Κεφάλαιο 2 Επενδύσεις και επιχειρηματικός κίνδυνος

Κεφάλαιο 2 Επενδύσεις και επιχειρηματικός κίνδυνος Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται το επιχειρησιακό πλαίσιο μέσα στο οποίο εξελίσσεται η μεταλλευτική έρευνα ως επένδυση, κυρίως από την πλευρά της διαχείρισης της αβεβαιότητας που προκύπτει από τον περιορισμένο βαθμό γνώσης του υπόγειου περιβάλλοντος. Αρχικά, περιγράφουμε τη χρήση των πιθανοτήτων για την απεικόνιση και ποσοτικοποίηση της έννοιας του επιχειρηματικού κινδύνου. Ο συνδυασμός της πιθανότητας με το αντίστοιχο όφελος ορίζει την αναμενόμενη χρηματική αξία μιας ενδεχόμενης έκβασης της έρευνας. Η απόκτηση περισσότερων δεδομένων μειώνει την αβεβαιότητα και οδηγεί σε ασφαλέστερα συμπεράσματα, έχει όμως ως αποτέλεσμα την αύξηση του κόστους. Μέσα από τη διαδικασία αυτή ορίζεται και η έννοια του κόστους της πληροφορίας. Στη συνέχεια, αφού γίνει κατανοητό ότι η μεταλλευτική έρευνα είναι ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης υπό καθεστώς αβεβαιότητας, παρουσιάζονται τα κατάλληλα εργαλεία επίλυσής του. Ο δυναμικός προγραμματισμός είναι μια καθαρά μαθηματική διαδικασία επίλυσης του προβλήματος λήψης διαδοχικών αλληλοεξαρτώμενων αποφάσεων, με σκοπό τη βελτιστοποίηση ενός συστήματος μέσα από μια αντικειμενική συνάρτηση. Η μέθοδος αυτή επίλυσης βασίζεται στη διασύνδεση των επιμέρους αποφάσεων με κατάλληλη αναδρομική σχέση, ούτως ώστε η σύνθεση των επιμέρους αποφάσεων να δίνει τελικά τη ζητούμενη απόφαση. Εδώ επιχειρούμε μια συνοπτική θεωρητική περιγραφή και μελετάμε την τεχνική μέσα από ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγμα από την έρευνα κοιτασμάτων. Με τον όρο «ανάλυση αποφάσεων» συνηθίζουμε να προσδιορίζουμε μια μεθοδολογία γραφικής επίλυσης του προβλήματος λήψης διαδοχικών αποφάσεων, η οποία μπορεί μεν να είναι πιο χρονοβόρα, αλλά μπορεί να εφαρμοστεί στο σύνολο των σχετικών προβλημάτων, ανεξαρτήτως πολυπλοκότητας, λόγω της απλότητας και της διαφάνειάς της. Η μεθοδολογία αυτή χαρακτηρίζεται από τον ορισμό εναλλακτικών πολιτικών, οι οποίες αποδίδονται ως κλαδιά του λεγόμενου δένδρου αποφάσεων. Οι αναμενόμενες χρηματικές αξίες των διαδρομών που ορίζονται με τον τρόπο αυτό υπολογίζονται με χρήση της στατιστικής του Bayes. Η μελέτη των δένδρων αποφάσεων γίνεται μέσα από δύο αναλυτικά παραδείγματα. Τέλος, με σκοπό την ακριβέστερη απεικόνιση των στόχων του επενδυτή μέσω της αντικειμενικής συνάρτησης, παρουσιάζουμε την έννοια της χρησιμότητας των χρηματικών ή μη αξιών. Προαπαιτούμενη γνώση Βασικές γνώσεις θεωρίας πιθανοτήτων και συνδυαστικής ανάλυσης είναι απαραίτητες για την παρακολούθηση του κεφαλαίου αυτού. Εξίσου απαραίτητες θεωρούνται ορισμένες γνώσεις βελτιστοποίησης συναρτήσεων. Η γνώση στοιχείων επιχειρησιακής έρευνας θεωρείται επίσης χρήσιμη. 2.1. Εισαγωγή Η μεταλλευτική έρευνα μπορεί να παρομοιαστεί με οποιαδήποτε επενδυτική διεργασία που ενέχει όμως μεγάλο βαθμό επιχειρηματικού κινδύνου. Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με το θέμα των επενδύσεων και της επικινδυνότητας και θα προσπαθήσουμε να δώσουμε ποσοτική διάσταση στην ποιοτική έννοια της επικινδυνότητας. 2.1.1. Κίνδυνος και πιθανότητες Η επενδυτική απόφαση είναι αποτέλεσμα συλλογισμού, όπου λαμβάνονται υπ όψιν διάφορες πλευρές της επένδυσης όπως: το χρηματικό ύψος της επένδυσης, ο χρόνος επιστροφής, δηλαδή πότε το αποτέλεσμα της επένδυσης θα επιστρέψει την επενδυτική δαπάνη,

ο ρυθμός απόδοσης, η χρονική διάρκεια της επιχείρησης κ.λπ. Το μόνο στοιχείο που είναι δύσκολο να εκτιμηθεί είναι η επικινδυνότητα της επένδυσης, δηλαδή η πιθανότητα επιτυχίας ή αποτυχίας της. Όλα τα άλλα στοιχεία της επένδυσης εκφράζονται σε συγκρίσιμους αριθμούς, είτε αναφέρονται σε χρονικές διάρκειες, είτε σε χρηματικά ποσά, δηλαδή κέρδη και ζημίες, και θα ασχοληθούμε περισσότερο με αυτά στην ενότητα 3.3 του επόμενου κεφαλαίου. Η έννοια της επικινδυνότητας είναι τελείως άλλης μορφής και περιεχομένου. Είναι μια έννοια ποιοτική, για την οποία άλλοι νιώθουν έλξη και άλλοι φοβούνται. Οι πρώτοι συνήθως θυμούνται τα κέρδη και τις επιτυχίες που είχαν από «τυχοδιωκτικές» πολιτικές, οι άλλοι τρομάζουν από αναμνήσεις καταστροφικών επενδύσεων. Έτσι, χωρίς δεύτερο επίπεδο ανάλυσης, η επενδυτική απόφαση παραμένει καθαρά υποκειμενική. Το πρόβλημα λοιπόν που εμφανίζεται εδώ οδηγεί στην ανάγκη ποσοτικοποίησης της επικινδυνότητας, ώστε ο επενδυτής (τραπεζίτης ή βιομήχανος) να παίρνει την απόφαση για επένδυση στη βάση απλών και λογικών δεδομένων. Χρειάζεται μόνο προσοχή, ώστε τα δεδομένα να μην είναι απλοϊκά και να αλλάζουν όλη τη δομή της αρχικής σκέψης για επένδυση. Στο σημείο αυτό ας κάνουμε μια παρατήρηση: Η ενδόμυχη σκέψη με την οποία αντιμετωπίζεται μια επένδυση εμπεριέχει δύο αντιφατικά στοιχεία: την ελπίδα του κέρδους, τον φόβο της ζημίας. Στην πράξη, αν δεν υπήρχε περίπτωση ζημίας, δεν θα υπήρχε και κίνδυνος. Από την άλλη μεριά, κανείς δεν συμμετέχει σε μια επιχείρηση με κίνδυνο, αν δεν ελπίζει σε κέρδος μεγαλύτερο από όσο σε επιχείρηση χωρίς κίνδυνο (π.χ. κατάθεση σε τράπεζα). Ανάλογα με την περίπτωση υπερισχύει το ένα ή το άλλο. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι μπορούμε να στοιχηματίσουμε «κορόνα γράμματα» με τον όρο, αν χάσουμε, να δώσουμε ένα εκατομμύριο ευρώ, ενώ, αν κερδίσουμε, να πάρουμε ένα εκατομμύριο ευρώ. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις: Αν όλο το διαθέσιμο κεφάλαιό μας είναι ένα εκατομμύριο ευρώ, τότε μάλλον δεν δεχόμαστε να στοιχηματίσουμε. Αν, αντιθέτως, έχουμε στη διάθεσή μας είκοσι εκατομμύρια ευρώ, τότε σίγουρα μπορούμε να διακινδυνεύσουμε ένα εκατομμύριο και να στοιχηματίσουμε. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι, στην περίπτωση όπου το κεφάλαιο που διακινδυνεύεται είναι μικρό σε σχέση με το ολικό διαθέσιμο κεφάλαιο, η ελπίδα του κέρδους πρυτανεύει του φόβου της ζημίας. Εδώ διαφαίνεται μια σημαντική παρατήρηση, που αφορά τη φυσική σημασία της πιθανότητας. Ο άνθρωπος ξέρει από ένστικτο ότι η πιθανότητα δεν έχει φυσική σημασία παρά μόνο μέσα από τον Νόμο των Μεγάλων Αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι, στην περίπτωση που στοιχηματίζω μία φορά, μικρή σημασία έχει το κατά πόσον είναι ευνοϊκοί οι όροι του στοιχήματος, γιατί δεν μπορώ να εκτιμήσω ακριβώς τις πιθανότητες επιτυχίας ή αποτυχίας, ή αλλιώς γιατί οι πιθανότητες είναι 50/50. Επομένως, η λογική «ελπίζουμε να κερδίσουμε δέκα φορές περισσότερα από όσα φοβόμαστε ότι θα χάσουμε» μετασχηματίζεται σε «έχουμε μία στις δύο πιθανότητες να καταστραφούμε και μία στις δύο πιθανότητες να γίνουμε πολυεκατομμυριούχοι». Άλλο παράδειγμα της διαμάχης ανάμεσα στην ελπίδα του κέρδους και τον φόβο της ζημίας είναι η περίπτωση των ασφαλίσεων. Η ασφάλιση είναι γενικά μια αποτυχημένη επένδυση για τον ασφαλισμένο, ο οποίος χάνει τη δαπάνη ασφάλισής του προς όφελος του ασφαλιστή. Παρ όλα αυτά, ο ασφαλισμένος προτιμά να χάσει σίγουρα ένα μικρό ποσοστό του ολικού διαθέσιμου κεφαλαίου του, προκειμένου να αντιμετωπίσει τη μικρή πιθανότητα κινδύνου να χάσει μεγάλο ποσοστό του ολικού κεφαλαίου. Μέσα από αυτή τη λογική, θα προσπαθήσουμε να ποσοτικοποιήσουμε τον βαθμό επικινδυνότητας της μεταλλευτικής έρευνας, χρησιμοποιώντας το εξής παράδειγμα: Διαθέτουμε ολικό διαθέσιμο κεφάλαιο νk και σκεφτόμαστε να επενδύσουμε σε μια ερευνητική γεώτρηση, κόστους K. Αν η γεώτρηση αποδειχθεί θετική, τότε το κέρδος είναι K. Στην αντίθετη περίπτωση, η ζημία είναι ολική, δηλαδή χάνουμε K.

Η πιθανότητα θετικής γεώτρησης είναι Π. Θα μελετήσουμε το παράδειγμά μας εισάγοντας την έννοια της Αναμενόμενης Χρηματικής Αξίας στην επόμενη ενότητα. 2.1.2. Ελπίδα κέρδους Αναμενόμενη Χρηματική Αξία Ας ονομάσουμε x τα έσοδα (κέρδη ή ζημίες) στο τέλος της διαδικασίας και x i τις δυνατές τιμές της x, με πιθανότητα Π i η καθεμία. Είναι δεδομένο ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων των διαφορετικών πιθανών γεγονότων ισούται με μονάδα ( Π i = 1). Ονομάζουμε Αναμενόμενη Χρηματική Αξία (ΑΧΑ) Ε{x} της τυχαίας μεταβλητής (ΤΜ) x, το άθροισμα Π i x i, δηλαδή: Ε{x} = Π i x i (2.1) Η Αναμενόμενη Χρηματική Αξία δεν είναι παρά η μέση (αναμενόμενη) τιμή της ΤΜ x, αντιπροσωπεύει δε το άθροισμα των κερδών και των ζημιών που μπορεί να έχει ο παίκτης, αφού τα κέρδη και οι ζημίες σταθμιστούν το καθένα με την πιθανότητα πραγματοποίησής του. Έτσι, στην περίπτωση του παιχνιδιού «κορόνα γράμματα» όπου το στοίχημα είναι ένα ευρώ, η ΑΧΑ είναι: E{ x} 1 0.5 ( 1) 0.5 0, γεγονός που σημαίνει ότι το παιχνίδι είναι ισοδύναμο. Στην περίπτωση του παραδείγματός μας τώρα, υπάρχουν δύο πιθανότητες: Έσοδα Πιθανότητα Θετική γεώτρηση x1 ( 1) K Π 1 = Π Αρνητική γεώτρηση x2 K Π 2 = 1-Π Πίνακας 2.1 Έσοδα και πιθανότητες πραγματοποίησής τους. Άρα: E{ x} ( 1) K(1 ) K ( 1) K Η ΑΧΑ εκφράζει τα κέρδη από την επένδυση. Αυτό μπορούμε να το δούμε καθαρά, αν υποθέσουμε ότι η γεώτρηση σίγουρα θα αποδειχθεί θετική, δηλαδή Π = 1. Τότε E{ x} ( 1) K, δηλαδή η ΑΧΑ ισούται με έσοδα έξοδα. Στην περίπτωση του παραδείγματός μας, όπου η πιθανότητα θετικής γεώτρησης είναι Π ( 1), αντικαθιστούμε τα κέρδη (= έσοδα έξοδα) από το άθροισμα των πιθανών κερδών, αφού πολλαπλασιάσουμε το καθένα με την αντίστοιχη πιθανότητα. Το άθροισμα αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από τη μέση τιμή της ΤΜ «Αποτέλεσμα της Επένδυσης». Κατά συνέπεια, για να είναι αποδοτική ή κερδοφόρα μια επένδυση, πρέπει η ΑΧΑ της να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Στο παράδειγμά μας δηλαδή: 1 E{ x} 0 ( 1) K0 (αφού A0) 10 Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι, αν μια γεώτρηση έχει μία στις δέκα πιθανότητες να αποδειχθεί θετική, τότε πρέπει τα έσοδα, στην περίπτωση θετικής γεώτρησης, να είναι δέκα φορές μεγαλύτερα από το κόστος της γεώτρησης. Αυτό όμως δεν είναι αρκετό, προκειμένου να ληφθεί η επενδυτική απόφαση, όπως θα φανεί από το παρακάτω παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι έχουμε την επιλογή ανάμεσα στις δύο ακόλουθες εναλλακτικές επενδύσεις:

Επένδυση Α: Επενδύουμε ένα ποσό K σε μια επιχείρηση, χωρίς κίνδυνο. Τα έσοδα από την επιχείρηση αυτή είναι K, δηλαδή η ΑΧΑ είναι μηδέν. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, μπορούμε οριακά να επενδύσουμε. Επένδυση Β: Επενδύουμε το ποσό K σε μια επιχείρηση, όπου η πιθανότητα κέρδους είναι 1/10 και τα έσοδα σε αυτή την περίπτωση 10K. Άρα, η ΑΧΑ είναι πάλι μηδενική. Η επιλογή ανάμεσα στις δύο επενδύσεις δεν είναι προφανής. Βέβαια, στο παράδειγμά μας, λίγοι επενδυτές θα έπαιρναν την απόφαση της επένδυσης Β, όπου η πιθανότητα επιτυχίας είναι μία στις δέκα, παρόλο που τότε θα δεκαπλασίαζαν τα έσοδά τους. Αντίθετα, αν η πιθανότητα επιτυχίας παρέμενε στο 1/10, αλλά σε περίπτωση επιτυχίας τα έσοδα εκατονταπλασιάζονταν, τότε αρκετοί επενδυτές θα αποφάσιζαν την επένδυση Β. Στην περίπτωση αυτή, όμως, η ΑΧΑ θα ήταν 9K. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι, σε περίπτωση ίσων ΑΧΑ, προτιμάται προφανώς η επένδυση χωρίς κίνδυνο. Η επένδυση με κίνδυνο προτιμάται, αν η αντίστοιχη ΑΧΑ είναι μεγαλύτερη. 2.1.3. Επιχειρηματικός κίνδυνος Πιθανότητα ζημίας Στην ενότητα αυτή θα προσπαθήσουμε να διερευνήσουμε το μέγεθος της ΑΧΑ μιας επένδυσης, προκειμένου να πάρουμε μια επενδυτική απόφαση. Χρησιμοποιούμε το παράδειγμα της ερευνητικής γεώτρησης, όπου η πιθανότητα θετικού αποτελέσματος είναι 1/10. Υποθέτουμε ότι εκτελούμε περισσότερες διαδοχικές ερευνητικές γεωτρήσεις, τις οποίες θεωρούμε ανεξάρτητες μεταξύ τους. Έτσι, καθεμία γεώτρηση έχει την ίδια πιθανότητα (1/10) να αποδειχθεί θετική. Για την πρώτη γεώτρηση υπάρχουν δύο περιπτώσεις: Θετική () Πιθανότητα Π (= 1/10) Αρνητική (Α) Πιθανότητα 1-Π (= 9/10) Για τη δεύτερη γεώτρηση, το ίδιο: Θετική () Πιθανότητα Π (= 1/10) Αρνητική (Α) Πιθανότητα 1-Π (= 9/10) Στο σύνολο δηλαδή των δύο γεωτρήσεων μπορούμε να έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Α Α ΑΑ με τις αντίστοιχες πιθανότητες: ΠΠ Π(1-Π) (1-Π)Π (1-Π)(1-Π) Έτσι, στην περίπτωση ν διαδοχικών γεωτρήσεων έχουμε: 1 2 2 1, A, A,..., A,..., A, A όπου κ Α ν-κ συμβολίζει την περίπτωση κ θετικών γεωτρήσεων: AA A Όπως φαίνεται και από τους τύπους, δεν λαμβάνουμε υπ όψιν τη σειρά θετικών και αρνητικών γεωτρήσεων, δηλαδή δεν έχει σημασία ποιες γεωτρήσεις είναι θετικές και ποιες αρνητικές, με τη σειρά εκτέλεσής τους. (Αυτό δεν είναι απόλυτα σωστό, όπως θα δούμε αναλυτικότερα στα Κεφάλαια 6 και 7, λόγω της χωρικής συσχέτισης της ενδεχόμενης μεταλλοφορίας. Παρ όλα αυτά, για τις ανάγκες της παρούσας

ανάλυσης, η ακρίβεια που επιτυγχάνεται με την παραδοχή ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων θεωρείται ικανοποιητική). Έτσι, ο αριθμός των συνδυασμών που μπορεί να οδηγήσει στην περίπτωση κ θετικών γεωτρήσεων είναι: C!!( )! (2.2) Ακόμα, λόγω της ανεξαρτησίας των δοκιμών, κάθε συνδυασμός έχει πιθανότητα (1 ). Κατά συνέπεια, η πιθανότητα πραγματοποίησης του γεγονότος κ θετικών γεωτρήσεων P(κ) είναι:! P( ) (1 )!( )! (2.3) Αν λοιπόν, σε μια δεδομένη περιοχή, μια γεώτρηση έχει πιθανότητα Π να αποδειχθεί θετική, τότε, αν ανοίξουμε ν γεωτρήσεις, η πιθανότητα να αποδειχθούν κ γεωτρήσεις θετικές είναι P(κ). Ο νόμος των πιθανοτήτων που διέπει αυτή την περίπτωση είναι η γνωστή Διωνυμική Κατανομή (Papoulis & Pillai 2002). Ας δούμε τώρα με μεγαλύτερη λεπτομέρεια το παράδειγμα, δημιουργώντας τον παρακάτω πίνακα: Αριθμός γεωτρήσεων Πιθανότητα επιτυχίας μίας γεώτρησης Πιθανότητα επιτυχίας δύο γεωτρήσεων 1 2 3 5 10 15 20 0,1 0,18 0,243 0,325 0,387 0,342 0,270-0,01 0,027 0,070 0,193 0,270 0,285 Πίνακας 2.2 Πιθανότητες επιτυχίας κ στις ν ανεξάρτητες γεωτρήσεις σύμφωνα με τη Διωνυμική Κατανομή. Παρατηρώντας τον πίνακα βλέπουμε ότι σε ν γεωτρήσεις η πιθανότητα η μία να αποδειχθεί θετική μεγαλώνει μέχρις ενός σημείου και μικραίνει από εκεί και μετά. Αυτό με την πρώτη ματιά φαίνεται παράλογο. Αυξάνοντας τον αριθμό των γεωτρήσεων πρέπει να αυξάνουν οι πιθανότητες μιας θετικής γεώτρησης. Εδώ όμως πρέπει να σκεφτούμε ότι ο τύπος (2.3) και άρα ο πίνακας που προκύπτει από αυτόν δείχνει τις πιθανότητες που υπάρχουν, ώστε μία και μόνο μία γεώτρηση να είναι θετική. Επομένως, είναι πιο σωστό να μελετήσουμε τις πιθανότητες που υπάρχουν ώστε τουλάχιστον κ γεωτρήσεις να αποδειχθούν θετικές. Η πιθανότητα δίνεται τότε από τον τύπο:! P( ) (1 ) (2.4)!( )! Καθώς ο τύπος αυτός είναι άθροισμα όλων των δυνατών περιπτώσεων, δηλαδή των περιπτώσεων όπου ι = κ, κ+1, κ+2,, ν-1, ν γεωτρήσεις έχουν θετικό αποτέλεσμα. Στην περίπτωση που το κ είναι 1 ισχύει: P(τουλάχιστον μία θετική γεώτρηση) = 1 P(καμία θετική γεώτρηση) = 1 (1 Π) ν (2.5) Έτσι, για κ = 1 διαμορφώνουμε έναν νέο πίνακα πιθανοτήτων:

Αριθμός γεωτρήσεων Πιθανότητα ώστε τουλάχιστον μία γεώτρηση να είναι θετική 1 2 3 5 10 15 20 50 100 0,1 0,19 0,271 0,410 0,633 0,788 0,858 0,9925 0,9999 Πίνακας 2.3 Πιθανότητες επιτυχίας τουλάχιστον μίας στις ν γεωτρήσεις. Όπως φαίνεται από τον πίνακα, στην περίπτωση των 10 γεωτρήσεων έχουμε 63% πιθανότητα μία γεώτρηση να φανεί θετική, ενώ στην περίπτωση των 50 γεωτρήσεων η αντίστοιχη πιθανότητα είναι πάνω από 99%. Με τον τρόπο των επαναλαμβανόμενων γεωτρήσεων, αποκτάται σιγά σιγά ένα επίπεδο διασφάλισης της επένδυσης. Ακόμη, πρέπει η θετική γεώτρηση να εξασφαλίζει τουλάχιστον τις δαπάνες όλων των αρνητικών γεωτρήσεων που έχουν γίνει. Στην περίπτωση του παραδείγματός μας υπάρχουν 99% πιθανότητες μία γεώτρηση στις 50 να αποδειχθεί θετική. Αν, λοιπόν, μία θετική γεώτρηση έχει κέρδη ίσα με 50 φορές το κόστος της γεώτρησης, υπάρχουν 99% πιθανότητες να καλύψει το κόστος όλων των γεωτρήσεων. Κατά συνέπεια αν μόνο η πεντηκοστή γεώτρηση αποδειχθεί θετική, τότε καλύπτει ακριβώς τα έξοδα όλων των γεωτρήσεων, που είναι 50 σε αριθμό. Αν, αντίθετα, η δέκατη ή εικοστή γεώτρηση φανεί θετική, τότε αυτό καλύπτει τα έξοδα των 10 ή 20 προηγούμενων γεωτρήσεων και αφήνει και κέρδος. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η πιθανότητα επιτυχίας αυξάνει με τον ρυθμό των ερευνητικών έργων, αλλά ταυτόχρονα αυξάνουν και τα έξοδα και το κέρδος μειώνεται. Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την ΑΧΑ της ΤΜ x: «Αποτέλεσμα της Επένδυσης». Η μεταβλητή αυτή παίρνει τιμή ίση με το κέρδος της επένδυσης στην περίπτωση που έστω και μία γεώτρηση είναι θετική, ενώ ισούται με τα έξοδα εκτέλεσης των γεωτρήσεων, στην περίπτωση που όλες είναι αρνητικές. Έχουμε λοιπόν: E{ x } = (K νk)(1 (1 Π) ν ) + ( νk)(1 Π) ν = K( ν (1 Π) ν ) (2.6) Τώρα θα εκτιμήσουμε τις διακυμάνσεις της ΑΧΑ, προσπαθώντας να εντοπίσουμε το max της, εάν υπάρχει. Ο πιο ενδεδειγμένος τρόπος για αυτό είναι η διερεύνηση της παραγώγου. Παραγωγίζουμε λοιπόν την Ε{x} ως προς ν και έχουμε: de{ x} K 1 (1 ) ln(1 ) (2.7) d Ο όρος ln(1-π) είναι αρνητικός, αφού (1 Π) 1. Επίσης, αν το ν είναι μεγάλο, τότε το (1 Π) ν είναι πολύ μικρό << 1 και άρα η παράγωγος είναι αρνητική. Αν, αντίθετα, το ν είναι μικρό τότε το (1 Π) ν είναι πολύ μεγάλο >> 1 και, άρα, η παράγωγος είναι θετική. Υπάρχει λοιπόν μια τιμή του ν για την οποία η παράγωγος γίνεται μηδενική. Στο σημείο αυτό, η AXA παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή, δηλαδή έχουμε μέγιστο του Ε{x}. Κατά συνέπεια: de{ x} 0 1 (1 ) ln(1 ) 0 d 1 (1 ) ln(1 ) 1 ln ln(1 ) ln(1 )

Για αυτή την τιμή του ν έχουμε το max της AXA. Ο πίνακας και το διάγραμμα που ακολουθούν αντιστοιχούν στο παράδειγμά μας, αν K = 1 10 4 και = 50. Αριθμός γεωτρήσεων Πιθανότητες P(1+) 1 2 3 5 10 15 20 50 100 0,1 0,19 0,271 0,410 0,633 0,788 0,858 0,9925 0,9999 Πιθανά έσοδα 5 9,5 13,55 20,5 31,65 39,4 42,9 49,625 49,997 Δαπάνες 1 2 3 5 10 15 20 50 100 Πιθανά κέρδη 4 7,5 10,55 15,5 21,65 24,4 22,9-0,375-50 AXA 3,1 5,88 8,363 12,55 17,98 21,22 20,06-0,75-50 Πίνακας 2.4 Έσοδα, δαπάνες ( x10 4 ) και πιθανότητες υλοποίησής τους, κατά την εκτέλεση ν ερευνητικών γεωτρήσεων. Στο διάγραμμα της Εικόνας 2.1, ο αριστερός κάθετος άξονας παρουσιάζει τις δαπάνες στο αρνητικό του μέρος και τα πιθανά κέρδη στο θετικό του μέρος. Στον δεξιό κάθετο άξονα παρουσιάζονται οι ολικές πιθανότητες, ώστε μία τουλάχιστον γεώτρηση να είναι θετική. Ο οριζόντιος άξονας εμφανίζει τον αριθμό των εκτελεσθέντων γεωτρήσεων. 100 1 80 60 ΑΧΑ/ Δαπάνες ( x 10 4 ) 40 20 0-20 -40 0,5 0 20 40 60 80 100 120 Πιθανότητα -60-80 -100 Αριθμός γεωτρήσεων 0 Δαπάνες AXA Πιθανότητες P(1+) Εικόνα 2.1 Πιθανότητα επιτυχίας και ΑΧΑ της επένδυσης σε σχέση με τον αριθμό των εκτελεσθέντων γεωτρήσεων. Έτσι, στις 35 γεωτρήσεις, οι δαπάνες είναι 350.000 ευρώ και υπάρχουν 20 στις 100 πιθανότητες να μην αποδώσει η επένδυση. Από την άλλη μεριά, όμως, η ΑΧΑ της επένδυσης ανέρχεται σε 120.000 ευρώ. Στις 15

γεωτρήσεις, η δαπάνη φθάνει τα 150.000 ευρώ, με πιθανότητα 21 στις 100 να χαθούν. Αντίθετα, υπάρχουν 79 στις 100 πιθανότητες καθαρού κέρδους 244.000 ευρώ. Στο σημείο αυτό η καμπύλη της AXA εμφανίζει μέγιστο στα 210.220 ευρώ, δηλαδή έχουμε μεγιστοποίηση των πιθανών κερδών. Άρα, η εκτέλεση 15 γεωτρήσεων αποτελεί τη χρυσή τομή ανάμεσα στις δαπάνες, τις πιθανότητες επιτυχίας και τα καθαρά κέρδη. Από όλα τα παραπάνω φαίνεται λογική μια επένδυση της τάξης των 100.000 με 300.000 ευρώ. Φυσικά, η τελική επενδυτική απόφαση θα στηριχθεί σε περισσότερες γεωλογικές και μεταλλευτικές πληροφορίες, που θα πυκνώνουν όσο προχωρούν τα ερευνητικά έργα. 2.1.4. Κανόνες διαχείρισης επιχειρηματικού κινδύνου Από τα προηγούμενα προκύπτουν δύο συμπεράσματα, που αποτελούν και κανόνες: 1. Κανόνας της διαφοροποίησης του επιχειρηματικού κινδύνου: Το ύψος των δαπανών που απαιτεί η ερευνητική διαδικασία και ο σημαντικός βαθμός επιχειρηματικού κινδύνου που ενέχει καθιστούν τη μεταλλευτική έρευνα απαγορευτική για μικροεπενδυτές ή μικρές μεταλλευτικές εταιρείες. Κατά συνέπεια, μόνο μεγάλες επιχειρήσεις ή κυβερνήσεις μπορούν να αναλάβουν το κόστος που απαιτείται. 2. Κανόνας του υψηλού κέρδους: Όσο αυξάνει η πιθανότητα αρνητικών αποτελεσμάτων της μεταλλευτικής έρευνας, τόσο το πιθανό κέρδος σε περίπτωση θετικού αποτελέσματος πρέπει να είναι μεγαλύτερο. 2.2. Δυναμικός προγραμματισμός Πολλές φορές είναι απαραίτητη η επίλυση του προβλήματος λήψης διαδοχικών αλληλοεξαρτώμενων αποφάσεων, με σκοπό τη βελτιστοποίηση ενός συστήματος. Το κριτήριο απόφασης (κριτήριο βελτιστοποίησης) εκφράζει τους στόχους του συστήματος, μέσα από μια αντικειμενική συνάρτηση. Στην περίπτωση που υπάρχει ζήτημα μίας μόνο απόφασης, έχουμε διαδικασία ενός σταδίου. Αντίθετα, στην περίπτωση πολλών αποφάσεων, η διαδικασία γίνεται πολυσταδιακή. Η κατάσταση του συστήματος σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή καθορίζεται από τις τιμές των περιγραφικών μεταβλητών του. Οι μεταβλητές αυτές χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: Μεταβλητές με αιτιοκρατική φύση: Οι αλλαγές των τιμών των μεταβλητών της κατηγορίας προκύπτουν μονοσήμαντα από τις αλλαγές στις τιμές κάποιων άλλων μεταβλητών, οι οποίες επηρεάζουν τις πρώτες άμεσα ή έμμεσα. Μεταβλητές με στοχαστική φύση: Η αλλαγή των τιμών των μεταβλητών της κατηγορίας δεν προκύπτει μονοσήμαντα από τις αλλαγές στις τιμές κάποιων άλλων μεταβλητών, αλλά ενέχει έναν βαθμό πιθανότητας ή αβεβαιότητας. Ο μετασχηματισμός του συστήματος με την πάροδο του χρόνου εκφράζεται με την αλλαγή στις τιμές ορισμένων μεταβλητών του. Οι τιμές μερικών από τις μεταβλητές του συστήματος αλλάζουν μόνο ύστερα από αποφάσεις του υπεύθυνου για την πορεία του συστήματος. Βέλτιστη πολιτική θεωρείται η αλληλουχία αποφάσεων που οδηγεί στη βελτιστοποίηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Μεγάλη βοήθεια στη λύση τέτοιου είδους προβλημάτων δίνει ο Δυναμικός Προγραμματισμός, ο οποίος στηρίζεται στην «αρχή της βελτιστοποίησης» του R. Bellman (1953): Για κάθε κατάσταση που αποτελεί μέρος μιας βέλτιστης πολιτικής, οι αποφάσεις που απομένουν για το μέλλον πρέπει να είναι οι βέλτιστες σε σχέση με την κατάσταση αυτή, η οποία με τη σειρά της προέρχεται από προηγούμενη βέλτιστη απόφαση. Η μέθοδος αυτή επίλυσης βασίζεται στη διασύνδεση των επιμέρους αποφάσεων με κατάλληλη αναδρομική σχέση, ούτως ώστε η σύνθεση των επιμέρους αποφάσεων να οδηγεί τελικά στη ζητούμενη απόφαση. Το αρχικό πρόβλημα διασπάται σε επιμέρους προβλήματα, τα οποία συνδέονται με τη βοήθεια κατάλληλων αναδρομικών σχέσεων. Για να καλυφθούν όλες οι εκδοχές από τη διασύνδεση των επιμέρους προβλημάτων, αυτά λύνονται παραμετρικά, δηλαδή για όλες τις δυνατές τιμές των παραμέτρων. Στην Εικόνα 2.2 φαίνεται η αλληλουχία σταδίων και αποφάσεων, που αποτελεί τον πυρήνα του δυναμικού προγραμματισμού.

Εικόνα 2.2 Ανάλυση σε επιμέρους προβλήματα και διασύνδεσή τους, σύμφωνα με τη μέθοδο του δυναμικού προγραμματισμού. Τα περισσότερα προβλήματα που συμφέρει να επιλυθούν με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού μπορούν να αναχθούν στη μορφή του μαθηματικού προγράμματος: Βελτιστοποίηση του: z f1( x1) f2( x2) fn( xn) με περιορισμούς: x + x + + x 1 2 n b x x x x x, ακέραιοι, (2.8) 1, 2,, n 0, 1, 2, x n όπου f1( x1), f2( x2),, fn( xn) και b θεωρούνται γνωστά. Ο αριθμός των σταδίων είναι n, ενώ x j είναι οι μεταβλητές απόφασης κάθε σταδίου. Λόγω της μη γραμμικότητας των f j δεν υπάρχει γενική διατύπωση για τη μεθοδολογία διαμόρφωσης της αναδρομικής σχέσης που θα συνδέει τα στάδια μεταξύ τους και η επίλυση εξαρτάται από τον τύπο του προβλήματος. Η δυσκολία αυτή αποτελεί και το μειονέκτημα του Δυναμικού Προγραμματισμού, ο οποίος όμως, κατά τα άλλα, παρουσιάζει μεγάλη ευελιξία και μικρό υπολογιστικό κόστος. Στο βιβλίο αυτό θα αρκεστούμε να μελετήσουμε την εν λόγω μεθοδολογία μέσα από ένα τυπικό παράδειγμα πολυσταδιακής διαδικασίας της μεταλλευτικής έρευνας, το οποίο θα αναπτύξουμε στη συνέχεια. Για περισσότερα παραδείγματα μπορείτε να συμβουλευτείτε, για παράδειγμα, το Anderson et al. (2014). Πρόβλημα: Μια ανεξάρτητη ερευνητική εταιρεία ασχολείται με την έρευνα μιας μεγάλης έκτασης στην οποία υπάρχει αυξημένη πιθανότητα εμφάνισης διάσπαρτων βωξιτικών φακών. Η εταιρεία επιλέγει κάθε χρόνο μια μικρή περιοχή, για την οποία αγοράζει τα δικαιώματα εκμετάλλευσης του υπεδάφους και εκτελεί μία ή περισσότερες ερευνητικές γεωτρήσεις, για να διαπιστώσει εάν υπάρχει μεταλλευτικό ενδιαφέρον. Ο χαρακτηρισμός μιας περιοχής ως μεταλλευτικά ενδιαφέρουσας στοιχειοθετείται με την ύπαρξη έστω και μίας θετικής γεώτρησης, η διενέργεια όμως περισσότερων γεωτρήσεων αυξάνει αυτή την πιθανότητα. Το συνολικό κόστος της διαδικασίας ανά γεώτρηση ανέρχεται σε 100.000, ή μία χρηματική μονάδα, ενώ η διάρκεια είναι περίπου ένα έτος, ανεξάρτητα από τον αριθμό των γεωτρήσεων, καθώς μπορούν να εκτελούνται παράλληλα. Αν μια συγκεκριμένη ερευνητική επένδυση αποδώσει, η εταιρεία έχει συνεννοηθεί να μεταβιβάζει τα δικαιώματα εκμετάλλευσης της περιοχής με τη θετική γεώτρηση σε μεγάλη μεταλλευτική επιχείρηση η οποία δραστηριοποιείται στην εκμετάλλευση βωξίτη σε κοντινή απόσταση, έναντι του διπλάσιου ποσού από αυτό το οποίο δαπάνησε. Με βάση την εμπειρία στην περιοχή, η εταιρεία υπολογίζει ότι η πιθανότητα θετικής έκβασης μιας έρευνας και, άρα, η πιθανότητα διπλασιασμού των χρημάτων που επένδυσε είναι 60%, ενώ η πιθανότητα απώλειας όλου του ποσού είναι 40%. Η εταιρεία ξεκινάει με κεφάλαιο τριών χρηματικών μονάδων. Ζητείται ο προσδιορισμός της βέλτιστης πολιτικής για την εταιρεία στα επόμενα 4 έτη, εάν κάποια

ή και όλα τα χρήματα που κερδίζονται κάθε έτος μπορούν να επανεπενδύονται κατά τη διάρκεια ενός επόμενου έτους για την έρευνα μιας νέας περιοχής. Λύση: Το πρόβλημα αυτό μπορεί να περιγραφεί από μια διαδικασία τεσσάρων σταδίων, όπου κάθε στάδιο αντιπροσωπεύει την κατάσταση του συστήματος κατά τη διάρκεια του αντίστοιχου έτους. Οι δυνατές καταστάσεις περιγράφονται από τα ποσά που διατίθενται για επένδυση σε κάθε στάδιο, έστω από τις μεταβλητές u j, j = 1,, 4. Δηλαδή, u 4 = 0, 1,, 24 για το τέταρτο στάδιο (το 24 προκύπτει από την επανεπένδυση όλων των διαθέσιμων ποσών και εφόσον όλες οι προηγούμενες γεωτρήσεις έχουν αποβεί θετικές), u 3 = 0, 1,, 12 για το τρίτο στάδιο, u 2 = 0, 1,, 6 για το δεύτερο στάδιο και u 1 = 0, 1, 2, 3 για το πρώτο στάδιο. Για παράδειγμα, εάν στο πρώτο στάδιο η εταιρεία επενδύσει δύο μονάδες σε δύο γεωτρήσεις για την έρευνα κάποιας περιοχής, η κατάσταση στο δεύτερο στάδιο θα είναι είτε 5 είτε 1, ανάλογα με το αν το ποσό που επενδύθηκε διπλασιάστηκε ή χάθηκε. Εάν ορίσουμε: m j (u j ) το μέγιστο αναμενόμενο ποσό (απόδοση) του σταδίου j με κατάσταση u j d j (u j ) τoποσό που επενδύθηκε στο στάδιο j, τότε, εάν η εταιρεία μεταβεί στο στάδιο jμε m j-1 (u j-1 ) μονάδες ως απόδοση του προηγούμενου σταδίου, μπορεί να προχωρήσει επενδύοντας x μονάδες (x = 0,1,, m j-1 (u j-1 )) και αφήνοντας m j-1 (u j-1 )-x μονάδες ως απόθεμα. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν δύο ενδεχόμενα: είτε το ποσό που επενδύθηκε να διπλασιαστεί, οπότε θα διατίθενται 2x + (m j-1 (u j-1 ) x) =m j-1 (u j-1 )+x χρηματικές μονάδες για το επόμενο στάδιο, είτε το ποσό αυτό θα χαθεί, οπότε θα είναι διαθέσιμο μόνον το ποσό του αποθέματος για επένδυση. Η απόδοση του σταδίου αυτού θα είναι τότε είτε m j-1 (u j-1 )+x, είτε m j-1 (u j-1 )-x, ανάλογα με την έκβαση των γεωτρήσεων. Άρα, η ΑΧΑ της απόδοσης θα είναι: 0,6(m j-1 (u j-1 )+x) + 0,4(m j-1 (u j-1 ) x). Γράφοντας τα προηγούμενα σε πιο τυπική μορφή, η βέλτιστη επιλογή για το x (που γίνεται στο στάδιο j) είναι το ποσό που μεγιστοποιεί την παράσταση: mj uj maximum 0,6 mj-1 uj-1 x 0,4 mj-1 uj-1 x x0,1,, mj-1uj-1 (2.9) ή, κάνοντας τις πράξεις και λόγω της γραμμικότητας ως προς x, ( u ) ( ( ) ) ( u ) mj j = maximum mj-1 u j-1 + 0,2x = 1,2m x= 0,1,, m ( u ) j-1 j-1 j-1 j-1. (2.10) Η σχέση (2.10) είναι ο αναδρομικός τύπος για τη διαδικασία και ισχύει για j=1, 2, 3, 4. Στην περίπτωση που j=1,η αρχική συνθήκη από τα δεδομένα του προβλήματος είναι m 0 (u 0 ) 3. Αν εφαρμόσουμε τον τύπο τέσσερις φορές διαδοχικά, για τη βέλτιστη αναμενόμενη απόδοση της συνολικής διαδικασίας έχουμε τα εξής: m 4 (u 4 ) = (1,2) 4 m 0 (u 0 ) = 6,2208 χρηματικές μονάδες ή 622.080. Η απόδοση αυτή προκύπτει, αν επενδύονται όλα τα κέρδη στο τέλος κάθε σταδίου. Έτσι, η βέλτιστη αυτή πολιτική δίνει στο τέλος των τεσσάρων ετών είτε 4.800.000 ή 0, ανάλογα με το αν επιτύχουν όλες οι επενδύσεις ή κάποια αποτύχει. Παρ όλα αυτά, η ΑΧΑ της διαδικασίας είναι: (4.800.000)(0,6) 4 + (0)(1-(0,6) 4 ) = 622.080, όπου (0,6) 4 είναι η πιθανότητα και οι τέσσερις επενδύσεις να είναι θετικές, ενώ 1-(0,6) 4 η πιθανότητα να αποτύχει τουλάχιστον μία επένδυση.

2.3. Ανάλυση αποφάσεων Στη γενικότερή της μορφή, μια διαδικασία λήψης διαδοχικών αποφάσεων είναι πολυπλοκότερη από αυτήν που μελετήσαμε στην προηγούμενη ενότητα, ενώ, επιπλέον, οι απολαβές ή οι απώλειες που προκύπτουν ως συνέπεια μιας απόφασης μπορεί να εξαρτώνται και από εξωτερικούς του συστήματος παράγοντες. Ένα πρόβλημα αυτού του τύπου συνήθως δεν μπορεί να επιλυθεί με εκλεπτυσμένες μαθηματικές μεθόδους. Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε μία κατά βάση γραφική μέθοδο αντιμετώπισης για τα προβλήματα αυτά. 2.3.1. Εισαγωγή Τα στοιχεία που εμπεριέχονται σε μια διαδικασία λήψης διαδοχικών αποφάσεων του τύπου που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο είναι: 1. Ο αποφασίζων: Στην περίπτωση της μεταλλευτικής έρευνας, ο ρόλος αυτός ανήκει δικαιωματικά στο κράτος ή στις μεγάλες μεταλλευτικές εταιρείες, οι οποίες ενδιαφέρονται για νέα κοιτάσματα. 2. Οι στόχοι: Οι στόχοι εκφράζονται ποσοτικά μέσα από το κέρδος, την απόδοση, το μερίδιο της αγοράς, το κόστος κ.λπ. Στην περίπτωση της μεταλλευτικής έρευνας, συνηθισμένος στόχος είναι η απόκτηση όσο το δυνατόν περισσότερων πληροφοριών, με το ελάχιστο δυνατό κόστος. 3. Οι εναλλακτικές δραστηριότητες: Κάθε απόφαση ουσιαστικά σχετίζεται με ένα πλήθος επιλογών, συνήθως αμοιβαία αποκλειόμενων, από τις οποίες καλούμαστε να διαλέξουμε τη βέλτιστη. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να κάνουμε μια γιορτή και διαθέτουμε σπίτι με κήπο, οι εναλλακτικές δραστηριότητες, μεταξύ των οποίων καλούμαστε να επιλέξουμε τη βέλτιστη, είναι να κάνουμε τη γιορτή στο σαλόνι ή στον κήπο. 4. Τα ενδεχόμενα: Κάθε απόφαση οδηγεί σε μια ακολουθία ενδεχομένων, καθένα από τα οποία αντιπροσωπεύει διαφορετική κατάσταση του συστήματος και από τα οποία ένα μόνον θα πραγματοποιηθεί. Στο παράδειγμα της γιορτής, όποια απόφαση και να πάρουμε οδηγεί σε δύο ενδεχόμενα: μπορεί να βρέξει ή μπορεί να μη βρέξει. Τα ενδεχόμενα αυτά ονομάζονται και καταστάσεις της φύσης, επειδή συμβαίνουν ανεξάρτητα από τη βούληση του αποφασίζοντα. 5. Ο βαθμός βεβαιότητας: Η πραγματοποίηση ή μη των ενδεχομένων μπορεί να είναι: καθορισμένη, δηλαδή να προκύπτει νομοτελειακά από την απόφαση, οπότε πρόκειται για πρόγραμμα λήψης απόφασης χωρίς κίνδυνο (η περίπτωση αυτή δεν απασχολεί την τεχνική της ανάλυσης αποφάσεων, καθώς μπορεί να μελετηθεί από μεθόδους όπως ο γραμμικός ή μη προγραμματισμός, σε συνδυασμό με μια ανάλυση ευαισθησίας) μη προσδιορίσιμη, δηλαδή να ακολουθεί μια άγνωστη κατανομή πιθανότητας, οπότε έχουμε πρόβλημα λήψης απόφασης υπό συνθήκες αβεβαιότητας. Η κατανομή πιθανότητας εκτιμάται μέσα από τρεις δρόμους: Αξιοποίηση των δεδομένων. Στο παράδειγμα της γιορτής, η συννεφιά την παραμονή αυξάνει τις πιθανότητες βροχής. Διαίσθηση και εμπειρία. Πρόσθετη πληροφόρηση. Αξίζει να σημειωθεί, όμως, ότι η συλλογή πρόσθετων δεδομένων απαιτεί και πρόσθετο κόστος (βλ. Μοντέλα Στατιστικής του Bayes, με τα οποία θα ασχοληθούμε παρακάτω). Στο παράδειγμά μας, η πρόσθετη πληροφόρηση από την ΕΜΥ απαιτεί το κόστος της σύνδεσης στο διαδίκτυο. 6. Το κριτήριο: Το μέτρο αποτίμησης κάθε ενδεχομένου συνήθως εκφράζεται σε νομισματικές μονάδες. Έτσι, κριτήριο μπορεί να είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους ή η ελαχιστοποίηση της ζημιάς.

2.3.2. Δένδρα αποφάσεων Από τις αρχές της δεκαετίας του 60 τα δένδρα αποφάσεων είναι από τις πιο δημοφιλείς τεχνικές επίλυσης δυναμικών προβλημάτων. Ουσιαστικά πρόκειται για γραφική απεικόνιση του συστήματος και της διαδικασίας επί της οποίας βασίζεται η αναλυτική τεκμηρίωση της προτεινόμενης απόφασης. Στην πράξη, καταγράφονται σε μορφή δένδρου όλες οι εναλλακτικές δράσεις (εναλλακτικές αποφάσεις) και στη συνέχεια όλα τα δυνατά ενδεχόμενα (σενάρια) που συνδέονται με κάθε εναλλακτική δράση. Στην περίπτωση που είναι δυνατό, επισυνάπτεται και εκτίμηση της πιθανότητας πραγματοποίησης κάθε ενδεχομένου. Σε κάθε ενδεχόμενο αναγράφεται η ΑΧΑ της αντικειμενικής συνάρτησης (απόδοση της όλης διαδικασίας). Ο υπολογισμός της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης γίνεται με την τεχνική της αντίστροφης επαγωγής. Κατά συνέπεια, υπολογίζονται πρώτα οι τιμές των περιγραφικών μεταβλητών των απώτερων μελλοντικών καταστάσεων και έπειτα των πιο κοντινών στο παρόν καταστάσεων, για να καταλήξουμε στην αποτίμηση της όλης διαδικασίας. Εικόνα 2.3 Μορφή ενός δένδρου αποφάσεων. Η ροή της διαδικασίας γίνεται από τον κορμό προς τα φύλλα.

Στην Εικόνα 2.3 παρουσιάζεται το γενικό σχήμα ενός τυπικού δένδρου αποφάσεων. Η αξία κάθε εναλλακτικής δράσης αναγράφεται στον αντίστοιχο κλάδο (βλ. και Εικόνα 2.4). Η αξία κάθε κόμβου ενδεχομένων προκύπτει ως αποτέλεσμα της απόφασης η οποία οδηγεί στον κόμβο. Η υπολογιζόμενη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι η αξία των ενδεχόμενων καταστάσεων, σταθμισμένη με βάση τις πιθανότητες, και αναγράφεται στον αντίστοιχο κόμβο ενδεχομένων. Η αξία κάθε κόμβου απόφασης είναι η βέλτιστη των αξιών των κόμβων ενδεχομένων στους οποίους ο συγκεκριμένος κόμβος καταλήγει. Έτσι, προσδιορίζεται τελικά ο βέλτιστος «δρόμος» ή, αλλιώς, η βέλτιστη πολιτική. Η απόδοση κάθε σταδίου εκφράζεται από τη διαφορά δύο διαδοχικών κόμβων απόφασης. Στις ενότητες 2.3.5 και 2.3.6 θα δούμε αναλυτικά δύο παραδείγματα επίλυσης δένδρων αποφάσεων στη μεταλλευτική έρευνα. 2.3.3. Αξία πληροφορίας Σε αρκετές περιπτώσεις, η συλλογή πρόσθετων πληροφοριών και δεδομένων μειώνει το επίπεδο αβεβαιότητας αλλά, ταυτόχρονα, αυξάνει το κόστος (όπως, για παράδειγμα, στη σεισμολογική έρευνα στην ενότητα 2.3.6 παρακάτω). Γενική αρχή σε αυτές τις περιπτώσεις είναι ότι δαπάνη ύψους Κ δικαιολογείται μόνο όταν η αύξηση της ΑΧΑ της βέλτιστης (με τα μέχρι εκείνη τη στιγμή διαθέσιμα στοιχεία) εναλλακτικής δράσης είναι τουλάχιστον ίση με Κ, μετά τη συλλογή των πρόσθετων δεδομένων. Η αύξηση της ΑΧΑ της βέλτιστης εναλλακτικής δράσης καλείται και προσδοκώμενη αξία της πληροφορίας. Η διαφορά ανάμεσα στην προσδοκώμενη αξία της πληροφορίας και το κόστος της πληροφορίας αποτελεί το προσδοκώμενο κέρδος της πληροφορίας. 2.3.4. Στατιστική του Βayes Όπως είδαμε στην ενότητα 2.3.1, η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου μπορεί να προσδιοριστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια με την αναζήτηση πρόσθετων δεδομένων. Από τα μέχρι στιγμής δεδομένα και την αξιοποίηση της διαίσθησης, εκτιμούμε την πρότερη πιθανότητα ενός ενδεχομένου Ε i, μεταξύ n εναλλακτικών ενδεχομένων, σαν P(Ε i ). Η απόκτηση πρόσθετης πληροφορίας εκφράζεται με την αξιοπιστία της πληροφορίας, δηλαδή με την πιθανότητα για πληροφορία Ζ δεδομένου του E i P(Z/E i ).Ακολουθεί η επεξεργασία των νέων δεδομένων, η οποία δίνει μια νέα πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου E i, την ύστερη πιθανότητα P (E i ) P(E i /Z). Αφού τα ενδεχόμενα E i αποκλείονται αμοιβαία, η πιθανότητα να συμβεί το Ζ, δεδομένου ότι έχει πραγματοποιηθεί το E i, είναι μια σταθμισμένη, με βάση τις πιθανότητες πραγματοποίησης των E i, πιθανότητα (Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας). Ισχύει δηλαδή: P Z ) = P( Z / E ) P( E ) + P( Z / E ) P( E ) + ( 1 1 2 2 + P( Z / E n ) P( En ) = P( Z / Ei ) P( Ei ) Η πιθανότητα τώρα να συμβεί το E k, δεδομένου ότι το Ζ είναι γεγονός, δίνεται από τη σχέση (Θεώρημα του Bayes): P( E k P( Z / Ek ) P( E / Z) = P( Z) k ) = P( Z / Ek ) P( Ek ) P( Z / E ) P( E ) i i Ο παρονομαστής είναι σταθερός και, επομένως, η σχέση για την ύστερη πιθανότητα μπορεί να γραφεί καλύτερα: i 1 P' ( Ek ) P( Ek / Z ) = P( Ek ) P( Z / Ek ) (2.11) P( Z / E ) P( E ) i Η σχέση αυτή σημαίνει ότι η ύστερη πιθανότητα ισούται με την πρότερη πιθανότητα επί την αξιοπιστία της πληροφορίας και επί τη σταθερά κανονικοποίησης. Παρόλο που ο τύπος του Bayes φαίνεται ότι μπορεί να απαντήσει σε κάθε ερώτημα που αφορά την απόκτηση πρόσθετων δεδομένων, έχει δεχθεί κριτική που μπορεί να συνοψιστεί στα εξής: i i i

Συχνά υπάρχει μεγάλη αβεβαιότητα στην απόδοση της πρότερης πιθανότητας ενός ενδεχομένου, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένη εκτίμηση της ύστερης πιθανότητας. Η επικέντρωση σε στατιστικούς μέσους όρους έχει συχνά ως αποτέλεσμα οι ΑΧΑ να μην αντικατοπτρίζουν την επίδραση που θα είχαν ορισμένες ακραίες τιμές στο οικονομικό προφίλ του αποφασίζοντα. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με την ενσωμάτωση της συνάρτησης χρησιμότητας, όπως θα δούμε στην ενότητα 2.3.6. 2.3.5. Παράδειγμα 1 Ο κ. Οικονόμου διαθέτει κεφάλαιο για επένδυση ή σε βιομηχανικές μετοχές ή σε εταιρείες αμοιβαίου κεφαλαίου ή σε καταθετικό λογαριασμό. Οι πληροφορίες που έχει αναφέρουν ότι οι βιομηχανικές μετοχές έχουν τις ίδιες πιθανότητες για άνοδο, στασιμότητα ή πτώση. Στην περίπτωση ανόδου το κέρδος για το κεφάλαιό του είναι 20.000 ευρώ, ενώ στην περίπτωση στασιμότητας 1.000 ευρώ και στην περίπτωση πτώσης η ζημιά είναι επίσης 1.000 ευρώ. Στην περίπτωση εταιρειών αμοιβαίου κεφαλαίου, οι πιθανότητες είναι πάλι ίδιες για άνοδο, στασιμότητα και πτώση με τη διαφορά όμως ότι σε περίπτωση ανόδου το κέρδος είναι 10.000 ευρώ, σε στασιμότητα 6.000 ευρώ, ενώ σε περίπτωση πτώσης ο κ. Οικονόμου ούτε χάνει ούτε κερδίζει. Τέλος, αν επενδύσει σε καταθετικό λογαριασμό, το κέρδος είναι 4.000 ευρώ. Ζητείται η βέλτιστη επένδυση. Λύση: Η αντικειμενική συνάρτηση στο πρόβλημα αυτό είναι η συνάρτηση κέρδους. Το ζητούμενο, λοιπόν, είναι η βέλτιστη πολιτική ώστε το κέρδος να μεγιστοποιηθεί. Οι εναλλακτικές δράσεις είναι: επένδυση σε βιομηχανικές μετοχές, επένδυση σε εταιρείες αμοιβαίων κεφαλαίων ή επένδυση σε καταθετικό λογαριασμό. Τα ενδεχόμενα στα οποία οδηγεί κάθε εναλλακτική λύση είναι: άνοδος, στασιμότητα και πτώση. Με τα δεδομένα αυτά σχηματίζουμε το αντίστοιχο δένδρο αποφάσεων (βλ. Εικόνα 2.4), σύμφωνα με όσα αναφέραμε παραπάνω. 20.000 Α 1 Επένδυση σε βιομηχανικές μετοχές 1.000-6.000 10.000 Α 2 Επένδυση σε αμοιβαία κεφάλαια 6.000 0 Α 3 Επένδυση σε καταθετικό λογαριασμό 4.000 Εικόνα 2.4 Το δένδρο αποφάσεων του κ. Οικονόμου.

Το σημείο 1 είναι ο κόμβος απόφασης. Υπολογίζουμε τώρα την ΑΧΑ της αντικειμενικής συνάρτησης για καθεμία από τις εναλλακτικές δράσεις. Η αναμενόμενη αξία είναι το σταθμισμένο με τις πιθανότητες άθροισμα των αξιών των τριών ενδεχομένων (άνοδος, στασιμότητα, πτώση), όπου καταλήγει κάθε εναλλακτική δράση, εκτός βέβαια από την περίπτωση του καταθετικού λογαριασμού. Έτσι έχουμε: 1 2 3 (0,3320.000) (0,3310.000) (0,33 ( 6.000)) 5.000 (0,3310.000) (0,336.000) (0,330) 5.330 4.000 Α 1 Επένδυση σε βιομηχανικές μετοχές AXA = 5.000 Α 2 Επένδυση σε αμοιβαία κεφάλαια AXA = 5.330 Α 3 Επένδυση σε καταθετικό λογαριασμό 4.000 Εικόνα 2.5 Το δένδρο αποφάσεων του κ. Οικονόμου, κατόπιν υπολογισμού των ΑΧΑ (αποδόσεων) των κόμβων 2 και 3. Άρα, η βέλτιστη επένδυση, με βάση τα δεδομένα στοιχεία, είναι η A 2, δηλαδή η επένδυση σε εταιρείες αμοιβαίων κεφαλαίων. 2.3.6. Παράδειγμα 2 Η εταιρεία ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε. έχει αποκτήσει δικαιώματα για έρευνα πετρελαίου σε συγκεκριμένη περιοχή για χρονικό διάστημα 6 μηνών. Τα συνολικά διαθέσιμα κεφάλαιά της ανέρχονται σε 13 εκατομμύρια ευρώ. Οι δυνατές επιλογές για την επιχείρηση είναι τρεις: να μην προχωρήσει σε καμία έρευνα, με συνέπεια να χάσει μετά από 6 μήνες τα δικαιώματά της, να προχωρήσει άμεσα σε ερευνητική γεώτρηση, ή, τέλος, να πραγματοποιήσει σεισμολογική έρευνα, για την απόκτηση πρόσθετων δεδομένων πάνω στα οποία θα στηρίξει την απόφασή της. Τα στοιχεία που βρίσκονται στη διάθεση της διοίκησης είναι τα εξής: Η πιθανότητα ανεύρεσης πετρελαίου με τη γεώτρηση είναι 55%, το δε κόστος εκτέλεσης φθάνει τα 10 εκατ.. Το κόστος της εκτέλεσης της σεισμολογικής έρευνας φθάνει τα 3 εκατ., η δε αξιοπιστία της είναι 90% (δηλαδή η πιθανότητα θετικού αποτελέσματος, δεδομένου ότι υπάρχει πετρέλαιο).

Τέλος, σε περίπτωση ανακάλυψης πετρελαίου, εκτιμάται ότι η επιχείρηση έχει τη δυνατότητα να διαθέσει τα δικαιώματα εκμετάλλευσης του κοιτάσματος στην τιμή των 40 εκατ.. Ζητείται η βέλτιστη επιλογή. Λύση: Ουσιαστικά, ζητούμενο είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους της εταιρείας. Καταγράφουμε πρώτα στο δένδρο αποφάσεων (Εικόνα 2.6) τις αρχικές εναλλακτικές δράσεις (κόμβος απόφασης 1) και τα ενδεχόμενα στα οποία καταλήγουν: Πρώτη περίπτωση είναι η απραξία (Α 0 ), περιμένοντας να περάσει το εξάμηνο. Στο τέλος του εξαμήνου η εταιρεία θα έχει κρατήσει τα διαθέσιμα κεφάλαιά της (13 εκατ. ). Δεύτερη δράση (Α 1 ) είναι η άμεση εκτέλεση της γεώτρησης, με κόστος 10 εκατ.. Η απόφαση αυτή καταλήγει σε δύο ενδεχόμενα (κόμβος ενδεχομένων 2): η γεώτρηση συναντά εκμεταλλεύσιμο πετρέλαιο (Π), με πιθανότητα P(Π) (= 55%) ή η γεώτρηση αποδεικνύεται αρνητική (ΟΠ) (= 100% - 55% = 45%). Στο πρώτο ενδεχόμενο, η εταιρεία διαθέτει στο τέλος τα ήδη υπάρχοντα διαθέσιμα 13 εκατ. και τα κέρδη από τα δικαιώματα (40 εκατ. ), δηλαδή συνολικά 53 εκατ.. Στο δεύτερο ενδεχόμενο, στα ταμεία της εταιρείας τελικά υπάρχουν μόνο τα διαθέσιμά της δηλαδή 13 εκατ.. Στο σημείο αυτό πρέπει να παρατηρήσουμε ότι, επειδή η επίλυση του δένδρου θα γίνει με την τεχνική της αντίστροφης επαγωγής, στην τελική κατάσταση κάθε εναλλακτικής διαδρομής γράφουμε μόνον τα έσοδα χωρίς να αφαιρούμε τα κόστη, τα οποία όμως αναγράφουμε επάνω στους κλάδους για χρήση στη συνέχεια. Τρίτη εναλλακτική δράση είναι η εκτέλεση σεισμολογικής έρευνας (Α 2 ) κόστους 3 εκατ.. Η απόφαση αυτή καταλήγει σε δύο ενδεχόμενα (κόμβος ενδεχομένων 3): η σεισμολογική έρευνα αποκαλύπτει την ύπαρξη πετρελαίου (Θ), με αξιοπιστία P(Θ/Π) (= 90%), ή αποδεικνύεται αρνητική (Α), με αξιοπιστία P(Ο/Π) (= 90%). Στη συνέχεια του πρώτου ενδεχομένου (θετική σεισμολογική έρευνα), υπάρχει ο κόμβος απόφασης 4. Έχουμε, λοιπόν, δύο εναλλακτικές δράσεις: ή η εταιρεία δεν κάνει τίποτε (Α 3 ), περιμένοντας να περάσει το εξάμηνο, οπότε στο τέλος μένει με τα διαθέσιμα κεφάλαιά της (13 εκατ. ή αποφασίζει την εκτέλεση γεώτρησης (Α 4 ) με κόστος 10 εκατ.. Στη δεύτερη περίπτωση, υπάρχουν δύο ενδεχόμενα (κόμβος ενδεχομένων 5): η γεώτρηση αποδεικνύεται θετική (Π), οπότε η εταιρεία διαθέτει στο τέλος τα ήδη υπάρχοντα διαθέσιμα (13 εκατ. ) και τα κέρδη από τα δικαιώματα (40 εκατ. ), δηλαδή συνολικά 53 εκατ., ή η γεώτρηση καταλήγει αρνητική (ΟΠ), οπότε η εταιρεία στο τέλος μένει με τα ήδη υπάρχοντα διαθέσιμά της (13 εκατ. ). Στη συνέχεια του δεύτερου ενδεχομένου (σεισμολογική έρευνα αρνητική) της τρίτης εναλλακτικής δράσης υπάρχει ο κόμβος απόφασης 6, όπου έχουμε τις ίδιες δύο εναλλακτικές δράσεις. Πρώτη εναλλακτική δράση αποτελεί η απραξία (Α 5 ), με αποτέλεσμα η εταιρεία να μείνει με τα διαθέσιμα κεφάλαιά της. Δεύτερη εναλλακτική δράση είναι η εκτέλεση γεώτρησης (Α 3 ) με δύο ενδεχόμενα (κόμβος ενδεχομένων 7): η γεώτρηση είναι θετική και η εταιρεία διαθέτει συνολικά 53 εκατ. ή η γεώτρηση αποδεικνύεται αρνητική (ΟΠ) και η εταιρεία μένει με τα ήδη υπάρχοντα διαθέσιμά της (13 εκατ. ). Οι πιθανότητες είναι οι ίδιες με παραπάνω. Με βάση την τοποθέτηση αυτή σχηματίζουμε το δένδρο αποφάσεων και, στη συνέχεια, υπολογίζουμε τις πιθανότητες κάθε κλάδου ενδεχομένων. Οι συμβολισμοί, σε κάθε σημείο του δένδρου αποφάσεων, αντιστοιχούν σε όσα αναφέραμε παραπάνω. Τέλος, υπολογίζουμε την ΑΧΑ κάθε δρόμου, με σκοπό να εκτιμήσουμε τη βέλτιστη για την εταιρεία πολιτική (βλ. Εικόνες 2.7, 2.8 και 2.9). Τα ποσά εκφράζονται σε εκατ..

13 53 Α 1-10 13 Α 3 13 53 Α 4-10 13 Α 5 13 53 Α 6-10 13 Εικόνα 2.6 Το δένδρο αποφάσεων της ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε. με πιθανότητες, κόστη και τελική κατάσταση των κλάδων (υπολογισμοί σε εκατ. ). Υπολογίζουμε πρώτα τις πιθανότητες για κάθε ενδεχόμενο: P( ) 0,55 P( ) 0,45 Η αξιοπιστία της σεισμολογικής έρευνας είναι 90%. Κατά συνέπεια, έχουμε: P( / ) 0,9 P( / ) P( / ) 0,1 P( / ) Ακόμη, P( ) P( / ) P( ) P( / ) P( ) 0,90,550,10,45 0,54 P( ) 1 P( ) 0,46

13 53 Α 1-10 13 Α 3 13 Α 4-10 ΑΧΑ = 49,64 Α 5 13 Α 6-10 ΑΧΑ = 17,76 Εικόνα 2.7 Το δένδρο αποφάσεων της ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε. κατόπιν υπολογισμού των ΑΧΑ (αποδόσεων) των κόμβων 5 και 7 (υπολογισμοί σε εκατ. ). Η πιθανότητα θετικής γεώτρησης, ύστερα από θετική σεισμολογική έρευνα, δίνεται από το θεώρημα του Bayes. Έτσι έχουμε: P( / ) P( ) 0,90,55 P( / ) 0,916 P( ) 0,54 P( / ) 1 P( / ) 10,916 0,084 P( / ) P( ) 0,10,55 P( / ) 0,119 P( ) 0,46 P( / ) 1 P( / ) 10,119 0,881

13 53 Α 1-10 13 ΑΧΑ = 39,64 ΑΧΑ = 13 Εικόνα 2.8 Το δένδρο αποφάσεων της ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε.κατόπιν υπολογισμού των ΑΧΑ (αποδόσεων) των κόμβων 4 και 6 (υπολογισμοί σε εκατ. ). 13 Α 1-10 ΑΧΑ = 35 ΑΧΑ = 27,39 Εικόνα 2.9 Το δένδρο αποφάσεων της ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε. κατόπιν υπολογισμού των ΑΧΑ (αποδόσεων) των κόμβων 2 και 3 (υπολογισμοί σε εκατ. ).

Με τα δεδομένα αυτά μπορούμε να υπολογίσουμε τις αναμενόμενες χρηματικές αξίες. Έτσι, έχουμε: 7 53 P( / ) 13 P( / ) 530,119 130,88117, 76 6 max ( 7 10, 13) max (17, 7610, 13) 13 5 53 P( / ) 13 P( / ) 530,916 130, 084 49, 64 4 max (13, 5 10) max (13, 49, 6410) 39, 64 3 4 P( ) 6 P( ) 39, 640,54 130, 46 27,39 2 53 P( ) 13 P( ) 530,55 130, 45 35 1 max (13, 2 10, 3 3) max (13, 3510, 27,39 3) 25 Η μέγιστη αναμενόμενη αξία, λοιπόν, αποδίδεται στον δρόμο Α 1 και ισούται με 25 εκατ.. Επομένως, η εταιρεία θα πρέπει να προχωρήσει άμεσα στην εκτέλεση ερευνητικής γεώτρησης. Από τη σχέση που δίνει την ΑΧΑ(1) φαίνεται ότι, αν 27,39 K=35 10, δηλαδή το κόστος K της σεισμολογικής έρευνας είναι 2,39 εκατ., οι εναλλακτικές Α1 και Α2 είναι ισοδύναμες. Αν το κόστος της σεισμολογικής έρευνας μειωθεί περισσότερο (K<2,39), τότε η εναλλακτική δράση Α2, δηλαδή η εκτέλεση πρώτα σεισμολογικής έρευνας, γίνεται πιο συμφέρουσα. 2.3.7. Χρησιμότητα Η «χρησιμότητα» μιας απόδοσης ενός συγκεκριμένου κόμβου μπορεί να οριστεί ως η αριθμητική αξία της για τον αποφασίζοντα. Ο ορισμός αυτός μπορεί εκ πρώτης όψεως να φαίνεται ως ταυτολογία, ας σκεφτούμε όμως το παράδειγμα της γιορτής στην εισαγωγή της ενότητας 2.3. Τα ενδεχόμενα που αντιμετωπίζουμε είναι: 1. Κάνουμε τη γιορτή στον κήπο και δεν βρέχει. 2. Κάνουμε τη γιορτή στο σαλόνι και βρέχει. 3. Κάνουμε τη γιορτή στο σαλόνι και δεν βρέχει. 4. Κάνουμε τη γιορτή στον κήπο και βρέχει. Η ανωτέρω κατάταξη των τεσσάρων ενδεχομένων φαίνεται λογική με φθίνουσα σειρά επιθυμίας. Πώς όμως θα ποσοτικοποιήσουμε την αξία κάθε ενδεχομένου, έτσι ώστε να αποτιμήσουμε την ΑΧΑ του κόμβου απόφασης, αφού τα ενδεχόμενα δεν αποδίδονται αριθμητικά; Δεδομένου ότι δεν μπορεί να εφαρμοστεί κάποιο κριτήριο λήψης αποφάσεων, αν δεν ποσοτικοποιηθούν όλες οι αποδόσεις σε ίδιες μονάδες μέτρησης, το πρώτο βήμα για τη διαδικασία λήψης αποφάσεων είναι ο προσδιορισμός της χρησιμότητας των μη αριθμητικών αλλά και πολλές φορές των αριθμητικών αποδόσεων, όπως θα δούμε παρακάτω. Η χρησιμότητα συνήθως ταυτίζεται με τη χρηματική αξία, παρότι η προσέγγιση αυτή δεν είναι πάντα η κατάλληλη. Η απόδοση 200.000 μπορεί να είναι διπλάσια από εκείνη των 100.000. Παρ όλα αυτά τα πρώτα 100.000 μπορεί να καλύπτουν όλες τις άμεσες επιθυμίες του επενδυτή, οπότε να μην έχει την ίδια διάθεση να διακινδυνεύσει για τα επόμενα 100.000. Σε παρόμοιες περιπτώσεις, όπου οι τιμές σε ευρώ δεν αντικατοπτρίζουν την αληθινή αξία μιας απόδοσης σε σχέση με μια εναλλακτική της, θα πρέπει αντί της νομισματικής να χρησιμοποιηθεί άλλη μονάδα μέτρησης. Πριν συνεχίσουμε, θα πρέπει να ορίσουμε την «κλήρωση» Ӄ (Α, Β, p)ως μια τυχαία διαδικασία με δύο ενδεχόμενα, Α και Β, τα οποία πραγματοποιούνται με πιθανότητες p και 1 p αντίστοιχα. Με βάση αυτό τον ορισμό, για να καθορίσουμε τις χρησιμότητες μιας σειράς αποδόσεων, ακολουθούμε την εξής διαδικασία:

1. Κατατάσσουμε τις αποδόσεις με σειρά φθίνουσας επιθυμίας: Μ 1,, Μ n. Προφανώς, για i < j,το Μ i είναι περισσότερο ή το ίδιο επιθυμητό με το Μ j. 2. Αποδίδουμε αριθμητικές τιμές U(Μ 1 ) και U(Μ n ) στις αποδόσεις Μ 1 και Μ n, έτσι ώστε U(Μ 1 ) > U(Μ n ). 3. Για κάθε απόδοση Μ i μεταξύ των Μ 1 και Μ n προσδιορίζουμε το σημείο αδιαφορίας, το οποίο εκφράζεται από εκείνη την πιθανότητα p i για την οποία ο αποφασίζων είναι αδιάφορος εάν θα λάβει την απόδοση Μ i ή θα συμμετάσχει σε μια κλήρωση Ӄ (Μ 1, Μ n, p i ). Πρόκειται, δηλαδή, για την πιθανότητα για την οποία δέχεται να διακινδυνεύσει τη σίγουρη απόδοσή του έναντι του να κερδίσει τη μέγιστη απόδοση Μ 1 ή να χάσει και να καταλήξει στην ελάχιστη Μ n. Προφανώς, όσο πιο μεγάλη αξία έχει για αυτόν η Μ i τόσο πιο μεγάλη θα είναι και η πιθανότητα επιτυχίας που θα απαιτεί για να παραιτηθεί από αυτήν. Οριακά, θα παραιτηθεί από τη Μ i, μόνον εάν του δοθεί η Μ 1, δηλαδή το σημείο αδιαφορίας θα είναι στο 100% και στην ουσία το χρηματικό ποσό Μ i θα αξίζει όσο και το χρηματικό ποσό Μ 1 (παρότι μεγαλύτερο εξ ορισμού) για τον αποφασίζοντα. 4. Ορίζουμε ως U(Μ i ) = p i U(Μ 1 ) + (1 p i )U(Μ n ) τη χρησιμότητα της απόδοσης Μ i. Παρόλο που η ανωτέρω διαδικασία και ειδικότερα το τέταρτο βήμα είναι αρκετά υποκειμενική, αναμένουμε ότι η καμπύλη που θα προκύψει από την παρεμβολή των U(Μ 1 ) U(Μ n ) θα παραμένει σταθερή για τον αποφασίζοντα, τουλάχιστον κατά τη διάρκεια της επένδυσης. Επίσης, θεωρούμε λογικό ότι η διάταξη των U(Μ i ) θα είναι ίδια με εκείνη των Μ i. Η καμπύλη που δημιουργείται με τον ανωτέρω τρόπο ονομάζεται «συνάρτηση χρησιμότητας» και εκφράζει τη σημασία που αποδίδει το εν λόγω άτομο ή ομάδα στις χρηματικές ή άλλες αξίες, υπό δεδομένες συγκυρίες και για δεδομένα ποσά. Έμμεσα, η καμπύλη χρησιμότητας αποτελεί και μέτρο της τολμηρότητας του επενδυτή, δηλαδή της πρόθεσής του να διακινδυνεύσει τα κεφάλαια που έχει στη διάθεσή του. (α) (β) (γ) Εικόνα 2.10 Μορφή της συνάρτησης χρησιμότητας χρηματικών αξιών ενός (α) συντηρητικού, (β) ριψοκίνδυνου και (γ) ουδέτερου επενδυτή. Στην Εικόνα 2.10 εμφανίζονται συγκριτικά οι τυπικές μορφές που θα μπορούσε να έχει η συνάρτηση χρησιμότητας για έναν συντηρητικό και έναν ριψοκίνδυνο επενδυτή. Επίσης, παρουσιάζεται και η συμπεριφορά ενός ουδέτερου επενδυτή, ο οποίος δίνει στο χρήμα ακριβώς την αναγραφόμενη αξία. Παρόλο που αρκετοί άνθρωποι μπορεί να εμφανίζονται ως ουδέτεροι με σχετικά μικρά χρηματικά ποσά, είναι αρκετά ασυνήθιστο να συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο, όταν πρόκειται για πολύ μεγάλα ποσά. Στη συνέχεια θα αναλύσουμε περαιτέρω το παράδειγμα 2, στην περίπτωση που μας δίνεται η συνάρτηση χρησιμότητας του διοικητικού συμβουλίου της ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε., η οποία έστω ότι συνοψίζεται στον Πίνακα 2.5.

Χρηματική αξία Χρησιμότητα 3 10 10 30 13 40 53 53 Πίνακας 2.5 Χρησιμότητες για την ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε. Στον ανωτέρω πίνακα, όπως και στην Εικόνα 2.11, φαίνεται η συντηρητική συμπεριφορά της εταιρείας, η οποία μπορεί να δικαιολογηθεί από το γεγονός ότι τα διαθέσιμα κεφάλαιά της είναι ακριβώς ίσα με τις δαπάνες που θα απαιτηθούν συνολικά για τη διενέργεια της σεισμολογικής έρευνας και της γεώτρησης. Έτσι, το χειρότερο σενάριο, που αφορά τη διενέργεια όλης της έρευνας με τελική κατάληξη τη μη ανεύρεση πετρελαίου, θα αφήσει την εταιρεία με μηδενικούς πόρους. Για το λόγο αυτό, το διοικητικό συμβούλιο αντιμετωπίζει με ιδιαίτερη προσοχή τα πρώτα 13 εκατ. ευρώ της κλίμακας χρηματικών αξιών, ενώ αντίθετα δεν αποδίδει την ίδια αξία στις υπόλοιπες αναμενόμενες αποδόσεις. 60 Χρησιμότητα (εκατ. ) 40 20 0 0 20 40 60 Αξία (εκατ. ) Εικόνα 2.11 Συνάρτηση χρησιμότητας της ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε. Με διακεκομμένη γραμμή διακρίνεται η ουδέτερη συμπεριφορά. Με τα δεδομένα αυτά μπορούμε να υπολογίσουμε τις αναμενόμενες χρησιμότητες των κόμβων. Έτσι, έχουμε:

7 53 P( / ) 40 P( / ) 530,119 400,881 41,55 6 max ( 7 20, 40) max (41,55 20, 40) 40 5 53 P( / ) 40 P( / ) 530,916 400, 084 51,90 4 max (40, 5 20) max (40, 31,90 20) 40 P 3 4 ( ) 6 P( ) 400,54 400, 46 40 2 53 P( ) 40 P( ) 530,55 400, 45 47,15 1 max (40, 2 20, 3 10) max (40, 47,15 20, 4010) 40 40 Α 1-30 ΑΧΑ = 47,15 ΑΧΑ = 40 Εικόνα 2.12 Το νέο δένδρο αποφάσεων της ΠΕΤΡΟΛ Α.Ε. κατόπιν υπολογισμού των αποδόσεων των κόμβων 2 και 3, λαμβάνοντας υπ όψιν τη συνάρτηση χρησιμότητας (υπολογισμοί σε εκατ. ). Η μέγιστη αναμενόμενη χρησιμότητα, λοιπόν, όπως φαίνεται και στην Εικόνα 2.12, αποδίδεται αυτή τη φορά στον δρόμο Α 0 και ισούται με 40 εκατ.. Επομένως, η εταιρεία δεν θα πρέπει να προχωρήσει σε καμία κίνηση, παρά να διατηρήσει τα διαθέσιμα κεφάλαιά της. Βιβλιογραφία Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. & K. Martin. 2014. Διοικητική Επιστήμη: Ποσοτικές μέθοδοι για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων. Αθήνα: Κριτική. Bellman, R. 1953. An Introduction to the Theory of Dynamic Programming. RAND Corp. Report.