Παράδειγμα 1..1 Μία δέσμη πρωτονίων κινείται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μέτρου,0 Τ, που έχει την κατεύθυνση του άξονα των θετικών z, (Σχ. 1.4). Τα πρωτόνια έχουν ταχύτητα με μέτρο 3,0 10 5 m / s και κινούνται στο επίπεδο xz σε κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία 30 ο με τον άξονα των θετικών z. Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα πρωτόνιο (για το q = 1,6 10-19. Λύση : Ο κανόνας του δεξιού χεριού δείχνει ότι η κατεύθυνση της δύναμης είναι αυτή των αρνητικών y. Το μέτρο της δύναμης υπολογίζεται από την εξ. (1.1). Έτσι έχουμε: F q u B sin (1,6 10 4,8 10 19 14 (3,0 10 N 5 m / s) (T ) sin 30 Χρησιμοποιώντας την εξ. (1.) έχουμε : 5 u ( 310 m / s )[(sin 30 )i (cos 30 )k ] B Tk F q u B (, 19 5 5 1 6 10 C ) ( 310 m / s )[(sin 30 )i (cos 30 )k ] ( T )k ( 4, 810 N ) j (Επειδή i k j και k k 0 ) Αν η δέσμη αποτελείται από ηλεκτρόνια αντί από πρωτόνια, το φορτίο είναι αρνητικό (- q = 1,6 10-19 και η κατεύθυνση της δύναμης αντιστρέφεται, έτσι θα έχει το ίδιο μέτρο αλλά η φορά της θα είναι αυτή των θετικών y. Παράδειγμα 1.. Ομογενές μαγνητικό πεδίο, επαγωγής Β έχει οριζόντια διεύθυνση και φορά από νότο προς βορά, το μέτρο του είναι 1,5 weber / m. Αν πρωτόνιο με ενέργεια 5,0 MeV κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω μέσα στο πεδίο, ποια δύναμη ασκείται πάνω του; Λύση : Η κινητική ενέργεια του πρωτονίου είναι K (5,0 10 6 ev ) (1,6 10 19 j / ev ) 8,0 10 Η ταχύτητά του μπορεί να βρεθεί από τον τύπο της κινητικής ενέργειας Κ=m u / ή 13 j
13 10 j 3,1 10 m s K 8,0 7 u / 7 m 1,7 10 Kgr Η δύναμη είναι F q u B sin (1,6 10 19 (3,1 10 7 m/ s) (1,5 weber / m ) sin90 7,4 10 1 N Η κατεύθυνση της δύναμης με βάση τη εξ. (1.) είναι προς την ανατολή. Παράδειγμα 1..3 Ένα ηλεκτρικό πεδίο έντασης Ε και ένα μαγνητικό πεδίο έντασης Β είναι κάθετα μεταξύ τους. Τα δυο πεδία επιδρούν ταυτόχρονα σε φορτίο q που κινείται ευθύγραμμα και κάθετα στα Ε και Β. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του φορτίου. Λύση Έστω ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι στον άξονα y, το μαγνητικό πεδίο στον άξονα z και το φορτίο q κινείται ευθύγραμμα στον άξονα x.στο φορτίο q ασκείται η ηλεκτρική δύναμη: Fe = qε = qεyˆ και η μαγνητική δύναμη: F m = qu Β = quxˆ Βzˆ = quβxˆ zˆ = quβ yˆ Επειδή το φορτίο κινείται ευθύγραμμα και οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό είναι κάθετες στη διεύθυνση κίνησης, ισχύει: ΣFy = 0 F e = F m qε = quβ u=e / B Παράδειγμα 1.3.1. Το Σχ. 1.6 δείχνει μια επίπεδη επιφάνεια με εμβαδόν 3,0 cm μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Αν η μαγνητική ροή μέσα από την επιφάνεια είναι 0,90 mwb, υπολογίστε το μέτρο του μαγνητικού πεδίου, και βρείτε την κατεύθυνση του διανύσματος της επιφάνειας.
Λύση : Επειδή τα Β και φ είναι τα ίδια σε κάθε σημείο της επιφάνειας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την B B Acos. Το εμβαδόν Α είναι 3,0 10 - m, η κατεύθυνση του Α είναι κάθετη στην επιφάνεια και επομένως η φ είναι ίση με 60 ο ή 10 ο. Αλλά τα Φ Β, Β και Α είναι όλα θετικά, οπότε και το cosφ πρέπει να είναι θετικό. Αυτό αποκλείει τη λύση φ = 10 ο και επομένως φ = 60 ο, οπότε βρίσκουμε ότι: 3 B 0,9010 Wb B 6, 0T Acos (3,0 10 m ) (cos 60) Το διάνυσμα της επιφάνειας είναι κάθετο στην επιφάνεια και προς την κατεύθυνση που δείχνει το Σχ. 1.6. Σχήμα 1.6. (α) Μία επίπεδη επιφάνεια Α μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β. (β) Η γωνία φ θα μπορούσε να είναι είτε 180 ο (30 ο + 90 ο ) = 60 ο, είτε 180 ο 60 ο = 10 ο. Το διάνυσμα Α της επιφάνειας σχηματίζει γωνία 60 ο με το Β. Παράδειγμα 1.4.1. Ηλεκτρόνιο 10eV περιστρέφεται σε επίπεδο κάθετο προς ένα ομογενές πεδίο μαγνητικής επαγωγή 1,0 10-4 weber / m (=1 gauss). α) Ποια η ακτίνα της τροχιάς; Η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι K (10eV ) (1,6 10 Η ταχύτητά του μπορεί να βρεθεί από τον τύπο 19 j / ev ) 1,6 10 18 18 10 j 1,9 10 m s K 1,6 6 u / 31 m 9,1 10 Kgr j
Άρα 31 6 m u (9,1 10 Kgr) (1,9 10 m / s) R 0,11m 11cm 19 4 q B (1,6 10 (1,0 10 weber / m ) β) Ποια είναι η συχνότητα κύκλοτρου; έχουμε 19 4 q B (1,6 10 (1,0 10 weber / m ) 31 m (9,1 10 Kgr) 6,8 10 s 1 γ) Ποια η περίοδος περιστροφής Τ; 1 T 3,6 10 6 1,8 10 s 1 7 Έτσι ένα ηλεκτρόνιο χρειάζεται 0,36μs για να κάνει μια πλήρη περιστροφή σε ένα πεδίο 1,0 gauss. δ) Ποια είναι η φορά περιστροφής καθώς τη βλέπει παρατηρητής που παρατηρεί κατά τη φορά του πεδίου; Το πρόβλημα που περιγράφεται στο παράδειγμα αυτό είναι ίδιο με αυτό που φαίνεται στο Σχ. (1.7) με τη διαφορά ότι τώρα το φορτίο είναι αρνητικό. Για το λόγω αυτό η ταχύτητα u θα έχει αντίθετη φορά από αυτή του σχήματος και επομένως το ηλεκτρόνιο θα κινείται δεξιόστροφα. s Παράδειγμα 1.4.. Ένα σωμάτιο έχει μάζα 3,34 x 10-7 kg και φορτίο q=1,60x10-19 C. Το σωμάτιο κινείται σε κυκλική τροχιά με ταχύτητα v=0x10 5 m/s μέσα σε μαγνητικό πεδίο μέτρου 1,5 Τ. (α) Βρείτε την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του σωματίου. (β) Βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να διανύσει μισό κύκλο. (γ) Μέσα από ποια διαφορά δυναμικού θα πρέπει να επιταχυνθεί το σωμάτιο για να αποκτήσει την ταχύτητα αυτή; Αγνοείστε την επίδραση του βαρυτικού πεδίου. Λύση α) Το σωμάτιο κινείται σε κυκλική τροχιά λόγω της δύναμης Lorentz η οποία παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δυνάμεως. Επομένως έχουμε 7 5 m u (3,3410 Kgr) (010 m / s) R 0, 08m 19 q B (1,6 10 (1,5 T)
β) Ο χρόνος είναι ίσος με το μισό της περιόδου. Η περίοδος είναι Επομένως t = 44 ns γ) Λόγω του δυναμικού το σωμάτιο θα αποκτήσει κινητική ενέργεια 7 10 1 mu 3,3410 Kg 40010 m / s mu qv V 41, 6KV 19 q 1,6 10 C 1,5 T Παράδειγμα 1.4.3. R 3,14 0,08m T 88ns 5 010 m / s
Παράδειγμα 1.5.1. Ένας ευθύγραμμος οριζόντιος χάλκινος αγωγός διαρρέεται από ρεύμα 50,0 Α με φορά από τη Δύση προς την Ανατολή, στην περιοχή ανάμεσα στους πόλους ενός μεγάλου ηλεκτρομαγνήτη, όπου υπάρχει ένα οριζόντιο μαγνητικό πεδίο προς τα βορειοανατολικά με μέτρο 1,0 Τ, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.15. Να βρεθεί το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης πάνω σε ένα τμήμα της ράβδου μήκους 1 m. Λύση. Η γωνία φ που σχηματίζουν οι κατευθύνσεις του ρεύματος και του πεδίου είναι 45 ο, έχουμε F Il B F I l B sin (50,0A) (1,0 m) (1,0T ) (sin 45) F 4,4N Η κατεύθυνση της δύναμης είναι κάθετη στο επίπεδο του ρεύματος και του πεδίου, δηλαδή στο οριζόντιο επίπεδο. Έτσι, η δύναμη πρέπει να είναι κατακόρυφη ενώ ο κανόνας του δεξιού χεριού δείχνει ότι πρέπει να είναι κατακόρυφη και προς τα πάνω. Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων με τον άξονα x προς τα ανατολικά, τον άξονα y προς βορά και τον άξονα z προς τα πάνω. Τότε έχουμε: l (1m ) i, B (1, T) cos 45i sin 45 j, F I l B (50A) (1m ) i (1, T) cos 45 i sin 45 j 4,4N k Σχήμα 1.15. Κάτοψη της χάλκινης ράβδου.
Παράδειγμα 1.5.. Στο Σχ. 1.16, το μαγνητικό πεδίο Β είναι ομογενές και κάθετο στο επίπεδο του σχήματος, προς τα έξω. Ένας αγωγός αποτελείται από ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους L, κάθετο στο επίπεδο του σχήματος, που βρίσκεται στα δεξιά (μικρός κύκλος) και μέσα στο οποίο το ρεύμα έχει φορά αντίθετη του Β. Στη συνέχεια ο αγωγός έχει σχήμα ημικυκλικό ακτίνας R και συνεχίζεται σε ένα ευθύγραμμα τμήμα μήκους L που είναι παράλληλο με τον άξονα x, όπως φαίνεται. Ο αγωγός διαρέεται από ρεύμα Ι. Να υπολογιστεί η ολική μαγνητική δύναμη πάνω στα τρία αυτά τμήματα του σύρματος. Σχήμα 1.16. Ποια είναι η ολική μαγνητική δύναμη πάνω στον αγωγό; Λύση. Στo τμήμα στα δεξιά του σχήματος το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο δεν ασκείται δύναμη, γιατί είναι αντιπαράλληλο προς το Β και L B = 0 ή φ = 180 ο και sin φ = 0. Για το ευθύγραμμα τμήμα στα αριστερά, το L έχει φορά προς τα αριστερά και είναι κάθετο στο Β. Το μέτρο της δύναμης είναι απλώς F = B I L και η κατεύθυνσή της είναι προς τα πάνω (προς τα +y στο σχήμα). Στο ημικυκλικό τμήμα θεωρήσαμε ένα στοιχειώδες τμήμα dl με μήκος dl = R dθ, σε γωνία θ. Η κατεύθυνση του dl B είναι ακτινική, από το κέντρο προς τα έξω. Επειδή τα dl και B είναι κάθετα, το μέτρο της δύναμης df είναι df= Ι dl B και έτσι έχουμε df= Ι (R dθ) B. Οι συνιστώσες της δύναμης df πάνω στο τμήμα dl είναι df x IRd Bcos df y IR d B sin
Για να βρούμε τις συνιστώσες της ολικής δύναμης ολοκληρώνουμε αυτές τις εκφράσεις, μεταβάλλοντας την θ από 0 έως π, για να συμπεριλάβουμε όλο το ημικύκλιο, έτσι έχουμε: df x I R B 0 cos d 0 df y I R B sind I R B 0 Από τη συμμετρία, θα μπορούσαμε να είχαμε προβλέψει ότι η F x θα ήταν ίση με μηδέν. Στο δεξιό μισό του ημικυκλίου η συνιστώσα x έχει κατεύθυνση προς τα + x, ενώ στο αριστερό προς τα x με αποτέλεσμα να αλληλοαναιρούνται. Η συνολική δύναμη είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους συνιστωσών έτσι έχουμε : F y IB L R F IB ή L Rj Παράδειγμα 1.6.1. Ροπή πάνω σε κυκλικό πηνίο. Ένα κυκλικό πηνίο από σύρμα ακτίνας 0,05 m, αποτελείται από 30 σπείρες και βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο (Σχ. 1.17). Διαρέεται από ρεύμα 5,00 Α με φορά αντίθετη αυτής των δεικτών του ρολογιού, όταν βλέπουμε από πάνω. Το πηνίο βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο που έχει κατεύθυνση προς τα δεξιά και μέτρο 1,0 Τ. Να υπολογιστεί η μαγνητική ροπή του πηνίου και η ροπή που ασκείται πάνω του από το πεδίο. Σχήμα 1.17. Ένα κυκλικό πηνίο από σύρμα που διαρέεται από ρεύμα, μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Λύση. Το εμβαδόν του πηνίου είναι A r 3 0,0500m 7,8510 m
Η μαγνητική ροπή της κάθε σπείρας του πηνίου είναι I A 3 5,00A 7,8510 m 3,9310 A m και η ολική μαγνητική ροπή και των 30 σπειρών είναι NI A 30 3,9310 A m 1,18Am Η γωνία φ ανάμεσα στην κατεύθυνση του Β και της κάθετης στο επίπεδο του πηνίου είναι 90 ο. Από την εξ. (1.18), η ροπή πάνω σε κάθε σπείρα του πηνίου είναι I B Asin και η ολική ροπή είναι Ή εναλλακτικά 3 5,00A 1, T 7,8510 m sin90 0,0471N m 30 0,0471N m 1, N m 41 1,18Am 1, T sin90 1, N m B sin 41 Η ροπή τείνει να μετακινήσει το δεξιό μέρος του πηνίου προς τα κάτω και το αριστερό προς τα πάνω, περιστρέφοντας το πηνίο σε μια θέση στην οποία η κάθετη στο επίπεδο του πηνίου είναι παράλληλη προς το Β (τα διανύσματα μ και Β θα είναι τότε παράλληλα και ομόρροπα).