ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Η.Χ. ΑΫΦΑΝΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΣΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 6

Σημείωση Τα κεφάλαια αυτά στη Μηχανική του Συνεχούς Μέσου που αποτελούν και μια εισαγωγή στη Μηχανική Συμπεριφορά των Υλικών είναι μετάφραση αντίστοιχων σημειώσεών μου που διδάχθηκαν την παρελθούσα εικοσαετία σε πανεπιστήμια της Αμερικής. Ευχαριστώ ιδιαίτερα τους μεταπτυχιακούς μου σπουδαστές, ιδιαίτερα τον Δημήτρη Κωνσταντινίδη, τον Γιάννη Τσαγράκη, τον Θωμά Τούλια και την Χαριτώ Ποντίδου που επιμελήθηκαν τμήματα της μετάφρασης και της πληκτρολόγησης του κειμένου στην πρώτη έκδοση του 997, και τους Ιάσωνα Κωνσταντόπουλο, Δημήτρη Τραγουδάρα και Γιώργο Μώκιο που επιμελήθηκαν την παρούσα έκδοση του 6. Επίσης τον Γιάννη Τσαγράκη για δεύτερη φορά, τώρα Επισκέπτη Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης στο Ηράκλειο, και τον Λέκτορα του Τομέα Μηχανικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης Αβραάμ Κωνσταντινίδη. Η.Χ. Αϋφαντής Οκτώβριος 6

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα Εισαγωγή Γεωμετρική παράσταση του σώματος Αξιώματα - Αρχές της μηχανικής συνεχούς μέσου 3 Καταστατικές εξισώσεις 4 Μέρος Ι: Μηχανική του Μονοδιάστατου Συνεχούς Μέσου 5 Κεφάλαιο : Η έννοια της κίνησης 7 Τρόποι περιγραφής της κίνησης 7 Κεφάλαιο : Η έννοια της μάζας 9 Αξίωμα διατήρησης της μάζας 9 Συμπλήρωμα στην τοπική κινηματική Κεφάλαιο 3: Οι έννοιες δύναμης & ορμής Δύναμη Ορμή 3 Αξίωμα διατήρησης της ορμής (αξίωμα του Euler) 3 Κεφάλαιο 4 4 Ανακεφαλαίωση 4 Παραδείγματα καταστατικών εξισώσεων 5 Κεφάλαιο 5: Γραμμικά ελαστικά στερεά 7 Σημείωση για μη-γραμμικά ελαστικά στερεά 6 Κεφάλαιο 6: Συμπιεστά ρευστά 7 Ελαστικά (ή βαροτροπικά) ρευστά 7 Νευτωνικά υγρά 8 Κεφάλαιο 7: Ιξωελαστικά υλικά 35 Περίπτωση : s 36 Περίπτωση : Rvln-Erksen ή διαφορικού τύπου ιξωελαστικά υλικά 36 Περίπτωση 3: Yλικά με μεγάλο εύρος (long-range) εξάρτησης ή ολοκληρωτικά μοντέλα συμπεριφοράς 37 Μοντέλο Kelvn Vog 38 Δυναμική του μοντέλου Kelvn - Vog 4 Μοντέλο Maxwell 43 Μοντέλο N-Maxwell εν // 46 Τυπικό (sandard) ιξωελαστικό στερεό 46 Κεφάλαιο 8: Μονοδιάστατη θερμομηχανική του συνεχούς μέσου 47 Αξιώματα διατήρησης 49 Δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής 5 Τρίτος νόμος της θερμοδυναμικής 53 Έννοια της θερμοδυναμικής διεργασίας 53 Ορισμός επιτρεπτών θερμοδυναμικών διεργασιών 54 Μέρος ΙΙ: Aνασκόπηση Θεωρίας Διανυσμάτων & Τανυστών 55 Κεφάλαιο 9: Διανύσματα 57 Ορισμός διανυσματικού χώρου 57 Ορισμοί πρόσθεσης και βαθμωτού πολλαπλασιασμού 57 Χώρος με εσωτερικό γινόμενο Μέτρο διανύσματος 58 Ανισότητα Cauchy Schwarz 59 Τριγωνική ανισότητα 6 Ορισμός του γραμμικού διανυσματικού χώρου 6 Γωνία μεταξύ δυο διανυσμάτων και ορθογώνια διανύσματα 6 Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων και βάση διανυσματικού χώρου 6

Ευκλείδειος Χώρος Συνιστώσες Συμβολισμός 66 Κανόνες δεικτών - Σύμβολα δ j και ε jk 66 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 68 Ιδιότητες / Επιπλέον ορισμοί 68 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 69 Δυαδικό γινόμενο διανυσμάτων 69 Γραμμικές βαθμωτές συναρτήσεις 7 Γραμμικές διανυσματικές συναρτήσεις 7 Κεφάλαιο : Τανυστές ης τάξης 73 Συνιστώσες - Συμβολισμός 73 Μηδενικός τανυστής ης Τάξης, O 73 Γραφή με δείκτες Τύποι για τις συνιστώσες 74 Πρόσθεση / Βαθμωτός πολλαπλασιασμός 74 Ανάστροφος / Συμμετρικός / Ίχνος 75 Εσωτερικό γινόμενο τανυστών 76 Ορίζουσα (de) του τανυστή Τ 76 Αντίστροφος ενός τανυστή 78 Κεφάλαιο : Ορισμένες βασικές κατηγορίες τανυστών 8 Μονόμετροι (unmodular) τανυστές 8 Ορθογώνιοι (Orhogonal) τανυστές 8 Θεώρημα αλλαγής βάσης 8 Συνιστώσες διανυσμάτων & τανυστών κατόπιν αλλαγής βάσης 8 Τανυστές Ν-οστής τάξης 8 Ισότροποι (soropc) τανυστές 83 Κεφάλαιο : Ιδιοτιμές & ιδιοδιανύσματα / Πολική αναπαράσταση 84 Ιδιοτιμές & ιδιοδιανύσματα (, e ) του 84 Θεώρημα ιδιοτιμής για ορθογώνιους τανυστές 86 Θετικά ορισμένος τανυστής 86 Τετραγωνική ρίζα 86 Πολική αναπαράσταση ή αποσύνθεση (polar decomposon) τανυστή 87 Κεφάλαιο 3: Πεδία (Βαθμωτά / Διανυσματικά / Τανυστικά) 89 Βαθμωτό πεδίο 89 Παραγώγιση 89 Συστήματα συντεταγμένων 9 Σύνθετη παραγώγιση 9 Διανυσματικό πεδίο 9 Παραγώγιση 9 Συνιστώσες 9 Σύνθετη παραγώγιση 9 Απόκλιση διανυσματικού πεδίου 9 Περιστροφή (ή στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου) 9 Λαπλασιανή βαθμωτού πεδίου 9 Λαπλασιανή διανυσματικού πεδίου 9 Ταυτότητες / Παραδείγματα 9 Πεδιακές γραμμές 9 Ταξινόμηση διανυσματικών πεδίων 9 Τανυστικό πεδίο 93 Παραγώγιση 93 Συνιστώσες 93 Σύνθετη παραγώγιση 94 Απόκλιση τανυστή 94 Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων & αναλλοίωτες ποσότητες 95

Αλλαγή συντεταγμένων 95 Αναλλοίωτες ποσότητες 95 Σημαντικά θεωρήματα στη μελέτη πεδίων 96 Θεώρημα απόκλισης 96 Θεώρημα Sokes 97 Θεώρημα αναπαράστασης του Helmholz 99 Κεφάλαιο 4: Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Διανύσµατα βάσης συντεταγµένων στο x Διανύσµατα δυαδικής βάσης Υπολογισμός διανυσμάτων βάσης (σχέση { e ( x )}, { e ( x )} με { ι ˆ }) Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων 4 Καμπυλόγραμμη ορθοκανονική βάση 4 Καμπυλόγραμμες συνιστώσες τανυστή 6 Φυσικές συνιστώσες τανυστή 7 Συναλλοίωτη παραγώγιση 8 Μέρος ΙΙΙ: Μηχανική του Συνεχούς Μέσου στις Τρεις Διαστάσεις Κεφάλαιο 5: Κίνηση / Παραμόρφωση 3 Βασικές έννοιες περιγραφής του συνεχούς μέσου 3 Langrangean (υλική) & Euleran (χωρική) παρατήρηση 4 Η έννοια της (τοπικής) παραμόρφωσης 5 Γεωμετρική θεώρηση της παραμόρφωσης 8 Ανηγμένη μετατόπιση ή επέκταση (srech) Επέκταση στο σημείο x μιας υλικής ίνας του σώματος Β Επέκταση στο σημείο X μιας υλικής ίνας του σώματος Β o Ανηγμένη παραμόρφωση (sran) Θεώρηση κατά Langrange Θεώρηση κατά Euler 3 Μεταβολές της επιφάνειας 3 Μέτρο της επιφάνειας 4 Διάτμηση 5 Θεώρηση κατά Langrange 5 Θεώρηση κατά Euler 6 Γραμμική θεωρία ή θεωρία μικρής παραμόρφωσης 7 Παρατηρήσεις 7 Ορισμοί 8 Μεταβολή όγκου 8 Επέκταση (srechng) και περιστροφή (spn) 9 Ρυθμός επέκτασης 9 Περιστροφή (Spn) 3 Ρυθμός μεταβολής του ˆn 3 Ρυθμός διάτμησης δυο υλικών ινών 3 Ειδικές περιπτώσεις κίνησης 3 Κίνηση μη παραμορφωσίμου σώματος 3 Ισόχωρη κίνηση 33 Κεφάλαιο 6: Αξιώματα διατήρησης μάζας, ορμής & στροφορμής 35 Διατήρηση μάζας 35 Αξίωμα διατήρησης της μάζας 35 Ισοζύγιο δυνάμεων & ροπών - Διατήρηση ορμής & στροφορμής 37 Ορισμοί 39 Αξιώματα συσχέτισης δυνάμεων με κίνηση 39 Κύριες τάσεις & κύριοι άξονες 46 Κεφάλαιο 7: Τρισδιάστατη θερμομηχανική του συνεχούς μέσου 47

Εσωτερική ενέργεια 47 Θέρμανση 47 Απόλυτη θερμοκρασία 47 Επιπλέον ορισμοί 48 ος Νόμος της θερμοδυναμικής (Αξίωμα διατήρησης της ενέργειας) 49 ος Νόμος της θερμοδυναμικής 5 Ανισότητα του Planck 5 Ανισότητα του Fourer 5 Ανισότητα Clausus - Duhem 5 Κεφάλαιο 8: Καταστατικές εξισώσεις / Ανεξαρτησία από το σύστημα συντεταγμένων & υλική συμμετρία 55 Ανεξαρτησία από το σύστημα συντεταγμένων 56 Υλική συμμετρία 59 Μαθηματικοποίηση της υλικής συμμετρίας 6 Παράδειγμα : Ισότροπα ελαστικά υλικά 6 Ελαστικά ρευστά 6 Ελαστικά στερεά 63 Παράδειγμα : Ομογενή ιξώδη ρευστά 64 Ρευστά Sokes 65 v

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ εξετάζει κίνηση-παραμόρφωση της ύλης & των δυνάμεων που προκαλούν την κίνηση αυτή Βασίζεται στις έννοιες του χρόνου, χώρου, δύναμης, ενέργειας & ύλης Χρήσης στη φυσική, χημεία, βιολογία, κατασκευές κλπ ΥΛΗ Μόρια Άτομα Υποατομικά σωματίδια Η ύλη δεν είναι συνεχής Πολλά φαινόμενα της καθημερινότητας που μπορούν να περιγραφούν και να προβλεφτούν από θεωρίες που δεν λαμβάνουν άμεσα υπόψη τη μοριακή δομή των υλικών. Π.χ. η επιμήκυνση μιας χαλύβδινης ράβδου υπό τη δράση δυνάμεων ο ρυθμός εκροής νερού σε μια σωλήνα υπό δεδομένη διαφορά πίεσης η οπισθέλκουσα δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα που κινείται στον αέρα, κλπ. Αγνοούμε (άμεσα) μοριακή δομή ΥΛΗ ΣΥΝΕΧΕΣ ΜΕΣΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΜΕΣΟ μοντέλο στο οποίο η ύλη θεωρείται κατανεμημένη συνεχώς, δηλ. γεμίζει πλήρως & συνεχώς το χώρο. Κλασσική Μηχανική (νόμοι Newon) [έννοια υλικού σημείου] Μηχανική του συνεχούς [έννοια σωματιδίου ή "γειτονιάς" υλικού σημείου] ΘΕΡΜΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ Κλασσική Μηχανική (έννοια υλικού σημείου) Κλασσική Θερμοδυναμική (έννοια συστήματος σε θερμοδυναμική ισορροπία) Θερμομηχανική του συνεχούς (έννοια σωματιδίου ή "γειτονιάς" υλικού σημείου)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Κάθε σώμα παριστάνεται συνήθως ως μια (απλά συνεκτική) περιοχή στον τρισδιάστατο (3D) ευκλείδειο χώρο Αρχική θέση (θέση αναφοράς / reference confguraon), Β ο ( ) X 3 B o P o X B o X X -- Κάθε αυθαίρετη περιοχή P o Β ο αποτελείται από υλικά σημεία -- Κάθε υλικο σημείο αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα θέσης Χ Τρέχουσα ή παρούσα θέση (curren confguraon), Β ( ) B o P o X B P x B o B Κίνηση : - απεικόνιση B o B η οποία συμβολίζεται ως x χ(x,), με χ(χ,) Χ Ταχύτητα : Επιτάχυνση : ( X,) χ v v( X,) x (,) χ( X,) v X α α( X,) v x

AΞΙΩΜΑΤΑ - ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΜΕΓΕΘΗ Μάζα : Δύναμη : Ορμή : P m(p ) ρ( x,) dv P f(p ) ( x,) d a + ρ( x,) b( x,) dv n l(p ) ρ( x,) v( x,) dv P P ρ( x,) πυκνότητα μάζας (μάζα / μον. όγκου) (,) n x διάνυσμα τάσης (δύναμη / μον. επιφάνειας) bx (,) δύναμη πεδίου [π.χ. βαρύτητα] (δύναμη / μον. μάζας) ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάζας : m(p ) ρ ( P B ) + dv( ρ v) ( x B ) Ορμής : f(p ) l(p ) ( P B ) dv( ) + ρ b ρv ( x B ) Στροφορμής x (,) τανυστής τάσης (δύναμη / μον. επιφάνειας) ( x,) ( x,) n n n μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια da που δρα η ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ n ( x,) ( ρ/ ) + dv( ρ v) dv( ) +ρ bρv 3 7 εξισώσεις με 3 ρ x(ή v) 3 9 3 αγνώστους Ανάγκη για 6 επιπλέον εξισώσεις 3

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συσχετίζουν ποσότητες που εκφράζουν απόκριση του σώματος (καταστατικές συναρτήσεις) με ποσότητες που εκφράζουν τα αίτια (καταστατικές μεταβλητές) Μορφή καταστατικών εξισώσεων συνήθως εμπειρικά (δηλ. Από πείραμα παρατήρηση) Υπαγορεύονται από: ) Μαθηματική αναγκαιότητα (αριθμ. εξισώσεων αριθμ. αγνώστων) ) Φυσική συνέπεια: διαφορετική συμπεριφορά για διαφορετικά υλικά (στερεά, υγρά, πολυμερή, μέταλλα, γεωυλικά, κλπ) Παράδειγμα: x (,) εκφράζει δυνάμεις επαφής (ανά μον. επιφάνειας) & οφείλεται στις μοριακές δυνάμεις επαφής ή συνοχής η συνεκτικότητα του σώματος & η φύση του x (,) θα διαφέρει από υλικό σε υλικό. Π.χ. Τέλεια υγρά: p( ρ) Ασυμπίεστα γραμμικά ιξώδη υγρά (νευτωνικά υγρά): p( ρ ) + μ D grad( v) + [ grad( v )] D όπου { } Ισότροπα γραμμικά ελαστικά στερεά: λ [r( ε)] + Gε όπου ε { grad( u) + [ grad( u)] }, με u x Χ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ) Θεωρία μηχανικής του συνεχούς μέσου σε μια διάσταση (D) ) Aνασκόπηση θεωρίας διανυσμάτων & τανυστών 3) Θεωρία μηχανικής του συνεχούς μέσου σε 3D χρησιμοποιώντας τανυστικό λογισμό και συμβολισμό με δείκτες (συμβολισμός Ensen) 4

MEΡΟΣ Ι ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ 5

6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ + ( ) X P o B o B ( ) x P Κίνηση : Ταχύτητα : - απεικόνιση B o B η οποία συμβολίζεται ως x χ(x,), με χ(χ,) Χ χ είναι ομαλή συνάρτηση χ ( X,) χ v v(x,) x Επιτάχυνση : ( ) χ( X,) v X, αα (X,) v x ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Περιγραφή Lagrange (Π.L.): σταθερή παρατήρηση ενός συγκεκριμένου υλικού σημείου X του σώματος κατά τη διάρκεια της κίνησης (καταλληλότερη για μελέτη στερεών) Περιγραφή Euler (Π.Ε.): σταθερή παρατήρηση ενός συγκεκριμένου σημείου x του χώρου κατά τη διάρκεια της κίνησης (καταλληλότερη για μελέτη ρευστών) Παράδειγμα: για τη θερμοκρασία θ ενός σώματος: (Π.L.): θ f(x,), (Π.E.): θ f(x,) όπου, για δεδομένη κίνηση x χ(x,), θα πρέπει: θ f(x,) f( χ (X,),) f(x,) 7

Υλική ως προς χρόνο παράγωγος (Υ.Χ.Π.): f(x,) f... παράγωγος Π.L. X σταθ. Χωρική ως προς χρόνο παράγωγος (Χ.Χ.Π.): f f(x,) x σταθ.... παράγωγος Π.Ε. Σχέση μεταξύ f & f / f(x, ) f(x,) f( (X, ), ) f( (X,),) f +Δ χ +Δ +Δ χ lm lm (*) Δ Δ Δ Δ Θέτουμε: Δ x χ (X, +Δ) χ(x,) χ (X, +Δ ) χ (X,) +Δ x Σειρά aylor γύρω από (x,) για την f( χ (X,+Δ ),+Δ ) : O ( f/ x ) Δ x+ ( f/ ) Δ + O( Δ ) f f f lm x + Δ Δ x f ( χ (X, +Δ ), +Δ ) f (x,) + f (x,)/ x Δ x + f (x,)/ Δ + ( Δ ) (*) f f f + v x κανόνας παραγώγισης σύνθετων συναρτήσεων (chan rule) Παράδειγμα : v v α v + v x Παράδειγμα : x χ (X,) (+ )X v x χ(x,)/ {(+ )X}/ X v(x,)... (Π.L.) x/(+ ) v(x,)... (Π.E.) α v [επειδή v(x,) X ανεξάρτητο του ] v v -x x + v + x (+) (+) (+) 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑ: πρότυπη εμπειρική έννοια (την αισθανόμαστε, την κατανοούμε, δεν μπορούμε όμως να την ορίσουμε) ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΜΑΖΑΣ: ένα μέγεθος ρ >, που ορίζεται ως το πηλίκο της μάζας προς το μήκος σε κάθε θέση του σώματος Β, έτσι ώστε: m(p ) ρ o odx, όπου o o(x,) o P P o ρ ρ ρ (X) αρχική ή πυκνότητα αναφοράς m(p ) ρdx, όπου ρ ρ (x,) τρέχουσα πυκνότητα (σε χρόνο ) ΑΞΙΩΜΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ: o m(p ) m(p ) m(p), P B o ρ o(x,)dx ρ(x,)dx, με ρ (x,) ρ o P P (X,) ενδιαφέρει ο μετασχηματισμός της ολοκληρωτική εξίσωσης που ισχύει για P B σε εξίσωση που εκφράζει την εν λόγω αρχή x B εξίσωση πεδίου (διατήρησης της μάζας) Κλίση παραμόρφωσης: F F(X,) χ(x,)/ X [ ] [ ] dx χ (X,) / X dx + χ (X,) / d [ ] σταθ. dx χ(x,) / X dx dx FdX σταθ. X σταθ. δηλ. η F εκφράζει κατά πόσο η αρχική απειροστή υλική ίνα dx επιμηκύνεται ή συρρικνούται στο τρέχον μήκος dx. Σύνολο τιμών: F {, } χ με X χ (x,) οπότε: F > F >, Έτσι, Po Bo: ρ dx ρdx ρ dx ρfdx ( ρ ρ F)dX (*) o o o P P P P P o o o o 9

ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν fdx, Po Bo, όπου f(x) συνεχής συνάρτηση P o ορισμένη στο B o, τότε f παντού στο Β ο. Απόδειξη: Έστω Χ ο Β ο, τέτοιο ώστε f(χ ο ), ας πούμε f(χ ο ) >. Τότε, επειδή η f είναι συνεχής περιοχή δ( Χ ο ) τέτοια ώστε f(x) > f fdx>, P o δ(x o) Bo Po f(x) άτοπο. Ομοίως αποδεικνύεται για f(χ ο ) <. Άρα, f(x), X B o. X X o Έτσι, (*) ρo ρ F ρ F o ρ... εξίσωση συνέχειας Π.L. Παρατήρηση: από ένα μικρό μέρος Po Bo μεγάλης πυκνότητας μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μεγάλο μέρος P B μικρής πυκνότητας ρ o ρ F ρ o ρ F+ ρf ρ F+ ρ F ($) F χ(x,)/ X χ(x,))/ X χ (X,))/ X v/ X ( v/ x)( x/ X) ( v/ x)f F ( v/ x)f ($$) Σημείωση: σε 3D, v/ x grad( v )... κλίση ταχύτητας (σημαντική παράμετρος στη ρευστομηχανική) {($), ($$)} v v ρ + ρ F ρ + ρ, ρ(x,) > x x η οποία, λαμβάνοντας υπόψη ότι ρ ρ ρ + v, δίνει x ρ ( ρv) +, ρ (x, ) > x... εξίσωση συνέχειας Π.E.

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ B o ) o ( ( ) X X x x B Μετατόπιση (dsplacemen): u x X χ(x,) X u(x,) Ανηγμένη μετατόπιση (srech) dx x x χ(x,) χ(x,) λ lm lm lm dx X X X X σταθ. X X X X X X o άρα: <λ< συρρίκνωση στο X λ F(X, ) λ> επιμήκυνση στο X Ανηγμένη παραμόρφωση (sran) dx - dx ε λ o lm F dx X X σταθ. o άρα: (x X) u ε< συρρίκνωση στο X(θλίψη) ε X X ε> επιμήκυνση στο X(εφελκυσμός) Ανηγμένη ταχύτητα (ρυθμός) μετατόπισης (srechng): x X x X X X x κ lm x x v v x x dy F(Y,)dY FdY FdY dy y (#) y X X x v(x ) v(x) v(x ) v(x) v v(x ) v(x) κ lm lm x x x x x x x x x Εναλλακτικά, από (#) & θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτ. λογισμού: v v (x x), y [x,x ] y y y y y y για (δηλ. x x) y x, έχουμε: κ v lm x x x

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΥΝΑΜΗΣ & ΟΡΜΗΣ. ΔΥΝΑΜΗ Επιφανειακές ή δυνάμεις επαφής (conac forces), Τ(x,) τάσεις: αμοιβαίες πιέσεις (δύναμη / μον. επιφάνειας σε 3D, δύναμη σε D) μεταξύ γειτονικών σημείων στο x Β ή γενικά μεταξύ σωμάτων που εφάπτονται Επιφάνεια επαφής Οριακή (εξωτερική) επιφάνεια του συνεχούς μέσου Ιδεατή επιφάνεια στο εσωτερικό του συνεχούς μέσου Τ(x,) φαινομενολογικός μέσος όρος των μοριακών δυνάμεων μεταξύ γειτονικών υλικών σημείων Μαζικές δυνάμεις (body forces), b(x,): προέρχονται από τον εξωτερικό για το σώμα κόσμο & ενεργούν σε κάθε σημείο x B. Εκφράζονται ως δύναμη / μον. μάζας. Οφείλονται σε ένα εξωτερικό πεδίο δυνάμεων, π.χ. βαρυτικό, ηλεκτρομαγνητικό κ.λ.π. b(x,) φαινομενολογικός μέσος όρος των δυνάμεων στα μόρια της γειτονιάς υλικού σημείου από εξωτερικό πεδίο + B P [x, x ] x x x ( ) x (x,) () Συνoλ. δύναμη επαφής στο P : (x,) b(x,) (x,) f c(p ) (x,) (x,) dx x x x () Συνολική μαζική δύναμη στο P : Συνολική δύναμη στο P : b x x f(p) b(x,) ρ (x,)dx bρdx f(p) f + f f(p) ( / x + ρb) dx b c P x x

. ΟΡΜΗ Ορισμός: l(p ) ρv dx P Αξίωμα διατήρησης της ορμής (αξίωμα του Euler): f(p) l(p) P B (*) Σημείωση: ανάλογο του νόμου του Newon (F ma) Εξαγωγή της εξίσωσης πεδίου της διατήρησης της ορμής l(p ) ρ v dx ρ vf dx ρ v dx ρ v dx ρfv dx ρv dx o o P P P P P P o o o o (*) (/ x+ρ b)dx ρvdx P P (/x +ρb ρ v)dx P B P ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα συνεχής + ρ b ρ v x B εξίσωση διατήρησης ορμής Π.E. x / X ( / x)( x/ X) ( / x)f ρ ρ x F X F F ρρo /F o o + ρ b ρv + b v + ρ b ρ v X B εξίσωση διατήρησης ορμής Π.L. X o o o 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Εμπειρικές έννοιες: χώρος ή γεωμετρία (X), χρόνος (), μάζα (m), δύναμη (f) 3 Άγνωστες συναρτήσεις: () Κίνηση: x χ(x,) [ή ισοδύναμα u(x,) ή v(x,)] () Πυκνότητα: ρ ρ(x,) () Δυνάμεις επαφής ή τάσεις: (x,) Εξισώσεις πεδίου: Σημείωση: b(x,) γνωστές ή μετρήσιμες () ρ o ρ F (Π.L.) ή ρ ( ρv) + x (Π.E.) () + ρ ob ρ ov (Π.L.) X ή x + ρ b ρ v (Π.E.) 3 Αγνώστους Εξισώσεις Μαθηματική απαίτηση για επιπλέον εξίσωση. Επίσης, φυσική αναγκαιότητα για επιπλέον εξίσωση, έτσι ώστε να μπορούμε να περιγράψουμε τη συμπεριφορά διαφορετικών μεταξύ τους υλικών, μιας και οι υπόλοιπες εξισώσεις διατήρησης της μάζας και της ορμής ισχύουν για όλα τα υλικά (στερεά, υγρά, πολυμερή, μέταλλα, γεωυλικά, κλπ) Επιπλέον εξίσωση ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 4

. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Οι τάσεις σε κάποιο σημείο δεν εξαρτώνται από το ρυθμό παραμόρφωσης, αλλά μόνο από το αρχικό και το τελικό σχήμα Τ f(f(x,)) Τ f(f(x,),x) ομογενές ελαστικό μέσο μη ομογενές ελαστικό μέσο δηλ. συσχέτιση απόκρισης του υλικού (Τ) με την αιτία (F) Σημείωση: σε μη ομογενές μέσο, εξάρτηση από Χ ενώ οι παραμορφώσεις για διαφορετικά υλικά σημεία μπορεί να είναι ίδιες, οι τάσεις μπορεί να είναι διαφορετικές συνήθως : Ελαστικά Στερεά Ελαστικά Ρευστά Τ f(f,x) g(ε,χ) Τ f(f,x) h(ρ,χ) ε u/ X F - ρ ρ ο /F ΙΞΩΕΛΑΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Οι τάσεις εξαρτώνται & από το ρυθμό παραμόρφωσης Τ f (F, F, F, F,...) υλικά διαφορικού τύπου Παραδείγματα: Νευτωνικά υγρά: Τ p(ρ) + μ( v/ ) p υδροστατική πίεση μ συντελεστής ιξώδους v/ x F/F Kelvn-Vog στερεά: kε+με ΕΛΑΣΤΟ-ΠΛΑΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ o n ε σ o k ελαστική σταθερά μ συντελεστής ιξώδους k ε, Τ<σ ελαστική συμπεριφορά k, πλαστική συμπεριφορά σ o τάση διαρροής 5

ΜΗ-ΤΟΠΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ & ΥΛΙΚΑ ΜΕ ΒΑΘΜΙΔΕΣ Τάση εξαρτώμενη από παραμόρφωση στο εν λόγω σημείο & τις τιμές της παραμόρφωσης στα γειτονικά του σημεία. Προσεγγιστικά βαθμίδες παραμόρφωσης, π.χ. ε kε c στερεά X ρ p( ρ ) + c υγρά X 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ k anϕ Τ kε ϕ ε ε u/ X Μη-ομογενές υλικό k k(x) > Ομογενές υλικό k σταθερά > μέτρο ελαστικότητας, E Σύστημα Εξισώσεων: ρρo /F (*) ρ(x,) +ρ obρov (**) χ(x,) [ή F(X,)] X (X,) kε (***) Δεδομένου ότι: u x X u x v v, u ε u/ X [(**) & (***)] ku, XX + ρ ob ρ ou (#)... [για k σταθ.] (#) u u ε X F +ε ε F, (*) ρ (X,), (**) Τ(Χ,) Επίλυση της εξίσωσης (#) στο B o {X / X [, L]} L Γραμμική διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους Εξίσωση κύματος σε D Οριακές συνθήκες: Αρχικές συνθήκες: u(,) u() ˆ u(l,) u() u(x,) u o(x) u(x,) v o(x) γνωστές συναρτήσεις του γνωστές συναρτήσεις του Χ 7

Απόδειξη Μοναδικότητας της Λύσης Εάν λύσεις u (X,) & u (X,), τότε η w(x,) u (X,) u (X,) είναι λύση του προβλήματος: kw, w XX ρo w(,), w(l,), w(x,), w(x,) (Α) Αρκεί να αποδειχθεί ότι η μοναδική λύση του (Α) είναι η w (Α) kw, XX w ρoww kw, XX w ρo (w) kw, w dx (w) dx 8 L L XX ρo L L X X X X ρo k w, w, w, w, dx (w) dx ( ) (λόγω οριακ. συνθ.) L L L k (w, Xw) kw, Xw, XdX o(w) dx L L L X o X o ρ k(w, ) dx ρ (w) dx k(w, ) + ρ (w) dx (λόγω αρχικ. συνθ.) k(w, ) + ρ (w) dx k(w, ) +ρ (w) dx L L [ X o ] [ X o ] L [ ] k(w, ) + ρ (w) dx, με k > & ρ o > X o { w, & w }, Χ Β ο X w, X w f(), {w f(), w } w σταθ. { w σταθ., w } w u u

ΑΣΚΗΣΗ : Ίδιες αρχικές συνθήκες & μικτές συνοριακές συνθήκες, δηλ. Αρχικές συνθήκες: Οριακές συνθήκες: u(x,) u o(x) u(x,) v o(x) (,) p() ˆ u(l,) u() γνωστές συναρτήσεις του Χ γνωστές συναρτήσεις του Επιπλέον k k(χ) > (μη-ομογενές μέσο) Δείξτε τη μοναδικότητα του ελαστοδυναμικού προβλήματος ΛΥΣΗ (/ X) b v +ρ o ρo kε ε u/ X, v u ku, XX + k, X u, X + ρ ob ρ ou (,) p() ˆ k()[ u/ X] p() ˆ X Εάν λύσεις u (X,) & u (X,), τότε η w(x,) u (X,) u (X,) είναι λύση του προβλήματος: kw, XX + k, X w, X ρow w(x,), w(x,), w, (,), w(l,) X (Β) Αρκεί να αποδειχθεί ότι η μοναδική λύση του (Β) είναι η w (B) kw, XX w + k, X w, X w ρoww kw, w + k, w, w ρ (w) XX X X o kw, w dx k, w, w dx (w) dx L L L XX + X X ρo 9

(λόγω οριακ. συνθ.) kw, w dx + k(w, w) kw, w dx kw, w, dx ρ (w) dx L L L L L XX [ X ] XX X X o kw, w, dx ρ (w) dx k(w, ) dx ρ (w) dx L L L L X X o X o L X o k(w, ) + ρ (w) dx (λόγω αρχικ. συνθ.) k(w, ) + ρ (w) dx k(w, ) +ρ (w) dx L L [ X o ] [ X o ] L [ ] k(w, ) + ρ (w) dx, με k > & ρ o > X o { w, & w }, Χ Β ο X w, X w f(), {w f(), w } w σταθ. { w σταθ., w } w u u

ΑΣΚΗΣΗ Δεδομένα Ομογενές ελαστικό υλικό: kε (όπου k σταθερά > ) Μηδενικές μαζικές δυνάμεις: b c k/ ρ o ταχύτητα του ήχου στο στερεό ε u/ X Να δειχθεί ότι: a) Το αξίωμα διατήρησης της ορμής δίνει τη διαφορική εξίσωση κύματος σε D: u c u, XX b) Με τη βοήθεια της σύνθετης παραγώγισης και των μεταβλητών ξ X+ c & η X c, να δειχθεί ότι η εξίσωση κύματος u c u, XX συνεπάγεται την εξίσωση: u, ξη, της οποίας η γενική λύση είναι: u( ξ, η ) f( ξ ) + g( η ), δηλ. u(x,) f(x + c) + g(x c) (γενική λύση d Alember) όπου f, g αυθαίρετες συναρτήσεις που προσδιορίζονται από τις αρχικές & συνοριακές συνθήκες του εκάστοτε προβλήματος c) Εάν Β ο {Χ / Χ } δηλ. ο ημιάπειρος μονοδιάστατος χώρος X X X Αρχικές συνθήκες: u(x,) u(x,), X B o Οριακές συνθήκες: (,) p() ˆ (,) πεπερασμένο, > να βρεθούν οι u(x,) & (X,), X B o &

ΛΥΣΗ (k ε) a) Αξίωμα διατήρησης της ορμής (για b ): ρov ρ ou X X ε u k ρ ou k ρ ou u (k/ ρ o)u, XX u cu, XX X X b) Αλλαγή μεταβλητών: u(x,) u( ξ, η ), όπου ξ X+ c & η X c u u ξ u η u u u, X + + u, ξ + u, X ξ X η X ξ η u, (u, ) (u, ) (u, ) (u, ) + + + X ξ X η X ξ X η X u ξ ξ ξ η η ξ η η XX (u, ξ) (u, ξ) (u, η) (u, η) + + + u, + u, + u, ξ η ξ η η ξξ ξη ηη u u ξ u η u u u + c c c u, u, ξ η ξ η ( ξ η ) u (u, ξ) ξ (u, ξ) η (u, η) ξ (u, η) η u c + ξ η ξ η (u, ) (u, ) (u, ) (u, ) + + ξ η ξ η ( ξξ ξη ηη) ξ ξ η η c c u, u, u, Άρα: u cu, 4cu, u, XX ξη ξη u η ξ u φξ ( ) u φξ ( )dξ+ g( η) ξ u( ξ, η ) f( ξ ) + g( η ) f( ξ) δηλ. u(x,) f(x + c) + g(x c)

c) Εφόσον: u(x,) f(x + c) + g(x c) () ξ η u(x,) f (X + c) + g (X c) c[ f (X + c) g (X c) ] () Θεωρώντας γενικές αρχικές συνθήκες της μορφής u(x,) R(X) u(x,) Q(X) γνωστές συναρτήσεις του Χ [που στην παρούσα άσκηση είναι: R(X) & Q(X) ] f (X) + g(x) R(X) Οι εξισώσεις [() & ()] c[ f (X) g (X)] Q(X) Ολοκλήρωση της (3) στο διάστημα [, Χ] (3) [ ] [ ] c f (X) g(x) c f() g() Q(s)ds X f (X) g(x) Q(s)ds + [ f () g() ] c (4) [(3) + (4)] f (X) R(X) + Q(s)ds + [ f () g() ] X X c (5) [(3) (4)] g(x) R(X) Q(s)ds [ f () g() ] X c (6) Αντικαθιστώντας στην (5) το όρισμα X με το ξ X+ c, και στην (6) το όρισμα X με το η X c, προκύπτει: X+ c f(x+ c) R(X+ c) + Q(s)ds [ f() g() ] c + (7) X c g(x c) R(X c) Q(s)ds [ f() g() ] c (8) 3

Η εξίσωση (8), που δίνει τη συνάρτηση g(x c), ισχύει για X c X c, εφόσον η (6) έχει ληφθεί για τον ημιάπειρο χώρο, δηλ. για X. Αντίστοιχος περιορισμός δεν προκύπτει για τη συνάρτηση f(x+c), μιας και το όρισμα της είναι X+ c, X B o &. R(X + c) + R(X c) [(),(7),(8)] u(x,) + Q(s)ds c, X c X+ c X c η οποία για [R(X) & Q(X) ] u(x,), για X c u kε k (X,), για X c X Επίσης: u(x,) (X,) k (X,) k f (X c) ξ g (X c) η + + X X X [ ] (X,) k f (X + c) + g (X c) η οποία, λόγω της οριακής συνθήκης (,) p() ˆ, δίνει: [ + ] ˆ kf(c) g( c) p() Θέτουμε: ζ c, οπότε: kf( [ ζ ) + g() ζ ] p( ˆ ζ /c) g( ζ ) p( ˆ ζ /c) f( ζ ) (9) k Η τελευταία εξίσωση συσχετίζει την g με αρνητικό όρισμα ( ζ < ) και την f με θετικό όρισμα, η οποία δίνεται από την (5) που για R(Χ) & f(x) f() g() f (X), δηλ. f ( ζ ). Q(X) δίνει [ ] g( ζ ) p( ˆ ζ/c) g( ζ ) p( ˆ s/c)ds+ g() k k, για ζ < ζ 4

Θέτοντας τ s/c, η τελευταία σχέση γίνεται: ζ/c c g( ζ ) p( ˆ τ)dτ+ g() k, για ζ < όπου αντικαθιστώντας το όρισμα ζ με το η X c, προκύπτει: X/c c g(x c) p( ˆ τ)dτ+ g() k, για X c < Όμως: [ ] [ ] f(x) f() g() f() f() g() f() g() f(x) g() f(x+ c) g() Άρα: X/c c u(x,) f(x + c) + g(x c) p( ˆ τ)dτ k, για X c < και χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Lebnz για την παραγώγιση ολοκληρωμάτων: προκύπτει η τάση ως: u(x,) (X,) k p( ˆ X/c), για X c< X 5

ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΓΙΑ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Τg(ε) όχι g( ε ) g(u, ) X g( ε ) > (δηλ. γνησ. αύξουσα) ε g (u, ) u, + ρ b ρ u X XX o o δηλ. υπερβολικού τύπου μη-γραμμική διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους Παράδειγμα: l XL X Eλαστοστατικό πρόβλημα u u B ο { X / X L} B { Χ / Χ l} Οριακές συνθήκες: u(,) & (L,) Επίδραση βαρύτητας b G X g (u, X) u, XX + ρ og u(x) g { ρog(l s) } ds u(), u, X (L) Στη γραμμική περίπτωση: g( ε ) kε g ( ε ) ε k ρo Οπότε προκύπτει: u(x) G L X X k 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΥΜΠΙΕΣΤΑ ΡΕΥΣΤΑ. ΕΛΑΣΤΙΚΑ (ή ΒΑΡΟΤΡΟΠΙΚΑ) ΡΕΥΣΤΑ Η τάση (X,) εξαρτάται μόνο από την πυκνότητα: p(ρ), p( ρ ) > c p( ρ ) ταχύτητα του ήχου στο ρευστό o Σύστημα Εξισώσεων: ρ / + ρ ( v)/ x ρ v v p( ρ ) +ρ bρ + v x x +ρ bρv (*) x ρ ( ρv) + p( ρ) x (*) σύστημα εξισώσεων αεροδυναμικής (gas dynamcs) b ρ ρ ρ ρ v (κατάσταση ισορροπίας) x o σταθ. Καταστάσεις κοντά στην ισορροπία (v, ρ / ρ << ρ ρ o + ρ (x,), o v v(x,), όπου ρ O( ε ) & v O( ε ) με ε << ρ ρ o ) με b p( ρ) o( / o) v v ρρ +ρ ρ ρ + v Αντικατάσταση στο (*) ρ o( +ρ / o) x x ρ ρ v ( ρ v) +ρ o + x x (#) Όροι τάξης O( ε ) [δηλ. v( v/ x) & ( ρ v)/ x ] & + ρ / ρ o 7

(#) p( ρo) ρ v ρo x ρ v ρo x σύστημα συζευγμένων διαφορικών εξισ. Αποσύζευξη του συστήματος παραγωγίζοντας κάθε εξίσωση ως προς & x: ρ ρ ρo x ρ v ρ o x p( o) v & ρ ρ ρ v ρo x x p( o) v ρ o x x από τις οποίες εύκολα λαμβάνεται: ρ v ρ v p( ρ o) x p( ρ o) x εξισώσεις διάδοσης κύματος με c p( ρ ) o Άρα, λύση: ρ f(x+ c) + g(x c) v φ (X + c) + h(x c). ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΥΓΡΑ Ιξώδη ρευστά των οποίων η τάση (X,) εκτός από την πυκνότητα εξαρτάται και από τον ανηγμένο ρυθμό μετατόπισης (ή ρυθμό διάτμησης): f(ρ,κ) με κ v/ x ή f(ρ, v/ x) Ειδική περίπτωση κλασσικά νευτωνικά υγρά: p(ρ) + μ v/ x 8

p(ρ) θερμοδυναμική πίεση (π.χ. καταστατική εξίσωση τέλειων αερίων) μ v/ x τάση λόγω ιξώδους (εκδηλώνεται μόνο με την κίνηση) μ > συντελεστής ιξώδους Σύστημα Εξισώσεων: ρ ( ρv) + x v v +ρ bρ + v x x v p( ρ ) +μ x Αντικατάσταση (Λ) 3 στην (Λ) ρ ( ρv) + x p( ρ ) v v v +μ +ρ bρ v x x + x (Λ) (Ξ) Επίλυση (Ξ) για μόνιμη κατάσταση (seady sae) με b Μόνιμη κατάσταση: ρ ρρ(x) v v v(x) (#) (Ξ) ( ρv) x ρ v φ() (*) [(#) & (*)] ρ v σταθερό ρ ρo (σταθερά), για x Οριακές συνθήκες: v v o (σταθερά), για x 9

ρ v ρ v () o o () Π.E. αρχής διατήρησης της μάζας ενώ: F ρo/ ρ v/vo Π.L. αρχής διατήρησης της μάζας v v (Λ) ρ v ρ ˆ ovo ρ ovov+ () x x x για () ˆ v () ˆ p( ρ ) p( ρ(x)) σταθ. για p( ρo) po x σταθ. p ρ v ρ ovo + σταθ. o o o Άρα: ρov o(v v o) po () Εύρεση της v(x) [(Λ) 3, ()] v p( ρ ov o/ v) + μ ρ ov o(v v o) p( ρ o) x v(x) vo για x (~) Αδιάστατη μεταβλητή: f(x) v(x)/v o (~) f p( ρ o/f ) +μ vo ρov o(f ) p( ρo) x f(x) για x Π.Ε. ($) f(x) v(x)/vo συντεταγμένη x F(X,) f (x) x χ(x,) F(X,) v(x,)/ vo συντεταγμένη X (+) μόνιμη κατάσταση f f f/ f f F + v F v vo F x x x 3

($) p( ρ o/ F) +μ (F/ F) ρov o(f ) p( ρo) F για Π.L. ($$) Μια λύση της ($) είναι η f(x) που ισοδυναμεί με τη λύση F της ($$). Ποιοτικά γραφικές παραστάσεις άλλων λύσεων: f(x) ρ/ρ ο v/v o v/v o F() x F F vs. για συγκεκριμένο υλικό σημείο X του μέσου ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Ελαστικό (τέλειο) υγρό: p(ρ), δηλ. μ ($$) p( ρ o/ F) ρov o(f ) p( ρo) F για...(αλγεβρ. εξίσωση) (%) Μια λύση της (%) είναι η F Έστω ότι η (ασυνεχής) λύση τέτοια ώστε: F h, για > o με h << 3

ρo (%) p( ) ρ vh p( ρ ) (^) h o o o Σειρά aylor της ρo p( ) γύρω από ρ o : h ρ ρ o o ρoh p( h) p( ρ o) + p ( ρo) ρ o +... p( ρ o) + p ( ρ o) +... h h ρoh p( ρo) (^) p( ρ o) ρovoh h h h v M p( ρo) c ταχύτητα ήχου στο ρευστό o M v /c o αριθμός Mach Αν M > Υπερηχητική ροή M< Υπoηχητική ροή F /M ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : p(ρ) (σταθερά)ρ, μ Όμως: po p( ρo) po (σταθερά) ρ o (σταθερά) p o/ρ Άρα: p( ρ ) (p o/ ρo) ρ o 3

($$) μ F ρ ov o(f )(F M ) F για (//) όπου: M v /p( ρ ) ρ v /p o o o o o (//) μ df μm F o - ov o (F )(F M ) ov o(m ) F M d ln ρ ρ o όπου: F o exp F M- τ μm μ τ ρ v(m ) p(m ) o o o o σταθ. ολοκλήρωσης χαρακτηριστικός χρόνος δομής shock Παρατήρηση : Μ > (δηλ. τ > ) F F M F < < F M F F> e F M o τ F< M e o τ M F e τ o Fv/v o ρ o /ρ μόνος αποδεκτός κλάδος F {, } F F( ) o + M, κλίση: M F( o) 4M τ M - o Όταν μ τ F( o) δομή shock 33

Παρατήρηση : Μ < (δηλ. τ < ) F F< e F M F < < F M F F M τ o τ F M e o τ F> M e o Fv/v o ρ o /ρ M - o δηλ. F M (όχι F ) Άρα για Μ < αυτή η λύση απορρίπτεται & μοναδική λύση είναι η F Παρατήρηση 3: Μ, οπότε: (//) μ F ρ v (F ) o o μ df μ d F ρ v (F ) ρ v ( ) o o o o o o Fv/v o ρ o /ρ o Μολονότι, F, η λύση απορρίπτεται γιατί o F Άρα για Μ μοναδική λύση είναι η F 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΙΞΩΕΛΑΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Η τάση (X,) εξαρτάται όχι μόνο από την παραμόρφωση ανά πάσα χρονική στιγμή αλλά & από την ιστορία της παραμόρφωσης μέχρι τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή: f [ τ ] (X,) F(X, ) ομογενή υλικά - (X,) f [ F(X, τ),x] μη - ομογενή υλικά - τ f συναρτησιακό της συνάρτησης F(X,) Π.χ., η εξίσωση εάν γνωρίζουμε την F για όλους τους χρόνους από - έως, μπορούμε να προσδιορίσουμε την Τ στον παρόντα χρόνο. Μετασχηματισμός: τ s (X,) f [ F( s) ] s, για σταθερό Χ F F(-s) F() s δηλ. μόνο το χρονικό διάστημα s από τον παρόντα χρόνο είναι σημαντικό. Π.χ. αν s μέρες, τότε το υλικό θυμάται μόνο ότι συνέβη σ αυτό μέσα στις μέρες & τίποτε περισσότερο. Ορισμός: F(-s) F (s) n n n d d n d n (n) F (s) n s F( s) n s ( ) F( τ ) n τ ( ) F () ds ds dτ 35

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : s s [ ] () f F( ) () f (F()) ελαστικό υλικό ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Rvln-Erksen ή διαφορικού τύπου ιξωελαστικά υλικά Μικρή εξάρτηση (shor-range) από την ιστορία παραμόρφωσης () εξαρτάται από {F () F(), d ds d ds n F (s) s,..., F (s) n s }, δηλ. (n) () f(f(), F(),..., F ()) Σημείωση: (n) (n) (n) (n) (n) F () x/ X x / X ( x / x)( x/ X) ( x / x)f δηλ. για: () n x v & F F ( v/ x)f () n x v & F F ( α/ x)f.............. (n) (n-) (n) n n x v & F ( n / x)f α, με α x n (n) Άρα, ιξωελαστικό υλικό πολυπλοκότητας n: g(f(), v / x, α/ x,..., αn / x) ρευστά g( ρ, v/ x, α/ x,..., αn / x) 36

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3: Yλικά με μεγάλο εύρος (long-range) εξάρτησης ή ολοκληρωτικά μοντέλα συμπεριφοράς ()k ε () + G () ε () + G(s) ε ( s)ds (#) Όπου: ε F k σταθ. > μέτρο ελαστικότητας στην κατάσταση ισορροπίας G(s) συνάρτηση χαλάρωσης G(s) [μια συνάρτηση επιρροής ή βάρους (wegh funcon) που εκφράζει το πόσο επηρεάζεται η παρούσα συμπεριφορά του υλικού από το παρελθόν του] G() s G() > & lmg(s) [δηλ. μνήμη που ξεθωριάζει (fadng memory)] s k + G() αρχικό μέτρο ελαστικότητας Σημείωση: η (#) είναι η γενική καταστατική εξίσωση της γραμμικής ιξωελαστικότητας [αποτέλεσμα της θεωρίας της συναρτησιακής ανάλυσης & γραμμικοποίησης (ανάπτυξη του () [ ε( s) ] f κατά Freché σε αναλογία με s την ανάπτυξη της συνάρτησης f κατά aylor & διατήρηση του πρώτου ή γραμμικού όρου)] Παράδειγμα: ε, τ< ετ () ε, τ ε 37

τ s, s > ε( s) ε, s < () k G() G(s) ε + ε + ε ds < () k G() [G() G()] ε + ε + ε < () [k G()] + ε () [k + G()]ε * G() k ε * ισορροπία Χαλάρωσης τάσης (sress relaxaon) [δηλ. για ε σταθ., το Τ μειώνεται με το χρόνο προς μια ασυμπτωτική τιμή ισορροπίας]. Από μια τέτοια διαδικασία (πείραμα) που γίνεται στο εργαστήριο προσδιορίζονται τα k και G() πειραματικά ΜΟΝΤΕΛΟ KELVIN-VOIG Ανήκει στην κατηγορία: f (F,F), δηλ. υλικών μικρή εξάρτηση από την ιστορία της παραμόρφωσης 38

Φανταζόμαστε κάθε υλικό σωματίδιο Χ να λειτουργεί σαν ένας μηχανισμός που αποτελείται από ένα ελατήριο & έναν αποσβεστήρα ιξώδους σε παράλληλη διάταξη: k> μ > Ελατήριο: k kε k, Αποσβεστήρας: μ με μ Παράλληλη διάταξη k μ + ε k ε μ ε kε+με (*) Το μοντέλο αυτό μπορεί να περιγράψει ερπυσμό, δηλ. για σταθ., το ε αυξάνει με το χρόνο Έστω, Τ Τ ο σταθ. ε ( ) o k κανονική διαφορική εξίσωση ης τάξης μ μ o ε ε o ( e / τ ) ε k τ μ / k χαρακτηριστικός χρόνος ερπυσμού (ιδιότητα του υλικού) 39

ε o k e k o αύξηση του μ τ Δυναμική του μοντέλου Kelvn-Vog x k, v u, u, +ρ obρov ε+με ε X ku, + μ u, + ρ b ρ u XX XX o o κυματική εξίσωση με απόσβεση (damped wave equaon) Για μη-γραμμική ελαστικότητα, δηλ.: g( ε ) +με g(u, )u, + μ u, + ρ b ρ u X XX XX o o γενικευμένη κυματική εξίσωση με απόσβεση Ειδική λύση της Κυματικής Εξίσωσης με Απόσβεση για b B o {X/X [,L]} L Αρχικές συνθήκες: u(x,), u(x,) sn( πx/l) Οριακές συνθήκες: u(, ), u(l, ) Έστω λύση η u(x,) U() sn(πx/l), που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες, τότε: 4

π +μ π + ρ U(), U() k( /L) U() ( /L) U() ou() (A) Για μ, το (Α) έχει τη λύση: ρ L π k, οπότε: k π L ρ o o U() sn ρ L π k πx k π L ρo L o u(x,) sn sn u X σταθερό μ λόγω απουσίας επίδρασης ιξώδους η μετατόπιση u() εμφανίζει ταλάντωση σταθερού πλάτους (ημιτονοειδή) Λύση του (Α) για μ : U() e ω(eα e α), με α (Β) α όπου: μ π ω ρ L o & o μ π 4ρok α ρ L μ ( π/l) 4ρ k πx α μ ( π/l) L sn( α ) 4ρ k α > α μ ( π/l) (B) u(x,) e ω sn snh( α), o α πραγματικό, δηλ. < o, φανταστικό, δηλ. 4

u α πραγματικό X σταθερό μ αρκετά μεγάλο. u αρχικά αυξάνει ενώ στη συνέχεια τείνει να μηδενιστεί λόγω της επίδρασης του ιξώδους (που είναι τόσο ισχυρή ώστε δε συμβαίνει ουδεμία ταλάντωση). u α φανταστικό X σταθερό μ μικρό ταλάντωση με απόσβεση ή ταλάντωση φθίνοντος εύρους Σημείωση: Όταν α ρo π ρo ω 4 k 4 k k μ ( π/l) L μ μ και η χαρακτηριστική εξίσωση της (Α) έχει τη διπλή ρίζα: (roo) ω Οπότε λύση του (Α): U() e ω πx u(x,) e ω sn L 4

u α X σταθερό μ ενδιάμεση τιμή u αρχικά αυξάνει ενώ στη συνέχεια τείνει να μηδενιστεί λόγω της επίδρασης του ιξώδους (που είναι αρκετά ισχυρή ώστε να μη συμβαίνει ουδεμία ταλάντωση). ω ΜΟΝΤΕΛΟ MAXWELL Ανήκει στην κατηγορία: ()k ε () + G () ε () + G(s) ε ( s)ds, δηλ. υλικών με μεγάλο εύρος εξάρτησης από την ιστορία της παραμόρφωσης (ολοκληρωτικό μοντέλο) Φανταζόμαστε κάθε υλικό σωματίδιο Χ να λειτουργεί σαν ένας μηχανισμός που αποτελείται από ένα ελατήριο & έναν αποσβεστήρα ιξώδους διατεταγμένα σε σειρά: k > μ > Ελατήριο: k kε k, Αποσβεστήρας: μ με μ Διάταξη σε σειρά k μ εε k +εμ εε +ε k μ k + μ + kε τ (Ψ) τ μ / k χαρακτηριστικός χρόνος απόσβεσης (ιδιότητα του υλικού) 43

(Ψ) τ e τ τ τ ξτ ξτ + e kε e e kε e ( ξ)dξ ke ε ( ξ)dξ τ ξ / τ ξ τ / τ / τ ξ τ e ( ξ ) ke ε ( ξ )d ξ e () e ( ) ke ε ( ξ )d ξ - η οποία, για ( ) πεπερασμένο, δίνει: / τ ξ τ ( ξ) τ e () ke ε ( ξ)dξ () ke ε ( ξ)dξ (Λ) δηλαδή: () f [ ε( ξ) ] ξ Θέτοντας: s - ξ (s παρελθόν), (Λ) () s/ τ ke ε( s)ds s/ τ s/ τ () ke ε( -s) (k/ τ) e ε( -s) ds η οποία, για ε ( ) πεπερασμένο, δίνει: δηλαδή: () f [ ε( s) ] s/ τ () k ε() (k / τ) e ε( -s) ds s ($) Συνάρτηση χαλάρωσης του μοντέλου Maxwell: s/ G(s) ke τ (//) δηλαδή: G(s) > & lm G(s) s 44

k s/ ke τ αυξανόμενο τ τ s [($),(//)] () G() ε () + G(s) ε( s) ds Για την ειδική φόρτιση:, < ε () ε, < () G() ε Ως ολοκληρωτικό μοντέλο συμπεριφοράς, το μοντέλο Maxwell μπορεί να περιγράψει χαλάρωση τάσης, δηλ. για ε σταθ., το Τ μειώνεται με το χρόνο. Ωστόσο, επειδή k ε, δεν υπάρχει παραμένουσα ελαστικότητα [δηλ. δεν υπάρχει κατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας (long-range equlbrum) όπως στη γενική περίπτωση] Σημείωση: Μοντέλο Maxwell () f [ ε( s) ] Ανάλογα, μοντέλο Kelvn-Vog ε() f [ ( s) ] που οδηγεί σε γραμμικοποιημένες μορφές όπως & η παραπάνω ανάλυση Οι παραπάνω δύο εξισώσεις δεν είναι πάντα ισοδύναμες. Δηλαδή, οι παραπάνω εξισώσεις δεν είναι εν γένει αντιστρεπτές s s 45

ΜΟΝΤΕΛΟ N-MAXWELL ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΔΕΣΗ k μ k μ Τ Τ k Ν μ Ν N N N k ε + ε + ε k μ τ s/ τ, k () e ( s)ds τ k ; G(s) k e, μ τ N s/ (φάσμα χρόνων χαλάρωσης) k ΤΥΠΙΚΟ (SANDARD) ΙΞΩΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΤΕΡΕΟ Eν σειρά σύνδεση Kelvn-Vog στερεού με ελατήριο: Τ k > k > μ > Τ k k ε k, k k ε k, μ με ε μ ε k ε μk, εε k +ε μk k k + μ [ ( ), ε( ) ] πεπερασμ. μ k+ k kk s k k () ε () + ε () + e μ ε( s)ds k+ k k+ k μ δηλ. ολοκληρωτικό μοντέλο της μορφής: ()k ε () + G () ε () + G(s) ε ( s)ds με kk k k + k k + k k + k μ s k, G(s) e 46

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΘΕΡΜΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ: μάζα & η δύναμη) E(P ) πρότυπη εμπειρική έννοια (όπως η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ: ένα μέγεθος e, που ορίζεται ως εσωτερική ενέργεια / μον. μάζας σε κάθε θέση του σώματος Β, έτσι ώστε: E(P ) ρedx P ΘΕΡΜΑΝΣΗ Q(P ): συνολικός ρυθμός θερμότητας (θερμική ενέργεια / χρόνο) που παρέχεται στο P Ροή θερμότητας λόγω συναγωγής, q q(x,): ροή θερμότητας (ανά μον. επιφάνειας) μεταξύ γειτονικών σωματιδίων ύλης λόγω της επαφής τους (θερμότητα επαφής) Ροή θερμότητας λόγω ακτινοβολίας, r r(x,): ροή θερμότητας (ανά μονάδα μάζας) που οφείλεται στον εξωτερικό κόσμο (περιβάλλον). Π.χ. θερμότητα από μια ραδιενεργή πηγή, ηλιακή ακτινοβολία, κλπ. + B P [x, x ] x x x ( ) x x x q(x,) q(x,) () Συνολ. ροή θερμότητας συναγωγής στο P : x q(x,) q(x,) Q(P) c q(x,) q(x,) dx dx x x x (με τη σύμβαση ότι το προσφερόμενο προς τα δεξιά q είναι θετικό) 47 P

() Συνολ. ροή θερμότητας ακτινοβολίας στο P : Συνολική ροή θερμότητας στο P : r x x Q (P ) ρ (x,)r(x,)dx ρrdx c r Q(P) Q + Q Q(P) ( q/ x + ρr) dx P P Σύγκρινεται αυτήν την εξίσωση με την έκφραση της συνολικής δύναμης f(p ) & παρατηρείστε τις αντιστοιχίες: Q c (P ) f c (P ) & Q r (P ) f b (P ) ΑΠΟΛΥΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ: θθ (x,) > πρότυπη εμπειρική ποσότητα στην κλασσική θερμοδυναμική ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Γραμμική Ορμή στο Ρ : l(p ) ρvdx Μηχανικό Έργο (ανά μονάδα χρόνου) στο Ρ ή Ισχύς: P (v) w(p ;v) +ρbv dx x P Κινητική Ενέργεια του Ρ : K(P ;v) ρv dx P Συνολική Παρεχόμενη Ισχύς στο Ρ : P(P ;v) w(p ;v) K(P ;v) Θεώρημα Ισχύος (πρωτοαποδείχθηκε από το Sokes): 48

v w(p ) K(P ) dx + x P Απόδειξη: (v) v w(p ) +ρ bv dx + +ρb v dx x x x P P v v +ρ vv dx ( ρ vv)dx+ dx x x P P P ρv Έτσι αρκεί να δείξουμε ότι: K(P ) ρvvdx P o o P P P P K(P ) ρ v dx ρ v FdX ρ v dx ρ v dx o o o ρ (vv) dx vv ρ dx ρvv dx o o P P P o o ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάζας: m(p ) ρ ( ρv) ( P B ) + ( x B ) x Ορμής: f(p) l(p) ( P B ) +ρ b ρv ( x B ) x Ενέργειας ( ος Νόμος της Θερμοδυναμικής): +, P B E(P) P(P) Q(P) Ο οποίος, χρησιμοποιώντας το θεώρημα ισχύος, δίνει E(P) ( v/ x)dx + Q(P) (*) P 49

Παρατηρείστε την αντιστοιχία με τη συνήθη έκφραση: E pv + Q. Συγκεκριμένα, για p σταθ., ο ος όρος στο δεξί μέλος της (*) γίνεται: F ( v/ x)dx p dx p FdX p FdX p dx pv F P P P P P o o όπου: V dx, ο «όγκος» ( μήκος σε D) του P P Εξαγωγή της εξίσωσης πεδίου του ου νόμου της θερμοδυναμικής E(P ) ρ e dx ρ Fe dx ρ e dx ρ e dx o o P P P P o o o ( ρ / F)e dx ρe dx E(P ) ρe dx (#) o P P P Επίσης: Q(P ) ( q/ x + ρr) dx ($) P [(*),(#),($)] v q ρe + ρ r dx x x P v q ρ e +ρr x B ος Νόμος θερμοδυναμικής (Π.E.) x x v q ρ e +ρr x x o F q o o /F ρ ρρ ρ e + r F F F X F F ( v/ x)f v/ x F/F q/ X ( q/ x)( x/ X) ( q/ x)f 5

q ρ e F +ρ r X B ος Νόμος θερμοδυναμικής (Π.L.) X o o o (Π.E.) v e + h, όπου ρ x h q +ρr ρ x τοπική θέρμανση ος Νόμος της Θερμοδυναμικής Είναι μια βασική αρχή της φύσης, για την οποία επιχειρήθηκαν κατά καιρούς διάφοροι τρόποι διατύπωσης, π.χ. Δεν μπορεί να υπάρξει αυθόρμητη ροή θερμότητας από ένα ψυχρότερο σε ένα θερμότερο αντικείμενο Είναι αδύνατο να κατασκευαστεί θερμική μηχανή που να λαμβάνει θερμότητα και να την μετατρέπει εξ ολοκλήρου σε έργο Η αταξία ενός «κλειστού» συστήματος (δηλ. χωρίς εξωτερικές επιδράσεις) δεν ελαττώνεται ποτέ. Ένα μέτρο αυτής της αταξίας αποτελεί η ποσότητα που ονομάζεται εντροπία. Επιπλέον, η εντροπία είναι ένα μέτρο του ποσού ενέργειας που δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην παραγωγή έργου. Στην προκείμενη παρουσίαση ο ος νόμος της θερμοδυναμικής που εκφράζει την αύξηση της εντροπίας μπορεί να διατυπωθεί ως ακολούθως: [Εντροπία του P ] H(P ) ρη dx, η εντροπία / μον. μάζας P Ανισότητα Planck: q h ρη +ρr / θ η, x B x θ Σημείωση: αντιστοιχία με τη συνήθη σχέση ΔS ΔQ της θ αναντιστρεπτής θερμοδυναμικής για ομογενείς φάσεις, όπου ΔS μεταβολή της εντροπίας & ΔQ μεταβολή της θερμότητας 5

q Eσωτερική απώλεια (nernal dsspaon): δ θη h θη +ρr ρ x Άρα, ανισότητα Planck δ, x B Ανισότητα Fourer: θ θ q q, x B x x η θερμότητα μεταφέρεται με συναγωγή από τα θερμότερα σημεία στα ψυχρότερα Ανισότητα Clausus-Duhem: q θ ρδ, x B ( θ>, ρ > ) θ x δηλ. συνδυασμός ανισότητας Planck & ανισότητας Fourer (ασθενέστερη) ανισότητα Clausus-Duhem ( q θ) q q θ ρr ρr ργ ρη+ ργ ρη + θ x θ x θ x θ q q r (P ) dx H Γ ργ ρ dx θ P x θ x θ P q/θ ροή εντροπίας λόγω συναγωγής r/θ ροή εντροπίας λόγω ακτινοβολίας q x θ θ x x q x x x ολοκληρωτική (global) έκφραση της ανισότητας Clausus-Duhem: Γ(P ) P B τοπική (local) έκφραση της ανισότητας Clausus-Duhem: 5

ργ x B όπου Γ(P ) ρυθμός παραγωγής εντροπίας στο P Ελεύθερη ενεργειακή πυκνότητα του Ηelmolz: ψ e θη v ψ e θη θη ψ + h θη θη ρ x v θη + h θη ψ () ρ x Όμως, η ανισότητα Clausus-Duhem δίνει: () q θ q θ ρδ ρ( θη h) θ x θ x () v q θ ρ + h θη ψ h ρ x θ x v q θ ρθη ρψ x θ x v q θ ψ +ηθ + x B ρ x ρθ x Σημείωση: Ενίοτε σε εντρυφήσεις της Θερμοδυναμικής υπάρχει αναφορά στον 3 ο Νόμο της Θερμοδυναμικής ο οποίος μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Όλες οι θερμοδυναμικές διεργασίες παύουν καθώς η θερμοκρασία τείνει στο απόλυτο μηδέν. Καθώς θ, η εντροπία ενός συστήματος τείνει σε μια σταθερή τιμή. 53

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ Ως θερμοδυναμική διεργασία ορίζεται ένα σύνολο από 9 (ικανοποιητικά ομαλές) συναρτήσεις P στο Β,, το οποίο, [, χ θ>,e, η,,q,b,r, ρ] x B, ικανοποιεί τις διαφορικές σχέσεις: ρ ( ρv) +... ισοζύγιο μάζας x +ρ b ρ x... ισοζύγιο ορμής x v q ρ e +ρr...ισοζύγιο ενέργειας x x ( q θ) ρr ρη +...ανισότητα Clausus - Duhem x θ (Ι) Ορισμός Επιτρεπτών Θερμοδυναμικών Διεργασιών 7 Άγνωστοι (b & r συνήθως δίνονται) 3 Εξισώσεις απαίτηση για 4 καταστατικές εξισώσεις: e eˆ (ιστορία των πεδίων κίνησης & θερμοκρασίας, Χ) ηη ˆ (ιστορία των πεδίων κίνησης & θερμοκρασίας, Χ) ˆ (ιστορία των πεδίων κίνησης & θερμοκρασίας, Χ) q qˆ (ιστορία των πεδίων κίνησης & θερμοκρασίας, Χ) (II) Μία ειδική καταστατική υπόθεση (ΙΙ) είναι συμβατή με τη θερμοδυναμική, αν x χ(x,) & θ θ(x,) >, προκαλείται μια θερμοδυναμική διεργασία P από τις (Ι) και (ΙΙ) για κάποιες αντίστοιχες τιμές b και r. Τότε η προκληθείσα διεργασία ονομάζεται επιτρεπτή. 54

αυστηρούς περιορισμούς στη δομή μιας επιτρεπτής διεργασίας. Με άλλα λόγια, εκλογή των χ & θ ορίζονται οι [e, η,, q] από τις (ΙΙ) & η, ρ από το ισοζύγιο μάζας, ενώ οι b & r από τα ισοζύγια ορμής & ενέργειας αντίστοιχα, & ότι απομένει είναι η ανισότητα Clausus-Duhem η οποία δεν ικανοποιείται a pror για κάθε εκλογή των ê, ˆη, ˆ & ˆq 55

MEΡΟΣ ΙI ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ & ΤΑΝΥΣΤΩΝ 55

56

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ορισμός Διανυσματικού Χώρου Ένα σύνολο αντικειμένων V { uvw,,,...} είναι ένας διανυσματικός χώρος όταν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό, δηλαδή: όπου α ( u+ v) V uv, V ( αv) V Ορισμοί Πρόσθεσης και Βαθμωτού Πολλαπλασιασμού uvw,, V, α, β Πρόσθεση Α Προσεταιρισμός: u+ ( v+ w) ( u+ v) + w Α Αντιμετάθεση: u+ v v+ u Α 3 Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου: V u+ u Α 4 Ύπαρξη αντίθετου στοιχείου: ( u) V u+ ( u) Βαθμωτός πολλαπλασιασμός Μ Προσεταιρισμός: α( β u) ( αβ ) u Μ Μοναδιαίο στοιχείο πολ/σμού: u u, το είναι μοναδικό Μ 3 Επιμερισμός ως προς την πρόσθεση: αu+ β u ( α + β ) u Μ 4 Επιμερισμός ως προς τον βαθ. πολ/σμό: αu+ αv α( u+ v ) Παράδειγμα Έστω V το σύνολο όλων των ζευγών πραγματικών αριθμών, δηλαδή: x V, όπου x ( x, x) με x, x Πρόσθεση: x+ y ( x+ y, x + y) Πολλαπλασιασμός: αx ( αx, αx) α 57

Ορίζουμε σαν μηδενικό διάνυσμα το (,). Ακόμα αποδεικνύεται ότι όλες οι ιδιοτητες ενός διανυσματικού χώρου ικανοποιούνται, δηλαδή ο V είναι διανυσματικός χώρος, π.χ. x + y ( x + y, x + y ) ( y + x, y + x ) y+ x Χώρος με εσωτερικό γινόμενο Μέτρο διανύσματος Ένας χώρος H με εσωτερικό γινόμενο είναι ένας διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο το οποίο ορίζεται από τα παρακάτω αξιώματα: Η Αντιμετάθεση: u v v u Η Επιμερισμός: u ( v+ w) u v+ u w Η 3 Προσεταιρισμός: α( u v) ( αu) v Η 4 Θετικότητα: u u, u u αν και μόνο αν u Το μέτρο (ή norm) ενός διανύσματος u H ορίζεται ως: u u u και είναι πραγματικός αριθμός. Έτσι, για παράδειγμα, το μέτρο ενός διανύσματος που ανήκει σε έναν συνηθισμένο Ευκλείδιο χώρο εκφράζει το μήκος του διανύσματος. Παράδειγμα Στο διανυσματικό χώρο V του προηγούμενου παραδείγματος εισάγουμε το εσωτερικό γινόμενο: x y xy + xy Αποδεικνύεται ότι αυτό το εσωτερικό γινόμενο πληρεί όλα τα αξιώματα Η -Η 4, π.χ: x x x + x Έτσι ο διανυσματικός χώρος V εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο γίνεται ένας διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο H. 58

Παράδειγμα Θεωρούμε το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής { f( ), g( ), h( ),...} η οποία έχει πεδίο ορισμού το [,] και σύνολο τιμών όλο το. Αν ορίσουμε:. το μηδενικό στοιχείο ως τη μηδενική συνάρτηση: ( ). την πρόσθεση: ( f + g)() f() + g() ( α f )() α f () 3. και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό: [ ] το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής αποτελεί έναν διανυσματικό χώρο V. Αν εισάγουμε και ένα εσωτερικό γινόμενο σύμφωνα με την εξής σχέση: f g f( x) g( x) dx και υποθέσουμε ότι: [ f( x) ] dx< τότε ο διανυσματικός χώρος V είναι ένας διανυσματικός χώρος H με εσωτερικό γινόμενο. Ισχύει: [ ] f f f( x) dx f f αν και μόνο αν f ( x) Το παραπάνω σύνολο συναρτήσεων συμβολίζεται με L και καλείται διανυσματικός χώρος τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Ανισότητα Cauchy Schwarz Αν uv, V τότε: u v Απόδειξη u v Θεωρούμε το διάνυσμα u+ λv, u, v V, λ. Τότε: ( u+ λv) ( u+ λv ) 59

u u+ u v+ v v λ λ u + λu v+ λ v, λ Θέτοντας ( ) λ u v v έχουμε ( u v) u ( u v) u v u v u v v Τριγωνική ανισότητα Αν uv, H, τότε ισχύει: u+ v u + v Απόδειξη u+ v ( u+ v) ( u+ v) u + ( u v) + v (Cauchy-Schwarz) u + u v + v ( ) u+ v u + v u+ v u + v Παράδειγμα u+ v v u Η τριγωνική ανισότητα ονομάζεται έτσι γιατί στο χώρο V ανάγεται στη γνωστή πρόταση που λέει ότι το μήκος μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των δυο άλλων πλευρών, όπως φαίνεται και στο σχήμα. 6

Παράδειγμα [ f ( x) + g( x)] dx [ f( x)] dx + [ g( x)] dx Ορισμός του γραμμικού διανυσματικού χώρου Ένα σύνολο αντικειμένων { uvw,,,...} που είναι εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού είναι ένας γραμμικός διανυσματικός χώρος V όταν uvw,, V και α, β ισχύει: () u+ v V () u+ v v+ u () u+ ( v+ w) ( u+ v) + w (v) V: u+ u u V (v) αu V (v) β ( αu) ( βα) u (v) u (v) u u (x) ( α + β ) u αu+ βu (x) α( u+ v) αu+ αv (x) ( u ) V : u+ ( u) u+ ( u) ( + ( )) u u ( u) u Το μέτρο ενός διανύσματος u σε έναν γραμμικό διανυσματικό χώρο συμβολίζεται ως u. Για το μέτρο ισχύουν οι σχέσεις: () u u V & u αν και μόνο αν u () αu α u α () u+ v u + v u, v V (Τριγωνική ανισότητα) (v) u v u v u, v V (Ανισότητα Cauchy-Schwarz) 6

Γωνία μεταξύ δυο διανυσμάτων και ορθογώνια διανύσματα Η γωνία μεταξύ δυο διανυσμάτων uv, V παριστάνεται ως ϕ( uv, ) και ορίζεται από τη σχέση: u v u v cos( u, v) όπου cos( u, v ) cosϕ Δύο διανύσματα uv, V καλούνται ορθογώνια αν u v, δηλαδή π 3π αν ϕ {, } Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων και βάση ενός διανυσματικού χώρου Ένα σύνολο στοιχείων { e, e,.., e n } V είναι γραμμικώς ανεξάρτητα πάνω στο χώρο V όταν υπάρχουν α,.. n τέτοια ώστε: α e + α e +... + α e α α... α n n n Βάση ενός χώρου V ονομάζεται ένα σύνολο { e, e,.., e n } V με τις εξής ιδιότητες:. Τα { e, e,.., e n } είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Μπορούμε να παραστήσουμε κάθε u V ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων βάσης: N u u e n όπου { u, u,.., u } και ονομάζονται συνιστώσες του u ως προς τη βάση { e, e,.., e n } Ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης καθορίζει τη διάστασή της. Στην προκείμενη περίπτωση έχουμε μια Ν-διάστατη βάση. Μια βάση { e } είναι ορθογώνια ως προς ένα χώρο H όταν για ισχύει e e j j 6

Μια βάση { e } είναι ορθοκανονική ως προς ένα χώρο H όταν ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις:. Είναι ορθογώνια ως προς το χώρο H. e e j δj, όπου δ j είναι το Δέλτα του Kronecker:, j δj, j Θεώρημα Οι συνιστώσες μοναδικές. Απόδειξη u ενός διανύσματος u V ως προς μια βάση { e } είναι Υποθέτουμε ότι δεν είναι μοναδικές. Επομένως υπάρχουν δυο τουλάχιστον διαφορετικά σύνολα από συνιστώσες, έστω u και u : N N N u u ( u u ) u e e e Αλλά αφού η { } γραμμικώς ανεξάρτητα, άρα: e είναι βάση, εξ ορισμού τα διανύσματά της είναι u u u u,,.. N Άρα τα δύο σύνολα συνιστωσών, που αρχικά θεωρήθηκαν διαφορετικά, ταυτίζονται. Επομένως δεν μπορούν να υπάρχουν δυο διαφορετικά σύνολα συνιστωσών και οι συνιστώσες του u V είναι μοναδικές. Πρόταση Δύο στοιχεία e ( e, e) και e ( e, e), με e, e H και ej αποτελούν μια βάση του H αν 63

e e e e δηλαδή αν. α e+ α e α α, α, α, που σημαίνει ότι τα e, e είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.. u H μπορούμε να γράψουμε u u e+ u e, όπου τα u, u και μπορούν να προσδιορισθούν, που σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε κάθε διάνυσμα του χώρου H σαν γραμμικό συνδυασμό των e, e. Απόδειξη. e e α e+ α e α + α e e e e α e e α Σύμφωνα με την αρχική υπόθεση της πρότασης, η ορίζουσα του παραπάνω γραμμικού συστήματος είναι διάφορη του μηδενός, επομένως, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα των γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων το παραπάνω σύστημα έχει μοναδική λύση που είναι η α & α.. Υποθέτουμε ότι κάθε u ( u, u) H μπορεί να γραφεί ως: u u e+ u e u e e u u e e u Σύμφωνα όμως με την υπόθεση της πρότασης, η οριζουσα του παραπάνω γραμμικού συστήματος είναι διάφορη του μηδενός, επομένως, όπως και παραπάνω, το σύστημα έχει μοναδική λύση η οποία και προσδιορίζει τα u, u 64

Θεώρημα Αν δοθεί μια οποιαδήποτε βάση { e, e } του H μπορεί να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση { ιˆ ˆ, ι } η οποία όμως δεν είναι μοναδική Απόδειξη Αρχικά θεωρούμε ότι ι ˆ (, ). μπορούμε να βρούμε τα α και α για τα οποία ισχύει ιˆ α e+ α e. Θεωρώντας ιˆ β e+ β e ( β e+ β e, β e + β e), θέλουμε να βρούμε τα β & β ώστε να ισχύει ιˆ ˆ ι. ιˆ ιˆ β e+ β e ιˆ β e + β e Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ι ˆ (,) Η ίδια διαδικασία μπορεί να εφαρμοσθεί και για τον προσδιορισμό ορθοκανονικής βάσης Ν διαστάσεων. Στην περίπτωση αυτή τα διανύσματα την ορθοκανονικής βάσης είναι: ιˆ (,,,...,) ιˆ (,,,...,) ιˆ 3 (,,,...,)... ιˆ (,,,...,) N 65

Ευκλείδειος Χώρος - Συνιστώσες - Συμβολισμός u V (V σύνολο διανυσμάτων του Ευκλείδειου χώρου E) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων: { ˆ ι } ( ˆ ι, ˆ ι, ˆ ι ) 3 u 3 u( ) u, u, u3 (,, ), (,, ), (,,) ˆ ι ˆ ι ˆ ι 3 Διάνυσμα: u u ˆ ι + u ˆ ˆ ι+ u3 3 ι u ˆι ˆι 3 ˆι u 3 u ˆ ˆ ι u συμβολισμός δεικτών (Ensen) ι u u ( u ),u,u3 u εναλλακτικοί συμβολισμοί u3 Παραδείγματα διανυσμάτων: κίνηση χ, ταχύτητα v, επιτάχυνση α Kανόνες Δεικτών - Σύμβολα δ j και ε jk Επαναληπτικότητα ( φορές) δείκτη () σ έναν όρο γινομένου, υπονοεί άθροιση από μέχρι 3 66 Εμφάνιση δείκτη () περισσότερες από φορές σ έναν όρο γινομένου δεν έχει έννοια, j Όταν το σύμβολο δ j εμφανίζεται σ έναν όρο, j γινομένου που έχει ένα κοινό δείκτη με το δ j, τότε το δ j μπορεί ν απαλειφθεί αλλάζοντας το κοινό δείκτη με τον άλλο. Το σύμβολο δ j είναι επίσης γνωστό ως δέλτα του Kronecker

Εμφάνιση ενός δείκτη () σ έναν όρο γινομένου φορά υπονοεί διαφορετικές εξισώσεις για καθεμιά από τις τιμές:, & 3. Εμφάνιση φορά και δεύτερου δείκτη (j) στον ίδιο όρο υπονοεί διαφορετική εξίσωση για καθεμιά από τις δυάδες: (, j ) (,), (, j ) (,), (, j ) (,3), (, j ) (,),. (, j ) (3,3). Αντίστοιχα για n δείκτες που εμφανίζονται φορά ο καθένας στον ίδιο όρο, υπονοεί διαφορετική εξίσωση για καθεμιά από τις n-άδες τιμών (,j,,n) που λαμβάνονται καθώς οι δείκτες,j,,n παίρνουν τις τιμές, & 3. Παραδείγματα 3 A u A u A u + A u + A u j j j j 3 3 j 3 εξισώσεις που προκύπτουν από τη λήψη των τιμών, & 3, για το δείκτη που εμφανίζεται στον αρχικό όρο φορά 3 3 3 Ajk Bjk Ajk Bjk Aj Bj+ Aj Bj + Aj3Bj3 j k j 3 A j B j + Aj B j + Aj 3 B j3 j 9 όροι συνολικά σε κάθε εξίσωση με ανάπτυξη του j 3 εξισώσεις που προκύπτουν από τη λήψη των τιμών, & 3, για το δείκτη που εμφανίζεται στον αρχικό όρο φορά A B δεν έχει νόημα (εμφανίζεται 3 φορές ο δείκτης j) jk jlj A A A A A A jδ j jj + + 33, jk l ljk A δ A, uδ j uj 67