Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr

Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06

Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις Κάθε εξίσωση ου βαθμού με αγνώστους ονομάζεται γραμμική Η γενική της μορφή είναι y, 0 ή 0 και παριστάνει μια ευθεία γραμμή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις y και y και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή, y πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα και γράφουμε y Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται λύση του συστήματος Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος Αν: οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, y 0 0,που είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο του οποίου οι συντεταγμένες να είναι λύση του συστήματος οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού υπάρχουν άπειρα κοινά σημεία στις δύο ευθείες Μέθοδος της Αντικατάστασης Λύνουμε μία από τις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην η εξίσωση Έτσι προκύπτει μία εξίσωση με ένα μόνον άγνωστο Μέθοδος των Αντίθετων Συντελεστών Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο εξισώσεις με κατάλληλο αριθμό, ώστε να προκύψουν αντίθετοι συντελεστές σε κάποιον άγνωστο Στη συνέχεια, προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη και προκύπτει μία εξίσωση με ένα μόνον άγνωστο Λύση γραμμικού συστήματος με ορίζουσες y Έστω το γραμμικό σύστημα : y Ορίζουσα D του συστήματος ονομάζεται η παράσταση Την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στη θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με: D Ομοίως, την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στη θέση των συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με: D y

D, y, όπου και D, το σύστημα θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις Αν D 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση Αν D 0 y D y D Γραμμικό σύστημα Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους,y,z y z y z και θέλουμε y z να βρούμε τις κοινές τους λύσεις τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα Η πιο συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης ενός τέτοιου συστήματος είναι η μέθοδος αντικατάστασης Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στις δύο άλλες εξισώσεις Έτσι οι δύο τελευταίες εξισώσεις μετατρέπονται σε γραμμικό σύστημα, το οποίο το λύνουμε με έναν από τους προηγούμενους τρόπους Αφού προσδιορίσουμε τους δύο αγνώστους αντικαθιστούμε τις τιμές τους στην πρώτη εξίσωση απ όπου υπολογίζουμε την τιμή και του τρίτου αγνώστου Ασκήσεις Να λύσετε το σύστημα y με όλες τις μεθόδους επίλυσης συστήματος y Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: 4y 0 5 y 9 α) β) 7y 6 y 0 y y 5 ε) 4 στ) 7 y 4 y 4 9y 4 γ) 6 7y 6 y 5 ζ) 5 y y δ) 4 7y 7 4 y 8 η) 7 4y 4 4 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β, αν γνωρίζετε ότι τα ζεύγη (,) και (-, 5) είναι λύσεις της εξίσωσης y 9 0 4 Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: α) y y 8 β) y y 7 5 Να λύσετε τα συστήματα: y α) 0 y y δ) y y β) y 5 4 y ε) 4 y γ) y 4 y 5 6 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθειών: : y : y α) β) : 4y 8 : 4y 8 7 Δίνονται τα συστήματα: y : y και : y y

Να αποδείξετε ότι αν το πρώτο έχει άπειρες λύσεις, τότε το δεύτερο είναι αδύνατο 8 Για ποιες τιμές των, y και 8 y τα συστήματα: y 5 9y είναι συγχρόνως αδύνατα; y 9 Δίνεται το σύστημα:, 5y 7 α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ β) Να βρείτε τη μοναδική λύση 59 γ) Για ποια τιμή του λ η λύση (, y) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση: y y 4 0 Για ποια τιμή του λ, το σύστημα έχει λύση η οποία επαληθεύει την εξίσωση y 5 5y 7 ; Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί η λύση αυτή D Dy D Αν το D Dy D Σε ένα γραμμικό σύστημα χ με αγνώστους,y, για τις ορίζουσες του D, D, Dyισχύουν οι D Dy D σχέσεις: Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετε ότι είναι D Dy 5D μοναδική Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: D D D D και D 0 Αν y 6, να βρεθούν τα, y y y 4 Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: D D D 4D D 5 y y α) Να αποδείξετε ότι: D D D 0 β) Να βρείτε τη λύση του συστήματος 5 Να λύσετε γραμμικό σύστημα με αγνώστους χ,y και ορίζουσες D, D, D y για τις οποίες ισχύει: D D D D 8D 4D 56 0 y y 6 Σε ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους,y, για τις ορίζουσες του D, D, D y ισχύει η σχέση: μοναδική D D D D 0 Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετε ότι είναι y y 7 Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 48 cm Αν αυξήσουμε συγχρόνως τη μία πλευρά κατά 5 cm και την άλλη κατά cm, τότε το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 65 cm Ποιες είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου; 8 Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 4 Αν εναλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του παίρνουμε αριθμό κατά 8 μικρότερο Να βρείτε τον αριθμό 9 Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:

α) δ) y y 6 y 5 y 6 5y y 6 y β) y 8 y 4y 0 ε) y 5 y 4 y γ) 4 y 5 y 5 y 0 στ) y 4 0 8 4y 0 0 Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: 5 4 0 y y 8 α) y 0 β) 4 4 y γ) y 6 y 4 8 δ) y 4 0 y Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής y διέρχεται από τα σημεία A,8, B,,5 Μη Γραμμικά Συστήματα, της οποίας η γραφική παράσταση Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά y 0 y 4 y α) β) γ) δ) 6 y 4 y 0 y y y 4 y y 8 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η ευθεία y 4 τέμνει την παραβολή y Ιδιότητες συναρτήσεων Μονοτονία - Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με είναι f f Συμβολισμός: Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, γράφουμε: f Δ - Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με είναι f f Συμβολισμός: Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, γράφουμε: f Δ y O y y O y 4

Ασκήσεις 4 Με τη βοήθεια των γραφικών τους παραστάσεων να γράψετε τα διαστήματα στα οποία κάθε συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα ή σταθερή h t() = - + 5 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις α) f β) f 5 γ) f δ) f 6 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R να λύσετε τις ανισώσεις f f 5 f f 5 0 α) f f β) γ) 5 δ) f f 7 Δίνεται συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: f f 4 f f f f 0 α) β) γ) 8 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο και η C f τέμνει τον άξονα ' στο να λύσετε τις ανισώσεις α) f 0 β) f 0 γ) δ) f 0 9 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο να λύσετε τις εξισώσεις f f f f α) f f f 0 β) γ) δ) f f 4 0 0 Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R και η γραφική της παράσταση διέρχεται,,5 Να λύσετε την ανίσωση f ( ) από τα σημεία και Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R Αν f f και η C f διέρχεται από το σημείο, να λύσετε την ανίσωση f Δίνεται η συνάρτηση f 4 5, α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f 0 8 Δίνεται η συνάρτηση f 4, α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f 7

5 4 Δίνεται η συνάρτηση f 06, α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f 06 5 Δίνεται η συνάρτηση f() 8, α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 6 Δίνεται η συνάρτηση f () 5, f f 8 8 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση Θεωρητικές ασκήσεις 7 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α να δείξετε ότι η g f φθίνουσα στο Α 8 Έστω η συνάρτηση f με δείξετε ότι η συνάρτηση g f f 7 είναι γνησίως f 0, για κάθε Α Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α, να είναι γνησίως φθίνουσα στο Α f 9 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και η g γνησίως φθίνουσα στο Α να δείξετε ότι η h f g είναι γνησίως αύξουσα στο Α 40 Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, η g f 0, g 0 να δείξετε ότι η γνησίως αύξουσα στο και για κάθε είναι h f g είναι γνησίως φθίνουσα Ακρότατα Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 A, όταν: f f 0 για κάθε A Το 0 λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το f ολικό ελάχιστο 0 ή απλά ελάχιστο της f και το συμβολίζουμε με minf y Ο y Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0 A, όταν: f f 0 για κάθε A Το 0 λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f ολικό μέγιστο 0 ή απλά μέγιστο της f και το συμβολίζουμε με ma f y Ο y Ασκήσεις 4 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: 06 α) f β) f γ) 0 δ) f 4 f 4 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: α) f 0 β) g 0 γ) h 4 6

δ) f ε) f 4 στ) f 4 4 4 Να αποδείξετε ότι: f 6 4 α) Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο το g 4 4 β) Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για f 5 44 Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα,5, να βρείτε τα ακρότατα της Άρτιες Περιττές συναρτήσεις Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε Aισχύει: A f f και Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον y y Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε Aισχύει: A f f και Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων Ασκήσεις 45 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές y y y y O y - - - O - y - O - y - O - y 46 Να συμπληρώσετε την διπλανή γραμμή ώστε να παριστάνει γραφική παράσταση: i άρτιας συνάρτησης ii περιττής συνάρτησης O 47 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές: 4 5 α) f β) g 4 γ) h 5 7 4 δ) t ε) 5 4 στ) 9 48 Δίνεται η συνάρτηση f 5

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια,,, ανήκουν στη γραφική 49 Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και τα σημεία παράσταση της f να βρείτε το λ 50 Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το είναι άρτια και τέμνει τον άξονα στα σημεία,0,,0 4f f f 9f 0, να δείξετε ότι 5 Να βρείτε το για το οποίο η συνάρτηση f : 4, είναι άρτια 5 Αν η συνάρτηση f :, είναι περιττή, να λύσετε την εξίσωση 5 Να βρείτε το για το οποίο η συνάρτηση f είναι άρτια Θεωρητικές ασκήσεις f f 54 Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f είναι περιττή στο, τότε η συνάρτηση g f είναι άρτια 55 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν πεδίο ορισμού το Α και είναι περιττές να δείξετε ότι η συνάρτηση: h f g f g είναι άρτια α) είναι περιττή β) 56 Δίνεται συνάρτηση f: Να αποδείξετε ότι: g f f είναι άρτια α) η συνάρτηση β) η συνάρτηση h f f είναι περιττή Κατακόρυφη & Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης y Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g f c, c 0 προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα πάνω και η γραφική παράσταση της h f c, c 0 συνάρτησης προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα κάτω c c c c c O y c c c y f c y f c Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g f c, c 0, προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα αριστερά Η γραφική παράσταση της συνάρτησης h f c, c 0, προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής c y c c c O y y c y f c c c c 8 c O y c

παράστασης της συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα δεξιά Ασκήσεις 57 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: g f h f α) και β) g f και h f γ) g f και h f y O y 58 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Στο ίδιο σύστημα αξόνων να f παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: g α) g, β) h h 4 γ) 4 59 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση f Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g,h 9

Μελέτη της συνάρτησης f α f Η γραφική παράσταση της συνάρτησης λέγεται παραβολή με κορυφή το Ο και άξονα συμμετρίας τον y y Αν 0η παραβολή είναι ανοιχτή προς τα πάνω, ενώ αν 0 είναι ανοιχτή προς τα κάτω Καθώς το μεγαλώνει, η παραβολή κλείνει και πλησιάζει τον y y Μελέτη της συνάρτησης f α β γ, α 0 Επειδή f, η γραφική 4 παράσταση της f προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της παραβολής y Μιας οριζόντιας κατά και μιας κατακόρυφης κατά Επομένως η γραφική παράσταση 4 της f είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο, 4 και άξονα συμμετρίας την ευθεία 60 Να παραστήσετε γραφικά της συναρτήσεις: f και g α) Ασκήσεις β) f 4 και g 4 γ) f και g δ) f και g ε) f και g στ) f και g 6 Να παραστήσετε γραφικά της συναρτήσεις: f β) f 4 α) γ) f δ) f 4 6 ε) f 5 6 στ) f 0

6 Να παραστήσετε γραφικά της συναρτήσεις: α) f β) f 4 4 γ) f 6 9 δ) f 6 ε) f 4 στ) 6 Δίνεται η συνάρτηση: f 4 Επαναληπτικές ασκήσεις f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει άξονα συμμετρίας τον y'y γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων,0 0, 64 Δίνεται η συνάρτηση: f β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα και f 0 06 γ) Να λύσετε την ανίσωση δ) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f 8 45f 45 f 8 45f 45 f α) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή, να βρείτε τα ακρότατα και τις θέσεις ακροτάτων της f 65 Δίνεται η συνάρτηση: β) Αφού αποδείξετε ότι f f f γ) Να λύσετε την ανίσωση 66 Δίνεται η συνάρτηση, f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο α) Να δείξετε ότι β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες δ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g ε) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στ) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i f ii 0 0 iii 0 67 Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα [β,α] [,8] και είναι περιττή Η μελέτη της στο διάστημα [,8] έδωσε το διπλανό πίνακα f, f 4 f 8 0 : β α 4 8 Αν α) Να βρείτε τα α,β f β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα για όλο το πεδίο ορισμού γ) Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών ε) Να εξετάσετε αν η f έχει ακρότατα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου Γ Αν ω οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, τότε από το Γυμνάσιο γνωρίζουμε ότι: έ ά ί ά, ί ί και έ ά ί ά Α ω Β Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0 ω 60 Επίσης στο Γυμνάσιο γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ω με 0 60 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οy θεωρούμε την ημιευθεία Οt και τη γωνία ω που παράγεται από τη περιστροφή της Οχ κατά τη θετική φορά (αντίθετη από τους δείκτες του ρολογιού) έως ότου συμπέσει με την Οt Έστω Μ(,y) σημείο της τελικής πλευράς Οt της γωνίας ω, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση ρ από την αρχή Ο των αξόνων Είναι OM y Ορίζουμε τους παρακάτω αριθμούς: y y,, και, y τους οποίους ονομάζουμε τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας μεγαλύτερης από 60 Αν ο ημιάξονας Ο κάνει μια πλήρη περιστροφή κατά τη θετική φορά και διαγράψει επιπλέον μια γωνία ω, τότε η συνολική γωνία είναι 60 και έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία ω, οπότε οποιοιδήποτε σημείο της τελικής πλευράς αν χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών ω και 60 θα προκύψουν τα ίδια αποτελέσματα και για τις δύο γωνίες Τριγωνομετρικοί αριθμοί αρνητικών γωνιών Αν τώρα ο ημιάξονας O, στραφεί γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία ω τότε συνολικά θα έχει διαγράψει γωνία 60 60 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των αρνητικών ή γωνιών ορίζονται όπως και των γωνιών από 0 ως 60 Δηλαδή y y,, και, y y Γενικά οι γωνίες 60, και ω έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς Δηλαδή: 60 60 60 60

Τριγωνομετρικός κύκλος Για να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας, χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο Είναι ο κύκλος που έχει το κέντρο του στην αρχή Ο των αξόνων, ακτίνα ρ = και στον οποίο έχει ορισθεί ως αρχή μέτρησης των τόξων και των γωνιών, το σημείο Α που τέμνει ο κύκλος τον θετικό ημιάξονα Ο M, y το σημείο τομής Έστω μια γωνία ω και της τελικής της πλευράς με το τριγωνομετρικό κύκλο Τότε για τη γωνία ω ισχύει: y y y,, δηλαδή έ και y έ Για το λόγο αυτό ο άξονας λέγεται άξονας συνημιτόνων και ο άξονας y y άξονας ημιτόνων Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τη γωνία των 60 της οποίας η τελική πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ Από το σύστημα συντεταγμένων βρίσκουμε ότι η τετμημένη του Μ είναι: 0,5 και η τεταγμένη του είναι: y 0,866, οπότε: 60 0,5 και 60 0,866 Όμως και οι γωνίες 60 60 40, 60 60 780 και γενικά οι γωνίες της μορφής 60 60 βρίσκονται στον τριγωνομετρικό κύκλο στο Μ, οπότε: 60 40 780 60 60 05 και 60 40 780 60 60 0,866 Παρατήρηση Επειδή οι τιμές του ημίτονου και του συνημίτονου μιας γωνίας δεν μπορούν κατά απόλυτη τιμή να υπερβούν την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, ισχύει ότι: και Οι άξονες των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων Θεωρούμε τις εφαπτομένες, του τριγωνομετρικού κύκλου στα σημεία Α και Β αντίστοιχα Στο τρίγωνο ΟΑΚ ισχύει ότι: y Δηλαδή y έ Για το λόγο αυτό η ευθεία :, ονομάζεται άξονας των εφαπτομένων

Όμοια έ, και γι αυτό η ευθεία : y λέγεται άξονας συνεφαπτομένων Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Για το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών παρατηρούμε ότι ισχύει ο παρακάτω πίνακας: ο ο ο 4ο ημω + + - - συνω + - - + εφω + - + - σφω + - + - Παρατηρούμε ότι στο ο τεταρτημόριο Όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί, για το λόγο αυτό στο κύκλο στο ο τεταρτημόριο έχουμε το γράμμα Ο Στο ο τεταρτημόριο μόνο το ημίτονο είναι θετικό, για το λόγο αυτό έχουμε το γράμμα Η Στο ο τεταρτημόριο η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι θετικοί, οπότε προκύπτει το γράμμα Ε για το τεταρτημόριο αυτό Τέλος στο 4ο τεταρτημόριο το συνημίτονο είναι θετικό, οπότε προκύπτει το γράμμα Σ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών Έστω κύκλος (Ο,ρ) Ένα τόξο ΑΒ του κύκλου αυτού που το μήκος του είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου, λέγεται τόξο του ενός ακτινίου ή rad Ακτίνιο ή rad είναι η γωνία η οποία όταν γίνει επίκεντρη βαίνει στο τόξο ενός ακτινίου Έστω ότι μια γωνία ω είναι και α rad Επειδή το μήκος ενός κύκλου ακτίνας ρ είναι πρ,η γωνία 60 είναι ίση με π rad οπότε,η γωνία rad είναι ίση με 60 μοίρες Επομένως, η γωνία α rad είναι ίση με 80 μοίρες 80 Επειδή όμως η γωνία ω είναι, θα ισχύει 80 Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί μοίρες rad ημω συνω εφω σφω 0 0 0 0 Δεν ορίζεται 0 6 45 4 60 90 Δεν 0 ορίζεται 0 80 π 0-0 Δεν ορίζεται 70 Δεν - 0 ορίζεται 0 4

Σημείωση Επειδή στο τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο rad έχει μήκος, αντί να γράφουμε ημ( rad), θα γράφουμε απλά ημ, και αντίστοιχα για τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς: συν, εφ, σφ Ασκήσεις 68 Να αποδειχτεί ότι : 60 0 45 60 45 0 60 0 69 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: α) 70 β) -π rad γ) 890 δ) rad 70 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: 5 4 α) rad β) -5 γ) rad δ) -50 6 7 Να αποδείξετε ότι: ημ405 - ημ750 συν5 + συν860 7 Να αποδειχθεί ότι τα παρακάτω ζεύγη γωνιών έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς: 7 7 α) β) 0 0 5 5 γ) 60 0, 60 0 και δ) 60 40, 60 0 7 Αν 9 4 να αποδείξετε ότι: 74 Αν 5 να αποδείξετε ότι: 75 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε :, 76 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τέτοιος ώστε: α) 7 β) 5 77 Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας rad όταν: α) 0 β) 5 5

Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Ασκήσεις 78 Αν 4 και, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας rad 5 79 Αν και 4, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας rad 80 Να αποδείξετε ότι: α) β) 8 Να αποδείξετε ότι: α) β) γ) ε) ε) 8 Να αποδείξετε ότι: α) γ) ε) β) δ) 4 4 στ) 8 Να αποδείξετε ότι : α) β), 0, γ) y y 6 6 4 4 84 Να βρείτε το, ώστε η παράσταση να είναι ανεξάρτητη του και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της παράστασης Κ 85 Να αποδειχτεί ότι 5 5 86 Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι 0,, \ 6

Παραπληρωματικές γωνίες θ, π θ Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς,, Γωνίες που διαφέρουν κατά πθ, π θ Οι γωνίες που διαφέρουν κατά π έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη και αντίθετα ημίτονα και συνημίτονα Αντίθετες γωνίες θ, θ Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς 4 Συμπληρωματικές γωνίες π θ, θ Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90, το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με τη συνεφαπτομένη της άλλης 7

Ασκήσεις 87 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: α) 0 β) -050 γ) 5 δ) 750 ε) 70 88 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: α) 7 β) γ) 04 δ) 6 4 6 4 6 89 Να δείξετε ότι: 5 7 4 α) 4 6 4 5 7 4 6 70 80 90 80 β) ( ) 0 90 Να αποδείξετε ότι: 9 Να απλοποιήσετε τη παράσταση 9 Να αποδείξετε ότι 9 Να αποδείξετε ότι: 94 Να αποδείξετε ότι: 95 Να αποδείξετε ότι: 9 5 7 0 5 04 05 07 9 7 9 9 7 9 5 7 9 9 96 Αν Α,Β,Γ γωνίες τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) 0 β) γ) γ) 0 97 Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 8 7 και 4, να αποδειχτεί 4 98 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g

Να αποδείξετε ότι: α) g g β) 99 Να αποδείξετε ότι: α) 78 79 0 β) 88 89 γ) 0 58 59 60 0 f f 00 Αν, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 4 4 και 4 4 4 4 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Η συνάρτηση f ρημ ω, ρ,ω 0 Στη συνάρτηση f το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με Το ω καθορίζει την περίοδο Τ της συνάρτησης Είναι Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για τη συνάρτηση g,, 0 9

Ασκήσεις 0 Να βρείτε το μέγιστο το ελάχιστο και την περίοδο των συναρτήσεων: f 4 f 5 f 4 α) β) γ) δ) 0 Το διπλανό σχήμα παριστάνει τη γραφική παράσταση της g, 0, 0 Nα βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών ω, f 5 0 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση f,, 0 της συνάρτησης Nα βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών ω, 04 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f, 0,4 Να συνάρτησης βρείτε τα α, β, ω 05 Δίνεται η συνάρτηση: f f α) Να αποδείξετε ότι β) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f, όταν 0 f και 06 Δίνονται οι συναρτήσεις g,, 0 Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων κ, λ, ώστε η μέγιστη τιμή της f να είναι διπλάσια από τη μέγιστη τιμή της g και η περίοδος της g να είναι διπλάσια από την περίοδο της f 07 Δίνεται η συνάρτηση f, 0 Να βρείτε τα α,β, αν η f έχει μέγιστο το 4 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο 5, 6 08 To βάθος του νερού σε μέτρα κάτω από τη γέφυρα του Ευρίπου κατά τη διάρκεια της ημέρας t δίνεται από τη συνάρτηση f t 0 4, όπου t ο χρόνος σε ώρες 0 t 4 α) Να βρείτε τη περίοδο της συνάρτησης β) Ποιο είναι το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο βάθος του νερού; γ) Αν το ύψος της γέφυρας είναι 0m (από τον πυθμένα του νερού), να εξετάσετε αν ένα σκάφος ύψους 8m από την επιφάνεια του νερού μπορεί να περάσει από τη γέφυρα στις το μεσημέρι; δ) Να βρεθεί το βάθος του νερού στης πμ και στις 5 πμ Ποιες άλλες ώρες της ημέρας το νερό θα έχει το ίδιο βάθος; 09 Έχει διαπιστωθεί ότι η ακτινοβολία που απορροφά το ανθρώπινο σώμα κατά την έκθεση του t στον ήλιο δίνεται από τη συνάρτηση t 4, όπου 0 t 4 ο χρόνος σε ώρες που αντιστοιχεί από τις πμ έως και τις μμ α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της Α β) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση γ) Ποια ώρα της ημέρας έχουμε τη μέγιστη ακτινοβολία; 0

δ) Αν η απορρόφηση της ακτινοβολίας ήταν επικίνδυνη για το ανθρώπινο σώμα όταν η τιμή S της At είναι πάνω από 4 μονάδες, τότε ποιες ώρες της ημέρας θα πρέπει να αποφύγουμε τον ήλιο; 0 Από ένα ταξιδιωτικό γραφείο διοργανώνονται εκδρομές σε κάποιο εξωτικό νησί και η συμμετοχή ατόμων (σε δεκάδες) κατά τη διάρκεια όλης της χρονιάς δίνεται από τη συνάρτηση t t 6, όπου t ο χρόνος σε μήνες ( t = αντιστοιχεί στον Ιανουάριο, t = αντιστοιχεί 6 στον Φεβρουάριο ) α) Υπολογίστε πόσα άτομα συμμετέχουν τον Ιούλιο β) Να βρείτε πόσο είναι η μέγιστη μηνιαία συμμετοχή εκδρομέων γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση όταν 0 t δ) Να βρείτε ποιους μήνες έχουμε μειωτική τάση στη συμμετοχή των εκδρομέων Τριγωνομετρικές εξισώσεις k ή k k k k k Ειδικές περιπτώσεις k, k k, k k, k 4 k, k 5 0 k, k 6 0 k, k Ασκήσεις Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) γ) δ) ε) στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) γ) δ) ε) στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) 4 δ) 0 ε) 0 4 ζ) 4 η) 0 γ) στ) 0 θ) 6 4 Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) β) 0 6 γ) 0 4 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: α ) 0 0 β) γ) 0 0 δ) 6 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 γ) 4 4 ε) 6 ζ) 4 4 θ) 6 κ) 4 4 5 β) 6 6 δ) 0 5 στ) 6 6 η) 0 5 ι) 6 6 λ) 0 7 Να λύσετε τις εξισώσεις: π 5 α) ημ συν β) 6 π π π π γ) συν ημ 0 δ) ημ συν 0 6 4 π π ε) εφ σφ στ) εφ σφ 4 4 4 ζ) η) 0 4 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) δ) ε) 9 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) δ) ε) 5 γ) 8 0 στ) 4 4 5 4 0 γ) 0 στ) 4 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 0 γ) δ) 0 Να λύσετε την εξίσωση: 7 4

Να λύσετε την εξίσωση: Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 5 0 06 08 0 β) 4 4 4 Να λύσετε την εξίσωση: 4 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 6 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις στα αντίστοιχα διαστήματα: α) 0 στο, 4 β) στο 0, 5 γ) στο 0, δ) 4 στο, ε) στο, στ) 0 στο, 7 Να λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 0, 8 Δίνεται η συνάρτηση β) Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή f 9 Έστω η συνάρτηση : f γ) Να λύσετε την εξίσωση : 0 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να λύσετε την εξίσωση f 0

Τριγωνομετρικοί αριθμοί α β Αν y και y Να αποδείξετε ότι: Ασκήσεις, να βρείτε το y α) β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση του α είναι ανεξάρτητη 4 Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: α) β) γ) 0 δ) 5 Στο διπλανό τρίγωνο δίνεται ότι ΓΔ=,ΑΔ= και ΑΒ=4Να δείξετε ότι: 8 α) β) 9 6 Δίνεται μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, για το οποίο ισχύει ότι: αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 7 Αν για τις γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι γωνία Α και Να, να υπολογίσετε τη 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 β) 4 γ) 4 4 9 Να λύσετε την εξίσωση 0 40 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 4

Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Τύποι αποτετραγωνισμού: Τύποι συναρτήσει του : Ασκήσεις 4 Αν να υπολογιστεί το και το αν γνωρίζουμε ότι 0 4 4 4 Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5 4 7 0 α) Να αποδείξετε ότι 5 β) Αν επιπλέον ισχύει:, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημα, συνα, εφα 4 Να δείξετε ότι: + συν4α + συνα α) ημ4α + ημα = σφα β) 44 Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει: 6 0 45 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει ότι: 0 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 46 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) γ) 5

Γενικές Ασκήσεις Τριγωνομετρίας 47 Δίνεται η συνάρτηση f 5 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες γ) Να λύσετε την εξίσωση f 8 f 0 0 48 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g οι συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, τότε: α) να αποδείξετε ότι β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f g 4 γ) Να λύσετε την εξίσωση f g στο διάστημα 49 Δίνεται η συνάρτηση f,,, 0 Αν, α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 0,,,, και να σχεδιάσετε την γραφική 4 4 παράσταση της f για 0 5 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y δ) Να λύσετε την εξίσωση 50 Η συνάρτηση f από το σημείο, 4 f f 0, 0, έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται α) Να βρείτε τα ρ,ω β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα 0, δ) Να λύσετε την εξίσωση f f 6 f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 5 Δίνεται η συνάρτηση β) Να δείξετε ότι γ) Να λύσετε την εξίσωση f στο διάστημα 0, 5 Δίνεται η συνάρτηση: f συν α) Να αποδείξετε ότι f β) Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f,τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου f 0 δ) Nα λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση 6

συν 0 7 5 4 f 4 β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της γ) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο δ) Να λύσετε την εξίσωση f 5 Δίνεται η συνάρτηση: f α) Να δείξετε ότι 54 Δίνεται η παράσταση: f, α) Να παραγοντοποιήσετε την f f 0, β) Να αποδείξετε ότι γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες f 0 δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο π στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο το 4, 0, 55 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α) Να λύσετε την εξίσωση f 0 β) Αν η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι: 9 7 8 56 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της β) Για ποιες τιμές του παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση; γ) Να λύσετε την εξίσωση: f δ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση ανεξάρτητη του 9 f 8 f f f 7 f f είναι α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να αποδείξετε ότι f γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια 4k δ) Να αποδείξετε ότι f f ε) Να λύσετε την εξίσωση f 57 Δίνεται η συνάρτηση f 7

58 Δίνεται η συνάρτηση f 4 α) Να αποδείξετε ότι f f f 0 β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g f καθώς και τις αντίστοιχες τιμές του, για τις οποίες η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή 59 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 60 Δίνεται η συνάρτηση f β) Να αποδείξετε ότι γ) Να λύσετε την εξίσωση f f 0 6 6 Δίνονται οι συναρτήσεις f και α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους f g β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να αποδείξετε ότι f 6 και g δ) Να λύσετε την εξίσωση 6 0 6 Δίνεται η συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι f 4 8 g f 4 4 β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και τη περίοδο της f f 5 4 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση f, 0, η οποία έχει μέγιστο το και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο α) Να αποδείξετε ότι και β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα 6 Δίνεται η συνάρτηση γ) Να αποδείξετε ότι f f 4 4 f 6 f δ) Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα 64 Δίνονται οι συναρτήσεις f 0, 4 και g 8 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδικές με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων γ) Να αποδείξετε ότι f f f f 0 4 4 δ) Να αποδείξετε ότι f g 6

65 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να αποδείξετε ότι f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών και τη περίοδο της f και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα 0, γ) Να λύσετε την εξίσωση f δ) Να αποδείξετε ότι 66 Δίνεται η συνάρτηση f στο 0, f f 9 4,, της οποίας η γραφική 4 παράσταση διέρχεται από τα σημεία A,, B, 4 4, τότε: α) Να αποδείξετε ότι και β) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό της γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f δ) Να λύσετε την εξίσωση f 4 5 7 9 ε) Να αποδείξετε ότι: f f f f f 4 4 4 4 4 67 Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο β) Να αποδείξετε ότι κανένα σημείο της γραφικής παράστασης της f δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα γ) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στο διάστημα 0, με τεταγμένη δ) Να λύσετε την εξίσωση: f f 68 Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το 8 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ε) Να λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση: f f 69 Δίνεται η συνάρτηση 9 f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Αφού αποδείξετε ότι, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f f 0 γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να λύσετε την εξίσωση

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Μονώνυμο Μονώνυμο του λέγεται κάθε παράσταση της μορφής, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος Μονώνυμο του καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό Πολυώνυμο Πολυώνυμο του λέγεται κάθε παράσταση της μορφής + όπου ν είναι 0 ένας φυσικός αριθμός και 0,,, είναι πραγματικοί αριθμοί Τα μονώνυμα,,,, 0 λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι αριθμοί 0,,, συντελεστές του Τα πολυώνυμα της μορφής 0, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο Αν 0, τότε ο αριθμός ν λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Είναι φανερό ότι κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0 Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός Αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για λέγεται ο αριθμός ρ ρ ρ+ Αν είναι 0 0 τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου Ίσα πολυώνυμα Δύο πολυώνυμα + και με είναι ίσα 0 όταν: 0 0,,, και 0 0 Πράξεις πολυωνύμων Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών Ασκήσεις 69 Δίνονται τα πολυώνυμα P 4 6 4 8 και πρέπει να ισχύει για τους αριθμούς α, β, γ, δ, ώστε το πολυώνυμο P Q Q Να βρείτε τι, να είναι: α) ου βαθμού β) το πολύ ου βαθμού γ) μηδενικού βαθμού 70 Να αναλύσετε τη κλασματική παράσταση 9 παρονομαστές σε άθροισμα δύο κλασμάτων με πρωτοβάθμιους 7 Να βρείτε τα,,, για τα οποία το πολυώνυμο 4 τετράγωνο του Q 0 P 6 είναι τέλειο 7 Να εξετάσετε αν υπάρχει πολυώνυμο P δεύτερου βαθμού, για το οποίο ισχύει P P για κάθε 7 Να βρείτε πολυώνυμο P το πολύ ου βαθμού, για το οποίο ισχύει ότι κάθε 74 Να βρείτε πολυώνυμο P, για το οποίο ισχύει ότι P P 5 6 P P για για κάθε

75 Δίνονται τα πολυώνυμα P και Q α) Να βρείτε το πολυώνυμο PQ 8 6 4 β) Να βρείτε τα,,,, για τα οποία ισχύει ότι: PQ 76 Έστω πολυώνυμο P Αν το ρ είναι ρίζα του P PP 77 Έστω πολυώνυμο P Αν το είναι ρίζα του P PP 4 78 Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι P0 0 Να υπολογίσετε το P5 για κάθε, να αποδείξετε ότι είναι ρίζα και του, να αποδείξετε ότι είναι ρίζα και του 79 Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι P0 0 Να αποδείξετε ότι P5 80 80 Έστω 0 ρίζα του πολυωνύμου 4 α) Να αποδείξετε ότι το P έχει ρίζα και το P P για κάθε και P P για κάθε και P, 0 β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα για, τα οποία το πολυώνυμο έχει 4 ρίζες 8 Αν ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές έχει ρίζα άρτιο αριθμό, να αποδείξετε ότι ο σταθερός του όρος είναι άρτιος 8 Δίνονται τα πολυώνυμα P και Να αποδείξετε ότι: P και Q είναι σταθερά πολυώνυμα α) τα β) PQ 4 Q P Q για τα οποία ισχύει ότι 8 Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα P και ρίζα P 84 Δίνεται το πολυώνυμο 00 το άθροισμα των συντελεστών του 85 Να βρείτε τα, P Q Q 5 8 δεν έχουν κοινή Να βρείτε τον σταθερό του όρο καθώς και για τα οποία το πολυώνυμο P έχει άθροισμα των συντελεστών πέντε και ο σταθερός του όρος είναι μηδέν Θεώρημα (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Διαίρεση πολυωνύμων και 0υπάρχει μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων για τα οποία ισχύει: όπου το βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του και είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει

Το λέγεται διαιρετέος, το διαιρέτης, το πηλίκο και το διαίρεσης υπόλοιπο της Παρατηρήσεις Αν 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γίνεται Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι το Θεώρημα Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου πολυωνύμου για Δηλαδή Θεώρημα Ένα πολυώνυμο αν και μόνο αν διαιρεί το ή ότι το είναι παράγοντας του P P με το είναι ίσο με την τιμή του P έχει παράγοντα το αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P 0 Ασκήσεις 86 Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο των παρακάτω διαιρέσεων: 4 : 5 : 4 α) β) 4 γ) 4 : δ) 4 k 4 : k P, δηλαδή 87 Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης 7 4 : 4 χωρίς να κάνετε τη διαίρεση 88 Δίνεται το πολυώνυμο P 4 5 6 8 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης: α) P : β) P : 89 Δίνονται τα πολυώνυμα P, και Q P P Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q με το είναι, να βρείτε το μ 90 Δίνεται το πολυώνυμο P P έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το,να είναι 8 Να βρείτε τα α, β για τα οποία το 4 5 9 Να βρείτε τα α, β, ώστε το πολυώνυμο να έχει παράγοντα το 9 Το πολυώνυμο P διαιρούμενο με αφήνει υπόλοιπο 0 και διαιρούμενο με αφήνει υπόλοιπο 5 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το 9 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης πολυωνύμου P με το είναι 8 και με το είναι 7, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P : 94 Το πολυώνυμο P διαιρούμενο με αφήνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με αφήνει υπόλοιπο 7 4 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: P : 4

95 Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι για κάθε α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το P P 4 P με το και με το 96 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P με το και P : υπόλοιπο των διαιρέσεων P : είναι, να βρείτε το 97 Αν πολυώνυμο P έχει παράγοντες τα και, τότε έχει παράγοντα και το 98 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης P : είναι και το υπόλοιπο της διαίρεσης P : είναι, Να αποδείξετε ότι και το υπόλοιπο της διαίρεσης P : είναι 99 Αν πολυώνυμο Q P 8 έχει ρίζα το P έχει παράγοντα το, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 00 Δίνεται πολυώνυμο P και ρ ρίζα της εξίσωσης P Q PP P έχει παράγοντα το Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 0 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το είναι και με το είναι, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q PP έχει ρίζες τα και 0 Δίνεται πολυώνυμο P του οποίου το υπόλοιπο της διαίρεσης με το είναι, με το είναι και με το είναι Να αποδείξετε ότι τα α,β,γ είναι ρίζες του πολυωνύμου Q P P P 8 45 0 Δίνεται το πολυώνυμο P α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Q 8 45 0 8 9 89 είναι πολλαπλάσιο του70 0 5 04 Δίνεται το πολυώνυμο P 4 5 α) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του P 40 5 β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 5 0 5 γ) Να αποδείξετε ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 9 είναι το 05 Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι P P Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το είναι, τότε: α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το 4 β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το για κάθε 6 8

δ) Αν το P είναι ου βαθμού, τότε να βρεθεί 06 Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι Αν ο σταθερός όρος του πολυωνύμου είναι μηδέν, να βρείτε: P με το α) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το 8 γ) Το πολυώνυμο P, αν γνωρίζετε ότι είναι δευτέρου βαθμού P P για κάθε Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής + 0 0 Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου +, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει 0 0 Θεώρημα ακέραιων ριζών Έστω η πολυωνυμική εξίσωση + 0 0 με ακέραιους συντελεστές Αν ο ακέραιος 0είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου 0 Ασκήσεις 07 Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 0 8 0 β) γ) 4 8 0 δ) 4 8 4 0 4 6 7 0 08 α)αν η εξίσωση β) Αν η εξίσωση 0 8 6 0 έχει ρίζα το, να αποδείξετε ότι: 5 0 έχει ρίζα το, να αποδείξετε ότι: 5 09 Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση τουλάχιστον μία ακέραια ρίζα 0 Δίνεται το πολυώνυμο P,, Αν το και, τότε: α) Να αποδείξετε ότι: 5 και 6 4 4 0 έχει P έχει παράγοντες τα P 0 β) Να λύσετε την εξίσωση Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f 5 4 και g 4 Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο να έχει για παράγοντα το P 0 4 Δίνεται το πολυώνυμο P 5 4,, Αν το P έχει παράγοντα το, τότε: α) Να αποδείξετε ότι και 4 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: P 0 β) Να λύσετε την ανίσωση

α) δ) β) 4 0 5 9 ε) γ) 4 9 9 0 στ) 5 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 6 5 4 0 4 6 4 f δεν έχει κανένα σημείο κάτω από τον 6 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 8 4 βρίσκεται κάτω από τον άξονα 4 4 7 Δίνεται το πολυώνυμο P 8 του οποίου δύο ρίζες είναι οι και α) Να αποδείξετε ότι: και 9 P 0 β) Να λύσετε την ανίσωση 4 8 Δίνεται το πολυώνυμο f, α) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του διαίρεσης του f με το f και να βρείτε το πηλίκο της β) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του με το γ) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα 9 Δίνεται το πολυώνυμο P 5 4, Αν το του πραγματικού αριθμού, τότε: α) να βρείτε τη ρίζα β) να βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες του γ) Αν, να λύσετε την εξίσωση P 6P 6 5 4 0 Δίνεται το πολυώνυμο P 6 4 το οποίο έχει παράγοντα το α) Να αποδείξετε ότι και 4 β) Να λύσετε την ανίσωση P 0 Δίνεται το πολυώνυμο P το οποίο διαιρούμενο με το υπόλοιπο 5 α) Να δείξετε ότι β) Να λύσετε την εξίσωση 5 0 0 Δίνεται το πολυώνυμο P 0 0 0 α) Να βρείτε το βαθμό του β) Να λύσετε την εξίσωση P 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση P 0 δ) Να λύσετε την ανίσωση P 0 Έστω P πολυώνυμο ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με P α) Να αποδείξετε ότι β) Να λύσετε την ανίσωση P έχει ρίζα για κάθε τιμή δίνει, έχει ρίζα το 0 και του Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 5

4 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) 4 γ) 7 δ) 5 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 0 8 β) 6 γ) 6 δ) 4 0 4 4 6 Να λύσετε τις ανισώσεις: ε) - = + στ) 5 α) 7 β) 5 γ) 7 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 8 0 β) α) 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 α) 4 6 4 0 β) Θέματα ΟΕΦΕ στα πολυώνυμα P 4 9 Δίνεται το πολυώνυμο 6 5 0 4 6 5 5 6 0 α) Να βρείτε τον βαθμό του Ρ() για τις διάφορες τιμές του λ β) Για λ= να βρεθεί το Ρ() και να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο (,-) P γ) Να λύσετε την ανίσωση 0 Δίνεται το πολυώνυμο 0 με α, β α) Αν το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης με το είναι το -6 να αποδείξετε ότι α = και β = 6 β) Να λυθεί η εξίσωση P 0 P 0 γ) Να λυθεί η ανίσωση Δίνεται ότι το πολυώνυμο: P 4 όπου,, α) Να αποδείξετε ότι και β = 0 0 β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Έστω C η γραφική παράσταση της συνάρτησης P Να βρείτε i) Τις συντεταγμένες του σημείου στο οποίο η C τέμνει τον άξονα y y ii) Τις τιμές του για τις οποίες η C είναι κάτω από τον άξονα ' έχει παράγοντες τους Δίνεται το πολυώνυμο με α, β και το πολυώνυμο Q α) Να βρεθούν α,β αν η αριθμητική τιμή του P( ) για = - είναι -8 και έχει παράγοντα το + β) Αν α = και β = -, να βρείτε το πηλίκο Π() της διαίρεσης του P() δια του Q( ) και να γράψετε το P() με την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης γ) Να λύσετε την εξίσωση P() = Q() - 4 Δίνεται πολυώνυμο P 7, όπου α και β είναι πραγματικοί αριθμοί Αν η διαίρεση του Ρ () δια - δίνει υπόλοιπο και η αριθμητική τιμή του για = - είναι 0, τότε: Α Να βρείτε τις τιμές των α, β

Β Για τις τιμές α = -5 και β = 0 Q και να α Να βρείτε το πηλίκο Π() της διαίρεσης του P(X) δια του γράψετε το P() με την βοήθεια της ταυτότητας ευκλείδειας διαίρεσης P όπου υ() το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() δια Q() β Να λύσετε την εξίσωση γ Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Q() βρίσκεται πάνω από τον άξονα ' 4 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f α Να λύσετε την εξίσωση f 0 β Να λύσετε τις τριγωνομετρικές εξισώσεις, όπου α η διπλή ρίζα της παραπάνω εξίσωσης και β η άλλη ρίζα της ίδιας εξίσωσης γ Να βρείτε τις τιμές του έτσι, ώστε η γραφική παράσταση της f, να μην είναι πάνω από τον άξονα f : δ Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης 5 Έστω το πολυώνυμο P() = + (α + β) + (α + 5β) + με α, β Α Να βρείτε τις τιμές των α,β έτσι ώστε το + να είναι παράγοντας του Ρ() και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(): ( - ) να ισούται με -9 Β Για α = -7 και β = : α) Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 β) Να κάνετε τη διαίρεση P() :( -) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης γ) Αν υ() το υπόλοιπο της προηγούμενης διαίρεσης να λύσετε την ανίσωση 0 P 6 Έστω P πολυώνυμο, α Αν το πολυώνυμο P() διαιρεθεί με το -, δίνει υπόλοιπο α + Α Να βρείτε τις τιμές του αριθμού α Β Γ ι α α = και πολυώνυμο Q() = + +: α) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο π() και το υπόλοιπο υ() της Ευκλείδειας διαίρεσης του P() με το Q() είναι + και - + αντίστοιχα P β) Να λύσετε την ανίσωση γ) Να λύσετε την εξίσωση Q Q 7 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f, για την οποία ισχύουν: Το υπόλοιπο της διαίρεσης της f() δια + είναι 4 Η C f διέρχεται από το σημείο Α(0,8) Η f (X) έχει παράγοντα το - Α Να δείξετε ότι: α =, β = -0 και γ = 8 Β α) Να λυθεί η εξίσωση f() = 0 β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C f είναι κάτω από τον άξονα ' 4 Γ Να λύσετε την ανίσωση: f f f 8 5 4 7 6 7 για το οποίο ισχύουν: 8 Έστω πολυώνυμο i) Το είναι παράγοντας του ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Α Δείξτε ότι λ = και μ = 0 Β Για λ = και μ = 0, με το i) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης του είναι με το 7

ii) Να βρεθούν τα διαστήματα που η γραφική παράσταση του y 4 είναι πάνω από την ευθεία 5 4 Γ Έστω το πολυώνυμο: Q 7 6 Βρείτε τους αριθμούς α,β και κ ώστε Q για κάθε 8

Εκθετική συνάρτηση Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Αν α,β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και,,,τότε : : Εκθετική συνάρτηση Αντιστοιχίζοντας κάθε,στη δύναμη οποία στην περίπτωση που είναι,λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση Αν είναι,τότε έχουμε την σταθερή συνάρτηση Για κάθε συνάρτηση της μορφής ότι : Έχει πεδίο ορισμού το,ορίζουμε την συνάρτηση : f: με f, η f με Έχει σύνολο τιμών το διάστημα 0, f, ισχύει Είναι γνησίως αύξουσα στο Δηλαδή για κάθε, με είναι Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα των Για κάθε συνάρτηση της μορφής ότι : Έχει πεδίο ορισμού το Έχει σύνολο τιμών το διάστημα 0,, ισχύει f με 0 Είναι γνησίως φθίνουσα στο Δηλαδή για κάθε, με είναι Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα των Ο αριθμός e Αποδεικνύεται ότι lim,7880 Τον αριθμό στον οποίο τείνει η ποσότητα καθώς το ν αυξάνεται απεριόριστα τον συμβολίζουμε με e (Euler) Ασκήσεις 8 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) 4 δ) 7 9 8 4 6 7 γ) ε) 84 8 54 4 5 4 5 9 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 9

45 7 α) 48 β) γ) δ) 5 5 80 8 40 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 5 4 β) e e 4 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) γ) 5 75 δ) 4 4 4 7 5 6 5 4 Να λύσετε τις εξισώσεις α) 7 8 0 β) 9 6 4 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 5 β) 7 49 γ) 9, 0 δ) 44 Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 8 β) 5 6 5 5 0 γ) 45 Να λύσετε την ανίσωση: 5 0 5 46 Δίνεται η συνάρτηση f 9 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία γ) Να λύσετε την ανίσωση f 78 47 Δίνονται οι συναρτήσεις f e και g e e α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f,g β) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της g βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της f 48 Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 α) 5 5 β) 9 4 56 0 49 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f e 9 50 Να λύσετε τα συστήματα: y 4 04 α) y 5 5 y 4 9 55 δ) y 4 5 5 Δίνεται η συνάρτηση f β) ε) 6 4 y y y 5 5 5y 5 y 40 γ) στ) y 4 7 5 y 5 7 44 5 6y 0 4 5y Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η f, είναι: α) Εκθετική συνάρτηση β) γ) Γνησίως φθίνουσα στο δ) Γνησίως αύξουσα στο

5 Δίνεται η συνάρτηση f για κάθε 0 5 Δίνεται η συνάρτηση f 6 8 f f 7 9 54 Δίνεται η συνάρτηση f, 0, 55 Δίνεται η συνάρτηση f Να βρείτε τις τιμές του αν γνωρίζετε ότι f Να βρείτε τις τιμές του αν γνωρίζετε ότι Να συγκρίνεται τους αριθμούς e, α) Να αποδείξετε ότι f f f β) Να συγκρίνεται τους αριθμούς e και e για κάθε, 56 Δίνονται οι συναρτήσεις f e e και g e e α) Να αποδείξετε ότι: f f y ggy f y β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g γ) Να αποδείξετε ότι f για κάθε 57 Να λύσετε την εξίσωση α) 5 β) 8 896 004,, 58 η συνάρτηση f 5 Σύνθετα Θέματα α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Αν να αποδείξετε ότι 5 5 γ) Να λύσετε την εξίσωση 5 5 59 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να αποδείξετε ότι για κάθε γ) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες 46 δ) Να λύσετε την ανίσωση 6 7 60 Δίνεται η συνάρτηση f e α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να λύσετε τη εξίσωση e γ) Αν να αποδείξετε ότι e e δ) Να λύσετε την ανίσωση e e 6 Δίνεται η συνάρτηση f e e α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το 4

γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή δ) Να λύσετε την ανίσωση e e e e 6 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να βρείτε το πρόσημο της f f 4 6f 5 δ) Να λύσετε την εξίσωση 6 Δίνεται η συνάρτηση f e e α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να λύσετε την εξίσωση e e γ) Να βρείτε το πρόσημο της f f e f e 0 δ) Να λύσετε την ανίσωση e e e e ε) Να λύσετε την εξίσωση e e e e 64 Δίνονται οι συναρτήσεις: f 4 και g 6 6 α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g f g β) Να λύσετε την ανίσωση γ) Να λύσετε την εξίσωση f 65 Δίνονται οι συναρτήσεις: f 5 4 και g 5 α) Να αποδείξετε ότι οι f,g είναι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις β) Να λύσετε την εξίσωση 5 4 γ) Να λύσετε την εξίσωση 5 0 δ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g 66 Δίνεται η συνάρτηση f η οποία έχει πεδίο ορισμού το α) Να βρείτε το λ β) Αν να λύσετε την ανίσωση f 6 5f γ) Αν f f 0 να λύσετε την ανίσωση δ) Αν να δείξετε ότι για κάθε 0 είναι f f f f 4 67 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 8 β) 4 5 γ) e 8 68 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) γ) 69 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) β) 5 4 4

Λογάριθμοι Ορισμός Ο log είναι o εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ Δηλαδή: Συνέπειες log log log 0 4log log Ιδιότητες λογαρίθμων Αν 0 και τότε για οποιαδήποτε,, 0 και k ισχύουν: log log log log log log log k k log Ασκήσεις 70 Να βρεθούν οι αριθμοί: α) log 8 β) log55 γ) log 8 7 Να υπολογίσετε το ώστε να αληθεύουν οι ισότητες: α) log 8 4 β) log 7 γ) log δ) log 4 7 5 7 Να υπολογίσετε τη τιμή των παραστάσεων: α) A log 7 log 4 log4 log5 5 β) A log 4 56 log 608 log 6 log 49 7 7 Να αποδείξετε ότι: log 56 64 8 47 8 74 αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) log log 6 log 7 β) log 6 log 4 log 5 log 4 log5 75 Αν f log f f f, δείξτε ότι Λογαριθμική συνάρτηση Ορισμός Αν 0 και συνάρτηση με βάση το α Επειδή τότε η συνάρτηση f : 0, με f y log y, αν το, τότε το, log λέγεται λογαριθμική είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y log θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y και αντιστρόφως Τα σημεία, όμως, Μ και Ν είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Oy ˆ και Oy ˆ Επομένως: 4