Τροχιές δορυφόρου σε διπλά συστήµατα αστεροειδών

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Μ.Π.Σ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Τροχιές δορυφόρου σε διπλά συστήµατα αστεροειδών Συγγραφή/επιµέλεια: Βασίλειος Μορέλλας Επιβλέπων καθηγητής: Χαράλαµπος Βάρβογλης

Περίληψη Σκοπός της εργασίας είναι η µελέτη ειδικών τροχιών δορυφόρων σε διπλά συστήµατα αστεροειδών και συγκεκριµένα τροχιών Sitnikov και τροχιών του περιορισµένου (restricted) προβλήµατος των τριών σωµάτων µε ειδικά χαρακτηριστικά. Αυτό που ενδιαφέρει σε κάθε περίπτωση εδώ, είναι η παραµονή ερευνητικού δορυφόρου, που θεωρούµε ως σώµα αµελητέας µάζας m 3, σε κοντινή στο σύστηµα των δύο σωµάτων τροχιά για αρκετό χρονικό διάστηµα. Τα όρια της απόστασης που εδώ ορίζουµε ως αποδεκτά είναι ένας (ελάχιστο) µέχρι είκοσι (µέγιστο) ηµιάξονες της ελλειπτικής τροχιάς των συνοδών. Θεωρούµε αυτά τα όρια ώστε η τροχιά του δορυφόρου µας να είναι οπωσδήποτε παρατηρήσιµη και διακριτή σε σχέση µε τους αστεροειδείς, επιτρέποντας ταυτόχρονα την παρατήρηση και των δύο σωµάτων από αυτόν. Αρχικά γίνεται σύντοµη µνεία στα διπλά συστήµατα των αστεροειδών, το ιστορικό των παρατηρήσεών τους, τις σύγχρονες υποθέσεις για τους µηχανισµούς δηµιουργίας τους και τα τροχιακά χαρακτηριστικά τους. Στην συνέχεια, περιγράφονται τα µοντέλα µε τα οποία θα προσεγγίσουµε την κίνηση του δορυφόρου γύρω από το κάθε διπλό σύστηµα. Αυτά είναι το µοντέλο του προβλήµατος Sitnikov (θα χρησιµοποιηθεί το ελλειπτικό Sitnikov) για συνοδούς παρόµοιων µαζών και το µοντέλο του τριδιάστατου κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος, για συστήµατα πολύ µικρής εκκεντρότητας. Με τις δύο προσεγγίσεις διαπιστώνεται σηµαντικός αριθµός τροχιών που ικανοποιούν τις παραπάνω προϋποθέσεις. Αυτές µπορεί να είναι περιοδικές, ηµιπεριοδικές ή χαοτικές που όµως παραµένουν εντός της ορισµένης απόστασης από το σύστηµα -εδώ δέκα αξονικές αποστάσεις - για χρονικό διάστηµα τουλάχιστον µίας περιόδου. Το χρονικό αυτό διάστηµα κρίνεται αρκετό, µια και η περίοδος κάθε διπλού συστήµατος είναι της τάξης των δεκάδων ωρών. Παρακάτω θα εφαρµοστεί αυστηρότερο κριτήριο εκατό περιόδων ( t = 200π), αφού η µέθοδός µας είναι προσεγγιστική. Τα αποτελέσµατα παρατίθενται σε πίνακες ή διαγράµµατα που κατασκευάστηκαν µε το πρόγραµµα Origin, όπως και οι προσαρµογές (fittings) που υπάρχουν. Τα βασικά προγράµµατα που χρησιµοποιηθήκαν βρίσκονται στο Παράρτηµα. Οι γλώσσες προγραµµατισµού που χρησιµοποιήθηκαν για τους υπολογισµούς και την κατασκευή των διαγραµµάτων είναι οι Mathematica 5.1 και Fortran90. Για την προσοµοίωση του τριδιάστατου κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος χρησιµοποιήθηκε η πλατφόρµα EJS της γλώσσας Java. 2

ιπλά συστήµατα αστεροειδών Η ύπαρξη διπλών συστηµάτων στους αστεροειδείς αποτελούσε για αρκετό καιρό υπόθεση των αστρονόµων, οι οποίοι βασίζονταν σε παρατηρήσεις και ευρήµατα κρατήρων µετεώρων στη γήινη, τη σεληνιακή ή την επιφάνεια των άλλων τριών πλανητών ως τον Άρη. Σε κάποιες τέτοιες περιπτώσεις (π.χ. λίµνες Clearwater, Κεµπέκ) υπάρχει ζεύγος κρατήρων που έχουν προκληθεί από την ταυτόχρονη κρούση δύο διαφορετικών µετεωριτών επάνω στον πλανήτη. Αυτές οι περιπτώσεις αποτελούν το 2% των κρατήρων του Άρη, 10-15% της Γης και 2-14% της Αφροδίτης 1,2,3. Το 1901 είχε γίνει η πρώτη υπόθεση (Andre) ύπαρξης συνοδού για τον αστεροειδή 433 Eros. 4 Τα έτη 1977-8 προτάθηκαν για πρώτη φορά οι αστεροειδείς 6 Hebe και 532 Herculina, ως διπλά συστήµατα, όµως η πρώτη επιβεβαιωµένη παρατήρηση δορυφόρου αστεροειδή έγινε το 1993 από την αποστολή Galileo και ήταν ο άκτυλος, σε τροχιά γύρω από τον Ίδα (243 Ida-Dactyl). Το δεύτερο σύστηµα ανακαλύφθηκε το 1998 (45 Eugenia, πρώτο από γήινη παρατήρηση) και ο πρώτος διπλός υπερποσειδώνειος επιβεβαιώθηκε το 2002 (1998 WW 31 ) 4. Το 2005 βρέθηκε ο Εικόνα 1 Το διπλό σύστηµα 243 Ida-Dactyl. Εικόνα 3 Το διπλό σύστηµα 617 Patroclus-Meneotius Η γραµµή παριστάνει 50mas (παρατήρηση 28/5/2005, Keck- 10m LGS AO). Εικόνα 2 Το διπλό σύστηµα 45 Eugenia-Petit Prince (1/11/1998, τηλεσκόπιο Καναδά-Γαλλίας-Χαβάης, από 16 πλάνα έκθεσης 15sec). Ο δορυφόρος διακρίνεται στα 0,75 arcsec από το κύριο σώµα. 3

πρώτος αστεροειδής µε δύο δορυφόρους (87 Sylvia) 5. Έως σήµερα έχουν εντοπιστεί πάνω από 140 υποψήφιοι διπλοί αστεροειδείς (οι µισοί επιβεβαιωµένοι), εκ των οποίων 37 στο ενδότερο ηλιακό σύστηµα (30 παρα-γήινοι, Near-Earth Objects και 7 Mars-crossers), 2 Τρωικοί, 49 υπερποσειδώνειοι (Trans-Neptunian Objects, TNOs) και 55 της κύριας ζώνης (Main Belt, MBs) 5. Περιλαµβάνουµε εδώ και τα TNO Πλούτωνα (τετραπλό σύστηµα) και 136199 Eris, αν και έχουν πια καταχωρηθεί ως νάνοι πλανήτες µε απόφαση της IAU. Ο µηχανισµός δηµιουργίας τους εξαρτάται από την περιοχή που αυτή συντελείται. Για τα παρα-γήινα αντικείµενα και τους Τρωικούς, πιστεύεται ότι οι παλιρροϊκές βαρυτικές δυνάµεις των κοντινών πλανητών είναι αυτές που διασπούν ένα αρχικό σώµα -ιδίως αν ήδη ήταν χαλαρή συγκόλληση αδρών επιµέρους τµηµάτων- σε µικρότερα, εκ των οποίων κάποια καταφέρνουν να αλληλοσυγκρατηθούν, αν έχουν αρκετή µάζα 6,7. Αυτή υποτίθεται πως είναι, για παράδειγµα, η περίπτωση του διπλού Τρωικού 617 Patroclus-Meneotius, όπου τα δύο σώµατα έχουν παρόµοιους όγκους και πυκνότητες. Αυτός ο µηχανισµός δηµιουργίας είναι αποτέλεσµα δυναµικής ισορροπίας µε τον παρόµοιο µηχανισµό καταστροφής των διπλών συστηµάτων, τα οποία άλλωστε έχουν πολύ µικρό χρόνο ζωής (~10 7 έτη). Υπολογίζεται ότι 16% των NEO αποτελούν διπλά συστήµατα, µε το ποσοστό να είναι υψηλότερο για τα Atens. Επίσης, πολλά NEO παρουσιάζουν ατρακτοειδές σχήµα και είναι πιθανό να αποτελούν διπλά συστήµατα σε επαφή 4,8. Στην κύρια ζώνη τα περισσότερα µοντέλα δηµιουργίας διπλών συστηµάτων διαπραγµατεύονται κρούσεις µεταξύ των σωµάτων. Όταν η διαφορά µαζών µεταξύ τους είναι πολύ µεγάλη, το µαζικότερο δεν διαλύεται, αλλά εγκλωβίζει βαρυτικά ορισµένα από τα θραύσµατα (cratering ejecta). Οι εκκεντρότητες των µικρών θραυσµάτων ελαττώνονται µε τις µεταξύ τους συγκρούσεις, πράγµα που επιτρέπει τελικά σε κάποια από αυτά να παραµείνουν σε τροχιές που δεν τέµνουν το κύριο σώµα, ειδικά αν αυτό δεν είναι σφαιρικό 4. Στην κύρια ζώνη, όντως, πολλοί δορυφόροι έχουν πολύ µικρότερη µάζα από τον µεγάλο συνοδός τους, περιφερόµενοι σε µικρές αποστάσεις, πράγµα που επίσης απαιτεί το συγκεκριµένο µοντέλο (π.χ. συστήµατα 22, 45, 87, 107, 243 και 762) 5. Εξάλλου, τέτοιες συγκρούσεις µπορούν να διαλύσουν ήδη σχηµατισµένα διπλά συστήµατα, οπότε και εδώ πρέπει εµφανίζεται δυναµική ισορροπία µεταξύ µηχανισµών δηµιουργίας-καταστροφής. Εξίσου πιθανή είναι η διάλυση του αρχικού σώµατος (disruptive capture) µετά τη σύγκρουσή του µε κάποιο άλλο. Πάντως αυτό το σενάριο γίνεται λιγότερο βάσιµο αν η παρατηρούµενη απόσταση (µεγάλος ηµιάξονας) µεταξύ των δύο σωµάτων είναι πολύ µεγάλη, εκτός και αν η σύγκρουση που τα δηµιούργησε ήταν πολύ βίαιη και διασκόρπισε πολλή από την µάζα του συστήµατος. Οι δύο παραπάνω περιπτώσεις αντιστοιχούν σε διαφορετικά µοντέλα παραγωγής δορυφόρων και φαίνεται να βρίσκουν εφαρµογή στις περιπτώσεις συστηµάτων που ανήκουν στην ίδια οικογένεια αστεροειδών (π.χ. συστήµατα 45, 90, 243, 3749). Η δε µοναδική περίπτωση του 90 Antiope πιθανολογείται να εµπίπτει σε τρίτο µηχανισµό αδρής διάσπασης του αρχικού σώµατος χωρίς αποµάκρυνση των θραυσµάτων (collisional fission), ο οποίος είναι πολύ σπάνιος (πιθανότητα 0,1%). Με βάση τα παραπάνω, υπολογίζεται ότι συνολικά το 2% περίπου των MB-συστηµάτων είναι διπλά 4. Στα υπερποσειδώνεια αντικείµενα που οι ηµιάξονες των διπλών συστηµάτων φτάνουν τις δεκάδες χιλιάδες χιλιοµέτρων, θεωρούµε ότι αυτά προέκυψαν από βαρυτικές αλληλεπιδράσεις µεταξύ πολλών διερχόµενων σωµάτων. Η πολύ µικρή σηµερινή πυκνότητα του χώρου στη ζώνη Kuiper, σε αντίθεση µε αυτήν που τα αριθµητικά µοντέλα απαιτούν, µαζί µε τους µεγάλους χρόνους ζωής (µεγαλύτεροι από την ηλικία του ηλιακού συστήµατος) τέτοιων συστηµάτων, τα κατατάσσει στα 4

αρχέγονα διπλά συστήµατα. Ωστόσο, ακόµη και στα διπλά ΤΝΟs υπάρχουν εξαιρέσεις: για παράδειγµα, ο 139775 2001QG 298 αποτελείται από δύο συνοδούς σε επαφή 5. Από παρατηρησιακά δεδοµένα εικάζεται πως το 11% περίπου των TNOs αποτελείται από πολλαπλά συστήµατα 4. Οι µηχανισµοί δηµιουργίας επιδρούν και στα τροχιακά χαρακτηριστικά των συστηµάτων, αλλά και τα σχετικά µεγέθη των συνοδών σωµάτων. Όπως φαίνεται και στο διάγραµµα 1, αυτά εξαρτώνται από την περιοχή του ηλιακού συστήµατος όπου τα σώµατα βρίσκονται. Στα TNOs τα σχετικά µεγέθη είναι συνήθως συγκρίσιµα και οι σχετικές αποστάσεις µεταξύ τους (ηµιάξονες) αρκετά µεγάλες. Αντίθετα, στους αστεροειδείς MB παρατηρείται µεγάλη ποικιλία αυτών των χαρακτηριστικών. Από την άλλη πλευρά, οι ηµιάξονες των NEOs είναι σχετικά µικροί, αφού οι επιδράσεις των κοντινών πλανητών τείνουν να διαλύσουν µη συνεκτικά συστήµατα. Η απλούστερη προσέγγιση της κίνησης δορυφόρου εντός ενός διπλού συστήµατος είναι αυτή του προβλήµατος Sitnikov που περιγράφεται αµέσως παρακάτω. ιάγραµµα 1 5 Κατάταξη διπλών αστεροειδών σύµφωνα µε τον µεγάλο ηµιάξονα του συστήµατος και τα σχετικά µεγέθη των συνοδών (a ο µέγας ηµιάξων, R p η ακτίνα του πρωτεύοντος, R s η ακτίνα του δευτερεύοντος συνοδού). 5

Πρόβληµα Sitnikov Κυκλική περίπτωση Στην γενική περίπτωση του προβλήµατος Sitnikov, σωµατίδιο αµελητέας µάζας m 3 κινείται στον άξονα z που περνά από το βαρύκεντρο και είναι κάθετος στο επίπεδο των κεπλεριανών τροχιών, δύο ίσων µαζών m 1, m 2. Η κίνηση του σωµατιδίου µπορεί γενικά να είναι χαοτική. Στην περίπτωση όµως, που οι κεπλεριανές τροχιές των Σχήµα 1 Σύστηµα Sitnikov x,y=0, z=z µαζών είναι και κυκλικές (e=0), κάθε αρχική συνθήκη εκτελεί περιοδική τροχιά στον άξονα z (το πρόβληµα είναι ολοκληρώσιµο). Στην κυκλική περίπτωση οι αποστάσεις του σωµατιδίου από τις µάζες είναι r r r a z 2 2 1 = 2 = = +, α=σταθ. ενώ m=m 1 =m 2 και η ενέργεια του συστήµατος: 1 2 2m 1 2 2m h= z = z (1) 2 r 2 2 2 a + z Άρα 2mz 2mz z = = (2) 3 3 r 2 2 a + z Για α=1, m=1/2 z z = (3). 2 ( 1+ z ) 3 Από την (1) παίρνουµε t t = 0 z 1 2mdz 2 z 1 o h + 1+ z 2 6

και για κλειστές τροχιές (0> h 1) έχουµε για τα ακρότατα της κίνησης 1 zmax =± 1. Η τροχιά µπορεί να περιγραφτεί µε σειρές Fourier 2 h ( z = a1ηµν ( t t0) + a3ηµ 3 ν ( t t0) +... ) που µε χρήση ελλειπτικών ολοκληρωµάτων 3 ου είδους βρίσκονται: 3 z = γ [ ηµν ( t t0) + µ ( ηµν ( t t0) + ηµ 3 ν ( t t0)) 64 9 1 2 µ + µ (79 ηµν( t t0) + 108ηµ 3 ν( t t0) + 29ηµ 5 ν( t t0)) +...], γ=. 4096 1-µ Μία απεικόνιση Poincare του χώρου φάσεων αποτελείται µόνον από κλειστές περιοδικές και ηµιπεριοδικές τροχιές-καµπύλες (διάγραµµα 2). 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 z ιάγραµµα 2 Απεικόνιση Poincare (z-z ) για κυκλικό Sitnikov (τροχιές z=0,25-0,50-0,75-1,00-1,25-1,50-1,75). Ελλειπτική περίπτωση Εάν οι κύριες µάζες δεν περιφέρονται σε κυκλικές αλλά ελλειπτικές τροχιές (e>0), τότε η ηµι-απόσταση α των µαζών µεταβάλλεται συνεχώς. Υποθέτωντας την εκκεντρότητα µικρή και κάνοντας την προσέγγιση 1 ( ) 2 at () = 1 e συν () t + Oe ( ) 9 2 η (2) γράφεται: 2 m z( t) zt () = (4) 3 2 2 at () + zt () 7

η οποία µπορεί να ολοκληρωθεί αριθµητικά. Από την ολοκλήρωση αυτή προκύπτουν οι παρακάτω τοµές Poincaré (διάγραµµα 3). Παρατηρούµε πως για µεγαλύτερες τιµές της εκκεντρότητας e η κεντρική «νησίδα» τακτικών (regular) τροχιών συρρικνώνεται και η χαοτική περιοχή γεµίζει τον χώρο φάσεων. Μελετώντας τη κίνηση της m 3 στις τρεις διαστάσεις, είναι δυνατό να βρεθούν περιοδικές τροχιές, µέλη οικογενειών τροχιών Sitnikov, που οι περισσότερες είναι ασταθείς 10,11. Η µελέτη των οικογενειών Sitnikov µπορεί να επεκταθεί και στην περίπτωση που οι µάζες m 1, m 2 δεν είναι ίσες ( µ 0,5 ). Ωστόσο, εδώ δεν ενδιαφέρει τόσο η περιοδικότητα µιας τροχιάς, όσο η σχετική της σταθερότητα εντός των ορίων που ορίσαµε, δηλαδή a z 20 a για χρόνο τουλάχιστον µίας περιόδου περιφοράς. Γι αυτό µια πιο απλή προσέγγιση του ζητήµατος µπορεί να υιοθετηθεί, βάσει του περιορισµένου προβλήµατος. 8

e=0,2 2,0 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,0 0,0 z' z' e=0,1 2,0-0,5-0,5-1,0-1,0-1,5-1,5-2,0-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5-2,0-3,0 3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 z 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,0 0,0 z' z' 2,0-0,5-0,5-1,0-1,0-1,5-1,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5-2,0-2,5 3,0-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 z 0,5 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,0 0,0 z' z' 2,0-0,5-0,5-1,0-1,0-1,5-1,5-0,6-0,4-0,2 0,0 2,5 3,0 1,0 1,5 2,0 2,5 e=0,7 e=0,5-0,8 2,0 z 2,0-2,0-1,0 1,5 e=0,4 e=0,3 2,0-2,0-3,0-2,5 1,0 z 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-2,0-0,6-0,4 z ιάγραµµα 3 Απεικόνιση Poincare (z-z ) Sitnikov για διάφορες εκκεντρότητες (e=0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0,7). -0,2 0,0 0,2 0,4 z 9 0,6

Τριδιάστατο περιορισµένο πρόβληµα τριών σωµάτων Εάν δεν περιορίσουµε την κίνηση της m 3 στον άξονα z, αλλά την αφήσουµε να κινείται στις τρεις διαστάσεις, θεωρώντας την τροχιά των δύο κύριων σωµάτων κυκλική, έχουµε την περίπτωση του τριδιάστατου περιορισµένου προβλήµατος (3dcircular restricted problem) συνεχίζουµε να υποθέτουµε την m 3 αµελητέα. Οι εξισώσεις που υπακούν τότε οι συντεταγµένες (x,y,z) της m 3 : x1 x x2 x x = (1 µ ) + µ 3 3 r1 r2 y1 y y2 y y = (1 µ ) + µ (5) 3 3 r1 r2 z z z = (1 µ ) µ, 3 3 r1 r2 m 1 µ 1 και a και G=1. 2 2 = = m2 = m1 = m1+ m2 Η περίοδος περιφοράς των m 1, m 2 είναι σύµφωνα µε τις παραπάνω απλουστεύσεις Τ=2π. Το (5) ισχύει για αδρανειακό σύστηµα αναφοράς (βλ. και σχήµα 1), όπου οι συντεταγµένες x1, y1, x2, y 2 των κύριων σωµάτων αλλάζουν κατά την περιφορά τους. Το σύστηµα εξισώσεων (5) απλοποιείται για το περιστρεφόµενο µαζί µε τα σώµατα σύστηµα αναφοράς, ως εξής: U( x, y) x= 2y + x U( x, y) y = 2 x + (6) y z z z = (1 µ ), 3 3 r µ 1 r2 1 2 2 1 µ µ όπου U( x, y) = ( x + y ) + + το υποθετικό δυναµικό που ορίζει την κίνηση 2 r1 r2 του σωµατιδίου µε αµελητέα µάζα (m 3 ). Τα σηµεία ισορροπίας του συστήµατος είναι τα σηµεία Lagrange (όλα µε z=0), που βρίσκονται από τις U( x, y) = 0 x= x = 0 x y = y = 0 U( x, y) = 0 y και τοποθετούνται στο επίπεδο Oxy. 10

Υπολογισµός σχετικά σταθερών τροχιών Στη συνέχεια θα εφαρµόσουµε τα παραπάνω µοντέλα σε πραγµατικά διπλά συστήµατα αστεροειδών του ηλιακού συστήµατος. Λαµβάνονται υπόψη 145 περιπτώσεις διπλών συστηµάτων, όπου στα πολλαπλά συστήµατα οι συνοδοί αντιµετωπίζονται ο καθένας ξεχωριστά µε το πρωτεύον σώµα. ιαθέσιµα δεδοµένα Η ανάλυση βάσει του φαινόµενου Sitnikov θα γίνει σε διπλά συστήµατα αστεροειδών του πίνακα 1 5, µε χρήση κατάλληλων προσεγγίσεων. Εκεί υπάρχουν και τα βασικά χαρακτηριστικά της τροχιάς και των συνοδών του κάθε συστήµατος. Το πρώτο πρόβληµα που συναντούµε στην µελέτη είναι ότι το πρόβληµα Sitnikov ενέχει ένα περιστρεφόµενο διπλό σύστηµα σωµάτων µε ίσες και σφαιρικά συµµετρικές µάζες, ενώ οι µάζες των πραγµατικών συστηµάτων εδώ είναι καθαυτές άγνωστες (εκτός τεσσάρων περιπτώσεων που σηµειώνονται στον πίνακα). Για αυτόν τον λόγο θα θεωρήσουµε ότι οι πυκνότητες των σωµάτων είναι ίδιες -πράγµα που συχνά δεν απέχει πάρα πολύ από την πραγµατικότητα- και ότι οι αστεροειδείς είναι σφαιρικοί - πράγµα που απέχει πολύ από την πραγµατικότητα, αλλά είναι αναγκαίο για µια απλή διερεύνηση των ιδιοτήτων του συστήµατος, όπως εδώ επιχειρείται. Έτσι, µπορούµε να θεωρήσουµε τις διαµέτρους των σωµάτων, που είναι γνωστές και καταγράφονται στον πίνακα 1, αντιπροσωπευτικές των µαζών τους. 3 δ2 Ως λόγος µαζών µ=m 2 /(m 1 +m 2 ) θεωρείται λοιπόν ο λόγος, εκτός των 3 3 δ2 + δ1 τεσσάρων περιπτώσεων - συστήµατα Pluto-Charon, (66391) 1999KW 4, (66652) 1999RZ 253 και (58534) Logos-Zoe - όπου οι µάζες είναι ήδη εκτιµηµένες. Στον πίνακα 2 βρίσκονται οι παράµετροι που ενδιαφέρουν (οι διάµετροι µετρούνται σε ανηγµένες µονάδες, τέτοιες ώστε ο ηµιάξονας να είναι πάντα ίσος µε a=0,5). Αριθµητικές µέθοδοι Η αριθµητική µέθοδος που χρησιµοποιήθηκε κατά την ολοκλήρωση όλων των τροχιών ήταν ο αλγόριθµος Runge-Kutta-Fehlberg πέµπτης τάξης ( error=o(h 5 ) ) 12 : xn+1 = xn + h 16k 6656k 28561k 9k 2k y y y 135 12825 56340 50 55 k 1=h f (x n, y n) h k1 k=hf 2 (x+ n, y+ n ) 4 4 3h 3k1 9k2 k=hf 3 (x+ n, y+ n + ) 8 32 32 12h 1932k1 7200k2 7296k3 k=hf 4 (x+ n, y+ n + ) 13 2197 2197 2197 439k1 3680k3 845k4 k5=h f (x n+h, y n+ 8k 2+ ) 216 513 4104 h 8k1 3544k3 1859k4 11k5 k=hf 6 (x+ n, y- n +2k- 2 + - ) 2 27 2564 4104 40 1 3 4 5 6 n+ 1 = (x n+1) = n+( + + - + ), 11

α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Πίνακας 1 ιπλά συστήµατα αστεροειδών υπό εξέταση 5 Μέγας ηµιάξονας πρωτεύουσας τροχιάς (AU) Μέγας ηµιάξονας a (km) Εκκεντρότητα e Περίοδος συστήµατος T (h) ιάµετρος δ1 (km) ιάµετρος δ2 (km) 1. 66391 1999 KW 4 0,642 2,548 0,0004 ± 0,0019 17,422 1,317 0,451 2. 137170 1999 HF 1 0,819 7,000 14,017 3,73 0,800 3. 1998 ST 27 0,819 <7 >0,3 100,000 0,800 0,120 4. 5381 Sekhmet 0,947 1,540 12,5 1,000 0,300 5. 66063 1998 RO 1 0,991 1,440 14,54 0,800 0,384 6. 1996 FG 3 1,054 2,850 0.05 ± 0.05 16,14 1,500 0,465 7. 88710 2001 SL 9 1,061 1,520 16,4 0,800 0,224 8. 1994 AW1 1,105 2,400 0,050 22,3 1,000 0,490 9. 164121 2003 YT 1 1,110 3,400 36,7 1,06 0,190 10. 2003 YT 1 1,110 2,800 30 1,000 0,180 11. 35107 1991VH 1,136 3,600 0,05 ± 0,01 32,67 1,200 0,456 12. 2000 DP 107 1,366 2,880 0.010 ± 0.005 42,12 0,800 0,328 13. 1862 Apollo 1,471 3,000 17,000 1,600 0,080 14. 65803 Didymos 1,644 1,125 0,06 +0,06/- 0,04 11,91 0,750 0,165 15. 69230 Hermes 1,655 1,200 13,894 0,600 0,540 16. 162000 1990 OS 1,678 0,600 21 0,300 0,045 17. 3309 Broefelde 1,818 10,000 18,48 5,000 1,300 18. 2002 BM 26 1,833 1,100 12,5 0,600 0,100 19. 5407 1992AX 1,838 6,630 <0,05 13,52 3,900 0,780 20. 85938 1999 DJ 4 1,852 0,735 17,73 0,350 0,175 21. 4674 Pauling 1,859 251,600 3550 3,700 1,184 22. 1509 Esclangona- S/2003 1509 1 1,866 210,600 874 7,800 2,574 23. 1453 Fennia 1,897 7,2 24. 5905 Johnson 1,910 8,280 21,785 3,600 1,368 25. 9069 Hovland 1,913 8,000 30,33 3,000 0,900 26. 5477 1989UH 2 1,917 7,500 24,42 3,000 1,110 27. 2000 UG 11 1,929 0,572 0.09 ± 0.04 18,4 0,260 0,151 28. 76818 2000 RG 79 1,930 4,760 14,127 2,800 0,980 29. 2003 SS 84 1,930 <0,3 24,000 0,120 0,060 30. 1139 Atami 1,947 20,000 27,450 6,000 6,000 31. 2002 KK 8 1,957 0,500 0,100 32. 7088 Ishtar 1,981 2,640 20,63 1,200 0,504 33. 31345 1998 PG 2,015 1,500 14,007 0,900 0,300 34. 6244 Okamoto 2,160 15,000 20,35 7,000 1,700 35. 6265 1985 TW 3 2,166 6,000 36. 6615 Plutarchos 2,170 40,02 5,000 37. 1830 Pogson 2,188 25,000 24,24 10,000 3,000 38. 32008 2000 2,192 5,000 HM 53 39. 1717 Arlon 2,196 18,000 18,236 9,000 40. 3671 Dionysus 2,198 4,050 0,07 +0,03/- 0,07 27,74 1,500 0,300 41. 17260 2000JQ 58 2,204 9,000 14,757 5,000 1,300 42. 2007 DT 103 2,212 0,500 43. 1089 Tama 2,214 21,620 16,444 9,400 8,460 44. 32039 2000 JO23 2,223 4,000 12

45. 9617 Grahamchapman 2,224 10,000 19,385 5,000 1,400 46. 2478 Tokai 2,225 10,000 47. 2754 Efimov 2,228 10,800 14,765 6,000 1,200 48. 2002 CE 26 2,233 4,700 0.00±0.02 15,6 3,46 0,3 49. 10208 1997 QN1 2,235 4,000 50. 3749 Balam 2,237 336,000 0.15 ± 0.15 2640 6,000 1,320 51. 3073 Kursk 2,243 8,000 52. 939 Isberga 2,247 35,000 26,8 12,000 53. 8116 Jeanperrin 2,250 6,000 54. 34706 2001 OP 83 2,254 8,000 498,240 4,000 1,000 55. 4951 Iwamoto 2,257 30,000 118,000 4,000 3,500 56. 114319 2002 2,257 3,000 XD 58 57. 3982 Kastel 2,259 10,000 8,488 8,000 58. 1338 Duponta 2,264 23,000 17,570 12,000 59. 2486 Metsahovi 2,268 12,000 60. 809 Lundia 2,283 12,000 15,400 6,000 6,000 61. 9260 Edwardolson 2,290 7,600 17,785 3,800 1,026 62. 16635 1993 QO 2,298 4,000 63. 6084 Bascom 2,313 25,900 43,5 7,000 2,590 64. 2006 Polonskaya 2,324 13,440 19,15 6,400 1,472 65. 3703 Volkonskaya 2,332 6,750 24 2,700 1,080 66. 3673 Levy 2,345 8,000 67. 1994 XD 2,350 1,000 16,000 0,600 0,150 68. 4786 Tatianina 2,359 16,100 21,67 7,000 1,330 69. 854 Frostia 2,369 36,900 37,711 9,000 8,820 70. 2044 Wirt 2,382 14,700 18,97 7,000 1,750 71. 3782 Celle 2,415 19,800 36,57 6,000 2,580 72. 4029 Bridges 2,525 15,200 16,31 8,000 1,920 73. 11264 Claudiomaccone 2,581 7,000 362,640 <4 >1,24 74. 1313 Berna- S/2004 1 2,659 31,000 25,464 10,000 9,700 75. 45 Eugenia, 0.010 ± 2,720 1184,000 Petit-Prince 0.0002 114,384 214,6 12,7 76. 45 Eugenia- S/2004 45 1 2,720 700,000 48,000 214,6 6,000 77. 4492 Debussy 2,766 35,200 26,606 11,000 10,230 78. 17246 2000 GL 74 2,839 201,600 2034 4,200 1,680 79. 22899 1999 TO 14 2,843 154,800 1356 4,300 1,376 80. 243 Ida-Dactyl 2,862 108,000 >0,2 36,960 31,3 1,400 81. 22 Kalliope- Linus 2,909 1065,000 0.000 ± 0.005 86,160 181 38 82. 283 Emma 3,042 594,500 0.11 ± 0.01 80,74 145,000 11,455 83. 130 Electra 3,122 1253,000 0,01 94,1 179,000 4,654 84. 379 Huenna 3,130 3420,000 0.334 ± 0.075 1939 90,000 7,020 85. 90 Antiope- S/2000 (90) 1 3,156 171,000 <0,006 16,505 87,800 83,800 86. 762 Pulcova 3,159 811,300 96 133,000 21,280 87. 702 Alauda- 3,192 194,7 13

S/2007 1 88. 2005 AB 3,216 3,800 17,93 1,900 0,456 89. 121 Hermione 3,446 758,500 0.001 ± 0.001 61,97 205,000 13,530 90. 107 Camilla 3,478 1236,000 0.006 ± 0.002 89,040 206,000 10,300 91. 87 Sylvia-Remus 3,490 706,000 0.016 ± 0.011 33,091 286 7 92. 87 Sylvia- Romulus 3,490 1356,000 0.001 ± 0.001 87,590 286 18 93. 617 Patroclus- Menoetius 5,227 676,700 0,02 ± 0,02 102,8 101,000 92,920 94. 624 Hektor- (363 x 207) 5,227 1000,000 50,000 S/2006 1 ± 42 15,000 95. 1999 OJ 4 37,969 2200,000 408,000 168,000 93,000 96. 42355 Typhon- 38,163 1330,000 264,000 112,000 56,000 97. Echidna 139775 2001 QG 298 39,196 240,000 164 x 130 x 116 168 x 102 x 94 98. 47171 1999 TC36-S/2001 1 39,228 7720,000 1209,120 379 142 99. 90482 Orcus 39,301 8700,000 264,000 909,000 262 100. 2003 AZ 84 39,413 7200,000 312,000 686 68 101. Pluto- Charon 39,482 19571,400 0.000000 ± 0.000070 153,294 2304 1212 102. Pluto- Hydra 39,482 64780,000 0.0052 ± 0.0011 916,956 2304 61-167 103. Pluto-Nix 39,482 48675,000 0.0023 ± 0.0021 596,5488 2304 46-137 104. 105. 120347 2004 SB60 80806 2000 CM 105 41,970 3500,000 120,000 548,000 190,000 42,403 2700,000 360,000 224,000 129,000 106. 2003 UN 284 42,499 60000,000 43800,000 127,000 97,000 107. 1999 RT 214 42,518 3300,000 1320,000 120,000 108. 55637 2002 42,547 5000,000 192,000 649,000 205 UX 25 109. 2003 QY 90 42,641 14212,000 0,30 ± 0,03 10656,000 137,000 100,000 110. 134860 2000 42,653 2300,000 216,000 253,000 175,000 OJ 67 111. 2001 XR 254 42,887 3400,000 360,000 241,000 231,000 112. 160256 2002 PD149 42,927 0,280 113. 136108 2003 EL61-S/2005 43,339 49500,000 0.050 ± 0.003 1178,880 1400,000 310,000 2003 EL61 1 114. 136108 2003 EL 61 -S/2005 43,339 39300,000 0,000 832,800 1400,000 170,000 2003 EL 61 2 115. 50000 Quaoar 43,612 11000,000 240,000 1260 95 116. 66652 Borasisi- Pabu (1999 43,615 4660,000 0,460 ± 0,013 1110,312 166,000 137,000 RZ 253 ) 117. 2003 QW 111 43,659 10000,000 2160,000 265,000 118. 2000 CF 105 43,819 23000,000 12000,000 170,000 120,000 119. 88611 43,912 27300,000 0,240 ± 0,003 19800,000 176,000 122,000 14

Teharonhiawako- Sawiskera 120. 2001 RZ 143 43,922 1400,000 120,000 201,000 192,000 121. 2001 QW 322 43,943 130000,000 36000,000 86,000 86,000 122. 2003 WU 188 43,981 1300,000 96,000 246,000 178,000 123. 2001 QY 297 43,985 2800,000 240,000 282,000 233,000 124. 79360 1997 CS29-S/2005 1 44,066 2300,000 144,000 305,000 292,000 125. 148780 2001 44,073 5800,000 552,000 340,000 246,000 126. UQ 18 123509 2000 WK 183 44,202 2400,000 408,000 170,000 141,000 127. 2003 TJ 58 44,224 3500,000 1680,000 95,000 75,000 128. 2001 FL 185 44,233 1900,000 384,000 144,000 100,000 129. 2003 QA 91 44,435 130. 1998 WW3- S/2000 (1998 44,576 22300,000 0,817 ± 0,05 13776,000 133,000 110,000 WW31) 1 131. 2000 PB 108 45,012 5400,000 1080,000 210,000 121,000 132. 58534 Logos- Zoe 45,511 8010,000 0,45 ± 0,03 7488,000 80,000 66,000 133. 2001 QC 298 46,124 3690,000 461,520 189,000 155,000 134. 2000 CQ 114 46,347 5880,000 1680,000 164,000 133,000 135. 2003 QR 91 46,795 1700,000 192,000 187,000 170,000 136. 26308 1998 SM 165 -S/2001 1 47,411 11310,000 3122,400 287 96 137. 119979 2002 47,638 2700,000 168,000 400,000 127,000 WC 19 138. 2000 QL 251 47,650 7000,000 1680,000 176,000 176,000 139. 2002 GZ 31 50,874 2100,000 312,000 187,000 118,000 140. 48639 1995 TL 8 52,218 420,000 12,000 352,000 161,000 141. 60621 2000 FE 8 55,699 1200,000 144,000 151,000 115,000 142. 82075 2000 58,136 1900,000 72,000 431,000 237,000 143. 144. 145. YW 134 60458 2000 CM 114 136199 Eris- Dysnomia 65489 Ceto- Phorcys 59,938 2200,000 432,000 150,000 119,000 67,732 37430,000 <0,01 378,528 2400 350-490 102,626 1841,000 <0,015 229,296 172,000 134,000 15

α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Πίνακας 2 Επεξεργασµένα στοιχεία διπλών συστηµάτων πίνακα 1 Μέγας ηµιάξονας a (km) Εκκεντρότητα e Περίοδος συστήµατος T (h) ιάµετρος δ1 (ανηγµένη) ιάµετρος δ2 (ανηγµένη) Θεωρούµενος λόγος µαζών 3 δ2 µ= * 3 3 δ + δ 1. 66391 1999 KW 4 2,548 0,0004 17,422 0,2584 0,0885 0,0543(0,0386) 2. 137170 1999 HF 1 7,000 14,017 0,2664 0,0571 0,0098 3. 1998 ST 27 7,000 0,300 100,000 0,0571 0,0086 0,0034 4. 5381 Sekhmet 1,540 12,5 0,3247 0,0974 0,0263 5. 66063 1998 RO 1 1,440 14,54 0,2778 0,1333 0,0996 6. 1996 FG 3 2,850 0,05 16,14 0,2632 0,0816 0,0289 7. 88710 2001 SL 9 1,520 16,4 0,2632 0,0737 0,0215 8. 1994 AW 1 2,400 0,050 22,3 0,2083 0,1021 0,1053 9. 164121 2003 YT 1 3,400 36,7 0,1559 0,0279 0,0057 10. 2003 YT 1 2,800 30 0,1786 0,0321 0,0058 11. 35107 1991VH 3,600 0,05 32,67 0,1667 0,0633 0,0520 12. 2000 DP 107 2,880 0,010 42,12 0,1389 0,0569 0,0645 13. 1862 Apollo 3,000 17,000 0,2667 0,0133 0,0001 14. 65803 Didymos 1,125 0,06 11,91 0,3333 0,0733 0,0105 15. 69230 Hermes 1,200 13,894 0,2500 0,2250 0,4216 16. 162000 1990 OS 0,600 21 0,2500 0,0375 0,0034 17. 3309 Broefelde 10,000 18,48 0,2500 0,0650 0,0173 18. 2002 BM 26 1,100 12,5 0,2727 0,0455 0,0046 19. 5407 1992AX 6,630 0,05 13,52 0,2941 0,0588 0,0079 20. 85938 1999 DJ 4 0,735 17,73 0,2381 0,1190 0,1111 21. 4674 Pauling 251,600 3550 0,0074 0,0024 0,0317 22. 1509 Esclangona- 210,600 874 S/2003 1 0,0185 0,0061 0,0347 23. 1453 Fennia 24. 5905 Johnson 8,280 21,785 0,2174 0,0826 0,0520 25. 9069 Hovland 8,000 30,33 0,1875 0,0563 0,0263 26. 5477 1989UH 2 7,500 24,42 0,2000 0,0740 0,0482 27. 2000 UG 11 0,572 0,09 18,4 0,2273 0,1320 0,1638 28. 76818 2000 RG 79 4,760 14,127 0,2941 0,1029 0,0411 29. 2003 SS 84 0,300 24,000 0,2000 0,1000 0,1111 30. 1139 Atami 20,000 27,450 0,1500 0,1500 0,5000 31. 2002 KK 8 0,0079 32. 7088 Ishtar 2,640 20,63 0,2273 0,0955 0,0690 33. 31345 1998 PG 1,500 14,007 0,3000 0,1000 0,0357 34. 6244 Okamoto 15,000 20,35 0,2333 0,0567 0,0141 35. 6265 1985 TW 3 36. 6615 Plutarchos 40,02 37. 1830 Pogson 25,000 24,24 0,2000 0,0600 0,0263 38. 32008 2000 HM 53 39. 1717 Arlon 18,000 18,236 0,2500 40. 3671 Dionysus 4,050 0,07 27,74 0,1852 0,0370 0,0079 41. 17260 2000JQ 58 9,000 14,757 0,2778 0,0722 0,0173 42. 2007 DT 103 43. 1089 Tama 21,620 16,444 0,2174 0,1957 0,4216 44. 32039 2000 JO 23 2 1 16

45. 9617 10,000 19,385 Grahamchapman 0,2500 0,0700 0,0215 46. 2478 Tokai 47. 2754 Efimov 10,800 14,765 0,2778 0,0556 0,0079 48. 2002 CE 26 4,700 0 15,6 0,3681 0,0319 0,0007 49. 10208 1997 QN 1 50. 3749 Balam 336,000 0,15 2640 0,0089 0,0020 0,0105 51. 3073 Kursk 52. 939 Isberga 35,000 26,8 0,1714 53. 8116 Jeanperrin 54. 34706 2001 OP 83 8,000 498,240 0,2500 0,0625 0,0154 55. 4951 Iwamoto 30,000 118,000 0,0667 0,0583 0,4012 56. 114319 2002 XD 58 57. 3982 Kastel 10,000 8,488 0,4000 58. 1338 Duponta 23,000 17,570 0,2609 59. 2486 Metsahovi 60. 809 Lundia 12,000 15,400 0,2500 0,2500 0,5000 61. 9260 7,600 17,785 Edwardolson 0,2500 0,0675 0,0193 62. 16635 1993 QO 63. 6084 Bascom 25,900 43,5 0,1351 0,0500 0,0482 64. 2006 Polonskaya 13,440 19,15 0,2381 0,0548 0,0120 65. 3703 6,750 24 Volkonskaya 0,2000 0,0800 0,0602 66. 3673 Levy 67. 1994 XD 1,000 16,000 0,3000 0,0750 0,0154 68. 4786 Tatianina 16,100 21,67 0,2174 0,0413 0,0068 69. 854 Frostia 36,900 37,711 0,1220 0,1195 0,4849 70. 2044 Wirt 14,700 18,97 0,2381 0,0595 0,0154 71. 3782 Celle 19,800 36,57 0,1515 0,0652 0,0737 72. 4029 Bridges 15,200 16,31 0,2632 0,0632 0,0136 73. 11264 7,000 362,640 Claudiomaccone 0,2857 0,0886 0,0289 74. 1313 Berna- 31,000 25,464 S/2004 1 0,1613 0,1565 0,4772 75. 45 Eugenia, Petit- 1184,000 0,01 114,384 Prince 0,0906 0,0054 0,0002 76. 45 Eugenia-S/2004 1 700,000 48,000 0,1533 0,0043 0,00002 77. 4492 Debussy 35,200 26,606 0,1563 0,1453 0,4458 78. 17246 2000 GL 74 201,600 2034 0,0104 0,0042 0,0602 79. 22899 1999 TO 14 154,800 1356 0,0139 0,0044 0,0317 80. 243 Ida-Dactyl 108,000 0,200 36,960 0,1449 0,0065 0,0001 81. 22 Kalliope-Linus 1065,000 0.000 86,160 0,0850 0,0178 0,0092 82. 283 Emma 594,500 0,11 80,74 0,1220 0,0096 0,0005 83. 130 Electra 1253,000 0,01 94,1 0,0714 0,0019 0,00009 84. 379 Huenna 3420,000 0,334 1939 0,0132 0,0010 0,0005 85. 90 Antiope-S/2000 1 171,000 0,006 16,505 0,2567 0,2450 0,4651 86. 762 Pulcova 811,300 96 0,0820 0,0131 0,0041 87. 702 Alauda- S/2007 1 88. 2005 AB 3,800 17,93 0,2500 0,0600 0,0136 17

89. 121 Hermione 758,500 0,001 61,97 0,1351 0,0089 0,0003 90. 107 Camilla 1236,000 0,006 89,040 0,0833 0,0042 0,0001 91. 87 Sylvia-Remus 706,000 0,016 33,091 0,1055 0,0066 0,0002 92. 87 Sylvia- 1356,000 0,001 87,590 Romulus 0,2025 0,0050 0,00001 93. 617 Patroclus- 676,700 0,02 102,8 Menoetius 0,0746 0,0687 0,4378 94. 624 Hektor-S/2006 1 1000,000 50,000 0,1425 0,0075 0,0001 95. 1999 OJ 4 2200,000 408,000 0,0382 0,0211 0,1450 96. 42355 Typhon 1330,000 264,000 and Echidna 0,0421 0,0211 0,1111 97. 139775 2001 240,000 QG 298 0,2721 0,2346 0,3906 98. 47171 1999 TC 36-7720,000 1209,120 S/2001 1 0,0245 0,0092 0,0500 99. 90482 Orcus 8700,000 264,000 0,0522 0,0151 0,0234 100 2003 AZ 84 7200,000 312,000 0,0476 0,0047 0,0010 101 Pluto- Charon 19571,400 0 153,294 0,0589 0,0310 0,1043(0,1271) 102 Pluto- Hydra 64780,000 0,0052 916,956 0,0237 0,0009 0,0001 103 Pluto-Nix 48675,000 0,0023 596,5488 0,0178 0,0009 0,0001 104 120347 2004 3500,000 120,000 SB60 0,0783 0,0271 0,0400 105 80806 2000 2700,000 360,000 CM105 0,0415 0,0239 0,1604 106 2003 UN 284 60000,000 43800,000 0,0011 0,0008 0,3082 107 1999 RT 214 3300,000 1320,000 0,0182 108 55637 2002 UX 25 5000,000 192,000 0,0649 0,0205 0,0306 109 2003 QY 90 14212,000 0,3 10656,000 0,0048 0,0035 0,2800 110 134860 2000 OJ 67 2300,000 216,000 0,0550 0,0380 0,2487 111 2001 XR 254 3400,000 360,000 0,0354 0,0340 0,4683 112 160256 2002 PD 149 113 136108 2003 EL 61 - S/2005 2003 EL 61 1 49500,000 0,05 1178,880 0,0178 0,0022 0,0018 114 136108 2003 EL 61 - S/2005 2003 EL 61 2 39300,000 0,000 832,800 0,0141 0,0031 0,0107 115 50000 Quaoar 11000,000 240,000 0,0573 0,0043 0,0004 116 66652 Borasisi- 4660,000 0,46 1110,312 Pabu (1999 RZ 253 ) 0,0178 0,0147 0,3592(0,3598) 117 2003 QW 111 10000,000 2160,000 0,0133 118 2000 CF 105 23000,000 12000,000 0,0037 0,0026 0,2602 119 88611 Teharonhiawako- Sawiskera 27300,000 0,24 19800,000 0,0032 0,0022 0,2499 120 2001 RZ 143 1400,000 120,000 0,0718 0,0686 0,4657 121 2001 QW 322 130000,000 36000,000 0,0003 0,0003 0,5000 122 2003 WU 188 1300,000 96,000 0,0946 0,0685 0,2748 18

123 2001 QY 297 2800,000 240,000 0,0504 0,0416 0,3606 124 79360 1997 CS 29-2300,000 144,000 S/2005 1 0,0663 0,0635 0,4674 125 148780 2001 5800,000 552,000 UQ 18 0,0293 0,0212 0,2747 126 123509 2000 2400,000 408,000 WK 183 0,0354 0,0294 0,3633 127 2003 TJ 58 3500,000 1680,000 0,0136 0,0107 0,3298 128 2001 FL 185 1900,000 384,000 0,0379 0,0263 0,2509 129 2003 QA 91 130 1998 WW 31 -S/2000 (1998 WW 31 ) 1 22300,000 0,817 13776,000 0,0030 0,0025 0,3613 131 2000 PB 108 5400,000 1080,000 0,0194 0,0112 0,1606 132 58534 Logos-Zoe 8010,000 0,45 7488,000 0,0050 0,0041 0,3571(0,3596) 133 2001 QC 298 3690,000 461,520 0,0256 0,0210 0,3555 134 2000 CQ 114 5880,000 1680,000 0,0139 0,0113 0,3478 135 2003 QR 91 1700,000 192,000 0,0550 0,0500 0,4290 136 26308 1998 SM 165 - S/2001 26308 1 11310,000 3122,400 0,0127 0,0042 0,0361 137 119979 2002 WC 19 2700,000 168,000 0,0741 0,0235 0,0310 138 2000 QL 251 7000,000 1680,000 0,0126 0,0126 0,5000 139 2002 GZ 31 2100,000 312,000 0,0445 0,0281 0,2008 140 48639 1995 TL 8 420,000 12,000 0,4190 0,1917 0,0873 141 60621 2000 FE 8 1200,000 144,000 0,0629 0,0479 0,3064 142 82075 2000 1900,000 72,000 YW 134 0,1134 0,0624 0,1426 143 60458 2000 2200,000 432,000 CM 114 0,0341 0,0270 0,3330 144 136199 Eris- 37430,000 0,010 378,528 Dysnomia 0,0321 0,0056 0,0053 145 65489 Ceto- 1841,000 0,015 229,296 Phorcys 0,0467 0,0364 0,3210 * όπου υπάρχει παρένθεση: ο πρώτος αριθµός προέρχεται από υπολογισµό για τις πραγµατικές µάζες (σε παρένθεση ο λόγος διαµέτρων) 19

Εφαρµογή ελλειπτικού Sitnikov Εξετάζουµε πρώτα τις περιπτώσεις όπου ο λόγος µ πλησιάζει πολύ την τιµή 0,5 (0, 48 µ 0,5 ). Πρόκειται για δέκα (10) συστήµατα εκ των οποίων τα πέντε είναι υπερποσειδώνια (ΤΝΟ s). Για αυτά θεωρούµε καταρχήν ότι µ 0,5 (πίνακας 3). Το σύστηµα (90) Antiope-S/2000 έχει εκκεντρότητα αρκετά µικρή. ιαπιστώνουµε πως και τροχιές µε µεγάλο αρχικό ύψος είναι τακτικές, µε αρχική συνθήκη z 0 περίπου ως 6,7 αξονικών µηκών, δηλαδή ως z 0 =13,4 a=6,7, ενώ και για πιο ακραίες αρχικές συνθήκες η τροχιά µένει σε περιορισµένο χώρο, αν και δεν είναι πια τακτική. Ωστόσο, τα περισσότερα ζεύγη του πίνακα 1, όπως και όλα τα υπόλοιπα µε µ 0,5, έχουν άγνωστες εκκεντρότητες. Για όσα από αυτά βρίσκονται στην κύρια ζώνη των αστεροειδών ή ανάµεσα στους Τρωικούς ή στους παραγήινους αστεροειδείς οι εκκεντρότητες µπορούν εύλογα να θεωρηθούν εξίσου µικρές. Αντίθετα, για όσα ανήκουν στα υπερποσειδώνια αντικείµενα οι εκκεντρότητες πρέπει να είναι µεγαλύτερες. Σε αυτό το συµπέρασµα συντείνουν τόσο η κατανοµή των γνωστών εκκεντροτήτων στον πίνακα 1, όσο και ο τρόπος δηµιουργίας των διπλών συστηµάτων στις δύο αυτές περιοχές του ηλιακού συστήµατος. 2,0 (90) Antiope - S/2001 (e=0,006, µ=0,5) 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 ιάγραµµα 4 Απεικόνιση Poincare (z-z ) για το σύστηµα (90), θεωρώντας µ=0,5. z 20

Για τις άγνωστες εκκεντρότητες µπορούµε να διερευνήσουµε µέχρι ποιες τιµές e έχουµε τροχιά περιορισµένη ως z=10, για αρχική συνθήκη τουλάχιστον z=a=0,5. Έτσι, ολοκληρώνουµε τροχιές αλλάζοντας την εκκεντρότητα -πάντα µε αυτήν την αρχική συνθήκη- και εξετάζουµε την απόσταση όπου καταλήγει ο δορυφόρος µετά από 50 και 100 περιόδους. Τα αποτελέσµατα της διερεύνησης - ποιοτικά παρόµοια για τις δύο περιπτώσεις- βρίσκονται στο διάγραµµα 5 (η 3 t last =50 T 2 1 Log z last 0-1 -2-3 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 3 e t last =100 T 2 Log z last 1 0-1 -2 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 ιάγραµµα 5 ιατήρηση του z µε µεταβολή της e για δυο διαφορετικά χρονικά διαστήµατα. e 21

ολοκλήρωση 100 περιόδων κρίνεται ικανοποιητική και τα αποτελέσµατα αναφέρονται σε αυτό το χρονικό διάστηµα). Μέχρι την τιµή εκκεντρότητας 0,340 περίπου, το σώµα µένει εντός των επιτρεπτών ορίων ως 10 αξονικές αποστάσεις (logz last <1)- ενώ φαίνεται να υπάρχουν και άλλα τέτοια διαστήµατα εκκεντροτήτων. Αλλάζοντας την αρχική συνθήκη z 0 µεταξύ τιµών z 0 =0,5 και z 0 =6,00 σαρώνουµε τον χώρο z 0 e και κατασκευάζουµε το χρωµατικό διάγραµµα ισοϋψών καµπύλων (διάγραµµα 6, διάστηµα ολοκλήρωσης 100T) για τις τελικές τιµές της µεταβλητής z (z last ). Εντός των προϋποθέσεων που θέτουµε για την τελική απόσταση του δορυφόρου από το σύστηµα, βρίσκονται οι περιοχές log z last < 1. Από τα διαγράµµατα 5 και 6 φαίνεται πράγµατι ότι για z 0 =0,5 ακόµη και για µεγάλες εκκεντρότητες, περίπου έως e=0,340, επίσης για κάποια ακόµη διαστήµατα z 0 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0-2,0-1,0 0 1,0 2,0 2,5 4,0 Log z last 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 e ιάγραµµα 6 ιάγραµµα ισοϋψών e-z 0 -log z last. Ενδιαφέρουν οι περιοχές log z last <1. 22

τιµών e (κυρίως 0.413-0.425, 0.496-0.499, 0.504-0.510, 0.513-0.516), αλλά και για τις περιοχές e<0,28-1,35<z 0 <2,25 και 0,41<e<0,47 2,45<z 0 <2,65 υπάρχουν αρκετές σχετικά σταθερές τροχιές. Όπως φαίνεται στο διάγραµµα 7, µέχρι e=0,340 υπάρχουν ηµιπεριοδικές τροχιές µε z=0,5, που εµπίπτουν στην κεντρική µεγάλη «νησίδα» του χώρου φάσεων. Όσο οι εκκεντρότητες µεγαλώνουν, τόσο οι ηµιπεριοδικές περιοχές συρρικνώνονται, παραχωρώντας έκταση στις χαοτικές. Στο διάστηµα e=0,320-0,330 η καµπύλη που περικλείει την κεντρική «νησίδα» διαλύεται, οπότε για e=0,340 η z=0,5 παύει να εµπίπτει σε ηµιπεριοδική περιοχή. Όµως εξακολουθούν να υπάρχουν ηµιπεριοδικές περιοχές για z>0,5 στις διπλανές δευτερεύουσες «νησίδες». Τελικά για κάποια τιµή εκκεντρότητας κοντά στην e=0,415 οι µικρές «νησίδες» ξαναπερνούν από την z=0,5 και αυτή ξαναγίνεται ηµιπεριοδική. Ακολούθως οι δευτερεύουσες νησίδες επίσης συρρικνώνονται και η τελευταία -δηλαδή µεγαλύτερη- εκκεντρότητα µε σχεδόν τακτική (regular) την τροχιά z=0,5, σε αυτήν την περιοχή εκκεντροτήτων, βρίσκουµε να είναι η e=0,516. (Για εκκεντρότητα 0,516 η µέγιστη απόσταση τακτικής τροχιάς είναι z=0,5.) Συνεπώς, σε όλα τα αντικείµενα εντός της κύριας ζώνης και σε ορισµένα ίσως TNO s (µε e<0,340) θεωρείται καταρχήν δυνατή η τοποθέτηση δορυφόρου για αρκετά µεγάλο χρονικό διάστηµα. (Για εκκεντρότητα 0,340 η µέγιστη απόσταση περιορισµένης τροχιάς θεωρείται περίπου z=0,70.) Οι αναγωγές των παραπάνω αποτελεσµάτων, στην ελάχιστη αρχική συνθήκη z 0 =0,5, για τα 10 πραγµατικά συστήµατα µε µ 0,5, συνοψίζονται στον πίνακα 3. α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Μέγας ηµιάξονας πρωτεύουσας τροχιάς (AU) Πίνακας 3 Συστήµατα µ 0,5 Μέγας ηµιάξονας a (km) Εκκεντρότητα e λόγος µαζών 3 δ2 µ= 3 3 δ + δ 1 2 Μέγιστη απόσταση σχ. σταθερής τροχιάς (σε ηµιάξονες, a) 1. 1139 Atami 1,947 20,000 [0,340] [0,516] 0,5000 1,4-1 [28-20 km] 2. 809 Lundia 2,283 12,000 [0,340] [0,516] 0,5000 1,4-1 [16,8-12,0 km] 3. 2001 QW 322 43,943 130000,000 [0,340] [0,516] 0,5000 1,4-1 [182000-130000 km] 4. 2000 QL 251 47,650 7000,000 [0,340] [0,516] 0,5000 1,4-1 [9800-7000 km] 5. 854 Frostia 2,369 36,900 [0,340] [0,516] 0,4849 1,4-1 [51,66-36,90 km] 1313 Berna- [0,340] [0,516] 6. S/2004 (1313) 1 2,659 31,000 0,4772 1,4-1 [43,4-31,0 km] 7. 2001 XR 254 42,887 3400,000 [0,340] [0,516] 0,4683 1,4-1 [4760-3400 km] 79360 1997 [0,340] [0,516] 8. CS 29 -S/2005 (79360) 1 44,066 2300,000 0,4674 1,4-1 [3220-2300 km] 9. 2001 RZ 143 43,922 1400,000 [0,340] [0,516] 0,4657 1,4-1 [1960-1400 km] 90 Antiope- 10. 0,006 13,4 [471,68km] S/2000 (90) 1 3,156 171,000 0,4651 23

ιάγραµµα 7 (α-β) Απεικονίσεις Poincare z 0 =0,5 για ειδικές τιµές e e=0,330 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z e=0,340 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z 24

ιάγραµµα 7 (γ-δ) e=0,415 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z e=0,497 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z 25

ιάγραµµα 7 (ε-στ) e=0,513 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5 z 0 = 0,5-2,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z e=0,517 2,0 1,5 1,0 0,5 z' 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0 z 0 = 0,5-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 z 26

Εφαρµογή 3D-κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος Στην συνέχεια θα προσπαθήσουµε να µελετήσουµε κάποια από τα συστήµατα του πίνακα 1 χωρίς την απλουστευτική προσέγγιση Sitnikov, αλλά µε το µοντέλο του τριδιάστατου περιορισµένου προβλήµατος. Θεωρούµε λοιπόν µόνο τα σώµατα µε εκκεντρότητα e 0, έστω e<0,1. Αυτά είναι είκοσι έξι (26) και τα περισσότερα βρίσκονται σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο µικρότερη από την τροχιά του ία, ενώ τα επτά (7) είναι τα υπερποσειδώνια συστήµατα του Πλούτωνα και των 136199 Eris- Dysnomia, 65489 Ceto-Phorcys (Κένταυρος) και 136108 που έχουν γνωστές εκκεντρότητες πολύ µικρές (e<0,015 0) (πίνακας 4). Αυτά ολοκληρώνονται µε βάση τις εξισώσεις του τριδιάστατου κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος. Η προσέγγιση e 0, για e<0,1 γίνεται στη βάση του γεγονότος ότι µόνο ένα µικρό ποσοστό των τροχιών (βλέπε και διάγραµµα 6), για τις αρχικές συνθήκες και τα χρονικά διαστήµατα ολοκλήρωσης που χρησιµοποιούνται, διαφεύγουν της καθορισµένης περιοχής z<10. Για κάθε τιµή ανηγµένης µάζας µ ολοκληρώνονται τα συστήµατα για διάφορες αρχικές συνθήκες z και υπολογίζονται οι χρόνοι διαφυγής (t esc ) ως οι χρόνοι που χρειάζεται η µάζα m 3 για να αποµακρυνθεί σε απόσταση rxyz (,, ) xt () yt () zt () 2 2 2 = + + µεγαλύτερη των δέκα αξονικών αποστάσεων (20 a) (χρόνοι t esc10 ). Ταυτόχρονα αποκλείουµε τις τροχιές που οδηγούν σε πρόσκρουση µε τα δύο κύρια σώµατα, που θεωρούνται εδώ σφαιρικά, γνωρίζοντας τις πραγµατικές διαµέτρους τους (πίνακας 1). Ως αρχικές συνθήκες επιλέγονται θέσεις επάνω (z 0) στο εκάστοτε σηµείο Lagrange L 1 (οι συντεταγµένες των σηµείων L 1 υπολογίζονται µε απλό πρόγραµµα της Mathematica 14 ). Παρατηρούµε και στα διαγράµµατα 9, ότι υπάρχει για κάθε τιµή µ µία κρίσιµη τιµή z 0 µετά την οποία ο χρόνος διαφυγής ελαττώνεται ραγδαία (z fe ). Στον πίνακα 5 καταγράφονται τα z fe µετά τα οποία η m 3 µεταπίπτει σε τροχιά ταχείας διαφυγής (fast escape). Ακόµη, για τροχιές z 0 < z fe, οι ελάχιστοι χρόνοι διαφυγής t escmin και η ελάχιστη και µέγιστη τιµή του αρχικού ύψους z 0 για τις οποίες παρατηρείται διαφυγή (σε κάθε περίπτωση z 0 >0,5). Τέλος, στον πίνακα 5 µε διαφορετική απόχρωση και πλάγια γράµµατα σηµειώνονται τα συστήµατα που απεικονίζονται στα διαγράµµατα 9. Ως γενικό συµπέρασµα µπορεί πάντως να εξαχθεί ότι υπάρχουν σχετικά σταθερές τροχιές για όλα τα υπό µελέτη συστήµατα e 0, εκτός των δύο τελευταίων (617, 90) µε λόγο µαζών µ>0,4. 27

ιαγράµµατα 8 (α-η) Καµπύλες µηδενικής ταχύτητας και σηµεία Lagrange L 1, L 2, L 3, L 4, L 5 (κόκκινα) για διάφορες τιµές του λόγου µαζών µ. Τα σώµατα m 1 και m 2 απεικονίζονται µε µαύρο χρώµα. Το L 1 βρίσκεται πάντα ανάµεσα σε αυτά τα δύο. µ= + 0.000015 µ= + 0.001787 µ= + 0.010536 µ= + 0.1043 28

µ= + 0.163802 µ= + 0.321047 µ= + 0.437788 µ= + 0.465086 29

α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Μέγας ηµιάξονας πρωτεύουσας τροχιάς (AU) Μέγας ηµιάξονας a (km) Πίνακας 4 Συστήµατα e 0 Εκκεντρότητα e λόγος µαζών µ Ανηγµένη διάµετρος δ1 (µονάδες αξονικών αποστάσεων) Ανηγµένη διάµετρος δ2 (µονάδες αξονικών αποστάσεων) 1. 87 Sylvia-Remus 3,490 706,000 0,016 0,000015 0,2025 0,0050 2. 130 Electra 3,122 1253,000 0,01 0,000018 0,0714 0,0019 3. Pluto-Nix 39,482 48675,000 0,0023 0,000063 0,0237 0,0009 4. Pluto- Hydra 39,482 64780,000 0,0052 0,000121 0,0178 0,0009 5. 107 Camilla 3,478 1236,000 0,006 0,000125 0,0833 0,0042 6. 45 Eugenia - Petit-Prince 2,720 1184,000 0,01 0,000207 0,0906 0,0054 7. 87 Sylvia- Romulus 3,490 1356,000 0,001 0,000249 0,1055 0,0066 8. 121 Hermione 3,446 758,500 0,001 0,000287 0,1351 0,0089 9. 2002 CE 26 2,233 4,700 0 0,000651 0,3681 0,0319 136108 2003 10. EL 61 -S/2005 2003 EL 61 2 43,339 39300,000 0,000 0,001787 0,0178 0,0022 136199 Eris- 11. Dysnomia 67,732 37430,000 0,010 0,005331 0,0321 0,0056 12. 3671 Dionysus 2,198 4,050 0,07 0,007937 0,1852 0,0370 13. 5407 1992AX 1,838 6,630 0,05 0,007937 0,2941 0,0588 22 Kalliope- 14. Linus 2,909 1065,000 0 0,009169 0,0850 0,0178 15. 65803 Didymos 1,644 1,125 0,06 0,010536 0,3333 0,0733 136108 2003 16. EL 61 -S/2005 2003 EL 61 1 43,339 49500,000 0,05 0,010740 0,0141 0,0031 17. 1996 FG 3 1,054 2,850 0,05 0,028929 0,2632 0,0816 18. 35107 1991VH 1,136 3,600 0,05 0,052018 0,1667 0,0633 66391 1999 19. KW 4 0,642 2,548 0,0004 0,054300 0,2584 0,0885 20. 2000 DP 107 1,366 2,880 0,01 0,064477 0,1389 0,0569 21. Pluto- Charon 39,482 19571,400 0 0,104300 0,0589 0,0310 22. 1994 AW 1 1,105 2,400 0,050 0,105265 0,2083 0,1021 23. 2000 UG 11 1,929 0,572 0,09 0,163802 0,2273 0,1320 65489 Ceto- 24. Phorcys 102,626 1841,000 0,015 0,321047 0,0467 0,0364 617 Patroclus- 25. Menoetius 5,227 676,700 0,02 0,437788 0,0746 0,0687 90 Antiope- 26. S/2000 (90) 1 3,156 171,000 0,006 0,465086 0,2567 0,2450 30

α/α Όνοµα διπλού συστήµατος Πίνακας 5 Χαρακτηριστικά συστηµάτων e 0 Περίοδος Τ (h) tescmin (περίοδοι) tescmin (h) zmin * zmax * (πριν ταχεία zfe * διαφυγή) 1. 87 Sylvia-Remus 33,091 100 3309,10 - - 1,45 2. 130 Electra 94,1 100 9410,00 - - 1,46 3. Pluto-Nix 596,5488 100 59654,88 - - 1,5 4. Pluto- Hydra 916,956 100 91695,60 - - 1,53 5. 107 Camilla 89,040 100 8904,00 - - 1,53 6. 45 Eugenia, Petit- 1,56 Prince 114,384 100 11438,40 - - 7. 87 Sylvia-Romulus 87,590 100 8759,00 - - 1,57 8. 121 Hermione 61,97 100 6197,00 - - 1,58 9. 2002 CE 26 15,6 100 1560,00 - - 1,65 10. 136108 2003 EL 61-1,76 S/2005 2003 EL 61 2 832,800 100 83280,00 - - 11. 136199 Eris-Dysnomia 378,528 24 9084,67 0,52 0,69 1,94 12. 3671 Dionysus 27,74 24,93 691,56 0,51 0,76 2,03 13. 5407 1992AX 13,52 24,93 337,05 0,51 0,76 2,03 14. 22 Kalliope-Linus 86,160 15,98 1376,84 0,57 0,91 2,07 15. 65803 Didymos 11,91 5,9 70,27 0,51 0,96 2,11 16. 136108 2003 EL 61-2,12 S/2005 2003 EL 61 1 1178,880 5,68 6696,04 0,51 1,04 17. 1996 FG 3 16,14 10,45 168,66 0,51 1,38 2,52 18. 35107 1991VH 32,67 2,72 88,86 0,51 1,68 2,94 19. 66391 1999 KW 4 17,422 2,32 40,42 0,51 1,74 2,99 20. 2000 DP 107 42,12 2,55 107,41 0,51 1,96 3,17 21. Pluto- Charon 153,294 2,19 335,71 0,51 2,3 3,9 22. 1994 AW 1 22,3 2,16 48,17 0,51 2,32 3,92 23. 2000 UG 11 18,4 1,72 31,65 0,51 2,92 5,26 24. 65489 Ceto-Phorcys 229,296 1,81 415,03 0,51 6,64-25. 617 Patroclus- Menoetius 102,8 1,38 141,86 0,51 - - 26. 90 Antiope-S/2000 (90) 1 16,505 2,21 36,48 0,51 - - * αποτελέσµατα όπου παρατηρείται διαφυγή για z 0 <10 31

136108 2003 EL 61 - S/2005 2 µ=0,001787 100 80 t esc10 (µονάδες περιόδων) 60 40 20 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 z 0 136199 Eris - Dysnomia µ=0,005331 100 80 t esc10 (µονάδες περιόδων) 60 40 20 0 1 2 3 z 0 ιάγραµµα 9 Εξάρτηση από αρχική συνθήκη z 0 των χρόνων διαφυγής t esc10 (περίοδος περιφοράς συστήµατος Τ π =1) για συστήµατα του πίνακα 5. Κόκκινα είναι τα σηµεία που καταλήγουν σε πρόσκρουση µε το πρωτεύον σώµα, πράσινα µε το δευτερεύον, µαύρα τα υπόλοιπα. Όλοι οι χρόνοι βρίσκονται να υπερβαίνουν την µία περίοδο. Η ολοκλήρωση γίνεται για 100 περιόδους Τ π (200π), οπότε αυτή είναι η µέγιστη τιµή των t esc. Παρατηρούµε ότι όσο µικραίνει ο λόγος των µαζών τόσο µεγαλώνει ο χρόνος διαφυγής. 32

65803 Didymos µ=0,010356 100 80 t esc10 (µονάδες περιόδων) 60 40 20 0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 z 0 2000 DP 107 µ=0,064477 100 80 t esc10 (µονάδες περιόδων) 60 40 20 0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 z 0 33

1994 AW1 µ=0,105265 100 80 t esc10 (µονάδες περιόδων) 60 40 20 0 1 2 3 4 z 0 65489 Ceto - Phorcys µ=0,321047 100 80 t esc10 (µονάδες περιόδων) 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 z 0 34

40 617 Patroclus - Menoetius µ=0,437788 30 t esc10 (µονάδες περιόδων) 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 z 0 50 90 Antiope - S/2000 µ=0,465086 40 t esc10 (µονάδες περιόδων) 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 0 35

Παρατηρούµε ότι τα µεγέθη t escmin (ελάχιστος χρόνος διαφυγής), z max (µέγιστο αρχικό ύψος ασταθών τροχιών) και z fe (ελάχιστο αρχικό ύψος γρήγορης διαφυγής) µεταβάλλονται συναρτήσει του λόγου µαζών µε κάποια κανονικότητα. Για τον ελάχιστο χρόνο διαφυγής, λάβαµε υπόψη τους λογάριθµό του σε σχέση µε το λογάριθµο του λόγου µαζών, αφού που η εξάρτησή τους φαίνεται γραµµική. Από την προσαρµογή (fitting) των σηµείων που αναφέρονται στον πίνακα 5, εξαιρώντας τις τροχιές που εξαντλούν τις 100 περιόδους χωρίς διαφυγή, προκύπτουν οι παρακάτω καµπύλες για το καθένα: ln( t esc min ) = ( 0,16 ± 0,13) + ( 0,61± 0,08) ln( µ ) 0,85 t esc min για όλα τα συστήµατα, 0,61 µ z max = (0,25 ± 0,03) + (6,48 ± 0,16) µ για όλα τα συστήµατα και z max = (0,23 ± 0,04) + (6,60 ± 0,16) µ µόνο για την κύρια ζώνη, z = (1,36± 0,05) + (8,02± 0,33) µ για όλα τα συστήµατα και fe z = (1,35 ± 0,07) + (8,14 ± 0, 43) µ µόνο για την κύρια ζώνη fe 1 Ο ελάχιστος χρόνος διαφυγής φαίνεται να υπακούει το νόµο t esc min και µ αν εφαρµόσουµε γραµµική προσαρµογή δεσµεύοντας τους συντελεστές της ευθείας ln( t ) a+ b ln( µ ) στις τιµές α=0 και b=-0,5 αντίστοιχα λαµβάνονται οι ευθείες: esc min ln( t ) = ( 0,52 ± 0,04) ln( µ ) esc min esc min 0,52 t 1 µ 0,997 ln( tesc min ) = ( 0,003 ± 0,056) 0,5 ln( µ ) tesc min µ Η αιτία της συµπεριφοράς αυτής δεν είναι προφανής, αν και περιµέναµε ποιοτικά το φαινόµενο της ταχύτερης διαφυγής του δορυφόρου, όσο η επίδραση του δευτερεύοντος σώµατος γίνεται σηµαντικότερη. Τα αποτελέσµατα αυτά περιγράφονται στα διαγράµµατα 10α ως 10δ. Ειδικά οι µεταβολές των αρχικών υψών z max και z fe υποθέτουµε ότι σχετίζονται µε τη µετατόπιση του σηµείου ισορροπίας L 1 που πραγµατοποιείται µε τον ίδιο νόµο x µ ). Όσο ο λόγος µαζών προσεγγίζει την µέγιστη τιµή µ=0,5 και η τετµηµένη ( L1 x του σηµείου Lagrange L 1 προσεγγίζει την ελάχιστη τιµή 0 (βαρύκεντρο), τόσο αυξάνεται η ελάχιστη τιµή z 0 για την οποία ο δορυφόρος εκτινάσσεται γρήγορα στο άπειρο. ηλαδή η περιοχή των σχετικά σταθερών τροχιών µετατοπίζεται προς µεγαλύτερα αρχικά ύψη, όσο διευρύνεται η περιοχή που περικλείει η καµπύλη µηδενικής ταχύτητας γύρω από το L 1 (διάγραµµα 8). Η αύξηση του z max όσο και η γρήγορη πτώση του ελάχιστου χρόνου διαφυγής των τροχιών, έχουν να κάνουν µε τη διεύρυνση της χαοτικής περιοχής γύρω από το L 1 όσο το δευτερεύον σώµα παύει να προκαλεί απλή διαταραχή στην τροχιά του δορυφόρου γύρω από το πρωτεύον και οι µάζες των δύο γίνονται συγκρίσιµες (ο λόγος µ πλησιάζει το 0,5). 36

5,5 ιάγραµµα 10 (α-β) Εξάρτηση από τον λόγο µαζών µ των z max και z fe. Οι συγκεκριµένες καµπύλες αναφέρονται µόνο στα σώµατα της κύριας ζώνης (µαύρα σηµεία) και όχι στα υπερποσειδώνια (κόκκινα). MBs TNOs 5,0 4,5 4,0 Z fe 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 µ 7 MBs TNOs 6 5 z max 4 3 2 1 0 0,0 0,1 0,2 0,3 µ 37

ιάγραµµα 10 (γ-δ) Εξάρτηση του t escmin από τον λόγο µαζών µ. Οι καµπύλες που παριστάνονται στο γραµµικό και το λογαριθµικό διάγραµµα είναι οι ευθείες ελάχιστων τετραγώνων για τους λογαρίθµους των παραπάνω ποσοτήτων για όλα τα σώµατα, µε γαλάζια την ευθεία µε a=0, µαύρη την ευθεία µε b=-0,5 και κόκκινη την ευθεία χωρίς δέσµευση των συντελεστών. 30 20 t escmin 10 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 µ 10 t escmin 1 0,01 0,1 µ 38

Συµπεράσµατα Μελετήσαµε την επίδραση των παραγόντων εκκεντρότητα (e) και αρχικό ύψος (z 0 ) στη σταθερότητα της τροχιάς δορυφόρου διπλού συστήµατος αστεροειδών µε περίπου ίσες µάζες (µ 0,5), εφαρµόζοντας το ελλειπτικό µοντέλο Sitnikov. Βρήκαµε ότι το εύρος των εκκεντροτήτων, που περιλαµβάνουν τροχιές εντός των καθορισµένων ορίων, φτάνει τουλάχιστον ως τιµές e=0,34 για z 0 =0,5 ή και ως e=0,51 για z 0 =0,55, ενώ για µεγαλύτερη ανοχή στις αρχικές συνθήκες ως τιµές e=0,28. Κατά συνέπεια καλύπτονται διπλά συστήµατα και µε µεγάλες εκκεντρότητες, όπως µπορεί να είναι αρκετά από τα υπερποσειδώνια αντικείµενα. Ωστόσο, για e>0,516 δεν βρέθηκε καµία αξιόλογη περιοχή αρχικών συνθηκών (e,z 0 ) που να περιλαµβάνει σχετικά σταθερές τροχιές. Για e=0,34 για z 0 =0,5 η µέγιστη απόσταση τακτικής τροχιάς είναι περίπου ως 1,4 α. Στη συνέχεια, µελετήσαµε τις τροχιές δορυφόρων σε διπλά συστήµατα µε πολύ µικρές εκκεντρότητες (e<0,1 0), εφαρµόζοντας το µοντέλο του τριδιάστατου κυκλικού περιορισµένου προβλήµατος. ιαπιστώσαµε ότι υπάρχουν σχετικά σταθερές τροχιές για όλα τα υπό µελέτη συστήµατα e 0, εκτός των δύο τελευταίων (617 Patroclus-Menoetius, 90 Antiope-S/2000) µε µεγάλο λόγο µαζών (µ=0,44 και µ=0,47 αντίστοιχα), οπότε τα χαοτικά φαινόµενα παρουσιάζονται αρκετά έντονα για να διώχνουν τον δορυφόρο σε αποστάσεις µεγαλύτερες των 10 αξονικών, σε χρόνους λίγων περιόδων (σε κάθε περίπτωση µικρότερους από 100 περιόδους). Εξάλλου, διαπιστώσαµε την µείωση του ελάχιστου χρόνου διαφυγής µε την αύξηση του λόγου µαζών σύµφωνα µε το γενικό νόµο: t esc min 1, εδώ t esc min µ 0,997 µ όπως και την άνοδο του ελάχιστου z 0 στο οποίο ο δορυφόρος διαφεύγει γρήγορα (z fe ) και που φαίνεται να παρακολουθεί τον νόµο: zfe a µ, εδώ z fe 1,36 + 8,02 µ για όλα τα συστήµατα και z 1,35 + 8,14 µ µόνο για την κύρια ζώνη. fe Την ίδια συµπεριφορά ακολουθεί και το µέγιστο αρχικό ύψος (z max ) στο οποίο φτάνει η περιοχή των ασταθών τροχιών. H z max ακολουθεί εδώ τη σχέση: z max = 0, 25 + 6, 48 µ για όλα τα συστήµατα και z max = 0,23 + 6,60 µ µόνο για την κύρια ζώνη. Η ποιοτική µείωση του ελάχιστου χρόνου διαφυγής t escmin αποδίδεται στην ενίσχυση της παρελκυστικής επίδρασης του δευτερεύοντος σώµατος όσο η µάζα του γίνεται συγκρίσιµη µε αυτή του πρωτεύοντος. Η αύξηση των z max, z fe παρακολουθεί την µετατόπιση του σηµείου Lagrange L 1 προς το βαρύκεντρο, όσο ο λόγος µ τείνει στην µ=0,5, µετατόπιση που συνεπάγεται ενίσχυση της χαοτικής συµπεριφοράς γύρω από το L 1. 39