Το παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στα Πρακτικά 1 ης Διημερίδας του Πανεπιστημίου Κρήτης στη Διδακτική των Μαθηματικών το 1998. Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Χ. Λεμονίδης (1998). που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Α τάξης του Δημοτικού σε πράξεις και προβλήματα προσθετικού τύπου. Συμπεράσματα και προτάσεις για τη διδασκαλία. Πρακτικά 1 ης Διημερίδας του Πανεπιστημίου Κρήτης στη Διδακτική των Μαθηματικών. 1998, σελ. 161-174. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΕ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ. Χαράλαμπος Λεμονίδης Παιδαγωγικό Τμήμα Δ.Ε., Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, 3100 Φλώρινα 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πρώτη τάξη του Δημοτικού Σχολείου αποτελεί μια κρίσιμη και σημαντική περίοδο για τη μάθηση των αριθμητικών εννοιών. Στην τάξη αυτή συγκροτείται η γνώση σχετικά με τους αριθμούς και την εκτέλεση των πρώτων αριθμητικών πράξεων. Σύμφωνα με το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα οι μαθητές θα πρέπει να μάθουν τους αριθμούς μέχρι το 20 και να είναι ικανοί να εκτελούν προσθέσεις, αφαιρέσεις και πολλαπλασιασμούς που το αποτέλεσμά τους φτάνει μέχρι το 20. Ο στόχος της εργασίας αυτής είναι αφενός να εξετάσει και να αναλύσει τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με την εκτέλεση των πράξεων και αφετέρου με βάση την ανάλυση αυτή να συναγάγει κάποια συμπεράσματα και προτάσεις για τη διδασκαλία. Πιο συγκεκριμένα τα βασικά ερωτήματα που θέτονται στην εργασία αυτή είναι: Ποιες διαδικασίες ή στρατηγικές και σε ποια ποσοστά τις χρησιμοποιούν οι έλληνες μαθητές, για να εκτελέσουν τις απλές προσθέσεις και αφαιρέσεις; Ποιες διαδικασίες χρησιμοποιούν επίσης κατά την λύση των προβλημάτων και πώς μεταβάλλεται η συμπεριφορά τους σε διαφορετικούς τύπους προβλημάτων προσθετικού τύπου; Τέλος, ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά της σημερινής διδασκαλίας και πώς πιθανώς επηρεάζουν τη συμπεριφορά και την απόδοση των μαθητών; Τα τελευταία είκοσι χρόνια έχουν πραγματοποιηθεί πολλές έρευνες στα πλαίσια της Διδακτικής των Μαθηματικών, της Εξελικτικής Ψυχολογίας και της Γνωστικής Ψυχολογίας σχετικά με την κατανόηση από τα παιδιά καταστάσεων πρόσθεσης και αφαίρεσης φυσικών αριθμών. (Carpenter, Τ. P., Moser, J. M.,1982, K. Fusun, K. C.,1992) 1. Είναι κοινά αποδεκτό στην πλειοψηφία των ερευνών αυτών ότι οι διαδικασίες ή στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά, για να αντιμετωπίσουν καταστάσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης μονοψήφιων αριθμών, εξελίσσονται σε τρία διαφορετικά επίπεδα. 1ο επίπεδο. Σε αυτό το επίπεδο τα παιδιά χρησιμοποιούν αντικείμενα για να κατασκευάσουν ένα άμεσο μοντέλο της πράξης της πρόσθεσης και της αφαίρεσης που δίνεται σε μια κατάσταση. Αυτή την περίοδο κάθε αντικείμενο μπορεί να ανήκει σε ένα προσθετέο ή στο όλο, αν και οι ρόλοι μπορεί να αλλάζουν στην εξέλιξη της διαδικασίας. Ένα αντικείμενο μπορεί πρώτα να ανήκει σε ένα προσθετέο και αργότερα μπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει στο όλο και αντίστροφα. Τα παιδιά βάζουν μαζί και απαριθμούν όλα τα αντικείμενα που πρόκειται να προσθέσουν ή βγάζουν και απαριθμούν αυτά που απέμειναν όταν πρόκειται να αφαιρέσουν. Τις διαδικασίες αυτές στη συνέχεια θα τις ονομάζουμε διαδικασίες με υλικά και θα διαχωρίσουμε αυτές κατά τις οποίες τα παιδιά χρησιμοποιούν τα δάκτυλά τους (Δάκτυλα) από αυτές που χρησιμοποιούν αντικείμενα (Αντικείμενα), για να μοντελοποιήσουν την πράξη. 1 Μια πρώτη σύνοψη πολλών από αυτές τις έρευνες παρουσιάζεται στο έργο των Carpenter, Τ. P., Moser, J. M. (1982) και μια άλλη πιο μεταγενέστερη στο άρθρο της K. Fusun, K. C. (1992).
2ο επίπεδο. Στο επίπεδο αυτό τα παιδιά μπορούν να σκέφτονται ταυτόχρονα και τις τρεις ποσότητες σε μια κατάσταση πρόσθεσης ή αφαίρεσης και να θεωρούν ότι τα αντικείμενα ανήκουν στους όρους της πράξης και το τελικό αποτέλεσμα. Τα παιδιά μπορούν τώρα να αριθμούν με λέξεις-αριθμούς χρησιμοποιώντας την προφορική ακολουθία των αριθμών σε αντίθεση με το προηγούμενο επίπεδο κατά το οποίο απαριθμούσαν μόνο αντικείμενα. Μπορούν επίσης να συντομεύουν την αρίθμηση των πρώτων όρων. Τις διαδικασίες αυτές στη συνέχεια θα τις αναφέρουμε ως διαδικασίες αρίθμησης. Πιο συγκεκριμένα για την πρόσθεση (π.χ. 2+7) τα παιδιά μπορεί να ξεκινήσουν να αριθμούν ένα-ένα ανεβαίνοντας. Μπορεί να ξεκινήσουν από το μεγαλύτερο αριθμό, (7), 8, 9, (Αρίθμ. Μ.)ή από το μικρότερο, (2), 3, 4,, 6, 7, 8, 9, (Αρίθμ. μ). Στην αρίθμηση αυτή μπορεί να χρησιμοποιήσουν τα δάκτυλά τους, για να μετρήσουν τα βήματα που κάνουν (Αριθμ. Μ. Δάκτυλα), ή να μην χρησιμοποιήσουν τα δάκτυλά τους (Αρίθ. μ. Χ. Δάκτυλα). Αντίστοιχα και στην αφαίρεση μπορεί να ξεκινήσουν την αρίθμηση από το μεγαλύτερο και να κατέβουν ένα-ένα. Για παράδειγμα, στο 8-3, (8), 7, 6,, 4, 3, (Αρίθμ. Μ.) ή να ξεκινήσουν από το μικρότερο και να ανέβουν ένα-ένα, (3), 4,, 6, 7, 8, (Αρίθμ. μ.). Για αυτές τις τέσσερις διαδικασίες στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις ίδιες συντομογραφίες για την πρόσθεση και για την αφαίρεση. Υπάρχουν βεβαίως και άλλες διαδικασίες που μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα παιδιά. Εμείς όμως επιλέξαμε αυτές που παρουσιάζουμε στη συνέχεια για δύο λόγους. Αφενός αυτές χρησιμοποιούνται από την πλειοψηφία των μαθητών και αφετέρου οι υπόλοιπες ήταν δύσκολο να διαπιστωθούν κατά την εξέταση. Ωστόσο ακόμα και αν οι μαθητές χρησιμοποιούσαν κάποιες από αυτές, διακρίνονταν τα βασικά τους χαρακτηριστικά και καταγράφονταν σε μια από τις τρεις βασικές ομάδες διαδικασιών: υλικές, αρίθμησης και ανάκλησης. (Για μια πιο λεπτομερή παρουσίαση όλων των διαδικασιών που χρησιμοποιούν τα παιδιά σε καταστάσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης βλέπε Χ. Λεμονίδης, 1994 α, και Χ. Λεμονίδης, 1994 β). 3ο επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή οι ποσότητες παρουσιάζονται ως αυτόνομες μοναδιαίες οντότητες, οντότητες που μπορούν να συνδυαστούν και να διαχωριστούν με ποικίλους τρόπους. Αυτές οι αυτόνομες μοναδιαίες οντότητες επιτρέπουν στα παιδιά να επιλύουν τις πράξεις, χρησιμοποιώντας άλλες γνωστές πράξεις που σχετίζονται με αυτές. Σε αυτό το επίπεδο όσον αφορά τις ποσότητες οι προσθετέοι δεν εμπεριέχονται μέσα στο άθροισμα. βρίσκονται έξω από αυτό και μπορούν να συγκρίνονται με αυτό. Οι ίδιοι οι αριθμοί γίνονται μονάδες που αποτελούν αριθμητικές τριάδες: δύο γνωστοί όροι της πράξης και ένα γνωστό αποτέλεσμα. Τις διαδικασίες στο επίπεδο αυτό θα τις λέμε διαδικασίες ανάκλησης. Στην κατηγορία αυτή των διαδικασιών διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: άμεσης ανάκλησης, κατά τις οποίες το παιδί σε μια πράξη, για παράδειγμα 9+9, γνωρίζει το αποτέλεσμα απέξω, δηλαδή γνωρίζει την πράξη και το αποτέλεσμά της και την ανακαλεί αμέσως από τη μνήμη μακράς διάρκειας. Έχουμε επίσης διαδικασίες ανάκλησης πράξεων κατά τις οποίες το παιδί, για να βρει το αποτέλεσμα μιας πράξης, ανακαλεί από τη μνήμη του άλλες γνωστές και με αυτές κατασκευάζει την απάντηση. Για παράδειγμα στην πράξη 9+9, ένα παιδί μπορεί να σκεφτεί 9+1=10, 10+8=18. Στην περίπτωση αυτή το παιδί ανακάλεσε από τη μνήμη του τις πράξεις 9+1, 10+8 και 1+8 και συνδυάζοντας αυτές τις πράξεις κατέληξε στην απάντηση. Μέθοδος έρευνας Η έρευνα αυτή πραγματοποιήθηκε στην Α τάξη του Δημοτικού στο τέλος της σχολικής χρονιάς 1996-1997. Το δείγμα αποτελούταν από 126 μαθητές των πειραματικών σχολείων της Θεσσαλονίκης, της Φλώρινας, σχολείων της πόλης και της επαρχίας της Φλώρινας. Στη πλειοψηφία οι μαθητές του δείγματος προέρχονταν από σχολεία της πόλης. Οι μαθητές εξετάστηκαν με προσωπική συνέντευξη. Η εξέταση διαρκούσε περίπου από 20 έως 30 λεπτά της ώρας για κάθε μαθητή. Όλες οι πράξεις και τα προβλήματα διατυπώνονταν προφορικά και οι απαντήσεις των μαθητών δίνονταν επίσης προφορικά και καταγράφονταν από τον εξεταστή σε ένα πρωτόκολλο. Οι μαθητές είχαν στη διάθεσή τους 20 πλαστικές μάρκες τις οποίες μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν για τους υπολογισμούς. Για να διαγνώσει τη διαδικασία
που χρησιμοποιούσαν τα παιδιά, ο εξεταστής παρατηρούσε κάποια εμφανή χαρακτηριστικά, όπως, αν και πώς χρησιμοποιούσαν τα δάκτυλά τους, αν απαντούσαν αυτόματα ή αν αργούσαν να απαντήσουν. Επιπλέον με διάφορες ερωτήσεις που υπέβαλε στο μαθητή προσπαθούσε να διαγνώσει τη διαδικασία με την οποία αυτός εκτελούσε την πράξη. 2. ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΠΡΑΞΕΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ Θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια τις απαντήσεις των μαθητών στις διάφορες πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Οι ερωτήσεις παρουσιάζονται κατά ομάδες σύμφωνα με τα χαρακτηριστικά των αριθμών, π.χ. η πρώτη ομάδα αποτελείται από προσθέσεις της μορφής ν+ν (τα διπλά). Στη συνέχεια θα παρουσιάζουμε κάθε φορά στους πίνακες τα ποσοστά επιτυχίας των μαθητών στις πράξεις και στις διάφορες διαδικασίες που χρησιμοποίησαν, για να απαντήσουν. Τα ποσοστά των διαδικασιών που παρουσιάζουμε αναφέρονται στο σύνολο του δείγματος (Ν=126). Δεν μας ενδιαφέρει στην περίπτωση αυτή αν οι μαθητές έδωσαν ορθή ή εσφαλμένη απάντηση στην αντίστοιχη ερώτηση. Όταν διαβάζουμε τα ποσοστά επιτυχίας σε κάθε ερώτηση, θα πρέπει να παίρνουμε υπόψη μας το γεγονός ότι οι μαθητές είχαν στη διάθεσή τους αντικείμενα (μάρκες), επομένως ήταν δυνατόν να απαντήσουν, αναπαριστώντας τους αριθμούς με αντικείμενα. Προσθέσεις Πίνακας 1: Προσθέσεις διπλών αθροισμάτων (ν+ν) Πράξη 4+4 7+7 9+9 ν % ν % ν % Επιτυχία Άμεση Ανάκλ. Ανάκλ. Πράξ. 120 103 1 9% 81,% 1% 87 8 4 69% 46% 3% 76 42 6 60,% 33,% % Αρίθμησης Αρίθμησ. Αρίθμησ. Χ. Δάκτ. Δάκτ. 4 4 3% 3% 11 22 8,% 17,% 18 18 14,% 14,% με υλικά Δάκτυλα Αντικεί- Όχι μενα Απάν. 11-3 8,% 2,% 6 17 8 % 13,% 6,% 4 21 17 3% 16,% 13,% Στον παραπάνω πίνακα 1 παρουσιάζουμε τις απαντήσεις των μαθητών στις τρεις ερωτήσεις της μορφής ν+ν, αυτές που ονομάζουμε διπλά αθροίσματα. Οι προσθέσεις αυτού του είδους, λόγω της γλωσσικής τους ιδιομορφίας, με την διπλή επανάληψη του ίδιου αριθμού-λέξη, αποθηκεύονται από τις πρώτες στη μνήμη μακράς διάρκειας. Από τα ποσοστά επιτυχίας παρατηρούμε ότι η πρόσθεση 4+4 έχει μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας (9%) από τις προσθέσεις 7+7 (69%) και 9+9 (60,%). Στην ερώτηση 4+4 η πλειοψηφία των μαθητών (81,%) χρησιμοποιεί τη διαδικασία της άμεσης ανάκλησης, ενώ η διαδικασία αυτή στις ερωτήσεις 7+7 και 9+9 χρησιμοποιείται μόνο από το 46% και το 33,% του συνόλου των μαθητών αντίστοιχα. Οι μαθητές που βρίσκουν το σωστό αποτέλεσμα στην πράξη 7+7 χρησιμοποιώντας διαδικασίες ανάκλησης είναι μόνο το 3 των μαθητών και στην πράξη 9+9 είναι το 2. Παρατηρούμε λοιπόν ότι οι μαθητές της Α τάξης, ενώ γνωρίζουν καλά και έχουν αποθηκεύσει στη μνήμη τους τα μικρά διπλά αθροίσματα, όπως το 4+4, δεν γνωρίζουν καλά τα διπλά αθροίσματα με μεγάλους αριθμούς. Τα πιο συχνά λάθη που κάνουν οι μαθητές στις ερωτήσεις 9+9 και 7+7 είναι τα εξής: Στην ερώτηση 9+9 δίνουν την απάντηση 19 το 11% του συνόλου των μαθητών. Στην ερώτηση 7+7 δίνουν την απάντηση 17 το 9% του συνόλου των μαθητών. Οι περισσότεροι από τους μαθητές που κάνουν αυτό το λάθος χρησιμοποιούν τη διαδικασία της άμεσης ανάκλησης, δηλαδή απαντούν αυτόματα. Μπορούμε να πούμε λοιπόν ότι οι μαθητές στο λάθος αυτό απαντούν
αυτόματα, παρασυρόμενοι από το ομόηχο αποτέλεσμα με τους δύο προσθετέους (εννιά και εννιά = δεκαεννιά, εφτά και εφτά =δεκαεφτά). Στον παρακάτω πίνακα 2 παρουσιάζουμε τις απαντήσεις των μαθητών σε πράξεις πρόσθεσης με αθροίσματα μέχρι το 10 που είναι: 4+3, 3+, 7+3 και 2+7. Παρουσιάζουμε επίσης τις απαντήσεις στο άθροισμα 6+, που είναι άθροισμα δύο μονοψήφιων αριθμών και είναι μεγαλύτερο του 10. Στα πρώτα αθροίσματα μέχρι το 10, τα αθροίσματα 3+ και 2+7 ξεκινούν με πρώτο αριθμό στο άθροισμα το μικρότερο προσθετέο. Το άθροισμα 7+3 είναι ένα από τα βασικά αθροίσματα, γιατί είναι συμπλήρωμα του 10. Οι μαθητές θα πρέπει να γνωρίζουν καλά τα συμπληρώματα του 10, γιατί χρησιμοποιούνται πολύ για τον υπολογισμό άλλων πράξεων. Περιμένουμε λοιπόν το άθροισμα 7+3 να το γνωρίζουν καλά οι μαθητές. Παρατηρούμε στον πίνακα 2 ότι τα ποσοστά επιτυχίας στις προσθέσεις 4+3, 3+ και 7+3 βρίσκονται περίπου στο ίδιο επίπεδο (σχεδόν ). Η ερώτηση 2+7 βρίσκουμε να είναι δυσκολότερη από την 4+3, (Mc Nemar Test, p = 0,014) και την 7+3 (Mc Nemar Test, p = 0,019). Πίνακας 2: Αθροίσματα μέχρι το 10. Άθροισμα μονοψήφιων μεγαλύτερο του 10 Πράξη 4+3 3+ 7+3 2+7 Επιτυχία 110 87,% 10 83,% 108 8,% 9 7,% Άμεση Ανάκλ. Ανάκλ. Πράξης 30 4 2 3% 26 3 20,% 2,% 30 2 2 1,% 20 16% 10 Αρίθμησης Αριθ.Μ Χ. Δάκτ. 33 26% 21 16,% 39 31% 29 23% Αριθ.Μ Δάκτυλα 29 23% 9 7% 29 23% Αριθ.μ χ. Δάκτ 16 12,% 10 Αριθ.μ Δάκτ. 1 12% 1 1% 17 13,% με υλικά Δάκτυλα Αντικείμενα 1 12 12% 9,% 20 14 16% 11% 10 13 10,% 18 12 14,% 9,% Όχι Απάντ. 3 2,% 2 1,% 2 1,% 6+ 100 79,% 20 16% 29 23% 1 12% 23 18,% 3 2,% 3 2,% 14 11% 14 11% Στις τέσσερις ερωτήσεις του είδους αυτού τα ποσοστά των διαδικασιών που χρησιμοποιούν οι μαθητές για την απάντησή τους κυμαίνονται σε παρόμοια επίπεδα. Οι διαδικασίες ανάκλησης είναι γύρω στο 2%, οι διαδικασίες αρίθμησης είναι γύρω στο 0% και οι υλικές διαδικασίες είναι γύρω στο 20% με 2%. Σύμφωνα με τα παραπάνω δεδομένα μπορούμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις: Η πράξη 7+3, παρόλο που είναι ένα βασικό άθροισμα, δεν διαφοροποιείται από τις άλλες ερωτήσεις ούτε ως προς τα ποσοστά επιτυχίας (εκτός από την ερώτηση 2+7 από την οποία είναι ευκολότερη), αλλά ούτε και ως προς τις διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές για να την απαντήσουν. Το άθροισμα αυτό μόνο το 21,% των μαθητών το βρίσκει σωστά με τη διαδικασία της άμεσης ανάκλησης. Όσον αφορά στις πράξεις 3+, 7+3 και 2+7 το πιο συχνό λάθος που κάνουν οι μαθητές είναι να βρίσκουν αποτέλεσμα που είναι κατά 1 μικρότερο από το σωστό. Έτσι λοιπόν από αυτούς που απαντούν λάθος, στην ερώτηση 3+ δίνει την απάντηση 7 ποσοστό 39% των μαθητών και,6% του συνολικού δείγματος των μαθητών. Στην ερώτηση 7+3 δίνει την απάντηση 9 ποσοστό 46,7% των μαθητών από αυτούς που απαντούν λάθος και,6% του συνολικού δείγματος των μαθητών. Στην ερώτηση 2+7 δίνουν την απάντηση 8 ποσοστό 36% των μαθητών από αυτούς που απαντούν λάθος και 7,1% του συνολικού δείγματος των μαθητών. Το λάθος αυτό, το κατά ένα μικρότερο από το σωστό αποτέλεσμα, συνήθως είναι ένα λάθος που προκύπτει από διαδικασίες αρίθμησης, καθώς οι μαθητές μετρούν και τον αριθμό από τον οποίο ξεκινούν. Για παράδειγμα στο άθροισμα 7+3 θέλουν να ανέβουν τρία βήματα από το 7, αλλά στα βήματα αυτά μετρούν και το 7, δηλαδή λένε 7, 8, 9. Στην ερώτηση 4+3 το πιο συχνό λάθος είναι η απάντηση 8. Την απάντηση αυτή τη δίνει ποσοστό των μαθητών από αυτούς που απαντούν εσφαλμένα και,6% του συνολικού δείγματος των μαθητών.
Στην ερώτηση 6+ έχουμε ποσοστό επιτυχίας 80%. Όσον αφορά τις διαδικασίες παρατηρούμε ότι στην ερώτηση αυτή, σε σχέση με τις προηγούμενες, έχουμε μεγαλύτερο ποσοστό μαθητών που χρησιμοποίησαν ανακλητικές διαδικασίες (16% των μαθητών χρησιμοποίησαν τη διαδικασία της άμεσης ανάκλησης και 23% την ανάκληση πράξης). Η αύξηση του ποσοστού στις ανακλητικές διαδικασίες γίνεται σε βάρος των διαδικασιών αρίθμησης, που φτάνουν το ποσοστό του 3,%. Οι διαδικασίες με υλικά παραμένουν σε υψηλά επίπεδα 22%. Από τους 29 μαθητές που χρησιμοποιούν τη διαδικασία ανάκληση πράξης οι 28 δίνουν σωστή απάντηση. Οι απαντήσεις των μαθητών με τη διαδικασία αυτή είναι οι εξής: 13 μαθητές (10,% του συνολικού δείγματος) χρησιμοποιούν τη διαδικασία του περάσματος της δεκάδας δηλαδή λένε: 6+4=10, 10+1=11. 12 μαθητές (9,% του συνολικού δείγματος) χρησιμοποιούν τα διπλά +: +=10, 10+1=11. 2 μαθητές (1,%) χρησιμοποιούν τα διπλά 6+6: 6+6=12, 12-1=11 και 1 μαθητής υπολογίζει ως εξής: 6+2+2+1=11, η διαδικασία αυτή μοιάζει με αρίθμηση ανά δύο από το 6. Πίνακας 3: Αθροίσματα της μορφής 10+ν και 1ν+ν. Αθροίσματα διψήφιου με μονοψήφιο μικρότερα του 20 Πράξη 10+4 10+6 14+4 14+3 17+3 12+7 Επιτυχία Άμεση Ανάκλ. Ανάκλ. Πράξης 116 60 2 92% 47,% 1,% 109 62 2 86,% 49% 1,% 9 12 20 7,% 9,% 16% 94 1 74,% 12% 9 4 1 7,% 3% 12% 73 8 13 6,% 10,% Αρίθμησης Αρίθμησ. Αρίθμησ. Χ.Δάκτ. Δάκτυλα 23 23 18,% 18,% 16 21 12,% 16,% 34 26 27% 20,% 44 27 3% 21,% 44 29 3% 23% 33 33 26% 26% με υλικά Δάκτυ- Αντικείλα μενα 3 13 2,% 10,% 4 17 3% 13,% 1 2 1% 20% 3 26 2,% 20,% 2 2 1,% 20% 1 28 1% 22% Όχι Απάν. 2 1,% 4 3% 8 6,% 6 % 7,% 10 Τα αθροίσματα της μορφής 10+ν θεωρούνται εύκολα, γιατί στην εύρεση του αποτελέσματος βοηθάει πολύ η γλώσσα. Το αποτέλεσμα το λέει η ίδια η λέξη, π.χ. 10+4=14 (δεκατέσσερα), που είναι σύνθεση των δύο λέξεων των προσθετέων. Παίρνοντας υπόψη λοιπόν το δεδομένο αυτό και παρατηρώντας τα ποσοστά των διαδικασιών που χρησιμοποίησαν οι μαθητές για την επίλυση σχετικών ασκήσεων, μπορούμε να παρατηρήσουμε τα εξής: Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα 3 μόνο οι μισοί μαθητές χρησιμοποιούν τις διαδικασίες της άμεσης ανάκλησης και καταλήγουν αμέσως στο αποτέλεσμα της πρόσθεσης. Διαπιστώνουμε ότι ένα ποσοστό 37% για το 10+4 και 29% για το 10+6 χρησιμοποιούν διαδικασίες αρίθμησης ένα προς ένα και ένα ποσοστό 13% για το 10+4 και 16,% για το 10+6 χρησιμοποιούν διαδικασίες με υλικά και κυρίως αντικείμενα. Το άθροισμα 14+4 είναι της μορφής 1ν+ν δηλαδή το άθροισμα των μονάδων του διψήφιου και του μονοψήφιου αριθμού αποτελεί ένα διπλό άθροισμα. Περιμένουμε λοιπόν το άθροισμα αυτό να είναι εύκολο για τους μαθητές και περιμένουμε επίσης να χρησιμοποιήσουν διαδικασίες ανάκλησης και μάλιστα τη διαδικασία ανάκληση πράξης (το 4+4), για να το επιλύσουν. Στον πίνακα 3 όμως παρατηρούμε ότι το ποσοστό επιτυχίας δε διαφέρει από τα ποσοστά επιτυχίας στα αθροίσματα 14+3 και 17+3. Το άθροισμα 14+4 ενώ περιέχει το διπλό άθροισμα 4+4 και αναμένεται να το χρησιμοποιήσουν οι μαθητές, για να οδηγηθούν στην απάντηση, δεν τους βοηθάει προς την κατεύθυνση αυτή, αφού μόνο το 2,% των μαθητών χρησιμοποιούν διαδικασίες ανάκλησης, ενώ 47,% χρησιμοποιούν διαδικασίες αρίθμησης και 20%
χρησιμοποιούν αντικείμενα για να υπολογίσουν το αποτέλεσμα. Παρόμοια ποσοστά επιτυχίας (7%) παρατηρούνται κατά την επίλυση των αθροισμάτων 14+4, 14+3 και 17+3, ενώ η ερώτηση 12+7 είναι πιο δύσκολη και το ποσοστό επιτυχίας στην περίπτωση αυτή περιορίζεται στο. Μπορούμε να παρατηρήσουμε επίσης ότι όταν περνούμε από ένα άθροισμα δύο μονοψήφιων σε ένα άθροισμα με τα ίδια ψηφία μονάδων, από τους οποίους όμως ο πρώτος αριθμός μετατρέπεται σε διψήφιο στην πρώτη δεκάδα, έχουμε μια μείωση της επιτυχίας από 10% μέχρι 20%. Πιο συγκεκριμένα από το άθροισμα 4+4 στο 14+4 έχουμε πτώση της επιτυχίας 19,%, από το 4+3 στο 14+3 έχουμε πτώση 13%, από το 7+3 στο 17+3, 10% και από το 2+7 στο 12+7 έχουμε πτώση 17,%. Στις παραπάνω ερωτήσεις διαπιστώνουμε ότι το άθροισμα των δύο μονοψήφιων αριθμών είναι πάντοτε στατιστικά ευκολότερο από το αντίστοιχο άθροισμα του διψήφιου με το μονοψήφιο. Όσον αφορά τις διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές, έχουμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις: Στις ερωτήσεις 14+3, 17+3 και 12+7 τα διάφορα είδη διαδικασιών που χρησιμοποιούν οι μαθητές κυμαίνονται στα ίδια επίπεδα. Οι διαδικασίες ανάκλησης είναι γύρω στο 1%, οι διαδικασίες αρίθμησης είναι γύρω στο % και οι διαδικασίες με υλικά είναι γύρω στο 22%. Σε όλες τις παραπάνω ερωτήσεις του πίνακα 3 κατά τις οποίες προστίθεται ένας διψήφιος αριθμός και ένας μονοψήφιος παρατηρούμε ότι στις διαδικασίες με υλικά η πλειοψηφία των μαθητών επιλέγει τα αντικείμενα και πολύ μικρό ποσοστό χρησιμοποιεί τα δάκτυλα. Σε αντίθεση με τις μονοψήφιες προσθέσεις, βλ. πίνακα 2, κατά τις οποίες το 20% περίπου των μαθητών που χρησιμοποιούν διαδικασίες με υλικά είναι σχεδόν μοιρασμένο ισομερώς κάθε φορά στις διαδικασίες με τα δάκτυλα και τα αντικείμενα. Το φαινόμενο αυτό συμβαίνει, γιατί οι διψήφιοι αριθμοί είναι μεγάλοι και δεν είναι εύκολο για τα παιδιά να τους αναπαραστήσουν με τα δάκτυλά τους. Όσον αφορά στα λάθη που κάνουν οι μαθητές σε όλες τις παραπάνω ερωτήσεις του πίνακα 3 παρατηρούμε τα εξής: Το λάθος που παρουσιάζεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι το λάθος του (-1), δηλαδή οι μαθητές δίνουν ως απάντηση έναν αριθμό που είναι κατά ένα μικρότερος από το σωστό αποτέλεσμα. Το λάθος αυτό, όπως αναφέραμε και προηγουμένως, οφείλεται σε εσφαλμένη εκτέλεση της διαδικασίας της αρίθμησης. Μόνο στη ερώτηση 12+7 παρουσιάζεται ένα λάθος με μεγαλύτερη συχνότητα, κατά την οποία το 11% του συνόλου των μαθητών δίνει την απάντηση 17. Αφαιρέσεις Πίνακας 4: Αφαιρέσεις της μορφής ν-ν και 2ν-ν Πράξη 4-4 8-4 Επιτυχία Άμεση Ανάκλ. Ανάκλ. Πράξης 107 87 69% 10 32 31 83,% 2,% 24,% Αρίθμησης Αρίθμησ. Αρίθμησ. Χ. Δάκτ. Δάκτυλα 3 8 2,% 6,% 12 16 9,% 12,% με υλικά Δάκτυλμενα Αντικεί- 12 9 9,% 7% 20 10 16% Όχι Απάντ. 7,% Στον παραπάνω πίνακα παρουσιάζονται οι απαντήσεις των μαθητών στην αφαίρεση 4-4 δηλαδή της μορφής ν-ν, και την αφαίρεση 8-4, δηλαδή της μορφής 2ν-ν. Αυτοί οι δύο τύποι αφαίρεσης λόγο της γλωσσικής τους ιδιορρυθμίας θεωρούνται ότι μαθαίνονται εύκολα και αποθηκεύονται από τις πρώτες στη μνήμη μακράς διάρκειας. Οι απαντήσεις στις δύο αυτές ερωτήσεις παρουσιάζουν σχεδόν το ίδιο ποσοστό επιτυχίας (). Όσον αφορά στις διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές, παρατηρούμε ότι στην ερώτηση 4-4 σε σχέση με την ερώτηση 8-4 οι μαθητές χρησιμοποιούν περισσότερο τις διαδικασίες ανάκλησης (69% έναντι 0%), λιγότερο τις διαδικασίες μέτρησης (9% έναντι 22%) και λιγότερο τις διαδικασίες με υλικά (16,% έναντι 2). Μπορούμε να πούμε λοιπόν ότι οι μαθητές αντιμετωπίζουν πιο εύκολα την πράξη 4-4 από
ό,τι την πράξη 8-4, χρησιμοποιούν δηλαδή περισσότερο ανακλητικές διαδικασίες παρά τις διαδικασίες αρίθμησης και τις διαδικασίες με υλικά. Αν συγκρίνουμε την επιτυχία στην απάντηση της ερώτησης 4+4, με αυτήν της ερώτησης 4-4, βρίσκουμε ότι (Mc Nemar Test, p = 0,02) η ερώτηση 4+4 είναι πιο εύκολη σε σχέση με την ερώτηση 4-4. Επίσης παρατηρώντας και τα ποσοστά με τις διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές για τις πράξεις 4+4 και 4-4 (διαδικασίες ανάκλησης 82,% έναντι 69%, διαδικασίες αρίθμησης 6% έναντι 9% και διαδικασίες με υλικά 8,% έναντι 16,%), μπορούμε να πούμε ότι η πράξη 4+4 αντιμετωπίζεται πιο εύκολα από την πράξη 4-4. Στην ερώτηση 4-4 το λάθος με τη μεγαλύτερη συχνότητα ( του συνόλου των λαθών και,6% του συνολικού δείγματος) ήταν η απάντηση 4. Η πράξη 8-3 δόθηκε ως μια αφαίρεση δύο μονοψήφιων αριθμών, κατά την οποία ο μειωτέος είναι ένας μεγάλος αριθμός και ο αφαιρετέος μικρός. Οι αφαιρέσεις 10-3 και 10-4 είναι αφαιρέσεις μονοψήφιων αριθμών από το 10 και το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι κάθε φορά ένα συμπλήρωμα του 10. Αυτές οι δύο πράξεις ως συμπληρώματα του 10 περιμένουμε να είναι γνωστές και για την επίλυσή τους να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές διαδικασίες ανάκλησης γνωστών πράξεων, όπως 7+3 και 6+4. Πίνακας : Αφαίρεση μονοψήφιου από μονοψήφιο και μονοψήφιου από 10 Πράξη 8-3 10-3 10-4 Επιτυχία Άμεση Ανάκλ. Ανάκλ. Πράξης 11 24 16 91,% 19% 12,% 107 14 23 11% 18,% 101 1 18 80% 12% 14,% Αρίθμησης Αρίθμησ. Αρίθμησ. Χ. Δάκτ. Δάκτυλα 17 29 13,% 23% 29 28 23% 22% 22 33 17,% 26% με υλικά Δάκτυλα Αντικείμενα 22 13 17,% 10,% 16 10 12,% 13 17 10,% 13,% Όχι Απάντ. 6 % 8 6,% Οι ερωτήσεις 8-3 και 10-3 τέθηκαν αμέσως μετά από τις αντίστοιχες προσθέσεις 3+ και 7+3. Ο τρόπος λοιπόν με τον οποίο τέθηκαν οι ερωτήσεις ευνοούσε την χρήση από την πλευρά των μαθητών της διαδικασίας της ανάκλησης μιας γνωστής πράξης. Παρ όλα αυτά παρατηρούμε στον πίνακα ότι οι διαδικασίες ανάκλησης δεν παρουσιάζουν υψηλά ποσοστά. Γύρω στο 30% των μαθητών χρησιμοποιούν διαδικασίες ανάκλησης, ενώ στην ερώτηση 10-4, που δεν είχε προηγηθεί η πρόσθεση, το ποσοστό των μαθητών που χρησιμοποίησε διαδικασίες ανάκλησης είναι σχεδόν στα ίδια επίπεδα (26,%). Οι διαδικασίες αρίθμησης στις ερωτήσεις αυτού του είδους βρίσκονται σε υψηλά επίπεδα: γύρω στο 4% στις 10-3 και 10-4 και 36,% στην 8-3. Στις ερωτήσεις αυτές επίσης βρίσκουμε υψηλά ποσοστά των μαθητών που χρησιμοποιούν τις διαδικασίες με υλικά: το 2 στην 8-3 (μεταξύ των οποίων το 17,% των μαθητών χρησιμοποιούν δάκτυλα), το 2 στην 10-4 και το 20,% στην 10-3. Παρατηρούμε λοιπόν ότι οι αφαιρέσεις 10-3 και 10-4, αν και είναι σημαντικές ως συμπληρώματα του 10, δεν αντιμετωπίζονται από τους μαθητές με ιδιαίτερο τρόπο. Έτσι διαπιστώνουμε παρόμοια ποσοστά επιτυχίας και χρήση των ίδιων σχεδόν διαδικασιών με την ερώτηση 8-3. Στις αφαιρέσεις αυτές, παρά το γεγονός ότι είναι σημαντικές ως συμπληρώματα του 10 και παρά το γεγονός ότι δόθηκαν πιο μπροστά τα αντίστοιχα αθροίσματα, οι μαθητές χρησιμοποίησαν σε μικρά ποσοστά προωθημένες διαδικασίες επίλυσης όπως η ανάκληση γνωστών πράξεων. Πίνακας 6: Αφαίρεση της μορφής 1ν-ν και αφαίρεση μονοψήφιου από διψήφιο Αρίθμησης με υλικά Πράξη Επιτυχία Άμεση Ανάκλ. Αρίθμησ. Αρίθμησ. Δάκτυ- Αντικεί- Όχι
16-6 18-6 87 69% 68 Ανάκλ. Πράξης Χ. Δάκτ. Δάκτυλα λα μενα Απάντ. 47 13 12 9 4 29 12 37,% 10,% 9,% 7% 3% 23% 9,% 8 17 23 22 2 38 16 6,% 13,% 18,% 17,% 1,% 30% 12,% Η αφαίρεση 16-6 είναι της μορφής 1ν-ν, δηλαδή από το διψήφιο αριθμό αφαιρείται ένας μονοψήφιος αριθμός που είναι ίσος με το ψηφίο των μονάδων. Η αφαίρεση αυτή θεωρείται εύκολη και περιμένουμε να την απαντήσουν οι μαθητές χρησιμοποιώντας διαδικασίες ανάκλησης, γιατί αφενός εφαρμόζεται μια βασική αρχή του συστήματος αρίθμησης, δηλαδή από ένα διψήφιο αριθμό αφαιρείται το ψηφίο των μονάδων, και αφετέρου βοηθάει και η γλώσσα στην υποδήλωση του αποτελέσματος (δεκαέξι - έξι = δέκα). Παρατηρώντας τα αποτελέσματα στον πίνακα 6, βλέπουμε ότι η αφαίρεση 16-6, παρόλο που είναι μια αφαίρεση της μορφής 1ν-ν, παρουσιάζει μικρό ποσοστό επιτυχίας (69%). Η αφαίρεση 18-6 παρουσιάζει το μικρότερο ποσοστό επιτυχίας (). Η ερώτηση 18-6 είναι στατιστικά πιο δύσκολη από την 16-6. Η ερώτηση 16-6 είναι πιο δύσκολη από τις αφαιρέσεις της μορφής 10-ν, δηλαδή τις αφαιρέσεις 10-3 και 10-4. Επίσης η αφαίρεση 16-6 είναι πολύ πιο δύσκολη από την αντίστοιχη πρόσθεση 10+6. Όσον αφορά τις διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές για να απαντήσουν στις ερωτήσεις αυτές, έχουμε να παρατηρήσουμε τα εξής: Στην αφαίρεση 16-6 το 4 των μαθητών χρησιμοποιεί διαδικασίες ανάκλησης. Σχετικά μικρό ποσοστό (16,%) χρησιμοποιεί διαδικασίες αρίθμησης και αρκετά μεγάλο ποσοστό χρησιμοποιεί διαδικασίες με υλικά (26%) και μάλιστα η πλειοψηφία από αυτούς, το 23%, χρησιμοποιεί τα αντικείμενα. Το ποσοστό των μαθητών που υπολογίζει σωστά τη διαφορά, χρησιμοποιώντας διαδικασίες ανάκλησης, είναι μόνο 3,%. Στην αφαίρεση 18-6 το 20% μόνο των μαθητών χρησιμοποιεί διαδικασίες ανάκλησης. Το 36% χρησιμοποιεί διαδικασίες αρίθμησης. Ένα μεγάλο ποσοστό μαθητών, το 30%, χρησιμοποιεί αντικείμενα, για να εκτελέσει την αφαίρεση. Το ποσοστό των μαθητών που υπολογίζει σωστά χρησιμοποιώντας διαδικασίες ανάκλησης, φτάνει μόλις το 1. 3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πριν από τις πράξεις προτείναμε στους μαθητές να λύσουν τα παρακάτω τέσσερα προβλήματα με τη σειρά που παρουσιάζονται: 1 ο. Η Άννα έχει 6 καραμέλες. Η μητέρα τής έδωσε ακόμη. Πόσες καραμέλες έχει η Άννα όλες μαζί; 2 ο. Έχεις 8 μπαλόνια. Από αυτά σκάνε τα 3. Πόσα μπαλόνια σου μένουν; 3 ο. Ο Πέτρος είχε 3 μπίλιες. Στο διάλειμμα έπαιξε με ένα φίλο του και κέρδισε ακόμη μερικές. Μετά από το παιχνίδι όταν τις μέτρησε διαπίστωσε ότι είχε 10 μπίλιες. Πόσες μπίλιες κέρδισε ο Πέτρος από τον φίλο του; 4 ο. Ο Γιάννης όταν έφυγε από το σπίτι, είχε στην τσέπη του κάστανα. Στο δρόμο έφαγε τα 4. Κατόπιν μέτρησε αυτά που του έμειναν και διαπίστωσε ότι ήταν 8. Πόσα κάστανα είχε, όταν έφυγε από το σπίτι; Τα προβλήματα αυτά με την ταξινόμηση της σημασιολογικής τους δομής σύμφωνα με τον G. Vergnaud (1982) και τους Carpanter & Moser (1982) μπορούμε να τα χαρακτηρίσουμε ως εξής: Το πρώτο πρόβλημα θεωρείται πρόβλημα θετικού μετασχηματισμού ή αλλαγής και ζητείται η τελική κατάσταση. Το δεύτερο είναι πρόβλημα αρνητικού μετασχηματισμού και ζητείται η τελική κατάσταση. Τα προβλήματα αυτού του είδους θεωρούνται εύκολα, γιατί η εξέλιξη των γεγονότων και των δεδομένων ακολουθεί μια κανονική χρονική εξέλιξη και οι μαθητές μπορούν εύκολα να σχηματίσουν μια νοερή ή υλική αναπαράσταση των προβλημάτων αυτών. Επίσης ο
μετασχηματισμός που συντελείται στο πρόβλημα (έδωσε ακόμη πρόσθεση, σκανε τα αφαίρεση) είναι συμβατός με την αντίστοιχη πράξη. Το τρίτο πρόβλημα είναι πρόβλημα θετικού μετασχηματισμού και ζητείται ο μετασχηματισμός. Το τέταρτο είναι πρόβλημα αρνητικού μετασχηματισμού και ζητείται η αρχική κατάσταση. Τα προβλήματα αυτού του είδους θεωρούνται δύσκολα, γιατί δεν είναι εύκολη η νοερή ή υλική αναπαράσταση από τους μαθητές. Για παράδειγμα, στο τέταρτο πρόβλημα: Ο Γιάννης όταν έφυγε από το σπίτι είχε στην τσέπη του κάστανα... δεν μπορεί αυτό να αναπαρασταθεί με υλικά αντικείμενα. Η χρονολογική εξέλιξη των γεγονότων δεν είναι κανονική. Επίσης, οι μετασχηματισμοί των προβλημάτων (κέρδισε αφαίρεση, έφαγε τα πρόσθεση) είναι αντίθετοι με τις αντίστοιχες πράξεις. Από τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα διαπιστώνουμε ότι το πρώτο και το δεύτερο πρόβλημα είναι πολύ πιο εύκολα από το τρίτο και το τέταρτο. Τα ποσοστά επιτυχίας στα δύο πρώτα προβλήματα είναι σχεδόν διπλάσια από εκείνα των δύο τελευταίων. Το γεγονός αυτό ήταν αναμενόμενο, γιατί, όπως εξηγήσαμε προηγουμένως, βάσει της σημασιολογικής τους δομής τα δύο πρώτα προβλήματα θεωρούνται εύκολα για τους μαθητές και τα δύο τελευταία θεωρούνται δύσκολα προβλήματα. Πίνακας 7: Ποσοστά επιτυχίας και διαδικασίες στα προβλήματα Προβλή ματα 1ο 6+ 2ο 8-3 3ο 10-3 4ο 8+4 Άμεση Ανάκλ. Ανάκλ. Πράξης 28 29 22% 23% 20 21 16% 16,% 33 27 26% 21,% 27 21,% 33 26% Αρίθμησης Αριθ.Μ Χ. Δάκτ. 19 1% 27 21,% 6 % 14 11% Αριθ.Μ Δάκτ. 19 1% 1 12% 6 % 10 Αριθ.μ χ. Δάκτ 2 1,% 10 2 1,% Αριθ.μ Δάκτυλα 1 1% 1 1% 11 8,% 1 1% Επιτυχία 94 74,% 103 81,% 1 40,% 42 33,% με υλικά Δάκτυλα μενα Αντικεί- 14 10 11% 29 23% 10 8 6,% 8 6,% 6 % Όχι Απάντ. 4 3% 17 13,% 26 20,% Ο πρώτος τύπος του προβλήματος της πρόσθεσης δεν παρουσιάζει στατιστικά διαφορά δυσκολίας από το δεύτερο πρόβλημα της αφαίρεσης. Επίσης δεν παρουσιάζεται διαφορά δυσκολίας μεταξύ του τρίτου και του τέταρτου προβλήματος. Συγκρίνοντας την επιτυχία των μαθητών στην πράξη 6+, που παρουσιάζεται στον πίνακα 2, με την επιτυχία στο πρώτο πρόβλημα, στο οποίο έπρεπε επίσης να εκτελεστεί η πράξη 6+ διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει στατιστικά διαφορά δυσκολίας. Αντίθετα μεταξύ της πράξης 8-3, που παρουσιάζεται στον πίνακα, και του δεύτερου προβλήματος που εμπεριέχει την πράξη 8-3 διαπιστώνουμε στατιστικά ότι η πράξη εκτελείται πιο εύκολα από ό,τι το πρόβλημα. Θα πρέπει να σημειώσουμε όμως, όπως ήδη είχαμε παρατηρήσει όταν παρουσιάζαμε την συμπεριφορά των μαθητών στην πράξη 8-3, ότι ίσως το μεγάλο ποσοστό επιτυχίας των μαθητών στην πράξη αυτή να οφείλεται στο γεγονός ότι ακριβώς πριν από αυτήν βρισκόταν η ερώτηση 3+ η λύση της οποίας ίσως διευκόλυνε τους μαθητές στη απάντηση και της 8-3. Από τον πίνακα 7 μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στο πρώτο πρόβλημα για να εκτελέσει την πράξη 6+, 4% των μαθητών χρησιμοποιούν διαδικασίες ανάκλησης, 32,% διαδικασίες αρίθμησης και 19% διαδικασίες με υλικά. Στο δεύτερο πρόβλημα για να εκτελέσουν την πράξη 8-3, οι μαθητές χρησιμοποιούν σε ποσοστό 32,% διαδικασίες ανάκλησης, σε ποσοστό 33,% διαδικασίες αρίθμησης και σε ποσοστό 29,% διαδικασίες με υλικά και μάλιστα η πλειοψηφία (23%) χρησιμοποιεί τα δάκτυλα. Όσον αφορά τις διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές, για απαντήσουν στις πράξεις 6+ και 8-3 και τα αντίστοιχα προβλήματα πρώτο και δεύτερο, παρατηρούμε ότι τα ποσοστά των σχετικών διαδικασιών είναι παρόμοια.
Σχετικά με τα λάθη που κάνουν οι μαθητές κατά την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων έχουμε να παρατηρήσουμε τα εξής: Στα δύο πρώτα προβλήματα η αποτυχία των μαθητών οφείλεται στη λανθασμένη εκτέλεση των πράξεων. Έτσι στο πρώτο πρόβλημα, στο οποίο οι μαθητές έχουν να εκτελέσουν την πράξη 6+ συναντούμε σε μεγάλο ποσοστό την απάντηση 10, που είναι το λάθος του -1. Το λάθος αυτό το κάνει το 14,% του συνόλου των μαθητών και είναι το πιο συχνό λάθος, γιατί αποτελεί το 64,% των λαθών. Στο δεύτερο πρόβλημα στο οποίο οι μαθητές έχουν να εκτελέσουν την πράξη 8-3 το πιο συχνό λάθος είναι η απάντηση 6, που είναι το λάθος του +1 και οφείλεται σε λάθος αρίθμηση. Οι μαθητές κατεβαίνουν 3 βήματα από το 8, αλλά μετρούν και το 8, (8, 7, 6). Το λάθος αυτό αποτελεί το 33,3% των λαθών και γίνεται από το % του συνόλου των μαθητών. Στα δύο τελευταία προβλήματα η αποτυχία των μαθητών οφείλεται περισσότερο στην λανθασμένη αντιμετώπιση του προβλήματος και όχι στην εκτέλεση της πράξης. Έτσι στο πρώτο πρόβλημα βρίσκουμε ένα ποσοστό 1% του συνόλου των μαθητών οι οποίοι αντί για την αφαίρεση 10-3, εκτελούν πρόσθεση 10+3 και δίνουν απάντηση 13. Επίσης 12% των μαθητών δίνει ως απάντηση το 10, που είναι ένα από τα δεδομένα του προβλήματος. Αντίστοιχα στο δεύτερο πρόβλημα έχουμε ποσοστό 13,% των μαθητών που δίνουν την απάντηση 4 και κάνουν αφαίρεση αντί για πρόσθεση και,% των μαθητών που δίνουν την απάντηση 8, που είναι ένα από τα δεδομένα του προβλήματος. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από τις επιδόσεις των μαθητών στην εκτέλεση των πράξεων που είδαμε στα προηγούμενα μπορούμε να κάνουμε τις εξής επισημάνσεις: - Μια γενική παρατήρηση είναι ότι οι μαθητές στο τέλος της Α τάξης του Δημοτικού Σχολείου όταν εκτελούν πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης, χρησιμοποιούν πολύ λίγο διαδικασίες υπολογισμού (ανάκληση γνωστών πράξεων), ενώ αντιθέτως χρησιμοποιούν πολύ τις διαδικασίες αρίθμησης και τις διαδικασίες με υλικά 2. Είδαμε λοιπόν ότι για τα μικρά αθροίσματα μέχρι το 10 (πίνακας 2) οι μαθητές χρησιμοποιούν τις διαδικασίες ανάκλησης σε ποσοστό γύρω στο 20%, τις διαδικασίες αρίθμησης σε ποσοστό γύρω στο 0% και τις διαδικασίες με υλικά γύρω στο 20% με 2%. Για μεγαλύτερα αθροίσματα διψήφιου με μονοψήφιο μικρότερα του 20 (14+3, 17+3 και 12+7), οι διαδικασίες ανάκλησης χρησιμοποιούνται σε ποσοστό γύρω στο 1%, οι διαδικασίες αρίθμησης γύρω στο % και οι διαδικασίες με υλικά γύρω στο 22%. Στις αφαιρέσεις 8-3 και 10-3, αν και προηγήθηκαν οι αντίστοιχες προσθέσεις 3+ και 7+3 που ευνοούσαν τη χρήση της διαδικασίας ανάκλησης μιας γνωστής πράξης, τελικά το ποσοστό των μαθητών που χρησιμοποίησε διαδικασίες ανάκλησης έφθασε μόνο το 30%. Ακόμη και σε αθροίσματα, όπως το 6+, που προσφέρονται για να επιλυθούν με υπολογισμό, ανακαλώντας γνωστές πράξεις, το ποσοστό το μαθητών που χρησιμοποιούν διαδικασίες ανάκλησης δεν ξεπερνά το 39%. - Είδαμε επίσης ότι το άθροισμα 7+3, που είναι ένα βασικό άθροισμα ως συμπλήρωμα του 10 και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό πολλών άλλων πράξεων (διαδικασία περάσματος της δεκάδας), μόνο το 21,% το βρίσκει σωστά με τη διαδικασία της άμεσης ανάκλησης. Το άθροισμα αυτό, όταν παρουσιάζεται σε διψήφιο αριθμό, όπως το 17+3, το ποσοστό των μαθητών που το βρίσκουν σωστά χρησιμοποιώντας διαδικασίες ανάκλησης γίνεται ακόμη πιο μικρό, δηλαδή 14,%. - Είναι γνωστό σήμερα από διάφορες έρευνες ότι τα διπλά αθροίσματα της μορφής ν+ν λόγω της γλωσσικής τους ιδιομορφίας, κατά την οποία επαναλαμβάνεται δύο φορές ο ίδιος αριθμός-λέξη καθώς και οι διαφορές ν-ν και 2ν-ν αποθηκεύονται εύκολα και πολύ νωρίς στη μνήμη μακράς διάρκειας 3. Η μάθηση αυτών των πράξεων είναι πολύ σημαντική, διότι στην συνέχεια οι πράξεις 2 Σε παρόμοια συμπεράσματα καταλήγει και η έρευνα των Σ. Καφούση και Β. Ντζιαχρήστου, σελ. 70-71 (1997). 3 J. Groen & J.M. Parkman, (1972). S.S. Woods, L.B. Resnick & G. J. Groen, (197). J.P. Fisher, (1992).
αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάσεις για τους υπολογισμούς πιο σύνθετων πράξεων. Για παράδειγμα, στις πράξεις που προτείναμε μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο 6+, το 14+4 και το 16-6. Από τις επιδόσεις των μαθητών που παρουσιάσαμε προηγουμένως διαπιστώσαμε ότι αυτοί, ενώ γνωρίζουν αρκετά καλά και χρησιμοποιούν διαδικασίες άμεσης ανάκλησης για τα μικρά διπλά αθροίσματα, όπως το 4+4, δεν κάνουν το ίδιο προκειμένου για μεγάλα διπλά αθροίσματα, όπως το 7+7 και το 9+9. Για τις αντίστοιχες αφαιρέσεις επίσης η επίδοση των μαθητών δεν ήταν ικανοποιητική. Στις αφαιρέσεις 4-4 και 8-4 μόνο το 70% και το 0% των μαθητών αντίστοιχα χρησιμοποιούσαν διαδικασίες ανάκλησης και έβρισκαν το σωστό αποτέλεσμα το 63,% και το 47,% αντίστοιχα. Όταν το διπλό άθροισμα ή η διαφορά εμφανίζονταν σε διψήφιο αριθμό, όπως οι περιπτώσεις 14+4 και 16-6, οι μαθητές δεν το εκμεταλλεύονταν αυτό ώστε να διεκπεραιώσουν ένα υπολογισμό. Στις ερωτήσεις αυτές τα ποσοστά επιτυχίας και η χρήση διαδικασιών ανάκλησης ήταν πολύ χαμηλά. Η συμπεριφορά των μαθητών δεν διαφοποροιούταν σε αυτές τις ερωτήσεις σε σχέση με άλλες του ίδιου μεγέθους αριθμών. - Στα αθροίσματα της μορφής 10+ν (10+4 και 10+6) μόλις το 0% των μαθητών χρησιμοποίησε τις διαδικασίες ανάκλησης. Η συμπεριφορά των μαθητών στις ερωτήσεις αυτές, καθώς και στην 16-6, δείχνει τη γνώση των μαθητών σχετικά με μια από τις βασικές αρχές του δεκαδικού συστήματος, που μαθαίνουν την περίοδο αυτή: Το άθροισμα μιας δεκάδας και ενός μονοψήφιου αριθμού συγκροτεί ένα διψήφιο αριθμό. Για την έκφραση αυτού του διψήφιου αριθμού βοηθάει η ελληνική γλώσσα, γιατί η λέξη του αριθμού αυτού συντίθεται από τους δύο αριθμούς-λέξεις των προσθετέων (δέκα + τέσσερα = δεκατέσσερα). Η συμπεριφορά των μαθητών δείχνει ότι ένα μεγάλο ποσοστό από αυτούς έχει αδυναμία να χειριστεί νοερά τις πράξεις αυτές, που είναι θεμελιώδεις για τη συγκρότηση των διψήφιων αριθμών και αποτελούν βασικές πράξεις τις οποίες μπορούν να χρησιμοποιούν, για να υπολογίζουν νοερά άλλες πράξεις. Είναι γνωστό βεβαίως ότι τα παιδιά σε μια πρώτη φάση επαφής με τους αριθμούς και τις πράξεις αλλά και για αρκετό καιρό κατόπιν, έχουν ανάγκη από αντικείμενα ή τα δάκτυλά τους, για να αναπαριστάνουν τις αριθμητικές πράξεις. Επίσης αρκετά παιδιά, από την αρχή και χωρίς την παρέμβαση της διδασκαλίας μπορούν να χειρίζονται με ευχέρεια την ακολουθία των αριθμών και να υπολογίζουν νοερά ή με τα δάκτυλα μετρώντας επάνω στην αριθμογραμμή χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές διαδικασίες. Το πέρασμα σε ένα επίπεδο (3ο επίπεδο, που αναφέρουμε στην εισαγωγή) νοερών υπολογισμών, στο οποίο χρησιμοποιούνται γνωστές πράξεις και οι σχέσεις των αριθμών γνωρίζουμε ότι δεν είναι εύκολο για όλους τους μαθητές. Οι μαθητές δεν κινούνται όλοι με τους ίδιους ρυθμούς και δεν ακολουθούν όλοι μια γραμμική εξέλιξη από τα αντικείμενα, στις αριθμήσεις επάνω στην ακολουθία των αριθμών και στη συνέχεια στους νοερούς υπολογισμούς. Πιστεύουμε ότι είναι ευθύνη και καθήκον της διδασκαλίας να διαμορφώνεται κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να οδηγούνται οι μαθητές προοδευτικά στον υπολογισμό χρησιμοποιώντας νοερές διαδικασίες. Το ερώτημα βεβαίως παραμένει ανοιχτό, αν πράγματι η διδασκαλία της πρώτης αρίθμησης στη χώρα μας ανταποκρίνεται σε αυτήν την προσδοκία. Αν μελετήσει κάποιος το σχολικό βιβλίο της Α τάξης, το οποίο βεβαίως στηρίζεται και εκφράζει το επίσημο αναλυτικό πρόγραμμα διαπιστώνει, ότι η κυρίαρχη μέθοδος υπολογισμού για τις πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης από την αρχή μέχρι το τέλος της χρονιάς είναι η μέτρηση βήμα-βήμα (ευθέως ή αντιστρόφως) επάνω στην αριθμογραμμή. Η πλειοψηφία των εφαρμογών των πράξεων συνοδεύονται από εικονικές αναπαραστάσεις αντικειμένων τα οποία οι μαθητές μπορούν να καταμετρήσουν. Η εικονική αναπαράσταση αντικειμένων σε ασκήσεις πράξεων παρουσιάζεται σε υπερβολικό βαθμό από την αρχή μέχρι το τέλος της σχολικής χρονιάς. Η μέθοδος διδασκαλίας με την αριθμογραμμή σε συνδυασμό με την έντονη εικονική αναπαράσταση αντικειμένων αποτελούν εμπόδιο στο πέρασμα των μαθητών από την καταμέτρηση στους νοερούς υπολογισμούς. Οι διάφορες πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης ασκούνται με μια χρονική σειρά η οποία λαμβάνει υπόψη μόνο το μέγεθος των αριθμών. Παραγνωρίζεται αντίθετα η δυνατότητα ευκολότερης μάθησης κάποιων αθροισμάτων ή διαφορών λόγω της γλωσσικής τους ιδιομορφίας
γνώση η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια για τη δόμηση άλλων πράξεων. Κατά τη γνώμη μας θα πρέπει να αλλάξει η σειρά παρουσίασης των διαφόρων αθροισμάτων και διαφορών και να δοθεί έμφαση στη μάθηση αυτών που είναι γλωσσικά εύκολα και θεμελιώδης για υπολογισμούς άλλων πράξεων. Τέτοιες πράξεις είναι τα διπλά αθροίσματα ν+ν, οι διαφορές ν-ν και 2ν-ν, τα αθροίσματα της μορφής 10+ν, 1ν+ν και οι διαφορές 1ν-ν. Επίσης θα πρέπει να δοθεί έμφαση στη μάθηση των συμπληρωμάτων του δέκα, για να χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια στους υπολογισμούς άλλων πράξεων με τη διαδικασία του περάσματος της δεκάδας. Όσον αφορά στην ικανότητα των μαθητών για λύση λεκτικών προβλημάτων παρατηρήσαμε στα προηγούμενα ότι περίπου το 7% των μαθητών είναι ικανοί να επιλύουν ένα πρόβλημα πρόσθεσης ή αφαίρεσης με απλή σημασιολογική δομή. Τα προβλήματα αυτά χαρακτηρίζονται εύκολα, γιατί δεν δημιουργούν δυσκολία τον μαθητή ως προς την πράξη που θα επιλέξει για την επίλυσή τους. Επομένως τα λάθη των μαθητών στα προβλήματα αυτά προέρχεται από την αδυναμία τους στην εκτέλεση των πράξεων. Περίπου το ένα τρίτο των μαθητών ήταν ικανοί να επιλύσουν ένα πρόβλημα με δύσκολη σημασιολογική δομή. Τα προβλήματα αυτά ήταν τέτοια ώστε οι μαθητές θα έπρεπε να προβληματιστούν ως προς την επιλογή της κατάλληλης πράξης. Το μεγαλύτερο ποσοστό των λαθών των μαθητών προέρχονταν από την εσφαλμένη επιλογή πράξης και από την αδυναμία κατανόησης της δομής του προβλήματος. Κατά την επίλυση ενός λεκτικού προβλήματος η επιτυχία του μαθητή κρίνεται κυρίως σε δύο βασικά σημεία: Πρώτον στην κατανόηση της δομής του προβλήματος, τη διάκριση των κατάλληλων δεδομένων και τη μοντελοποίηση τους με τη μορφή αριθμητικών πράξεων. Δηλαδή επιλογή των κατάλληλων αριθμητικών πράξεων. Δεύτερον στην ικανότητα εκτέλεσης των αριθμητικών πράξεων που επιλέχθηκαν. Από παιδαγωγικής πλευράς το πρώτο σημείο είναι το ουσιαστικότερο και ίσως το πιο σημαντικό που μας προσφέρει η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων. Στο δεύτερο σημείο οι μαθητές μπορούν να εξασκηθούν με την εκτέλεση απλών ασκήσεων στις πράξεις. Πολλές φορές σε ένα πρόβλημα μπορούμε να μειώνουμε τη δυσκολία της εκτέλεσης των πράξεων, δίνοντας αριθμητικά δεδομένα τέτοια που η εκτέλεση των πράξεων δε θα δυσκολεύει τους μαθητές. Έτσι δείνουμε έμφαση στο πρώτο σημείο δηλαδή την επιλογή των κατάλληλων πράξεων. Εξετάζοντας τα προβλήματα που περιέχονται στο σχολικό βιβλίο μπορούμε να κάνουμε τις εξής επισημάνσεις: Η πλειοψηφία των προβλημάτων όσον αφορά τη σημασιολογική τους δομή είναι του τύπου αυτών που χαρακτηρίσαμε εύκολα προβλήματα. Τα προβλήματα αυτά δεν δημιουργούν δυσκολίες στους μαθητές ως προς την επιλογή της αριθμητικής πράξης και γενικά δεν οδηγούν τους μαθητές να σκεφτούν. Πιστεύουμε ότι στα αναλυτικά προγράμματα και στα βιβλία της Α τάξης του Δημοτικού αλλά και των άλλων τάξεων χρειάζεται μια ριζική αναδιάρθρωση όσον αφορά τη διδασκαλία των προβλημάτων. Στα πλαίσια αυτής της αναδιάρθρωσης πρέπει να εμπλουτιστεί η θεματολογία και οι διάφοροι τύποι των προβλημάτων. Να συμπεριληφθούν δηλαδή προβλήματα έρευνας, προβλήματα με τα οποία διδάσκονται κάποιες ικανότητες σχετικά με τη μεθοδολογία επίλυσης ενός προβλήματος, όπως η ικανότητα αναγνώρισης και επιλογής των κατάλληλων δεδομένων, χωρισμός σε υπό-προβλήματα κτλ. Πρέπει επίσης να επανεξεταστεί η χρονική σειρά της παρουσίασης των διαφόρων προβλημάτων και να διαχωριστούν οι διάφοροι τύποι προβλημάτων: προβλήματα εισαγωγής μιας έννοιας, προβλήματα απλής εφαρμογής της έννοιας, προβλήματα εμβάθυνσης και σύνδεσης με άλλες έννοιες κτλ. Οι πλειοψηφία των προβλημάτων που παρουσιάζονται στα σημερινά βιβλία είναι προβλήματα απλής εφαρμογής της έννοιας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - Carpenter, T.P. - Moser, J.M.,1982, The development of addition and substraction problemsolving skills. In Carpenter, T.P. - Moser, J.M. - Romberg, T.P. (Ed.). Addition and Sustraction. A cognitive perspective. Hillsdale, Erlbaum. - Fischer, J.P., 1992, Apprentissages numeriques. Nancy. Presses Universitaires de Nancy.
- Fuson, K. C.,1992, Research on whole number addition and subtraction. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 243-27). New York: Macmillan. - Groen, J. & Parkman, J.M.,1972, A chronometric analysis of simple addition. Psychological Review, Vol. 79, No 4, pp. 329-343. - Καφούση, Σ, Ντζιαχρήστος, Β.,1997, Οι μαθηματικές γνώσεις των παιδιών της Πρώτης τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Παιδαγωγική έρευνα του Πανεπιστημίου Αθηνών. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης. Τομέας Μαθηματικών και Πληροφορικής. - Λεμονίδης, Χ.,1994 α, Γιατί και πώς χρησιμοποιούν οι μαθητές τα δάκτυλά τους στην εκτέλεση απλών προσθέσεων και αφαιρέσεων. Περιοδικό Διάσταση 2-3, Θεσ/νίκη. - Λεμονίδης, Χ.,1994 β, Περίπατος στη Μάθηση της Στοιχειώδους Αριθμητικής. Εκδόσεις Αδελφών Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη. - Vergnaud, G.,1982, A classification of cognitive tasks and operations of thougth involved in addition and subtraction problems. In Carpenter, T.P. - Moser, J.M. - Romberg, T.P. (Eds.), Addition and Sustraction. A cognitive perspective. Hillsdale, Erlbaum. - Woods, S.S., Resnick, L.B., & Groen, G.J., 197, An experimental test of five process models for subtraction. Journal of Educational Psychology, 67, pp. 17-21.