atilego Zientifiko-Teknikoa MTEMTIK II GEOMETRI Ignaio Zloaga.H.I. (Eiba)
URKIIDE Geometia EKTOREK ESPZION... EKTOREK ESPZION... V EKTORE-ESPZIO. DEFINIZIOK... E V eta R MULTZOEN RTEKO ERLZIO... ERREFERENTZI SISTEM FIN... EKTORE SKE TEN KOORDENTUK... 5 ZUZENKI TEN ERDIKO PUNTU... 5 GEOMETRI FIN... 7 ZUZENREN EKUZIOK ESPZION... 7 I ZUZENEN POSIZIO ERLTIOK... PLNOK ESPZION... Hi pnt e leokatek deteminaten dten planoaen ekaioa... Ekaio segmentaioa... Plano beeko hi bektoe (la pnt) linealki dependenteak dia... PLNO EREN EZ DUDEN LU PUNTUK OSTZEN DUTEN TETREDRO... ZUZEN TEK ET ZUZEN HORRETN EZ DGOEN PUNTU TEK DETERMINTZEN DUTEN PLNO... ELKR MOZTEN DUTEN I ZUZENEK DETERMINTZEN DUTEN PLNO... I PLNOREN POSIZIO ERLTIO... 8 HIRU PLNOREN POSIZIO ERLTIO... 9 ZUZEN T ET PLNO TEN POSIZIO ERLTIOK... GEOMETRI METRIKO... I EKTOREREN RTEKO IDERKET ESKLRR... ZENIT PLIKZIO... ektoe baten modla... i pnten ateko distantia...7 i bektoeen ateko angela...7 PLNO TEN EKTORE KRKTERISTIKO... 8 PERPENDIKULRTSUN ET PRLELOTSUN LDINTZK... 8 i en...8 i plano...9 Zen bat eta plano bat...9 I ZUZENEN RTEKO NGELU... I PLNOREN RTEKO NGELU... ZUZEN T ET PLNO TEN RTEKO NGELU... PUNTU TETIK PLNO TERINOKO DISTNTZI... I PLNO PRLELOEN RTEKO DISTNTZI... ZUZEN ET PLNO PRLELOEN RTEKO DISTNTZI... PUNTU TEN SIMETRIKO PLNOREKIKO... PUNTU TEN SIMETRIKO ZUZENREKIKO... IDERKET EKTORIL... PLIKZIOK... 7 I) Tiangel baten aalea...7 II) i enekin pependiklaa den bektoe bat...8 III) i planoekin paaleloa den bektoe bat...8 IV) Pnt batetik en bateainoko distantia...9 V) i en paaleloen ateko distantia... IDERKET MISTO... PLIKZIOK... I) Tetaedo baten bolmena... II) i en gtaten ateko distantia minimoa... --
EKTOREK ESPZION Geometia EKTOREK ESPZION Odenatta daden eta bi pntk bektoe finko bat definiten dte pnta jatoia da eta mta Odenak bektoeaen noanta adieaten d. i pntek enaen noabidea deteminaten dte eta -en ateko distantia bektoeaen modla da -en modla dist () noabidea eta -ekin paaleloak dien en gtiena noanta -tik -nt Noabide bakoitak bi noanta dit -tik -a eta -tik -a... bektoe nlak noabide eta noanta gabekoak dia EKIPOLENTZI ERLZIO i bektoe espaioan ekipolenteak diela diog baldin modl noabide eta noanta bedinekoak dienean. EKTORE SKE -ekin ekipolenteak dien bektoe mltoai bektoe askea deiten aio; ha da espaioan -en modl noabide eta noanta bedinekoak dien infinit bektoeak Infinit hoietatik odekai gisa bat eabiliko dg [ ] iendaten da edota a b... D D -ekin ekipolenteak dien mltoa beste bektoe aske bat iango da. ektoe bat eabili nahi dgnean bee ode bektoe hoen bedinak dien gtietako edoein ha deakeg Espaioko bektoe askeen mltoa V adieaiko dg ipa ditagn ondoko mlto haek E... espaioko pnten mltoa { } {...} { a...} E D b espaioko bektoe finkoen mltoa V espaioko bektoe askeen mltoa --
ERGIKETK V MULTZON Geometia atketa Eman ditagn a eta b bektoe askeak Ondoko bane-eagiketa definiten da V V V mod honetan a eta b a b b Popietateak.- a b b a.- b c a b c.-.- a TLDE ELIRR a a a a Zenbaki eeal bat bide bektoe bat Emaita noabide bedineko beste bektoe bat da Ondoko kanpo-eagiketa definiten da R. V V a Demagn a dela. a bektoea noabide eta noanta bedinekoa da eta lea bikoita a. - a bektoea noabide bedina noanta akakoa eta lea bikoita - a Popietateak 5.- (ts) a t a s a.- t ( a b ) t a t b t s R eta 7.- ( ( t s) a t ( s a) 8.- a a a b V -koak ianik Foga daiteke V mltoak EKTORE- ESPZIOREN egita dela (V R ) iketa E H D F G Kalklat a) D D b) D D E c) DH c) HG F E --
V EKTORE-ESPZIO. DEFINIZIOK Geometia ektoeak en bedinekoak edo paaleloak badia linealki menpekoak dia i bektoe noabide ebedinekoak linealki independienteak dia Hi bektoe (edo gehiago) plano bedinekoak linealki menpekoak dia Hi bektoe e koplanaioak linealki independienteak dia. Gainea V osoaen ( sotaile dia ) V -en oinaia plano ebedinetan daden hi bektoek osaten dte. Edoein bektoea eta bektoeen konbinaio lineala da V espaioaen dimentsioa da. La bektoe (edo gehiago) espaioan linealki menpekoak dia E V eta R MULTZOEN RTEKO ERLZIO E ( ) ( ) V R M () (). Espaioan O jatoia finkat M E pntai OM V bektoea dagokio (). oinaia finkat geo dago. ea bektoea dg eta koodenatak dielaik OM bektoea adieateko mod bakaa ( R ) hikoteaekin elaionaten ERREFERENTZI SISTEM FIN O pnta eta V -ko e e e oinai bat emanik R O ; e e e mltoai E espaio afinaen eefeentia-sistema esaten aio. k Eefeentia eagnena R O ; i j k da. j i O O jatoi pnta i. j k oinai kanonikoa; ha da i ( ); j ( ); k ( ) i j k bektoe elkattak eta nitaioak dia. Oinai otonomala delakoa osaten dte. Espaioa edonola kontsidea geneake pnt bektoe edo hikote osata. pnt bakoitai ( ) dielaik. R hikotea dagokio a O bektoeaen koodenatak eta --
dibidea P ( ) eta M ( -) pnten adieapena espaioan Geometia P ( ) P-tik YZ planoa dagoen distantia. P-tik XZ planoa dagoen distantia. P-tik XY planoa dagoen distantia. OP () V an egindako eagiketak mod beean egin daiteke R -ko elementekin. EKTORE SKE TEN KOORDENTUK a b Iksten dene dibide ( ) eta ( ) pntak emanik a b beteten da. ea b a Koodenatak (a a a ) eta ( b b b ) badia (b - a b - a b - a ) ( -) (- - ) Modl eta noabide bedinak baina noanta akakoak ZUZENKI TEN ERDIKO PUNTU (a a a ) eta ( b b b ) ianik ediko M pntaen koodenatak a b a b a b M ( ) eta ( ) en ediko pnta M ( ) -5-
RIKETK Geometia. Idi honetako pnten koodenatak haek dia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lot pnt bakoita bee koodenatekin.. Foga ea ( 5 7) (- ) eta (9 8 ) pntak leokatta dadela.. Kalklat a eta b -en balioak ( -) ( -) eta ( a b) pntak leokatta egon daiteen.. ( 7 ) eta ( - 7) eagt enkia hi ati bedinetan atitan dten pnten koodenatak aki ita. 5. ( -7 ) P(5 ) P ediko pnta dela jakinik akit pntaen koodenatak --
GEOMETRI FIN Geometia ZUZENREN EKUZIOK ESPZION Zen bat deteminateko bi pnt beha dia edo bestela pnt bat eta noabidea. Noabide bektoeai bektoe entailea esaten aio. Demagn ena (a a a ) pnttik pasaten dela eta bektoe entailea ) dela. ( Z a P Zen hoi ea askotan adiea daiteke. dibide baten bide aaldko ditg ea gtiak. O Y Ha ditagn ( -) pnta eta ( ) bektoe entailea. X Goiko idian honako ha dg OP O P edo p a k. Ekaio bektoiala ( ) (a a a ) k. ( ) Esate bateako ( -) pnta den eta ( ) bektoe entailea den enaen ekaio bektoiala ea da ( ) ( -) k. ( - ) Ekaio paametikoak a a a k. k. k. dibidetat hat dgn enaen ekaio paametikoak haek iango dia k k k Ekaio jaaita Ekaio paametikoetan eta eo e badia hi ekaioetan k banandta eta adibideaekin jaait ondokoa lotko dg a Ekaio labta a a Pnta ( -) ; enaen ekaio jaaitetatik abiat haek lo ditakeg ( ) ( ) 9 Kas honetan ekaio labtak -aekiko lot ditg 7 7-7-
Geometia -8-7 7 D D Ekaio ookoa edo ekaio inpliitak eko bi ekaio labtak mod honetan adieaten dia ea ookoean dat catesiaen ekaioak OX adataen ekaioa OY adataen ekaioa OZ adataen ekaioa Z Y O X iketa ebatia Idati t t t ena ea jaaitan eta ea inpliitan. kit enaen bi pnt eta bektoe entailea. Ea jaaitan Ea inpliitan 5 ektoe entailea ) ( ) ( Pnt bat (- ) este pnt batk ekaio paametikoan t-i balioak emanda atea ditakeg; adibide t bada 5 ; eta 5. ea (5 5) iketa ebatia 8 9 5 ena emanda ein da bektoe entailea? dieai ea paametikoan eta ea jaaitan ektoe entailea ) 58 ( ) ( Ea paametikoan t t t 8 9 5 Ea jaaitan 8 9 5
Nola akit ea inpliitan adieaitako bektoe entailea? D D Geometia en baten Fomla gaantitsa i j k dibidea 7 enaen bektoe entailea honela 7 kalkla daiteke i j k i k j ( ) iketak. Idati () (-) λ (-) enaen ekaio inpliitak.. Deteminat () pnttik pasatta () bektoe entailea den enaen ekaio labtak.. Idati () pnttik pasatta bektoe entailetat OX adata den enaen ekaio paametikoak eta labtak. Idati hi adat catesiaek deteminaten ditten enen ekaio paametikoak. 5. Lo ita ondoko enen bektoe entaileak. Demagn ena. a) dieai ea paametikoan b) Eistiten al da a paametoaen balioik non (a-a) pnta enean dagoen? -9-
Geometia i pnttatik pasaten den ena Demagn enaen bi pnt eagten ditgla ( -) eta ( - ). Zein da beaen ekaioa? Pnttat bata ein bestea ha daiteke; adibide ha deagn (-) ektoe entailea ( ( )) ( 5 5) ektoe hoen popotional bat ee ha deakeg esateako ( ) OZ OX OY -5 5 Zenaen ekaioa hae da iketak. kit (a ) eta ( ) pntetatik pasaten den enaen ekaio ookoa edo catesiaa. a al dago a-en balioik non ( ) pnta enean dagoen?. Eantna aaoit.. en bat () pnttik pasaten da eta (-) eta (5) pntetatik pasaten den enaen paaleloa da. Lo ea enaen ekaioa. 5. Lo ea P(--) pnttik pasatta enaen paaleloa den enaen ekaioa. I ZUZENEN POSIZIO ERLTIOK Eman ditagn bi en eta. -en deteminaioa ( ) pnta eta ) ( -en deteminaioa ( ) pnta eta ( ) Ze posiio elatibo ian ditake bi en hoiek? I) k i bektoe entaileak popotionalak badia enak kointidenteak edo paaleloak dia. edo i kas hoiek beeiteko nahikoa da en bateko edoein pnt hatea eta beaen koodenatak beste enaen ekaioan odekatea. iketa. te ita bi kas haek a) eta t b) eta t 7 5 t 7 t --
Geometia -- k II) i bektoe entaileak linealki independenteak badia edo popotionalak e badia enek elka ebakiten dte edo elkaekin gtaten dia. i kas hoiek beeiteko bekoea kontsideaten dg eta ) ( det kalklaten dg II-a) ada eta bektoeak linealki dependenteak dia. Odan enak plano beean dade eta ebaki egiten dte elka. iketa. Detemina ea bi en haen posiio elatiboa II-b) bada hi bektoe hoiek linelaki independenteak dia. Odan enak e dade plano beean eta gtat egiten dia elkaekin. iketa. Detemina ea bi en haen posiio elatiboa ; ) ( det eta ; ) ( det 5 eta
Geometia PLNOK ESPZION Plano bat deteminateko pnt bat eta bi noabide desbedin beha dia. Noabide hoiek bi bektoe linealki independente ian beha dte eta planoaen bektoe entaileak deite. (a a a ) pnta eta ) eta ( ) bektoeak diten planoa ( kontsideatko dg ( ) Z O t λ P Iks ditagn plano hoi adieateko enbait ea. Goiko idian honako ha dg OP O P edo OP O t λ O Y Ekaio bektoiala X ( ) (a a a) t.( ) λ. ( ) Ekaio paametikoak iketa. ea Kontsideat ( ) planoa (-) () eta (5) ianik. Deteminat a)planoaen ekaio bektoiala eta ekaio paametikoak b)planoko bi pnt e dienak Ekaio ookoa catesiaa edo inpliita eta P bektoeak plano beean dade; bea linealki dependenteak dia. Deteminante hoen gaapena eginda honelako ekaio bat loten da D a a a t λ t λ t λ Heina ( P ) eta det ( P ) t eta λ -i balioak emanik planoaen pntak loten dia. Ekaio hoi planoaen ekaio ookoa catesiaa edo inpliita deito dibidea. Idati P(- 5) pnttik pasatta () eta () bektoeek deteminaten dten planoaen ekaio ookoa. 5 da. --
Hi pnt e leokatek deteminaten dten planoaen ekaioa iketa ebatia. Ian bedi ( ) (- ) eta ( ) pntak. a)egiata ea e dadela leokatta b)kit deteminaten dten planoaen ekaioa ( ) a) i bektoe hoiek e dia ( ) popotionalak; bea hi pntak e dade leo beean. b) Pnttat ein ha deakeg i bektoe entaileak eta OZ - - - OX Geometia.5.5 OY Ekaio segmentaioa Plano batek OX OY eta OZ adatak (a) (b) eta (c) pntetan ebakiten badit hene hen hae da plano hoen ekaioa a a b a a b c c Esate bateako adatak ( ) ( ) eta ( ) pntetan ebakiten diten planoa ha da Plano beeko hi bektoe (la pnt) linealki dependenteak dia iketa ebatia. Egiata ea ondoko la pntek plano beean dadela edo koplanaioak diela () () () eta D (--) ( ) ( ) det( D) D D ( ) ea eta D pntak plano beean dade. Gainea leokatta e dadene laki bat osatko dte. --
Geometia PLNO EREN EZ DUDEN LU PUNTUK OSTZEN DUTEN TETREDRO Pntak hinaka hatta plano bana osaten dte. Lagaen pnta plano hoetatik kanpo baldin badago lakoteak tetaedo bat osatko d. dibidea. Ha ditagn (-) () () eta D () pntak. Plano beean e badade ian beha d det( D) ( ) ( ) D ( ) iketa det( D) ki ea m-en balioa ondoko la pntak koplanaioak ian daiteen ( ) ( -) ( ) D(- m) Zein da plano hoen ekaioa? 8 - - X D.5.5 Y.5.5 Z --
RIKETK. Eke eta eskin tabeko elementak elaiona ita. dieai elaioa maa bide. Geometia ( ) Zena Pnta ektoea t s Planoa. Zenbat pnt beha dia en bat deteminateko? Nolako pntak ian beha dia? keat behaekoak eta adieai ena bi ea ebedinetan.. Ian bedi idiko kboa. Demagn kboaen aldea dela ; dela. a) Lo ea eta enen ekaioak. b) Nola dade elka eta enak? Eta eta? aoit. Plano beean dadenean akit planoaen ekaioa. c) Zein da GFE planoaen ekaioa? eta eefeentia-sistema { O O O O}. Posible denean idati ondoengo kasen adibide ea bana eta aald bee esanga geometikoa. a) i ekaio eta hi eeagneko sistema bateagai ehata b) i ekaio eta hi eeagneko sistema bateagai indeteminata. c) i ekaio eta hi eeagneko sistema bateaeina. d) Hi ekaio eta hi eeagneko sistema bateagai ehata. 5. dieai algebaikoki plano bat. kit plano hoen hi pnt e leokatak eta adieai planoa beste ea batean.. keat la pnt plano ebedinetan dadenak. Ze idi geometiko osaten dte? La pntek enbat plano ebedin deteminaten ditte? 7. Idat ita a) i en paaleloak b) i en e paaleloak eta plano beean dadenak. Ze deteminaten dte elka?. c) i en e paaleloak eta plano ebedinetakoak. Nola dade espaioan? -5-
Geometia ZUZEN TEK ET ZUZEN HORRETN EZ DGOEN PUNTU TEK DETERMINTZEN DUTEN PLNO. Ian bite ena eta P pnta enetik bektoe entailea eta pnt bat ditakeg. Gainea P bektoea kalkla daiteke. ea baditg planoa deteminateko beha ditgn hi elementak ( P ) P dibidea. Deteminat ena banean edkita P () pnttik pasaten den planoaen ekaioa -en pnt bat; adibide ( -) -en bektoe entailea ( ) P ( ) 7 5 ELKR MOZTEN DUTEN I ZUZENEK DETERMINTZEN DUTEN PLNO. Planoaen bektoetat eta -en bektoe entaileak ha daiteke eta pnttat ein - en banean dagoen pnt bat (P). dibidea. Ian bite t t t eta t t t enak. a)egiata ea elka pnt bat moten dtela; ha da planokideak diela. P b)kit deteminaten dten planoaen ekaioa. a) Lehen galdea bi eatan atetko dg I) enaen elementak () pnta eta ( ) bektoea enaen elementak () pnta eta () bektoea ea ( ) det ( ) Plano beean dade --
Mod honetan eginda ebaki pnta kalklat daiteke eta. M ( ) Geometia II) i enek paameto desbedinekin adieaita ( t eta s) sistemaen ebapena egingo dg. t s t s Sistema t s bateagai ehata t eta s b) Planoaen ekaioa Planoaen pnt bat; adibide ( ) i bektoeak ( ) eta () iketak t s. aona ea t s t s adieaten den ala e. ekaio sistemak plano bat. Egiata ea ( 8) eta ( ) pntak λ enean daden ala e. λ. planoa emanda aki ita plano hoetako leokatta e daden hi pnt.. Idati hi plano catesiaen ekaio paametikoak. 5. Idati XY planoaen paaleloa den plano baten ekaioa XZ YZ. P ( ) pnta eta ena planoaen baan dade. kit planoaen ekaioa -7-
Geometia -8- D D ; D D M M D D D D 7 5 edo edo Sistema bateagai indeteminata. Planoak ebakitaileak dia hots been ateko ebakida en bat da. 7. P ( 5) eta M ( ) pntak planoan dade eta () bektoea planoaen paaleloa da. Lo ea planoaen ekaioa. 8. Lo ea P ( ) pnta baan den eta s eta enen paaleloa den planoaen ekaioa 9. Eman ditagn (-5) () (7) eta D (-5) pntak. a) Egiata ea tetaedo bat osaten dtela. b) ki ea tetaedoaen alde baten ekaioa. c) ki ea tetaedoaen apegi baten ekaioa. I PLNOREN POSIZIO ERLTIO Ian bite planoak. M matiea eta M matie abalda idatiko ditg Geta daitekeen kasak I) ang (M) ang (M ) i planoak kointidenteak dia. dibide II) ang(m) eta ang (M ) dibide Sistema bateaeina. E dago pnt komnik. Planoak elkaen paaleloak dia. III) ang(m) eta ang (M ) 8 eta 9 7 5
Geometia -9- D D D ; D D D M M 7 5 5 Sistema bateagai indeteminata. Planoak kointidenteak dia. Hi planoak ebakitaileak ian en batean i plano kointidenteak ian eta higaena ebakitailea. Sistema bateagai deteminata. Solio bakaa. Hi planoek elka pnt bat ebakiten dte. ; ;. P ( ) HIRU PLNOREN POSIZIO ERLTIO Ian bite planoak. M matiea eta M matieak ondokoak dia Geta daitekeen kasak I) ang (M) ang (M ) II) ang (M) ang (M ) Sistema bateagai indeteminata. Plano hoiek en komn bat dte. i posibilitate II-a) II-b) III) ang (M) ang (M )
Geometia -- i plano paaleloak dia eta higaena ebakitailak. 8 E dago plano paaleloik. Plano ebakitaileak dia eta binaka en bat ebakiten dte elka. Hi planoak desbedinak eta paaleloak i plano bedinak eta higaena paaleloa. ) ( a a a a a a a a a IV) ang (M) ; ang (M ) Sistema bateaeina. ang (M) dene plano ebakitaileak dade. i posibilitate IV-a ) IV-b) V) ang (M) ; ang (M ) i posibilitate V-a) V-b) iketak. tet hi plano haen posiio elatiboa a paametoaen balioen aabea. edin ondoko hi planoekin
Geometia ZUZEN T ET PLNO TEN POSIZIO ERLTIOK Ian bite D D ena eta D planoa. Hi ekaio eta hi eeagneko sistema osaten dg. M eta M matieak ondokoak iango dia M ; M D D D Geta daitekeen kasak I) ang (M) ang (M ) dibide Sistema bateagai deteminata. Solio bakaa. Zenak eta planoak elka pnt bat ebakiten dte. ena eta planoa. II) ang (M) ; ang (M ) Sistema bateaeina. E dago pnt komnik. Zena eta planoa elkaen paaleloak dia. dibide ena eta planoa III) ang (M) ang (M ) Sistema bateagai indeteminata. Zena planoaen baan dago. dibide ena eta planoa --
Geometia -- RIKETK. tet plano haen ateko posiio elatiboak eta ; 5 ) eta ; ) eta ) d m m c a λ µ µ λ e) Ian bite b a eta ; planoak. Eistiten al dia a eta b paametoen balioik non hi planoak en beean ebakiten dien? Eantna eekoa bada aaoit. Eantna baiekoa bada akit paametoen balioak.. tet ondoko enen posiio elatiboak t t t b a - s eta ) - s eta ). Detemina ea 7-5 ena µ λ µ λ µ λ 8 5 7 5 plano baan dagoen ala e.. Lo ea K-en balioa ondoko enak elkaen ebakitaileak ian daiteen eta kalklat ebaki-pnta. λ λ λ λ λ eta ) - k s eta - 5 a) s k b 5. ki ea D-en balioa D enak a) OX adata ebaki dean. b) OY adata ebaki dean.. kit a eta b-en balioak - b s eta 5 a enak elkaen paaleloak ian daiteen. 7. Ian bite eta enak ; a tet a paametoaen balioik eistiten den einetaako bi enak ebaki e dien.
Geometia 8. te ita ondoko en eta planoen ateko posiio elatiboak m paametoaen aabea. Elkaen ebakitaileak dien kasetan akit ebaki-pnta λ a) λ eta m λ - - b) eta 8 m - (-) D 9. D paalelogamoan lo ita D epinaen koodenatak. (-5) (-). Deteminat ( ) pnta eta diten planoaen ekaioa. ena banean. Deteminat ena banean den eta 8 s - - enaen paaleloa den planoaen ekaioa.. Lo ea koodenat-jatoi pnta banean den eta 5-- planoaen paaleloa den planoaen ekaioa.. Lo ea ( - -7) pnta banean den eta -5 planoaen paaleloa den planoaen ekaioa.. 5- planoak hi adat catesiaak moten dit. Non? 5. 5- planoak nola moten d XY plano catesiaa? Eta YZ planoa?. kit m paametoaen balioa ( ) ( ) (- ) eta D (m m- ) pntak a) planokide ian daiteen. b) tetaedo bat osa deaten. 7. Detemina ea ( - ) eta ( ) pntetatik pasat eta ( ) bektoeaen paaleloa den planoaen ekaioa. 8. kit a eta b paametoek bete beha ditten baldintak P(a b) pnta ( -) ( ) eta ( ) pntek deteminaten dten planoan egon dadin. --
GEOMETRI METRIKO Geometia I EKTOREREN RTEKO IDERKET ESKLRR ektoeen ateko eagiketa beei bat da. i bektoeen bidekada eskalaai enbaki eeal bat dagokio. α ai eta bai cosα Ea honetan definiten dg enbakiak dia; bea....cosα enbaki bat da. Hotik datokio hain en iena eskala hita. dibidea. Eman deagn eta diela. α.. cos. Ondoio gaantitsa i bektoe pependiklaak badia haien bidekada eskalaa eo da.. Ian ee cosα cos9 da. Eta aldeanti Nlak e dien bi bektoeen bidekada eskalaa eo bada bektoeak pependiklaak dia. Popietateak.- i bektoeen bidekada eskalaa hae da bektoe baten modlaen eta beste bektoeak lehenengoaen gainean soten den poiekioaen ateko bidekada...(.cosα). ( en poiekioa O - en gainean) α M. cosα en poiekioa en gainean. OM ngela oota bada emaitaen eina iango da eta kamtsa bada eina iango da..- Tkate-popietatea.. --
Geometia - α Ian ee...cos( α).. cos( α). een cos( α) cos α baita..- anate-popietatea. ( w ).. w. Elkate-popietatea ( λ ). λ (. ) λ edoein enbaki eeal ianik. dibide ( ). (. ) dieapen analitikoa Demagn oinaia otonomala dela eta oinai hoetan eta bektoeen osagaiak ( ) eta ( ) diela hene hen. Ondokoa beteten da Esateako ( - ) eta... ( ).. 5... () bektoeak emanda O α ( ) ( ) M i bektoe pependiklaak badia haien bidekada eskalaa eo da; ha da.... dibide ( - ) eta ( ) bektoeak pependiklaak dia een. (-).. baita. KONTUN IZN! ideketa eskalaaen hi definiio I)...cosα II).. OM III).... (oinaia otonomala den kasan) Emaita ZENKI ERREL T da. -5-
iketak. Oinai otonomal batean ( - ) eta ( ) emanda kalklat bektoeak Geometia. (- 8 ) (- -7 -) eta (9 - ) pntak emanda foga ea eta bektoeak pependiklaak diela.. ( ) ( -5) eta ( - ) pntak epintat hatta foga ea tiangel ena osaten dtela.. kit m-en balioa ondoko bektoeak otogonalak (pependiklaak) ian daiteen ZENIT PLIKZIO a ). ; b). ; c)( ). a ( ) ; b ( m ) ektoe baten modla Y dibide ( ) bektoeaen modla a -en bide adieaten da eta ondoko balioa da a ( ) Ookoean ( ) bektoe baten modla hae da - Z X a ( ) ektoe nitaioa. balioko modla dten bektoeei bektoe nitaio deiten aie. bektoe bat emanda ein da -en noabide bebea eta noanko bebea diten bektoe nitaioa? Ondoko bektoea da dibidea. Demagn ( ) dela. Modla ( ) -en paaleloa den eta noanko bea den bektoe nitaioa hae da ( ) --
i pnten ateko distantia Geometia Planoko eta pnten ateko distantia pnt biek deteminatiko bektoe finkoaen modla da. Eta d( ) bide adieaiko dg. Y (b b b ) ( b a b a b a) d( ) ( b a b a b a ) ( ) ( ) (a a a ) X Esate bateako (- ) eta ( ) pntak badia Z d( ) ( ) ( ) ( ) 5 i bektoeen ateko angela Ian bite ( ) eta ( ) bektoeak oinai otonomal batean. Ondokoa beteten da α...cosα estalde.... cosα...... dibidea ( ) eta (5 ) badia cos α...5 ( ). ( ).. 5..8 da eta α ac cos ( 8) 9º 58 iketak. Oinai otonomal batean ( ) eta ( ) bektoeak emanik kalkla ita a). ; b) ; c) ; d) cos( ). Lot ( ) bektoeaen paaleloa ian eta modla den bektoea.. Kalkla ea ein den P (- ) eta Q ( - ) pnten ateko distantia -7-
PLNO TEN EKTORE KRKTERISTIKO Geometia Demagn D planoa. ( ) ( ) bektoeai bektoe kaakteistikoa deiten aio eta planoaekin pependiklaa da. dibide planoaen bektoe kaakteistikoa ( - ) da eta -en pependiklaa da. ( ) iketa Lo ea bektoe bat non - planoaen pependiklaa ianik bee modla dena. PERPENDIKULRTSUN ET PRLELOTSUN LDINTZK i en Paaleloak bektoe entaileak popotionalak dienean. dib. eta s Pependiklaak bektoe entaileen ateko bidekada eskalaa denean. dib. eta s -8-
Geometia i plano Paaleloak bektoe kaakteistikoak popotionalak dienean. dib. 5 eta Pependiklaak bektoe kaakteistikoen ateko bidekada eskalaa denean. dib. 5 eta Zen bat eta plano bat Paaleloak bektoe entaileaen eta kaakteistikoaen ateko bidekada eskalaa denean. Ha da... ( ) ( ) dib. 5 planoa eta ena. Pependiklaak bektoe entaila eta kaakteistikoa popotionalak dienean. Ha da ( ) dib. 5 planoa eta ena. ( ) -9-
Geometia -- α s ) ( ) (...... cos α α...... cos α...... sin ) cos(9º α α ) ( α α o 9 ) ( - eta 7 5 I ZUZENEN RTEKO NGELU eta s enek osaten dten angela eta bektoe entaileek osaten dten angel bea da. I PLNOREN RTEKO NGELU i planoen bektoe kaakteistikoek osaten dten angela da. Demagn bi planoak D eta D diela. Zea beteten da ZUZEN T ET PLNO TEN RTEKO NGELU α angela -en bektoe entaileak eta planoaen bektoe kaakteistikoak osattako angelaen osagaia da. iketak. ki ea ondoko bi enek osaten dten angela. ki ea ondoko enak eta planoak osaten dten angela - s eta 7
Geometia -- PH L M P () ) ( ) 8 5 ( M ) 8 5 M ( PHL M d 8 9 9 ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( PM M P d P d iketa ebatia ila ea P( ) pntaen poiekio--pnta planoaekiko. P pnttik pasat eta planoaekin pependiklaa den enaen bektoe entailea emandako planoaen bektoe kaakteistikoa da ha da ( - ). -en ekaioa honela kalklaten dg Oain kalkla deagn enaen eta planoaen ateko ebaki-pnta (M) ondoko ekaio sistema ebatita PUNTU TETIK PLNO TERINOKO DISTNTZI Ha ditagn aeko aiketa ebatiaen P( ) pnta eta planoa eta kalkla deagn beaien ateko distantia. i eatan egingo dg aaoit eta fomla bat eabili. I) M poiekio-pnta kalklaten dg aeko aiketan emandako pasak jaait. P pnttik planoa ateko distantia eta P-tik M pnta atekoa bat dia; ha da ) 8 ( ) 8 5 ( PM
II) Fomla eabilita D planoa eta (a a a ) pnta emanda Geometia d ( ). a. a. a D Ge adibidean eta P ( ) diene geo d( ). ( ).. ) ( ) 8 8 iketa Kalklat P( - ) pnttik - planoa dagoen distantia. Egi bi eatan. I PLNO PRLELOEN RTEKO DISTNTZI Kalkla deagn eta plano paaleloen ateko distantia. Ha deagn -en pnt bat esateako P (-) eta kalkla deagn P-tik -a ateko distantia d PH-L..( ). d( ) d( P ) ( ) 8 9 ZUZEN ET PLNO PRLELOEN RTEKO DISTNTZI PHL d ê Eman ditagn - planoa eta / ena. aoit paaleloak diela. Oain distantia kalklatko dg. kea deagn -en pnt bat (kont e planoaena!) adibide P(). Ondoen aski da P-tik planoa ateko distantia lotea; ha da... d( ) d( P ) ( ) --
PUNTU TEN SIMETRIKO PLNOREKIKO Geometia Kalkla deagn ( ) pntaen simetikoa planoaekiko pnta akit beha da eta hoi ondoko hi pasak emanda lo daiteke I) -tik pasat eta -en pependiklaa den ena bilat. II) Zena eta planoaen enen ateko M ebaki-pnta akit. M H L () III) M pnta eta -n ediko pnttat hat. Ha da I) -en bektoe kaakteistikoa () da; bea en pependiklaaen entailetat () ha daiteke () () II) planoaen eta enaen ebaki- pnta kalklateko ondoko ekaio-sistema ebatiko dg M ( ) III) Demagn -en koodenatak ( ) diela. M pnta ediko pnta dene ; eta ; eta ( ) --
Geometia PUNTU TEN SIMETRIKO ZUZENREKIKO Kalkla deagn ( ) pntaen simetikoa enaekiko pnta akit beha da eta hoi ondoko hi pasak emanda lo daiteke I) -tik pasat eta -en pependiklaa den planoa bilat. II) Zena eta planoaen enen ateko M ebaki-pnta akit. III) M pnta eta -n ediko pnttat hat. Ha da I) -en bektoe kaakteistikoa eta -en entailea bektoe bea da (). ea p HL - - - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M () () D () dene D ; D -8-8 II) planoaen eta enaen ebaki- pnta kalklateko ondoko ekaio-sistema ebatiko dg 8 M ( 5 ) III) Demagn -en koodenatak ( ) diela. M pnta ediko pnta dene 5 ; eta ; 5 eta (5) --
Geometia iketak. Lo ea P() pnttik pasat eta -- planoaen pependiklaa den enaen ekaioa. 7. Lo ea P(-) pnttik pasatta enaen pependiklaa den planoaen ekaioa. 9 5. (-) eta (-) pntek enki bat mgaten dte. ki ea enki hoen ediko pnttik pasaten den plano pependiklaaen ekaioa.. ki ea (-) pntaen simetikoa --5 planoaekiko. 5. ki ea () pntaen simetikoa enaekiko.. Deteminat enak - planoaen gainean den poiekio otogonala. 7. Nola dade elka ena eta -- planoa? Paalelo baldin badade kalklat distantia. Eta pnt bat moten badte kalklat angela. 8. ekoaen bedina baina ena eta - planoa ianda. 9. Idati plano baten ekaioa non bee bektoe kaakteistikoaen koodenatak e dien nlak. Ondoen akeat planotik kanpo dagoen pnt bat. Dat hoiekin kalkla ea planoa apegitat eta pnta epintat den kboaen bolmena. -5-
IDERKET EKTORIL Geometia Definiioa Ian bedi { i j k } delakoa V -en oinai otonomal bat eta ian bite eta bi bektoe oinai hoetan ) eta ) koodenatak dittenak. ( ( eta bektoeen bidekada bektoiala ean adieaten da eta V -ko beste bektoe bat da i j k ane-eagiketa bat da V V V Defini ditagn bektoe hoen modla noabidea eta noankoa. Modla. sin ( ) Intepetaio geometikoa. Demagn eta bektoe linealki independenteak ditgla eta kontsidea deagn hoien bide eaikitako D paalelogamoa. Honako ha beteten da sin ( ). D. sinα aina D. sinα h dene hae idat deakeg. h D en aalea ea eta bektoeen ateko bidekada bektoialaen modla hoien gainean eaikitako paalelogamoaen aaleaen bedina da. Noabidea. eta bektoeen noabideen pependiklaa da. Noankoa. -tik -a angel tikiena ibili biaatean koto-kentekoak aeant dena. ( ) < 8 ( ) > 8 bada bada goant beheant --
Popietateak I) aldin edo badia da. aoit ea eta e-nlak baina paaleloak edo linealki dependenteak dienean dela. i j k i j k Modla eta noabidea II) ( ) een bedina dte baina noankoa akakoa. III) anate popietatea ( w) ( ) ( w ) IV) Elkate nahasia k ( ) ( k ) ( k ) non k R den. Esateako 5 ( ) (5 ) (5 ) Geometia iketak.- Kalkla ea i j k eta i j k bektoeen ateko bidekada bektoiala. Ondoen egiatat ea ateaten den bektoea pependiklaa dela bai - ekin bai - ekin.- ki ea ( ) ( ) eta ( ) pntek deteminaten dten planoaekin pependiklaa den bektoe bat..- Zen bat P( ) pnttik pasaten da eta bee bektoe entailea ( ) eta () bektoeekin pependiklaa da. Lo ita en hoen ekaio paametikoak. PLIKZIOK I) Tiangel baten aalea Ian bite ( ) ( 5 -) eta (- -) pntak. Lo ita idiko D paalelogamoaen aalea eta tiangelaen aalea. eta badia D paalelogamoaen aalea eginda kalklaten da. Kalkla deagn bada ( ) ( ) i j k i 5 j k ea paalelogamoaen aalea ( 5) ( ) 5 5 tiangelaen aalea paalelogamoaen aaleaen edia da; ha da 5 77 ; hota -7-
Geometia Poligono baten aalea Edoein poligonoen aalea kalkla deakeg tiangeltan deskonposat geo. Poligonoaen aalea tiangel gtien aaleen bata iango da. II) i enekin pependiklaa den bektoe bat Demagn bi enen bektoe entaileak eta diela. eaiekin pependiklaa den bektoe bat iango da. Hat bi akat edo boligafo. Jai posiio desbedinetan eta egiatat beti egongo dela akat bien pependiklaa den bektoeen bat eta segmenten bat. III) i planoekin paaleloa den bektoe bat Demagn bi planoen bektoe kaakteistikoak ( ) eta ( ) plano hoiekin paaleloa den bektoe bat da. diela. i iketa Hat bi folio elka en bat moten dtenak. Konta aite bi folioen bektoe kaakteistikoen pependiklaa den bektoea enaen bektoe entailea dela. eta planoekin paaleloa den bektoe bat edo bi plano hoiek deteminaten dten enaen bektoe entailea gaa bea da. Ha da i j k enaen bektoe entailea i j k ( ) Lo ea eta enekin pependiklaa den bektoe bat. da. -8-
Geometia IV) Pnt batetik en bateainoko distantia i ea ebedinetan egingo dg Ian bite enaen R pnta eta bektoe entailea. Zenekoa e den P pnttik eneako distantia kalklat beha dg RP eta bektoeek deteminatiko paalelogamoaen aalea RP da. aina paalelogamo baten aalea bee oinaiaen eta alteaen (dist (P )) ateko bidekada ee bada. legia. d ( P ) aleaen bi adieapenak bedind eta d (P ) bakand bilatiko distantia lotko dg d ( P ) RP dibidea. Kalkla deagn P( ) pntaen eta ( ) ( -) k ( ) enaen ateko distantia. Zenaen pnta R ( -) Zenaen bektoe entailea ( ) RP () RP i j k i j k RP 9 d ( P ) 7-9-
Geometia P pntak enaen gainean den poiekio otogonala lot geo (P pnta) ea beteko litateke d(p ) d( P P ). Hoetaako hengo pasak egingo ditg -en pependiklaa ianik P pnta banean dakan planoa lotko dg D P dene geo () D ; D - ea P pnta lotko dg hots -en eta -en ateko ebaki pnta. Hoetaako ( ) ( -) k ( ) edo k k k (k) (k) (-k) ; k / P ( P P ( ) ) 8 ( ) d ( P ) P P 9 9 9 9 7 V) i en paaleloen ateko distantia P d s Zen batetik edoein pnt akeat (P) eta kalklat P-tik beste enea dagoen distantia. iketa. Idati bi en paaleloak eta kalklat beaien ateko distantia. --
Geometia Definiioa IDERKET MISTO ideketa mistoa V -en hi bektoe askeen ateko eagiketa bat da. Lehendik eagnak ditgn bideketa eskalaetik eta bideketa bektoialetik abiat definiten da. [ w ] ean adieaten da eta emaita enbaki eeal bat da mod honetan definiten dena [ w ]. ( w ) Oinai otonomal batean eagiketa hoen emaita eta ondoko deteminanteaen balioa bat dato dibidea. [ w ] ( ) ( 5) eta w () bektoeak emanda kalklat [ w ] bideketa mistoa. Zein iango da [ w ] [ w ] 5 8 bideketaen emaita? Zegatik? w w w Popietateak. ektoe bat nla bada bideketa mistoa da. ektoeak planokide edo linealki dependenteak badia bideketa mistoa da. Zegatik? Intepetaio geometikoa Demagn eta w bektoe linealki independenteak ditgla eta kontsidea deagn hoien gainean eaikitako paalelepipedoa. Honako ha beteten da [ w ].( w ) w cos α aina dakigne w oinaiaen aalea S da; eta cos α aaoiaen definiioaen aabea cos α h ea honako ha idat deakeg --
[ w ] S. h Paalelepipedoaen bolmena. Geometia dibidea. (5-) ( -) D(--) eta E(5) epinak emanda kalkla ea eaikiten dten paalelepipedoaen bolmena. ( ) ; D ( ) ; E ( ) olmena 5 PLIKZIOK I) Tetaedo baten bolmena olmenaen fomla. oinaiaen aalea ( S ). altea t Iks deakene tetaedoaen oinaiaen aalea paalelepipedoaen oinaiaen aaleaen edia da ( S t S p ) eta altea bebea dte. ea tetaedoaen bolmena. [ w ] S p. h. paalelepipedoaen bolmena. dibidea Lo ea epinak ( -5) ( -) ( - -) eta D ( ) pntetan diten tetaedoaen bolmena. ( ) ; D ( ) ; E ( 8) 8 85 ; olmena. 85 -- 85
Geometia iketak. Lo ea ( 57) (7) eta w () bektoeen gainean eaikitako paalelepipedoaen bolmena. Em.. Emanik ( ) ( - ) ( - ) eta D ( ) pntak egiatat planokideak e diela. Ondoen lot laon atean deteminatiko tetaedoaen bolmena eta apegiaen aalea. Em. V S iketa ebatia Tetaedo baten hi epin ( ) ( ) eta ( ) dia. Lagaen epina D hengo enean dago kit D epina jakinik tetaedoaen bolmena dela D ena ea paametikoan adieaiko dg t t t olmena [ D] D pnta t paametoaen aabea mod hoetakoa iango da D ( t t --t) ( ) ; () ; D ( t t t) ( ) ( ) ( )( ) t t t t t t t D epinaen koodenatak ; () ; - - D ( -) t --
Geometia II) i en gtaten ateko distantia minimoa i enak eta elkaekin gtaten dien kasan fomla ooko bat ondoiotatko dg bien ateko distantia loteko. Hoetaako eneko pnta eta bektoe entailea eta eneko pnta eta V p. d( ) bektoea kontsideatko ditg. eta bektoeek eatiko paalelepipedoaen bolmena [ ] bideketa mistoaen balio absolta da. aina bolmen hoi oinaiaen aaleaen eta alteaen ateko bideketa egine ee lo daiteke. ea dibidea. Kalklat eta enen ateko distantia. Zenen posiio elatiboa deteminatko dg. -en pnt bat eta bektoe entaile bat ( ) eta ( ) -en pnt bat eta bektoe entaile bat ( ) eta () ( ) det( ) Oain kalkla deagn beaien ateko distantia minimoa [ ] d ( ) [ ] Gtaten dia i j k i j k k j i i k ( ) ( ) d ( ) ea [ ] iketa eta ( ) ( ) k ( ) enak emanik egiatat gtaten diela eta kalklat beaien ateko distantia minimoa. Em. 8 9 --
EGI L GEZURR? RRZOITU Geometia.- eta paaleloak badia.. da.- Zen bik (espaioan) elka ebakiten e badte plano beean dade.- ( ) pntak eta ( ) eta w ( 8 ) bektoeek plano bat deteminaten dte.- Plano baten ekaioa deteminatik dago bee bektoe kaakteistikoa eta planoan dagoen pnt bat eagnak badia.- planoa da 7.- eko planoa eta λ planoa bedinak dia µ 8.- a.( a b ) eta b.( a b ) dia 9.- ( - -7) pnta enean dago 7.- planoa eta 7 ena pependiklaak dia.- planoa OX adatai paaleloa da -5-
Geometia.- OY adata da. eta bektoeen modlak emanik posible al da. 7 iatea?. Zegatik? D.- Eman ditagn ena eta en hoetatik kanpo dagoen a b c d P ( ) pnta. Egia al da plano bat deteminaten dtela? Hoela bada deskibat ea aaoitan planoaen ekaioa akiteko poeda.- Honako baietapen ha Plano bat deteminatik dago bee banekoak dien hi pnt eagnak baldin badia. Egia al da kas gtietan ala hi pntei bko baldinta gehiagoik behaekoa al da? Jstifika ea eantna. Egia den kasetan deskiba ea planoaen ekaioa kalklateko poeda --
Geometia GLDERK.- i j k k eta w i j bektoeak emanik kalklat a) ( w ) ; b).( w ).- () (-) eta (-) pntak emanik planoaekiko otogonala den bektoe nitaio bat aki ea.- Idat ea ondoko baldintak bete beha diten enaen ekaioa enak () koodenatak diten pnta edki beha d. Zenak e d pnt komnik 5 planoaekin D.- Ian bite ena eta P( ) en hoetan e dagoen a b c d pnta. Deskibat enaen bitateko P pntaen simetikoa kalklateko poeda 5.- al ea nola kalklaten den plano baten eta planoa kanpoko pnt baten ateko distantia.- Ian bite ( -) eta ( a b) pntak. Eistiten al da a eta b paametoen balioik non P ( ) pnta eta -tik pasaten den enean dagoen?. Eekoan aaoit eantna. aiekoan a eta b paametoen balioak kalklat. 7.- Ondoko ekaioa den ena emanik t ; t ; t idat ea honen paaleloa den enaen ekaioa P() pnta edki beha e delaik 8.- Demagn eta bektoeak ditgla. i w beaien ateko bidekada bektoiala. Zenbat balio d eta w bektoeen ateko bidekada eskalaak? Zegatik? 9.- ena planoaekin pependiklaa da eta ( ) pnta enean dago. Hoe gain () eta ( ) bektoeak planoan dade. Kalklat enaen ekaioa. Nahikoak al dia aeko datak planoaen ekaioa kalklateko. Eantna aaoit..- Idat ea ondoko baldintak bete beha diten planoaen ekaioa - Planoak P() pnta edki beha d - Planoak e d inoi ebaki beha planoa.- Plano baten pntik hbilena koodenat-jatoiaekiko ( ) pnta da. Zein da planoaen ekaioa?.- Kalklat m jakinik ondoko bi en haek elkatt dadela m eta.- ( a) ( a ) bidekada bektoiala OZ adataen paaleloa da. kit a -7-
RIKETK Geometia.- Kalklat a eta b ondoko enak paaleloak ian daiteen a ; s b a.- ki ita a eta b-en balioak eta s b planokide eta elkatt diela jakinik. ilat elka moten dten pnta. enak.- tet ondoko planoaen eta enaen elkaen ateko posiioak a paametoaen aabea a ;.- enak eta planoak ebakiten dit P eta P pntetan. Kalkla ea P P enkiaen lea 5.- ila ea planoak eta koodenat-adatek eaten ditten angelak λ 7.- λ enaen pnt batetatik P( 5) pnta ateko distantia da. Zeint dia -en pnt hoiek? 8.- ki ea ondoko baldintak beteten diten enaen ekaioa () pnttik pasaten da - planoaekin paaleloa da eta enaekin elkatt dago. 9.- kit planoaen ekaioa ondoko kasetan a) ena bee banean d eta planoaekin elkatt dago b) ( ) pnta planokoa da eta eta planoekin elkatt dago c) ( ) eta ( - ) pntak planoan dade eta 7 planoaekin elkatt dago d) Koodenat-jatoitik planoa ateko distantia da eta 7 planoaekin paaleloa da. e) ( -a) eta (- a) pntak plano batekiko simetikoak dia. kit plano hoen ekaioa. -8-
Geometia f) P ( ) eta Q ( ) pntak planoan dade eta ena eta planoaen ateko S ebaki pnta ee planoan dago eta ondokoak t ianik t ; t.- Eman deagn ( ) pnta. ki ea a) -en simetikoa planoaekiko 5 b) -en simetikoa enaekiko c) planoaen plano simetikoa pntaekiko d) -tik plano koodenatetaa dagoen distantia.- Eman ditagn ( ) eta ( ) pntak eta bi pnt hoietatik distantia bedinea eta t enean dagoen pnta. kit -k osaten dten t planoaen ekaioa.- Eman ditagn eta s enak a) Foga ea planokideak diela b) kit elka moten dten pnta.- kit ( ) pnttik igaoten den eta den enaen ekaioa ena elkatt moten.- M( ) pnttik pasat eta enaen ekaioa aki ea ena elkatt moten den 5.- planoak hi adat katesiaak moten diten hi pntk osaten dten tiangelaen aalea aki ea 7.- Kbo baten bi apegi eta 5 planoetan dade. kit kboaen bolmena -9-
8.- nitate kbikotako bolmena den kbo baten bi apegi ondoko planoen gainean dade a 8 ki ita a-en balio posibleak Geometia 9.- Plano batek hi adat koodenatak moten dit ( ) ( ) eta pntetan OX adateko pnt bat delaik. kit planoaen ekaioa hikiaen aalea dela jakinik.- m planoak adat koodenatak moten diten pntek eta koodenat-jatoi pntak tetaedo bat osaten dte. ila ea m tetaedoaen bolmena ian dadin.- Eman ditagn () () () eta D(7) pntak a) Foga ea planokide diela eta laki bat osaten dtela b) Kalklat lakiaen aalea.- Eman ditagn (-) (--) ( -) eta D(-) pntak. Foga ita a) planokide diela b) lakien bat osaten dtela.- Kalklat ondoko la planoek osaten dten tetaedoaen bolmena ; ; eta -.- Ian bite ( ) ( ) ( ) D ( 5 ) eta E ( ) espaioko pntak. tet ea bost pntak plano beean daden -5-