spr k= 1i= 1 j= 1 k F A i, j A i, j (2) is the sum of deviations squares between the calculated end-effector poses and the corresponding prescribed Figure 1: 6-DOF manipulator and Denavit-Hartenberg parameters. poses, n 1 2 2 k = 1 w k F = (3) is the sum of inversed manipulability measure s square, 2 3 tt F = (4) is the sum of motion time square, 7 n is the number of prescribed poses, A ( ) i, j is the realcalculated value of the element (i,j) of the 7 ASpr ( ) Sr A 7 S matrix, i, j is the prescribed value of the element (i,j), w k is the manipulability measure for robot configuration of pose k, α and β are the weighting factors. The weighting factors α and β are used in order to scale the contribution of the second and third term respectively. From the minimization of the objective function, the optimum values of the unknown parameters are determined. The unknown variables are the Denavit - Hartenberg parameters of the robot base and the joint angles variables corresponding to each prescribed pose. During the optimization procedure the imposed constraints regarding the unknown variables are described by: x <x <x min max, =1,2, m (5) where m is the number of the variables and x min and x max are the lower and upper limits of the variable x. The constraints (5) take into account the limits of the joint variables imposed by the robot designer and the geometry of the robot workcell. Positioning accuracy The function F 1 involved in the objective function (1) is the sum of deviations squares between the realcalculated and the prescribed end-effector poses. Using the homogeneous transformation matrices, a calculated pose of the tool frame P 7 with respect to the fixed frame P S is given by: 7 0 6 7 Sr S 0 6 A = A A A (6) where 6 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 A = A A A A A A and the matrix i Ai 1 describes the pose of frame i with respect to frame i-1. 7 The matrix A 6 is known and relates the tool frame P 7 to the frame P 6. The equation (6) contains all the unknown parameters that are the joint angles θ i (i=1,2 6) for each tool pose and the D-H parameters θ 0, α 0, a 0 and d 0 of the 0 base-positioning matrix A. Joint angles θ i (i=1 6) have S different values for each tool pose, while all other 4 0 parameters of the matrix A S are constant. Thus for one prescribed tool pose there are 10 unknown parameters, for two prescribed tool poses the number of the parameters becomes 16, for three poses 22 and so on. 7 Therefore, the elements of the matrix A Sr are determined for each pose k, in order to be used in equation (2) and calculate the deviations between the real and prescribed poses. Manipulability measure The second part (F 2 ) involved in the objective function of equation (1) is the sum of inversed manipulability - 124 -
11. Extended summary in English measures squares. For the task points it is very important to avoid the singular configurations of the robot. This can be assured by the maximization of the robot manipulability. Yoshikawa /7/ defined the measure of the manipulability as: T ( ) w = det J J (7) where J is the Jacobian matrix. For a non-redundant robot manipulator, the measure w is simplified to w = detj. The Jacobian matrix of the used 6-DOF manipulator is calculated analytically /8/ taking into account the joint angles values for each calculated pose. Travel Time The total travel time required to visit all the task points (t t ) is given by: t n 1 k k= 1 t = min t (8) where t k is the travel time between the task point k and task point k+1 and n is the number of the prescribed poses. The total travel time is calculated as the minimum required time. Taking into account all the available sequences among the target poses, the corresponding travel times are calculated and the minimum one is selected as total travel time. The time t k can be written as: qi,k+ 1 q i,k tk = max, i = 1,2,...6 q imax ( ) (9) where q i,k is the i th joint displacement for k th end-effector pose and q i max is the maximum allowed velocity of joint i, imposed by the constructor. The slowest joint determines the motion time between poses k and k+1. Equations (8) and (9) denote that the manipulator configuration affects significantly the travel time of the end-effector. 2.2 Proposed algorithm The described mathematical model is solved with a hybrid method that combines a genetic algorithm (GA), a quasi-newton algorithm (QNA) and a constraints handling method (CHM). The flow chart of the proposed algorithm is illustrated in figure 2. The input data for the algorithm are the links dimensions, the joints type and number, the variables bounds, the desired end-effector poses, the number of independent variables and the algorithm parameters. In these parameters are included the initial parameters of the GA such as the population size, the crossover rate, the mutation rate, etc. and the number of the GA, QNA and CHM loops. Using equation (1) the fitness function is defined, which is used in all steps of the algorithm. In the first loop of the genetic algorithm, starting populations are randomly generated to set variables values, which are used to calculate the fitness function value. Genetic algorithm uses selection, elitism, crossover and mutation procedures to create new generations. The new generations converges towards a minimum that is not necessarily the global one. After some repetitions when the maximum generations number is achieved, the variables values corresponding Figure 2: Proposed algorithm flow chart. to the minimum fitness function value are selected as the optimum variables values of the genetic algorithm. The usage of random numbers in genetic algorithms /9/ to produce the individuals of each generation, gives the ability to explore the whole space of the solutions. The optimum GA variables values are inserted in the QNA as an initial variables vector guess. The quasi- Newton algorithm modifies the values of this vector using a finite-difference gradient method until a maximum iterations number or a local minimum is reached. Through this hill climbing method a new fitness function value is obtained. The loop of QNA is applied several predefined times, including the repetition of GA loop, in order to locate several local minimums using the GA and approach the global one using the QNA loop. When the maximum loops number of QNA is achieved, the variables values corresponding to the minimum fitness function value are selected as the optimum QNA variables values. Afterwards, using a Constraints Handling Method /10/, these output QNA optimum variables values are used to reduce the bounds of the variables described in equation (5). The optimum QNA variable value of the step i-1, i 1 x opt ( = 1,...m ), is considered as the middle of the new - 125 -
11. Extended summary in English reduced bounds interval for the step i. The new bounds i i x min and x max ( = 1,...m ) are given by the equations: i i 1 i min = opt Δ x x x /2 (10) i i 1 i max = opt +Δ x x x /2 (11) where the range i Δx is: i i 1 Δ x = c Δx (12) i 1 i 1 i 1 max min, with Δ x = x x i 1 x max, i 1 x min are the variables limits of the step i-1 and c is a coefficient defined by the user. The most commonly used values of the coefficient c are 0.15 up to 0.75. Each new bounds reduction leads to a new round of GA generations and QNA loops (see Figure 2). CHM is applied in order to reduce the variables bounds and accelerate the whole process, conducting the search procedure in a narrower area. The optimization procedure is finished when the maximum CHM loops number or the fitness function goal is achieved. 2.3 Numerical application The introduced methodology is applied on a manipulator with six degrees of freedom and six revolute joints used for welding of office furniture frames. Some numerical applications corresponding to one up to nine target points are presented, considering three criteria regarding the objective function value. The first criterion of positioning accuracy uses just the deviation between the prescribed and calculated end-effector poses. The second criterion of positioning accuracy and manipulability involves additionally the manipulability measure so that the manipulability corresponding to each calculated pose is maximized. The third criterion includes additionally the travel time of the end-effector in order to minimize the cycle time of a specific process. A graphical simulation of an office chair base adjusted on its worktable is presented in figure 3. The fixed workcell frame (P S ), the robot base unknown frame (P 0 ) and the prescribed end-effector poses (T 1 T 9 ) are illustrated in this figure. The input data used for the algorithm are the links dimensions (Figure 1), the variables bounds (Table of figure 1) and the end-effector poses. In table of figure 3 are given the coordinates of the origin and the orientation angles of the tool frame prescribed poses with respect to the fixed Cartesian coordinate system P S, for the nine prescribed poses. Using these data the matrices 7 A Sprk (k=1,2,,9) of the prescribed end-effector poses are evaluated /11/. The parameters involved in all tests, mainly in GA procedure, are the same and selected as optimums through many applied tests: population of individuals=50, cross probability=70%, mutation probability=8% and the reduction of variables range in CHM=50%. The elitism operator is activated in all the applied tests. All the other algorithm parameters such as the loops number of GA, the loops number of QNA and the loops number of CHM are different in each case and selected through several repetitions in a way that the solutions are accurate and quick enough simultaneously. In the first case, the criterion is only to reach the minimum positional deviation for all prescribed poses when the joint angles variables values are within the joints limits /11/. Therefore the objective function (1) has a simplified form, where the weighting factor α=0. To maximize the robot manipulability and enlarge the robot dexterity, the manipulability measure is included in the optimization procedure through the second criterion, which combines the positioning accuracy and the manipulability. Thus, the second part of equation (1) is activated. The importance of positional deviation and manipulability measure is adjusted through the weighting Pose X Y Z A B C (mm) (mm) (mm) ( o ) ( o ) ( o ) T1 1100.0 800.0 100.0 120.0 90.0 90.0 T2 1200.0-700.0 0.0 60.0 120.0 60.0 T3 692.8 612.2-221.8 90.0 135.0 45.0 T4 692.8-587.8-221.8-150.0 135.0 45.0 T5 862.8 273.2-203.0 40.0 15.0-160.0 T6 862.8-248.8-203.0-90.0-10.0-160.0 T7 1024.0 142.2 185.0-150.0 110.0-60.0 T8 1182.4 142.2 207.3-150.0 110.0-60.0 T9 1182.4-117.8 207.3-60.0 0.0-120.0 Figure 3: Prescribed end-effector poses. Figure 4: Weighting factor α selection and the corresponding mean manipulability measure. - 126 -
11. Extended summary in English factor α. A small weighting factor α leads to an acceptable positional deviation, but to a lower manipulability measure. A higher weighting factor α maximizes the manipulability measure, but generates not acceptable positional deviations. In order to select the weighting factor value, the limit of 1mm is defined as an acceptable value of positional deviation, which corresponds to a 10-3.5 limit value of elements average deviation (Figure 4). Through some tests on each numerical example, the higher acceptable value of elements average deviation determines the weighting factor α value that is selected as optimum one. This selection leads to the maximum mean manipulability measure as presented in upper part of figure 4. The mean manipulability measure is maximized for the first three numerical examples and it is doubled for the last three, compared with the case of positioning accuracy criterion. For both cases of positioning accuracy criterion and of positioning accuracy and manipulability criterion, the repetitions parameters are retained constant in order to have comparable results. In the complete form of the proposed method, the objective function combines the positional accuracy, the manipulability measure and the total travel time of the end-effector. In general the weighting factors α and β are selected considering the importance of the robot objectives. The main parameters involved in all tests are preserved, when the algorithm s number of loops are different in each case and are presented in table 1. Several tests for each numerical example lead to the choice of the optimum weighting factors α and β, using the approach of figure 4. Using the proposed approach, the optimum base placement and the robot configurations corresponding to the prescribed poses are obtained. Furthermore in table 1 are inserted the average deviation between all elements of the matrices and A 7 Srk 7 Sprk A, the calculated manipulability measure, the total travel time of the end-effector and the optimum poses sequence for the five numerical examples. For all numerical examples, the maximum calculated positional deviation is 0.98mm and the maximum calculated orientational deviation is 0.009rad (0.52degrees), which are acceptable values. Although a small decrease of the manipulability measure is observed, the travel time decrease, in comparison with the second approach of positioning accuracy and manipulability measure, is about 45-50%. This is a great advantage due to the fact that the productivity of an industrial robot is highly associated to the cycle time of a specific process. Furthermore the proposed approach has the advantage of balance between factors α and β, which gives the ability to focus the optimization on the manipulability measure or on the travel time according to the problem requirements. 3. Geometric design optimization of robot manipulator, by means of a hybrid algorithm In many industrial applications, the robot performance can be considerably improved by optimal evaluation of the robot design parameters, taking into account different criteria. During the last two decades several design methodologies have been developed for spatial task oriented robotic systems. These methodologies may be classified into two categories: exact synthesis and approximate synthesis. The exact synthesis methods /12/ have the advantage to find all the possible solutions, but only in few spatial manipulators the geometric design problem has been solved. So, the polynomial elimination technique is used in /13/ to determine the dimensions of the geometric parameters of the RR manipulators including the location of its base when three poses of the end-effector are prescribed. The approximate synthesis methods /14, 15/, involving an optimization algorithm, are used in geometric design problems, where the precision points are less or more than the exact synthesis required points. The hybrid optimization method presented in the previous unit is applied to determine the geometric design parameters, the base pose and the joint angles when some end-effector poses are prescribed. The problem is solved by minimizing the sum of the deviation squares between the prescribed poses and the real poses of the end-effector. The developed method is applied in two degrees of freedom spatial RR manipulator, in three numerical examples, where one, two or three endeffector poses are prescribed. Figure 5: 2-DOF robot model and the Denavit- Hartenberg parameters. Pre- Parameters Results Exa- scribed Number of loops Factor Factor Elements Mean Travel Comput- Poses mple tool poses GAs QNAs CHMs α β average w time ational sequence deviation (s) time 1 st 2 10 50 1 10-3.5 10-2 2.42E-04 0.37 0.38 00:00:26 1,2 2 nd 3 10 100 1 10-4 10-3 3.29E-04 0.33 0.63 00:01:39 2,1,3 3 rd 5 30 150 1 10-5 10-4 1.42E-04 0.26 2.05 00:04:38 2,5,3,1,4 4 th 7 30 200 1 10-6 10-5 2.42E-04 0.18 3.25 00:13:02 6,4,1,2,3,5,7 5 th 9 50 300 1 10-7 10-6 1.55E-05 0.17 6.03 00:39:15 4,3,7,5,6,1,9,2,8 Table 1: Parameters and results using the proposed approach. - 127 -
11. Extended summary in English 3.1 Mathematical formulation The manipulator is considered as an open space chain with two revolute joints (Figure 5). A reference frame P i attached at each link i (i=0,1,2) and at tool P 3 are considered. In addition a fixed reference frame P S is assumed. The relative position between two successive frames is described using the 4x4 homogeneous transformation matrices and the Denavit-Hartenberg parameters /6/. In the table of figure 5 are inserted the corresponding D-H parameters. Using the homogeneous transformation matrices, the pose of the end-effector P 3 with respect to the fixed frame P S is given by: 3 0 1 2 3 S S 0 1 2 A = A A A A (10) i where the matrix Ai 1describes the pose of frame i with respect to frame i-1, through the corresponding D-H parameters. In the matrix equation (10), the elements of 3 the matrix A S are known since they define the position and orientation of the end-effector frame 3 at each prescribed pose, with respect to fixed frame P S. The right side of equation (10) contains all the unknown Denavit- Hartenberg parameters that are θ i, α i, a i and d i (i=0,1,2). Particularly matrix A 3 2 contains only the parameters θ 3 and d 3. For each prescribed tool pose, different joint angles values of θ 1 and θ 2 are used. Thus for one prescribed tool pose there are 14 unknown parameters, for two prescribed tool poses there are 16 unknown parameters and for three prescribed tool poses the number of the parameters becomes 18. In order to determine these unknown parameters the objective function is developed. This function consists of the sum of the deviations squares between the 3 prescribed values of the elements A ( ) S i, j (i=1,2,3, j=1,2,3,4) of the matrix A 3 S and the real values of the same elements. The objective function can be described by: 3 3 ( Sr ( ) Spr ( )) n 3 4 2 F = A i, j A i, j (11) k= 1i= 1 j= 1 3 where n is the number of prescribed poses, A ( ) k Sr i,j is the real value of the element (i,j) of the A 3 Spr ( ) 3 A S matrix and i, j is the prescribed value of the element (i,j). From the minimization of the objective function, the values of the unknown parameters occur. During the optimization procedure the imposed constraints regarding the unknown variables are described by equation (5). These constraints take into account the limits of the variables imposed through the robot design and the geometry of the robot workcell. 3.2 Proposed algorithm The described mathematical model is solved with the hybrid method that combines a simple genetic algorithm (GA), a quasi-newton algorithm (QNA) and a constraints handling method (CHM), as presented in the previous chapter with some differences (see figure 2). The main modifications concern the algorithm s input data, the repetitions of each loop, as well as the objective function form. The input data includes the variables that describe the robot base pose, the geometric parameters of the three robot links and the prescribed end-effector poses. 3.3 Numerical application The introduced methodology is applied in a spatial manipulator with two degrees of freedom and two revolute joints. The input data used for the algorithm are the variables bounds, the algorithm parameters (Table 2) and the end-effector poses. The initial applied variables limits are: 0<θ i <360 o (i=0,1,2,3), 0<α i <360 o (i=0,1,2), 0<a 0 <1000mm, 0<a i <100mm (i=1,2), 0<d 0 <1000mm and 0<d i <100mm (i=1,2,3). Three numerical applications corresponding to one, two and three target points are presented. The three poses of the tool frame (T 1, T 2, T 3 ) with respect to the fixed Cartesian coordinate system P S are prescribed. Using these poses the matrices A 3 Sprk prescribed end-effector poses are evaluated: A 3 Spr1 0.656 0.113 0.746 162.037 0.219 0.975 0.045 82.184 = 0.722 0.193 0.664 48.743 0 0 0 1 (k=1,2,3) of the (12) Table 2: Example Prescribed tool poses 1 st One 2 nd Two 3 rd Three Parameters Results Algorithm Number of loops Variables range Computational Fitness GAs QNAs CHMs reduction time value Only GA 2.50E+05 - - - 0:06:52 6.36E+00 GA and CHM 10,000-24 25% 0:07:48 3.36E-01 GA and QNA 500 500 - - 0:10:08 1.80E-06 Proposed 100 500 4 85% 0:13:04 1.20E-09 Proposed 10 10 1 85% 0:00:03 4.73E-06 Only GA 5.00E+05 - - - 0:18:06 1.42E+02 GA and CHM 20,000-24 25% 0:18:15 3.70E+00 GA and QNA 500 1,000 - - 0:34:31 6.00E-02 Proposed 100 500 9 65% 0:36:13 4.33E-06 Proposed 100 100 4 65% 0:02:48 2.66E-02 Only GA 1.00E+06 - - - 0:41:53 3.77E+02 GA and CHM 40,000-24 25% 0:42:18 1.95E+01 GA and QNA 500 2,000 - - 1:48:35 5.60E-01 Proposed 100 500 19 30% 2:44:29 4.22E-03 Proposed 100 200 9 55% 0:22:06 1.20E-01 Four methods parameters and the corresponding results - 128 -
11. Extended summary in English A A 3 Spr2 3 Spr3 0.144 0.929 0.341 72.964 0.989 0.140 0.036 42.775 = 0.014 0.343 0.939 113.400 0 0 0 1 0.764 0.641 0.069 43.273 0.477 0.491 0.729 16.141 = 0.433 0.590 0.681 88.682 0 0 0 1 (13) (14) For each additional point, two more joints variables are used, which grows up the problem and the solution becomes slower and more difficult. In order to make obvious the accuracy advantage of the proposed method, four different algorithms were tested in each numerical example. The first one uses only GA, the second combines the GA with the CHM, the third one uses a combination of GA with the QNA and the fourth is the proposed one. The parameters involved in all tests, mainly in GA procedure, are the same and selected as optimums through many applied tests: population of individuals=50, cross probability=70% and mutation probability=8%. All the other algorithm parameters involved in the problem are different in each case and are presented in table 2. The loops number of GA, QNA and CHM are selected in a way that the total generations number in four tests are equal, in order to be comparable. Figure 6 illustrates the value of the fitness function in logarithmic scale versus the generations number of the four used methods for the numerical example of three prescribed poses. As shown in this figure, the performance of the proposed algorithm is substantially better than that of the three other methods during the whole procedure both in accuracy and computational time. The obtained value of the fitness function in the three examples illustrates clearly the advantage of the proposed algorithm. 3 Inserting these values in equation (10) the matrices A Sri, which describes the obtained poses are calculated. The comparison between the elements of the matrices 3 A Sri and the corresponding elements of the prescribed ones 3 A Spri shows that the maximum positional deviation is lower than 0.0008 mm in the three numerical examples. The maximum deviation of orientations is lower than 0.0318 rad (1.822 degrees), which is acceptable value. In figure 7 are represented graphically the optimum base pose and the robot configuration, for the second prescribed pose of the second numerical application The second test of the proposed algorithm is used to obtain an acceptable fitness function value, with criterion the lower computational time. It is observed that the proposed algorithm leads much faster to a lower value of the fitness function in comparison with the other three methods. 4. Optimum collision free robot path planning, by means of a hybrid algorithm Figure 6: Objective function value versus generations number for three prescribed poses. Figure 7: Base placement and robot geometry for the 2 nd end-effector pose of three prescribed poses numerical example. The problem of obtaining an optimal path for a given manipulator in the presence of obstacles has been the subject of considerable research. The end-effector path has to be determined between two specified poses, avoiding collision with workspace obstacles and optimizing a performance index. Several methods have been used in order to optimize the travel time on a free of obstacles path, in two or three dimensions, considering various criteria /16, 17, 18/. In other cases, the path planning methods focus on the exploitation of the redundant degrees of freedom, using heuristic approaches, such as genetic algorithms or neural networks /19, 20, 21, 22, 23/. A hybrid optimization method is developed to determine an amount of intermediate configurations as node poses of an end-effector path of given initial and final configurations. The optimized performance index includes the travel time on the proposed path, the avoidance of workspace obstacles, as well as the avoidance of singular configurations. Furthermore the smoothness of the path and the normal distribution of the intermediate poses are taken into account. All parts and obstacles point clouds representations are retrieved by means of given 3D models using automated procedures. Following previous experience of an optimization algorithm /24/, a formulated approach focused on path optimizing is proposed, where each intermediate configuration interacts with the others through the travel - 129 -
11. Extended summary in English time magnitude. The developed method is applied to six degrees of freedom manipulator, in some numerical examples, where four up to twenty intermediate poses are involved. 4.1 Mathematical formulation In the present paper the manipulator is considered as an open space chain with six revolute joints (Figure 1). To avoid the singular configurations of the robot the maximization of the robot manipulability is used (Equation 7). The total travel time t t required to visit the n intermediate poses, starting from the initial known configuration and ending at the final known configuration, is given by: n 1 t = init + k + final k= 1 t t t t (15) where tk is the travel time between pose k and pose k+1 and n is the number of the intermediate poses, t init is the travel time between initial known pose and the first intermediate pose and t final is the travel time between the n intermediate pose and the final known pose. The time tk can be written as: qi,k+ 1 q i,k tk = max, (i = 1,2,...6) q imax where (16) q i, k is the ith joint value for kth end-effector pose and q i max is the maximum allowed velocity of joint i, imposed by the constructor. The slowest joint determines the motion time between poses k and k+1. The same equation is used to determine the travel time from and to the known configurations of starting and ending pose. Therefore, the optimal path planning could be formulated as an optimization problem, where the objective function (F) takes into account the deviations between the initial interpolated path and the calculated end-effector poses (F1), the distance between the robot parts and the obstacles (F2), the total travel time among all poses successively (F3), the normal distribution of travel time for all intermediate motions (F4) and the manipulability measure wk for the n intermediate poses (F5): F= F1+α F2 +β F3 +γ F4 +δ F5 (17) with 2 2 2 ( ) n 1 = k + k + k k= 1 n p* e* 2 = 1 k= 1p= 1e= 1( Pi Pe) + min n 2 3 = t k k= 0 n 2 4 = ( k aver ) k= 0 n 1 5 = 2 k = 1 w k F Dx Dy Dz F F F t t F PFV where Dx k, Dy k, Dz k are the coordinate deviations of pose k between initial interpolated path and the calculated one, (P i P e ) min is the minimum distance between robot part i and obstacle e, PFV is a Penalty Function Value activated when the minimum distance is - 130 - lower than the collision limit, tk is the travel time between poses k and k+1, t 0 is the travel time from the initial configuration to the first intermediate pose and t aver is the average travel time for the total path. The weighting factors α, β, γ and δ are used in order to scale the contribution of the corresponding terms in the objective function value. The minimization of the objective function determines the optimum values of the unknown parameters, namely the configurations of the intermediate poses. 4.2 Collision detection procedure The proposed algorithm includes some initiative steps, which are required in order to optimize the path. The preavailable graphical representation of the robot and the obstacles are exploited to create point clouds only on the surface of each object. These point clouds as data are easily used in a repetitive procedure, unlike the 3D graphical representations. The amount of points in each point cloud is determined parametrically and is chosen according to the collision probability risk and the geometrical complexity of each part. Additional data of each part is the circumscribed sphere with a centre the gravity centre of the part and a radius defined by the most remote point. The obtained point clouds of robot links and obstacles are used in a collision detection procedure, applied for each calculated intermediate pose in two ways. During the path quality evaluation of a proposed intermediate configuration, which is described afterwards in the optimization procedure, a collision detection procedure is required. In the first step no collision is detected when the minimum distance between the sphere centre of the robot part and the sphere centre of the obstacle is greater than the sum of the radius of these spheres and the collision limit. In this case the point clouds analysis is not required and the collision check of the specific couple is stopped. In the second step which is activated when the two spheres are closer than the collision limit, a point by point collision check is required. The procedure activates a double loop to detect the distances for all points of the robot link and obstacles. When the minimum of these distances is smaller than the collision limit then a collision is established. The collision limit (r i,e ) is a user-defined value of the acceptable distance between a robot link (i) and an obstacle (e). However this value is constrained due to the fact that the point clouds have finite amount of points and a risk of collision loss appears. In order to determine the minimum safe value of the collision limit, a procedure is applied, based only on the point clouds of robot links and obstacles. Using as input data these point clouds of all items, for each one the sparser area is detected (r i, r e ). The worst placement of these areas is perpendicular and the maximum distance r i,e for the couple of (i) link and (e) obstacle determines the collision limit. 4.3 Proposed algorithm The optimization problem is the determination of n intermediate collision-free robot configurations, through s steps of evolution, optimized with respect to the objective function, for a robot end-effector path among obstacles for known initial and final configurations. The optimization problem is solved with the hybrid method that combines a Constraints Handling Method (CHM), a Genetic Algorithm (GA) and a Quasi-Newton
11. Extended summary in English 4.4 Numerical application The introduced methodology is applied on a manipulator with six degrees of freedom and six revolute joints used for welding of office furniture frames. The input data for the algorithm are the links dimensions (Figure 1), the joint angles variables and their initial bounds, the maximum allowed joint rotational speed (table of figure 1) and the prescribed robot configurations. Furthermore, the amount of intermediate calculated configurations, as well as the maximum steps of evolution is parameter of the algorithm too. The graphical representations of initial and final robot configurations, as well as the initial interpolated path with the collision of robot parts and obstacles are presented in figure 9. The representations in this figure are solid models in order to be comprehensible and clearly shown. The data used internal the proposed algorithm are only the point clouds of parts and obstacles. Only the results of the algorithm are presented using 3D models. Several numerical applications were conducted using the proposed method, trying several different data according the prescribed poses, the intermediate poses amount, the objective function forms, the weighting factors of objective function and so on. Figure 8: Path planning proposed algorithm flow chart. Algorithm (QNA), with some modifications. The flow chart of the proposed algorithm is illustrated in figure 8. The input data for the algorithm are the number of intermediate poses and the required steps of evolution, which is defined by the user in order to balance the quality of the result and the computational time. Furthermore input data are the links dimensions, the joints type and number, the variables bounds and the algorithm parameters. The fitness function is defined in equation (17), which is used in all steps of the algorithm to evaluate the path quality. The first step of the proposed algorithm is the interpolation of n intermediate configurations between the initial configuration and the final one. This not optimized and not necessarily free of collisions path is used as the current path for the next evolutionary steps of the algorithm. Each step of the evolution procedure (s ) uses a combination of CHM, GA and QNA for each intermediate configuration (n ) of the manipulator. When all the intermediate poses of the path are calculated (n =n), the obtained path is defined as the current one and the next evolution step is activated. The evolution of this step uses as current path the new obtained. The loops of CHM, GA and QNA are applied until all the points of the current path are re-placed. For the total path the quality is evaluated using the objective function, at the end of each evolution step. Each next evolution step uses as path the optimum of previous evolution step. The end of evolution is achieved when the quality of the objective function reaches a predefined limit or a predefined amount of evolution steps. The final intermediate configurations are the proposed path of the end-effector. The presented results are based on a case of two prescribed poses for a chair frame welding, using standard weighting factors as results of many try and error approaches and the objective function form as presented in equation (17). The results with respect to the amount of intermediate calculated configurations are presented in table 3. The efficiency of the proposed method is composed by the stable and high values of the manipulability measure /24/ for all tests, by the acceptable computational time for an off-line optimization method and by the minimum normal distribution of the travel time deviations. The parameters involved in all tests, mainly in GA procedure, are the same and selected as optimums through many applied tests: population of individuals=50, cross probability=70% and the mutation probability=8%. The reduced variables range during the CHM of optimization procedure is 0.25 rad (~15 o ). The loops number of GA is 10 and the loops number of QNA is 3 and are selected in a way that the solutions are accurate and quick enough simultaneously. The example of four intermediate poses is described in detail, in order to make obvious the efficiency of the Figure 9: Path planning application. - 131 -
11. Extended summary in English Inter- Examediate mple poses Time normal Travel distribution time deviations % (sec) Average Max Computational time (h:m:s) Average Max 1 4 0.605 2.02 3.27 0:05:51 0.3 0.35 2 6 0.705 1.98 5.95 0:12:24 0.31 0.36 3 8 0.791 2.43 7.4 0:23:35 0.32 0.36 4 10 0.904 1.88 4.8 0:35:58 0.33 0.37 5 20 1.134 2.25 5.65 2:31:43 0.33 0.38 Weighting factors: α=0.01, β=20, γ= 1000, δ= 0.01 Table 3: Results with respect to the amount of intermediate poses proposed algorithm. The optimum variables values for the four intermediate poses, obtained with the proposed method are presented in table 4. Furthermore the joint angles values for all the intermediate, as well as for the initial and final prescribed configurations, are graphically illustrated in figure 10. It is obvious that for all the joint angles values the transition from the initial configuration to the final one is smooth. The total path is illustrated in figure 11. 5. Off-line programming, simulation and automatic NC code generation of an industrial robot for manufacturing The robot off-line programming using a CAD system have the potential to produce a visual presentation of the robot when performing its task and to eliminate in the planning stage problems of robot reach, accessibility, collision, timing, etc. In this way significant time economy can be achieved, because the actual manufacturing would only have to be interrupted briefly while the new programs are downloaded into the workcell control computers. The robot off-line programming using a CAD system is the subject of many researchers in recent years. Computer graphics simulation of the robot and its workcell can be realized with different models as wireframe and solid models /25, 26/. These models and adequate algorithms can be used for collision detection and for kinematic and dynamic behavior of the robot /27, 28, 29/. The procedure for automatic generation of the programming of the manipulator used for manufacturing is described. The developed off-line programming system includes graphical simulation of the robot and its workcell, kinematics of the robot, motion planning and creation of the NC code. With the aid of this procedure it is possible to simulate the behavior of the robot during the process. The developed system is demonstrated in two cases. A robot with five degrees of freedom and five revolute joints (RV-M1) used for general manufacturing processes and a robot with six degrees of freedom and six revolute joints (RV6) used for welding. W drawing of the manipulator links in solid threedimensional space, they are assembled considering the position of the joints and the relative motion between the links. Figure 12 shows the parts design and the assembly model of a robot with six revolute joints. The graphical model of the robot environment contains geometrical data of the workspace including the workpieces, which will be processed and can be described in the same way as the geometry of the robot. 5.2 Robot Kinematics In order to plan and simulate the robot motion, the forward and inverse kinematics must be solved. In this consideration the robot consists of an open spatial Table 4: Intermediate Initial Final configurations config. 1 st 2 nd 3 rd 4 th config. Θ 1 27 32 20 3-13 -23 Θ 2 30 41 58 76 89 75 Θ 3 26 30 30 22 5-8 Θ 4-69 -35-2 15 35 67 Θ 5-113 -96-117 -104-100 -115 Θ 6-60 -22 5 22 42 78 Prescribed and intermediate configurations for four intermediate poses Figure 10: Joint angles values for four intermediate poses. 5.1 Graphical Simulation In the first step of the procedure, the graphical simulation of the manipulator, tool, workpiece and workspace is achieved using the SolidWorks software /30/. The geometrical characteristics as size, shape etc. of the robot links and the kinematics are introduced into a database. The description of the robot kinematics contains information about the number of degrees of freedom, the type of joints, the Denavit-Hartenberg parameters /6/, the joint functionality limits, etc. After the Figure 11: Obtained path, using four intermediate poses. - 132 -
11. Extended summary in English Considering the tool holder orientation, the orientation of the end-effector relative to base frame of the robot is determined. Due to the fact that sometimes such orientations lead to collision of the end-effector with workpiece, the user can modify the end-effector orientation angles until the collision is avoided. A linear interpolation is used for trajectory planning. The obtained trajectory is saved to file and the graphical simulator displays the sequence of robot motions for verification before actual process. 5.4 NC-code generation Figure 12: Robot parts design and the assembly of a 6- DOF manipulator. kinematic chain. Using the homogeneous transformation matrices and the Denavit Hartenberg parameters (Table of Figure 1), the motion equations of the manipulator are developed. These equations can be used for direct or inverse kinematics of the manipulator. For a prescribed position and orientation of the endeffector, the problem of the inverse kinematics of manipulator is solved analytically. The manipulator (Figure 1 and figure 12) has a closed form solution, because the axes 4, 5 and 6 intersect /31/. In this way all eight solutions of the sets of the joint variables and the corresponding configurations of the robot are determined /32/. From the sets of the joint variables the one that guarantee collision avoidance, joint limits and avoidance of singular configurations is chosen. The used CAD package has a high potential for collision detection. The joint angles are calculated for every point of the endeffector path using the Fortran programming language. 5.3 Motion Planner From the workpiece CAD model, the programmer generates a list of the initial and final points of each movement and the workpiece features to be processed, as position, material, width, depth of the process, etc. The motion planner, based on the robot and workpiece CAD model, is divided in gross and fine motion planning. The gross motion planner deals with the planning of the approach and departs motions of the end-effector to and from the process operations. The generation of a collision free-path is realized with a hypothesize and test approach /33/. For a candidate path from start to goal end-effector pose, the user can define the number of the points and using a linear, arc, parabolic, ellipse or spline interpolation, the intermediate points are calculated. At each location, the inverse kinematics is solved and considering joint limits, the collision avoidance is checked. If a collision is found, a new candidate path is proposed by examining the obstacles involved in the collision. The procedure continues until a collision-free path is found. The fine motion planner plans the operation path from initial to final point of each process. During the process the robot must hold the tool at the correct orientation, at the correct distance and move at a constant velocity. To generate the NC code, the robot motion program is completed with commands regarding the process (pulsing velocity, spin velocity, coolant flow, etc for manufacturing processes and arc current, arc voltage, welding speed, feed wire, etc for welding processes), considering the technological data of process (workpiece and electrode material, process position, etc.) and the interpolation facilities of the robot controller. The program can then be downloaded to the robot controller. The structure of the NC code generating system for manufacturing process is illustrated in figure 13. The path planning part, developed in Visual Basic environment, simulates manipulator movement working parallel with the inverse kinematics problem solution, which is solved in Fortran programming language and parallel with the CAD models constructed in SolidWorks design software. Path planning simulation-software taking into account the process parameters creates NC code for manufacturing automatically. Simulation software is developed so that the method of automatic trajectories programming mentioned above is easy for the user /8/. All the movements set on the platform of this software is interactive with the SolidWorks platform to ensure user s supervision of trajectory programming. The movement control of the robot is achieved through the end-effector position and orientation definition. In order to improve the accuracy of the process simulation, a procedure of interpolating points on the selected trajectory takes place. This linear interpolation refers not only to the coordinates but also to the orientation of the end-effector. The trajectory is saved to a file, in order to have easy access in each trajectory. The main form contains the points of the trajectory. The end-effector trajectory can be produced in deferent ways Figure 13: Automated robotic NC code generating system structure. - 133 -
11. Extended summary in English such as by choosing a pre-designed path, or by choosing a designed path of lines and splines in SolidWorks, or by setting points in 3D workspace of the robot, which belong to the trajectory of the end-effector, or even by choosing vertices or edges (lines, arcs, splines, parabolas and ellipses) of the part to be processed. The path points are presented in a table and the parameters of the selected point can be changed. For each point, there is the ability to set the coordinates (X,Y,Z) and the orientation angles (A,B,C) of the endeffector to approach the target point with the right orientation, according to the process techniques. The joint angles values are presented for each point and there is the ability to see the overstepping of the joint angles limits and the collision of any part of the robot with an obstacle in the workspace. All the selections of the workpiece (points, curves, surfaces, etc) on SolidWorks space can be read, identified and checked for sequence among them. An adjustable number of interpolated points are calculated for each selection. All these points (selected and interpolated) can be added to the points of the final trajectory. NC code for the robot control is created automatically, working with the three forms on parallel, hypothesizing and testing points, checking the joint angles limits and the collision free movement, simulating the movement and reaching the wanted result of trajectory. The developed off line system has included some of the optimization methods that was presented in the previous units. The optimization procedure for robot base placement uses the analyzed method to determine the optimum workpiece placement, taking into account user chosen end-effector poses and the environment restrictions. Furthermore the off line system uses the graphical model of Solidworks in order to generate the point clouds model for each link and obstacle. This new model is used in the optimization procedure of path planning, as presented in previous chapter. 5.5 Application The above methodology is applied in a six degrees of freedom manipulator used for welding of office furniture frames /11/. The programmed points of the entire path are inserted in point s table in figure 14. The inverse kinematics problem is solved for all points of the trajectory. Welding parameters used in this application like current intensity, arc voltage, wire feed, etc, are selected with a view to satisfy all welding technology conditions. These parameters are determined in procedure WELDON called by main program of NC code. WELDON procedure uses linear interpolation movement (CP_Line) and constant velocity. NC code presented in figure 14 is created using the entire path programmed points. Applying it to the robot controller, it executes this code, moves the end-effector to the specified positions and generates the seam as presented in figure 15. 6. Conclusions In the frame of the present thesis a hybrid method was developed to determine optimum solutions for problems in robotics. The hybrid algorithm combines a genetic algorithm (GA) with a hill climbing method (quasi-newton algorithm - QNA) and a constraints handling method (CHM). The proposed algorithm is very efficient in finding the optimal solution in a reduced computational time. The algorithm, except the robotic fields, is also applied in problems of point clouds registration, with remarkable results /34/. The algorithm is tested in several fields of robotics. The first problem is the determination of optimum robot base position and joint angles, considering discrete endeffector positions of a spatial 6-DOF manipulator with revolute joints. The fitness function that quantifies the problem consists of the sum of the deviations squares between the prescribed poses and the real poses of the end-effector, taking into account the workspace restricts and joints limits, the manipulability measure of each configuration, as well as the total cycle time of the process. Numerical examples demonstrate the efficiency of the developed method in comparison with other methods that combine genetic algorithm and constraints handling method. Furthermore the developed hybrid method is applied to determine the optimum robot geometry, robot base position and joint angles of a 2-DOF spatial RR manipulator. The fitness function consists of the sum of Figure 14: NC-code generation for welding. Figure 15: Application in robot real workspace. - 134 -
11. Extended summary in English the deviations squares between the prescribed poses and the real poses of the end-effector, taking into account the workspace restricts and variables limits. Three numerical examples demonstrate the efficiency of the developed method, through detailed comparison with other optimization methods. In the case of three prescribed poses the applied hybrid method converges to the analytical results presented in /13/. The proposed method has the advantage of using less or more prescribed poses in comparison with the exact synthesis methods that demands specific poses number. The problem of determining an amount of intermediate configurations as node poses of an end-effector path of given initial and final configurations, is optimized using the developed hybrid method. The optimization performance index includes the travel time on the proposed path, the obstacles avoidance, as well as the avoidance of singular configurations. Furthermore the smoothness of the path and the normal distribution of the intermediate poses are taken into account. The robot links and obstacles point clouds representations are retrieved by means of given 3D models using automated procedures. Numerical examples for six degrees of freedom manipulator, where four up to twenty intermediate poses are used, demonstrate the efficiency of the developed method. The usage of nodal poses is the initiative step for an evolution of the proposed method. These nodal joint angles values will be the key points of a function that describes the angle value with respect to the travel time. The path determined through the objective function evaluation becomes a smooth path, free of obstacles and optimized according some performance index. The developed algorithms are written in FORTRAN /35/ and the solid models are developed in SOLIDWORKS environment /30/. Both algorithms and graphics can be modified to agree with any manipulator or problem conditions. Furthermore, an off line system for manipulation of robots was developed. The system combines a user form in graphical environment with the 3D graphic model in Solidworks environment. Some of the available tools for the robot programming are the setting and reading the end-effector pose through the direct and inverse kinematics problem, the graphical collision avoidance and the path simulation. By means of the developed method the NC code can be generated, considering the technological data of process and the interpolation facilities of the robot controller. The developed off line system has included some of the optimization methods like robot base placement, path planning and point clouds generation by means of graphical model. The proposed system can be used further for optimization of the cycle duration of the process. The off-line programming application using a CAD/CAM system reduces significantly the robot downtime and the production process becomes more efficient. 7. References 1. Sagris D, Mitsi S, Bouzakis K-D, Mansour G. 5-DOF robot base location optimization using a hybrid algorithm. Mecatronica, Vol.1, pp.76-81, 2004. 2. Mitsi S., Bouzakis K.-D., Sagris D., Mansour G., Optimization of robot base location using a hybrid genetic algorithm, Proceedings of 4th CIRP Intelligent Computation in Manufacturing Engineering, Italy, pp.139-144, 2004. 3. Pamanes JA, Zeghloul S. Optimal placement of robotic manipulators using multiple kinematic criteria. Proceedings of the IEEE Conference on Robotics and Automation, pp.933-938, 1991. 4. Zeghloul S, Pamanes JA. Multi-criteria optimal placement of robots in constrained environments. Robotica 11, Part 1, pp.105-110, 1993. 5. Chapelle F, Bidaud P. Closed form solution for inverse kinematics approximation of general 6R manipulators. Mechanism and Machine Theory, Vol.39(3), pp.323-338, 2004. 6. Denavit J, Hartenberg RS. A kinematic notation for lower pair mechanisms based on matrices. Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol.E22, pp.215-222, 1955. 7. Yoshikawa T. Manipulability of robotic mechanisms. International Journal of Robotics Research, Vol.4(2), pp.3-9, 1985. 8. D. Sagris, Software development for off-line programming of industrial robot RV6, Diplome Thesis, EEDM, Aristoteles University of Thessaloniki, 2001. 9. Coley D, An Introduction to Genetic Algorithms for Scientists and Engineers, World Scientific Press, 1999. 10. Carlson S. A General Method for Handling Constraints in Genetic Algorithms. Proceedings of the Second Annual Joint Conference on Information Science, pp.663-667, 1995. 11. Reis Robot RV6 Manual, Reis GmbH&Co Maschinenfab. 12. Pamanes, J.A., Montes, J.P, Cuan, E., Rodriguez, F.C.: Optimal Placement and Synthesis of a 3R Manipulator - International Symposium on Robotics and Automation (ISRA 2000), Monterrey, Mexico, 2000. 13. Mavroidis, C., Lee, E., Alam, M.: A New Polynomial Solution to the Geometric Design Problem of the Spatial R-R Robot Manipulators Using the Denavit- Hartenberg Parameters - Transactions of the ASME, Journal of Mechanical Design, Vol. 123, p.58-67, 2001. 14. Lee E, Mavroidis C. Geometric design of spatial PRR manipulators. Mechanism and Machine Theory, Vol. 39(4), pp.395-408, 2004. 15. Sagris D, Mitsi S, Bouzakis K-D, Mansour G. Geometric design optimization of spatial RR robot manipulator using a hybrid algorithm. Acta Technica Napocensis, 47, Vol. II, pp.717-722, 2004. 16. Meystel A., Guez A., Hillel G., Minimum time path planning for robot motion in obstacle strewn environment, ACM Annual Computer Science Conference, ACM Press, pp.367-376, 1986. 17. Zhang W., Sobh T. M., Obstacle avoidance for manipulators, Systems Analysis Modelling Simulation, vol.43, no.6, pp.749-757, 2003. 18. Shih F.Y., Wu Y.T., Three-dimensional Euclidean distance transformation and its application to shortest path planning, Pattern Recognition, vol.37, no.1, pp.79-92, 2004. 19. Wu L., Cui K., Chen S.B., Redundancy coordination of multiple robotic devices for welding through genetic algorithm, Robotica, vol.18, pp.669 676, 1999. 20. Shibata T., Abe T., Tanie K., Nose M., Motion planning by genetic algorithm for a redundant manipulator using a model of criteria of skilled operators, Information Sciences, vol.102, no.1, pp.171-186, 1997. - 135 -
11. Extended summary in English 21. Zhu X., Qiao H., Obstacle avoidance for kinematically redundant manipulators using polyhedral approximations, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, part C, Journal of mechanical engineering science, vol.217, no.5, pp.533-542, 2003. 22. Cueva V., Ramos F., Adapting the Messy Genetic Algorithm for Path Planning in Redundant and Nonredundant Manipulators, Lecture Notes In Computer Science, Vol.2313, Springer-Verlag, London, pp.21-30, 2002. 23. Elnagar A., A heuristic approach for local path planning in 3D environments, Robotica, vol.20, pp.281-290, 2002. 24. Mitsi S., Bouzakis K.-D., Sagris D., Mansour G., Determination of optimum robot base location considering discrete end-effector positions by means of hybrid genetic algorithm, Robotics and Computer- Integrated Manufacturing, Elsevier, Vol.24, pp.50-59, 2008. 25. S. M. Megahed, Principles of robot modeling and simulation, John Wiley & Sons, New York, 1993. 26. Barral D, Perrin JP, Dombre E, Liegeois A, Development of optimization tools in the context of an industrial robotic CAD software product. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Vol.15, pp.822-831, 1999. 27. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, and G. Mansour, Optimization of robot links motion in inverse kinematics solution considering collision avoidance and joint limits, Journal of Mechanism and Machine Theory, Vol. 30, pp. 653-663, 1995. 28. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, I. Tsiafis, and G. Mansour, Dynamic behavior simulation of a manipulator with five degree of freedom considering joints friction, Journal of the Balkan Tribological Association, Vol.3, pp. 51-60, 1997. 29. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, and G. Mansour, Automatic NC code generation for welding by means of an industrial robot. In: T.C.M.M. (Technologies, Quality, Machines, Materials), Vol. 40, Technical Publishing House, Bucharest, pp.311-316, 2000. 30. SolidWorks, User s Guide, SolidWorks Corporation. 31. J. J. Craig, Introduction on robotics, mechanics & control, Addison Wesley, 1986. 32. S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, and G. Mansour, Automatic NC code generation for welding by means of an industrial robot considering workcell. Proc. 5th EEDM Conf. on Machine Tools and Manufacturing Processes, Thessaloniki, pp.367-375, 1999. 33. Ph. J. McKerrow, Introduction on robotics, Addison Wesley, 1993. 34. G. Mansour, S. Mitsi, K.-D. Bouzakis, D. Sagris, E. Varitis, Optimization of point clouds registration by means a hybrid algorithm. Annals of Dunarea de Jos University of Galati, Fascicle XIV Mechanical Engineering, ISSN 1224-5615, pp. 5-10, 2005. 35. IMSL, Fortran subroutines for mathematical applications, Visual Numerics, 1997. - 136 -
12. Παράρτημα 12. Παράρτημα Κινηματικό μοντέλο βραχίονα και Ιακωβιανό μητρώο Ομογενές μητρώο μετασχηματισμού (4x4): A cosθi cosαi sinθi sinαi sinθi ai cosθi sinθ cosα cosθ sinα cosθ a sinθ = 0 0 0 1 i i i i i i i i i 1 0 sin α i cos α i di (Π.1) Κινηματικό μοντέλο βραχίονα RV-M1 5 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 A = A A A A A (Π.2) A A A A c1 0 s1 0 s 0 c 0 = 0 1 0 l1 0 0 0 1 1 1 1 0 c2 s2 0 l2 c2 s c 0 l s = 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 1 c3 s3 0 l3 c3 s c 0 l s = 0 0 1 0 0 0 0 1 3 3 3 3 3 2 c4 0 s4 0 s 0 c 0 = 0 1 0 0 0 0 0 1 4 4 4 3 (Π.3) (Π.4) (Π.5) (Π.6) A A c5 0 s5 0 s 0 c 0 = 0 1 0 (l4 + l 5) 0 0 0 1 5 5 5 4 (Π.7) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) c1 c234 c5 + s1 s5 c1 s234 c1 c234 s5 + s1 c5 c1 l2 c2 + l3 c23 l4 + l5 s 234 s c c c s s s s c s c c s l c + l c l + l s = s234 c5 c234 s234 s5 l1 + l2 s2 + l3 s23 + l4 + l5 c234 0 0 0 1 (Π.8) 5 1 234 5 1 5 1 234 1 234 5 1 5 1 2 2 3 23 4 5 234 0 όπου: ci = cos θi, si = sin θi, cij = cos (θi+ θj), sij = sin (θi+ θj) (Π.9) - 138 -
12. Παράρτημα px = c 1 (a2 c2 + a3 c23 d5 s 234 ) (Π.10) py = s 1 (a2 c2 + a3 c23 d5 s 234 ) (Π.11) pz = d1+ a2 s2 + a3 s23 + d5 c234 (Π.12) α =θ 2 +θ 3 +θ 4 +π 2 (Π.13) β=θ 5 (Π.14) Κινηματικό μοντέλο βραχίονα RV6 6 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 A = A A A A A A (Π.15) A A A c1 0 s1 a1 c1 s 0 c a s = 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 c2 s2 0 a2 c2 s c 0 a s = 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 1 c3 0 s3 0 s 0 c 0 = 0 1 0 0 0 0 0 1 3 3 3 2 (Π.16) (Π.17) (Π.18) A A A c4 0 s4 0 s 0 c 0 = 0 1 0 d4 0 0 0 1 4 4 4 3 c5 0 s5 0 s 0 c 0 = 0 1 0 0 0 0 0 1 5 5 5 4 c6 s6 0 0 s c 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 1 6 6 6 5 (Π.19) (Π.20) (Π.21) - 139 -
12. Παράρτημα A 6 0 όπου: nx ox ax px ny oy ay p y = nz oz az p z 0 0 0 1 (Π.22) nx = c1 c 23 (c4 c5 c6 + s4 s 6) + s 1 (s4 c5 c6-c4 s 6) + c1 s23 s5 c6 (Π.23) ny = s1 c 23 (c4 c5 c6 + s4 s 6) c 1 (s4 c5 c6-c4 s 6) + s1 s23 s5 c6 (Π.24) nz = s 23 (c4 c5 c6 + s4 s 6) c23 s5 c6 (Π.25) ox = c1 c 23 ( c4 c5 s6 + s4 c 6) s 1 (s4 c5 s6 + c4 c 6) c1 s23 s5 s6 (Π.26) oy = s1 c 23 ( c4 c5 s6 + s4 c 6) + c 1 (s4 c5 s6 + c4 c 6) s1 s23 s5 s6 (Π.27) oz = s 23 ( c4 c5 s6 + s4 c 6) + c23 s5 s6 (Π.28) ax = c1 c23 c4 s5 + s1 s4 s5-c1 s23 c5 (Π.29) ay = s1 c23 c4 s5 c1 s4 s5-s1 s23 c5 (Π.30) az = s23 c4 s5 + c23 c5 (Π.31) px = c 1 (a1+ a2 c2 + d4 s 23) (Π.32) py = s 1 (a1+ a2 c2 + d4 s 23) (Π.33) pz = a2 s2 d4 c23 (Π.34) sω cω 0 x sω 7 cω sω 0 x c ω Α 6 = 0 0 1 z 0 0 0 1 (Π.35) nx sω ox cω nx cω + ox sω αx nx x sω + ox x cω αx z+ px n 7 y sω oy cω ny cω + oy sω αy ny x sω + oy x cω αy z+ p y Α 0 = nz sω oz cω nz cω + oz sω αz nz x sω + oz x cω αz z+ p z 0 0 0 1 (Π.36) Ιακωβιανό μητρώο U 71(1, 4) U 72(1,4 ) U 73(1,4 ) U 74(1, 4) U 75(1,4 ) U 76(1,4) U 71(2,4) U 72(2,4) U 73(2,4) U 74(2,4) U 75(2,4) U 76(2,4) U 71(3,4) U 72(3,4) U 73(3,4) U 74(3,4) U 75(3,4) U 76(3,4) J = 0 1 2 3 4 5 R 0(1, 3 ) δ1 R 0(1, 3 ) δ2 R 0(1, 3) δ3 R 0(1, 3) δ4 R 0(1, 3) δ5 R 0( 1, 3) δ6 0 1 2 3 4 5 R 0(2,3) δ1 R 0(2,3) δ2 R 0(2,3) δ3 R 0(2,3) δ4 R 0(2,3) δ5 R 0(2,3) δ6 0 1 2 3 4 5 R 0(3,3) 1 R 0(3,3) 2 R 0(3,3) 3 R 0(3,3) 4 R 0(3,3) 5 R 0(3,3) δ δ δ δ δ δ6 (Π.37) - 140 -
12. Παράρτημα U (1,4) = n x s + o x c +α z-p (Π.38) 71 y ω y ω y y U (2,4) = n x s + o x c -α z+ p (Π.39) 71 x ω x ω x x U 71(3,4) = 0 (Π.40) ( ) U (1,4) = c n x s -o x c +α z-p (Π.41) 72 1 z ω z ω z z ( ) U (2,4) = s n x s -o x c +α z-p (Π.42) 72 1 z ω z ω z z U (3,4) = -[c (c c c + s s ) + s s c ] x s 72 23 4 5 6 4 6 23 5 6 + [c (-c c s + s c ) - s s s ] x c 23 4 5 6 4 6 23 5 6 -z (c c s -s c ) +α c + d s 23 4 5 23 5 2 2 4 23 ω ω (Π.43) ( ) U (1,4) = c n x s -o x c +α z-p + a s (Π.44) 73 1 z ω z ω z z 2 2 ( ) U (2,4) = s n x s -o x c +α z-p + a s (Π.45) 73 1 z ω z ω z z 2 2 U (3,4) = -[c (c c c + s s ) + s s c ] x s 73 23 4 5 6 4 6 23 5 6 + [c (-c c s + s c ) - s s s ] x c 23 4 5 6 4 6 23 5 6 -z (c c s -s c ) + d s 23 4 5 23 5 4 23 ω ω (Π.46) U (1,4) = [c c (s c c -c s )-s (c c c + s s )] x s 74 1 23 4 5 6 4 6 1 4 5 6 4 6 + [c c (s c s + c c )-s (c c s -s c )] x c 1 23 4 5 6 4 6 1 4 5 6 4 6 + [c c s s - s c s ] z 1 23 4 5 1 4 5 U (2,4) = [s c (s c c -c s ) + c (c c c + s s )] x s 74 1 23 4 5 6 4 6 1 4 5 6 4 6 + [s c (s c s + c c ) + c (c c s - s c )] x c 1 23 4 5 6 4 6 1 4 5 6 4 6 + [s c s s + c c s ] z 1 23 4 5 1 4 5 U (3,4) = s (s c c -c s ) x s 74 23 4 5 6 4 6 + s (s c s + c c ) x c + s s s z 23 4 5 6 4 6 ω 23 4 5 ω ω ω ω ω (Π.47) (Π.48) (Π.49) U (1,4) = [c c c s c + s s s c -c s c c ] x s 75 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 6 + [c c c s s + s s s s - c s c s ] x c 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 6 -[c c c c + s s c + c s s ] z 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 U (2,4) = [s c c s c -c s s c -s s c c ] x s 75 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 6 + [s c c s s -c s s s -s s s s ] x c 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 6 -[s c c c - c s c + s s s ] z 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 U (3,4) = [s c s c + c c c ] x s + [s c s s + c c s ] x c 75 23 4 5 6 23 5 6 ω 23 4 5 6 23 5 6 -[s c c -c s ] z 23 4 5 23 5 ω ω ω ω ω (Π.50) (Π.51) (Π.52) U (1,4) = -o x s -n x c (Π.53) 76 x ω x ω - 141 -
12. Παράρτημα U (2,4) = -o x s -n x c (Π.54) 76 y ω y 76 z ω z ω U (3,4) = -o x s -n x c (Π.55) ω 0 3 0 = 0 = 1 23 0 3 0 = 0 = 1 23 0 3 0 = 0 = 23 1 4 0 = 1 0 = 1 23 4 1 4 1 4 0 = 1 0 = 1 23 4 + 1 4 1 4 0 = 0 = 23 4 2 5 0 = 1 0 = 5 1 23 4 + 1 4 5 1s 23 2 5 0 = 1 0 = 5 1 23 4 1 4 5 1 23 2 5 0 = 0 = 5 23 4 + 5 23 R (1,3) 0 R (1,3) c s R (2,3) 0 R (2,3) s s R (3,3) 1 R (3,3) c R (1,3) s R (1,3) c c s s c R (2,3) c R (2,3) s c s c c R (3,3) 0 R (3,3) s s R (1,3) s R (1,3) s (c c c s s ) c c R (2,3) c R (2,3) s (s c c c s ) c s s R (3,3) 0 R (3,3) s s c c c (Π.56) Τεχνικά χαρακτηριστικά Η/Υ επίλυσης προβλημάτων Η/Υ-1 Intel Pentium 4, CPU 2.4 GHz, RAM 1 GB Η/Υ-2 AMD Opteron Processor 248, CPU 2.19 GHz, RAM 3.42 GB - 142 -
Βιογραφικό Σημείωμα Προσωπικά στοιχεία: Σαγρής Δημήτριος του Σταύρου και της Γαρυφαλλιάς, γεννηθείς στις 2 Ιουνίου του 1977 στις Σέρρες Βασική εκπαίδευση: Από 1983-1989 Στοιχειώδης Εκπαίδευση στο 8 ο και 21 ο Δημοτικό Σχολείο Σερρών Από 1989-1992 5 ο Γυμνάσιο Σερρών Από 1992-1995 5 ο Γενικό Λύκειο Σερρών Σπουδές: Από Οκτώβριο 1996 μέχρι Σεπτέμβριο 2001 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης 21 Νοεμβρίου 2001 Απόκτηση Διπλώματος Μηχανολόγου Μηχανικού Επαγγελματική δραστηριότητα: Από 21.11.2001 Επιστημονικός συνεργάτης στο Εργαστήριο Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Διευθυντής: Καθηγητής Dr.-Ing. habil. Κ.-Δ. Μπουζάκης 54124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Τηλ. +30 2310 996079, Fax. +30 2310 996059 LABORATORY FOR MACHINE TOOLS AND MANUFACTURING ENGINEERING MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT ARISTOTELES UNIVERSITY OF THESSALONIKI Director: Professor Dr.-Ing. habil. K.-D. Bouzakis 54124 Thessaloniki, Greece Tel. +30 2310 996079, Fax. +30 2310 996059