5. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΚΙΝΗΤΟΥΣ ΜΕΣΟΥΣ

5. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΚΙΝΗΤΟΥΣ ΜΕΣΟΥΣ Κατά την επιλογή της μεθόδου πρόβλεψης, μια καλή στρατηγική αξιολόγησής της περιλαμβάνει το εξής βήματα: (α) Επιλογή της μεθόδου πρόβλεψης με βάση τη διαίσθηση του αρμόδιου ερευνητή για την φύση και την προέλευση των δεδομένων. (β) Διαχωρισμός των δεδομένων σε δύο χρονικές περιόδους: την περίοδο προσαρμογής και την περίοδο δοκιμασίας. (γ) Εκτίμηση των παραμέτρων του επιλεγέντος μοντέλου με τη βοήθεια των δεδομένων της περιόδου προσαρμογής και υπολογισμός των προσαρμοσμένων τιμών της υπό μελέτη μεταβλητής. (δ) Υπολογισμός των προβλέψεων για την περίοδο δοκιμασίας απ όπου και υπολογίζεται το σφάλμα της πρόβλεψης. (ε) Λήψη απόφασης: είτε αποδοχής του αρχικού μοντέλου είτε αντικατάστασή του με άλλο και σύγκριση εν συνεχεία των αποτελεσμάτων. 5.1 ΤΟ ΑΠΛΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Παράδειγμα 5.1 Στο αρχείο C:\ Forecasting Lab Data\ Saw Sales.MTW περιέχονται τριμηνιαία δεδομένα για τις πωλήσεις πριονιών μιάς εταιρείας εργαλείων. Θα προσαρμόσουμε στα δεδομένα το απλό (Naive) μοντέλο σύμφωνα με το οποίο η πιο πρόσφατη παρατήρηση είναι η καλύτερη πρόβλεψη, Yˆt 1 = Y t. 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Data Copy Columns to Columns. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Copy Columns to Colymns που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε C1 Saws από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Copy from columns:. (b) Στο πλαίσιο Store Copied Data in Columns επιλέγουμε πατώντας το βέλος In current worksheet, in columns. (γ) Στο πλαίσιο που ακολουθεί πληκτρολογούμε NaiveFor. (δ) Αποεπιλέγουμε το πλαίσιο Name the columns containing the copied data. 6. Πατάμε ΟΚ και στο worksheet εμφανίζεται μία τρίτη στήλη με τον τίτλο C3 NaiveFor με τα δεδομένα της στήλης C1 Saws. 7. Επιλέγουμε το πρώτο κελί της στήλης NaiveFor και από τη γραμμή εργαλείων πατάμε το κουμπί Insert Cell. Τα δεδομένα μετακινούνται ένα κελί προς τα κάτω ενώ στο πρώτο κελί εμφανίζεται αστερίσκος. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 77

Για να πάρουμε τη γραφική παράσταση των προβλέψεων πάνω στο διάγραμμα της χρονοσειράς: 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Time Series Plot. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Time Series Plots που εμφανίζεται επιλέγουμε Multiple OK. 3. Στο πλαίσιο διαλόγου Time Series Plots Multiple που εμφανίζεται, διπλοπατάμε C1 Saws και C3 NaiveFor από τον αριστερό κατάλογο. 4. Πατάμε ΟΚ οπότε στο Graph Window έχουμε τα διαγράμματα των δύο χρονοσειρών με υστέρηση μιας χρονικής περιόδου. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 78

Προκειμένου να βελτιώσουμε το απλό μοντέλο έτσι ώστε να μπορεί να περιγράψει την τάση, το αντικαθιστούμε με το Yˆt 1 = Yt ( Yt Yt 1). 1. Από την γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Differences. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Differences που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε στο C1 Saws από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Series:. (β) Στο πλάισιο Store differences in: πληκτρολογούμε Differences. (γ) Στο πλαίσιο Lag: δίνουμε 1. 3. Πατάμε ΟΚ, οπότε εμφανίζεται στο Worksheet η στήλη C4 Differences με τις διαφορές. 4. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Calc Calculator. 5. Στο πλαίσιο διαλόγου Calculator που εμφανίζεται: (α) (β) Πληκτρολογούμε ImpNaiveFor στο πλαίσιο Store result in variable:. Από τον αριστερό κατάλογο διπλοπατάμε στο C1 Saws για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Expression:. (γ) Από το πληκτρολόγιο στο κέντρο πατάμε το πλήκτρο. (δ) Από τον αριστερό κατάλογο διπλοπατάμε στο C4 Differences, έτσι ώστε στο πλαίσιο Expression: σχηματίζεται η έκφραση Saws + Differences. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 79

6. Πατάμε ΟΚ, οπότε εμφανίζεται στο Worksheet η στήλη C5 ImpNaiveFor. 7. Επιλέγουμε το πρώτο κελί της στήλης C5 ImpNaiveFor και από τη γραμμή εργαλείων πατάμε το κουμπί Insert Cell. Τα δεδομένα μετακινούνται ένα κελί προς τα κάτω ενώ στο πρώτο κελί εμφανίζεται και άλλος αστερίσκος. H μετασχηματισμένη στήλη C5 ImpNaiveFor περιέχει τις βελτιωμένες προβλέψεις, η γραφική παράσταση των οποίων δίνεται παρακάτω. 5.2 ΚΙΝΗΤΟΙ ΜΕΣΟΙ Παράδειγμα 5.2 Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\ Gasoline.MTW περιέχονται εβδομαδιαία δεδομένα για τις ανάγκες σε καύσιμα (γαλόνια) του στόλου των φορτηγών μιάς μεταφορικής εταιρείας. Για να προσαρμόσουμε στα δεδομένα ένα κινητό μέσο (moving average) 5 εβδομάδων: 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Moving Average. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Moving Average που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε στη μεταβλητή Gallons από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable:. (β) Στο πλαίσιο MA length: δίνουμε 5. (γ) Επιλέγουμε το Generate forecasts και στο πλαίσιο Number of forecasts: δίνουμε 1. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 80

3. Πατάμε στο κουμπί Storage. Στο πλαίσιο διαλόγου Moving Average Storage που εμφανίζεται, επιλέγουμε τα Moving averages και Residuals, προκειμένου να αποθηκευθούν τα αποτελέσματα αυτά στις στήλες C2 AVER1 και C3 RESI1 του Worksheet. 4. Πατάμε ΟΚ οπότε έχουμε το διάγραμμα και από το Session Window έχουμε τις πληροφορίες Για να πάρουμε την συνάρτηση αυτοσυχέτισης των υπολοίπων (residuals) του κινητού μέσου των 5 εβδομάδων: Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 81

1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Autocorrelation. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Autocorrelation Function που εμφανίζεται, διπλοπατάμε στο C3 RESI1 για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Series: 3. Πατάμε ΟΚ, οπότε έχουμε το παρακάτω διάγραμμα και από το Session Window πληροφορίες Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 82

Το στατιστικό Ljung-Box καταδεικνύει ότι υπάρχει αυτοσυσχέτιση μεταξύ των υπολοίπων, ότι δηλαδή αυτά δεν είναι τυχαία. 5.3 ΔΙΠΛΟΙ ΚΙΝΗΤΟΙ ΜΕΣΟΙ Παράδειγμα 5.3 Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\ Video Rentals.MTW υπάρχουν δεδομένα για τις εβδομαδιαίες ενοικιάσεις Video σε ένα Video Club. Για να προσαρμόσουμε ένα διπλό κινητό μέσο 3 εβδομάδων στη χρονοσειρά: 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Moving Averages. 2. Από το πλαίσιο διαλόγου Moving Average που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε στο C1 Units για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable:. (β) Στο πλαίσιο MA length: δίνουμε 3. (γ) Επιλέγουμε το Generate forecasts και στο πλαίσιο Number of forecasts: δίνουμε 1 3. Πατάμε στο κουμπί Storage, και στο πλαίσιο διαλόγου Moving Average Storage που εμφανίζεται επιλέγουμε Moving averages για να αποθηκευθούν τα αποτελέσματα στη στήλη C2 AVER1 του Worksheet. 3. Πατάμε δύο φορές ΟΚ και επιστρέφουμε στο Worksheet. Η στήλη C2 AVER1 είναι ο απλός κινητός μέσος. 4. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Moving Averages. 5. Από το πλαίσιο διαλόγου Moving Average που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε το C2 AVER1 για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable:. (β) Στο πλαίσιο MA length: δίνουμε 3. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 83

(γ) Αποεπιλέγουμε το Generate forecasts. 6. Πατάμε ΟΚ και επιστρέφουμε στο Worksheet, όπου η στήλη C3 AVER2 είναι ο διπλός κινητός μέσος. Δίνεται παρακάτω η γραφική παράσταση της χρονοσειράς με τους δύο κινητούς μέσους Θα υπολογίσουμε τώρα την πρόβλεψη μιάς ( p 1) περιόδου που δίνεται από το τύπο Yˆt p = at bt p όπου ' 2 ' at 2M t M t και b ( M M ) t k 1 t t ' με M t = ΜΑ( k ), M t = διπλός ΜΑ( k ) και p ο ορίζοντας πρόβλεψης. 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Calc Calculator. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Calculator που εμφανίζεται: (α) Πληκτρολογούμε Alpha στο πλαίσιο Store result in variable:. (β) Από το πληκτρολόγιο που υπάρχει στο κέντρο πατάμε το πλήκτρο με το 2. (γ) Από το πληκτρολόγιο πατάμε το πλήκτρο. (δ) Από τον αριστερό κατάλογο διπλοπατάμε στο C2 AVER1 για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Expression:. (ε) Από το πληκτρολόγιο πατάμε το πλήκτρο. (ζ) Από τον αριστερό κατάλογο διπλοπατάμε στο C3 AVER2, έτσι ώστε στο πλαίσιο Expression: σχηματίζεται η έκφραση 2* Aver1 - Aver2. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 84

3. Πατάμε ΟΚ, οπότε εμφανίζεται στο Worksheet η στήλη C4 Alpha. 4. Στη γραμμή εργαλείων πατάμε το κουμπί Edit Last Dialog οπότε επανεμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου Calculator με τις προηγούμενες επιλογές. (α) Πληκτρολογούμε Beta στο πλαίσιο Store result in variable:. (β) Διαγράφουμε το περιεχόμενο του πλαισίου Expression:. (γ) Από τον αριστερό κατάλογο διπλοπατάμε στο C2 AVER1. (δ) Από το πληκτρολόγιο πατάμε το πλήκτρο. (ε) Από τον αριστερό κατάλογο διπλοπατάμε στο C3 AVER2, έτσι ώστε στο πλαίσιο Expression: σχηματίζεται η έκφραση Aver1 - Aver2. 5. Πατάμε ΟΚ, οπότε εμφανίζεται στο Worksheet η στήλη C5 Beta. 6. Στη γραμμή εργαλείων πατάμε το κουμπί Edit Last Dialog. (α) Πληκτρολογούμε Forecast στο πλαίσιο Store result in variable:. (β) Διαγράφουμε το περιεχόμενο του πλαισίου Expression:. (γ) Από τον αριστερό κατάλογο διπλοπατάμε στο C4 Alpha. (δ) Από το πληκτρολόγιο στο κέντρο πατάμε το πλήκτρο. (ε) Από το πληκτρολόγιο πατάμε το πλήκτρο 1. (ζ) Από το πληκτρολόγιο πατάμε το πλήκτρο. (η) Από τον αριστερό κατάλογο διπλοπατάμε στο C5 Beta έτσι ώστε στο πλαίσιο Expression: σχηματίζεται η έκφραση Alpha + 1* Beta. 7. Πατάμε ΟΚ, οπότε εμφανίζεται στο Worksheet η στήλη C6 Forecast με τις προβλέψεις της μιάς περιόδου. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 85

5.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Mία επιχείρηση που κατασκευάζει ανταλλακτικά δεν έχει κάποιο σύστημα πρόβλεψης της μελλοντικής της ζήτησης έτσι ώστε βασίζει την παραγωγή της στη ζήτηση του προηγούμενου μήνα. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Replacement Parts.MTW υπάρχουν μηνιαία δεδομένα των πωλήσεων της επιχείρησης για τα έτη 2001 και 2002. (α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της χρονοσειράς. Υπάρχει εποχικότητα; (β) Να προσαρμόσετε το απλό μοντέλο για την πρόβλεψη των μηνιαίων πωλήσεων. (γ) Να προσαρμόσετε κάποιο κινητό μέσο κατά την προσωπική σας εκτίμηση που να περιγράφει τη χρονοσειρά. (δ) Να συγκρίνετε τα μοντέλα στα (β) και (γ) με βάση το MAPE. 2. H απόδοση της μετοχής μιάς επιχείρησης παρουσιάζει διακυμάνσεις που οφείλονται την γενικότερη οικονομική κατάσταση που επικρατεί. Δίνονται παρακάτω οι μηνιαίες αποδόσεις της μετοχής για το 2002. Μήνας Απόδοση Ιανουάριος 9.29 Φεβρουάριος 9.99 Μάρτιος 10.16 Απρίλιος 10.25 Μάϊος 10.61 Ιούνιος 11.07 Ιούλιος 11.52 Αύγουστος 11.09 Σεπτέμβριος 10.80 Οκτώβριος 10.50 Νοέμβριος 10.86 Δεκέμβριος 9.97 (α) (β) (γ) (δ) Να προσαρμόσετε δύο κινητούς μέσους 3 και 5 μηνών στα δεδομένα και να υπολογίσετε τις προβλέψεις από τους μήνες Απρίλιο και Ιούνιο αντίστοιχα. Να συγκρίνετε τις προβλέψεις στο (α) με βάση το κριτήριο MAD. Να συγκρίνετε τις προβλέψεις στο (α) με βάση το κριτήριο MSD. Να υπολογίσετε την πρόβλεψη για τον Ιανουάριο 2003 που προκύπτει από το καλύτερο μοντέλο. 3. Μία εταιρεία διαχείρισης χαρτοφυλακίων δραστηριοποιείται σε κυρίως σε μετοχές μεσαίας και υψηλής ποιότητας. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Asset Value.MTW υπάρχουν τριμηνιαία δεδομένα για τα περιουσιακά στοιχεία της εταιρείας ανά μετοχή στη χρονική περίοδο 1985 έως το 1 ο τρίμηνο του 1996. Να αξιολογήσετε τη δυνατότητα πρόβλεψης των περιουσιακών στοιχείων της εταιρείας ανά μετοχή με μία από τις παρακάτω μεθόδους: Απλό μοντέλο, Κινητός μέσος, Διπλός κινητός μέσος. Κατά την αξιολόγηση να έχετε υπ όψη ότι η πραγματική τιμή των περιουσιακών στοιχείων ανά μετοχή της εταιρείας για το 2 ο τρίμηνο του 1996 ήταν 26.47. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 86

4. Μία εταιρεία που δραστηριοποείται στο χώρο της ενέργειας εντοπίζει και παράγει πετρέλαιο και φυσικό αέριο. Η εταιρεία ενδιαφέρεται να προβλέψει τον όγκο των πωλήσεών της ανά μετοχή. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Sales per Share.MTW υπάρχουν ετήσια δεδομένα για τις πωλήσεις της εταιρείας στη χρονική περίοδο 1974 έως 1999. Να προσδιορίσετε την καλύτερη μέθοδο πρόβλεψης με βάση τους μέσους όρους και να υπολογίσετε την πρόβλεψη για το έτος 2000. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 87

Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 88

6. ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ Ενώ η μέθοδος των κινητών μέσων λαμβάνει υπ όψη μόνο τις πιο πρόσφατες παρατηρήσεις, η απλή εκθετική εξομάλυνση υπολογίζει ένα σταθμισμένο κινητό μέσο με εκθετικά βάρη για όλες τις προηγούμενες παρατηρήσεις. Η πιό πρόσφατη παρατήρηση παίρνει το μεγαλύτερο βάρος (όπου 0 1), η αμέσως επόμενη παίρνει λιγότερο βάρος (1 ), η αμέσως επόμενη ακόμη λιγότερο βάρος (1 ) 2, κ.λ.π. 6.1 ΑΠΛΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ Ανοίγουμε το αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Saw Sales.MTW. Για να προσαρμόσουμε την απλή εκθετική εξομάλυνση για 0.1: 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Single Exponential Smoothing. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Single Exponential Smoothing που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε στη μεταβλητή C1 Saws από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable:. (β) Κάτω από το Weight to Use in Smoothing επιλέγουμε Use και στο αντίστοιχο πλαίσιο πληκτρολογούμε 0.1. 3. Πατάμε στο κουμπί Storage και στο πλαίσιο διαλόγου Single Exponential Smoothing Storage που εμφανίζεται επιλέγουμε Residuals για να αποθηκευθούν τα αποτελέσματα στη στήλη C3 RESI1 4. Πατάμε δύο φορές ΟΚ οπότε έχουμε το διάγραμμα Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 89

Προκειμένου να βελτιώσουμε το μοντέλο θα δοκιμάσουμε την προσαρμογή ενός άλλου με 0.6. Στην περίπτωση αυτή το διάγραμμα είναι απ όπου με βάση το MSD προκύπτει κάποια βελτίωση. Θα πρέπει όμως να δώσουμε στο Minitab την ευκαιρία να υπολογίσει για μας την άριστη τιμή του. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί αν στο πλαίσιο διαλόγου Single Exponential Smoothing επιλέξουμε το Optimal ARIMA. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 90

Στην περίπτωση αυτή το διάγραμμα είναι Μία από τις πληροφορίες που μας δίνει το διάγραμμα είναι ότι η άριστη τιμή της σταθεράς εξομάλυνσης είναι 0.278. Η τιμή αυτή προέκυψε από τη διαδικασία ελαχιστοποίησης του MSE (στο Minitab αναφέρεται σαν MSD). Για να πάρουμε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης των υπολοίπων: 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Autocorrelation. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Autocorrelation Function που εμφανίζεται, διπλοπατάμε στο C3 RESI1 για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Series: 3. Πατάμε ΟΚ, οπότε από το Graph Window έχουμε Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 91

Από το διάγραμμα προκύπτει ότι τα υπόλοιπα είναι αυτοσυσχετισμένα για χρονικές υστερήσεις 2 και 4 πράγμα που σημαίνει ότι η εποχικότητα στα δεδομένα δεν μπορεί να περιγραφεί από την απλή εκθετική εξομάλυνση. Εξάλλου από το Session Window έχουμε: Η τιμή 45.40 του στατιστικού LBQ για τις 6 πρώτες υστερήσεις καταδεικνύει ότι οι πρώτες 6 αυτοσχυσχετίσεις των υπολοίπων σαν ομάδα είναι μεγαλύτερες απ ότι στην περίπτωση που τα υπόλοιπα θα ήταν τυχαία. 6.2 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΤΑΣΗΣ (Holt) Για να προσαρμόσουμε την εκθετική εξομάλυνση για την τάση του Holt στο αρχείο Saw Sales.MTW: 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Double Exp Smoothing. Στο Minitab η μέθοδος Holt γαι την εξομάλυνση της τάσης είναι χαρακτηρισμένη σαν Double Exponential Smoothing. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Double Exponential Smoothing που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε στη μεταβλητή Saws από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable:. (β) Επιλέγουμε το Use. (γ) Στο πλαίσιο for level: δίνουμε 0.3. (δ) Στο πλαίσιο for trend: δίνουμε 0.1. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 92

(ε) Πατάμε στο κουμπί Storage και στο πλαίσιο Double Exponential Smoothin που εμφανίζεται επιλέγουμε τα Level estimates, Trend estimates, Fits (one-period-ahead forecasts) και Residuals. 3. Πατάμε 2 φορές ΟΚ, οπότε στο Graph Window εμφανίζεται το διάγραμμα Η τιμή 0.3 είναι πολύ κοντά στην άριστη τιμή 0.278 που χρησιμοποιήθηκε στην απλή εκθετική εξομάλυνση. Το Minitab χρησιμοποιεί σταθερά γ = β της θεωρίας. Με βάση το MSD η μέθοδος Holt δεν περιγράφει καλύτερα τα δεδομένα Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 93

από την απλή εκθετική εξομάλυνση. Συγκρίνοντας τα MAPE προκύπτει ότι οι δύο μέθοδοι είναι ισοδύναμες. H συνάρτηση αυτοσυσχέτισης των υπολοίπων C7 RESI1 από το Graph Window δίνει απ όπου προκύπτει ότι οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης για χρονικές υστερήσεις 2 και 4 είναι στατιστικά σημαντικοί. Από το Session Window έχουμε απ όπου προκύπτει ότι για 6 χρονικές υστερήσεις το στατιστικό LBQ έχει την (μεγάλη) τιμή 47.13 που σημαίνει ότι τα υπόλοιπα είναι αυτοσυσχετισμένα και όχι τυχαία. Εξάλλου η μεγάλη αυτοσυσχέτιση των υπολοίπων στις χρονικές υστερήσεις 2 και 4 είναι μία ένδειξη ότι μπορεί να υπάρχει εποχικότητα στα δεδομένα. Γενικώς τα αποτελέσματα των παραδειγμάτων τη απλής εκθετικής εξομάλυνσης και της μεθόδου Holt είναι παρόμοια αφού οι δύο μέθοδοι χρησιμοποιούν σχεδόν το ίδιο (0.278 και 0.3) και σχεδόν το ίδιο (0 και 0.1). 6.3 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΤΑΣΗΣ KAI ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ (Winter) Για να προσαρμόσουμε την εκθετική εξομάλυνση για την τάση και εποχικότητα του Winter στο αρχείο Saw Sales.MTW: 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Winters Method. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Winters Method που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε στη μεταβλητή Saws από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable:. (β) Στο πλαίσιο Seasonal length δίνουμε 4. (γ) Στην περιοχή Weights to Use in Smoothing και στο πλαίσιο Level: δίνουμε 0.4. (δ) Στο πλαίσιο Trend: δίνουμε 0.1. (ε) Στο πλαίσιο Seasonal: δίνουμε 0.3. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 94

(ζ) Επιλέγουμε το Generate forecasts και στο πλαίσιο Number of forecasts: δίνουμε 4. 3. Πατάμε στο κουμπί Storage. 4. Στο πλαίσιο διαλόγου Winters Method Storage που εμφανίζεται, επιλέγουμε τα: Level estimates, Trend estimates, Seasonal Estimates, Fits (one-period-ahead forecasts) και Residuals. 5. Πατάμε δύο φορές ΟΚ, οπότε εμφανίζεται το διάγραμμα Το Minitab χρησιμοποιεί σταθερές γ = β και δ = γ της θεωρίας. Για τις συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων και με βάση το MSD η μέθοδος Winter είναι καλύτερη των δύο προηγουμένων. Αυτό εξάλλου επιβεβαιώνεται και από την καλή προσαρμογή Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 95

των προβλέψεων πάνω στα πραγματικά δεδομένα. H συνάρτηση αυτοσυσχέτισης των υπολοίπων C7 RESI1 από το Graph Window δίνει απ όπου και είναι φανερό ότι καμμία αυτοσυσχέτιση δεν είναι στατιστικά σημαντική ενώ από το Session Window έχουμε όπου το στατιστικό LBQ για 6 χρονικές υστερήσεις έχει μικρή τιμή 3.77 που σημαίνει ότι τα υπόλοιπα είναι τυχαία. Συνοψίζοντας η μέθοδος Winter περιγράφει ικανοποιητικά την χρονοσειρά των δεδομένων. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 96

6.4 AΣΚΗΣΕΙΣ 1. Μία βιομηχανία της οποίας τα λειτουργικά έξοδα ανέρχονται σε 37 εκατομμύρια ενδιαφέρεται για αξιόπιστες προβλέψεις των εσόδων της. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Revenues.MTW υπάρχουν τριμηνιαία δεδομένα για τα έσοδα της βιομηχανίας την περίοδο 1986 έως και 1999. (α) Να χρησιμοποιήσετε την μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης με σταθερά εξομάλυνσης 0.4 και αρχική τιμή την 77.4 για να προβλέψετε το 1 ο τρίμηνο του 2000. (β) Να επαναλάβετε το ίδιο με σταθερά εξομάλυνσης 0.6. (γ) (δ) Ποιά σταθερά εξομάλυνσης δίνει καλύτερη πρόβλεψη; Για την καλύτερη μέθοδο από το (γ) να εξετάσετε τις αυτοσυσχετίσεις των υπολοίπων. Τι συμπεραίνετε; 2. Μία εταιρεία διαχείρισης χαρτοφυλακίων δραστηριοποιείται σε κυρίως σε μετοχές μεσαίας και υψηλής ποιότητας. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Asset Value.MTW υπάρχουν τριμηνιαία δεδομένα για τα περιουσιακά στοιχεία της εταιρείας ανά μετοχή στη χρονική περίοδο 1985 έως το 1 ο τρίμηνο του 1996. Να αξιολογήσετε τη δυνατότητα πρόβλεψης των περιουσιακών στοιχείων της εταιρείας ανά μετοχή με μία από τις παρακάτω μεθόδους: Απλή εκθετική εξομάλυνση, Εξομάλυνση για την τάση (Holt), Εξομάλυνση για την τάση και εποχικότητα (Winter). Κατά την αξιολόγηση να έχετε υπ όψη ότι η πραγματική τιμή των περιουσιακών στοιχείων ανά μετοχή της εταιρείας για το 2 ο τρίμηνο του 1996 ήταν 26.47. 3. Mία επιχείρηση που κατασκευάζει ανταλλακτικά δεν έχει κάποιο σύστημα πρόβλεψης της μελλοντικής ζήτησης έτσι ώστε βασίζει την παραγωγή της στη ζήτηση του προηγούμενου μήνα. C:\Forecasting Lab Data\Replacement Parts.MTW υπάρχουν μηνιαία δεδομένα για τις πωλήσεις της επιχείρησης για τα έτη 2001 και 2002. (α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της χρονοσειράς. Υπάρχει εποχικότητα; (β) Να προσαρμόσετε το μοντέλο της απλής εξομάλυνσης για την πρόβλεψη των μηνιαίων πωλήσεων. (γ) Να προσαρμόσετε το μοντέλο της εξομάλυνσης για την τάση (Holt). (δ) Να προσαρμόσετε το μοντέλο της εξομάλυνσης για την τάση και εποχικότητα (Winter). (ε) Να συγκρίνετε τα μοντέλα στα (β), (γ) και (δ) με βάση το MAPE 4. Μία εταιρεία πουλάει ενέργεια ως ακολούθως: ηλεκτρισμό 82%, φυσικό αέριο 13% και ατμό 5%. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Quarterly Revenues.MTW υπάρχουν τριμηνιαία δεδομένα για τα έσοδα της εταιρείας τη χρονική περίοδο 1985 έως τα μέσα του 2002. Να προσδιορίσετε την καλύτερη κατά τη γνώμη σας μέθοδο πρόβλεψης για να προβλέψετε τα έσοδα της εταιρείας για το υπόλοιπο του έτους 2002. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 97