Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016 1
Γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων ΓΠ Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων ΓΠ βοηθά στην κατανόηση της φύσης των προβλημάτων ΓΠ και της μεθοδολογίας επίλυσης τους Μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα ΓΠ με 2 μεταβλητές με σχεδίαση στο καρτεσιανό επίπεδο (δυσκολότερα σε προβλήματα με 3 μεταβλητές) Για μεγαλύτερο αριθμό μεταβλητών από 3 δεν εφαρμόζεται η γραφική μέθοδος και τα προβλήματα αυτά επιλύονται με μεθόδους επίλυσης προβλημάτων ΓΠ όπως η Simplex 2
Παράδειγμα 1: ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ x1: αριθμός από τραπέζια που θα παραχθούν x2: αριθμός από καρέκλες που θα παραχθούν ΞΥΛΟΥΡΓΕΙΟ ΒΑΦΕΙΟ ΣΤΙΛΒΩΤΗΡΙΟ 3
Απεικόνιση περιορισμών γραφικά Οι περιορισμοί μη αρνητικότητας x1 0, x2 0 περιορίζουν τις μεταβλητές στο πρώτο τεταρτημόριο (έστω ότι ή x1 αντιστοιχεί στον άξονα των τετμημένων και ότι η x2 αντιστοιχεί στον άξονα των τεταγμένων) Ο περιορισμός του ξυλουργείου 8x1 + 8x2 960 με απλοποίηση μπορεί να γραφεί ως x1 + x2 <= 120 Η ευθεία x1 + x2 = 120 χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα με ένα μόνο από αυτά να ικανοποιεί την ανισότητα x1+ x2 <= 120 Ομοίως για τους άλλους δύο περιορισμούς (βαφείου και στιλβωτηρίου) ορίζονται εξισώσεις, κάθε μια από τις οποίες χωρίζει το επίπεδο σε ημιεπίπεδα Η τομή των ημιεπιπέδων που ικανοποιούν όλες τις ανισότητες και τους περιορισμούς μη αρνητικότητας αποτελούν την εφικτή περιοχή του προβλήματος 4
Εφικτή περιοχή Η εφικτή περιοχή (feasible region) ενός προβλήματος ΓΠ είναι η περιοχή της απεικόνισης του προβλήματος που ικανοποιεί ταυτόχρονα όλους τους περιορισμούς Η εφικτή περιοχή στο παράδειγμα ορίζεται από το πολύγωνο με κορυφές τα σημεία A,B,C,D,E ΞΥΛΟΥΡΓΕΙΟ ΒΑΦΕΙΟ ΣΤΙΛΒΩΤΗΡΙΟ 5
Απεικόνιση συνάρτησης κόστους γραφικά Η συνάρτηση κόστους (κέρδους για προβλήματα μεγιστοποίησης) αναπαρίσταται από ένα σύνολο ευθειών, η κλίση των οποίων καθορίζεται από τους συντελεστές των μεταβλητών x1 και x2 ΙΣΟΣΤ1: 140x1 + 100x2 = 8400 7x1 + 5x2 = 420 ΙΣΟΣΤ2: 140x1 + 100x2 = 11200 7x1 + 5x2 = 560 ΙΣΟΣΤ3: 140x1 + 100x2 = 14800 7x1 + 5x2 = 740 Στο παράδειγμα η συνάρτηση κέρδους είναι η 140x1 + 100x2 και η κλήση της ευθείας που αντιστοιχεί στην επίτευξη ενός συγκεκριμένου κέρδους είναι 140 100 = 7 5 Για κάθε τιμή b που επαληθεύει την εξίσωση 140x1 + 100x2 = b ορίζεται μια ευθεία παράλληλη με τις ευθείες που ορίζονται για διαφορετικές τιμές του b (ισοσταθμικές ευθείες) Η βέλτιστη λύση βρίσκεται σε κάποια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής και ειδικότερα στην κορυφή εκείνη που «ακουμπά» η συνάρτηση κέρδους μόλις πριν εξέλθει από την εφικτή περιοχή στην κατεύθυνση αύξησής της 6
Ιστοσελίδα με δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων ΓΠ 1 2 3 http://www.phpsimplex.com/en/index.htm 7
Παράδειγμα 2: Γραφική μέθοδος επίλυσης σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης Μια εταιρεία που παράγει δημητριακά πρόκειται να παραγάγει ένα νέο προϊόν που θα αποτελείται από καλαμπόκι και βρώμη. Μια μερίδα δημητριακών θα πρέπει να παρέχει τουλάχιστον 8 γραμμάρια πρωτεΐνες, 12 γραμμάρια υδατάνθρακες και 3 γραμμάρια λιπαρά Μια ουγκιά (28,3945 γραμμάρια) καλαμποκιού παρέχει 4, 3 και 2 γραμμάρια από πρωτεΐνες, υδατάνθρακες και λιπαρά αντίστοιχα Καλαμπόκι Βρώμη Κατώτατο όριο Πρωτεΐνες 4 γρ 2 γρ 8 γρ Υδατάνθρακες 3 γρ 4 γρ 12 γρ Λιπαρά 2 γρ 1 γρ 3 γρ Κόστος 6 λεπτά/ουγκιά 4 λεπτά/ουγκιά Μια ουγκιά βρώμης παρέχει 2, 4 και 1 γραμμάρια από πρωτεΐνες, υδατάνθρακες και λιπαρά αντίστοιχα Το καλαμπόκι μπορεί να αγοραστεί προς 6 λεπτά η ουγκιά και η βρώμη προς 4 λεπτά η ουγκιά Ζητείται να βρεθεί ποια μίξη δημητριακών θα δώσει το καλύτερο αποτέλεσμα δηλαδή το ελάχιστο κόστος (έστω ότι δεν μας απασχολεί το γευστικό αποτέλεσμα) 8
Γραφική επίλυση του παραδείγματος 2 στο PHPSimplex στο Geogebra 9
Επίλυση στο Excel και στο LPSolve IDE του παραδείγματος 2 /* Objective function */ min: 6x + 4y; 4x + 2y >= 8; 3x + 4y >= 12; 2x + y >= 3; 10
Παράδειγμα γραφικής επίλυσης 2Δ http://demonstrations.wolfram.com/graphicallinearprogrammingfortwovariables/ 11
Παράδειγμα γραφικής απεικόνισης προβλήματος 3Δ http://demonstrations.wolfram.com/graphicallinearprogrammingforthreevariables/ 12
Παράδειγμα 3: Γραφική επίλυση προβλήματος ΓΠ χωρίς λογισμικά Πρόβλημα Reddy Mikks 13