IΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΑ Α Η ΤΜ L Όπως είαµε, ατά τη σύναψη µιας ασφάλισης, το ετήσιο ασφάλιστρο υπολογίζεται T L υ α [Σηµειώνουµε ότι η είναι µηενίζοντας τη µαθηµατιή ελπία της τµ 0 στην πραγµατιότητα L 0 T, θέλουµε όµως να τονίσουµε ότι η L 0 είναι η απώλεια / έρος του ασφαλιστή όπως ιαµορφώνεται τη χρονιή στιγµή 0 αι γράφουµε L 0 ] Οι "οιονοµιές προοπτιές" του ασφαλιστή από τη συγεριµένη ασφάλιση προφανώς µεταβάλλονται συνεχώς ατά τη ιάρεια της ασφάλισης αι πρέπει τώρα να ασχοληθούµε µε τις τµ L, > 0, που είναι η τυχαία απώλεια / τυχαίο έρος του ασφαλιστή όπως ιαµορφώνεται άθε χρονιή στιγµή µετά την έναρξη της ασφάλισης αι αθ' όλη της ιάρειά της Η τµ L είναι η ιαφορά ανάµεσα στο όστος της υποχρέωσης του ασφαλιστή, όπως το όστος αυτό ιαµορφώνεται τη στιγµή > 0 ηλαή σε ηλιία του ασφαλισµένου, αι στην αξία της αποµένουσας απαίτησης του ασφαλιστή τα υπόλοιπα µελλοντιά ασφάλιστρα Μέτρο του όστους της ασφάλισης ενός ατόµου που είναι σε ηλιία είναι το ενιαίο ασφάλιστρο [Το όστος για άτοµο ηλιίας που είναι ήη ασφαλισµένο αι το όστος για άτοµο ηλιίας που ασφαλίζεται για πρώτη φορά εν µπορούν να ιαφέρουν, αφού το όστος της ασφάλισης είναι συνάρτηση της ηλιίας αι όχι της προϋπαρξης ή µη ασφάλισης!] Μέτρο της αντίστοιχης απαίτησης του ασφαλιστή είναι η αναλογιστιή παρούσα αξία, α, του ασφαλίστρου η ασφάλιση έγινε σε ηλιία µε ασφάλιστρο T [Είναι σηµαντιό να µη συγχέεται η τµ L υ α L 0! που αφορά στη στιγµή > 0 µιας ασφάλισης που έγινε σε ηλιία µε την τµ L 0 για άτοµο οποιασήποτε ηλιίας που αφορά όµως στη στιγµή που το άτοµο ασφαλίζεται Η τελευταία βέβαια σε ηλιία είναι T L υ α ] 0 Για την τµ L υ α σε ηλιία αι έχουµε E T, παρατηρούµε ότι στο 0 ανάγεται στην για ασφάλιση L 0 E 0 L α [ ] α 0 > αρχή της ισουναµίας Για > 0 όµως έχουµε Αυτό σηµαίνει ότι η αναλογιστιή παρούσα αξία της υποχρέωσης του ασφαλιστή όλες τις χρονιές στιγµές µετά την έναρξη της ασφάλισης υπερβαίνει την αναλογιστιή παρούσα αξία των υπολειπόµενων ασφαλίστρων Η θετιή ιαφορά E L ανάµεσα στις ύο αναλογιστιές παρούσες αξίες αι α είναι το µαθηµατιό απόθεµα τη στιγµή για µια ασφάλιση που έγινε σε ηλιία Για E L αποθέµατα χρησιµοποιούµε το σύµβολο αι έτσι έχουµε T E υ α α T E L > 0 ιαισθητιά, η για > 0 ιαιολογείται από το γεγονός ότι η ασφάλιση αλύπτει έναν συνεχώς αυξανόµενο ίνυνο τον ίνυνο του θανάτου µε ένα ασφάλιστρο σταθερό σε όλη τη ιάρεια της ασφάλισης Πιο συγεριµένα, το ετήσιο όστος της ασφάλισης θανάτου πληρωτέας στο τέλος του έτους αποτελεί αύξουσα αολουθία υq, υq, υq, Το σταθερό ετήσιο ασφάλιστρο,, της ισόβιας είναι σταθµισµένος µέσος των υq, 0,,, : υ q E υq E L 0 όπου οι "σταθµιστές" είναι τα E Ως µέσος, το είναι υ µεγαλύτερο από τα αρχιά υ q το τρέχον όστος των θανάτων ατά τα πρώτα χρόνια της
ασφάλισης αι µιρότερο από τα τελευταία υ q το όστος των θανάτων ατά τα τελευταία στάια της ασφάλισης Συνεπώς, το που εισπράττεται προς το τέλος της ασφάλισης εν αρεί να αλύψει το όστος των θανάτων υ q > τότε αι η ιαφορά αλύπτεται από το µαθηµατιό απόθεµα που έχει συγροτηθεί από τις ιαφορές υq που είναι θετιές τα αρχιά χρόνια της ασφάλισης Αόµα πιο συγεριµένα, στην αρχή του πρώτου έτους η ιαφορά υq "παραρατείται" το υq θα χρειασθεί για τους θανάτους του έτους!, τοίζεται αι γίνεται υq i στο τέλος του πρώτου έτους Το ποσό αυτό επιµερίζεται στο ποσοστό των ασφαλισµένων που επέζησαν αι αποτελεί το µαθηµατιό απόθεµα πρώτου υq i έτους που αντιστοιχεί σε αθένα από αυτούς Το προστίθεται στο εύτερο ασφάλιστρο, αφαιρείται το υ q, τοίζεται η ιαφορά, ιαιρείται το τοισµένο αποτέλεσµα µε αι έτσι προύπτει το µαθηµατιό απόθεµα εύτερου έτους υq i, ο Φυσιά, έχουµε ιάφορα είη µαθηµατιών αποθεµάτων ανάλογα µε το αν το ασφαλισµένο εφάλαιο πληρώνεται τη στιγµή του θανάτου ή στο τέλος του έτους αι ανάλογα µε τον τρόπο πληρωµής των ασφαλίστρων Τα σχετιά σύµβολα είναι,, αι αι οι µεταξύ τους σχέσεις είναι συνέπεια των αντίστοιχων σχέσεων µεταξύ των ασφαλίστρων ενιαίων ή/αι ετήσιων που απαιτούνται για να υπολογισθούν τα µεθηµατιά αποθέµατα Β ΙΑΣΠΟΡΑ ΤΗΣ L Η ιασπορά της υπολογίζεται αριβώς όπως η ιασπορά της L βλ απόειξη στην L 0 ar L Παράγραφο IIB Το αποτέλεσµα είναι, αριβώς της ίιας µορφής µε τη arl αλλά µε είτες αντί στον αριθµητή Εξάλλου, όπως είναι φυσιό, µε 0 η ar γίνεται arl L Γ ΚΥΡΙΟΤΕΡΟΙ ΤΥΠΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι τύποι, α, α α & αι αλούνται προοπτιοί rosecive επειή υπολογίζουν το µαθηµατιό απόθεµα συγρίνοντας τις αναλογιστιές παρούσες αξίες των µελλοντιών παροχών αι των µελλοντιών ασφαλίστρων Οι προοπτιοί τύποι µπορούν να α, γραφούν ατά πολλούς άλλους τρόπους Επιλέγοντας, πχ, την έχουµε τις ισούναµες σχέσεις [ ] α, α α α [ ] α Η πρώτη από τις τρεις αυτές α σχέσεις προσφέρει µια αόµα αιτιολογία για το µαθηµατιό απόθεµα : είναι η αξία µιας ράντας το ύψος της οποίας είναι η ιαφορά ανάµεσα στο ετήσιο ασφάλιστρο που απαιτείται στην τρέχουσα ηλιία του ασφαλισµένου αι στο ασφάλιστρο που πράγµατι εισπράττουµε για ασφάλιση που έγινε σε ηλιία Η εύτερη σχέση επιτρέπει τον υπολογισµό αι
του αποθέµατος απολειστιά από τιµές ετήσιων ασφαλίστρων αι η τρίτη τον υπολογισµό του αποθέµατος απολειστιά από τιµές ενιαίων ασφαλίστρων ραντών Μια άλλη ατηγορία τύπων µαθηµατιών αποθεµάτων είναι οι ανασοπιοί rerosecive Στην περίπτωση αυτή, το µαθηµατιό απόθεµα θεωρείται ως η ιαφορά που αποµένει αν από την αναλογιστιή συσσωρευµένη αξία των παρελθόντων ασφαλίστρων των ήη εισραχθέντων ασφαλίστρων αφαιρέσουµε την αναλογιστιή συσσωρευµένη αξία των παρελθουσών παροχών των ήη αταβληθεισών παροχών Ας υποθέσουµε, πχ, ότι βρισόµαστε στο τέλος ετών µιας ισόβιας ασφάλισης Η αναλογιστιή παρούσα αξία των πρώτων ασφαλίστρων είναι &, η ε αναλογιστιή παρούσα αξία της άλυψης αυτά τα α : χρόνια είναι Η ιαφορά : α & όµως βασίζεται σε αξίες τη χρονιή στιγµή µηέν : : Για να φέρουµε αυτή τη ιαφορά στη χρονιή στιγµή πρέπει να τη ιαιρέσουµε µε E, οπότε : : παίρνουµε & s : k E E Η σχέση && s : : i ίνει τη συσσωρευµένη αξία της : E επιβίωση αι αντιστοιχεί στη σχέση s i α & µε επιτόιο αι : & & που συνέει τη συσσωρευµένη αξία αι την παρούσα αξία µιας βέβαιας ράντας Όσοι εξαολουθούν να επιβιώνουν στο αι να έχουν µαθηµατιό απόθεµα εν απολαµβάνουν µόνον τους τόους των ασφαλίστρων, αλλά αι τυχόν τµήµατα των των θανόντων που εν χρειάσθηαν για να αλύψουν θανάτους των πρώτων ετών Η ιαίρεση µε το επιτυγχάνει την πρόσθετη αυτή αύξηση αποθέµατος συσσώρευση από θνησιµότητα πέρα από την αύξηση µε τον παράγοντα είναι γνωστή ως το συσσωρευµένο όστος της ασφάλισης i Η συνάρτηση Και οι ανασοπιοί τύποι αποθεµάτων µπορεί να γραφούν µε ιάφορους τρόπους Έτσι, πχ, η : : : γράφεται να ερµηνευθεί λετιά αλύτερα στη µορφή E E : : : Είναι πολύ εύολο να ειχθεί ότι ο προοπτιός αι ο ανασοπιός υπολογισµός του µαθηµατιού αποθέµατος ίνουν την ίια τιµή για το απόθεµα Γράφουµε 0 E E 0 α & : : α : : E E E E && υπολογισµένο ανασοπιά αι στο εξιό µέλος το & : k : : Στο αριστερό µέλος αναγνωρίζουµε το υπολογισµένο προοπτιά E ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΙΑ ΟΧΙΚΩΝ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Ετός από τους προοπτιούς αι τους ανασοπιούς τύπους, για τον υπολογισµό των µαθηµατιών αποθεµάτων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αναροµιές σχέσεις µεταξύ των αι φυσιά, από την αρχή της ισουναµίας, 0 0 Χρησιµοποιούµε το "σπάσιµο" που άναµε στην απόειξη ότι ο ανασοπιός αι ο προοπτιός τύπος είναι ισούναµοι, εώ µε : υq υ υ υq υ υq υ
Η αναροµιή σχέση µεταξύ αι µπορεί να γραφεί εναλλατιά ως i q αλλά αι ως i q Στην τελευταία σχέση, το αλείται εφάλαιο ινύνου επειή είναι το ποσό που αλείται να αταβάλει η εταιρία σε περίπτωση θανάτου πέραν από το ήη σχηµατισµένο απόθεµα Υπενθυµίζουµε ότι το εφάλαιο θανάτου είναι αι ότι η αταβολή γίνεται στο τέλος του έτους, άρα το αποθεµατοποιηµένο ποσό είναι το Η σχέση που εµφανίζει το εφάλαιο ινύνου έχει τη σαφή ερµηνεία ότι το απόθεµα στην αρχή του έτους,, προσαυξηµένο µε το προαταβλητέο αι τοιζόµενο µαζί µε το µέχρι το τέλος του έτους, είναι αρετό για να σχηµατισθεί το τελιό απόθεµα για όλους θανόντες αι επιβιώσαντες, ο συντελεστής του είναι! αι να αταβληθεί για τους θανόντες, ετός από το απόθεµα, πρόσθετο ποσό µε πιθανότητα q Η άλλη από τις ύο παραπάνω εναλλατιές γραφές εφράζει το γεγονός ότι το i είναι αριβώς το ποσό που απαιτείται για να σχηµατισθεί το για τους επιβιώσαντες πιθανότητα αι το ποσό για τους θανόντες πιθανότητα q ιάφορες αθροίσεις των παραπάνω σχέσεων από το 0 µέχρι το n οηγούν σε ενιαφέροντα συµπεράσµατα βλ Ασήσεις Ε ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Στην περίπτωση ασφάλισης πληρωτέας τη στιγµή του θανάτου µε ασφάλιστρο που αταβάλλεται συνεχώς, εν είναι υνατόν να έχουµε αναροµιές σχέσεις : η µεταβολή στο είναι συνεχής αι αταλήγουµε σε ιαφοριές εξισώσεις Η ευολότερη γραφή του α για σοπούς παραγώγισης είναι η Παίρνουµε αµέσως α µ α α α µ µ α α α α Βλέπουµε λοιπόν ότι µ Η σχέση αυτή είχνει ότι το απόθεµα αυξάνει συνεχώς µε ρυθµό ίσο µε το σταθερό ρυθµό που αταβάλλεται το συνεχές ασφάλιστρο αι µε το ρυθµό συνεχούς τοισµού του υπάρχοντος αποθέµατος ταυτόχρονα όµως µειώνεται συνεχώς µε ρυθµό µ, όπου το εφάλαιο ινύνου αι η ένταση το αντίστοιχο του που εµφανίζεται στην αναροµιή σχέση Η εξίσωση Thiele µ q µ είναι γνωστή ως ιαφοριή εξίσωση ΣΤ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΤΗΣΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ Άµεσα υπολογίσιµο από τον πίναα είναι µόνον το απόθεµα απόθεµα ασφάλισης αταβλητέας στο τέλος του έτους του θανάτου αι εξοφλητέας µε ετήσιο προαταβλητέο ασφάλιστρο Η απλούστερη σχέση ισχύει για ασφάλιση µε επίσης προαταβλητέο ασφάλιστρο αλλά πληρωτέα τη στιγµή του θανάτου : άτω από UDD,
i & εφόσον i i Εξίσου απλή : αι είναι η σχέση που βασίζεται στην προσέγγιση α α & Για ασφάλιση πληρωτέα τη στιγµή του θανάτου αι ασφάλιστρο συνεχές, γράφουµε α B B Με την α B B B υπόθεση α όπου η αντίστοιχη προσέγγιση για το λόγο Με UDD, αντιαθιστούµε i i i, B αι έχουµε i i, όπου ο συνελεστής του είναι ίσος, άτω από UDD, µε &, η προσέγγιση παίρνει τη µορφή i είναι ιιαίτερα ενιαφέρουσα γιατί; αι µε Η σχέση ή Ερχόµαστε τέλος στην ασφάλιση πληρωτέα στο τέλος του έτους του θανάτου αι ασφάλιστρο B B συνεχές : B Αν B B B υποθέσουµε γραµµιότητα του συντελεστής του αποεινύεται ίσος µε υ,, B αι, όπου ο αι οηγεί στην προσέγγιση B B, που B B Για την αντίστοιχη UDD προσέγγιση, i i είναι ίσο µε B, άρα Συναρτήσει του, η "ιόρθωση" i i γράφεται i i