ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ

Transcript

1

2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Καθηγητής Πανεπιστημίου Πάτρας Καθηγητής μαθηματικών Β Λυκείου Αμαρουσίου Καθηγητής μαθηματικών Β Λυκείου Αγ. Παρασκευής Α ΕΚΔΟΣΗ: 99 ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΕ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ: 99, 99, 994, 995, 996, 997, 998, Η προσαρμογή του βιβλίου στο νέο αναλυτικό πρόγραμμα έγινε από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η επανέκδοση του παρόντος βιβλίου πραγματοποιήθηκε από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οποία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση από το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπαίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι αλλαγές που ενσωματώθηκαν στην παρούσα επανέκδοση έγιναν με βάση τις διορθώσεις του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Συστήματα. Γραμμικά Συστήματα...9. Μη Γραμμικά Συστήματα...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Ιδιότητες Συναρτήσεων. Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης.... Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Τριγωνομετρία. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες...6. Αναγωγή στο ο Τεταρτημόριο Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας α Μετασχηματισμοί Τριγωνομετρικών Παραστάσεων....9 Η Συνάρτηση f()=αημ+βσυν...8. Επίλυση Τριγώνου... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές Εξισώσεις 4. Πολυώνυμα Διαίρεση Πολυωνύμων Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση 5. Εκθετική Συνάρτηση Λογάριθμοι Λογαριθμική Συνάρτηση...8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ...9 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ...95

4 Κεφάλαιο ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + β = γ. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με τη βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση α + β = γ, με α ¹ ή β ¹, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει ευθεία γραμμή. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το συμπέρασμα αυτό ως εξής: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν β ¹, τότε η εξίσωση γράφεται: α+ β= γ β= α+ γ α γ = +, β β Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο γ β β α. γ β α+β=γ, β γ β α+β=γ, α= γ α O Σχήμα α Σχήμα β Ειδικότερα: 9 Αν α ¹, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ. α ), ενώ O

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 Αν α =, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή = γ και επομένως παριστάνει β ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο γ (Σχ. β ). β Αν β = (οπότε α ), τότε η εξίσωση γράφεται γ α = γ =. α Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο γ α. Για παράδειγμα: 9 Η εξίσωση = παίρνει τη μορφή = η οποία παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο. 9 Η εξίσωση = παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο. 9 Η εξίσωση = παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο. Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει μία γραμμική εξίσωση λέγεται λύση της γραμμικής εξίσωσης.

6 . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Για παράδειγμα, το ζεύγος (4, ) είναι λύση της εξίσωσης = 6, αφού 4 ( ) = 4+ = 6. Διαπιστώνουμε, όμως, ότι και τα ζεύγη (6,5), (, 8 ) είναι λύσεις της εξίσωσης και γενικά ότι κάθε ζεύγος της μορφής είναι λύση της εξίσωσης. Γραμμικό σύστημα Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις α+β=γ και α +β =γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα και γράφουμε α+ β= γ α' + β' = γ ' Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται λύση του συστήματος. Στο Γυμνάσιο μάθαμε μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται με κατάλληλη μετατροπή του σε άλλο γραμμικό σύστημα το οποίο έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με το αρχικό. Τα δύο αυτά συστήματα λέγονται ισοδύναμα συστήματα. Η μετατροπή ενός συστήματος σε ισοδύναμό του γίνεται συνήθως με έναν από τους εξής δύο τρόπους: Λύνουμε τη μια εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση. Αντικαθιστούμε μια από τις εξισώσεις (ε) ή (ε') του συστήματος, π.χ. την (ε), με την εξίσωση «λ () ε + λ'( ε')» που προκύπτει, αν στα μέλη της (ε) πολλαπλασιασμένα με λ ¹, προσθέσουμε τα μέλη της (ε') πολλαπλασιασμένα με λ'. Η εξίσωση λ () ε + λ'( ε') λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε'). Η απόδειξη του ότι τα συστήματα που προκύπτουν από τις παραπάνω μετατροπές είναι ισοδύναμα στηρίζεται στις παρακάτω ιδιότητες της ισότητας που είδαμε στο o κεφάλαιο του βιβλίου της Α Λυκείου: 9 Αν γ¹, τότε: α= β αγ = βγ 9 Αν α=β και γ=δ, τότε α+γ = β+δ. Έστω, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να λύσουμε το σύστημα: = 6 () + 4= 8 ( )

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θα λύσουμε το σύστημα με τις δύο μεθόδους που μάθαμε στο Γυμνάσιο, τη μέθοδο της αντικατάστασης και τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών (ή μέθοδο της απαλοιφής) Μέθοδος της αντικατάστασης Λύνουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο, π.χ. την () ως προς. Έτσι το σύστημα είναι ισοδύναμο με το = = 8 Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το με την παράσταση που βρήκαμε και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ( + 6) + 4= = 8 = = Έτσι το σύστημα είναι ισοδύναμο με το = + 6 = Αντικαθιστούμε την τιμή του στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο: = ( ) + 6= 4 Άρα λύση του συστήματος είναι το ζεύγος ( 4, ). ΣΧΟΛΙΟ Επειδή κάνουμε πολλά βήματα μέχρι να λύσουμε ένα σύστημα, είναι πολύ πιθανό να κάνουμε λάθος στους αριθμητικούς υπολογισμούς. Για το λόγο αυτό είναι σκόπιμο να αντικαθιστούμε τις τιμές των αγνώστων που βρήκαμε στις αρχικές εξισώσεις του συστήματος και να ελέγχουμε αν τις επαληθεύουν, δηλαδή να κάνουμε επαλήθευση του συστήματος. Στο συγκεκριμένο σύστημα, για = 4 και =, έχουμε: η εξίσωση: 4 ( ) = 6 η εξίσωση: 4 + 4( ) = 4= 8 Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι:

8 . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = 6 + 4= 8. ( ). ή ισοδύναμα + 6= 8 + 4= 8 Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε: = 8+ 8 = =. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου: ( ) = 6 + = 6 = 4. Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος ( 4, ) (η ίδια φυσικά που βρέθηκε και με την προηγούμενη μέθοδο). Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος Κάθε εξίσωση του γραμμικού συστήματος = 6 + 4= 8 που λύσαμε προηγουμένως παριστάνει μια ευθεία γραμμή. Το σημείο τομής των ευθειών αυτών προσδιορίζει τη λύση του συστήματος, αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν συγχρόνως τις δύο εξισώσεις του συστήματος. +4=8 =6 O A(4, ) Γενικά, μπορούμε να επιλύσουμε γραφικά ένα γραμμικό σύστημα α+ β= γ α' + β' = γ' με το να σχεδιάσουμε τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του και να βρούμε, εφόσον υπάρχει, το σημείο τομής τους. Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος δίνει λύσεις που μπορεί να είναι προσεγγιστικές. Παρά την αδυναμία αυτή, η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος διευκολύνει πάρα πολύ σε περιπτώσεις, όπου μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή, ακόμη, όταν η αλγεβρική του επίλυση είναι δυσχερής.

9 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος παριστάνουν δύο ευθείες οι οποίες μπορεί να τέμνονται ή να είναι παράλληλες ή ακόμα και να συμπίπτουν. Για παράδειγμα: = + + = 9 Το σύστημα γράφεται και έχει μοναδική λύση, 4 9= 4 = 9 9 αφού οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του τέμνονται, επειδή έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης. Αν χαράξουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις, βλέπουμε ότι προσεγγιστικά η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος ε ε (,,). Αν όμως λύσουμε το σύστημα αλγεβρικά, Α θα βρούμε ότι η ακριβής λύση του συστήματος είναι το ζεύγος, O. 9 Το σύστημα + = + 4= 5 γράφεται = +, οπότε είναι αδύνατο, 5 = 4 O ε ε αφού οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του είναι παράλληλες. + = 9 Το σύστημα γράφεται 4 = = =, οπότε έχει άπειρο πλήθος λύσεων, αφού οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος συμπίπτουν. O ε ε Προφανώς κάθε λύση του συστήματος είναι της μορφής.

10 . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Γενικά, από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος αναμένουμε μια μόνο από τις περιπτώσεις: 9 Το σύστημα να έχει μοναδική λύση 9 Το σύστημα να είναι αδύνατο 9 Το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Λύση διερεύνηση γραμμικού συστήματος Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος στη γενική του μορφή. Έστω λοιπόν το γραμμικό σύστημα α+ β= γ α' + β' = γ ' Αρχικά θα εξετάσουμε την περίπτωση που είναι β¹ και β ¹. Τότε το σύστημα γράφεται: α γ = + ( ε) β β α' γ ' = + ( ε) β' β' και οι εξισώσεις του παριστάνουν ευθείες ε και ε με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης α λ = α και λ β = '. β' α α' Αν, δηλαδή αν αβ' αβ ', τότε οι ευθείες ε β β' και ε έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης, οπότε τέμνονται σε ένα σημείο του οποίου η τετμημένη προσδιορίζεται από τη λύση της εξίσωσης α' γ ' α γ α α' γ γ ' + = + = β' β' β β β β' β β' Η τεταγμένη του σημείου τομής είναι: ( αβ' αβ ' ) = γβ' γβ ' γβ' γβ ' = αβ' αβ ' α γβ' γβ ' = + γ = αγβ' + αβγ' + γαβ' γαβ ' β αβ' αβ ' β βαβ ( ' α'β) βαγ ( ' α' γ) = βαβ ( ' α' β)

11 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ αγ' αγ ' Επομένως = αβ' αβ ' Άρα, στην περίπτωση αυτή, το σύστημα έχει μοναδική λύση την γβ' γβ ' αγ' αγ ' (, ) =, αβ' αβ ' αβ' αβ ' α α' Αν =, δηλαδή αν αβ α β =, τότε οι ευθείες ε και ε έχουν τον β β' ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οπότε ή είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις αντιστοίχως. Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε και στην περίπτωση που είναι β= ή β' =. Συνοψίζοντας τα παραπάνω συμπεράσματα για το γραμμικό σύστημα α+ β= γ α' + β' = γ ' Έχουμε: Αν αβ' αβ ' το σύστημα έχει μοναδική λύση την γβ' γβ ' αγ' αγ ' (, ) =, αβ' αβ ' αβ' αβ ' Αν αβ' αβ ' = το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι αδύνατο. Συνήθως η παράσταση αβ' αβ ', συμβολίζεται με D = α α' και λέγεται ορίζουσα του συστήματος Δηλαδή: α β D = = αβ' αβ '. α' β' Την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στη θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με: Ομοίως, την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στη θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με: β β' α γ D = = αγ' αγ '. α' γ'.

12 . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 Τα προηγούμενα συμπεράσματα τα οποία αφορούν στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος συνοψίζονται, με τη βοήθεια των οριζουσών, ως εξής: Το γραμμικό σύστημα α+ β= γ α' + β' = γ ' D Αν D¹, έχει μοναδική λύση, τη (,) με = και D Αν D=, είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. D = D Για παράδειγμα: = 6 9 Το σύστημα έχει + 4= 8 D = = 4 ( ) = 4+ 6=, 4 οπότε έχει μοναδική λύση. Επειδή 6 D = = = 4 και 8 4 έχουμε: D D και = = 4 = = = 4 =. D D Άρα, η μοναδική λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ) = ( 4, ). = 4 9 Το σύστημα έχει 4 6= 8 και επομένως το σύστημα αναμένεται ή να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το, τότε το σύστημα γράφεται = 4, = 4 δηλαδή έχει μόνο μία εξίσωση τη = 4. Αυτό σημαίνει ότι οι λύσεις του συστήματος είναι οι λύσεις της εξίσωσης 4 = 4 =.

13 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άρα το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων τα ζεύγη της μορφής k k 4,, k + = 9 Το σύστημα έχει 9+ = 6 και επομένως το σύστημα αναμένεται ή να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Το σύστημα αυτό γράφεται + = + = που είναι προφανώς αδύνατο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ η Να λυθεί το σύστημα λ = λ λ = λ λυση Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές και οι σταθεροί όροι του συστήματος δεν είναι όλοι συγκεκριμένοι αριθμοί, αλλά εξαρτώνται από το λ. Πρέπει επομένως για τις διάφορες τιμές του λ, να εξετάσουμε πότε προκύπτει σύστημα που έχει μοναδική λύση την οποία και να βρούμε ή πότε προκύπτει σύστημα αδύνατο ή σύστημα με άπειρες λύσεις. Όπως και στις εξισώσεις, ο λ λέγεται παράμετρος και η εργασία αυτή λέγεται διερεύνηση. Έχοντας υπόψη τον παραπάνω πίνακα, ακολουθούμε την εξής πορεία. Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D, D, D. Έχουμε: λ D = λ = + λ λ = λλ ( ) λ D = λ = ( λ ) + λ= λ λ λ D = = λ λ ( λ ) = λ ( λ+ ) = λ ( λ) λ λ

14 . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 Βρίσκουμε τις τιμές της παραμέτρου, για τις οποίες είναι D =. Έχουμε: D = λλ ( ) = λ= ή λ= Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 9 Αν D ¹, δηλαδή αν λ και λ, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ), με: D λ = = = ( λ ) = και D λλ ( ) λλ ( ) λ D = = = λ ( λ) λ ( λ ) = λ D λλ ( ) λλ ( ) Δηλαδή, για λ και λ, η μοναδική λύση του συστήματος είναι το ζεύγος. λ, λ 9 Αν D =, δηλαδή αν λ = ή λ =, τότε το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Συγκεκριμένα: Αν λ =, τότε το σύστημα γράφεται = = = = και άρα είναι αδύνατο. Αν λ =, τότε το σύστημα γράφεται = = 4 = = και άρα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Επειδή, = =, Οι λύσεις του συστήματος είναι όλα τα ζεύγη της μορφής Γραμμικό Σύστημα Μία εξίσωση της μορφής α+β+γz=, με έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α, β, γ διάφορο του μηδενός, λέγεται γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους. Λύση μιας γραμμικής εξίσωσης με τρεις αγνώστους λέγεται κάθε τριάδα αριθμών που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η εξίσωση ++z=6 είναι μια γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους και η τριάδα (, 5, ) είναι μια λύση της εξίσωσης, αφού +( )+5=6...

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους: α + β + γ z = δ, α + β + γ z = δ και α + β + γ z = δ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα και γράφουμε α+ β+ γz = δ α+ β+ γz = δ α+ β+ γz = δ Για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος χρησιμοποιούμε μεθόδους ανάλογες με τις μεθόδους που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος. Έστω για παράδειγμα ότι θέλουμε να λύσουμε το σύστημα + z = + z = ( ) + z = 8 () Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο, π.χ. την () ως προς z, και αντικαθιστούμε στις άλλες δύο. Έτσι έχουμε: + z= 8 z= + 8 (4) οπότε οι εξισώσεις () και () γράφονται: 9 + z= 9 + ( + 8) = 9 + = 5 (5) 9 + z= + ( + 8) = + = (6) Οι (5), (6) ορίζουν το γραμμικό σύστημα + = 5, + = από την επίλυση του οποίου βρίσκουμε ότι = και =. Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές των και στην (4) και βρίσκουμε z =. Άρα η λύση του αρχικού συστήματος είναι η τριάδα (,, ). ΣΧΟΛΙΟ Επειδή η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, όπως είδαμε παραπάνω, ανάγεται στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, προκύπτει ότι και ένα γραμμικό σύστημα ή έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

16 . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ = 4. Να λύσετε το σύστημα + = i) αλγεβρικά ii) γραφικά.. Να λύσετε τα συστήματα = = i) 7 8 ii) 4 + = = 8. Να λύσετε τα συστήματα: = 7 i) ii) = 8 4. Να λύσετε τα συστήματα: = i) ii) = + = = = + + = 5. Να λύσετε τα συστήματα με τη μέθοδο των οριζουσών: + = 7 = 8 i) ii) 5= = 6. Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων των παρακάτω συστημάτων, χωρίς να τα λύσετε. 5= 4 = 4 + = i) ii) iii) 6+ 7= 4 6= 8 9 = 7. Να λύσετε τα συστήματα: ( + ) + 4= 7 ( ) + = i) ii) + ( + ) = + ( ) =

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 8. Να λύσετε τα συστήματα: ω = 5 + ω = 4 i) 5 ω = ii) + ω = iii) 5+ ω = + ω = Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε και ε του διπλανού σχήματος. ii) Ποιο σύστημα ορίζουν οι ε και ε και ποια είναι η λύση του συστήματος; + ω = + + ω = 5 5+ ω = 6 ε ε O 4. Ένα ξενοδοχείο έχει 6 δωμάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68 κρεβάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια;. Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει,5 και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4. Τον αγώνα παρακολούθησαν άτομα και εισπράχτηκαν 55. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα. 4. Η αντίσταση R ενός σύρματος ως συνάρτηση της θερμοκρασίας T μπορεί να βρεθεί με τον τύπο R =αt + β. Αν στους C η αντίσταση ήταν,4 Ω και στους 8 C η αντίσταση ήταν,5 Ω, να βρείτε τα α και β. 5. Ένας χημικός έχει δύο διαλύματα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικότητα 5% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 8% σε υδροχλωρικό οξύ. Ποια ποσότητα από κάθε διάλυμα πρέπει να αναμείξει ώστε να πάρει ml διάλυμα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ; 6. Δίνονται οι ευθείες ε : + 4 = και ε :+ = α, α. i) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ε και ε. ii) Υπάρχουν τιμές της παραμέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέμνονται; iii) Για ποιες τιμές της παραμέτρου α οι ευθείες είναι παράλληλες;

18 . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του α τα κοινά σημεία των ευθειών: i) ε : α+ = α και ε :+ α =. ii) ε : α = α και ε α 4 :+ =. 8. Να λύσετε τα συστήματα: ( λ ) = ( µ ) + 5= 5 i), λ ii), 4 ( λ + ) = + ( µ + ) = 5 µ 9. Οι κύκλοι του διπλανού σχήματος εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ισχύει ΟΟ = 6, OO = 5 και OO = 7. Να υπολογίσετε τις ακτίνες των τριών κύκλων. Ο Ο Ο. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τον εγγεγραμμένο του κύκλο που εφάπτεται των πλευρών στα σημεία Δ, Ε και Ζ. Nα υπολογίσετε τα τμήματα ΑΖ =, BΔ = και ΓΕ = z, συναρτήσει των πλευρών α, β και γ.. Ένας χημικός έχει τρία διαλύματα από το ίδιο οξύ. Το πρώτο περιέχει 5% οξύ, το δεύτερο % οξύ και το τρίτο % οξύ. Ο χημικός θέλει να παρασκευάσει 5 lit διάλυμα περιεκτικότητας % σε οξύ, χρησιμοποιώντας και τα τρία διαλύματα και μάλιστα η ποσότητα του πρώτου διαλύματος να είναι διπλάσια από την ποσότητα του τρίτου διαλύματος. Να βρείτε πόσα λίτρα από κάθε διάλυμα θα χρησιμοποιήσει.. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών τριωνύμων, δηλαδή συναρτήσεων της μορφής = α + β + γ. Να βρείτε τα τριώνυμα αυτά. Β Ζ Ο Δ Α Ε Γ K(,4) =f() =g() 4 =h() O K(, ) O O 4

19 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση πολλών προβλημάτων οδηγεί συχνά σε ένα σύνολο εξισώσεων των οποίων ζητάμε τις κοινές λύσεις, αλλά οι εξισώσεις αυτές δεν είναι όλες γραμμικές. Για παράδειγμα, έστω ότι ζητάμε δυο αριθμούς με άθροισμα και άθροισμα τετραγώνων 89. Αν, είναι οι δύο αριθμοί, τότε πρέπει + = και + = 89. Επειδή ζητάμε και κοινές λύσεις των δύο εξισώσεων, έχουμε το σύστημα: + = + = 89 ( ) Για τη λύση του συστήματος εργαζόμαστε ως εξής: Επιλύουμε την (), ως προς έναν άγνωστο, π.χ. ως προς, και αντικαθιστούμε στη (). Έχουμε + = = (). Επομένως + ( ) = = = + 4 =. Η τελευταία εξίσωση είναι ου βαθμού με διακρίνουσα Δ= 9. Επομένως: 8 ± = 5 Από την (), για =8 έχουμε =5, ενώ για =5 έχουμε =8. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (8, 5) και (5, 8). Η απάντηση βέβαια στο πρόβλημα είναι ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 5 και 8. Στη συνέχεια θα δούμε, με τη βοήθεια παραδειγμάτων, διάφορες περιπτώσεις επίλυσης μη γραμμικών συστημάτων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ o Να λυθεί το σύστημα

20 . ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 ΛΥΣΗ α τρόπος Επιλύουμε την () ως προς και αντικαθιστούμε στη (). Έχουμε: + = 5 = 5 (). Επομένως = 6 ( 5 ) = 6 5 = = Από την () για = έχουμε =, ενώ για = έχουμε =. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (, ) και (, ). β τρόπος Εξετάζοντας το σύστημα βλέπουμε ότι αναζητούμε δύο αριθμούς για τους οποίους γνωρίζουμε ότι έχουν άθροισμα 5 και γινόμενο 6. Επομένως, από τους τύπους του Vieta οι αριθμοί αυτοί είναι ρίζες της εξίσωσης ω 5ω+ 6=. Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι οι και οπότε οι λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη (,) και (,). ΣΧΟΛΙΟ = ή =. Η πρώτη εξίσωση του συστήματος +=5 παριστάνει ευθεία, ενώ η δεύτερη εξίσωση = 6 παριστάνει την υπερβολή = 6. Επομένως οι συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας και της υπερβολής θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος. A B O

21 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τα σημεία τομής είναι τα Α(,) και Β(,). Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις (,) και (,). ο Να λυθεί το σύστημα = 6 () + = ( ) ΛΥΣΗ Λύνουμε την () ως προς και αντικαθιστούμε στη (). Έχουμε 6 = 6 = οπότε η () γίνεται: 6 + = + = 6 + = = = Η εξίσωση αυτή είναι διτετράγωνη. Αν θέσουμε =ω, τότε η εξίσωση γίνεται ω ω+ 6 =, της οποίας οι λύσεις είναι η ω=9 και η ω=4. 9 Για ω=9 έχουμε = 9 = ή = Από την () για = παίρνουμε = και για = παίρνουμε =. 9 Για ω = 4 έχουμε = 4 = ή =. Από την () για = παίρνουμε = και για = παίρνουμε =. Άρα το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις τις (,), (, ), (,) και (, ). ΣΧΟΛΙΟ Η πρώτη εξίσωση του συστήματος = 6 παριστάνει την υπερβολή = 6, ενώ η δεύτερη εξίσωση + = παριστάνει κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ=.

22 . ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 Επομένως οι συντεταγμένες των σημείων τομής της υπερβολής και του κύκλου θα μας δώσουν τις λύσεις του συστήματος. A B B A Ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ + + =. Να λύσετε το σύστημα:. + =. Να λύσετε τα συστήματα: = + = 9 + = 5 i) ii) iii) = 4 = = και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τα αποτελέσματα.. Από τους τύπους S= υt+ αt υ S= + υ t. και υ= υ + αt, να δείξετε ότι Β ΟΜΑΔΑΣ = +. Να λύσετε τo σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα. + = 5

23 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5=. Να λύσετε το σύστημα: = 4 +. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι cm. Αν η μία διάσταση του ορθογωνίου αυξηθεί κατά cm, ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά cm, τότε το εμβαδόν του δεν μεταβάλλεται. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. 4. Δίνεται η παραβολή = και η ευθεία = +. Να βρείτε για ποιες τιμές του k η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία. 5. Να λύσετε τo σύστημα = και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το = + µ αποτέλεσμα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: + = + = + 4= = ( Σ ): ( Σ 4, ): ( Σ + =, ): ( Σ + = 4 + =, 4 ): + α = με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή. Α) Έχει μοναδική λύση, Β) Είναι αδύνατο, Γ) Έχει άπειρο πλήθος λύσεων. (Σ ) (Σ ) (Σ ) (Σ 4 ) II. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. A Ψ. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα είναι D =, τότε το σύστημα είναι κατ ανάγκη αδύνατο. Α Ψ =. Το σύστημα είναι αδύνατο. + = Α Ψ 4. Ο κύκλος + = και η παραβολή = + δεν έχουν κοινά σημεία. A Ψ

24 Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες των συναρτήσεων και των γραφικών τους παραστάσεων.. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μονοτονία συνάρτησης Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης T = f (t) που εκφράζει τη θερμοκρασία Τ ενός τόπου συναρτήσει του χρόνου t κατά το χρονικό διάστημα από τα μεσάνυχτα μιας ημέρας (t =) μέχρι τα μεσάνυχτα της επόμενης μέρας (t =4). T(ºC) T=f(t) 5 Ο t(h) α) Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [4,6] η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας ανέρχεται. T(ºC) T=f(t) 5 f(t) f(t) Ο 4 t t 6 4 t(h)

25 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αυτό σημαίνει ότι στο διάστημα αυτό, με την πάροδο του χρόνου, η θερμοκρασία αυξάνεται, δηλαδή για οποιαδήποτε t, t [ 46, ] με t < t ισχύει: f( t ) < f( t ) Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T = f (t ) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [4,6]. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f( ) < f( ) Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ γράφουμε f Δ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( )= είναι γνησίως αύξουσα στο. Πράγματι έστω,, με <. Τότε έχουμε: < < < f( ) < f( ) Γενικά: Η συνάρτηση f( )= α + β, με α > είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Στο ίδιο σχήμα, παρατηρούμε επιπλέον ότι στο διάστημα [6,4] η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας κατέρχεται. T(ºC) T=f(t) 5 f(t ) f(t ) Ο 4 6 t t 4 t(h)

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αυτό σημαίνει ότι στο διάστημα αυτό, με την πάροδο του χρόνου, η θερμοκρασία μειώνεται, δηλαδή για οποιαδήποτε t, t [ 6, 4] με t < t ισχύει: f( t) > f( t) Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T = f (t ) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [6,4]. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f ( ) > f ( ) Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ γράφουμε f Δ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( )= + 5 είναι γνησίως φθίνουσα στο. Πράγματι έστω,, με <. Τότε έχουμε: < > + 5> + 5 f( ) > f( ) Γενικά: Η συνάρτηση f( )= α + β, με α < είναι γνησίως φθίνουσα στο. Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ. Ελάχιστο και μέγιστο συνάρτησης Ας θεωρήσουμε και πάλι τη γραφική παράσταση της συνάρτησης T = f (t). T(ºC) T=f(t) 5 O t(h)

27 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παρατηρούμε ότι: α) Τη χρονική στιγμή t = 4 η θερμοκρασία του τόπου παίρνει την ελάχιστη τιμή της, που είναι η f( 4) = βαθμοί Κελσίου. Δηλαδή ισχύει: f() t f ( 4) =, για κάθε t [ 4, ] Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T = f (t) παρουσιάζει στο t = 4 ελάχιστο, το f( 4) =. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο όταν: f( ) f( ), για κάθε A Το A λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το f ( ) ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο της συνάρτησης f και το συμβολίζουμε με min f (). 4 Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )= +. Επειδή 4, για κάθε, θα είναι 4, για κάθε, οπότε θα έχουμε 4 +, για κάθε. Επομένως: f( ) f ( ), για κάθε. Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο =, το f( ) = β) Τη χρονική στιγμή t = 6 η θερμοκρασία του τόπου παίρνει τη μέγιστη τιμή της, που είναι η T(6)= βαθμοί Κελσίου. Δηλαδή ισχύει: f() t f ( 6) =, για κάθε t [ 4, ] Για το λόγο αυτό λέμε ότι η συνάρτηση T = f (t) παρουσιάζει στο t =6 μέγιστο, το f (6)=. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο όταν: f( ) f( ), για κάθε A

28 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Το A λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f ( ) ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο της f και το συμβολίζουμε με ma f ( ). 4 Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )= +. Επειδή θα είναι οπότε θα έχουμε Επομένως: 4, για κάθε, 4, για κάθε, 4 +, για κάθε. f( ) f ( ), για κάθε Άρα, η f παρουσιάζει μέγιστο στο =, το f( ) =. Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα αυτής. ΣΧΟΛΙΟ Μια συνάρτηση ενδέχεται να έχει και μέγιστο και ελάχιστο (Σχ. α) ή μόνο ελάχιστο (Σχ. β ) ή μόνο μέγιστο (Σχ. γ ) ή να μην έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο (Σχ. δ ). =f() =f() Ο Ο Σχήμα α Σχήμα β =f() =f() Ο Ο Σχήμα γ Σχήμα δ

29 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Άρτια συνάρτηση α) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού όλο το. Παρατηρούμε ότι η C f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ', αφού το συμμετρικό κάθε σημείου της C f ως προς τον άξονα ' ανήκει στη C f. Επειδή, όμως, το συμμετρικό του τυχαίου σημείου M(, ) της C f ως προς τον άξονα ' είναι το σημείο M'(, ) και επειδή τα σημεία M(, ) και M'(, ) ανήκουν στη C f, θα ισχύει = f () και = f ( ), οπότε θα έχουμε: f( ) = f( ) Η συνάρτηση f με την παραπάνω ιδιότητα λέγεται άρτια. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε A ισχύει: A και f( ) = f( ) Cf M M f( ) f() O Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα. 4 Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( )= + είναι άρτια συνάρτηση, αφού έχει πεδίο ορισμού όλο το και για κάθε ισχύει: f( ) = ( ) 4 ( ) + = 4 + = f( ) Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα '. Περιττή συνάρτηση β) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού όλο το. Παρατηρούμε ότι η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, αφού το συμμετρικό κάθε σημείου της C f ως προς την αρχή των αξόνων ανήκει στη C f. f( ) M O Cf M f()

30 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Επειδή, όμως, το συμμετρικό του τυχαίου σημείου M(, ) της C f ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο M'(, ) και επειδή τα σημεία M(, ) και M'(, ) ανήκουν στη C f, θα ισχύει = f ( ) και = f( ), οπότε θα έχουμε: f( ) = f( ) Η συνάρτηση f με την παραπάνω ιδιότητα λέγεται περιττή. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε A ισχύει: A και f( ) = f( ) Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f( )= είναι περιττή συνάρτηση, διότι έχει πεδίο ορισμού όλο το και για κάθε ισχύει: f( ) = ( ) ( ) = + = f( ) Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ο όρος άρτια προέκυψε αρχικά από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις =, = 4, = 6 κτλ., που έχουν άρτιο εκθέτη, έχουν άξονα συμμετρίας τον άξονα ', είναι δηλαδή άρτιες συναρτήσεις, ενώ ο όρος περιττή προέρχεται από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις =, =, = 5 κτλ., που έχουν περιττό εκθέτη, έχουν κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, είναι δηλαδή περιττές συναρτήσεις. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ορισμένα τμήματα της γραφικής παράστασης μιας άρτιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [ 6,6]. Να χαραχθούν και τα υπόλοιπα τμήματα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής: α) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f :

31 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 i) είναι γνησίως αύξουσα, ii) είναι γνησίως φθίνουσα, iii) είναι σταθερή. β) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f, καθώς επίσης οι θέσεις των ακροτάτων αυτών. Ο ΛΥΣΗ Επειδή η συνάρτηση f είναι άρτια, η γραφική της παράσταση θα έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα '. Επομένως, αν πάρουμε τα συμμετρικά ως προς τον άξονα ' των δοθέντων τμημάτων της γραφικής παράστασης της f, θα έχουμε ολόκληρη τη γραφική παράσταση της f, που είναι η πολυγωνική γραμμή Α Β Γ ΟΓΒΑ (Σχήμα). A 4 A B Γ Γ Β 6 5 Ο 5 6 Από την παραπάνω γραφική παράσταση προκύπτει ότι: α) Η συνάρτηση f : i) είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα [,] και [5,6], ii) είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα [, ] και [ 6, 5 ], τα οποία είναι συμμετρικά ως προς το Ο των διαστημάτων [,] και [5,6] αντιστοίχως στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα. iii) είναι σταθερή σε καθένα από τα διαστήματα [ 5, ] και [,5] τα οποία είναι συμμετρικά μεταξύ τους ως προς το Ο.

32 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ β) Η μέγιστη τιμή της f είναι ίση με 4 και παρουσιάζεται όταν το πάρει τις τιμές 6 και 6. Δηλαδή ισχύει: ma f( ) = f( 6) = f( 6) = 4 Η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με και παρουσιάζεται όταν το πάρει την τιμή. Δηλαδή ισχύει: min f () = f () =. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι: α) γνησίως αύξουσα και β) γνησίως φθίνουσα. Ο =f() Ο =g() Ο =h() ) Να προσδιορίσετε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων της προηγούμενης άσκησης, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών. ) Να δείξετε ότι: i) Η συνάρτηση f( )= 6+ παρουσιάζει ελάχιστο για =. ii) Η συνάρτηση g ( )= παρουσιάζει μέγιστο για =. + 4) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές: 4 i) f ( )= + 5 ii) f( )= + iii) f ( )= + 5 iv) f4( )= v) f5( )= vi) f + 6( )= +.

33 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 5) Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) f( )= ii) f( )= iii) f( )= + iv) f + ( )= + 4 v) f5 ( )= vi) f6( )=. 6) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης. =f() =g() =h() Ο Ο Ο 7) Ομοίως για τις παρακάτω γραμμές =f() =g() =h() Ο Ο Ο 8) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να παριστάνουν γραφικές παραστάσεις α) Άρτιας συνάρτησης και β) Περιττής συνάρτησης. C C C Ο Ο Ο

34 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )= +. Επειδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( )= +, θα αποτελείται από τις ημιευθείες 9 = +, με και 9 = +, με, που έχουν αρχή το σημείο του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών, f( ) = + αν <, +, αν O ' ˆ και O ˆ από τις οποίες, όπως είναι γνωστό, αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( ) = (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( ) = κατακόρυφα () και προς τα πάνω κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f( )= +. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει: f( ) = ϕ( ) +, για κάθε, που σημαίνει ότι για κάθε το f () είναι κατά μονάδα μεγαλύτερο του φ(). Γενικά: ' Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f( ) = ϕ ( ) + c, όπου c >, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα α ) = + = O () Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα '.

35 . ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 4 c c c =φ()+c c c O =φ() Σχήμα α β) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )=. Επειδή, f( ) = αν <,, αν η γραφική παράσταση της f( )=, θα αποτελείται = από τις ημιευθείες 9 =, με και 9 =, με, = O που έχουν αρχή το σημείο του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' O ˆ και Ô από τις οποίες αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( ) = (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( ) = κατακόρυφα και προς τα κάτω κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f( )=. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει: f( ) = ϕ( ), για κάθε, που σημαίνει ότι για κάθε το f () είναι κατά μονάδα μικρότερο του φ(). Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f( ) = ϕ ( ) c, όπου c >, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω (Σχήμα β ) Σχήμα β

36 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ =φ() c c O c =φ() c c c Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )=. Επειδή η γραφική παράσταση της f( )=, θα αποτελείται από τις ημιευθείες 9 = +, με και 9 =, με, που έχουν αρχή το σημείο του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' O ˆ και O ˆ Σχήμα β, f( ) = + αν <,, αν από τις οποίες αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( ) = (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( ) = οριζόντια () και προς τα δεξιά κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f( )=. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει f( ) = ϕ( ), για κάθε, που σημαίνει ότι η τιμή της f( )= στη θέση είναι ίδια με την τιμή της ϕ( ) = στη θέση. = O = () Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα '.

37 . ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 4 Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με: f( ) = ϕ ( c), όπου c >, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά (Σχήμα γ ). Πράγματι επειδή f( ) = ϕ ( c), η τιμή της f στη θέση είναι ίδια με την τιμή της φ στη θέση c, που βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της θέσης. Άρα, η γραφική παράσταση της f θα βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα γ ). c C φ c C f φ(-c) f() c c c Σχήμα γ β) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( )= +. Επειδή O η γραφική παράσταση της f( )= + θα αποτελείται από τις ημιευθείες = 9 =, με και 9 = +, με, = + που έχουν αρχή το σημείο του άξονα ' και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών ' O ˆ και O ˆ O από τις οποίες αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( ) = (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( ) = οριζόντια και προς τα αριστερά κατά μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική

38 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ παράσταση της f( )= +. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει f( ) = ϕ( + ), για κάθε, που σημαίνει ότι η τιμή της f( )= + στη θέση είναι ίδια με την τιμή της ϕ( ) = στη θέση +. Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f( ) = ϕ ( + c), όπου c >, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά (Σχήμα δ ). Πράγματι επειδή f( ) = ϕ ( + c), η τιμή της f στη θέση είναι ίδια με την τιμή της φ στη θέση + c, που βρίσκεται c μονάδες δεξιότερα της θέσης. Άρα, η γραφική παράσταση της f θα βρίσκεται c μονάδες αριστερότερα της γραφικής παράστασης της φ (Σχήμα δ ). c c C f c C φ f() φ=(+c) c O Σχήμα δ +c ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f( )= + +. ΛΥΣΗ Αρχικά χαράσσουμε την = +, που όπως είδαμε προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της = κατά μονάδες προς τα αριστερά. Στη συνέχεια χαράσσουμε την = + +,που όπως είδαμε προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της = + κατά μονάδες προς τα πάνω.

39 . ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 45 Επομένως, η γραφική παράσταση της f( )= + + προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της συνάρτησης =, μιας οριζόντιας κατά μονάδες προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα). = + + O = + = ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουμε για να παραστήσουμε γραφικά τις συναρτήσεις της μορφής: f( ) = ϕ ( ± c) ± d, με c,d > Δηλαδή, αξιοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης. ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΟΜΑΔΑΣ. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: ϕ( ) =, f( )= + και g ( )=.. Ομοίως για τις συναρτήσεις: ϕ( ) =, h ( )= + και q ( )=.. Ομοίως για τις συναρτήσεις: ϕ( ) =, F ( )= + + και G ( )=.

40 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. i) Να γράψετε τη συνάρτηση f( )= 4+ 5 στη μορφή f( ) = α( p) + q και στη συνέχεια να βρείτε με ποια οριζόντια και ποια κατακόρυφη μετατόπιση η γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( )= θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f. ii) Να κάνετε το ίδιο και για τη συνάρτηση f( )= + 8 9, θεωρώντας ως g την g ( )=. 5. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φ που αποτελείται από τη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων και από το ημικύκλιο που ανήκει στο ο τεταρτημόριο και έχει διάμετρο που ορίζουν τα σημεία O(,) και A(,). Cφ O Α Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f( ) = ϕ( ) + και g ( ) = ϕ( ) ii) h ( ) = ϕ( + ) και q ( ) = ϕ( ) iii) F ( ) = ϕ( + ) + και G ( ) = ϕ( ). 6. Δίνεται η συνάρτηση ϕ( ) =. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ: i) κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά μονάδα προς τα πάνω. ii) κατά μονάδες προς τα δεξιά και κατά μονάδες προς τα κάτω. iii) κατά μονάδες προς τα αριστερά και κατά μονάδα προς τα πάνω. iv) κατά μονάδες προς τα αριστερά και κατά μονάδες προς τα κάτω.

41 . ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. Α Ψ. Μία γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα. Α Ψ. Υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση που διέρχεται από τα σημεία Α(,), Β(,) και Γ (,). Α Ψ 4. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και έχει ρίζα τον αριθμό, τότε θα ισχύει f () <. Α Ψ 5. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,5), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα. Α Ψ 6. Αν η μέγιστη τιμή μιας συνάρτησης f είναι ίση με, τότε η εξίσωση f () = είναι αδύνατη. Α Ψ 7. Η συνάρτηση f:[, ] με f( )= είναι άρτια. Α Ψ 8. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή και έχει ρίζα τον αριθμό ρ, τότε θα έχει ρίζα και τον αριθμό ρ. Α Ψ 9. Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Α Ψ. Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f είναι περιττή. Α Ψ II) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση για την παρακάτω συνάρτηση f. Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ϕ( ) = 4, μιας οριζόντιας κατά μονάδα προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω, έχει τύπο: 4 Α) f( ) = ( ) + 4 Γ) f( ) = ( + ) + 4 Β) f( ) = ( ) 4 Δ) f( ) = ( + )

42 Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις κάθετες MM και NN προς την άλλη πλευρά της γωνίας, τότε τα τρίγωνα OMM και ONN θα είναι όμοια, οπότε θα ισχύει: Ο ω Μ Μ Ν Ν Β Α ( MM) ( NN), ( OM) ( ON) = = και ( OM) ( ON) ( OM) ( ON) ( MM) ( NN) = ( OM ) ( ON ) Επομένως, για τη γωνία ω τα πηλίκα ( MM ), ( OM ) και ( MM) ( OM) ( OM) ( OM ) είναι σταθερά, δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σημείου Μ πάνω στην πλευρά της γωνίας. Τα πηλίκα αυτά, όπως γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο, ονομάζονται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζονται με ημω, συνω και εφω, αντιστοίχως. Δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο MOM, ισχύει: ( ) ηµω= ( MM ) απέναντι κάθετη ( OM) υποτείνουσα

43 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ συνω = ( ΟM ) ( OM) εϕω= ( MM ) ( OM ) Ορίζουμε ακόμα ως συνεφαπτομένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συμβολίζουμε με σφω, το σταθερό πηλίκο σϕω = ( ΟM ) προσκείμενη κάθετη ( MΜ ) απέναντι κάθετη Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με ο ω 6 ο προσκείμενη κάθετη ( υποτείνουσα ) απέναντι κάθετη ( προσκείμενη κάθετη ) ( ) Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, Ot μία ημιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ημιάξονα O αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά γύρω από το Ο μέχρι να συμπέσει για πρώτη φορά με την ημιευθεία Ot (Σχ. α, β ). Ο θετικός ημιάξονας O λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω, ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω. Μ Ο ρ ω t Μ(,) Μ t Μ(,) ρ Μ Μ Ο ω Σχήμα α Σχήμα β Πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας ω παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ(, ) και φέρνουμε την κάθετη MΜ στον άξονα ' (Σχ. α και β ). Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ. α ), τότε, όπως είδαμε παραπάνω, ισχύουν οι ισότητες: ηµω= ( MM ), συνω = ( ΟM ), εϕω= ( MM ) και ( OM) ( OM) ( OM ) σϕω = ( ΟM ) ( MΜ ) Όμως ( ΟΜ ) =, ( Μ M) = και ( OM) = + = ρ > οι παραπάνω ισότητες γράφονται:. Επομένως, ηµω =, συνω =, εϕω= και σϕω =, όπου ρ= + >. ρ ρ

44 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 5 Γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουμε με τον ίδιο τρόπο τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας ω (Σχήμα β ). Σε κάθε λοιπόν περίπτωση έχουμε: ηµω =, ρ εϕω= (εφόσον ¹) συνω = ρ, σϕω = (εφόσον ¹), όπου ρ= + > όπου (, ) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο) της τελικής πλευράς της γωνίας ω και ρ= + > η απόσταση του Μ από το Ο. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 6 ο και αρνητικών γωνιών Ας υποθέσουμε ότι ο ημιάξονας O ενός συστήματος συντεταγμένων O περιστρέφεται γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά. Αν πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και περιστραφεί επιπλέον και κατά γωνία μέτρου ο, τότε λέμε ότι ο O έχει διαγράψει γωνία ω= 6 + = 9. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι γωνίες που είναι μεγαλύτερες των 6, δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ω= ν 6 + µ, όπου ν N * και o μ < 6 o Αν τώρα ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία μέτρου, τότε λέμε ότι ο ημιάξονας O έχει διαγράψει αρνητική γωνία 6 ο + ο = 9 ο ή αλλιώς γωνία: ω= ( 6 + ) = 9 Ο Ο 9 9 t t

45 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της μορφής: ω= ( ν 6 + µ ), όπου ν N και µ < 6 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που είναι μεγαλύτερες από 6 o, καθώς και των αρνητικών γωνιών, ορίζονται όπως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών από μέχρι 6. Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε: ηµω =, εϕω= (εφόσον ¹) ρ συνω =, σϕω = (εφόσον ¹) ρ, όπου ρ= + > όπου (, ) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ της τελικής πλευράς της γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και ρ= + > η απόσταση του Μ από το Ο. Ας θεωρήσουμε τώρα μια γωνία ω (θετική ή αρνητική) με αρχική πλευρά τον ημιάξονα O. Αν ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 6 + ω, που έχει την ίδια τελική πλευρά με την ω. Αν όμως ο ημιάξονας O, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 6 + ω, που έχει και αυτή την ίδια τελική πλευρά με την ω. Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής k 6 + ω, k, επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Επομένως, για κάθε k θα ισχύει: ηµ ( k 6 + ω) = ηµω, εϕ( k 6 + ω) = εϕω συν( k 6 + ω) = συνω, σϕ( k 6 + ω) = σϕω

46 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 5 Ο τριγωνομετρικός κύκλος Για έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντομο, υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, χρησιμοποιούμε το λεγόμενο τριγωνομετρικό κύκλο. Ο τριγωνομετρικός κύκλος θα μας εξυπηρετήσει και σε άλλους σκοπούς, όπως θα φανεί στις επόμενες παραγράφους. Με κέντρο την αρχή Ο(,) ενός συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα ρ = γράφουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος. Έστω τώρα ότι η τελική πλευρά μιας γωνίας, π.χ. της γωνίας ω=5 τέμνει τον κύκλο αυτό στο σημείο Ν(α, β). β Επειδή ηµ 5 = και ρ= ρ θα ισχύει ηµ 5 = β 57, o o 6 o 5o 4o 4 N(α,β) 5o β o 6o o ω 7o o, 5 8o Ο, α 9o o 5 o o 4 o o o o o o Μ(,) 4o o 5o 9o 6o o 7 8o α Ομοίως, επειδή συν5 = και ρ =, θα ισχύει συν5 = α 8,. ρ Γενικότερα, αν η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(, ), τότε ισχύει: συνω = = τετμημένη του σημείου Μ ημω = = τεταγμένη του σημείου Μ o o o o o o Για το λόγο αυτό ο άξονας ' λέγεται και άξονας των συνημίτονων, ενώ ο άξονας ' λέγεται και άξονας των ημίτονων. Άμεσες συνέπειες του παραπάνω συμπεράσματος είναι οι εξής:. Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ απόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, που είναι ίση με. Δηλαδή ισχύει: συνω και ηµω

47 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας. 4 ημω + + συνω + + εφω + + σφω + + Ο άξονας των εφαπτομένων Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέμνει στο σημείο M(, ). Φέρνουμε την εφαπτομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Α. Αν η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο τεταρτημόριο και η ευθεία ΟΜ τέμνει την ε στο Ε, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΕ θα έχουμε A B O B ω M ε E(, ) E A t ( ΑΕ) ( ΑΕ) εϕω= = = ( ΑΕ) ( ΟΑ) Αν με E παραστήσουμε την τεταγμένη του Ε, τότε θα ισχύει (AE)= E, οπότε θα είναι εφω = E. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτημόριο. Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει: εφω = E = τεταγμένη του σημείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση =, λέγεται άξονας των εφαπτομένων.

48 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 55 Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών Έχουμε γνωρίσει στο Γυμνάσιο το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων. Συγκεκριμένα, ένα τόξο AB ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή rad), αν το τόξο αυτό έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. Επομένως, το τόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S = α ρ. Ορίζουμε τώρα το ακτίνιο και ως μονάδα μέτρησης των γωνιών ως εξής: O ρ B rad ρ ρ A ΟΡΙΣΜΟΣ Ακτίνιο (ή rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή rad). Από τον ορισμό αυτό προκύπτει και η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών, ως εξής: Έστω ότι μια γωνία ω είναι µ και α rad. Επειδή το μήκος ενός κύκλου α- κτίνας ρ είναι πρ, η γωνία 6 είναι ίση με π rad. οπότε, Επομένως, η γωνία rad είναι ίση με 6 π μοίρες, η γωνία α rad είναι ίση με α 8 μοίρες. π Επειδή όμως η γωνία ω είναι µ, θα ισχύει µ = α 8, οπότε θα έχουμε: π Για παράδειγμα: 9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 6 σε ακτίνια, θέτουμε στον τύπο όπου µ=6 και έχουμε α 6 = α = π π 8 Άρα είναι 6 = π rad.

49 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 Για να εκφράσουμε τη γωνία 5 π rad σε μοίρες, θέτουμε στον τύπο 6 α π µ = 8 όπου α π = 5 6 και έχουμε 5π 6 µ 5 µ = = µ = 5 π Άρα 5 π rad = 5. 6 Στον παρακάτω πίνακα επαναλαμβάνουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μερικών γωνιών που είχαμε υπολογίσει στο Γυμνάσιο και οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές. Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες σε rad ημω συνω εφω σφω Δεν ορίζεται π 6 45 π 4 6 π 9 π Δεν ορίζεται ΣΗΜΕΙΩΣΗ Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο rad έχει μήκος, αντί να γράφουμε ημ( rad), συν( rad), εφ( rad) και σφ( rad), θα γράφουμε απλά ημ, συν, εφ και σφ. Για παράδειγμα, αντί να γράφουμε π.χ. ηµ π rad θα γράφουμε απλά ηµ π και αντί ημ(rad ) θα γράφουμε απλά ημ.

50 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 57 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Οι μετρήσεις που έκανε ένας μηχανικός για να βρει το ύψος h ενός καμπαναριού ΓΚ φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογιστεί το ύψος του καμπαναριού σε μέτρα με προσέγγιση ακέραιας μονάδας. K h ΛΥΣΗ Από το σχήμα έχουμε: εϕ48 = h h, οπότε ΑΓ = ΑΓ εϕ48 Α 48 ο m Β 7 ο Γ εϕ7 = h h, οπότε ΒΓ = ΒΓ εϕ7 AΓ ΒΓ = ΑΒ = m Επομένως h h εϕ7 εϕ48 =, οπότε h = εϕ48 εϕ7 εϕ7 εϕ48. Με τους τριγωνομετρικούς πίνακες ή με ένα κομπιουτεράκι βρίσκουμε ότι εϕ7 75, και εϕ48,. Αντικαθιστούμε στην () και έχουμε: 6, 5 h 7 64, Άρα το ύψος του καμπαναριού είναι περίπου 7m. η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 75. ΛΥΣΗ Αν διαιρέσουμε το 75 με το 6 βρίσκουμε πηλίκο και υπόλοιπο, έτσι έχουμε 75 = 6 + Επομένως ηµ 75 = ηµ ( 6 + ) = ηµ = συν75 = συν = εϕ75 = εϕ = σϕ75 = σϕ =

51 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 79 π rad. ΛΥΣΗ Είναι 79 π 79 = 6 π. Αν τώρα διαιρέσουμε τον 79 με τον 6 βρίσκουμε πηλίκο 79π 79 και υπόλοιπο. Επομένως είναι 6 = π= + 6 π= π + π, οπότε θα έχουμε: π ηµ 79 π ηµ π ηµ π = + = = συν 79 π π = συν = εϕ 79π = εϕ π = σϕ 79π = σϕ π = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη, και τη γωνία ω.. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου του διπλανού σχήματος. B Γ. Μια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο S = 6cm. Να εκφράσετε τη γωνία αυτή σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι: i) ρ = cm ii) ρ = cm iii) ρ = cm. 4. Να εκφράσετε σε rad γωνία i) ii) iii) 6 iv) Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία: i) π rad ii) 5 π 9π rad iii) rad iv) rad Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας i) 8 ii) 94 iii) 98 iv) 6. B 6 A 6 Δ A ω Γ 4

52 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 59 Β ΟΜΑΔΑΣ. Σε μικρά αεροδρόμια υπολογίζουν N (Nέφος) το ύψος των νεφών με τη βοήθεια μιας ισχυρής λάμπας εντός παραβολικού h κατόπτρου, η οποία βρίσκεται ω 7 σε απόσταση πόδια ( πόδι, m) από το σημείο του παρατηρητή. Π (Παρατηρητής). πόδια Δ Λ(Λάμπα) Η λάμπα είναι τοποθετημένη υπό σταθερή γωνία και ο παρατηρητής στρέφει το όργανο παρατήρησης στο σημείο ανάκλασης του φωτός από τα νέφη. i) Να προσδιορίσετε το ύψος h για ω = και 6. ii) Πόση είναι η γωνία ω, αν h= πόδια;. Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος: Ε i) Να δείξετε ότι: Γ (ΑΓ) = (ΒΓ) = ημ 45 =. ii) Να εξηγήσετε γιατί είναι Δ ( ΕΒ ) = 4 ηµ 5,. iii) Να υπολογίσετε το μήκος (ΓΕ). iv) Να δείξετε, χρησιμοποιώντας A,5 o Ο 45 o B το τρίγωνο ΒΕΓ, ότι ( ΕΒ ) =. v) Να υπολογίσετε το ηµ, 5. vi) Ποιων άλλων γωνιών μπορείτε να υπολογίσεται το ημίτονο και πώς πρέπει να συνεχιστεί η κατασκευή για το σκοπό αυτό;. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ του διπλανού σχήματος. A 6 4. Η πιο αργή κίνηση που μπορεί να επισημάνει το ανθρώπινο μάτι είναι mm ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε πόσο μήκος πρέπει να έχει ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού για να μπορούμε να επισημάνουμε την κίνηση του άκρου του. B Δ Γ

53 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩνομετρικεσ ταυτοτητεσ Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω προκύπτουν ορισμένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Οι ταυτότητες αυτές είναι χρήσιμες στο λογισμό με παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς. Συγκεκριμένα ισχύουν:. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν M (, ) είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε θα είναι: = συνω και = ημω Επειδή όμως, (OM) = και ( ) θα ισχύει: οπότε θα έχουμε: ΟΜ = + = + + =, A t Μ(,) Β O ω A συν ω+ ηµ ω = Β. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Στο ίδιο σχήμα έχουμε: ηµω εϕω = = συνω (εφόσον = συνω ) σϕω = = συνω ηµω (εφόσον = ηµω ).

54 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 6 Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων () και (), θα αποδείξουμε δύο επιπλέον χρήσιμες ταυτότητες.. εφω. σφω = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι: εϕω = ηµω και σϕω = συνω (εφόσον συνω ¹ και ημω ¹ ) συνω ηµω Επομένως: εϕω σϕω = ηµω συνω συνω ηµω =. 4. εϕ ω συν ω= και ηµ ω =. + εϕ ω + εϕ ω ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας ηµ ω+ συν ω = με συν ω και έχουμε: ηµ ω συν ω + = εϕ ω + = συν ω=. συν ω συν ω συν ω συν ω + εϕ ω Άρα συν ω=. + εϕ ω ii) Αν στην ταυτότητα ηµ ω+ συν ω = θέσουμε συν ω=, + εϕ ω εϕ ω έχουμε: ηµ ω + = ηµ ω = ηµ ω =. + εϕ ω + εϕ ω + εϕ ω εϕ ω Άρα ηµ ω =. + εϕ ω

55 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Αν ηµω= 5 και 9 < ω < 8, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω. ΛΥΣΗ Από την ταυτότητα ηµ ω+ συν ω = προκύπτει ότι συν ω= ηµ ω. Αντικαθιστούμε το ημω με 5 και έχουμε: συν ω= = 69 = = Επειδή 9 < ω < 8, είναι συνω <, οπότε έχουμε: 44 συνω = = 69 Από τις ταυτότητες τώρα εϕω = ηµω και σϕω = συνω, έχουμε: συνω ηµω 5 εϕω= 5 = και σϕω = = 5 5. η Να αποδειχθεί ότι i) ηµ ω+ συν ω= ηµωσυν ω ii) ηµ ω συν ω= ηµω ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Έχουμε διαδοχικά: ηµ ω+ συν ω= ( ηµω) + ( συν ω) 4 4 ii) Έχουμε διαδοχικά: = ( ηµ ω+ συν ω) ηµωσυν ω = ηµ ωσυν ω, 4 4 ηµ ω συν ω= ( ηµω) ( συν ω) = ( ηµ ω+ συν ω)( ηµω συν ω) = ηµ ω συν ω = ηµ ω ( ηµω ) = ηµ ω. (Επειδή ηµ ω+ συν ω = ) (Επειδή ηµ ω+ συν ω = )

56 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Αν ηµ = 5 και π < <π, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad.. Αν συν = και π π < <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad.. Αν εϕ = και π < < π, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. 4. Αν σϕ = 5 π και < <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad Αν σϕ = και π < < π, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ηµ συν. + συν 6. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του για τις οποίες: i) Να ισχύει συγχρόνως ημ = και συν =. ii) Να ισχύει συγχρόνως ημ = και συν =. iii) Να ισχύει συγχρόνως ηµ = και συν = Να αποδείξετε ότι τα σημεία M (, ) του επιπέδου με = συνθ και = ημθ είναι σημεία κύκλου O(,) κέντρου και ακτίνας ρ =. 8. Αν ισχύει = συνθ και = ημθ, να δείξετε ότι =6. 9. Αν είναι = r ημθσυνφ, = r ημθημφ και z = r συνθ, να δείξετε ότι + + z = r.. Να αποδείξετε ότι: ηµα συνα i) = 4 4 ii) συν α ηµ α= συν α. + συνα ηµα

57 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να αποδείξετε ότι: ηµθ συνθ i) + + = ii) + συνθ ηµθ ηµθ συν συν + =. ηµ + ηµ συν. Να αποδείξετε ότι: i) εϕα + σϕβ εϕα = ii) εϕ α ηµα= εϕ α ηµα. εϕβ + σϕα εϕβ. Να αποδείξετε ότι: i) συν ηµ + = ηµ + συν ii) ( ) + εϕ σϕ συν συν = ηµ εϕ iii) = ηµ συν εϕ+ σϕ iv) ηµ συν ηµ συν ηµ συν =. B ΟΜΑΔΑΣ. Αν ημ + συν = α, να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστάσεις: i) ηµ συν ii) + ηµ συν iii) εϕ+ σϕ iv) ηµ + συν.. Να αποδείξετε ότι: i) ηµ + συν = ηµ συν ii) ηµ + συν = ηµ συν. iii) Η παράσταση ( ηµ 6 + συν 6 ) ( ηµ 4 + συν 4 ) έχει τιμή ανεξάρτητη του, δηλαδή είναι σταθερή. π π. Αν < <, να αποδείξετε ότι + ηµ ηµ ηµ + ηµ = εϕ. 4. Αν < π + συν + συν, να αποδείξετε ότι + συν συν = + ηµ συν = συν ηµ.

58 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 65. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορεί να γίνει, όπως θα δούμε στη συνέχεια, με τη βοήθεια πινάκων που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών από μέχρι 9. Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες ω και ω' που οι τελικές πλευρές τους τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ και Μ' αντιστοίχως. Γωνίες αντίθετες t Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, Β δηλαδή αν ω' = ω, τότε, όπως φαίνεται Μ(,) στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως προς τον A ω A άξονα '. Επομένως τα σημεία αυτά Ο ω έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι: Β Μ (, ) t' Δηλαδή: Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Για παράδειγμα: 9 Έχουμε: ηµ ( ) = ηµ ( ) = εϕ( ) = εϕ( ) = 9 Επίσης, έχουμε: συν( ω) = συνω ηµ ( ω) = ηµω εϕ( ω) = εϕω σϕ( ω) = σϕω συν( ) = συν( ) = σϕ( ) = σϕ( ) = π ηµ ηµ π π = = συν συν π = 4 = π εϕ εϕ π π = = σϕ = σϕ π =

59 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Γωνίες με άθροισμα 8 o Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα 8, δηλαδή αν ω' = 8 ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα '. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι: t B t Μ (,) 8 ω Μ(,) ω A Ο A B Δηλαδή: Οι γωνίες με άθροισμα 8 έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Για παράδειγμα: 9 Επειδή 5 = 8, έχουμε: ηµ 5 = ηµ ( 8 ) = ηµ = συν5 = συν( 8 ) = συν = εϕ5 = εϕ( 8 ) = εϕ = σϕ5 = σϕ( 8 ) = σϕ = 9 Επειδή π π = π, έχουμε: π ηµ ηµ π π ηµ π = = =

60 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 67 π συν συν π π συν π = = = εϕ π εϕ π π εϕ π = = = σϕ π σϕ π π σϕ π = = = Γωνίες που διαφέρουν κατά 8 o Αν οι γωνίες ω και ω' διαφέρουν κατά 8 δηλαδή αν ω' = 8 + ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων. Επομένως τα σημεία αυτά έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι: Μ (, ) t 8 +ω B A ω A Β t Μ(,) Δηλαδή: Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 8 έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Για παράδειγμα: 9 Επειδή = 8 +, έχουμε: ηµ = ηµ ( 8 + ) = ηµ = συν = συν( 8 + ) = συν = εϕ = εϕ( 8 + ) = εϕ = σϕ = σϕ( 8 + ) = σϕ =

61 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 Επειδή 4 π π = π +, έχουμε: π ηµ 4 ηµ π π ηµ π = + = = π συν 4 συν π π συν π = + = = εϕ 4π εϕ π π εϕ π = + = = σϕ 4π σϕ π π σϕ π = + = = Γωνίες με άθροισμα 9 o Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισμα 9, δηλαδή ω' = 9 ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της γωνίας O ˆ. Επομένως η τετμημένη του καθενός ισούται με την τεταγμένη του άλλου. Έχοντας υπόψη τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, συμπεραίνουμε ότι: A B O B t Μ (,) = t Μ(,) ω 9 ω A ηµ ( 9 ω) = συνω συν( 9 ω) = ηµω εϕ( 9 ω) = σϕω σϕ( 9 ω) = εϕω Δηλαδή, Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 9, τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με τη συνεφαπτομένη της άλλης. Για παράδειγμα, επειδή 6 = 9, έχουμε: ηµ 6 = συν =, συν6 = ηµ =, εϕ6 = σϕ = και σϕ6 = εϕ =

62 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 69 ΣΧΟΛΙΟ Από τα προηγούμενα καταλαβαίνουμε ότι δεν χρειάζεται να έχουμε πίνακες τριγωνομετρικών αριθμών όλων των γωνιών, αλλά μόνο των γωνιών από μέχρι 9. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η 5 Δίνεται ότι συν6 = +. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ΛΥΣΗ Επειδή 54 = 9 6, έχουμε 5 ηµ 54 = συν6 = + 4 Σύμφωνα με την ταυτότητα ηµ ω+ συν ω = ισχύει ηµ 54 + συν 54 =, οπότε: 5 συν 54 ηµ = = 4 = + =, 6 6 οπότε: 5 συν54 = 4 Επομένως είναι: ηµ 54 εϕ54 = = συν και σϕ54 συν54 = = ηµ η Να υπολογιστούν με τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: α) 9 +ω, β) 7 ω και γ) 7 +ω ΛΥΣΗ i) Επειδή 9 + ω= 9 ( ω), έχουμε: ηµ ( 9 + ω) = ηµ ( 9 ( ω)) = συν( ω) = συνω. Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 9 +ω.

63 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ii) Επειδή 7 ω= 8 + ( 9 ω), έχουμε: ηµ ( 7 ω) = ηµ ( 8 + ( 9 ω)) = ηµ ( 9 ω) = συνω. Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 7 ω. iii) Επειδή 7 + ω= ω= 6 + ( ω 9 ), έχουμε: εϕ( 7 + ω) = εϕω ( 9 ) = εϕ( 9 ω) = σϕω. Ομοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 7 +ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: i) ii) 85.. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας i) 87 6 π π rad ii) rad. 4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: i) ηµ Α= ηµ ( Β+ Γ) ii) συνα+ συν( Β+ Γ) = iii) ηµ Α συν Β + = Γ 4. Να απλοποιήσετε την παράσταση iv) συν Α ηµ Β + = Γ. συν( α) συν( 8 + α). ηµ ( α) ηµ ( 9 + α) 9π εϕ( π ) συν( π+ ) συν + 5. Να αποδείξετε ότι: =. π ηµ ( π+ ) συν( ) σϕ 6. Να δείξετε ότι έχει σταθερή τιμή η παράσταση: ηµ π συν π συν π ηµ π ( ) + ( ) ( ) +.

64 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 7 Β ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:. Να αποδείξετε ότι: 5π 7π ηµ ( 5π+ ω) συν( 7π ω) ηµ ω συν ω + = ηµ ω. 5π 7π σϕ( 5π+ ω) ηµ ( 7π ω) συν ω σϕ ω +. Αν εϕ π εϕ π =, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: εϕ π εϕ π Να αποδείξετε ότι: ηµ 495 συν + συν495 συν( ). εϕ( ) + εϕ495 εϕ( π + ) < <. εϕ+ σϕ( π + ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.. Αν ημω =, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω =. Α Ψ. Αν συνω =, τότε υποχρεωτικά θα είναι ημω =. Α Ψ. Υπάρχει γωνία ω με ημω + συνω =. Α Ψ 4. Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω= συν ω Α Ψ 5. ηµ + ηµ 7 = Α Ψ 6. Για κάθε ισχύει ηµ ( π) = ηµ Α Ψ 7. Για κάθε ισχύει ηµ = ηµ Α Ψ π 8. Αν συν ηµ, τότε ηµ = Α Ψ π 9. Για κάθε ισχύει συν ηµ π + 6 Α Ψ

65 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ II. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της Α ομάδας με τον ίσο του από τη Β ομάδα. Α ΟΜΑΔΑ Β ΟΜΑΔΑ ηµ Α συν5 Β ηµ Γ 4 συν Δ 5 εϕ Ε 6 σϕ Ζ 7 εϕ Η 8 σϕ Θ III. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (Α=9 ) και όχι ισοσκελές, τότε: Α) ηµ Β+ ηµ Γ=, Β) ηµ Β+ συν Γ=, Γ) εφβ=.. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Α) συν(β + Γ) = συνα, Β) ημ(β + Γ) = ημα, Γ) εφ(β + Γ) = εφα.. Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Β+ Γ Α Α) Β) συν συν = Β+ Γ Α, Γ) εϕ εϕ =.

66 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδικές συναρτήσεις Έστω ότι ένα φέρι-μποτ πηγαινοέρχεται μεταξύ δύο λιμανιών Α και Β και η γραφική παράσταση της απόστασης του από το λιμάνι Α ως συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Παρατηρούμε ότι κάθε ώρα το φέρι-μποτ επαναλαμβάνει την ίδια ακρι- βώς κίνηση. Αυτό σημαίνει ότι σε όποια απόσταση βρίσκεται από το λιμάνι Α σε κάποια χρονική στιγμή t, στην ίδια απόσταση θα βρίσκεται και τη χρονική στιγμή t + ώρες και στην ίδια απόσταση βρισκόταν και τη χρονική στιγμή t ώρες. Επομένως η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του φέρι-μποτ από το λιμάνι Α, με τη βοήθεια του χρόνου t, έχει τις ίδιες τιμές τις χρονικές στιγμές t, t +, t. Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο ώρες. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση του ύψους μιας κούνιας ως συνάρτηση του χρόνου t. Παρατηρούμε ότι, όποιο ύψος έχει η κούνια σε κάποια χρονική στιγμή t, το ίδιο ύψος θα έχει και τη χρονική στιγμή t + sec και το ίδιο ύψος είχε και τη χρονική στιγμή t sec.

67 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Λέμε πάλι ότι η συνάρτηση (που εκφράζει το ύψος της κούνιας με τη βοήθεια του χρόνου t) είναι περιοδική με περίοδο sec. Γενικότερα: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ> τέτοιος, ώστε για κάθε A να ισχύει: i) + T A, T A και ii) f( + T) = f( T) = f( ) Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υπάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με ηµω. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία ω αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της. Ομοίως ορίζονται και οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών. Πολλές εφαρμογές όμως των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν περιέχουν γωνίες, αλλά πραγματικούς αριθμούς, όπως, π.χ. ο τύπος της αρμονικής ταλάντωσης f() t = α ηµω t, στον οποίο τα α και ω είναι σταθερές και t είναι ένας πραγματικός αριθμός που παριστάνει το χρόνο. Για το λόγο αυτό ορίζουμε στη συνέχεια τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής. Συγκεκριμένα: Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχίζεται στο ημ ( rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ. Ορίζουμε δηλαδή ότι ηµ = ηµ ( rad) ο ο Επειδή ηµ ( ω+ 6 ) = ηµω ( 6 ) = ηµω, για κάθε θα ισχύει: ηµ ( + π) = ηµ ( π) = ηµ Άρα η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο π. Ομοίως ορίζουμε και τη συνάρτηση συνημίτονο που συμβολίζεται με συν.

68 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 75 Ορίζουμε δηλαδή ότι συν = συν( rad). Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο π. Η συνάρτηση εφαπτομένη, που συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής: ηµ εϕ = συν Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο: { } = συν Επειδή για κάθε ισχύει εϕ( + π) = εϕ( π) = εϕ, η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π. Η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής: συν σϕ = ηµ Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο: { } = ηµ Και η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π. Μελέτη της συνάρτησης f() = ημ Επειδή η συνάρτηση f() = ημ είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ το [,π]. Έχουμε αναφέρει όμως ότι το ημ είναι η τεταγμένη του σημείου Μ στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξετάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το Α. Παρατηρούμε ότι: Όταν το μεταβάλλεται από το μέχρι το B π, το Μ κινείται από το Α μέχρι το Β. Άρα η M τεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f() = ημ είναι γνησίως αύξουσα O A M rad π στο διάστημα,. Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση f() = ημ είναι:

69 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ π γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π, γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π, π και π γνησίως αύξουσα στο διάστημα, π Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για = π, το ηµ π = και ελάχιστο για = π π, το ηµ =. Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται ως εξής: ημ π Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης χρειαζόμαστε έναν πίνακα τιμών της. Κατά τα γνωστά έχουμε: π π π 5π π 7π π π ημ 7,,7,7,7 Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μία συνεχή γραμμή. Έτσι προκύπτει η παρακάτω γραφική παράστασή της συνάρτησης ημίτονο στο διάστημα [, π]: = ημ π 5π π 7π π 4 4 π O π 4 π π 4 π π π μέγ. ελάχ.

70 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 77 Επειδή η συνάρτηση f() = ημ είναι περιοδική, με περίοδο π, η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα [π, 4π], [4π, 6π] κτλ. καθώς και στα διαστήματα [ π, ],[ 4π, π ] κτλ. Έτσι έχουμε την ακόλουθη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο, η οποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη..5 = ημ.5 5π/ π π/ π π/ π/ π π/ π 5π/ π 7π/ 4π.5.5 Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα για κάθε ισχύει ηµ ( ) = ηµ. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f() = ημ είναι περιττή και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(,) των αξόνων. Μελέτη της συνάρτησης f() = συν Επειδή η συνάρτηση f() = συν είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το [, π]. Από τη μελέτη αυτή προκύπτουν τα συμπεράσματα του επόμενου πίνακα: συν π π π π μέγ. ελάχ. μέγ. Συντάσσουμε τώρα κατά τα γνωστά και τον ακόλουθο πίνακα τιμών της συνάρτησης συνημίτονο: π π π 5π π π 7π π συν,7,7,7,7

71 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της = συν για π. o π 4 π = συν π 4 π π Επειδή η συνάρτηση f() = συν είναι περιοδική με περίοδο π, η γραφική της παράσταση στο είναι η ακόλουθη: 5π 4 π 7π 4 π π π o π π π = συν π 5π π 7π 4π Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδιο συνημίτονο. Άρα για κάθε ισχύει συν( ) = συν. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f() = συν είναι άρτια και επομένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα '. Μελέτη της συνάρτησης f() = εφ Επειδή η συνάρτηση f() = εφ είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το π π,. (Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση εφ δεν ορίζεται στα π π, ). Ας υποθέσουμε ότι η τελική πλευρά της γωνίας rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο Μ και την ευθεία των εφαπτομένων στο σημείο Ε. Όπως έχουμε αναφέρει η εφ ισούται με την τεταγμένη του σημείου Ε. Επομένως: ε Όταν ο παίρνει τιμές από π προς το π το Μ κινείται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά από το Β' προς το Β, οπότε η τεταγμένη του σημείου Ε αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η f() = εφ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα π π,. Α Β O Μ Β Α Μ Ε Ε

72 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 79 Όταν ο «τείνει» στο π από μεγαλύτερες τιμές η εφ «τείνει» στο. Γι αυτό λέμε ότι η ευθεία = π είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Επίσης όταν ο «τείνει» στο π από μικρότερες τιμές η εφ τείνει στο +. Γι αυτό λέμε ότι και η ευθεία = π ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. είναι κατακόρυφη B A A O M B E B Ε Μ A A O B Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της f()=εφ συντάσσουμε, με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών πινάκων ή με επιστημονικό κομπιουτεράκι, έναν πίνακα τιμών της: εφ π Δεν ορίζεται π π 4 π 6 7, 6, 6, 7, Στη συνέχεια παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή. Η γραφική παράσταση της f()=εφ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. π 6 π 4 π π Δεν ορίζεται = εφ π π Ο π π π π π π Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση της f()=εφ έχει κέντρο συμμετρίας το Ο, αφού (.: εφ( ) = εφ είναι περιττή συνάρτηση).

73 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f()=ημ. ΛΥΣΗ Οι τιμές της συνάρτησης f()=ημ είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης φ()=ημ. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο π, αφού ισχύει: f( + π) = ηµ ( + π) = ηµ = f( ), για κάθε. και f( π) = ηµ ( π) = ηµ = f( ), για κάθε. Έχοντας υπόψη τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f()=ημ. π π π π ημ ημ ο Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f()=ημ. ΛΥΣΗ = ημ = ημ π π Ο π π π 4π Κάθε τιμή της συνάρτησης f()=ημ επαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά π, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά π. Επομένως, η συνάρτηση f()=ημ είναι περιοδική με περίοδο π. Πράγματι: f ( + π) = ηµ ( + π) = ηµ ( + π) = ηµ = f( ), για κάθε και f ( π) = ηµ ( π) = ηµ ( π) = ηµ = f( ), για κάθε. Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f()=ημ. π π π π 4 4 ημ = ημ π π Ο π π π π = ημ ο Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f()=ημ. ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο, ελάχιστο και είναι περιοδική με περίοδο π.

74 .4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης f()=ημ είναι ο εξής: π π π π 4 4 ημ Με τη βοήθεια του πίνακα αυτού σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. π π π π π π π 4 4 = ημ π ΣΧΟΛΙΟ Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι σε μια συνάρτηση της μορφής f()=ρ ημω, όπου ρ,ω>: (i) Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ. (ii) Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με π ω. Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής ΑΣΚΗΣΕΙΣ f()=ρ συνω, όπου ρ,ω> Α ΟΜΑΔΑΣ. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων i) f( ) = ηµ, g ( ) = 5, ηµ, h ( ) = ηµ, π. ii) f( ) = συν, g ( ) = 5, συν, h ( ) = συν, π.. Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( )=ηµ και στη συνέχεια τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g ( )= + ηµ και h ( )= + ηµ. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( )=ηµ και g ( ) =ηµ, π. 4. Ομοίως των συναρτήσεων f( )=συν και g ( ) =συν, π. 5. Έστω η συνάρτηση Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγω συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.

75 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Ομοίως για τη συνάρτηση f( )=. συν. 7. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων i) f( )=εϕ ii) g ( )= + εϕ και iii) h ( )= + εϕ στο ίδιο σύστημα αξόνων. 8. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f( ) =εϕ. 9. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f( ) =σϕ. B ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε τις εξισώσεις των ημιτονοειδών καμπυλών: i) π π π π π π π π π ii) π π π π π π.5 π π π.5 π π π. Η παλίρροια σε μια θαλάσσια περιοχή περιγράφεται κατά προσέγγιση με τη συνάρτηση = ηµ π t 6, όπου το ύψος της στάθμης των υδάτων σε μέτρα και t ο χρόνος σε ώρες. i) Να βρείτε την υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην ψηλότερη πλημμυρίδα και τη χαμηλότερη άμπωτη. ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για t.

76 .5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 8. Ένα παιχνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι και απέχει από το πάτωμα m. Όταν το παιχνίδι ανεβοκατεβαίνει, το ύψος του από το πάτωμα σε μέτρα είναι h = + συν t, όπου t ταβάνι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα. i) Να υπολογίσετε τη διαφορά ανάμεσα στο μέγιστο και στο ελάχιστο ύψος. ii) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για t π. 4. H απόσταση του πιστονιού σε μέτρα από το ένα άκρο του κυλίνδρου περιγράφεται με τη συνάρτηση (t) =,+,.ημt, όπου t ο χρόνος σε δευτερόλεπτα. i) Να υπολογίσετε το πλάτος της κίνησης του πιστονιού. πάτωμα m ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για t π. Ποιες στιγμές του χρονικού αυτού διαστήματος η απόσταση είναι,5m; Η εξίσωση ημ=α.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση ηµ =. Είναι φανερό ότι ζητάμε να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής της καμπύλης = ημ και της ευθείας =. = π O π 6 5π 6 π π =ημ Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα, για τα οποία η συνάρτηση f( )=ηµ παίρνει την τιμή. Επειδή η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο π, για να βρούμε τα ζητούμενα, που είναι άπειρα σε πλήθος (βλ. σχήμα), αρκεί να βρούμε όσα από αυτά υπάρχουν σε ένα διάστημα πλάτους π και σε καθένα να προσθέσουμε το κ. π, όπου κ ακέραιος.

77 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης ηµ = στο διάστημα [, π], είναι οι π 6 και π π 5 = π 6 6, γιατί ηµ π 5 ηµ π = =. 6 6 Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης ηµ = δίνεται από τους τύπους M M 5π/6 π/6 = κπ + π O 6 κ ή, 5π = κπ + 6 Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωσης ημ = α, αν δηλαδή ισχύει ημθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους: A = κπ + θ ή, = κπ + ( π θ) κ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να λυθεί η εξίσωση ηµ = ΛΥΣΗ Επειδή ηµ π π =, ισχύει ηµ =. Επομένως η εξίσωση γράφεται π ηµ = ηµ, οπότε οι λύσεις της δίνονται από τους τύπους: = κπ π ή, κ = κπ + π + π π ο Να λυθεί η εξίσωση ηµ + 4 = ΛΥΣΗ Επειδή ηµ π π =, έχουμε ηµ + ηµ π 6 4 = 6, οπότε

78 .5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 85 Ισχύει όμως π + = κπ + π 4 6 ή, π + = κπ + π π 4 6 κ και π + = κπ + π = κπ + π π π = κπ π 7 + = κπ + π π 4 6 = κπ + π π 6 π 4 = + π κπ 4 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους π = κπ 4 ή, κ 7π = κπ + 4 Η εξίσωση συν = α Με ανάλογες σκέψεις, όπως προηγουμένως, εργαζόμαστε για να λύσουμε π.χ. την εξίσωση συν =. Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης συν = στο διάστημα [ π, π ] είναι οι π και π, γιατί συν π π = συν =. Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης συν = δίνεται από τους τύπους M = κπ + π ή, = κπ π κ Ο π π M Α

79 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Γενικότερα, αν θ είναι μία λύση της εξίσωση συν = α, αν δηλαδή ισχύει συνθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται από τους τύπους ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να λυθεί η εξίσωση συν = ΛΥΣΗ κ Επειδή συν π 4 =, έχουμε συν = συν π, οπότε οι λύσεις της εξίσωσης 4 αυτής δίνονται από τους τύπους: = κπ + π 4 ή, = κπ π 4 = κπ + θ ή = κπ θ κ ο Να λυθεί η εξίσωση συν = ΛΥΣΗ Επειδή συν π =, ισχύει συν π π 6 6 = 5 Έχουμε επομένως συν = συν π, οπότε 6 δηλαδή συν 5π 6 =. = κπ + ή = κπ 5π 6 5π 6, κ ή ισοδύναμα 5π = κπ + ή, 5π = κπ κ

80 .5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 87 Η εξίσωση εφ = α Έστω η εξίσωση εϕ =. Όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση εφ είναι περιοδική με περίοδο π. Επομένως, για να λύσουμε την εξίσωση, αρκεί να βρούμε τις λύσεις της σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το π π, και να προσθέσουμε σε αυτές το κπ, κ. Όπως φαίνεται όμως και στο σχήμα, μια μόνο λύση της εξίσωσης εϕ = υπάρχει στο διάστημα αυτό. Η λύση αυτή είναι η π, γιατί εϕ π =. Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης εϕ = είναι: = κπ + π, κ. Γενικότερα, αν θ είναι μια λύση της εξίσωσης εφ = α, αν δηλαδή ισχύει εφ = εφθ, τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι: π Ο π π π = κπ + θ, κ Ο ίδιος τύπος λύσεων ισχύει και για την εξίσωση σφ = α. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ο Να λυθεί η εξίσωση εϕ = ΛΥΣΗ Επειδή εϕ π 4 =, ισχύει εϕ π 4 = π. Έχουμε επομένως εϕ = εϕ 4, οπότε = κπ π 4, κ ο Να λυθεί η εξίσωση σϕ = ΛΥΣΗ Επειδή σϕ π =, έχουμε σϕ = σϕ π, οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι 6 6 = κπ + π 6, κ

81 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ = ii) ηµ =. Να λύσετε τις εξισώσεις iii) συν = iv) συν = i) ηµ = ii) ηµ = iii) συν = iv) συν =. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ = ii) εϕ = iii) σϕ = iv) σϕ = 4. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ = ii) σϕ = 5. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( ηµ )( ηµ ) = ii) ( ηµ + )( συν) = 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( + εϕ)( εϕ) = ii) ( συν+ )( εϕ ) σϕ = 7. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς πίνακες ή επιστημονικό κομπιουτεράκι να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ =, 95 ii) συν =, 89 iii) εϕ = 8, Να λύσετε τις εξισώσεις i). ii) συν 5 + = iii) εϕ = 7 9. Να λύσετε τις εξισώσεις π i) ηµ + = π ii) συν 4 = iii) εϕ π 4 5 =. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ ω+ ηµω = ii) συν + συν = iii) εϕ t = + εϕt. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ + 5συν = 4 ii) εϕ σϕ =. Να βρείτε για ποιες τιμές του, καθεμιά από τις επόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της: i). < π, ii). < π.

82 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 89. Οι μηνιαίες πωλήσεις ενός εποχιακού προϊόντος (σε χιλιάδες κομμάτια) t δίνονται κατά προσέγγιση από τον τύπο S = ηµ π, όπου t o 6 χρόνος σε μήνες και με t = να αντιστοιχεί στον Ιανουάριο. i) Να βρείτε ποιους μήνες οι πωλήσεις φτάνουν τις κομμάτια. ii) Να βρείτε ποιο μήνα έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό πωλήσεων και πόσες είναι αυτές. Β ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ + συν π 4 = ii) εϕ σϕ π + =. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ ηµ + = ηµ + εϕ ii).. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης εϕ = στο διάστημα (π,4π). * 4. Να λύσετε την εξίσωση +συν=ημ στο διάστημα [,π). 5. Να λύσετε την εξίσωση: εϕ = σϕ π + στο διάστημα [, π)..6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟι ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες α, β που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία M, M αντιστοίχως (Σχ. ). Έστω επιπλέον και η γωνία α β, που η τελική της πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. ). M (συνα, ημα) M (συνβ, ημβ) M(συν(α β), ημ(α β)) O α β Α(,) O α β Α(,) Σχ. () Σχ. ()

83 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Όπως είναι γνωστό, τα σημεία M, M, Α και Μ έχουν συντεταγμένες: το Μ : τετμημένη συνα και τεταγμένη ημα το Μ : τετμημένη συνβ και τεταγμένη ημβ το Α: τετμημένη και τεταγμένη το Μ: τετμημένη συν( α β) και τεταγμένη ηµ ( α β) Επειδή MOM ˆ = AOM ˆ = α β, θα είναι και ( MM ) = ( AM). Άρα: ( MM) = ( AM) Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε το γνωστό μας τύπο: ( PP ) = ( ) + ( ), που δίνει την απόσταση δύο σημείων P(, ) και P (, ), έχουμε: ( MM ) = ( συνα συνβ) + ( ηµα ηµβ) = ( συνασυνβ + ηµαηµβ) και = συν( α β). Έτσι η σχέση ( ΜΜ) = ( ΑΜ) γράφεται = συν α+ συν β συνασυνβ + ηµ α+ ηµβ ηµαηµβ ( ΑΜ) = [ συν( α β) ] + [ ηµα ( β) ] = συν ( α β) + συν( α β) + ηµ ( α β) ( συνασυνβ + ηµαηµβ) = συν( α β) ή Επομένως: συνασυνβ + ηµαηµβ = συν( α β) συν(α β) = συνασυνβ + ημαημβ () Η ισότητα αυτή, που αποδείξαμε για γωνίες α, β με β< α < 6, ισχύει και για οποιεσδήποτε γωνίες α, β. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β έχουμε: συν( α ( β)) = συνασυν( β) + ηµαηµ ( β) = συνασυνβ ηµαηµβ Επομένως: συν( α+ β) = συνασυνβ ηµαηµβ ()

84 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 9 Με τη βοήθεια των τύπων () και () μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο ορισμένων γωνιών, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικούς πίνακες ή υπολογιστικές μηχανές. Για παράδειγμα, έχουμε: συν5 = συν( 45 ) = συν45 συν + ηµ 45 ηµ = + = ( + ) 4 συν75 = συν( 45 + ) = συν45 συν ηµ 45 ηµ = = ( ) 4 Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια του τύπου (), που βρήκαμε προηγουμένως, θα υπολογίσουμε τώρα το ημίτονο του αθροίσματος δυο γωνιών. Επειδή συν π ηµ = και ηµ π συν =, έχουμε: συν π = α συνβ ηµ π + α ηµβ = ηµασυνβ+ συναηµβ Επομένως: ημ(α+β) = ημασυνβ + συναημβ () Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με β βρίσκουμε ότι: ημ(α β) = ημασυνβ συναημβ (4) Σύμφωνα με τους τύπους αυτούς για παράδειγμα, έχουμε: ηµ 5 = ηµ ( 45 ) = ηµ 45 συν συν45 ηµ = = ( ) 4 ηµ 75 = ηµ ( 45 + ) = ηµ 45 συν + συν45 ηµ = + = ( +) 4

85 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Εφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια των προηγούμενων τύπων θα υπολογίσουμε την εφαπτομένη του αθροίσματος α+β δύο γωνιών α, β, αν γνωρίζουμε την εφαπτομένη καθεμιάς. Όπως ξέρουμε, για να ορίζονται οι: εϕ( α+ β), εϕα και εϕβ, πρέπει συν( α+ β), συνα και συνβ. Με την προϋπόθεση αυτή έχουμε: ηµ ( α+ β) ηµασυνβ+ συναηµβ Διαιρούμε με εϕ( α+ β) = = συν( α+ β) συνασυνβ ηµαηµβ [ συνασυνβ ] ηµασυνβ συναηµβ + συνασυνβ συνασυνβ εϕα+ εϕβ = = συνασυνβ ηµαηµβ εϕαεϕβ συνασυνβ συνασυνβ Επομένως έχουμε: εϕα+ εϕβ εϕ( α+ β) = εϕαεϕβ (5) Αν τώρα στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β, βρίσκουμε ότι: εϕα εϕβ εϕ( α β) = + εϕαεϕβ Τέλος, με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι: (6) σϕασϕβ σϕ( α+ β) = σϕβ + σϕα (7) σϕασϕβ + σϕ( α β) = (8) σϕβ σϕα Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους για παράδειγμα, έχουμε: εϕ45 εϕ εϕ5 = εϕ( 45 ) = = + εϕ45 εϕ + = + ( )( ) 6 = = = ( + )( ) 6

86 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 9 + εϕ45 + εϕ εϕ75 = εϕ( 45 + ) = = εϕ45 εϕ = + ( + )( + ) + 6 = = = + ( )( + ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ο Αν ηµα= 5, με π < α< π και συνβ =, με π β π < <, να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α+β. ΛΥΣΗ Επειδή ημ(α+β) = ημασυνβ+συναημβ και συν( α+ β) = συνασυνβ ηµαηµβ αρκεί να υπολογίσουμε το συνα και το ημβ. Έχουμε λοιπόν: συν α = 9 6 ηµ α = 5 = 5, 6 4 π οπότε συνα = = αφού < α< π και 5 5, ηµ β = συν β = = 69, ηµβ= 5 69 = 5, π οπότε αφού π< β< Επομένως ηµ ( α+ β) = = συν( α+ β) =, = 6 65 οπότε: εϕ( α+ β) = 6 και σϕ( α+ β) = ο Να αποδειχθεί ότι: ηµ ( α+ β) ηµ ( α β) = ηµ α ηµβ αποδειξη ηµ ( α+ β) ηµ ( α β) = ( ηµασυνβ+ συναηµβ)( ηµασυνβ συναηµβ) = ηµ ασυν β συν αηµ β= ηµ α( ηµβ) ( ηµ αηµβ ) = ηµ α ηµαηµ β ηµβ+ ηµ αηµ β= ηµ α ηµβ

87 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο Να λυθεί η εξίσωση: π συν = ηµ + 6 ΛΥΣΗ π συν = ηµ + συν ηµσυν π συνηµ π συν = ηµ + συν 4συν = ηµ + συν συν = ηµ εϕ = εϕ = εϕ π [αφού συν ] 4 ο Να αποδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ΑΠΟΔΕΙΞΗ = κπ + π κ, Z εϕα+ εϕβ+ εϕγ= εϕαεϕβεϕγ Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι εφα, εφβ, εφγ. Επειδή π επιπλέον Α+ Β= π Γ, ορίζεται η εϕ( Α+ Β) και έχουμε διαδοχικά: εϕ( Α+ Β) = εϕ( π Γ) εϕα+ εϕβ = εϕγ εϕαεϕβ εϕα+ εϕβ= εϕγ+ εϕαεϕβεϕγ εϕα+ εϕβ+ εϕγ= εϕαεϕβεϕγ 5 ο Θεωρούμε έναν αγωγό από τον οποίο διέρχονται τρία εναλλασσόμενα ρεύματα της ίδιας κυκλικής συχνότητας ω με στιγμιαίες εντάσεις Ι =ηµωt, π 4π Ι = ηµ ( ωt + ) και Ι = ηµ ( ω + t ). Να αποδειχθεί ότι η ολική ένταση Ι= Ι+ Ι + Ι του ρεύματος που διέρχεται από τον αγωγό είναι μηδέν.

88 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 95 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) π 4π Ι= ηµωt+ ηµωt+ + ηµ ωt + = ηµω + ηµω συν π t t + συνωtηµ π 4 + ηµ ωσυν π 4 t + συνωtηµ π = ηµωt+ ηµωt συνωt ηµ + + ω t συνω t + = ηµωt ηµωt ηµωt = Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, την τιμή των παραστάσεων: i) συν π συν π ηµ π ηµ π ii) συν7 συν5 + ηµ 7 ηµ iii) iv) συν 7π συν π 7 + ηµ π ηµ π ηµ ηµ 7 συν συν7. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: π π i) συνσυν( ) ηµ ηµ ( ) ii) συν( + ) συν + ηµ ( + ) ηµ 4 4. Να αποδείξετε ότι: π π π π i)συν( + ) + συν( ) = συν ii) συν 4 4 ( συν ηµ συν 4) ( + ) = 4 4. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, την τιμή των παραστάσεων: 7 i) ηµ π 4 συν π 7π 4π συν ηµ ii) ηµ 7 συν + συν7 ηµ 7 εϕ π εϕ π iii) iv) εϕ π 4 εϕ65 + εϕ5 7 + εϕ π εϕ65 εϕ Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: i) ηµ συν+ συνηµ ii) π π ηµ + συν συν ηµ εϕ εϕ iii) εϕ π + εϕ π + εϕεϕ + 6 iv) εϕ π + εϕ π 6

89 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Να αποδείξετε ότι: π π i) ηµ + ηµ ηµ + = ii) ( ηµα+ συνα)( ηµβ + συνβ) = ηµ ( α+ β) + συν( α β) 7. Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 5 και Να αποδείξετε ότι: ηµ ( α+ β) i) εϕα+ εϕβ = ii) συνασυνβ σϕα σϕβ ηµ ( α + + = β ) ηµαηµβ 9. Να αποδείξετε ότι για τις γωνίες α, β του διπλανού σχήματος ισχύει: i) ηµ ( α+ β) = ii) συν( α+ β) = 6 α β 65. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α+β, αν: i) ηµα= 5, συνβ = και 5, < α < π π β π < < ii) συνα = και 5, ηµβ= 4 5, π α π < < π < β< π. Να λύσετε τις εξισώσεις: π i) ηµ = συν + ii) εϕ+ εϕ π = iii) εϕ( α) =, αν εϕα= B ΟΜΑΔΑΣ. Να αποδείξετε ότι: ηµ ( α β ) ηµ ( β γ ) ηµ ( γ α + + ) = συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα. Αν συν( α+ β) =, να αποδείξετε ότι: ηµ ( α+ β) = ηµα. Αν εϕα=, να λύσετε στο [,π] την εξίσωση: ηµ α = ηµ + α ( ) ( ) 4. Αν α+ β= π, να αποδείξετε ότι: ( εϕα)( εϕβ ) =

90 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ = Α, να αποδείξετε ότι: εϕβ i) εϕω = όπου Β= ΑΒΓ ˆ + εϕ Β, ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β=6 Γ Δ 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι Α= π και αντιστρόφως. ω Α Β ηµ Α+ ηµ ( Β Γ) = εϕβ, να αποδείξετε συν( Β Γ) *7. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: συνα συν συν i) σϕασϕβ+ σϕβσϕγ+ σϕγσϕα=, ii) ηµ Βηµ Γ + Β ηµ Γηµ Α + Γ ηµ Αηµ Β = ( ) ( ) 8. Να λυθεί στο διάστημα [,π] η εξίσωση: εϕ π + εϕ π = 4 4 π *9. Αν < z,, < με εϕ =, εϕ = 5 και εϕz =, να αποδείξετε ότι: z = π 4.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟι τησ γωνιασ α Οι τύποι που εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, ως συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές περιπτώσεις των τύπων της προηγούμενης παραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύπους του ηµ ( α+ β), του συν( α+ β) και της εϕ( α+ β) αντικαταστήσουμε το β με το α, έχουμε: ηµ α = ηµ ( α+ α) = ηµασυνα+ συναηµα = ημασυνα Επομένως: ημα = ημασυνα () συν α = συν( α+ α) = συνασυνα ηµαηµα =συν α ηµ α Επίσης συνα= συν α ηµ α = συν α ( συν α) = συν α = ( ηµ α) ηµα= ηµ α

91 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Επομένως: συνα= συν α ηµ α = συν α = ηµ α () εϕα+ εϕα εϕ α = = εϕαεϕα εϕα εϕ α Επομένως: εϕα εϕα = εϕ α () Από τους τύπους () μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συνα. Πράγματι, έχουμε: συνα= συν α + συνα= συν + συνα α συν α= συνα συνα= ηµ α ηµα= συνα ηµ α = συνα ηµ α εϕ α = = συνα = συν α + συνα + συνα Επομένως: συνα ηµ α = (4) συνα συν α= + (5) συν α εϕ α = + συνα (6)

92 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 99 Με τη βοήθεια των παραπάνω τύπων μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του μισού μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. Για παράδειγμα οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας, 5 = υπολογίζονται ως εξής: 45 συν45 ηµ 5, = = =, οπότε ηµ, 5 4 συν45 συν 5, = + + = = +, οπότε συν, 5 4 = = + Επομένως εϕ, 5 = + = και σϕ, 5 = + = + ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ o Να αποδειχθεί ότι: i) ηµ α = ηµα 4ηµ α ii) συνα= 4συν α συνα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: i) ηµ α = ηµ ( α+ α) = ηµ ασυνα+ συναηµα = ηµασυν α+ ( ηµαηµα ) = ηµα( ηµα) + ( ηµ αηµα ) = ηµα ηµ α+ ηµα ηµ α = ηµα 4ηµα ii) συν α= συν( α+ α) = συνασυνα ηµ αηµα = ( συν α ) συνα ηµ ασυνα = ( συν α ) συνα ( συν ασυνα ) = συν α συνα συνα + συν α= 4συν α συνα o Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία α με συνα ισχύει: εϕα εϕ α i) ηµ α = ii) συνα= + εϕ α + εϕ α

93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν συνα, έχουμε: i).... συν α ηµ α συν α ηµ α ii) συνα= συν α ηµ α = = συν α συν α συν α+ ηµ α συν α ηµ α + συν α συν α π o Αν εϕα = και α π να βρεθεί η εφα. 4 < <, εϕ α = + εϕ α ΛΥΣΗ Από τον τύπο () έχουμε:. =.. 4 εϕ α 8 εϕα = ± 6 εϕα = ή εϕα= [αφού Δ=] Από τις τιμές της εφα που βρήκαμε δεκτή είναι μόνο η, αφού π α π < <. 4 o Να αποδειχθεί ότι εϕ π ηµ 4 = + ηµ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ συν α Επειδή εϕ α =, έχουμε: + συνα εϕ π συν π ηµ αφού 4 = συν π = + ηµ, συν π ηµ + =

94 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 5 o Να λυθεί η εξίσωση: ηµ = συν ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε:. συν = ή συν = = κπ ± π ή = κπ, κ 6 o Να εκφρασθεί το 8.συν 4 α ως συνάρτηση του συνα και του συν4α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με τον τύπο (5) έχουμε: ( συν ) = + συν συν συν = συν( συν ) = = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: i) ηµ π συν π ii) ηµ π iii) συν 5 εϕ75 iv) 4 4 εϕ 75. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: i). ii). π συν α iii) 4. εϕ α εϕ α. Να αποδείξετε ότι: ηµ α i) ηµ α+ συνα= συν α ii) = εϕα ηµ α iii) σϕα εϕα= σϕα iv) εϕα + σϕα = ηµ α 4. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α, αν: i) συνα = 4 π και π< α< π ii) ηµα= και α π 5 5 < < 5. Να υπολογίσετε την εφ(α+β), αν εϕα= 4 και εϕβ=

95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Να αποδείξετε ότι: i) ηµ ασυνα+ συν αηµα = ηµ α ii) ηµ αεϕα + συν α= ηµ α iii) = iv) + συνα εϕα συνα+ ηµ α = + συνα+ ηµ α εϕα 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) συν ηµ = ii) ηµ συν+ ηµ = π 8. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. 9. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α 6,αν: i) συνα = 5 και < ii) και α < π συνα = π < α< 5 π. Να λύσετε τις εξισώσεις: i). ii) συν ηµ = iii). iv) συν = συν Β ΟΜΑΔΑΣ. Αν α < π, να αποδείξετε ότι: συνα ηµα= ηµ α. 4 ηµ α+ συν α. Να αποδείξετε ότι: = εϕ α ηµα( + συνα). Να αποδείξετε ότι: ηµ π 4 π συν 8 8 = 8 4. Να αποδείξετε ότι: i) + εϕαεϕ α εϕ = α ii) 4 συν α+ συν 4 α 4 = εϕα + σϕα + 4 συνα+ συν4α εϕ α 5. Να αποδείξετε ότι: εϕ ( 45 συν α α ) = = ηµ α συνα εϕ α + και με τη βοήθεια αυτού του τύπου να υπολογίσετε την εφ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εϕ = συν ii) εϕ εϕ = 4 7. Να αποδείξετε ότι: συν4α= 8 συν α 8 συν α+

96 .8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 8. Να αποδείξετε ότι: i) συν π 4 4 π συν = 4 ii) ηµ π ηµ π = 4 iii) 8 ηµ ασυν α= συν4α α 9. Αν συν = β + γ συν = β γ + α και συν γ z =, να αποδείξετε ότι: α+ β z εϕ + εϕ + εϕ =.

97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ' ΟΜΑΔΑΣ) Δ. Σε τρίγωνο ABΓ το ύψος του ΑΔ είναι ίσο με το μισό της πλευράς ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ισχύει εϕβ+ εϕγ= εϕβεϕγ και σϕβ+ σϕγ=. Δ εϕβ ηµ Β. Αν για τις γωνίες ενός τριγώνου ABΓ ισχύει =, να αποδείξετε εϕγ ηµ Γ ότι το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές.. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ (,) του επιπέδου με = + συν t, = + ημt βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Κ(,) και ακτίνας ρ =. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + ηµ συν + = 4 συν + ηµ ii) συν σϕ = ηµ π 5. i) Αν < <, να αποδείξετε ότι εϕ+ σϕ ii) Αν α< β< π ηµα ηµβ, να αποδείξετε ότι εϕα < + < συνα + συνβ εϕβ 6. Να λύσετε την εξίσωση συν π = στο διάστημα (4π, 5π).

98 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γʹ ΟΜΑΔΑΣ) 7. Σε ένα λούνα-παρκ ο περιστρεφόμενος τροχός έχει ακτίνα 4m, τo κέντρο του απέχει από το έδαφος m και όταν αρχίζει να κινείται εκτελεί μια πλήρη περιστροφή σε 8 δευτερόλεπτα με σταθερή ταχύτητα. Να βρείτε το ύψος του βαγονιού Α από το έδαφος ύστερα από χρόνο sec, sec, 5sec και γενικότερα ύστερα από χρόνο t sec. Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα για το βαγόνι Β. m O 4m Β A 8. Να αποδείξετε ότι i) σϕ εϕ = σϕ ii) σϕ εϕ 4 εϕ 8 εϕ = εϕ 9. Με τη βοήθεια του τύπου ηµ α= ηµα 4 ηµ α να λύσετε τις εξισώσεις: i) 8 6+ = ii) 8 6 =. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σημείων M(,), με =συνθ και = συνθ+, όπου θ [, π], είναι το τόξο της παραβολής =, με [, ]. εϕα εϕ α. Με τη βοήθεια των τύπων ηµ α = και συνα= + εϕ α + εϕ α + ηµ να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f( ) =, 5+ 4συν τιμές στο διάστημα [, ]. 9 ( ππ, ) παίρνει ηµ. Nα λύσετε την εξίσωση: ηµ + συν συν π + = 4. Ένα γκαράζ σχήματος ορθογωνίου έχει σχεδιασθεί, έτσι ώστε να αποτελείται από ένα τετρά- O γωνο ΑΒΓΔ και ένα ορθογώνιο ΟΑΔΕ με ΟΔ = m, όπως περιγράφει το διπλανό σχήμα. Για Α ποια τιμή της γωνίας θ rad το εμβαδό S m του γκαράζ γίνεται μέγιστο; Υπόδειξη i) Να δείξετε ότι S = 4συν θ+ 4ηµθσυνθ ii) Να εκφράσετε το S στη μορφή S= ρηµ ( θ + ϕ) + c Β θ m Ε Δ Γ

99 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ iii) Να βρείτε την τιμή του θ, για την οποία το S παίρνει τη μέγιστη τιμή, την οποία και να προσδιορίσετε. Δ Α 4. Δίνεται ένα τρίγωνο ABΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Αν MAB ˆ =, MAˆ Γ= και AΜΓ ˆ =ω, να αποδείξετε ότι: σϕω = σϕ σϕ ω Β Γ Μ 5. Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του διπλανού σχήματος, αν ισχύει Γ Β =. Α 45 Β Δ Γ

100 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ -6_update.indd 5 5 /5/ 8:5: πμ

101 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 6 ΑΒ Γ + Α ΒΓ = ΑΓ Β ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ -6_update.indd 6 /5/ 8:5: πμ

102

103 Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4. πολυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του κάθε παράσταση της μορφής α ν, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Μονώνυμο του καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό. Για παράδειγμα, οι παραστάσεις: και οι αριθμοί:,, είναι μονώνυμα του. Καλούμε πολυώνυμο του κάθε παράσταση της μορφής: ν ν αν + αν α + α, όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και είναι πραγματικοί αριθμοί. Τα μονώνυμα λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι αριθμοί συντελεστές αυτού. Ειδικότερα ο α λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου. Τα πολυώνυμα της μορφής α, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Έτσι για παράδειγμα, οι παραστάσεις + +, 5+, και οι αριθμοί, κτλ. είναι πολυώνυμα του.

104 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 9 Η ισότητα μεταξύ δυο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής: Δυο πολυώνυμα µ ν αµ α+ α και βν β+ β, με µ ν θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: α = β, α = β,..., αν = βν και αν+ = αν + =... = αµ = 4 Για παράδειγμα τα πολυώνυμα και + είναι ίσα. Επίσης τα πολυώνυμα α + β+ γ και + είναι ίσα αν και μόνο αν γ=, β= και α=. Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με P(), Q(), κτλ. Έστω τώρα ένα πολυώνυμο ν ν P ( ) = αν + αν α + α Αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν, τότε το Ρ() είναι ίσο με το πολυώνυμο (μηδενικό πολυώνυμο). Αν όμως ένας από τους συντελεστές του είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε το Ρ() παίρνει τη μορφή: κ κ ακ + ακ α + α, με α κ Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός κ λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Ρ(). Είναι φανερό ότι κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Έτσι για παράδειγμα το πολυώνυμο P ( )= είναι ου βαθμού, ενώ το Q() = 7 είναι μηδενικού βαθμού. Αριθμητική τιμή πολυωνύμου ν ν Έστω ένα πολυώνυμο P ( ) = αν + αν α + α. Αν αντικαταστήσουμε το με έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός P( ρ) = ανρ + αν ρ αρ ν ν + α που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για =ρ. Αν είναι Ρ(ρ)=, τότε o ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου. Για παράδειγμα, η τιμή του πολυωνύμου P ( ) = , για = είναι P( ) = = 6, ενώ για = είναι P( ) = ( ) + ( ) + 4 ( ) + =, που σημαίνει ότι ο είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(). Είναι φανερό ότι: Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του και Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του (*) (*) Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή ότι: Αν ένα πολυώνυμο έχει τιμή c για όλες τις τιμές του, τότε αυτό είναι το σταθερό πολυώνυμο c και Αν δύο πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του, τότε τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα.

105 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Πράξεις με πολυώνυμα Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα:. i) ( ) + ( ) = ii) ( + ) + ( + ) = + + = + = [Πολυώνυμο ου βαθμού] [Πολυώνυμο ου βαθμού] iii) ( ) + ( + + ) = + + = [Μηδενικό Πολυώνυμο] ( ) ( ) = = ( + 5)( + ) = ( + ) + 5( + ) 5 4 = = = ( + 4) + ( 5) 5+ ( 7+ ) [Πολυώνυμο 5 ου βαθμού] Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δύο πολυωνύμων αποδεικνύεται ότι: Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ i) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες το πολυώνυμο P ( ) = ( λ ) + ( λ λ+ ) + λ είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες τα πολυώνυμα Q ( ) = λ + ( λ ) + και R ( ) = ( 5λ 6) + ( λ 4) + λ + είναι ίσα. ΛΥΣΗ i) To Ρ() θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ =, λ λ+ = και λ = Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ =. Επομένως για λ = το πολυώνυμο Ρ() είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

106 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ii) Τα Q() και R() θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ = 5λ 6, λ = λ 4 και = λ + Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ=. Επομένως για λ= τα πολυώνυμα Q() και R() είναι ίσα. Αν P ( ) = + + α, να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες ισχύει P( ) =. ΛΥΣΗ Έχουμε Ρ ( ) = ( ) + ( ) + α = α 4= α = ή α= Επομένως οι ζητούμενες τιμές είναι οι:,. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του : i) ii) α α + α iii) + iv) +. Δίνονται τα πολυώνυμα P ( )= 5+ και Q ( ) = + +. Να βρεθούν τα πολυώνυμα: i) P ( ) + Q ( ) ii) P ( ) Q ( ) iii) P ( ) Q ( ) iv) [ P ( )]. Να βρείτε για ποιες τιμές του µ, το πολυώνυμο P ( ) = ( 4µ µ ) + 4 µ µ + 4 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του α τα πολυώνυμα P ( ) = ( α α) + + α και Q ( ) = + α + ( α ) + είναι ίσα. 5. Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς, που δίνονται με τα παρακάτω πολυώνυμα, είναι ρίζες τους. i) P ( )= =, = 4 ii) Q ( )= + =, =, =. 6. Να βρείτε για ποιες τιμές του k το είναι ρίζα του πολυωνύμου P ( ) = k + 5+ k.

107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7. Για ποιες τιμές του α, η τιμή του πολυωνύμου P ( )= 5 + α+ α για = είναι ίση με. Β' ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, για τους οποίους το πολυώνυμο f( )= 7+ 5 παίρνει τη μορφή f( ) = α ( + ) + β + γ. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, για τους οποίους το πολυώνυμο P ( )= + α + β 6 έχει ρίζες το και το.. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ, για τους οποίους το πολυώνυμο P( )= + λ + µ + 6 έχει ρίζα το και ισχύει P( ) =. 4. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου P ( ) = ( 9λ 4λ) + ( 9λ 4) λ + για τις διάφορες τιμές του λ. 5. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(), για το οποίο ισχύει ( + ) P( ) = ΔΙΑΙΡΕΣΗ πολυωνυμων Αλγοριθμική διαίρεση Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακέραιων αριθμών. Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι: Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με δ, υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε Δ=δπ+υ, υ< δ () Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Ο Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης. Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη με την Ευκλείδεια διαίρεση που αναφέραμε παραπάνω. Συγκεκριμένα ισχύει: ΘΕΩΡΗΜΑ Όπως και στη διαίρεση μεταξύ φυσικών αριθμών το Δ() λέγεται διαιρετέος, το δ() διαιρέτης, το π() πηλίκο και το υ() υπόλοιπο της διαίρεσης.

108 4. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Για να προσδιορίσουμε το πηλίκο π() και το υπόλοιπο υ() της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Δ() με ένα πολυώνυμο δ(), ακολουθούμε μια διαδικασία, ανάλογη με εκείνη της διαίρεσης των θετικών ακεραίων. Στο παράδειγμα που ακολουθεί περιγράφεται βήμα προς βήμα η διαδικασία της διαίρεσης του πολυωνύμου 5 + με το πολυώνυμο.. Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και γράφουμε τα δύο πολυώνυμα.. Βρίσκουμε τον πρώτο όρο του πηλίκου διαιρώντας τον πρώτο όρο του διαιρετέου με τον πρώτο όρο του διαιρέτη.. Πολλαπλασιάζουμε το με και το γινόμενο το αφαιρούμε από το διαιρετέο. Βρίσκουμε έτσι το πρώτο μερικό υπόλοιπο Επαναλαμβάνουμε τα βήματα και με νέο διαιρετέο το +. Βρίσκουμε έτσι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο Τέλος επαναλαμβάνουμε τα βήματα και με νέο διαιρετέο το 4. Βρίσκουμε έτσι το τελικό υπόλοιπο και το πηλίκο 4. Παρατηρούμε ότι ισχύει η ισότητα: 5 + = ( ). ( 4) + ( ) (διαιρετέος) = (διαιρέτης) (πηλίκο) + (υπόλοιπο) που εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης. Αν ακολουθήσουμε την παραπάνω διαδικασία για τα πολυώνυμα και +, έχουμε:

109 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Παρατηρήστε ότι συμπληρώσαμε τη δύναμη με συντελεστή το μηδέν. Ομοίως για τα πολυώνυμα + και έχουμε Παρατηρήστε ότι στα παραπάνω παραδείγματα η διαίρεση τελειώνει, όταν το υπόλοιπο γίνει μηδέν ή ο βαθμός του γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη. Στο τελευταίο παράδειγμα βλέπουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η διαίρεση είναι τέλεια. Γενικά, αν σε μια διαίρεση είναι υ() =, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται ( ) = δ( ) π ( ) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ() διαιρεί το Δ() ή ότι το δ() είναι παράγοντας του Δ() ή ότι το Δ() διαιρείται με το δ() ή ακόμη ότι το δ() είναι διαιρέτης του Δ(). Έτσι για παράδειγμα το είναι παράγοντας ή διαιρέτης του +. Διαίρεση πολυωνύμου με ρ. Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ() με το πολυώνυμο ρ γράφεται. P ( ) = ( ρπ ) ( ) + υ ( ) Επειδή ο διαιρέτης ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ. Έτσι έχουμε: P ( ) = ( ρπ ) ( ) + υ και, αν θέσουμε = ρ, παίρνουμε P( ρ) = ( ρ ρπρ ) ( ) + υ= + υ= υ Επομένως P ( ) = ( ρπ ) ( ) + P( ρ) Αποδείξαμε λοιπόν ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για =ρ. Είναι δηλαδή υ = Ρ(ρ)

110 4. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 5 Για παράδειγμα, το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( )= + 5 με το είναι υ= P( ) = + 5=, ενώ με το + που γράφεται ( ), είναι υ= P( ) = ( ) + ( ) ( ) 5=. Παρατηρούμε ότι: P( ) =, δηλαδή ότι το είναι ρίζα του Ρ() και P ( ) = ( + ) π( ) + = ( + ) π ( ), δηλαδή ότι το + είναι παράγοντας του Ρ(). Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα πολυώνυμο Ρ() έχει παράγοντα το ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) =. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ότι το ρ είναι παράγοντας του Ρ(). Τότε P ( ) = ( ρπ ) ( ) Από την ισότητα αυτή για = ρ παίρνουμε P( ρ) = ( ρ ρπρ ) ( ) =, που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(). Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) =. Τότε από τη σχέση P ( ) = ( ρπ ) ( ) + P( ρ ) παίρνουμε P ( ) = ( ρπ ) ( ), που σημαίνει ότι το ρ είναι παράγοντας του Ρ(). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα + και είναι παράγοντες του πολυωνύμου P ( ) = + +. ΛΥΣΗ Το + γράφεται ( ). Επειδή P( ) = ( ) + ( ) ( ) + =, το είναι ρίζα του Ρ(). Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το + είναι παράγοντας του Ρ(). Επειδή P( ) = + + =, το δεν είναι ρίζα του Ρ(). Επομένως το δεν είναι παράγοντας του Ρ().

111 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για ποιες τιμές του λ : i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( )= + με το + λ είναι το μηδέν. 4 ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q ( )= λ + λ με το είναι το. ΛΥΣΗ i) Επειδή + λ= ( λ), το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το +λ είναι υ= P( λ). Επομένως, για να είναι υ = αρκεί: P( λ) = ( λ) ( λ) + ( λ) = λ λ λ = λ + λ + λ + = ( λ + ) = λ = ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q() με το είναι υ = Q(). Επομένως, για να είναι υ = αρκεί: 4 Q( ) = λ + λ = λ + λ 4= λ = ή λ= 4 Σχήμα Horner (Χόρνερ) Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, π.χ. του P ( ) = , με ένα πολυώνυμο της μορφής ρ. Η Ευκλείδεια διαίρεση του Ρ() με το ρ είναι η ακόλουθη: + ρ + ( ρ 8) + ρ( ρ 8) + 7 Η παραπάνω διαίρεση μπορεί να παρουσιασθεί εποπτικά με τον ακόλουθο πίνακα που είναι γνωστός ως σχήμα του Horner.

112 4. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 7 Συντελεστές του P() 8 7 ρ ρ (ρ 8)ρ [(ρ 8)ρ+7]ρ ρ 8 (ρ 8)ρ+7 [(ρ 8)ρ+7]ρ+ Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο Για την κατασκευή του πίνακα αυτού εργαζόμαστε ως εξής: Στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου Ρ() και στην πρώτη θέση της τρίτης γραμμής τον πρώτο συντελεστή του Ρ(). Στη συνέχεια ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής: Κάθε στοιχείο της δεύτερης γραμμής προκύπτει με πολλαπλασιασμό του αμέσως προηγούμενου στοιχείου της τρίτης γραμμής επί ρ. Κάθε άλλο στοιχείο της τρίτης γραμμής προκύπτει ως άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων της πρώτης και δεύτερης γραμμής. Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το ( ρ ), δηλαδή η τιμή του πολυωνύμου Ρ() για = ρ. Τα άλλα στοιχεία της τρίτης γραμμής είναι οι συντελεστές του πηλίκου της διαίρεσης. Ας εργασθούμε τώρα με το σχήμα Horner για να βρούμε το πηλίκο και το 5 4 υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( )= με το. 6 ρ= [ ] Συμπληρώστε με τους συντελεστές των δυνάμεων του που δεν υπάρχουν. 4 Επομένως το πηλίκο της διαίρεσης είναι π( ) = και το υπόλοιπο υ = Ρ() = 4 ΣΧΟΛΙΟ Στο παραπάνω παράδειγμα, αν αντί για το σχήμα Horner εκτελέσουμε τη διαίρεση, θα διαπιστώσουμε ότι οι πράξεις που απαιτούνται είναι αρκετά πιο επίπονες. Το ίδιο θα συμβεί, αν δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το Ρ() θέτοντας όπου το. Το σχήμα Horner είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στις περιπτώσεις όπου το ρ ή ο βαθμός του Ρ() είναι μεγάλος αριθμός. Για το λόγο αυτό, τόσο στις διαιρέσεις με το ρ όσο και στον υπολογισμό της τιμής Ρ(ρ), θα χρησιμοποιούμε συνήθως το σχήμα Horner.

113 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( 4 8α+ 4α ):( α ) ΛΥΣΗ Το σχήμα Horner με διαιρετέο το 4 8α+ 4α και διαιρέτη το α δίνει: 4 8α 4α α 4α 4α 4 4α Άρα π() = 4 4α και υ() = Αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί η ταυτότητα: ν α ν = α ν + ν α+ ν α + + α ν ( )(... ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Το σχήμα Horner με διαιρετέο το ν α ν και διαιρέτη το α δίνει... -α ν ρ=α α α... α ν- α ν α α... α ν- ν ν Επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσης ( α ):( α) είναι μηδέν, ενώ το πηλίκο είναι το πολυώνυμο π ν α ν α ν α ν ( ) = Τέλος, από την ταυτότητα της διαίρεσης προκύπτει ότι: ν ν ή ν α ν = α ν + ν α+ ν α + + α ν α = ( α) π( ) + ( )(... ) Να εξεταστεί για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού ν το +α είναι παράγοντας του ν + α ν, α. Γι αυτές τις τιμές του ν, το ν + α ν να γίνει γινόμενο της μορφής (+α) π(). ΛΥΣΗ Αν θέσουμε P ( ) = ν ν ν ν + α, τότε P( α) = ( α) + α. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν ν άρτιος, τότε P( α) = α ν + α ν = α ν, που σημαίνει ότι το α δεν είναι ρίζα του Ρ(). Επομένως το +α δεν είναι παράγοντας του ν + α ν. Αν ν περιττός, τότε P( α) = α ν ν + α = που σημαίνει ότι το α είναι ρίζα του Ρ(). Επομένως το +α είναι παράγοντας του ν + α ν. Στη συνέχεια, αν εργαστούμε όπως στο παράδειγμα για ν περιττό βρίσκουμε την ταυτότητα: ν + α ν = ( + α)( ν ν α+ ν α... + α ν )

114 4. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση. i) ( ):( + ) ii) ( 8):( ) iii) ( ):( 6 + 5) iv) ( ):( + ) v) 4 :( ) 5 vi) ( + 7):( ). Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ):( + ).. Να βρείτε τις τιμές του k, για τις οποίες το είναι παράγοντας του g ( ) = k 4 + k Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: i) ( ):( + ) ii) ( + 5):( + 8) 5 4 iii) ( + ):( ) iv) :( ) v) ( ): + 5. Αν P ( )= + 49, να βρείτε το Ρ( ). 6. Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα της μορφής ρ που δίνονται σε κάθε περίπτωση είναι παράγοντες του Ρ(). i) P ( ) = , + 4 ii) P ( ) = , 4 iii) P ( ) = +, 7. Αν ν είναι ένας άρτιος θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι το + είναι ν ν παράγοντας του. 8. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής ρ. 4 6 i) P ( )= ii) Q ( )= Αν ο ν είναι περιττός θετικός ακέραιος, τότε το + είναι παράγοντας του ν +. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης ( ν + ):( + ).. Να κάνετε τις διαιρέσεις: i) ( α 8α ):( α ) ii) ( + α α α ):( + α)

115 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΟΜΑΔΑΣ. Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το ν α ν είναι παράγοντας του µ α µ, (μ, ν θετικοί ακέραιοι).. i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με β το α+β, α είναι υ = P. α ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο α + β διαιρείται με το α+β.. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώ- 4 νυμο P ( )= διαιρείται με το (-)(-) και να βρείτε το πηλίκο. 4. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P( ) = ( + ) ν ν, έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του + +. ν+ ν 5. Να υπολογίσετε τους αβ,, για τους οποίους το P ( )= α + β + έχει παράγοντα το ( ). 4. πολυωνυμικεσ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων 4 α+ β=, α + β + γ = και α + β + γ =, με α Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ() =, όπου Ρ() πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις. Συγκεκριμένα: Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής ν ν α + α α + α =, α ν ν ν 6 Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 5 + = και = είναι πολυωνυμικές εξισώσεις ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως. Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου ν ν P ( ) = αν + αν α + α, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) =. Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις ου και ου βαθμού, έτσι και για τις πολυωνυμικές εξισώσεις ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυτού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός

116 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4 τρόπος επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 δεν υπάρχει. Για τους λόγους αυτούς, για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από, θα περιοριστούμε στη γνωστή μας παραγοντοποίηση. Η επίλυση μια εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία P( ) P ( )... P ( ) = ( P( ) = ή P ή... ή P ( k ) = ) ( )= k Δηλαδή, για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ() =, παραγοντοποιούμε το Ρ() και αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού. Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση. Αυτή γράφεται: + = + = ( ) ( ) = ( )[ ( + ) ] = ( )( + ) = = ή + = = ή = Παράγοντας της μορφής ρ Το θεώρημα που ακολουθεί μας βοηθά σε ορισμένες περιπτώσεις, στην εύρεση πρωτοβάθμιων παραγόντων. ΘΕΩΡΗΜΑ (ακέραιων ριζών) Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ν ν αν + αν α + α =, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α. αποδειξη Αν ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε ν ν ν ν αρ + α ρ αρ+ α = α = αρ α ρ... αρ ν ν ν ν ν ν α = ρ( αρ α ρ... α ) ν ν Επειδή οι ρ, α, α,..., α ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και ο αρ ν αν ρ... α είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α. ν ν

117 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να λυθεί η εξίσωση + + = ΛΥΣΗ Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες, του σταθερού όρου. Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο P ( ) = + +. Έχουμε: - ρ = Ρ() = - - Άρα το δεν είναι ρίζα του Ρ() ρ= ρ= Ρ( ) = Άρα το δεν είναι ρίζα του Ρ() Ρ() = Άρα το είναι ρίζα του Ρ() Επομένως το είναι παράγοντας του Ρ(). Συγκεκριμένα από το τελευταίο σχήμα έχουμε P ( ) = ( )( ) οπότε η εξίσωση γράφεται ( )( ) = και έχει ρίζες τους αριθμούς, 5 και + 5. ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω παράδειγμα συμπεραίνουμε ότι το αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει. Με άλλα λόγια μπορεί ένας ακέραιος ρ να είναι διαιρέτης του α, χωρίς αυτός να είναι κατ ανάγκη και ρίζα της εξίσωσης π.χ. ο ρ =. 4 Να λυθεί η εξίσωση =. ΛΥΣΗ Οι διαιρέτες του 4 είναι οι: ±, ±, ±4. Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί, οι διαιρέτες,, και 4 αποκλείεται να είναι ρίζες της. Επομένως οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι,, και 4.

118 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4 Αν εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, βρίσκουμε P( ) =, ενώ για ρ= έχουμε: Η εξίσωση τότε γράφεται ρ = Άρα το είναι ρίζα του Ρ() ( + )( ) = Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία για το Q ( )= και ρ = έχουμε ρ = Q( )= Άρα το - είναι ρίζα του Q() Επομένως είναι = ( + )( + + ) και η αρχική εξίσωση γράφεται ( + ) ( + + ) = Η τελευταία έχει μια μόνο διπλή ρίζα τον αριθμό. P( ) = Πρόσημο γινομένου Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P( ) = A ( ) B ( )... Φ ( ) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες A ( ), B ( ),..., Φ( ) είναι της μορφής α + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής α + β+ γ (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(), όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του το πρόσημο του γινομένου P ( ) = ( )( + 6)( + + ). ΛΥΣΗ Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής: Επειδή, το είναι θετικό για >, μηδέν για = και αρνητικό για <.

119 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Επειδή + 6 ( + )( ) ή, το + 6 είναι θετικό για < και για >, μηδέν = και για = και αρνητικό για < <. Επειδή το + + έχει διακρίνουσα = 8= 7<, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε. Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P() γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων P() Ώστε το γινόμενο P() είναι θετικό για < < και για >, ενώ είναι αρνητικό για < και για < <. Τέλος είναι μηδέν για =, για = και για =. Ανισώσεις της μορφής A(). B()..... Φ()> (<) Άμεση εφαρμογή των παραπάνω έχουμε στην επίλυση ανισώσεων της μορφής A ( ) B ( )... Φ( ) > ( < ), όπως είναι για παράδειγμα η ανίσωση ( )( + 6)( + + ) < Προκειμένου να λύσουμε την ανίσωση αυτή αρκεί να βρούμε τις τιμές του για τις οποίες το γινόμενο P ( ) = ( )( + 6)( + + ) είναι αρνητικό. Από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα προσήμου του P() διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν (, ) (, ). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η ανίσωση + + > ΛΥΣΗ Αν εργαστούμε όπως στο παράδειγμα, η ανίσωση γράφεται ( )( ) > ή ( ) >. Τοποθετούμε τις ρίζες του P ( )= + + σε άξονα και παρατηρούμε ότι: Στο ο από δεξιά διάστημα (, + ) το Ρ() είναι θετικό, αφού όλοι οι παράγοντες εί-

120 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ναι θετικοί. Στο επόμενο διάστημα, το Ρ() είναι αρνητικό, αφού ένας μόνο παράγοντας, ο, είναι αρνητικός. Αν συνεχίσουμε έτσι, βρίσκουμε το πρόσημο του Ρ() σε όλα τα διαστήματα όπως φαίνεται στο σχήμα Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα, με 5 5 < < + ή >. Προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση Όταν ο ακριβής προσδιορισμός των ριζών μιας εξίσωσης είναι δύσκολος ή αδύνατος, τότε χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι για να προσδιοριστούν με προσέγγιση οι ρίζες αυτές. Μια τέτοια προσεγγιστική μέθοδος, που παρουσιάζεται βήμα προς βήμα στο παράδειγμα που ακολουθεί, στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω η συνάρτηση f() = α ν ν + α ν ν α + α Αν για δυο πραγματικούς αριθμούς α, β με α<β οι τιμές f(α), f(β) της συνάρτησης είναι ετερόσημες, τότε υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() = μεταξύ των α, β. Το παραπάνω θεώρημα ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής: Αν η γραφική παράσταση της f περνάει από δυο σημεία Α (α, f(α)) και Β(β,f(β)) που βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα ', τότε αυτή τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β. f(α) Α(α,f(α)) f(β) Β(β,f(β)) O f(β) α β O α Β(β,f(β)) f(α) Α(α,f(α)) β

121 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των αριθμών και. Στη συνέχεια να βρεθεί μια ρίζα με προσέγγιση δεκάτου. ΛΥΣΗ Έστω η συνάρτηση f( )= + f () = < o βήμα: Έχουμε f ( ) = > Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο διάστημα (,). o βήμα: Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία,,,,...,9 και παρατηρούμε ότι: Επομένως, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,5,,6). o βήμα: Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία στο διάστημα (,5,,6) και έχουμε: f (, 5), < f (, 54), > Επομένως, υπάρχει μια ρίζα ρ στο διάστημα (,5,,54) δηλαδή ισχύει,5 < ρ <,54. Άρα με προσέγγιση δεκάτου είναι ρ =,5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ f (, 5), < f (, 6), > Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις. i) 5 = 6 ii) = 5 4 iii) + 5 = + 5 iv) 6 64 = v) + = vi) 7+ 6= vii) ( + ) + = viii) 7( + ) ( ) ( + )( ) = i) + 8= 7( ) ) + 6 4= A(, ),5 ρ B(,)

122 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 47. Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες των εξισώσεων i) + + = ii) = iii) = iv) =. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες. 4 i) + = ii) = 4. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω γινομένων, για τις διάφορες τιμές του. i) P ( ) = ( )( )( + ) ii) Q ( ) = ( + 4)( + )( + + ) 5. Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 i) 6 ii) ( + )( 9) > iii) > iv) Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 i) > ii) iii) 4 + < iv) Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα ' και της γραφικής παράστασης καθεμίας από τις συναρτήσεις: i) f( )= 5 ii) g ( )= 4 8. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης f( )= βρίσκεται κάτω από τον άξονα '. 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 5 6 = ii) ( ) 9( ) + 8= iii) =. Να βρεθεί μια ρίζα της εξίσωσης + 5 = στο διάστημα (,) με προσέγγιση δεκάτου.

123 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) =, ii) + = Να βρείτε για ποιες τιμές των αβ, το P( )= 4 + α + β 6 έχει παράγοντες τους + και. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Ρ() =.. Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες, η εξίσωση + k + = έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. ν * 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + λ =, δεν έχει ακέραιες ρίζες. ν N,, 5. Αν P ( )= k, να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το είναι παράγοντας του Ρ(). Για αυτές τις τιμές του k να λύσετε την εξίσωση Ρ() =. 6. Για να κατασκευάσουμε ένα ανοικτό κουτί από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις 5dm και 9dm, κόβουμε ίσα τετράγωνα από κάθε γωνία του και γυρίζουμε προς τα πάνω τις πλευρές του. Να βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού, αν είναι γνωστό ότι αυτές εκφράζονται σε dm με ακέραιους αριθμούς και ακόμη ότι ο όγκος του είναι dm. 7. Η συγκέντρωση μιας χημικής ουσίας στο αίμα t ώρες μετά από ενδομυϊκή t + t ένεση δίνεται από τον τύπο c =. Η συγκέντρωση είναι μέγιστη, t όταν t + t t =. Να υπολογίσετε με προσέγγιση δεκάτου το χρόνο t καθώς και τη μέγιστη συγκέντρωση. 8. Αν ο όγκος του διπλανού σχήματος είναι 6m, να βρείτε το. m m m m

124 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ένα παγόβουνο σύρεται από την Ανταρκτική προς την Αφρική. Αν ο όγκος του V, μετά από ν ημέρες δίνεται από τον τύπο 5π V = ( ν+ ν ν ), να βρείτε μετά πόσο χρόνο το παγόβουνο θα λιώσει τελείως.. Σε χρόνο t δευτερολέπτων μετά την πρόσκρουση του φορτηγού στο κιγκλίδωμα του δρόμου, η παραμόρφωση σε mm του κιγκλιδώματος δίνεται από τον τύπο d = 5t(t 6t 9). Σε πόσο χρόνο μετά την πρόσκρουση η μπάρα του κιγκλιδώματος θα επανέλθει στην αρχική της θέση;. Ένα πακέτο σχήματος παραλληλεπιπέδου, για να σταλεί με το ταχυδρομείο, πρέπει το άθροισμα του μήκους του με την περίμετρο μιας κάθετης τομής του να μην υπερβαίνει τα 8cm (βλέπε σχήμα). Να βρεθούν οι διαστάσεις του πακέτου, αν γνωρίζουμε ότι ο όγκος του είναι 664 cm.. i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α (,) και B,. ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία αυτή τέμνει την καμπύλη = + για τα που είναι ρίζες της εξίσωσης = iii) Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις συντεταγμένες του Γ.

125 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει μικρά δοχεία για χυμούς φρούτων. Το τμήμα σχεδιασμού του εργοστασίου έλαβε τρεις παραγγελίες: cm χυμός α) Ο πρώτος πελάτης θέλει κουτιά που να ροδάκινο χωρούν ml χυμού και με διαστάσεις, + cm + cm που να διαφέρουν κατά cm, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να αποδειχθεί ότι το τμήμα έχει να λύσει την εξίσωση + + =. Μπορείτε να τους βοηθήσετε να βρουν το με προσέγγιση ενός mm. β) Ο δεύτερος πελάτης θέλει τενεκεδάκια κυλινδρικά που να χωρούν lit και να έχουν ύψος cm μεγαλύτερο από το μήκος της ακτίνας τους. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση αυτή τη φορά είναι r + r 8 = και να βρεθεί το r με προσέγγιση ενός mm. (Να πάρετε 8 π ). γ) Ο τρίτος πελάτης ζήτησε κουτιά σε σχήμα τετραγωνικής πυραμίδας, που να χωρούν 5ml, με πλευρά βάσης 5cm μεγαλύτερη από το ύψος. Να βρεθεί η εξίσωση και στη συνέχεια μια κατά προσέγγιση τιμή του ύψους h (προσέγγιση χιλιοστού). r+ cm r cm χυμός αχλάδι h+5cm χυμός ροδάκινο χυμός μήλο h+5cm 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ πολυωνυμικεσ Υπάρχουν εξισώσεις, οι οποίες δεν είναι πολυωνυμικές, αλλά με κατάλληλη διαδικασία η λύση τους ανάγεται στη λύση πολυωνυμικών. Τέτοιες εξισώσεις επιλύονται στα παραδείγματα που ακολουθούν. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ + = ( ) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε με και. Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε:

126 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 5 + = ( ) + ( ) ( ( ) ) ( ) = 4 + = ( ) + = ( )( + ) = και. Λόγω των περιορι- Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς σμών δεκτή είναι μόνο η =. Να λυθεί η εξίσωση =. ΛΥΣΗ Η εξίσωση ορίζεται για. Αν υψώσουμε και τα δυο μέλη της στο τετράγωνο, προκύπτει η εξίσωση = 4 + 4, η οποία γράφεται 5+ 4= και έχει ως ρίζες τις = 4 και =. Οι τιμές αυτές του, αν και ικανοποιούν τον περιορισμό δεν είναι και οι δύο ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Πράγματι αν θέσουμε τις τιμές αυτές στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε: Για = 4 : 4 = 4 που είναι αληθής ισότητα Για = : = που δεν είναι αληθής ισότητα. Αρα η αρχική εξίσωση έχει ως μοναδική ρίζα την =4. ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει ότι, αν υψώσουμε τα μέλη μιας εξίσωσης στο τετράγωνο, τότε η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να έχει και άλλες ρίζες εκτός από τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Είναι λοιπόν απαραίτητο σε τέτοιες περιπτώσεις να κάνουμε επαλήθευση των ριζών που βρίσκουμε και να απορρίπτουμε όσες από αυτές δεν επαληθεύουν την αρχική εξίσωση. Να λυθεί η εξίσωση + 7 =. ΛΥΣΗ Η εξίσωση ορίζεται για κάθε με 7. Γι αυτά τα διαδοχικά έχουμε: + 7 = + (απομονώνουμε το ριζικό) ( + 7) = ( + ) (υψώνουμε στο τετράγωνο) + 7= = Η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους αριθμούς και. Από τις ρίζες αυτές διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η = είναι ρίζα της αρχικής.

127 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 Να λυθεί η εξίσωση =. ΛΥΣΗ Η εξίσωση ορίζεται για τα, για τα οποία ισχύουν + 6 και + 4, δηλαδή για τα. Γι' αυτά τα διαδοχικά έχουμε: + 6 = ( + 6) = ( + + 4) (απομονώνουμε το ριζικό) (υψώνουμε στο τετράγωνο) + 6= = + 4 ( + ) = 4( + 4) (υψώνουμε στο τετράγωνο) 5= Η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους αριθμούς και 5. Από τις ρίζες αυτές διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η = 5 είναι ρίζα της αρχικής. ΣΧΟΛΙΟ Εξισώσεις όπως αυτές των παραδειγμάτων, και 4, όπου παραστάσεις του βρίσκονται κάτω από ριζικά, ανήκουν σε μια κατηγορία εξισώσεων που λέγονται άρρητες. Ανισώσεις της μορφής Α() > (< ) B() Όπως γνωρίζουμε το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα. Επομένως: A ( ) > A ( ) B ( ) > και A ( ) < A ( ) B ( ) <, B ( ) B ( ) αφού, καμία από τις λύσεις της A ( ) B ( ) > και της A ( ) B ( ) < δεν μηδενίζει το Β(). Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση ( )( + + ) >. + 6 Η ανίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με τη ( )( + 6)( + + ) >, δηλαδή με την P()>, η οποία, από τον πίνακα προσήμου του P() αληθεύει όταν (, ) (, + ).

128 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 5 ΣΧΟΛΙΟ Μία ανίσωση της μορφής A ( ) B ( ) αληθεύει για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως A ( ) B ( ) και B ( ) Έστω για παράδειγμα η ανίσωση Έχουμε: και + 4 ( + )( + ) + 4. Οι ρίζες του τριωνύμου 4+ είναι οι και, ενώ του τριωνύμου + 4 είναι οι και 4. Συντάσσουμε τον πίνακα προσήμου του γινομένου: P ( ) = ( 4+ )( + 4) P() Άρα η ανίσωση αληθεύει όταν (, 4) [, + ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = + 4 ii) + =. Να λύσετε την εξίσωση: ηµ + συν + ηµ =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 4 ii) = 4 iii) 5 = 4 iv) + = + v) + = + vi) + = vii) = 8 + viii) + = + 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) + > ii) + iii) +

129 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) + > 4 ii) iv) 5 v) 6. Να λύσετε την ανίσωση: B ΟΜΑΔΑΣ. Να λύσετε τις ανισώσεις: iii) ( ) i) + < ii) > 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + = ii) + 6=. Ομοίως τις εξισώσεις: i) + 4= + ii) + 4 = Ομοίως τις εξισώσεις: i) = α ii) 4 + = λ 5. Να λύσετε την εξίσωση ηµ 4 ηµ συν ηµ + 4= ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ ΟΜΑΔΑΣ). Με τη βοήθεια της ( + + )( ) =, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P ( )= + + διαιρείται με το πολυώνυμο ++ (ν, ν µ + ρ+ μ, ρ θετικοί ακέραιοι).. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο: ν+ ν i) f( ) = ν ( ν+ ) + διαιρείται με το ( ). Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης. ν ν ii) g ( ) = ( ν ) ν + ν ν+ διαιρείται με το ( ).. Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 4 i) = ii) = (Οι εξισώσεις αυτές είναι της μορφής α 4 + β + γ + β+ α =, α. Εξισώσεις της μορφής αυτής ανήκουν σε μια κατηγορία εξισώσεων που λέγονται αντίστροφες).

130 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ' ΟΜΑΔΑΣ) 55 Υπόδειξη: Να διαιρέσετε τα μέλη των εξισώσεων με και στη συνέχεια να θέσετε + =. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις 4 4 i) = ii) = 5. Να λύσετε την εξίσωση ( + ) ( + + ) + 4= Υπόδειξη: Να θέσετε + = Να βρείτε τα αβ, για τα οποία το πολυώνυμο + + α + β, διαιρούμενο με το, δίνει υπόλοιπο Αν P ( ) = , να υπολογιστούν οι τιμές Ρ() και Ρ(). 8. Ο ήλιος ενός πλανητικού συστήματος με την πάροδο του χρόνου γίνεται άλλοτε θερμότερος και άλλοτε ψυχρότερος. Έχει εκτιμηθεί ότι η θερμοκρασία Τ σε C στην επιφάνεια ενός πλανήτη του συστήματος, μετά από εκατομμύρια χρόνια θα είναι Τ= i) Μετά πόσο χρόνο θα έρθει το τέλος των παγετώνων στον πλανήτη; ii) Πότε θα αρχίσει ο επόμενος παγετώνας και πόσο θα διαρκέσει;

131 56 7-8_update.indd 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ /5/ 8:5:9 πμ

132 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 57 * Κάθε εξίσωση ου βαθμού: + α + β + γ = με τη βοήθεια του μετασχηματια σμού = παίρνει τη μορφή + A = B. 7-8_update.indd 57 /5/ 8:5: πμ

133 58 7-8_update.indd 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ /5/ 8:5: πμ

134

135 Κεφάλαιο 45 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δυνάμεις με ρητό εκθέτη Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της δύναμης με βάση έναν πραγματικό αριθμό και εκθέτη ακέραιο. Συγκεκριμένα: Στην αρχή ορίσαμε τη δύναμη ενός πραγματικού αριθμού με εκθέτη θετικό ακέραιο, ως εξής: Για παράδειγμα: = = 8 Στη συνέχεια με τη βοήθεια των ισοτήτων: ν α ν = και α = = ν α, και α α ν * επεκτείναμε την έννοια της δύναμης ενός πραγματικού αριθμού και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ακέραιος. Για παράδειγμα: = = 9 4 Στη συνέχεια θα ορίσουμε παραστάσεις της μορφής 4, 5 και γενικά της μορφής α ν µ, όπου α, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος. Τις παραστάσεις αυτές θα ονομάσουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. O ορισμός θα γίνει με τέτοιο τρόπο, ώστε να διατηρούνται οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων. Tι θα πρέπει να σημαίνει π.χ. το 5 p q pq ; Av απαιτήσουμε να ισχύει η ιδιότητα ( α ) = α και για τις δυνάμεις με ρητό εκθέτη, τότε θα είναι: ( ) = = α και ν *

136 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 5 Αρα πρέπει ο να είναι λύση της εξίσωσης 5 =, δηλαδή ο αριθμός 5 5 Πρέπει δηλαδή να είναι =. Γενικά Av α>, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε: ν ν µ α = α µ Επιπλέον, αν μ, ν, θετικοί ακέραιοι, ορίζουμε ν =. Έτσι π.χ. 8 = 8 = 64 = 4 µ = 7 = = = Αποδεικνύεται ότι, όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο ισχύουν και για τις δυνάμεις με εκθέτη ρητό. To γεγονός αυτό διευκολύνει το λογισμό με τα ριζικά. Έτσι είναι π.χ. 4 4 α α = α α = α = α = α 4 Οι δυνάμεις αυτές υπολογίζονται εύκολα με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης ως εξής: ΔΥΝΑΜΗ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ,4.4 =,4,.4. +/ = ( 7 ) Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Γεννιέται τώρα το ερώτημα: Μπορούμε να ορίσουμε δυνάμεις της μορφής α με άρρητο, κατά τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρούνται οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων με ρητό εκθέτη; Μπορούμε για παράδειγμα να ορίσουμε την ; Όπως είδαμε (βιβλίο B' Γυμνασίου σελ. 45) οι δεκαδικές προσεγγίσεις του κατά προσέγγιση ακέραιας μονάδας, δεκάτου, εκατοστού κτλ. είναι,,4,,4,,44,,44,,44,,44,... () =

137 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ας πάρουμε τώρα την ακολουθία αυτή των δεκαδικών προσεγγίσεων του και την αντίστοιχη ακολουθία των δυνάμεων του :,,4,,4,,44,,44,,44,,44, () Με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε ότι: = 4, 4, , 47, 6965, 44 47, 7695, 44 4, 7879, 44 4, 78789, 44 4, 7885 Av παρατηρήσουμε τους αριθμούς αυτούς μας δίνεται η εξής εντύπωση: Όταν το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων της ακολουθίας () αυξάνει, οι όροι της ακολουθίας () φαίνεται να προσεγγίζουν έναν ορισμένο αριθμό, που λέγεται οριακή τιμή ή όριο της ακολουθίας αυτής. Είναι επομένως λογικό να ορίσουμε τη δύναμη ως την πιο πάνω οριακή τιμή. Έτσι με προσέγγιση τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων είναι 4, 788. Γενικά αποδεικνύεται ότι: Av α >, άρρητος και ρ ν η δεκαδική προσέγγιση του με ν δεκαδικά ψηφία, τότε καθώς το ν αυξάνει τείνοντας στο +, οι όροι της ακολουθίας ( α ρ ν ) «προσεγγίζουν» έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό, τον οποίο στο εξής θα ονομάζουμε όριο της ακολουθίας ( α ρ ν ). To όριο αυτό συμβολίζεται με α και λέγεται δύναμη του α με εκθέτη. Συμβολικά γράφουμε: α limα = ν ρ ν Επιπλέον, για κάθε >, ορίζουμε =. O υπολογισμός δυνάμεων με άρρητο εκθέτη γίνεται με υπολογιστή τσέπης όπως στα παρακάτω παραδείγματα: ΔΥΝΑΜΗ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ = π ep =

138 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων, γνωστές από την Α Λυκείου, αποδεικνύεται ότι ισχύουν και για δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό αριθμό. Συγκεκριμένα: Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και,,, τότε: α α = α + ( αβ ) = α β Εκθετική συνάρτηση ( α ) = α α α : α = α α β = β Έστω α ένας θετικός αριθμός. Όπως είδαμε προηγουμένως για κάθε ορίζεται η δύναμη α. Επομένως αντιστοιχίζοντας κάθε στη δύναμη α, ορίζουμε τη συνάρτηση: f: με f( ) =α, η οποία, στην περίπτωση που είναι α, λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν είναι α =, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f() =. Έστω τώρα η εκθετική συνάρτηση f() =. Για να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών: = Τοποθετώντας τα σημεία (, ) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη έχουμε το διπλανό σχήμα. Η συνάρτηση αυτή, καθώς και κάθε συνάρτηση της μορφής f( )=α με α >, αποδεικνύεται ότι: =

139 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έχει πεδίο ορισμού το. Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (, + ) των θετικών πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως αύξουσα στο. Δηλαδή για κάθε, ισχύει: αν <, τότε α < α Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(,) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των. α α A(,) Ο =α, α> Έστω επιπλέον και η εκθετική συνάρτηση g ( ) =. Για να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών: Τοποθετώντας τα σημεία (, ) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη έχουμε το διπλανό σχήμα. Η συνάρτηση αυτή, καθώς και κάθε συνάρτηση της μορφής f( )=α με <α<, αποδεικνύεται ότι: Έχει πεδίο ορισμού το. Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (, + ) των θετικών πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως φθίνουσα στο. Δηλαδή για κάθε, ισχύει: Ο α = ( =α, <α< ( αν <, τότε α > α Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(,) και έχει ασύμπτωτο το θετικό ημιάξονα των. α A(,) Ο

140 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 65 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για τις συναρτήσεις f() = και g ( )= παρατηρούμε ότι για κάθε ισχύει: g ( ) = f( ) = = = Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα '. = Ο = ΣΧΟΛΙΟ Από τη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης f()=α, με < α, προκύπτει ότι: αν, τότε α α οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι: Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία: αν α α = α, τότε =. = α = α α α α O O Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση εξισώσεων, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στον εκθέτη. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται εκθετικές εξισώσεις.

141 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = ii) 9 8 9= 64 ΛΥΣΗ i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: = = 64 = 6 = ii) Η εξίσωση γράφεται = ( ) 8. 9 = Επειδή η εκθετική [ συνάρτηση είναι ] Αν θέσουμε =, αυτή γίνεται 8 9 = και έχει ρίζες τους αριθμούς και 9. Επομένως η αρχική εξίσωση έχει ως λύσεις τις λύσεις των εξισώσεων: = και = 9 Απ' αυτές η πρώτη είναι αδύνατη, αφού >, ενώ η δεύτερη γράφεται = και έχει ρίζα το =, που είναι και μοναδική ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Να λυθεί το σύστημα: = 5 + = 9 (εκθετικό σύστημα) ΛΥΣΗ Αν θέσουμε =ω και = φ το σύστημα γίνεται: ω ϕ= 5ω+ ϕ= 9 Το γραμμικό αυτό σύστημα έχει λύση ω = και φ = 8, οπότε το αρχικό σύστημα γράφεται = ή ισοδύναμα = 8 από το οποίο παίρνουμε = και =. = =

142 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 67 Να λυθούν οι ανισώσεις: + i) > ii) 9 < 4 ΛΥΣΗ i) Έχουμε > > 9 > + > < ή > [ αφού > ] ii) Έχουμε + + < 4 < + > + > < ή > [ αϕού ] < 4 Να γίνουν οι γραφικές πραστάσεις των συναρτήσεων: i) f( )= + ii) g( )= iii) h ( )= + ΛΥΣΗ i) Η γραφική πράσταση της f προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της φ() = κατά μονάδες προς τα πάνω. ii) Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της φ() = κατά μονάδες προς τα δεξιά. iii) Τέλος η γραφική παράσταση της h προκύπτει από δύο μετατοπίσεις της φ() = μιας οριζόντιας κατά μονάδες προς τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω. = + 4 O = = = O = O = + A(,)

143 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ο αριθμός e Μια Τράπεζα για να διαφημιστεί κάνει μια πολύ ειδική προσφορά. Όποιος καταθέσει την επόμενη μέρα ποσό εκατομμυρίου ευρώ, αυτό θα τοκιστεί με ετήσιο επιτόκιο % και με δυνατότητα ανατοκισμού του,,,... ή ν φορές το χρόνο, σε ίσα χρονικά διαστήματα, ανάλογα με την επιθυμία του καταθέτη. Έχει σημασία για τον καταθέτη το πόσες φορές το χρόνο θα ανατοκιστεί το κεφάλαιο: ν Από το γνωστό τύπο του ανατοκισμού α = α ( + τ ), όπου τ ε =. για ν=, είναι τ= και α = ( + ) = εκατομμύρια ευρώ. για ν=, είναι τ= και α = + = 5, εκατομμύρια ευρώ. για ν=, είναι τ= και α = + 44 =, εκατομμύρια ευρώ.... για ν=ν, είναι τ= ν και α ν = + ν = + εκατομμύρια ευρώ. ν Αν χρησιμοποιήσουμε υπολογιστή τσέπης κατασκευάζουμε τον πίνακα: ν ν ν ν + ν ν 4 5 ανά ανά ανά ανά ανά ( εξάμηνο ) ( εποχή) ( μήνα) εβδομάδα ( έτος ) ( ),5,4446,65,748,769,7845,7868,788 Παρατηρούμε ότι, καθώς το ν αυξάνει, αυξάνει και το + και προσεγγίζει ν έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό. Ο αριθμός αυτός είναι άρρητος και συμβολίζεται με e. Ο συμβολισμός αυτός οφείλεται στο μεγάλο Ελβετό, μαθηματικό Leohard Euler (77-78). Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι e =,788. ν Συμβολικά γράφουμε e = lim + ν ν ν

144 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 69 Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι οι τιμές του ν έχουν μεγάλη σημασία όσο αυτές παραμένουν «μικρές». Από μια τιμή όμως και μετά, όσο και αν αυξάνει το ν, το τελικό ποσό δεν μεταβάλλεται ουσιαστικά. Σε πολλές πραγματικές εφαρμογές εμφανίζονται εκθετικές συναρτήσεις με βάση τον αριθμό e. Η απλούστερη τέτοια συνάρτηση είναι η f() = e. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται απλώς εκθετική και η γραφική της παράσταση =e φαίνεται στο διπλανό σχήμα. O Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής Μία ακόμη εκθετική συνάρτηση με βάση το e είναι η Qt ()= Q e () Αυτή εκφράζει ένα φυσικό μέγεθος, που μεταβάλλεται με το χρόνο t. To Q o είναι η αρχική τιμή του Q (για t = ) και είναι Q >, ενώ το c είναι μια σταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή ως νόμος της εκθετικής μεταβολής. Αν c > η συνάρτηση Q είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής αύξησης, ενώ αν c< η Q είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής απόσβεσης. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής αποτελεί ένα ικανοποιητικό μοντέλο για πάρα πολλές εφαρμογές της Φυσικής, της Βιολογίας, της Στατιστικής και άλλων επιστημών. Για παράδειγμα ο αριθμός των γραμμαρίων μιας ραδιενεργού ουσίας κατά τη χρονική, t στιγμή t (σε δευτερόλεπτα) δίνεται από τον τύπο Qt () = e. Αυτό σημαίνει ότι η ουσία που παραμένει αδιάσπαστη μετά από 7 δευτερόλεπτα είναι: 7,, Q( 7) = e (, 78) 4, 5 γραμμάρια. Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί ή να εξαφανισθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού της ραδιενεργού ουσίας. Στον πίνακα που ακολουθεί αναφέρεται η ημιζωή ορισμένων ραδιενεργών ισοτόπων: ΙΣΟΤΟΠΟ ΗΜΙΖΩΗ Άνθρακας (C 4 ) 57 έτη Ράδιο (Ra 6 ) 6 έτη Πολώνιο (Ρο ) 8 ημέρες Φώσφορος (Ρ ) 4 ημέρες

145 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 5 χρόνια, να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση αυτού είναι Q()= t Q. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού η ημιζωή είναι 5 χρόνια, από το νόμο της εκθετικής απόσβεσης Qt ()= Q e c t έχουμε: t 5 t 5 Άρα Qt () = Q. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f( )= και f ( )= ii) f( ) =, f( )= + και f( )= iii) f( ) =, f4( )= και f5( )= + iv) f( )= και f6( )= + v) g ( )= e, g e ( ) = +, g ( )= e και g e ( )= +. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 64 ii) iii) iv) = 4 8 = 8 = v) 64 4 = 4 vi) 7 = 9 + vii) = 6 viii) = 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) + 4 = ii) = iii) + 6 9= 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) < ii) 7 > 7 iii) < 5. Να λύσετε τα συστήματα: = 4 + = i) ii) + 55 = 5 = 7 + 4

146 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 7 6. Να λύσετε τα συστήματα: i) e : e = e e = e ii) = 8 + = 6 7. Να λύσετε την ανίσωση w w+ < και στη συνέχεια την ανίσωση Β ΟΜΑΔΑΣ + <.. Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες ορίζεται σε όλο το η συνάρτηση: f( ) =. Για ποιες από αυτές τις τιμές η συνάρτηση είναι: α α i) γνησίως φθίνουσα ii) γνησίως αύξουσα. Να λύσετε τις εξισώσεις: 45 7 i) = ii) + = iii) + 5 = + 5 iv) + 9 = v) 4 =. Να λύσετε τα συστήματα = 5 = 5 i) ii) + 6 = 5 = 4 4. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f( )= ii) f( )= 5. Αν f( ) = ( + ) α α και g ( ) = ( α α ), να αποδείξετε ότι [()] f [ g ( )] = 6. Αν αφήσουμε το καπάκι ενός πεντάλιτρου δοχείου με βενζίνη ανοικτό, η βενζίνη εξατμίζεται με ρυθμό % ανά εβδομάδα. i) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την ποσότητα της βενζίνης στο δοχείο μετά από t εβδομάδες. ii) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση iii) Με τη χρήση υπολογιστή τσέπης να διαπιστώσετε ότι μετά 4 εβδομάδες μόνο η μυρωδιά της βενζίνης θα υπάρχει στο δοχείο.

147 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 7. Το ραδιενεργό Ράδιο έχει χρόνο υποδιπλασιασμού 6 χρόνια. Αν η αρχική ποσότητα είναι 5 γραμμάρια, i) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση, η οποία δίνει την ποσότητα του Ραδίου μετά t χρόνια είναι Qt () = 55 (,) 6 ii) να υπολογίσετε την ποσότητα που θα έχει απομείνει μετά 6 χρόνια με προσέγγιση δεκαδικών ψηφίων. iii) να αποδείξετε ότι μετά χρόνια μόλις, γραμμάρια θα έχουν απομείνει. 8. Ένας πωλητής αυτοκινήτων βεβαιώνει τους πελάτες του ότι η αξία ενός αυτοκινήτου 4. ευρώ ελαττώνεται κατά 5% το χρόνο στα πρώτα 6 χρόνια από την πώλησή του. i) Να βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την τιμή του αυτοκινήτου μέσα στα 6 χρόνια. ii) Να υπολογίσετε την τιμή του αυτοκινήτου στο τέλος του έκτου χρόνου. 9. Η ένταση του ηλιακού φωτός σε βάθος μέτρα μιας θολής λίμνης, ελαττώνεται εκθετικά ως προς το, σύμφωνα με τον τύπο 5, I ( ) = I e ( ), όπου I είναι η ένταση στην επιφάνεια του νερού. i) Να υπολογίσετε το e -,5 για =,,,, 4, 5. ii) Να βρείτε την τιμή του, στον πλησιέστερο ακέραιο, για την οποία I ( ) ο λόγος είναι είναι I (α) (β),. iii) Να επιβεβαιώσετε και γραφικά την τιμή που θα βρείτε.. Η θερμοκρασία T(t) (σε C) ενός βραστήρα, κατέρχεται μέχρι να φτάσει την θερμοκρασία Τ του δωματίου, σύμφωνα με τον τύπο Tt () = T ( + e t ) ( t ) i) Να υπολογίσετε το e -t για t =,,, ii) Να βρείτε την τιμή του t, στον πλησιέστερο ακέραιο, για την οποία ο λόγος Tt () είναι T ( α ), (β). t

148 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 7. Πυκνωτής χωρητικότητας C (σε F) έχει φορτίο q (σε Cb). Αν συνδέσουμε τον πυκνωτή με αντίσταση R (σε ohm), το φορτίο του πυκνωτή ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο. qt ()= qe t RC (t σε δευτερόλεπτα) i) Με μια «πρόχειρη» γραφική παράσταση να δείξετε πώς μεταβάλλεται το φορτίο q ως προς το χρόνο t. ii) Να βρείτε τις τιμές του t της μορφής krc (k ακέραιος) μετά τις οποίες το φορτίο γίνεται μικρότερο από: α) q β) q R c Η έννοια του λογάριθμου 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο πληθυσμός της γης αυξάνει με ετήσιο ρυθμό,7%. Το 987 ήταν 5 δισεκατομμύρια κάτοικοι. Αν συνεχίζει να αυξάνει με τον ίδιο ρυθμό, πότε θα διπλασιαστεί; ΛΥΣΗ ν ε Σύμφωνα με τον τύπο αν = α + (βλ. ανατοκισμός βιβλίο Άλγεβρας Α' Λυκείου σ. 4) ο πληθυσμός της γης μετά από t χρόνια θα είναι: 9 t Nt () = 5 7, κάτοικοι Σύμφωνα με το πρόβλημα ζητάμε εκείνη την τιμή του t για την οποία ισχύει Nt ()= 5 9 κάτοικοι, ζητάμε δηλαδή τη λύση της εξίσωσης t 5 7, = ή ισοδύναμα της: t, 7 = () Την εξίσωση αυτή, με τις γνώσεις που έχουμε μέχρι τώρα, μόνο με τη βοήθεια της γραφι- =,7 t κής παράστασης της συνάρτησης f(t) =,7 t μπορούμε να τη λύσουμε. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι t 4. Επομένως ο πληθυσμός της γης θα διπλασιαστεί σε 4 περίπου χρόνια από το 987, δηλαδή το 8. O 4

149 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Με ανάλογο τρόπο, όπως στο παραπάνω πρόβλημα, μπορούμε να βρούμε κατά προσέγγιση τη λύση της εξίσωσης: α = θ, όπου α > με α και θ > Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση, αφού η εκθετική συνάρτηση f() = α είναι γνησίως μονότονη και ο θ ανήκει στο σύνολο τιμών της. Τη μοναδική αυτή λύση τη συμβολίζουμε με log α θ και την ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α. Ώστε, αν α > με α και θ >, τότε: α = θ = log θ Ισοδύναμα αυτό διατυπώνεται ως εξής: α O log α θ είναι o εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ Για παράδειγμα: log 8=, γιατί 8= log 4 =, γιατί = 4 ½ log, =, γιατί, = log 5 5,, =, γιατί Από τον παραπάνω ορισμό του λογαρίθμου προκύπτει αμέσως ότι, αν α > με α, τότε για κάθε και για κάθε θ > ισχύει: log α α = και α log α θ = θ Εξάλλου, επειδή = α και α = α, ισχύει: log α = και log α α = 5, =, 5 Ιδιότητες των λογαρίθμων Οι ιδιότητες που ακολουθούν και είναι γνωστές ως ιδιότητες των λογαρίθμων, είναι πολύ σημαντικές για το λογισμό με λογάριθμους θετικών αριθμών. Οι ιδιότητες αυτές, όπως θα δούμε, προκύπτουν από αντίστοιχες ιδιότητες των δυνάμεων, πράγμα φυσικό άλλωστε, αφού και οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται ως εκθέτες δυνάμεων.

150 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 75 Αν α> με α, τότε για οποιαδήποτε θ, θ, θ > και k ισχύουν:. log α( θθ ) = logαθ+ logα θ θ. logα = logαθ logα θ θ k. log θ = k log θ α α ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Εστω ότι είναι: log α θ = και log α θ = () Τότε έχουμε α = θ και α = θ οπότε + α α = θθ, και α = θθ Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με την log ( θθ ) = + α από την οποία, λόγω των (), έχουμε τελικά: log ( θθ ) = log θ + log θ α α α. Εργαζόμασθε με τον ίδιο τρόπο.. Έστω ότι είναι: log α θ= () Τότε έχουμε α =θ οπότε: k k α = θ Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με την log α θ k = k από την οποία, λόγω της (), προκύπτει ότι: k log θ = k log θ α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ν ν Επειδή για κάθε θ > ισχύει θ = θ, έχουμε ν ν logα θ = logα θ = logα θ ν Ας δούμε τώρα με ένα παράδειγμα πώς οι παραπάνω ιδιότητες μας διευκολύνουν στο λογισμό με λογάριθμους θετικών αριθμών. α

151 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την τιμή της παράστασης: A = log56 + log log8 Έχουμε διαδοχικά: A = log56 + log log8 = log 56 + log log 8 = log 6 + log 9 log 8 = log [Ιδιότητα ] [Ιδιότητες,] = log 8= log = Δεκαδικοί λογάριθμοι Πριν από την εξάπλωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, για πολύπλοκους αριθμητικούς υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν λογάριθμους με βάση το. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται δεκαδικοί ή κοινοί λογάριθμοι. Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται απλά με logθ και όχι με log θ. Επομένως: logθ= = θ Οι δεκαδικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν: ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ log log =.8796 log,5.5 log = Φυσικοί λογάριθμοι Γνωρίσαμε σε προηγούμενες παραγράφους τον αριθμό e και είδαμε τη σημασία του στην περιγραφή διαφόρων φαινομένων. Στα μαθηματικά είναι πολύ χρήσιμοι και οι λογάριθμοι με βάση τον αριθμό e. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι. Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ συμβολίζεται με lnθ και όχι με log e θ. Επομένως: ln θ= e = θ

152 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 77 Οι φυσικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης, όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν: ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ln5 5 In = ln,7.7 In = Αλλαγή βάσης Αν και οι χρησιμοποιούμενες βάσεις των λογαρίθμων είναι συνήθως το και το e, εντούτοις μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των λογαρίθμων. Αν α,β> με αβ,, τότε για κάθε θ> ισχύει: log β log θ = log α α θ β ΑΠΟΔΕΙΞΗ* Έστω ότι είναι log β θ=. Τότε θ = β, οπότε: log θ= log β = log β= log θ log β (επειδή = log β θ ) Άρα έχουμε: α α α β α log θ log β= log θ, οπότε log β α α ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με τον τύπο αυτό έχουμε: β log θ = log α α θ β log log θ θ ln β = και log logβ θ θ β = lnβ Επομένως ο υπολογισμός του log β θ ανάγεται στον υπολογισμό των δεκαδικών λογαρίθμων logθ και logβ, ή των φυσικών λογαρίθμων lnθ και lnβ. Για παράδειγμα είναι: log log 7 7 = = 4, log! ΠΡΟΣΟΧΗ Επειδή το σύμβολο log α θ ορίσθηκε μόνο όταν α > με α και θ >, όπου στο εξής το συναντάμε, θα εννοείται ότι α > με α και θ > χωρίς να τονίζεται ιδιαίτερα.

153 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Σύμφωνα με την κλίμακα Richter το μέγεθος R ενός σεισμού εντάσεως I δίνεται από τον τύπο I R = log I όπου I μια ορισμένη ελάχιστη ένταση. i) Να βρεθεί το μέγεθος R ενός σεισμού που έχει ένταση I=I ii) Να εκφρασθεί το I ως συνάρτηση του R και του I iii) Πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η ένταση ενός σεισμού από την ένταση ενός άλλου σεισμού που είναι μικρότερος κατά μονάδα Richter. ΛΥΣΗ i) Επειδή Ι=Ι, από τον τύπο R I = log I βρίσκουμε ότι: I R = log = log = I ii) Από τον ορισμό του δεκαδικού λογάριθμου προκύπτει ότι I I R R R = log = I= I I I () iii) Έστω δυο σεισμοί με εντάσεις I, I' και μεγέθη R, R' αντίστοιχα. Αν R' = R+, τότε λόγω του τύπου () έχουμε: I' I = I I R ' R R+ = =, R οπότε I' = I Επομένως η ένταση I' ενός σεισμού είναι πλάσια της έντασης I ενός άλλου σεισμού μικρότερου κατά μονάδα Richter. Οι χημικοί χρησιμοποιούν έναν αριθμό που συμβολίζεται με pη για να περιγράψουν την οξύτητα ενός διαλύματος. Εξ ορισμού είναι ph = log[ H ], όπου + [ H + ] είναι η συγκέντρωση των H + σε γραμμοϊόντα ανά λίτρο. i) Να υπολογίσετε το ph των εξής ουσιών: του ξιδιού: [ H + ] 6, του νερού της θάλασσας: [ H + ] 5, 9 ii) Να υπολογίσετε τη συγκέντρωση γραμμοϊόντων υδρογόνου [ H + ] στις εξής ουσίες: Μπύρα: ph 4, Γάλα: ph 66,

154 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 79 ΛΥΣΗ i) Το ph του ξιδιού είναι ίσο με log( 6, ), 9 Το ph του νερού της θάλασσας είναι ίσο με log( 5, ) 8, ii) Επειδή για την μπύρα είναι ph 4,, έχουμε + + +, + 4, = log[ H ] log[ H ] = 4, [ H ] = [ H ] = 6, ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογισθούν, χωρίς τη χρήση υπολογιστή τσέπης, οι λογάριθμοι: i) log, ii) log iii) log 7 8 iv) log 9 v) log 6 vi) log 7. Για ποια τιμή του ισχύει: i) log = ii) log 4 = iii) log =. Για ποια τιμή του α ισχύει: i) log α 6 = 4 ii) log α 8 = iii) log α, = 4. Να αποδείξετε ότι: i) log + log 4 log = ii) log + log 5 log 4= 4 5 Επειδή για το γάλα είναι ph 66,, έχουμε 66, = log[ H ] log[ H ] = 66, [ H ] =, [ H ] = 5, Αν η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση του φωσφόρου Ρ, 495t είναι N() t = N e, όπου t ο χρόνος σε ημέρες, να βρεθεί η ημιζωή του φωσφόρου Ρ. N Αν t είναι η ζητούμενη ημιζωή, τότε θα είναι Nt () =. Επομένως έχουμε: 495t N 495t N e, = e, =, 495t = ln, 495t = 69, 478 t = 4 ημέρες iii) 5 8 log log + log log = log iv) 6 log = 5

155 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ v) log ( + ) + log ( 6 4 ) = 5. Ο αριθμός των βακτηριδίων που εμφανίζονται σε μια καλλιέργεια μετά από t, t ώρες δίνεται από τον τύπο Qt () = Qe 4, όπου Q είναι ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων. Πόσος χρόνος θα περάσει ώστε ο αριθμός των βακτηριδίων να δεκαπλασιασθεί; 6. Κάτω από σταθερή θερμοκρασία, η ατμοσφαιρική πίεση p (σε Pascals), σε ύψος h (σε μέτρα) δίνεται από τον τύπο p= e kh i) Να βρείτε την τιμή του k, αν σε ύψος 5m η ατμοσφαιρική πίεση είναι 689 Pascals. ii) Ποια είναι η ατμοσφαιρική πίεση σε ύψος m; 7. Οι αστέρες ταξινομούνται ανάλογα με τη (φαινόμενη) λαμπρότητά τους σε κατηγορίες που καλούνται μεγέθη. Οι ασθενέστεροι αστέρες με λαμπρότητα L λέμε ότι έχουν μέγεθος 6. Κάθε άλλος αστέρας λαμπρότητας L έχει μέγεθος m που καθορίζεται από τον τύπο: L m = 6, 5 log L i) Να βρείτε το μέγεθος m του αστέρα που έχει λαμπρότητα L= 5 L. ii) Πόσες φορές λαμπρότερος είναι ένας αστέρας ου μεγέθους από έναν αστέρα 6 ου μεγέθους; 8. Οι πωλήσεις S(t) (σε χιλιάδες μονάδες) ενός προϊόντος σε διάστημα t χρόνων μετά την εισαγωγή του στην αγορά δίνονται από τον τύπο St () = ( e kt ). i) Να υπολογίσετε το k, αν οι πωλήσεις κατά το πρώτο έτος ανήλθαν σε 5 μονάδες. ii) Πόσες θα είναι οι πωλήσεις στα 5 πρώτα χρόνια; Β ΟΜΑΔΑΣ. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: i) 4 log log ii) 9 8. Αν οι θετικοί αριθμοί θ, θ, θ,... είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι logθ, logθ, logθ,... είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και αντιστρόφως.. Μιας αριθμητικής προόδου ο πρώτος όρος είναι ίσος με log και ο δεύτερος όρος με log8. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα Σ ν των ν-πρώτων όρων της δίνεται από τον τύπο. = ν log 4. Να αποδείξετε ότι: Σ ν log log... ν ριζικά ν =

156 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 5. Να αποδείξετε ότι: * 6. Να αποδείξετε ότι για κάθε > ισχύει: logα = log α *7. Να αποδείξετε ότι: i) log β log α= ii) log β log α =6 α iii) log β log γ log α = β α β γ *8. Να αποδείξετε ότι: i) log θ+ log θ= α α ii) log ( αβ) + log ( αβ) = log ( αβ) log ( αβ) α β α β α β Η λογαριθμική συνάρτηση 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω α ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας. Όπως είδαμε στην παράγραφο 4., για κάθε > ορίζεται ο log α. Επομένως, αντιστοιχίζοντας κάθε (, + ) στο log, ορίζουμε τη συνάρτηση α f:(, + ) με f( ) log = α Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α. Ας θεωρήσουμε, τώρα, τη λογαριθμική συνάρτηση f( ) = log α. Επειδή log α = α =, αν το Μ(ξ,η) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης = log α, τότε το Ν(η,ξ) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης = α και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, Μ(ξ,η) και Ν(η,ξ) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Ô και Ô. ' ' Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων = log και = α α είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Ô και ' Ô. '

157 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ν(η,ξ) = =α Μ(ξ,η) =α Ο Μ(ξ,η) α> =log α = Ο =log α <α< Ν(η,ξ) Αν λάβουμε τώρα υπόψη μας την παραπάνω συμμετρία και όσα μάθαμε για την εκθετική συνάρτηση f( )=α καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: Αν α >, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g ( ) log : Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (, + ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως αύξουσα, που σημαίνει ότι αν <, τότε log < log α α απ' όπου προκύπτει ότι: ( log α <, αν <<) και ( log > α, = α αν >) Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(,) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα O'. Αν < α <, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g ( ) log : = α Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (, + ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι γνησίως φθίνουσα, που σημαίνει ότι: αν <, τότε log απ' όπου προκύπτει ότι: α > log α Ο log α log α A(,) =log, <α< α ( log α >, αν <<) και ( log α <, αν >) Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(,) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα O. Τέλος, από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει ότι: αν, τότε log log α α log α log α A(,) Ο =log, α> α

158 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι: αν logα = log α, τότε = Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία: log = log = α α Η τελευταία ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για επίλυση εξισώσεων όπως π.χ. η log ( ) =, που λύνεται ως εξής: log ( ) = log ( ) = log log ( ) = log 8 = 8 =9 = ή = Εξισώσεις όπως η προηγούμενη, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στο λογάριθμο λέγονται λογαριθμικές εξισώσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις i) ϕ( ) = ln ii) f( ) = ln + iii) g( ) = ln( ) ΛΥΣΗ Για τη γραφική παράσταση της φ() = ln κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών:,,,5,7 4 5 =ln,6,,7,4,7,,4,6 Τοποθετώντας τα σημεία (, ) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη βρίσκουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης φ()=ln. Η γραφική παράσταση της f()=ln+ προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ()=ln κατά μονάδα προς τα πάνω, ενώ της g ( ) = ln( ) από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ()=ln κατά μονάδες προς τα δεξιά. O =+In =In =In(-)

159 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Να βρεθεί το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς: Από την ανισότητα > log, 5> log 5, παίρνουμε διαδοχικά: log 5, > log 5, log 5, > log, 5 5, >, 5, που είναι άτοπο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πολλαπλασιάσαμε και τα δύο μέλη της ανισότητας > με log,5< και δεν αλλάξαμε φορά. Να λυθεί η εξίσωση: ΛΥΣΗ log ( ) = + log ( ) Η εξίσωση αυτή ορίζεται εφόσον > και >. Με αυτούς τους περιορισμούς η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: log ( ) = log+ log ( ) log ( ) = log [ ( )] = ( ) = ή = Από τις τιμές αυτές του μόνο η = ικανοποιεί τους περιορισμούς. Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, τη =. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f( ) log και g ( ) log = = Τι παρατηρείτε; Να δικαιολογήσετε την απάντηση.. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f( ) = log, g ( ) = log και h ( ) = log( ). Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f( )=α και τη λογαριθμική συνάρτηση g ( ) = logα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο: i) Α(,4) ii) B(, 4 ) iii) Γ(, 4) iν) (, 4) 4. Η ευαισθησία ενός φωτογραφικού φιλμ μετριέται σε μονάδες ASA ή σε μονάδες DIN. Αν μονάδες ASA συνδέονται με μονάδες DIN με τον τύπο = +og, να φτιάξετε έναν πίνακα τιμών της παραπάνω συνάρτησης για = 5,,, 4, 8, 6 ASA. Τι παρατηρείτε; (Δίνεται ότι log =,).

160 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) log( + ) + log( ) = log ii) log( ) + log = log5 iii) log = (log ) iv) log( + ) log = log 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 5 = ii) = + 7. Να συγκριθούν οι αριθμοί: i) log και log 5 ii) log, 5 και log, 7 iii) log( + ) και log 8. Ένα διάλυμα θεωρείται όξινο αν [ H + ] > 7 και βασικό αν [ H + ] < 7. Να βρείτε τις αντίστοιχες ανισότητες για το pη. Β ΟΜΑΔΑΣ. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) f( ) = ln ii) f( ) = ln iv) f( ) = log( ). Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές: i) f( ) = ln( + + ) ii) f( ) = ln +. Για ποιες τιμές του οι αριθμοί log 8( + ), log iii) f( ) = ln με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; * 4. Αν logαβ= logβγ logγ α, να αποδείξετε ότι α = β ή α = β 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) log = log ii) ln 4 5ln + 4= 6. Να αποδείξετε ότι log 5 = 5 log και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση log log5 5 = Να λύσετε τα συστήματα: log( ) = 4log i) ii) = 8 = iii) log log = (log ) log= log log= log + log 8. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) log > (log ) ii) log( 4) < log iii) log > * 9. Να αποδείξετε ότι log> log69. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε α,β > με α β ισχύει: α β β α α β > α β

161 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ ΟΜΑΔΑΣ). Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 i) ( + ) = ii) + + =. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α να αποδείξετε ότι: log γ+ log γ= log γ log γ ( α+ β, α β ) α+ β α β α+ β α β logα. Αν ( αγ) β = γ, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί log θ α, log θ και log θ β γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 4. Αν αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι: logαθ logβθ logα θ < αβγθ,,, = logβθ logγθ logγ θ β γ 5. Να αποδείξετε ότι log5= log και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση log( ) = 5 6. Να λύσετε στο, π την εξίσωση: log + log + log log = ηµ συν ηµ συν 7. Να λύσετε στο, π την εξίσωση: ( ) ( ) εϕ = σϕ 8. Να λύσετε την ανίσωση: > ηµ συν

162 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 87 *Το ιστορικό σημείωμα έγραψε ο Μαθηματικός Γιάννης Θωμαΐδης 7-8_update.indd 87 /5/ 8:54:9 πμ