84 ραστηριότητες από οκίμια Εξετάσεων Να λύσετε τις πιο κάτω δραστηριότητες, δείχνοντας το συλλογισμό σας και δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. 1. Να γράψετε σε δυνάμεις με βάση το 3: (α) 1 (γ) (β) 9 (δ) 27 81 2. Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο,,, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις: (α) 2015... 2015 (β) 1... 1 (γ) 5.. (ε) 2, 1... 8 (ζ)... (θ)... (δ) 2 5 (στ) 2 5... (η),...0,25 (ι) 4 4 (ια) 232. (ιβ) 25 5 (ιγ).. 1.. 3 1. 3. Να βρείτε το αποτέλεσμα: 7 7 5 5 2 16 4. Αν 5. Να αποδείξετε ότι: (α) 2 και να αποδείξετε ότι 1. (β) 3 5 1 3 5 2 1
6. Δίνονται τα πολυώνυμα 8 16 και 4. Να υπολογίσετε: α β 1 γ 3 δ ε 2 στ 7. Δίνονται τα πολυώνυμα 2 5 3, 3, 2 31. Να υπολογίσετε: α β 3 2 γ 1 1 δ σχ ε στ ζ η 8. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: 2 1 22 3 1 2 1 4χ 2χ 2χ χ2 5χ 4χ 9. Αν 2, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: 4 2 4 3 2 10. Να αποδείξετε ότι: α 4 β Με βάση το πιο πάνω και αν γνωρίζουμε ότι 5 και 3, να δείξετε ότι 4. 11. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων A, B και Γ: Α 64 8 2 4, Β 81 169 και Γ 20 125 6 α Ποια από τις πιο πάνω παραστάσεις είναι άρρητος αριθμός; β Να αποδείξετε ότι οι τιμές των Α, Β και Γ αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα. 12. Δίδεται ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος 3, 3 5. Να αποδείξετε ότι η αλγεβρική παράσταση του εμβαδού του τριγώνου είναι 3 4 15. 2
13. Στο διπλανό σχήμα το ΖΗΘΕ είναι τετράγωνο με πλευρά α και το ΑΒΓΔ ορθογώνιο. Αν 1 να αποδείξετε ότι 2. Να βρείτε, συναρτήσει του χ, στην πιο απλή τους μορφή τις αλγεβρικές παραστάσεις που εκφράζουν α την περίμετρο, β το εμβαδό του σχήματος, γ αν 3, να υπολογίσετε το εμβαδό και την περίμετρο του σχήματος. 14. Κάποιος θέλει να καλύψει μέρος ενός τοίχου με ταπετσαρία. Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται η επιφάνεια που θα καλυφθεί, όπου ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς 3 2 και ΕΒΗΖ είναι ορθογώνιο με διαστάσεις 1 και 1. α Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το εμβαδόν της επιφάνειας της ταπετσαρίας στην πιο απλή μορφή. β Αν τοποθετήθηκε περιμετρικά της ταπετσαρίας προστατευτική ταινία μήκους 32, να υπολογίσετε την τιμή του. 15. Ένας γεωργός θέλει να περιφράξει το τριγωνικό κτήμα που φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, όπου 20, 13 και 16. Αν το συρματόπλεγμα που θα χρησιμοποιήσει κοστίζει 2 το μέτρο, πόσα χρήματα χρειάζεται για την περίφραξη; 16. Να βρείτε το εμβαδόν ορθογωνίου ισοσκελούς τρίγωνου με υποτείνουσα ίση με 5 2. 17. Το τρίγωνο έχει περίμετρο 48, 75, 26 και 4 8. α Να βρείτε το χ, β Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 18. Δίνεται, με πλευρές 1, 2 και 1. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με 90. 3
19. Στο πιο κάτω σχήμα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 90, το τρίγωνο είναι ισοσκελές, 6, 8 και 13. Να υπολογίσετε: α Τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου, β Το ύψος, γ Το εμβαδόν του τετραπλεύρου. 20. Στο σχήμα δίνονται ορθογώνιο και τετράγωνο, 2 m, 3. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο του τετραγώνου. 21. Δίνονται ευθύγραμμο τμήμα και το τρίγωνο. α Να κατασκευάσετε το συμμετρικό των διπλανών σχημάτων ως προς την ευθεία. β Να κατασκευάσετε την εικόνα των σχημάτων, αν μετακινούνται 2 μονάδες δεξιά και 3 μονάδες πάνω. γ Να περιστρέψετε δεξιόστροφα κατά 90 γύρω από το. 22. Στο διπλανό σχήμα το εξάγωνο είναι κατασκευασμένο από 6 ίσα ισόπλευρα τρίγωνα με κοινή κορυφή το σημείο. α Να βρείτε τον μετασχηματισμό που απεικονίζει το τετράπλευρο στο τετράπλευρο. β Να βρείτε τον μετασχηματισμό που απεικονίζει το τρίγωνο στο τρίγωνο γ Να βρείτε τον μετασχηματισμό που απεικονίζει το τρίγωνο στο τρίγωνο 4
23. Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται παραλληλόγραμμο και τετράγωνο. Να υπολογίσετε τους αγνώστους,, και. 24. Δίνεται το παραλληλόγραμμο με 4 9, 2 13, 8 και 2. Να βρείτε: α το μέτρο των γωνιών,, β την τιμή του, γ την περίμετρο του παραλληλογράμμου, δ το εμβαδόν του παραλληλογράμμου., 25. Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο δίνεται 2 6, 7 19, 20 και 3α10. Να υπολογίσετε: α τις διαγωνίους και, β την τιμή του. 26. Στο πιο κάτω σχήμα, το είναι παραλληλόγραμμο και το είναι ρόμβος. Να υπολογίσετε τις γωνίες, και τις πλευρές και. 27. Δίνεται ρόμβος με 5, 4 7 και 106. Nα υπολογίσετε: α την πλευρά, β τις γωνίες Ε και, γ την περίμετρο του ρόμβου, δ αν 8, το εμβαδόν του ρόμβου. 5
28. Ισοσκελές τραπέζιο έχει ύψος 6 και η μια βάση του είναι κατά 4 μεγαλύτερη από την άλλη. Το τραπέζιο είναι ισοδύναμο με ρόμβο που έχει περίμετρο 52 και μια διαγώνιο 10. Να βρείτε τις βάσεις του τραπεζίου. 29. Στο πιο κάτω σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και το ΕΖΗΘ ορθογώνιο. Αν ΕΘ χ, ΕΖ χ 2 και ΔΓ 2χ 3. α Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας. β Να βρείτε το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας αν: χ 5 400 6 cm. 30. Τραπέζιο με ύψος 12 είναι ισοδύναμο με ρόμβο του οποίου η μία διαγώνιος ισούται με 24 και η περίμετρος του ισούται με 52. Αν η μια βάση του τραπεζίου είναι κατά 4 μικρότερη του διπλάσιου της άλλης, να βρείτε τις δύο αυτές βάσεις. 31. Ρόμβος έχει περίμετρο 52 και μία διαγώνιο ίση με 24. Ο ρόμβος είναι ισοδύναμος με ισοσκελές τραπέζιο //, του οποίου η μεγάλη βάση κατά 12 μεγαλύτερη από την μικρή βάση. Αν 10, να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου. 32. Αν ο λόγος των εμβαδών δύο κυκλικών δίσκων είναι ίσος με και η ακτίνα του μικρότερου είναι 8cm, να βρείτε την ακτίνα του μεγαλύτερου κυκλικού δίσκου. 33. Στο σχήμα το μήκος του μεγάλου κύκλου είναι 12 και το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου γραμμοσκιασμένου μέρους είναι τριπλάσιο από το εμβαδόν του μικρού κύκλου. Να βρείτε τις ακτίνες των δύο κύκλων. 34. Στο σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και τα ΑEΒ, ΑΖΔ ημικύκλια. Το εμβαδόν του ημικυκλίου ΑEΒ είναι 50. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου σχήματος. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 6
35. Στο σχήμα το είναι ισοσκελές τραπέζιο του οποίου η μικρή βάση είναι 10, η μεγάλη βάση είναι 22 και το ύψος του 8. Το τόξο είναι ημικύκλιο και το είναι κυκλικός τομέας με επίκεντρη γωνία ίση με 60. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο της σκιασμένης επιφάνειας. 36. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο από το οποίο έχει αφαιρεθεί ημικύκλιο με διάμετρο. Αν το μήκος τόξου του ημικυκλίου είναι ίσο με 8 και η μεγάλη βάση ίση με 28 να βρείτε: α Το ό του σκιασμένου μέρους. β Την ί του σκιασμένου μέρους. 37. Στο πιο κάτω σχήμα το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο 90 και 16. Το Ε είναι μέσον της ΑΓ και ΔΕ τόξο. Αν το ημικύκλιο με διάμετρο ΒΓ έχει εμβαδόν 50, να βρείτε το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας. 38. Στο πιο κάτω επίπεδο σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΒΓ=5 cm, το ΑΓΔΕ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και το είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος. Το τόξο γράφτηκε με κέντρο το Ε και ακτίνα μήκους ΕΜ και το τόξο ΓΔ είναι ημικύκλιο. Το μήκος του τόξου ΑΜ ισούται με 2π cm. Να βρείτε: α το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής, β την περίμετρο της σκιασμένης περιοχής. 39. Δίνεται τετράγωνο με πλευρά 6. Να υπολογίσετε: α το μήκος του τόξου, β το σκιασμένο εμβαδόν. Α Β Ε Μ Δ Γ Ο 7
40. Στο διπλανό σχήμα το είναι ορθογώνιο με 16 cm και 10 cm. Το Κ είναι το μέσο του ΑΒ και το τόξο ΕΖ έχει γραφτεί με κέντρο το Κ και ακτίνα ΚΕ. Να υπολογίσετε την περίμετρο της σκιασμένης περιοχής. 41. Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται τρεις κύκλοι με κέντρα Κ,Μ,Λ με αντίστοιχες διαμέτρους, και. Δίνονται επίσης 8, 6 και 90. α Να βρείτε το. β Να υπολογίσετε τις περιμέτρους των τριών κύκλων. γ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. δ Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας. 42. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με 12 και 8. Το τόξο ΕΗΖ έχει κέντρο το και ακτίνα 4 και το ημικύκλιο ΑΗΒ έχει διάμετρο την ΑΒ και κέντρο το Κ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο της σκιασμένης επιφάνειας. 43. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με 36 και η μια βάση του είναι κατά 8cm μεγαλύτερη από την άλλη. Το ΑΖΒ είναι ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ και ΒΓΕ κυκλικός τομέας με κέντρο Γ και ακτίνα ΓΕ. Αν.. και ί 24, να βρείτε την περίμετρο της σκιασμένης περιοχής. 8
44. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με μη παράλληλες πλευρές 13 και ισοσκελές τρίγωνο με και 10. Με κέντρο το και ακτίνα το ύψος του τραπεζίου, γράφουμε τόξο ΗΕ μέσα στο τραπέζιο. Να βρείτε το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους. 45. Να βρείτε το εμβαδό της σκιασμένης περιοχής αν γνωρίζετε ότι το είναι τετράγωνο με περίμετρο 48, ισοσκελές τραπέζιο με τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες με 5. Επίσης δίνεται ότι 3, 3 και κυκλικός τομέας με επίκεντρη γωνία 70. 46. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του σκιασμένου σχήματος αν: 90, //ΒΓ, 12, 18, 10,, 54, τα τόξα και ημικύκλια. Το τόξο ΕΔ γράφτηκε με κέντρο Γ και ακτίνα ΓΔ. 47. Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. α Η εξίσωση 0 0 είναι αόριστη ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ β Η εξίσωση 23 0 είναι αδύνατη γ Η εξίσωση 0 23 είναι αδύνατη δ Η ανίσωση 0 23 είναι αδύνατη ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ε Η ανίσωση 0 23 είναι αληθής για κάθε τιμή του. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 9
48. Να επιλύσετε τους πιο κάτω τύπους ως προς τη μεταβλητή που σημειώνεται μέσα στην παρένθεση: α 2 β 2 2 γ δ 3 49. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της ΣΤΗΛΗΣ Α στον πιο κάτω πίνακα με την αντίστοιχη λύση της στη ΣΤΗΛΗ Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1. 5χ 3 5χ 4 α. 3 2. 10χ 0 β. Καμία λύση 1 2 3 4 3. 8χ 8χ γ. 0 4. 3χ 4χ 3 δ. Άπειρες λύσεις ε. 3 50. Να υπολογίσετε την τιμή των κ και έτσι ώστε η εξίσωση 3 6 7 να είναι αόριστη. 51. Να υπολογίσετε την τιμή των λ και β ώστε η εξίσωση 6 1 2 10 να είναι αόριστη. 52. Να λύσετε τις δύο ανισώσεις και στη συνέχεια να παραστήσετε γραφικά τις κοινές τους λύσεις. i χ 9 3χ 1 ii χ α Να γράψετε ένα αριθμό που δεν είναι κοινή λύση των δύο ανισώσεων. β Να γράψετε τη μικρότερη κοινή λύση των πιο πάνω ανισώσεων. γ Να γράψετε όλες τις κοινές ακέραιες λύσεις των πιο πάνω ανισώσεων. δ Να εκφράσετε τις κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων σε μορφή διαστήματος. ε Να εκφράσετε τις κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων σε μορφή ανίσωσης. 53. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ συναληθεύουν οι πιο κάτω ανισώσειςσε μορφή ανίσωσης και σε μορφή διαστήματος: και 2 3 5 2 13. Συναληθεύουν οι πιο πάνω ανισώσεις για τον αριθμό 4 5 4 5; 10
54. Η Μαρίνα έχει να επιλέξει ανάμεσα στα πάκετα των δύο εταιριών τηλεπικοινωνίας Vedatel και Arefon. Τα πακέτα παρουσιάζονται στον πιο κάτω πίνακα. Να βρείτε πόσα λεπτά και πάνω πρέπει να μιλά η Μαρίνα, ώστε να της συμφέρει να επιλέξει την Vedatel. Εταιρία Μηνιαίο πάγιο Χρέωση σεντ σε σεντ ανά λεπτό Vedatel 4000 20 Arefon 2500 30 55. Οι μαθητές μιας τάξης που είναι περισσότεροι από 25 προκειμένου να πάνε μια ολοήμερη εκδρομή, ζήτησαν προσφορά από δύο πρακτορεία. Το πρώτο ζήτησε 15 ευρώ για κάθε μαθητή και εφόσον οι μαθητές ήταν περισσότεροι από 25 θα έκανε και έκπτωση 10%. Το δεύτερο ζήτησε 12 ευρώ για κάθε μαθητή και 45 ευρώ για διάφορα άλλα έξοδα. Πόσοι πρέπει να είναι οι μαθητές για να συμφέρει το πρώτο πρακτορείο; 56. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών,,, και. Να αντιστοιχίσετε την κάθε ευθεία με την εξίσωσή της. Εξίσωση α 1 β 1 γ 2 δ ε 2 στ 1 57. Η γραφική παράσταση μίας ευθείας με εξίσωση την 2 περνά από το σημείο 1,5 και έχει κλίση 2. Να βρείτε τις τιμές των μ και λ. 11
58. Από το πιο κάτω σχήμα να βρείτε: α Την κλίση της ευθείας ε. β Την εξίσωση της ευθείας ε γ Αν 2,0, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ; δ Το σημείο 2,5 αν ανήκει πάνω στην ευθεία; ε Δίνεται η ευθεία. : 34. Xωρίς να κάνετε τη γραφική παράσταση να βρείτε τα σημεία που η ευθεία ε τέμνει τους άξονες. 59. Ένα ντεπόζιτο χωρητικότητας 9011 λίτρων περιείχε 11 λίτρα νερό. Ανοίξαμε μια μικρή βρύση που προσθέτει στο ντεπόζιτο 9 λίτρα νερό κάθε λεπτό. Αν x είναι o αριθμός των λεπτών από την στιγμή που ανοίξαμε την βρύση και fx ο όγκος του νερού σε λίτρα που υπάρχει στο ντεπόζιτο, να βρείτε: α πόσα λίτρα νερό θα περιέχει το ντεπόζιτο σε 8 λεπτά, β τον τύπο της συνάρτησης fx, γ σε πόσα λεπτά θα γεμίσει το ντεπόζιτο 60. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: 3 α 29 β 20 3 4 11 γ 35 5 2 1 230 δ 2 3 8 61. Σε μία ταβέρνα παρήγγειλαν φαγητό 15 άτομα. Μερικοί παρήγγειλαν κρέας προς 10 ευρώ τη μερίδα και οι υπόλοιποι ψάρι προς 15 ευρώ τη μερίδα. Αν πλήρωσαν συνολικά 185 ευρώ, να βρείτε πόσα άτομα παρήγγειλαν κρέας και πόσα ψάρι. Να λύσετε το πρόβλημα με τη βοήθεια συστήματος. 62. Τα αγόρια μιας τάξης είναι κατά 5 λιγότερα από το διπλάσιο των κοριτσιών. Αν φύγουν από την τάξη 3 αγόρια και έρθουν 4 κορίτσια, τότε τα αγόρια θα είναι ίσα με τα κορίτσια. Να βρείτε πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια. 63. Σε μία εκδήλωση αρχικά παρευρίσκονται 53 άτομα. Αν προσέλθουν ακόμη 6 ανδρόγυνα, τότε το τετραπλάσιο του αριθμού των γυναικών θα είναι κατά 5 μικρότερο από τον αριθμό των ανδρών. Να βρείτε πόσοι άντρες και πόσες γυναίκες ήταν αρχικά στην εκδήλωση. 12
64. Στο διπλανό ορθογώνιο σύστημα αξόνων παριστάνονται οι ευθείες και. α Να βρείτε την κλίση λ των ευθειών και. β Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών και. γ Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της ε3: 1 στο ίδιο ορθογώνιο σύστημα αξόνων με τις ευθείες και. δ Οι ευθείες, και σχηματίζουν ένα τρίγωνο. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. 65. Δίνεται η γραφική παράσταση των ευθειών ε,, και. α Να γράψετε τις εξισώσεις των ευθειών, και. β Να βρείτε τις κλίσεις των ευθειών, και. γ Να βρείτε την τιμή του μ για την οποία το σημείο, 2 5 ανήκει στην ευθεία. δ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 66. Στο πιο κάτω σχήμα: α Να γράψετε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου AΒΓ. β Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. γ Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο B και είναι παράλληλη στον άξονα ψψ. δ Να βρείτε το εμβαδόν του τρίγωνου ΑΒΓ. 13
67. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ευθειών, και. Να βρείτε: α την εξίσωση της και της β την κλίση της γ την εξίσωση της δ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, ε τη περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ, 68. Αν μια οικογένεια καταναλώνει 6 κουταλιές ελαιόλαδο για τις σαλάτες της ημερησίως, τότε ένα μπουκάλι ελαιόλαδο τους φτάνει για 15 μέρες. Να βρείτε για πόσες ημέρες θα τους φτάσει το μπουκάλι αν καταναλώνουν 5 κουταλιές ελαιόλαδο ημερησίως. 69. Ένας φούρναρης με 300 κιλά αλεύρι κατασκευάζει 500 κιλά ψωμί. Να βρείτε πόσα κιλά ψωμί θα κατασκευάσει αν αυξήσει την ποσότητα στο αλεύρι κατά 20%. 70. Ένας φούρνος πωλεί σπιτικό χαλβά προς 120 σεντ τον ένα. Τη Δευτέρα εισέπραξε 264 από την πώληση του χαλβά. Να βρείτε πόσα κιλά ζάχαρη χρησιμοποιήθηκαν για να παρασκευαστεί ο χαλβάς της Δευτέρας, αν γνωρίζουμε ότι 75 κιλά ζάχαρη αναμειγνύονται με 55 κιλά σιμιγδάλι και για την παρασκευή 100 χαλβάδων χρειάζονται 85 κιλά σιμιγδάλι. 71. Στον πρώτο αγώνα αυτοκινήτων της Φόρμουλα 3 που πραγματοποιήθηκε στην Βαρκελώνη, ο Κύπριος οδηγός Ευτύχιος Έλληνας κατετάγη πρώτος, αφού με μέση ταχύτητα 280 χρειαζόταν 95 δευτερόλεπτα για να διανύσει τον κάθε γύρο της πίστας αυτοκινητόδρομος που χρησιμοποιείται για αγώνες αυτοκινήτου. Στο δεύτερο αγώνα ο καιρός ήταν βροχερός, με αποτέλεσμα να χρειάζεται 100 δευτερόλεπτα για να διανύσει τον κάθε γύρο της πίστας. Να υπολογίσετε την μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου του Ευτύχιου Έλληνα στον δεύτερο αγώνα του. 72. Ένας ελαιοπαραγωγός θέλει να συσκευάσει το λάδι που παρήγαγε. Υπολόγισε ότι με 9 μηχανές θα τελείωνε σε 12 μέρες. Κατά τον δοκιμαστικό έλεγχο των μηχανών, βρήκε ότι τρεις από τις μηχανές δεν δούλευαν. Να βρείτε πόσες μέρες θα χρειαστεί για να συσκευάσει το λάδι του με τις υπόλοιπες μηχανές. 14
73. Μια παρέα υπολόγισε πως, αν ξοδεύει 240 ευρώ καθημερινά, μπορεί να κάνει 8 μέρες διακοπές. Αν θέλουν να κάνουν 12 μέρες διακοπές, με τα χρήματα που διαθέτουν, πόσα πρέπει να ξοδεύουν καθημερινά; 74. Ένα εργοστάσιο ένδυσης ράβει 400 παντελόνια κάθε 5 μέρες. Για την παραγωγή αυτή εργάζονται 15 ράπτριες. Αν πρέπει να παράξει 400 παντελόνια σε 3 μέρες, πόσες ράπτριες πρέπει να απασχολήσει; 75. Το πετρέλαιο που υπάρχει στο ντεπόζιτο μιας πολυκατοικίας, επαρκεί για 30 μέρες, όταν καταναλώνονται 80 λίτρα την ημέρα. Όταν το κρύο δυναμώνει, η ημερήσια κατανάλωση αυξάνεται κατά 20 λίτρα. Για πόσες μέρες θα φτάσει το πετρέλαιο; 76. Ένα εργοστάσιο φτιάχνει κάθε μέρα την ίδια ποσότητα παγωτού. Για το σκοπό αυτό οι 12 μηχανές του λειτουργούν 6 ώρες την ημέρα. Σήμερα, χάλασε το των μηχανών. Πόσες ώρες πρέπει να λειτουργήσουν οι υπόλοιπες μηχανές για να καλύψουν την παραγωγή; 77. Σε ένα Πανεπιστήμιο στο Τμήμα Μαθηματικών προσφέρονται κατά το πρώτο εξάμηνο τα πιο κάτω μαθήματα σε κατηγορίες. Κατηγορία Μαθήματα Αν ένας φοιτητής πρέπει να Ειδικότητα Άλγεβρα, Γεωμετρία, Ανάλυση, επιλέξει ένα μάθημα από κάθε Στατιστική κατηγορία να βρείτε με πόσους Ενδιαφέροντος Αστρονομία, Μετεωρολογία διαφορετικούς τρόπους μπορεί να κάνει την επιλογή του. Γλώσσες Αγγλικά, Γαλλικά, Γερμανικά 78. Το διπλανό διάγραμμα παρουσιάζει τον αριθμό των συμμετοχών που είχαν 15 αθλητές στίβου ενός αθλητικού σωματίου σε διεθνείς αγώνες κατά την προηγούμενη χρονιά. Να υπολογίσετε: α τη μέση τιμή των συμμετοχών, β τη διάμεσο, την επικρατούσα τιμή. 7 6 5 Αριθμός 4 Αθλητών 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Αριθμός Συμμετοχών 15
79. Το πιο κάτω ραβδόγραμμα παρουσιάζει τους βαθμούς των μαθητών μιας τάξης στο πρώτο τους διαγώνισμα στα Μαθηματικά η βαθμολογία στο διαγώνισμα είναι από το 10. Να υπολογίσετε: α Τη μέση τιμή. β Την επικρατούσα τιμή. γ Τη διάμεσο. 80. Δίνονται τα αποτελέσματα 20 μαθητών της Β τάξης του σχολείου μας σε ένα διαγώνισμα μαθηματικών: 15, 20, 17, 12, 17, 16, 16, 17, 18, 9, 11, 15, 20,17, 7, 14, 15, 19,13, 12 α Να βρείτε τα μέτρα θέσης των αποτελεσμάτων. β Αν επιλέξω στην τύχη ένα γραπτό, ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου ένας μαθητής να έχει αποτέλεσμα τουλάχιστον 17; 81. Οι 20 μαθητές μιας τάξης ρωτήθηκαν για τον αριθμό των αδελφών τους και οι απαντήσεις τους καταχωρήθηκαν στον διπλανό πίνακα. Επιλέγουμε στην τύχη ένα από τους πιο πάνω μαθητές. α Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α: «Ο μαθητής δεν έχει αδέλφια». Β: «Ο μαθητής έχει τουλάχιστο 2 αδέλφια». Αρ. αδελφών 0 Αρ. μαθητών 5 1 8 2 4 3 3 β Να βρείτε τα ενδεχόμενα Γ και Δ των οποίων οι πιθανότητες είναι PΓ 1 και PΔ0 82. Δίνονται οι παρατηρήσεις: α, β, 6, 3, 14, 2, 10 όπου αβ. Αν η διάμεσος του δείγματος καθώς και η μέση τιμή είναι ίσες με 8, τότε να βρείτε την τιμή των α και β. 83. Γυρίζουμε τον τροχό Α και ακολούθως τον τροχό Β και καταγράφουμε το αποτέλεσμα του κάθε τροχού. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των πιο κάτω ενδεχομένων: Γ: Στον Α τροχό να εμφανιστεί 2 και στο Β περιττός αριθμός, Δ: Το άθροισμα των δύο ενδείξεων να είναι 8. Ε: Το γινόμενο των δύο ενδείξεων να είναι πολλαπλάσιο του 5. Ζ: Το γινόμενο των δύο ενδείξεων να είναι μηδέν. Η: Και στους δύο τροχούς να εμφανιστεί πρώτος αριθμός. 84. Ο κωδικός για τον συναγερμό στο σπίτι του Πέτρου είναι τριψήφιος. Ο κωδικός αποτελείται από τα ψηφία 2,7 και 5. α Ποιοι μπορεί να είναι οι πιθανοί συνδυασμοί για τον συναγερμό στο σπίτι του Πέτρου; β Αν γνωρίζουμε ότι το πρώτο ψηφίο είναι το 5 και το τρίτο ψηφίο περιττός αριθμός να βρείτε την πιθανότητα κάποιος που δε γνωρίζει τον κωδικό να τον πληκτρολογήσει σωστά. 16