Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εισαγωγικό μάθημα Συστήματα μέτρησης, μετατροπές δυνάμεων, μονάδων και γραφικές παραστάσεις Εισαγωγή Η εξέλιξη της Φυσικής στο σημείο που βρίσκεται σήμερα βασίστηκε κατά κύριο λόγο διαχρονικά στη παρατήρηση και πιο συγκεκριμένα στη μέτρηση και στη καταγραφή της μέτρησης. Μέτρηση της απόστασης δύο σημείων, μέτρηση της χρονικής διαφοράς μεταξύ δύο γεγονότων, μέτρηση της έντασης του ρεύματος σε ένα σύρμα, μέτρηση της θερμοκρασίας του Ήλιου σε υγρή φάση, μέτρηση του μήκους κύματος του φωτός κ.α. Είναι λοιπόν πολύ σημαντικό στη Φυσική να μάθουμε να μετράμε σωστά τις ποσότητες που σχετίζονται με τους νόμους της φυσικής. Το μήκος, ο χρόνος, η πίεση κ.α. για να περιγραφούν ως φυσικές ποσότητες πρέπει να οριστεί μια μονάδα μεγέθους ως βάση, και με βάση αυτή την τιμή να μετρήσουμε πολλαπλάσιες και υποπολλαπλάσιες τιμές. Πρέπει επίσης να κατανοήσουμε τη σημασία της ακρίβειας κατά την περιγραφή μιας τέτοιας ποσότητας και σε περίπτωση που χρειάζεται να περιγράψουμε τη μεταβολή της συναρτήσει άλλης ποσότητας (π.χ. χρόνος) να δούμε πως να την απεικονίζουμε γραφικά. Περίγραμμα εργαστηρίου Το εργαστήριο της Φυσικής αποτελείται από δύο βασικές ενότητες. Η πρώτη είναι το κομμάτι της φυσικής που ασχολείται με την μηχανική και η δεύτερη είναι εστιασμένη στην επίλυση προβλημάτων από κεφάλαια της φυσικής που σχετίζονται με την επιστήμη της πληροφορικής. Η μηχανική (με το λεγόμενο μηχανικό ανάλογο) βοηθάει να κατανοήσουμε ακόμα και πιο σύνθετα προβλήματα άλλων κεφαλαίων. Το κυριότερο όμως προτέρημα της είναι ότι επιτρέπει στο φοιτητή να μάθει πως να λύνει προβλήματα. Η αναλυτική διαδικασία που ακολουθείται και κατά την οποία καλείται να ξεκινήσει από τα δεδομένα της άσκησης ώστε να φτάσει στην επιθυμητή λύση εφαρμόζοντας απλούς κανόνες, είναι χρήσιμη σε όλες τις επιστήμες. Επιπλέον, η μηχανική είναι το κεφάλαιο εκείνο της φυσικής που εξηγεί καθημερινά φαινόμενα με απτά παραδείγματα (τριβή αυτοκίνητο που φρενάρει, βαρύτητα μήλο που πέφτει, κ.α.) διευκολύνοντας έτσι την απεικόνιση του προβλήματος στο μυαλό μας. Στο δεύτερο κομμάτι θα ασχοληθούμε με θέματα από την Κυματική, τον Ηλεκτρισμό και την Οπτική. Θα μελετήσουμε πως διαδίδεται η Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (σήμα κινητής τηλεφωνίας, τηλεόρασης, ραδιοφώνου, ασύρματων υπολογιστών κ.α.) και ποιους κανόνες ακολουθεί κατά τη διάδοση της (ανάκλαση και διάθλαση), και θα κατανοήσουμε τη δυαδικότητα των καταστάσεων του υπολογιστή (διέλευση μη διέλευση ρεύματος).
Συστήματα μέτρησης Για να εκφράσουμε έναν αριθμό, μια τιμή που θα μετρήσουμε για μια ποσότητα που παρατηρούμε πρέπει να γνωρίζουμε το σύστημα μέτρησης το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε. Ο άνθρωπος καθημερινά χρησιμοποιεί στις συναλλαγές του αλλά και στο τρόπο μέτρησης το δεκαδικό. Τα στοιχεία αυτού του συστήματος είναι τα 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9. Όλοι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε αποτελούνται από αυτά τα δέκα (και μόνο αυτά) στοιχεία. Αν για παράδειγμα θέλουμε να μιλήσουμε για την τιμή ενός προϊόντος, τότε λέμε ότι αυτό κόστιζε 679 ευρώ. Αν αναλύσουμε αυτό το νούμερο θα δούμε ότι έχει το στοιχείο 9 στην πρώτη δεκάδα (679), το στοιχείο 7 στη δεύτερη δεκάδα (679) και το 6 στην Τρίτη (699). Απαιτούνται δηλαδή 6 δεκάδες δεκάδων (εκατοντάδες), 7 δεκάδες και 9 μονάδες του συστήματος αυτού (ευρώ) για την επιθυμητή τιμή. Υπάρχουν όμως και άλλα συστήματα, όπως για παράδειγμα το δυαδικό, το οποίο και είναι η γλώσσα επικοινωνίας των υπολογιστών. Αυτό συμβαίνει γιατί οι υπολογιστές κάνουν πράξεις, αποθηκεύουν δεδομένα και επικοινωνούν μεταξύ των εξαρτημάτων τους με δυαδικές καταστάσεις. Το ρεύμα περνάει (π.χ. 1) ή δεν περνάει (π.χ. 0), οι μαγνήτες των σκληρών δίσκων είναι προσανατολισμένοι όλοι προς τα επάνω (π.χ. 1) ή προς τα κάτω (π.χ. 0). Έτσι στο δυαδικό τα στοιχεία είναι μόνο 2: 0 και 1. Αν θελήσουμε να απεικονίσουμε το 2 τότε πρέπει να χρησιμοποιήσουμε δύο στοιχεία γιατί μόνο με ένα δεν μπορούμε. Αν για παράδειγμα έχουμε ένα byte (8 bits), τότε: 0 00000000 1 00000001 2 00000010 3 00000011 4 00000100, κ.ο.κ. Το νούμερο 2 συνεπώς είναι το 10 (ένα-μηδέν και όχι δέκα) γιατί η πρώτη δυάδα, όπως και η κάθε δυάδα, δεν μπορεί να έχει στοιχείο μεγαλύτερο του 1. Συνεπώς αν θέλουμε να απεικονίσουμε το 2 βάζουμε το 1 στη δεύτερη δυάδα (10) και μηδενίζουμε την πρώτη. Αντίστοιχο φαινόμενο συμβαίνει στο δεκαδικό όταν θέλουμε να απεικονίσουμε το 10 (δέκα). Αυξάνουμε την δεύτερη δεκάδα κατά ένα και μηδενίζουμε την πρώτη με αποτέλεσμα φυσικά το 10 (ένα-μηδέν που εδώ είναι το δέκα). Αντίστοιχα, αν θέλουμε το 3 στο δυαδικό τότε αυτό είναι το 11 (ένα-ένα) εφόσον το μηδέν της πρώτης δυάδας μπορεί να αυξηθεί, και το 4 απεικονίζεται με μονάδα της τρίτης δυάδας και μηδενισμό και πρώτης και δεύτερης. Επίσης υπάρχουν και άλλα συστήματα μέτρησης που βρήκαν εφαρμογές από νωρίς στον τομέα της πληροφορικής, όπως το οκταδικό και το δεκαεξαδικό. Τα συστήματα αυτά έχουν τα παρακάτω στοιχεία: Οκταδικό: 0,1,2,3,4,5,6,7 και 8 Δεκαεξαδικό: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e και f Στο οκταδικό, κατά αναλογία προς το δυαδικό, όταν θελήσουμε να γράψουμε το 8 του δεκαδικού γράφουμε 10 (ένα-μηδέν), το 9 είναι το 11 (ένα-ένα), κ.ο.κ.. Αντιστοίχως, σε ένα δεκαεξαδικό σύστημα μέτρησης, το a είναι η τιμή 10 του δεκαδικού, το b είναι η τιμή 11, το c είναι η τιμή 12, το d είναι η τιμή 13, το e είναι η τιμή 14, το f είναι η τιμή
15, το 10 (ένα-μηδέν) είναι η τιμή 16, το 11 (ένα-ένα) είναι η τιμή 17 κ.ο.κ. Αξίζει να σημειωθεί ότι ενώ με το δυαδικό και το οκταδικό η απεικόνιση ενός αριθμού του δεκαδικού μεγαλώνει (π.χ. 2116 δεκαδικού 100001000100 δυαδικού) κατά την μετάφραση από το ένα σύστημα στο άλλο, στο δεκαεξαδικό μικραίνει (π.χ. 2116 δεκαδικού 844 δεκαεξαδικού). Μετατροπές δυνάμεων Το 1971 καθορίστηκε για πρώτη φορά διεθνώς μια κοινά αποδεκτή στην επιστημονική κοινότητα βάση εφτά φυσικών ποσοτήτων, το System Internationale ή S.I., το οποίο είναι και γνωστό ως μετρικό. Για τις ποσότητες αυτές (χρόνος, μήκος, μάζα, θερμοκρασία, ηλεκτρικό ρεύμα κ.α.) ορίστηκαν για πρώτη φορά με απόλυτη ακρίβεια οι μονάδες. Με βάση αυτό το σύστημα προέκυψαν και οι παράγωγες μονάδες για άλλες φυσικές ποσότητες (π.χ. ισχύς watt). Οι βασικές μονάδες ορίστηκαν με ανθρωποκεντρικό τρόπο για λόγους ευκολίας (π.χ. μέτρο και όχι χιλιόμετρο). Για την περιγραφή μεγαλυτέρων μεγεθών (απόσταση δύο πόλεων) χρησιμοποιήθηκαν δυνάμεις του δεκαδικού συστήματος. Αν π.χ. αυτή η απόσταση είναι η απόσταση Αθήνας Θεσσαλονίκης τότε σίγουρα δεν είναι εύχρηστο να μιλάμε για απόσταση x 502.000,00 m. Είναι προτιμότερο να πούμε ότι αυτή η απόσταση είναι x 5,02x10 5 m αλλά ακόμα πιο εύχρηστο να πούμε x 502 km. Τέτοιες μετατροπές δυνάμεων χρησιμοποιούνται πλέον σε πάρα πολλές επιστήμες όπου το μέγεθος που μετράμε μπορεί να είναι μικρό αλλά ταυτόχρονα σε άλλες περιπτώσεις μεγάλο (βλ. Πίνακα 1). Η επιστημονική βέβαια απεικόνιση μιας τιμής, c, ενός μεγέθους δίνεται από την παρακάτω σχέση: c=αx10 n, Όπου Α είναι: 1 A < 10, με το Α να έχει τυπικά έως 3 με 4 δεκαδικά ψηφία και n είναι ένας ακέραιος (η δύναμη). Στο παράδειγμα της απόστασης ο επιστημονικός τρόπος απεικόνισης (αυτός μάλιστα που χρησιμοποιούνε συχνά τα λογιστικά προγράμματα, όπως τα excel, origin κ.α.) είναι x 5,02x10 5 m. Χαρακτηριστικό επίσης παράδειγμα στην επιστήμη της πληροφορικής είναι το byte. Ορίστηκε για να περιγράψει μια λέξη σε ένα σύστημα (δυαδικό) αλλά πολύ σύντομα χρησιμοποιήθηκε για να μετρηθούν οι χωρητικότητες μνημών που χωρούσαν χιλιάδες, εκατομμύρια και δισεκατομμύρια bytes. Έτσι σήμερα μετράμε τη μνήμη σε TBytes πληροφορίας. Αξίζει εδώ να σημειωθεί ότι ειδικά λόγω της χρήσης στους υπολογιστές του δυαδικού συστήματος μέτρησης η τιμή 1 TByte δεν είναι 1,000,000,000,000 Bytes πληροφορίας ακριβώς, αλλά περίπου τόσα. Αυτό συμβαίνει γιατί λόγω της χρήσης του δυαδικού συστήματος και επειδή είναι 2 10 =1024 1000, το 1kByte είναι 1024 Bytes, το 1MByte είναι 1024x1024 1000x1000=10 6 Bytes, το 1 GByte είναι 1024x1024x1024 1000x1000x1000=10 9 Bytes και το 1 TByte είναι 1024x1024x1024x1024 1000x1000x1000x1000=10 12 Bytes. Για την ακρίβεια αν το υπολογίσουμε με κομπιουτεράκι είναι περίπου 1,1x10 12 Bytes. Πίνακας 1. Πίνακας μετατροπής δυνάμεων Τάξη μεγέθους Πρόθεμα Σύμβολο Τάξη μεγέθους Πρόθεμα Σύμβολο
10 12 Tera T 10-12 pico p 10 9 Giga G 10-9 nano n 10 6 Mega M 10-6 micro μ 10 3 Kilo k 10-3 milli m 10-2 centi c Μετατροπές μεγεθών Με την καθιέρωση του συστήματος S.I. αντικαταστάθηκαν μονάδες που χρησιμοποιούνταν για πολλούς αιώνες ακόμα (π.χ. μνα, τάλαντο, οκά) και υπήρχαν με διάφορες μορφές σε όλη σχεδόν τη Γη. Εξαίρεση αποτελούν μονάδες του Αγγλικού συστήματος μετρήσεων οι οποίες ακόμα χρησιμοποιούνται ως βασικές μονάδες μέτρησης σε περιοχές όπως οι ΗΠΑ, το Ηνωμένο Βασίλειο και η Αυστραλία. Έτσι σε τέτοιες περιοχές αντί του εκατοστού και του μέτρου έχουμε την ίντσα, το πόδι και το μίλι, αντί των βαθμών Κελσίου έχουμε τους βαθμούς Φαρενάϊτ, αντί του κιλού έχουμε τη λίβρα κ.ο.κ.. Είναι φυσικά εύκολο να μετατρέψουμε τιμές μιας ποσότητα από μια μονάδα σε άλλη αν ξέρουμε τη σχέση μετατροπής τους. Για παράδειγμα στην τεχνολογία οθονών και τηλεοράσεων είναι ευρέως διαδεδομένη η ίντσα σαν μονάδα μέτρησης ενώ στο υψόμετρο αεροπλάνων τα πόδια. 1. Για να βρούμε πόσο είναι το μέγεθος σε εκατοστά (cm) μιας απόστασης 24 ιντσών πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι μια ίντσα είναι 2.54cm. Εφαρμόζοντας απλή μέθοδο των τριών είναι: 1 in 2.54cm 24 in ; Οπότε το αποτέλεσμα είναι x=24*2.54 61cm. 2. Για να βρούμε πόσο είναι το υψόμετρο σε μέτρα (m) στο οποίο πετάει ένα αεροπλάνο βρισκόμενο σε 10000 πόδια (ft) πρέπει να γνωρίζουμε ότι 1 πόδι είναι 12 ίντσες. Συνεπώς: 1 ft 12 in 12x2.54 cm 10000 ft ; ; Οπότε το αποτέλεσμα είναι y=12*10000in=12*10000*2.54=304800cm ή y=3048m, δηλαδή περίπου 3 km. Επιπλέον, είναι δυνατόν ορισμένες ποσότητες να περιγραφούν με περισσότερες της μιας μονάδες. Π.χ. η πίεση μιας ατμόσφαιρας (1 Atm) είναι περίπου 10 5 Pa και ένα λίτρο ορίζεται και ως ένα δεκατόμετρο εις την τρίτη (1lt=10 3 dm). Συνεπώς και τα 330ml ενός φυσιολογικού αναψυκτικού είναι 0,33lt ή 0,33dm 3 ή 330cm 3. Γραφικές παραστάσεις Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f ονομάζεται η απεικόνιση μιας συνάρτησης με γραφικό τρόπο σε ένα σύστημα συντεταγμένων. Η γραφική παράσταση της f συμβολίζεται συνήθως με C (f) και ονομάζεται καμπύλη της f. Συνήθως αναφερόμαστε στη γραφική απεικόνιση μιας πραγματικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής σε δισδιάστατο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Στο
ορθοκανονικό σύστημα Oxy θεωρούμε την τετμημένη x ως ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης και την τεταγμένη y ως την εξαρτημένη μεταβλητή. Έτσι, κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης αντιστοιχεί ακριβώς σε ένα ζεύγος συντεταγμένων (x,y) στο ορθοκανονικό σύστημα. Αντίστροφα κάθε ζεύγος (x,y) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης αντιστοιχεί ακριβώς σε ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης, το x. Επομένως ισχύει η ακόλουθη πρόταση: Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, αν και μόνο αν ισχύει ότι y=f(x). Η γραφική παράσταση αποδίδει οπτικά μια συνάρτηση δίνοντας άμεσα τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε. Μπορούμε να βρούμε ποια τιμή της συνάρτησης αντιστοιχεί σε μια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, έστω την x=α. Σχεδιάζουμε, νοητά ή όχι, την ευθεία x=α, για να βρούμε το σημείο τομής της με τη γραφική παράσταση. Έπειτα, σχεδιάζουμε την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής μέχρι τον άξονα y'y, όπου εκτιμούμε την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι άξονες είναι κατάλληλα βαθμονομημένοι. Μια γραφική παράσταση μπορεί να μας πληροφορήσει για τη γενικότερη συμπεριφορά της συνάρτησης. Μπορούμε τότε να την κατανοήσουμε και να προβλέψουμε τη συμπεριφορά της διαισθητικά. Αυτή η ικανότητα είναι εξαιρετικά χρήσιμη, ειδικά αν ο τύπος της συνάρτησης είναι πολύπλοκος ή χρειάζεται αρκετές πράξεις για υπολογισμό. Συνήθως τα σημεία της συνάρτησης είναι άπειρα, ώστε να είναι αδύνατος ο υπολογισμός όλων των σημείων και η απόδοσή τους γραφικά. Έτσι, για την κατασκευή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης χρειάζεται πρώτα η μελέτη της συνάρτησης, ώστε να κατασκευαστεί ένας πίνακας μεταβολών της συνάρτησης. Ύστερα, με κατάλληλη επιλογή μερικών σημείων και ακολουθώντας τις οδηγίες από τον πίνακα μεταβολών μπορεί να κατασκευαστεί μια ικανοποιητική γραφική παράσταση. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι γραφικά η ορθή προβολή της γραφικής παράστασης της στον άξονα x'x. Τα διαστήματα συμβολίζονται με ευθύγραμμα τμήματα, ενώ οι μεμονωμένες τιμές με σημεία. Αν η συνάρτηση ή τμήμα της είναι συνεχής, τότε η γραφική παράσταση σε όλο το πεδίο ορισμού της ή το τμήμα είναι συνεχής γραμμή, δηλαδή μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς το μολύβι να αφήσει το χαρτί. Όπου είναι παραγωγίσιμη, η γραφική παράσταση είναι καμπύλη ή ευθεία, δηλαδή μια ομαλή γραμμή χωρίς γωνίες. Όπου η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, η γραφική παράσταση ανεβαίνει και όπου είναι γνησίως φθίνουσα κατεβαίνει. Όπου είναι σταθερή, η γραφική παράσταση είναι ευθεία οριζόντια γραμμή. Σε όρους περιγραφής κορυφογραμμής, όπου η συνάρτηση εμφανίζει μέγιστο, η γραφική παράσταση εμφανίζει κορυφή, ενώ όπου υπάρχει ελάχιστο στη γραφική παράσταση εμφανίζεται κοιλάδα. Όσων αφορά τις ασύμπτωτες, στη γραφική παράσταση εμφανίζονται ως ευθείες τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τις πλησιάζει συνεχώς χωρίς να τις τέμνει. Μερικές φορές στη γραφική παράσταση εμφανίζεται λανθασμένα να ταυτίζεται από κάποιο σημείο και έπειτα με την ασύμπτωτη. Ασύμπτωτες μπορεί να είναι όχι μόνο ευθείες αλλά και καμπύλες, αν συνήθως δε χρησιμοποιούνται.
Είναι πολύ σημαντικό κατά την απεικόνιση κάποιων πειραματικών αποτελεσμάτων να καταλαβαίνουμε καλά τι σημαίνει η γραφική παράσταση, τι απεικονίζει ο κάθε άξονας και τι η μορφή της γραμμής που απεικονίζεται σε αυτή.