ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε, την τρέπουµε στην κανονική της µορφή (αν δεν είναι) που είναι η α +β+γ=0, α 0. Η ποσότητα =β -4αγ λέγεται ΙΑΚΡΙΝΟΥΑ της εξίσωσης. Η σπουδαιότητα της φαίνεται στα παρακάτω: =β -4αγ >0 Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: α +β+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους 1, = β± α =0 Έχει ΜΙΑ ρίζα (διπλή) την 0 = β α <0 εν έχει πραγµατικές ρίζες. 5.. Αν 1, είναι ρίζες της εξίσωσης ( 0) τότε ισχύει: β S= 1 + = (1) (Άθροισµα ριζών) α P= 1 = α γ () (Γινόµενο ριζών) Αποδείξεις -β+ -β- -β+ -β- -β -β (1): 1 + = + = = = α α α α α -β+ -β- (-β+ )(-β- ) β -( ) β - β -(β -4αγ) (): 1 = = = = = = α α 4α 4α 4α 4α β β + 4αγ 4αγ γ = = =. 4α 4α α Παρατήρηση: Παρατηρώ ότι µε τους τύπους (1) και () µπορώ να βρω το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών µιας εξίσωσης β βαθµού χωρίς να γνωρίζω τις ρίζες της. Πρόβληµα: Βρείτε την εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθµού 1 και. ΥΗ β Έστω S= 1 + και P= 1. Γνωρίζω ότι: S= α και P= α γ. Έχουµε: α β γ β γ α +β+γ=0 (α 0) + + =0 - - + =0 -S+P=0 α α α α α που είναι η ζητούµενη εξίσωση. ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 39 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 - Εξισώσεις και συστήµατα που ανάγονται στη λύση εξίσωσης β βαθµού α. Εξισώσεις: Περίπτωση 1 η - Εξισώσεις µε απόλυτες τιµές π.χ. -3-10=0 (E) Θέτω =y>0 οπότε η (Ε) γίνεται -3-10=0 y -3y-10=0 y 1 =5 δεκτή και y =- απορρίπτεται Άρα =5 =±5 Περίπτωση η - Ρητές εξισώσεις τις εξισώσεις αυτές κάνω απαλοιφή παρονοµαστών και παίρνω εξίσωση β βαθµού που συνοδεύεται από τους περιορισµούς που επιβάλουν τους παρονοµαστές να είναι διάφοροι του 0. 8 3 1 π.χ. = 4 + Περίπτωση 3 η - ιτετράγωνες εξισώσεις της µορφής α 4 +β +γ=0 (α 0) Κάνω πάντα τον µετασχηµατισµό =y>0. Η εξίσωση γίνεται αy +βy+γ=0 από την οποία κρατώ µόνο τις θετικές ρίζες (αν υπάρχουν) και κατόπιν από τον µετασχηµατισµό βρίσκω τον άγνωστο. β. υστήµατα: Ακολουθώ τη µέθοδο της αντικατάστασης όπου παίρνω εξίσωση β βαθµού ως προς τον έναν άγνωστο. υνεπώς ένα τέτοιο σύστηµα µπορεί να έχει µέχρι και δύο ζεύγη λύσεων. y 5 π.χ. να λυθεί το σύστηµα: + = () y = 1 5.3. Παραγοντοποίηση τριωνύµου f()=α +β+γ Έχουµε τρεις περιπτώσεις: α. Αν >0 και 1, οι ρίζες του τριωνύµου, τότε αυτό µετατρέπεται σε γινόµενο δύο παραγόντων και παίρνω: α +β+γ=α(- 1 )(- ). β. Αν =0 και 0 η (µοναδική) ρίζα του, το τριώνυµο µετατρέπεται σε τέλειο τετράγωνο, οπότε παίρνω: α +β+γ=α(- 0 ). γ. Αν <0 το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται. 5.4. Μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=α +β+γ, α 0 το κεφάλαιο των συναρτήσεων είδαµε ότι η f()=α είναι παραβολή µε κορυφή το (0,0) και άξονας συµµετρίας τον y y µε εξίσωση =0. Η γραφική παράσταση της f()=α +β+γ είναι πάλι παραβολή µε κορυφή το σηµείο β, α 4α και άξονας συµµετρίας την ευθεία µε εξίσωση = α β. Παρατήρηση: Η παραβολή αυτή τέµνει τον άξονα τον στα σηµεία 1, που είναι ρίζες της α +β+γ=0 (αν υπάρχουν ρίζες, γιατί αλλιώς η παραβολή δεν τέµνει τον ). Επίσης η παραβολή τέµνει (πάντα) τον άξονα y y στο σηµείο y=γ. ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 40 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 Οι διάφορες περιπτώσεις που έχουµε φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα: (1),(),(3),(4),(5) και (6). y (1) y () y (3) α>0 >0 α>0 =0 α>0 <0 γ γ γ Ο y 1 Ο y 0 Ο y Πίνακας µελέτης της f()=α +β+γ, α>0 - f()=α +β+γ α>0 β α 4α ελάχιστο + y y y 1 Ο γ (4) Ο γ 0 (5) Ο γ (6) y α<0 >0 y α<0 =0 y α<0 <0 Πίνακας µελέτης της f()=α +β+γ, α<0 - f()=α +β+γ α<0 β α 4α + Πρόσηµο της f()=α +β+γ Ανισώσεις β βαθµού (Γενικά) I. Αν >0 η γραφική παράσταση της f φαίνεται στα σχήµατα (1) και 4). Για το τριώνυµο f() έχω: - 1 + οµόσηµο ετερόσηµο οµόσηµο f() του α του α του α II. Αν =0 η γραφική παράσταση της f φαίνεται στα σχήµατα () και (5). Για το τριώνυµο f() έχω: f() - οµόσηµο του α β α οµόσηµο του α + ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 41 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 III. Αν <0 η γραφική παράσταση της f φαίνεται στα σχήµατα (3) και (6). Για το τριώνυµο f() έχω: f() - + παντού οµόσηµο του α 5.5. Ανισώσεις β βαθµού (ειδικές περιπτώσεις) Ανισώσεις της µορφής α +β+γ, ><0 Η επίλυση στηρίζεται στην εύρεση του προσήµου του τριωνύµου α +β+γ. Τέλος, κρατώ το διάστηµα εκείνο (υποσύνολο του IR) που µας ενδιαφέρει (αν υπάρχει - αν δεν υπάρχει η ανίσωση είναι αδύνατη). Παράδειγµα: Να λυθεί η ανίσωση: - ++3<0 ύση = -4.(-1).3=4=1=16 Ρίζες: 1 =-1, =3 Έχω: - -1 3 + - ++3 - + - Άρα η λύση είναι: <-1 ή >3 ή (, 1) ( 3, + ). α. Ανισώσεις της µορφής Α().B() Φ()><0 Η επίλυση γίνεται βρίσκοντας το πρόσηµο κάθε πολυωνύµου ξεχωριστά και κάνοντας τον συγκεντρωτικό πίνακα που δίνει το πρόσηµο του γινοµένου. Παράδειγµα: Να λυθεί η ανίσωση: (-3)(- ++3)( -4+4)<0 ύση Βρίσκω τις ρίζες των τριών παραγόντων: -3=0 =3 = 3 - ++3=0, >0 1 =-1 και =3-4+4=0, =0 = χηµατίζω κατόπιν τον συγκεντρωτικό πίνακα στον οποίο φαίνονται τα σηµεία µηδενισµού και τα πρόσηµα όλων των παραγόντων καθώς και τα πρόσηµα του γινοµένου (Γ): - 3-1 3 + -3 - - + + + - ++3 - + + + - +4+4 + + + + + Γ + - + + - ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 4 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 3 1, 3,. 3 Άρα η ανίσωση αληθεύει για: -1<< ή >3 ή ( + ) Α() β. Ανισώσεις της µορφής ><0 B() Α() Η επίλυση γίνεται µε βάση την ισοδυναµία: ><0 Α().B()><0 γιατί το B() πηλίκο και το γινόµενο δύο αριθµών είναι οµόσηµα. Έτσι αναγόµαστε στην προηγούµενη µορφή που λύνεται κατά τα γνωστά. Α() Α() Ειδική περίπτωση: 0 ή 0 B() B() Ανάγονται στην επίλυση των ανισώσεων: Α().B() 0 µε Β() 0 ή Α().B() 0 µε Β() 0 γ. υστήµατα ανισώσεων (υναληθεύουσες) Η επίλυση γίνεται λύνοντας κάθε ανίσωση χωριστά και συναληθεύοντας τα αποτελέσµατα. Η συναλήθευση γίνεται στον άξονα των πραγµατικών αριθµών µε ανισοϋψή διαστήµατα. Παράδειγµα: <3 (1) Να λυθεί το σύστηµα: +3-4<0 () ύση Η (1) είναι λυµένη. Η (): Ρίζες 1 =-4, =1 οπότε η λύση της () είναι: -4<<1. Άρα η λύση του συστήµατος είναι: Άρα: -4<<1 - -4 1 3 + δ. Ανισώσεις της µορφής A() B() Γ() Η επίλυση στηρίζεται στην ισοδυναµία: A() B() Γ() A() B() B() Γ() Έτσι, αναγόµαστε στην επίλυση ενός συστήµατος και δουλεύουµε όπως προηγουµένως. Ασκήσεις 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 8 +64=0 β) -50=0 γ) (+5) -11=0 δ) (+3) -(+3)(+4)=5(+3) ε) (+ 3 ) -( 3 +1)+ 3-1=0 ζ) -4( + 3 )+15+6 6 =0 η) β -αβ +α β -1=0 θ) (α -β ) -(α +β )+α -β =0 ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 43 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ι) βγ -(αβ+αγ-βγ)+α +βγ=α(β+γ) α β κ) = ( α) (+ β) ιερεύνηση δευτεροβάθµιας εξίσωσης. i) Να βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων: -4+4=0, 3 -+5=0, --1=0, ++1/=0. ii) ίνεται η εξίσωση α +β+γ=0 µε α 0και γ<0. είξτε ότι η εξίσωση αυτή έχει πάντα δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. iii) ίνονται οι εξισώσεις α +β+γ=0, α +β-γ=0 και -α +β-γ=0, α 0. Αν οι διακρίνουσες των εξισώσεων αυτών έχουν άθροισµα µηδέν, να βρείτε το β. 3. Να προσδιορίσετε το λ R, ώστε η εξίσωση -4+λ=0: α) Να έχει διπλή ρίζα, β) να µην έχει πραγµατικές ρίζες. 4. ίνεται η εξίσωση +λ+λ -1=0. i) Να αποδείξετε ότι γα κάθε λ R η εξίσωση αυτή έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. ii) Να βρείτε τις τιµές του λ, ώστε και οι δύο ρίζες της εξίσωσης να ανήκουν στο διάστηµα (-, 4). 5. ίνεται η εξίσωση +(λ+1)+ 6 3λ = 0. α) Nα βρείτε το λ R, ώστε η εξίσωση αυτή να έχει ρίζα το 1. β) Για τη µεγαλύτερη τιµή του λ που βρήκατε στο ερώτηµα α) να βρείτε το µ R ώστε η εξίσωση -λ+µ =0, να έχει διπλή ρίζα. 6. Για ποιες τιµές του λ R, η εξίσωση λ -(λ-1)+λ+5=0, λ 0, έχει διπλή ρίζα; Να βρεθεί η ρίζα αυτή. 7. Να βρείτε τις τιµές του λ R για τις οποίες η εξίσωση (λ-1) +(λ-)+λ=0 είναι αδύνατη. Άθροισµα και γινόµενο ριζών Τύποι Vieta. 8. Αν 1 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης -5-3=0, τότε, χωρίς να βρεθούν οι ρίζες αυτές : i) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α) 1 +, β) 1, γ) 1 + 1 1, δ) +. 1 β) Να κατασκευαστεί η εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθµούς και. 1 1 9. Αν 1 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης 3-5+1=0, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: i) 1 + 1, ii) 3 1 + 3, iii) 3 1 + 1 3 1 1, iv) +. 1 1 ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 44 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 10. Να βρεθούν οι εξισώσεις που έχουν ως λύσεις τα ζεύγη των αριθµών: 1 3 α) και, β ) 3 1και 3+ 1, γ ) 4και 3, δ ) και. 3 11. Αν 1 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης -4+5=0, να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθµούς: α) 1 + και +, β) 1 και. 1. Αν 1 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης α +β+γ=0, α 0, να αποδείξετε ότι α 1 =. 13. ίνονται οι εξισώσεις α +β+γ=0, α 0, (1) και +S+P=0, όπου S και P οι ρίζες της (1). Να αποδείξετε ότι S -4P=. α 14. Αν 1 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης -+λ=0, να βρεθεί το λ ώστε να ισχύει: i) 1 + > 1 +, ii) 1 + < 3 1 + 3 1 +, iii) >1-1. + 1 15. Αν 1 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης -µ+λ=0, να βρεθούν τα λ και µ ώστε α ( 1+ )+1=31 ισχύει: 1+ 1 1 - = 3 6 16. ίνεται η εξίσωση -(1-λ)+3λ- =0(1). α)nα βρείτε το λ R ώστε το γινόµενο των ριζών της (1) να είναι διπλάσιο από το άθροισµά τους. β) Αν 1 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1) για την τιµή του λ που βρήκατε στο ερώτηµα α), να βρείτε την εξίσωση δευτέρου βαθµού που έχει ρίζες τους 1 1 αριθµούς και. 1 17. Αν 1 και είναι οι ρίζες της εξίσωσης -3+λ=0, να βρεθεί το λ R ώστε να ισχύει: 1 3 + 3 =. 18. Ένα ορθογώνιο έχει εµβαδόν 16 τ.µ. και περίµετρο 0 µ. Να βρεθούν οι διαστάσεις του. 19. Να λυθεί η εξίσωση - +S=0, όπου η διακινούσα και S το άθροισµα των ριζών της. Εξισώσεις και συστήµατα που ανάγονται στη λύση δευτεροβάθµιας εξίσωσης 0. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (+α)(-β)+αβ= β) + α + β + = + γ = 3 α β γ ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 45 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 γ) - 7 +=0 δ) -8 +15=0 ε) (+7) -4 +7-1=0 ζ) - -3 =+13 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (+3) 1 1-4 +3 =5 β) + + + 1= 0 γ) 6 6 + 7 + 6= 0 4-7 4 7 δ) 6 + 5 = 0 + 6 + 6 + 5 4 4+ + 9 7 7(+ 13) ε) = ζ) + = 3(-) (+ 1) -- + 3-3 -9 η) 64 4-5 +9=0 θ) 4-1 -64=0 + 1 19 ι) + = κ) = 1 1 + 10 3+ 3 1 λ) = µ) + = (+ 1) 9 (-1) 1 ν) ( -3) +3( -3)+=0 ξ) ( +3-1) -5( +3+3)+4=0. Να λυθούν τα συστήµατα: y 34 α) + = + y = 8 + y 3+ y= 11 γ) 5 y= + y+ y= 3 ε) (+ y)y= 16 + y= 10 β) + y= 7 + y = 17 δ) y= 4 + y + + y= 4 ζ) y + y= 18 3. i) Για τους πραγµατικούς αριθµούς και ψ ισχύει: + ψ = και ψ 0. ψ Να υπολογίσετε την τιµή του λόγου. ψ ii) Όµοια αν ισχύει 4-5ψ+ψ =0, µε ψ 0, να υπολογίσετε την τιµή του λόγου. ψ Παραγοντοποίηση τριωνύµου 4. Να γίνουν γινόµενα παραγόντων τα τριώνυµα: α) f()= -11-4 β) g()= 4 8 + γ) h()= -3+7 δ) f()= -10α+9α ε) g()= +16λ+63λ ζ) f()=1-3y+10y ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 46 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 5. Να απλοποιηθούν τα κλάσµατα: 4+ 3 α) Α= 5+ 4 6 + 13+ 6 γ) Κ= 6 6α + 17αβ+ 1β ε) 3α + 10αβ+ 8β β 4α(α-β) 3β η) 4α+ 4α -β 3+ β) Α= 4+ 4 α 6α δ) 7α+ 1α αβ (α + β )+ αβ ζ) αβ (α β ) αβ 6. Να βρεθεί ο λ IR ώστε το τριώνυµο -10+λ να ισούται µε (-1)(-9). 7. Να βρεθεί ο κ IR ώστε οι ρίζες του τριωνύµου f()= -(4µ-1)+µ-3κ να είναι ρητές εκφράσεις του µ. 8. Να βρεθεί ποια από τα τριώνυµα µετασχηµατίζονται σε διαφορά και ποια σε άθροισµα δύο τετραγώνων. α. f()= -7-15 β. f()= -κ+9λ +κ γ. f()=3 +5- δ. f()= -α+11β +α 9. Να βρεθεί ποια από τα τριώνυµα µετασχηµατίζονται σε διαφορά και ποια σε άθροισµα δύο τετραγώνων: α. f()= -7-15 β. f()= -κ+9λ +κ γ. f()=3 +5- δ. f()= -α+11β +α 30. Να απλοποιηθούν τα κλάσµατα: 4+ 3 α) 5+ 4 6 + 13+ 6 γ) 6 6α + 17αβ+ 1β ε) 3α + 10αβ+ 8β η) β 4α(α β)-3β 4α+ 4α β β) δ) ζ) + 3 4+ 4 α 6α 7α+ 1α αβ + (α + β )+ αβ αβ (α β ) αβ 31. Να βρεθεί ο λ IR ώστε τα τριώνυµα να γίνονται τετράγωνα πρωτοβάθµιων πολυωνύµων: α. f()= -λ+λ -5λ+8 β. f()= -(3λ-1)+λ -9 γ. f()=(λ+) -5(-λ)+λ+ δ. f()= -5+λ-3 Μελέτη- γραφική παράσταση τριωνύµου 3. Να γίνει µελέτη και γραφική παράσταση των συναρτήσεων: α) f()= -4+3 β) f()= - γ) f()=- +-5 δ) f()= ++3 ε) f()= -3 ζ) f()= +4 ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 47 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 33. Να βρεθούν τα α,β της f()=α +(α-)+β, αν για =- έχει µέγιστο το 3. 34. Αν η παραβολή y= +α+β έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία =5 και τέµνει τον άξονα y y στο (0,9) να βρεθούν τα α,β. 35. Να βρεθούν τα α,β,γ της f()=α +β+γ, αν η καµπύλη της τέµνει τον άξονα y y στο -1, τον άξονα στο 6 και για = έχει ελάχιστο. 36. Να γίνει η µελέτη και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση, αν 3 f()=. 6, αν > 3 37. Να βρεθεί το ελάχιστο της f()=(α+β) +(γ+δ), όπου α,β,γ,δ ΙR και α 0 ή γ 0. 38. Να βρεθεί το µέγιστο ή ελάχιστο των τριωνύµων: α. f()= -13+40 β. g()=- -5-16 Πρόσηµο τριωνύµου- ανισώσεις β βαθµού 39. Να βρεθούν οι τιµές του κ ώστε το τριώνυµο f()=- +-+7κ να παίρνει θετικές τιµές για κάθε. 40. Να δειχθεί ότι το τριώνυµο f()= +λ+5λ, λ ΙR είναι θετικό για όλες τις πραγµατικές τιµές του. 41. είξτε ότι το τριώνυµο f()=- +-3λ -5 είναι αρνητικό για κάθε λ ΙR. 4. είξτε ότι το τριώνυµο f()= -(λ+)-5 έχει πάντα δύο ρίζες πραγµατικών και άνισες για κάθε λ ΙR. 43. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτηση: α. f()= 3+ 3 β. f()= 4 - + 6+ 8+ 3 4+ 3 44. Να βρεθεί το πρόσηµο των τιµών της συνάρτησης για τις διάφορες πραγµατικές τιµές του. α. f()=-4-7+ β. f()=- +3-5 γ. f()= -9+14 45. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) -11+10>0 β) +-15<0 γ) 9-30+5<0 δ) -4+9>0 ε) (3-)( -9+0)(- +3-8)<0 ζ) ( -4)( -5+6)( +4+13)>0 η) ( 3-3 +3-1)( -5-3)>0 θ) ( -7+1)( -5+6)( ++5) 0 46. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) ( 8+ 7)( 3+ 9) 4 <0 β) 3 > 4 + 3 + 4 ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 48 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 +7-7 -10 γ) + + --6-4+3 +- >0 δ) (+ 9) + 81 < (+ 1) + 1 1 ε) 1< < 1>0 ζ) - 3 3 7 + 4 ( ) 3 >0 47. Να λυθούν τα συστήµατα: 6 16= 0 α) 8+ 15= 0 + 6 > 0 β) + < ( 1+ 4) > 4 ( 11) 9( 5) 0 4+ 5 γ) < < 5 1+ - 3> 0 δ) 1> 0 - + 7 1< 0 1 > 0 ε) 3+ ( 9)( + + 5) < 0, 1 ± 5 Ερωτήσεις τύπου «ΩΤΟ ΑΘΟ» 1. Μία δευτεροβάθµια εξίσωση δεν είναι ποτέ αόριστη.. Αν αγ<0, τότε εξίσωση α +β+γ=0, έχει πάντα δυο ρίζες πραγµατικές και άνισες. 3. Αν >0, τότε οι εξισώσεις α +β+γ=0 και α -β+γ=0, έχουν ρίζες αντίθετες. 4. Αν β =4αγ, η εξίσωση α +β+γ=0, α 0, έχει µία ρίζα διπλή. 5. Η εξίσωση +8=0 έχει ρίζες τους αριθµούς και. 6. Η εξίσωση (α-)(α-1) -(α-4)+1=0 δεν µπορεί να έχει διπλή ρίζα. ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 49 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 7. Η εξίσωση ν -(ν+µ)+µ=0, ν, µ R, έχει ρίζες ρητούς αριθµούς. 8. την εξίσωση α +β+γ=0, α 0, ο αριθµός β α παριστάνει το άθροισµα των ριζών της. 9. Αν S και Ρ το άθροισµα και το γινόµενο αντίστοιχα των ριζών µίας εξίσωσης, τότε, η εξίσωση αυτή είναι η +S+P=0. 10. H εξίσωση -4-1=0 έχει S= και Ρ=-6. 11. Αν S=0 και P=14 µε S=+ψ και Ρ= ψ, τότε τα και ψ είναι ρίζες της εξίσωσης -40+8=0. 1. Μπορούµε να βρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς που να έχουν άθροισµα 4 και γινόµενο 6. 13. Μία δευτεροβάθµια εξίσωση για να έχει ρίζες ετερόσηµες πρέπει Ρ<0. 14. Η εξίσωση 5-8+5=0 έχει δύο ρίζες αντίστροφες. 15. Ένα τριώνυµο της µορφής f()=α +β+γ, α 0, γίνεται τέλειο τετράγωνο αν =0. 16. Αν <0, ένα τριώνυµο της µορφής f()=α +β+γ, α 0, µετατρέπεται σε γινόµενο δύο πρωτοβάθµιων παραγόντων. 17. Η συνάρτηση f()=α +β+γ, α 0, παριστάνει παραβολή ου τέµνει τον άξονα ψ ψ µέχρι και δύο φορές. 18. Η παραβολή f()=α +β+γ, α 0, εφάπτεται στον άξονα χ χ αν =0. 19. Οι ρίζες της εξίσωσης α +β+γ=0, α 0, είναι τα σηµεία τοµής της παραβολής f()=α +β+γ, µε τον άξονα χ χ. 0. Η παραβολή f()=α +β+γ, α 0, τέµνει τον άξονα ψ ψ στο σηµείο Α(-γ, 0). ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 50 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 1. Το σηµείο α 0. Κ -β -, α 4α είναι η κορυφή της παραβολής f()=α +β+γ,. Η παραβολή ( λ +1) -( λ-1) +9=0 παρουσιάζει ελάχιστο για κάθε τιµή του λ R. 3. Η ευθεία ψ=κ, τέµνει την παραβολή f()=α +β+γ, α 0, πάντα σε δύο σηµεία. 4. Η ευθεία =λ, τέµνει την παραβολή f()=α +β+γ, α 0, σε ένα το πολύ σηµείο. 5. Το τριώνυµο +5-8 είναι αρνητικό για κάθε R. 6. Η εξίσωση -5λ-λ-1=0 έχει για κάθε λ R, δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. 7. Η ανίσωση 4-3+8>0, αληθεύει για κάθε πραγµατικό αριθµό. 8. Oι ανισώσεις ( )( ) λύσεις. -4+3 - -4+3 0 και 0έχουν τις ίδιες - 9. Η ανίσωση (-5) 0 +3 είναι αδύνατη. 30. Η συνάρτηση - f() = έχει πεδίο ορισµού το σύνολο (-1, ). +1 31. Το τριώνυµο που έχει διακρίνουσα =κ -3κ+7 έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. *************** ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 51 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 Ερωτήσεις ΠΟΑΠΗ ΕΠΙΟΓΗ 1. Μία εξίσωση δευτέρου βαθµού έχει πραγµατικές ρίζες όταν: Α: <0, Β: >0, Γ: =0 : 0, Ε: 0.. Η εξίσωση -4+λ =0 έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες όταν: Α: -4<λ<4, Β: λ<, Γ: -<λ<, : λ>, Ε: λ. 3. Η εξίσωση -4-λ =0 έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες όταν: Α: : -4<λ<4, Β: λ<, Γ: λ>4, : λ R, Ε: λ<-4. 4. Η εξίσωση -( 1+ 5) + 5=0 έχει ρίζες τους αριθµούς: Α: =1, = 5, B: = -1, = - 5, Γ: = -1, = 5, : =1, = - 5. 5. Η εξίσωση (λ-1) -λ+λ-3=0 έχει διπλή ρίζα όταν: Α: λ= 3, Β: λ - 3, Γ :λ - 3, :λ>- 3, Ε :λ<- 3. 6. Αν η εξίσωση ++λ=0 δεν έχει πραγµατικές ρίζες, τότε η εξίσωση λ +λ+1=0: Α: έχει µία διπλή ρίζα, Β: δεν έχει πραγµατικές ρίζες, Γ: έχει το πολύ µία ρίζα στο R, : έχει στο R δύο ρίζες άνισες. 7. Αν οι αριθµοί α, β είναι ετερόσηµοι, τότε η εξίσωση +(α+β+γ)+3αβ=0 έχει: Α: >0, Β: <0, Γ: 0, : 0. 8. Οι ρίζες της εξίσωσης --56=0 (χωρίς να γίνουν πράξεις) είναι οι: Α: 7, 8, Β: -7, 8, Γ: -7, -8, : 7, -8, Ε: άλλες. 9. Αν α+β=4 και α β=-1, τότε τα α και β είναι ρίζες της εξίσωσης: Α: -4+1=0, B: -4-1=0, Γ: +4+1=0, : -1+4=0. 10. Oι αριθµοί 1 και 1 α+β είναι ρίζες της εξίσωσης: α+β+1 Α: + 1= 0, α+β Β: (α+β) +(α+β+1)+1=0, Γ: (α+β) -(α+β+1)+1=0, : -(α+β)+α+β=0. 11. Αν 1 και οι ρίζες της εξίσωσης -006+007=0, τότε η παράσταση ισούται µε: 006 007 1 1 1 Α:, Β :, Γ : +, :. 007 006 006 007 006 007 1 1 + 1 1. Το γινόµενο των ριζών της εξίσωσης -1 - =0 είναι ίσο µε: -1 Α: 1, Β:, Γ: 4, : -1, Ε: -. ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 5 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 13. Το τριώνυµο -3+10 γράφεται: Α: (-3)(-5), B: (-)(-5), Γ: (+5)(-), : -(-)(-5). 14. To τριώνυµο -λ+4 γίνεται τέλειο τετράγωνο όταν λ=: Α:, Β: -, Γ: ή 3, : ή, Ε: -3. 15. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=α +γ µε α 0 και γ<0προκύπτει από την γραφική παράσταση της g()=α µε: Α: κατακόρυφη µετατόπιση προς τα πάνω κατά γ, Β: κατακόρυφη µετατόπιση προς τα κάτω κατά γ, Γ: οριζόντια µετατόπιση προς τα δεξιά κατά γ, : οριζόντια µετατόπιση προς τα αριστερά κατά γ. 16. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=α(-γ) µε α 0 και γ>0προκύπτει από την γραφική παράσταση της g()=α µε: Α: κατακόρυφη µετατόπιση προς τα πάνω κατά γ, Β: κατακόρυφη µετατόπιση προς τα κάτω κατά γ, Γ: οριζόντια µετατόπιση προς τα δεξιά κατά γ, : οριζόντια µετατόπιση προς τα αριστερά κατά γ. 17. ίνεται η συνάρτηση f()=α +β+γ, α 0. α. Η γραφική παράσταση της f είναι πάντα παραβολή, β β. Παρουσιάζει ακρότατο για =-, α γ. Είναι άρτια για β=0, δ. Έχει στα διαστήµατα (-, 0) και ( 0, + ) διαφορετικό είδος µονοτονίας. Από τις προηγούµενες προτάσεις σωστές είναι οι: Α: 1, Β:, Γ: 3, : 4, Ε: καµία. 18. Για να έχει το τριώνυµο -6+9λ σταθερό πρόσηµο πρέπει: Α: λ>1, Β: λ>-1, Γ: λ=1, : λ<1, Ε: λ<-1. 19. Το τριώνυµο -(λ-1)+1 µπορεί να πάρει και αρνητικές τιµές όταν: Α: λ<0, Β: λ>4, Γ: λ<-4, : λ<0 ή λ>4. 0. Η συνάρτηση f()= - + 5-6+ 4 έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα: Α: [, 3], Β: (, 3), Γ: (, ] [3, + ), : (,) (3, + ). - 1. Η συνάρτηση f() = έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα: +1 Α: (-1, ), Β: (-1, ], Γ: R {} 1, : (, 1) [, + ).. Ένα τριώνυµο µε διακρίνουσα =λ -3λ+8 : Α: έχει δύο ρίζες άνισες, Β: έχει µία ρίζα διπλή, Γ: έχει δύο ρίζες άνισες αν λ>0 : δεν έχει πραγµατικές ρίζες. ************ ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 53 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΑΡΑΚΑΤΑΝΙΑ ΘΑΝΑΗ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ. ΙΩΚΟΥ 405- ΒΟΟ. ΤΗ: 41050413-6973306167