Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 3 56 33 Είδος Β 3 0 Είδος Γ 9 3 3 Ο πίνακας δικτύου αεροπορικών συνδέσεων τεσσάρων πόλεων ( υπάρχει σύνδεση, - δεν υπάρχει) : Αθήνα Θεσσαλονίκη Ηράκλειο Αλεξανδρούπολη Αθήνα 0 Θεσσαλονίκη 0 - Ηράκλειο 0 - Αλεξανδρούπολη - - 0 Ορισμός πίνακα Ένας πραγματικός (μιγαδικός) πίνακας Α διάστασης mnείναι μία διάταξη nm πραγματικών (μιγαδικών αριθμών) σε m γραμμές και n στήλες Παράδειγμα: πίνακας 3και τετραγωνικός πίνακας τετραγωνικός 0 3 3 9, 9 0 5 Ένας πίνακας που αποτελείται από μία στήλη ( m ) ή μία γραμμή ( n ), ονομάζεται πίνακας-στήλη (διάνυσμα στήλη ή απλά διάνυσμα) ή πίνακαςγραμμή (ή διάνυσμα γραμμή) αντίστοιχα Ένας πίνακας λέγεται πίνακας στοιχείο Παράδειγμα: Συχνά συμβολίζουμε τον πίνακα ως στήλης με ij, 0 9, A a και το στοιχείο της i γραμμής και j ij mn a ή ij -στοιχείο του πίνακα Συνήθως για τα ονόματα των πινάκων χρησιμοποιούμε κεφαλαία γράμματα και για τα ονόματα των διανυσμάτων πεζά Από εδώ και πέρα όταν αναφερόμαστε σε πίνακες θα εννοούμε πραγματικούς πίνακες Αν m n, τότε ο πίνακας Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης n Η κύρια διαγώνιος ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης n αποτελείται από τα στοιχεία a i n ii
Κεφάλαιο Ισότητα πινάκων Δύο πίνακες μπορούν αν συγκριθούν εάν είναι της ίδιας διάστασης Δύο πίνακες (ιδίας διάστασης) είναι ίσοι όταν έχουν ένα προς ένα τα στοιχεία τους ίσα A B a b i m, j n ij ij Παράδειγμα: Οι παρακάτω πίνακες δεν μπορούν να συγκριθούν γιατί δεν έχουν την ίδια διάσταση Ενώ για τους πίνακες ισχύει διότι Τέλος εάν 0 0 3 9, 3 0 5 0 5 0 0 A 3, B= 3 0 0 5 [ ] [ ] τότε Βασικοί πίνακες Ένας πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά ονομάζεται μηδενικός και συμβολίζεται συνήθως με O m n Ένας τετραγωνικός πίνακας D που έχει στοιχεία μόνο στη διαγώνιο του ονομάζεται διαγώνιος (diagonal) Ένας διαγώνιος πίνακας ονομάζεται μοναδιαίος In του οποίου τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με, d 0 0 0 0 0 0 0 d 0 0 0 0 0 0 D, I 0 0 dn n 0 0 0 0 0 0 0 d n n 0 0 0 U διαγώνιος d 0 όταν i j I μοναδιαίος: διαγώνιος και I ij ii
Πίνακες Ο ανάστροφος A (transpose) ενός πίνακα προκύπτει εάν στον πίνακα αλλάξουμε τις γραμμές σε στήλες και τις στήλες σε γραμμές Ένας τετραγωνικός πίνακας A λέμε ότι είναι συμμετρικός αν ισχύει η σχέση A A όπου A, ο ανάστροφος του A Σε έναν πίνακα Z με μιγαδικά στοιχεία ο πίνακας με τα συζυγή στοιχεία του λέγεται συζυγής πίνακας Z z ij Ο ανάστροφος συζυγής του πίνακα Z συμβολίζεται με ερμιτιανός Z * Z Εάν ισχύει * Z Z τότε ο πίνακας ονομάζεται Παραδείγματα: 3 0 0 3 3 9, 0 5 9 3 9 0 5 9 Πίνακες και πράξεις 0 9, 0 9, * i 3i i 5i 3i 5i Ορίζεται το γινόμενο (πραγματικού ή μιγαδικού) αριθμού επί πίνακα ως ένας πίνακας που έχει ως στοιχεία το γινόμενο του αριθμού επί το στοιχείο του πίνακα σε κάθε θέση ka ka ij Δύο πίνακες μπορούν να προστεθούν εάν είναι της ίδιας διάστασης Το άθροισμα δύο πινάκων (ιδίας διάστασης) είναι ένας πίνακας ιδίας διάστασης που έχει ως στοιχεία το άθροισμα (στην αντίστοιχη θέση) των στοιχείων των προσθετέων C A B c a b i m, j n ij ij ij Η διαφορά πινάκων ορίζεται ως A B A ( B) Για την πρόσθεση πινάκων (εννοείται κατάλληλων πινάκων ώστε να γίνεται η πράξη) ισχύει: A B B A (αντιμεταθετική ιδιότητα) ( A B) C A ( B C) (προσεταιρισική) AO A(ουδέτερο στοιχείο) A ( A) O 3
Κεφάλαιο Για το γινόμενο αριθμού επί πίνακα ισχύει: ( k l) A ka la k( AB) ka kb k( la) ( kl) A A A Αν la Oτότε ή l 0ή A O (Εννοείται ότι οι πινάκες είναι κατάλληλοι ώστε να γίνεται η πράξη) Παραδείγματα: 0 3 3 0 3 3 9 3 0 5 6 0 75 0 0 0 0 3 0 0 3 3 0 5 0 0 0 Αφού τα διανύσματα είναι ένα είδος πίνακα, το γινόμενο πραγματικού αριθμού επί ένα διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα: x ax a a πχ z az 0 0 Κάθε συνιστώσα (ή συντεταγμένη) πολλαπλασιάζεται επί τον αριθμό Επίσης, ανάλογα ορίζεται και το άθροισμα δύο διανυσμάτων: x x x x πχ z z z z 3 6 7 5 Ορίζουμε το γινόμενο πίνακα-γραμμή (ή διάνυσμα γραμμή) n επί πίνακαστήλη (διανύσματος) n : b b n a a a, n a, n ab ab a, nbn, a, nbn, a ibi i bn, b n, Το αποτέλεσμα της πράξης αυτής είναι ένας πίνακας στοιχείο
Πίνακες Παραδείγματα: 3 9 0 9 3 09 9 ( ) ( ) 3 0 9 8 Εάν [ ] τότε [ ] [ ] [ ] [ ] Ορίζουμε το γινόμενο πίνακα m n επί πίνακα-στήλη (διάνυσμα) n ως τον πίνακα-στήλη (διάνυσμα) που στην i -συνιστώσα του έχει το γινόμενο της i - γραμμής του πίνακα επί το διάνυσμα Παράδειγμα: b ab a, nbn, b a a a b a b a b n, am,b a m a mn m, nb n, b n, am b amnb n, mn, n n, i n i n n i n i a ab i i a b i i m, i i 3 0 9 3 0 9 9 ( ) ( ) 8 9 0 9 3 0 9 ( ) 9 3 3 5 0 33 9 5 ( ) 0 38 Ορίζουμε το γινόμενο πίνακα Α m n επί πίνακα Β n k ως τον πίνακα m k για τον οποίο το ( i, j)- στοιχείο προκύπτει από το γινόμενο της i -γραμμής του πίνακα Α επί της j -στήλης του πίνακα Β a mi, b b i n C AB [ cij ] aipbpj p Οπότε για να ορίζεται το γινόμενο ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α θα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα Β 5
Κεφάλαιο Παράδειγμα: x Έστω A 3 0, B 0 0 3, C, όπου x Από τις παρακάτω παραστάσεις να υπολογισθούν όσες έχουν νόημα ΑΒ, ΒΑ, AA, CB, BC, B, A B Έχουμε x 3 x0 3 x0 3 x 3 3x AB 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 6 x 0 x x 0 x x x AA 0 x 0 x 0 0, x 3 3 3 BC 0 0 3 0 0 3 Οι υπόλοιπες παραστάσεις δεν έχουν νόημα Για παράδειγμα, το πλήθος των στηλών του Β δεν είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών του Α και επομένως δεν ορίζεται το γινόμενο BA Το άθροισμα Α+Β δεν ορίζεται γιατί οι πίνακες Α, Β είναι διαφορετικού μεγέθους Για το γινόμενο πινάκων (εννοείται η επιλογή κατάλληλων διαστάσεων πινάκων ώστε να γίνεται η πράξη) ισχύει: ( AB) C A( BC) (προσεταιρισική) A( B C) AB AC (επιμεριστική από αριστερά ιδιότητα) ( B C) A BA CA (επιμεριστική από δεξιά ιδιότητα) AO O ή OA O γενικά AI A ή IA Aκαι για τετραγωνικούς IA AI A k( AB) ( ka) B A( kb) Γενικά, ακόμη και αν ορίζεται το γινόμενο, για πίνακες δεν ισχύει η αντιμεταθετικότητα AB BA Για παράδειγμα: 0 3 0 0 3 0 k Ορίζεται και η κ-δύναμη τετραγωνικού πίνακα ως A A A και 3 k φορές 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A I 6
Πίνακες Για έναν διαγώνιο τετραγωνικό πίνακα η κ-δύναμη του είναι ένας διαγώνιος τετραγωνικός πίνακας με διαγώνια στοιχεία τις κ-δυνάμεις των διαγώνιων στοιχείων του αρχικού 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 ( ) Τώρα που ορίσαμε τις πράξεις μπορούμε να παραθέσουμε τις ακόλουθες ιδιότητες: Ιδιότητες Αναστρόφων πινάκων A A ( A B) A B ( ka) ka ( AB) B A Παράδειγμα: Ο πίνακας των πωλήσεων της εταιρείας του πρώτου παραδείγματος είναι ο 3 56 33 3 0 9 3 3 Το ετήσιο σύνολο των πωλήσεων ανά είδος δίνεται από το γινόμενο 3 56 33 35 3 0 6 9 3 3 37 Το σύνολο των πωλήσεων ανά τρίμηνο δίνεται από το γινόμενο 9 3 3 56 33 3 3 59 3 0 56 3 60 9 3 3 33 0 3 56 Εάν το κέρδος για το πρώτο προϊόν είναι 0 για το δεύτερο 3 και για το τρίτο το συνολικό κέρδος ανά τρίμηνο δίνεται από το γινόμενο 9 3 56 33 0 0 3 3 3 3 0 3 3 56 3 569 9 3 3 33 0 3 376 και το ετήσιο σύνολο των κερδών 7
Κεφάλαιο 3 Ο αντίστροφος πίνακα 3 3 569 376 [50] 569 376 Ένας τετραγωνικός πίνακας A λέμε ότι είναι μη ιδιάζων (non singular) ή - αντιστρέψιμος εάν υπάρχει πίνακας A για τον οποίο ισχύει - - AA A A I - Ο πίνακας A ονομάζεται ο αντίστροφος (inverse) του A Ένας πίνακας για τον οποίο δεν υπάρχει αντίστροφος λέγεται ιδιάζων (singular) Όταν μας δίνεται ή υπολογίζουμε κάποιον αντίστροφο καλό είναι να επαληθεύουμε - - ότι πράγματι ισχύει η σχέση AA A A I Δεν χρειάζεται ωστόσο να υπολογίσουμε και τα δύο γινόμενα παράδειγμα εάν έχουμε υπολογίσει ότι για - - AA, A A, αρκεί το ένα από αυτά Για A ισχύει A 3 3 3 θα πρέπει 3 6 3 0 0 3 3 6 3 AA 0 0 3 3 3 6 0 0 Για έναν διαγώνιο πίνακα η αντίστροφος του είναι ένας διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τους αντίστροφους των διαγώνιων στοιχείων του αρχικού 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 επίσης υπάρχουν πίνακες που εάν υψωθούν σε μία δύναμη μας δίνουν τον μοναδιαίο πχ 0 0 0 0 ( για αυτόν A I οπότε - A ) 8
Πίνακες Ισχύουν (εφόσον υπάρχουν οι αντίστροφοι): ( AB) ( ) B A ( ) ( ) k k ( ) ( ) Αλγόριθμος υπολογισμός του αντιστρόφου με τη μέθοδο του επαυξημένου πίνακα Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα A I και εφαρμόζουμε σε αυτόν στοιχειώδεις γραμμοπράξεις που μετατρέπουν τον Α σε ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα Κ Τότε ο A I έχει μετατραπεί σε έναν πίνακα της μορφής K B Αν K I, τότε ο Α είναι αντιστρέψιμος και A B Αν K I, τότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος Παραδείγματα 0 Ας εφαρμόσουμε τα παραπάνω στον A 3 8 Έχουμε διαδοχικά 0 0 0 0 0 0 A I 3 0 0 0 0 8 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 3 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 6 3 3 Επειδή στο αριστερό μισό του τελευταίου πίνακα εμφανίστηκε ο μοναδιαίος, συμπεραίνουμε ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος και A 0 6 9
Κεφάλαιο 0 Τώρα, εξετάζουμε αν ο A 0 είναι αντιστρέψιμος 0 0 Έχουμε 0 0 0 0 0 0 A I 0 0 0 0 0 0-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 Στο αριστερό μισό του τελευταίου πίνακα υπάρχει ο ανηγμένος κλιμακωτός 0 πίνακας 0 0 που δεν είναι ίσος με τον μοναδιαίο Άρα ο Α δεν είναι 0 0 0 αντιστρέψιμος 5 Πίνακες μετασχηματισμών Τέλος, ας δούμε μία εφαρμογή των πινάκων που σχετίζεται με τα γραφικά υπολογιστών Εάν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα Q cos sin c s sin cos s c όταν c cos s sin x με το διάνυσμα των συντεταγμένων ενός σημείου του καρτεσιανού επιπέδου τότε παίρνουμε τις συντεταγμένες του σημείου που προκύπτει από την αριστερόστροφη στροφή γύρω από την αρχή των αξόνων (0,0) κατά γωνία x' x c s x cx s Q ' s c sx c θ x Παραδείγματα: Εάν στρέψουμε ένα σημείο κατά ο πίνακας στροφής είναι ο 0
cos sin 0 Q 0 sin cos οπότε το σημείο 0 στρέφεται και πάει στο x x' πετά την περιστροφή είναι ' x Εάν στρέψουμε ένα σημείο κατά ο πίνακας στροφής είναι ο Πίνακες 0 και οι συντεταγμένες του σημείου cos sin Q sin cos x οι συντεταγμένες του σημείου πετά την περιστροφή είναι Εάν εκ νέου περιστρέψουμε κατά QQ x x ' ' x ο τελικός πίνακας περιστροφής θα είναι ο 0 0 ο οποίος είναι ο Q Με τη χρήση απλών τριγωνομετρικών τύπων μπορούμε να βρούμε ότι cos sin cos sin Q sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos και γενικότερα ότι Q Q Q Q cos sin cos sin Q sin cos sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos
Κεφάλαιο cos sin sin Q cos Υπενθυμίζεται ότι ισχύουν οι τύποι: sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) και cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) Εάν στρέψουμε ένα σημείο κατά γωνία,και στη συνέχεια κατά γωνία έχουμε οπότε συμπεραίνουμε ότι Q Εάν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα cos0 sin 0 0 Q Q Q Q0 sin 0 cos0 0 cos sin Q cos sin sin cos sin cos c P cs x με το διάνυσμα των συντεταγμένων ενός σημείου του καρτεσιανού επιπέδου τότε παίρνουμε τις συντεταγμένες του σημείου που προκύπτει από την προβολή πάνω σε μία ευθεία η οποία έχει κλίση γωνία και περνά από τον άξονα (0,0) cs s x θ x' x P ' Παραδείγματα: c Εάν προβάλουμε το σημείο 0 τότε οι συντεταγμένες της προβολής θα είναι cs 0 ενώ εάν προβάλουμε το σημείο και οι συντεταγμένες της προβολής του cs σημείου θα είναι s
Στην περίπτωση που η γωνία κλίσης της ευθείας είναι 3 s sin οπότε 3 P 3 3 3 3 συγκεκριμένη ευθεία έχει συντεταγμένες Εάν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα H Πίνακες τότε c cos, 3 3 και η προβολή του σημείου P 3 c 3 3 3 3 3 6 cs cs s x με το διάνυσμα των συντεταγμένων ενός σημείου του καρτεσιανού επιπέδου τότε παίρνουμε τις συντεταγμένες του σημείου που προκύπτει από την ανάκλαση ως προς την ευθεία η οποία έχει κλίση γωνία x στη θ x' x H ' Παραδείγματα: Εάν το συμμετρικό του σημείου 0 ως προς την ευθεία θα έχει συντεταγμένες c 0 ενώ το συμμετρικό του σημείου cs θα είναι το σημείο cs s 3 Στην περίπτωση που η γωνία κλίσης της ευθείας είναι τότε c cos, 6 6 3 3 3 s sin οπότε H 6 και το συμμετρικό 6 3 3 3
Κεφάλαιο του σημείου ως προς τη συγκεκριμένη ευθεία έχει συντεταγμένες 3 3 H 6 3 3 Η εφαρμογή δύο συνεχόμενες φορές της ανάκλασης ως προς την ίδια ευθεία έχει πίνακα μετασχηματισμού (c ) cs c cs cs s c cs c cs H cs s cs s c cs cs s (s ) cs 0 0 Αφού c s, s c οπότε (c ) cs (c c ) cs c c ( s ) c c επίσης (s ) cs (s s ) cs s s ( c ) s s και c cs cs s cs c s 0 Δηλαδή μας γυρνά στο αρχικό σημείο Όπως είδαμε διαδοχικά γινόμενα εφαρμόζουν διαδοχικούς μετασχηματισμούς Δηλαδή μία περιστροφή κατά γωνία, προβολή σε ευθεία με γωνία και ανάκλαση ως προς ευθεία με γωνία 3 θα έχει πίνακα μετασχηματισμού H P Q 3 Παράδειγμα: Ο τελικός πίνακας μετασχηματισμού περιστροφής ενός σημείου κατά προβολής σε ευθεία με γωνία κλίσης 3 και τελικά συμμετρίας του ως προς ευθεία με γωνία κλίσης 6 είναι, H P Q 6 3 3 3 3 6 6 8 8 3 3 3 3 6 3 6 3 8 8 6 6 0 0
6 Ορίζουσες a b Εάν A c d τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b det( A) ad bc c d Πίνακες Συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα και ως A Εάν Εάν 3 A τότε a a a A a a a a a a 3 3 3 3 33 3 det( A) ( ) 3 8 3 τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με a a a 3 det( A) a a a a det( M ) a det( M ) a det( M ) 3 3 3 a a a 3 3 33 Για το στοιχείο aij η M ij (έλασσων ορίζουσα του στοιχείου) είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει εάν από τον A αφαιρέσουμε την i γραμμή και την j στήλη a a a a a a a a a det( A) a a a a a a 3 3 3 3 3 a3 a33 a3 a33 a3 a3 3 3 33 a a a Εάν 0 5 A 3 6 9 τότε 6 0 5 6 9 3 9 3 6 det( A) 3 6 9 0 5 0 5 50 65 6 6 6 Εδώ αναπτύξαμε την ορίζουσα ως προς την πρώτη γραμμή Θα μπορούσαμε να την αναπτύξουμε ως προς οποιαδήποτε άλλη γραμμή ή στήλη Θα πρέπει όμως να θυμόμαστε ότι το πρόσημο του γινομένου κάθε στοιχείου ή με την ελάσσονα ορίζουσα του είναι το αποτέλεσμα i j όπου i, j η γραμμή και η στήλη του στοιχείου αντίστοιχα Το ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς τη δεύτερη στήλη είναι: a a a a a a a a a det( A) a a a a a a 3 3 3 3 3 3 a3 a33 a3 a33 a a3 3 3 33 a a a Και για το παράδειγμά μας 5
Κεφάλαιο 0 5 3 9 0 5 0 5 det( A) 3 6 9 ( 6) 6 5 60 90 65 3 9 6 Με παρόμοιο τρόπο αναπτύσσουμε τις ορίζουσες πινάκων x, χρησιμοποιώντας τις ελάσσονες ορίζουσες τους (που είναι ορίζουσες 3x3), αλλά και τις ορίζουσες τετραγωνικών πινάκων μεγαλύτερης διάστασης 7 Ιδιότητες οριζουσών Για τις ορίζουσες πινάκων ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: Ιδιότητα Αν Α έχει μία γραμμή ή (στήλη) με μηδενικά μόνο στοιχεία τότε det(a)=0 0 9 9 0 6 3 0 0 3 Ιδιότητα Aν Α έχει δύο γραμμές ή (στήλες) ίδιες ή ανάλογες (δηλαδή ένα προς ένα τα στοιχεία της μίας προς τα στοιχεία της άλλης δίνουν ως πηλίκο τον ίδιο αριθμό ή ισοδύναμα η μία είναι πολλαπλάσιο της άλλης) τότε det(a)=0 πχ 8 9 3 36 33 3 0 6 3 0 6 3 0 6 3 6 3 Διότι η η και η 3 η γραμμή είναι ανάλογες Ιδιότητα 3 Αν ανταλλάξουμε αμοιβαία δύο διαδοχικές γραμμές (ή διαδοχικές στήλες ενός πίνακα) Α τότε ο πίνακας Β που θα προκύψει έχει ορίζουσα det(b)= -det(a) πχ 8 9 3 8 9 3 6 3 6 3 0 6 3 6 3 8 9 3 0 6 3 6 3 0 6 3 0 6 3 8 9 3 Όπου κάναμε τις εναλλαγές 3 γραμμή, γραμμή, 3 γραμμή Ιδιότητα Αν πολλαπλασιάσουμε μία γραμμή (ή μία στήλη) ενός πίνακα Α με έναν αριθμό κ τότε ο πίνακας Β που θα προκύψει έχει ορίζουσα det(b)= κ det(a) πχ 8 9 5 36 9 5 3 9 5 3 33 5 3 3 5 0 6 3 0 6 3 6 0 6 3 6 0 3 3 63 0 3 6 3 6 3 3 3 Ιδιότητα 5 Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε το πολλαπλάσιο μίας γραμμής (ή μία στήλης) ενός πίνακα Α σε μία άλλη μία γραμμή (ή μία στήλη) του πίνακα Α τότε ο πίνακας Β που θα προκύψει έχει ορίζουσα 6
Πίνακες det(b)=det(a) πχ εάν σε συνέχεια του προηγούμενου παραδείγματος αφαιρέσω από την η γραμμή την 3 η πολλαπλασιασμένη με 3 έχουμε 0 0 0 63 0 3 8 8 (0 ( ) ) 7 n Ιδιότητα 6 det( ka) k det( A) για n n πίνακα πχ 8 9 3 36 33 3 6 3 3 0 6 30 3 ( ) 3 3 0 ( ) 6 3 5 3 3 35 5 Ιδιότητα 7 Ορίζουσα n n μοναδιαίου πίνακα det( I) Ιδιότητα 8 Ορίζουσα n n μηδενικού πίνακα det( 0 ) 0 Ιδιότητα 9 Ορίζουσα γινομένου δύο n n πινάκων det( AB) det( A)det( B) Ιδιότητα 0 Ορίζουσα n-ιοστής δύναμης n n πίνακα det( n n A ) det( A) Ιδιότητα Ορίζουσα ανάστροφου n n πίνακα det( A ) det( A) 8 9 3 8 0 6 0 6 9 6 3 6 3 5 3 5 Ιδιότητα Ορίζουσα αντίστροφου n n πίνακα det( A ) det( A) det( A) Η απόδειξη αυτής της ιδιότητας είναι απλή Γνωρίζουμε ότι AA I det( AA ) det( I) det( A)det( A ) det( A) det( A) det( A) Είδαμε σε παράδειγμα στο κεφάλαιο των πινάκων ότι ο αντίστροφος 3 / 5 3/ 5 του πίνακα A 0 3 είναι ο A 0 / 5 / 5 0 0 / 5 3/ 5 3 det( A) 3 5 επίσης det( ) / 5 / 5 3 5 A Τα αποτελέσματα / 5 3/ 5 5 5 5 5 είναι τα αναμενόμενα με βάση την ιδιότητα 7
Κεφάλαιο 8 Εύρεση αντιστρόφου πίνακα με τη χρήση του προσαρτημένου Η εύρεση του αντίστροφου ενός πίνακα μπορεί αν γίνει με τη χρήση των οριζουσών Για τους πίνακες συνήθως μαθαίνουμε τον τύπο που μας δίνει τον αντίστροφο άμεσα, αν και προκύπτει από τη διαδικασία που ακολουθούμε για τους μεγαλύτερους πίνακες Εάν a A c b d τότε Για παράδειγμα εάν d b d b A det( A) c a ad bc c a A 5 6 0 τότε A 0 5 0 / 6 30 6 / 5 / 30 Για τους 3 3 πίνακες (αλλά και τους μεγαλύτερης διάστασης) υπολογίζουμε τον πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων του πίνακα Α που έχει ως ij - στοιχείο την ελάσσονα ορίζουσα του ij -στοιχείου του πίνακα Α πολλαπλασιασμένη επί i j δηλαδή όπου c ( ) i j M ij ij c c c C c c c c c c 3 3 3 3 33 Ο ανάστροφος του πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων ονομάζεται προσαρτημένος πίνακας του Α και συμβολίζεται ως adj( A ) c c c3 c c c3 adj( A) C c c c c c c Ο αντίστροφος δίνεται από τον τύπο: 3 3 c3 c3 c 33 c3 c3 c 33 A det A adj( A) Από τον τύπο αυτό, είναι φανερό ότι ο αντίστροφος υπάρχει αν και μόνο αν η ορίζουσα του πίνακα δεν είναι μηδέν Παράδειγμα A A det 0 A Έχουμε: det( A) ( 3), 8
c c M, c M 3 M, c M, c3 M3 3, c3 M3 c3 M3 3, c 3 M 3, c 33 M 33 Επομένως, ο προσαρτημένος πίνακας είναι ο 3 3 3 adj( A) 3 3 3 και A 3 3 3 Πίνακες 9 Λυμένες ασκήσεις πάνω στους πίνακες και ορίζουσες x Έστω A 0 0, B 0 3, C, όπου x 3 Από τις παρακάτω παραστάσεις να υπολογισθούν όσες έχουν νόημα ΑΒ, ΒΑ, (Α+Β)C, BC, B, 5B Λύση Ο πίνακας Α είναι x και ο Β είναι x3 επομένως ο ΑΒ ορίζεται και είναι ο επόμενος x3 πίνακας x0 0 x ( ) x3 x 3 x AB 00 0 0 ( ) 3 0 3 Ο πίνακας ΒΑ δεν ορίζεται, αφού το πλήθος των στηλών του Β είναι άλλο από το πλήθος των γραμμών του Α Ο πίνακας Α+Β επίσης δεν ορίζεται, αφού οι πίνακες δεν είναι του ίδιου τύπου, συνεπώς δεν ορίζεται και (Α+Β)C Ο πίνακας ΒC είναι πίνακας x, και βρίσκουμε 0 0 3 5 BC 0 3 0 3 3 0 3 Ο πίνακας Β επίσης δεν ορίζεται, αφού ο πίνακας Β δεν είναι τετραγωνικός Τέλος ο x3 πίνακας 0 5 50 5 ( ) 5 0 0 5B 5 0 3 50 5 53 0 5 5 Δίνονται οι πίνακες: A 3 3, B 3, C και D 9
Κεφάλαιο Να εξεταστεί αν ορίζονται και να υπολογιστούν (στην περίπτωση που ορίζονται) οι πίνακες: (i) AB (ii) BA (iii) CD και (iv) DC Λύση: (i) Ο πίνακας B, όπως και ο Β, είναι Ο πίνακας Α είναι 3 Άρα δεν ορίζεται το γινόμενο AB και επομένως και το άθροισμα AB B (ii) Ο πίνακας είναι 3 Έχουμε και ο πίνακας Α είναι 3 Επομένως ο πίνακας 3 B 3 3 8 και άρα B είναι 3 3 9 5 BA 8 3 5 6 3 BA (iii) Ο πίνακας C είναι 3 και ο πίνακας D είναι 3 Άρα ο πίνακας CD είναι, [] δηλαδή αριθμός Έχουμε CD (iv) Ο πίνακας D είναι 3 και ο πίνακας είναι C 3 Άρα ο πίνακας DC είναι 3 3 Έχουμε DC 3 Δίνονται οι πίνακες 7 6 3 0 7 3 A, B, C, D 35 5 7 0 3 5 Σε ποια ειδική κατηγορία πινάκων ανήκει ο πίνακας C; Τι μπορείτε να πείτε για το C n, C - ; Αποδείξτε ότι A BCD Αφού υπολογίσετε το DB και με τη χρήση του A BCD υπολογίστε το Α Λύση: n n 0 / 0 Ο πίνακας C είναι διαγώνιος Ισχύει C n, C 0 3 0 / 3 7 3 3 7 35 73 37 0 DB I 5 5 7 5 ( ) 5 35 ( ) 7 0 3 0 7 3 9 7 3 7 6 BCD A, 5 7 0 3 5 0 5 35 3 0 7 3 A BCDBCDBCDBCD BCICICICD BC D 5 7 0 3 5 3 07 3 3 6 0 7 3 3 3 7 3 5 7 0 3 5 5 7 0 8 5 80 567 5 99 390 75 89 0
3 3 5 A A I Πίνακες 3 Σας δίνεται ο πίνακας A 0 3 Υπολογίστε τον πίνακα 0 και στη συνέχεια υπολογίστε τον πίνακα AB 5 Λύση: A 3 3 0 0 3 0 3 0 0 0 0 3 0 3 0 0 3 3 0 3 0 3 3 0 0 5 5 0 3 0 0 0 A A A I 5 3 / 5 3 / 5 0 0 / 5 / 5 5 0 3 0 / 5 3 / 5 3 / 5 3/ 5 0 0 AB 0 3 0 / 5 / 5 0 0 0 0 / 5 3/ 5 0 0 0 0 Οπότε B A A 3A 3I και 5 AB AA 5 I 5 0 0 5 0 0 5 Εφαρμόζοντας τον Αλγόριθμο Υπολογισμού Αντίστροφου Πίνακα (δηλαδή με τη χρήση επαυξημένου πίνακα) βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα: 3 A 0 3 0 Στη συνέχεια γράψτε το ακόλουθο σύστημα με τη μορφή γινομένου κατάλληλων πινάκων και με τη χρήση της του αντίστροφου πίνακα που υπολογίσατε παραπάνω λύστε το σύστημα: x 3z 3z z Λύση 3 0 0 3 0 0 A I 0 3 0 0 3 3 / 3 0 3 0 0 3 3 /( 5/ 3) 0 0 0 0 0 5/ 3 0 / 3 3 0 0 0 6 / 5 9 / 5 3 0 3 0 0 0 3 0 0 3/ 5 3/ 5 3 3 / 3 0 0 0 / 5 3/ 5 0 0 0 / 5 3/ 5
Κεφάλαιο 0 6 / 5 9 / 5 0 0 / 5 3/ 5 0 0 0 / 5 / 5 0 0 0 / 5 / 5 0 0 0 / 5 3/ 5 0 0 0 / 5 3/ 5 Άρα / 5 3/ 5 A 0 / 5 / 5 0 / 5 3/ 5 Ένα γραμμικό σύστημα nnμπορεί να γραφεί στη μορφή Ax b Εφόσον υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα A, η λύση του συστήματος δίνεται από τον τύπο x A b Πράγματι, Ax b A Ax A b Ix A b x A b 3 / 5 3/ 5 A 0 3, b οπότε x A b 0 / 5 / 5 0 0 / 5 3/ 5 3 5 6 Δίνεται ο πίνακας A 5 Υπολογίστε τον A k για κ=,,3, Τι 3 παρατηρείτε; Μπορείτε να δώσετε έναν τύπο που να ισχύει για κάθε κ; Αποδείξτε στη συνέχεια την ισχύ του τύπου αυτού με τη μέθοδο της επαγωγής Λύση: 3 5 3 5 3 5 Παρατηρώ ότι A 5 5 5 = =A οπότε και 3 3 3 3 A AA AA=A A και γενικά A k A Επαγωγική απόδειξη: Ισχύει φανερά για ν= Δέχομαι για v=κ και θα δείξω ότι ισχύει για ν=κ+ k k A AA AA=A A Ισχύει, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε 7 Δίνονται οι πίνακες 0 0 3 8 0 5 A, B 3, C, D 3 3 9 0 Να υπολογισθούν, εφ όσον έχουν νόημα, οι παρακάτω πίνακες,,, A B A D CA D C, AC D Λύση A + B δεν έχει νόημα 0 3 0 5 8 A + D = 3 9 0 0 7 3
Πίνακες 8 0 3 9 7 CA = 3 3 = 3 0 79 3 DC = 9 8 3 = 7 5 0 0 5 AC D δεν έχει νόημα επειδή αν και ο C είναι αντιστρέψιμος o A είναι 3 ενώ ο C - 3 8 Σας δίνεται ο πίνακας A Υπολογίστε τον πίνακα A 6A 5I Στη συνέχεια υπολογίστε τον πίνακα AB n Λύση: 3 3 7 8 A 6 9 7 8 3 0 0 0 B A 6A 5I 6 5 6 9 0 0 0 n n 0 0 0 0 Οπότε AB 0 0 0 0 9 Να λύσετε το σύστημα x x x 3 x x x 0 3 x x x 3 θεωρώντας το ως Ax b, όπου A, βρείτε πρώτα τον αντίστροφο του πίνακα Α x x x και x 3 Λύση: Έχουμε: det( A) ( 3), C C C M C M 3, M C M 3 C 3 3 M, M, 3 3 C C, 3 3 C b 0, αφού M, M 3,, 3 3 M, 33 33 3
Κεφάλαιο Επομένως, και A Τώρα, C C C3 C C C3 3 adj( A) C C C C C C 3 3 3 C3 C3 C33 C3 C3 C33 3 det( A) 3 3 3 Ax b A Ax A b Ix A b x A b 0, 3 0 3 3 adj( A) δηλαδή x, x και x3 0 0 Με τη χρήση των ιδιοτήτων των οριζουσών υπολογίστε την ορίζουσα a x a x b b c z c z Λύση: a x a x Αν στην τρίτη στήλη του πίνακα b b c z c z a x a τότε προκύπτει ο πίνακας b b Άρα c z c a x a x a x a a x a b b b b b b 0, c z c z c z c c z c προσθέσουμε τη δεύτερη στήλη, a x a γιατί ο πίνακας b b έχει δυο ίσες στήλες c z c Με τη χρήση των ιδιοτήτων των οριζουσών αποδείξτε ότι : a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d Λύση:
Πίνακες Προσθέτοντας στην πρώτη στήλη όλες τις υπόλοιπες στήλες προκύπτει ο πίνακας a b c d b c d a b c d b c d Άρα a b c d b c d a b c d b c d a b c d a b c d b c d b c d a b c d b c d b c d a b c d b c d b c d a b c d b c d b c d b c d ( a b c d) b c d b c d Στον τελευταίο πίνακα αφαιρούμε την πρώτη γραμμή από κάθε άλλη γραμμή, οπότε b c d 0 0 0 προκύπτει ο Αυτός είναι τριγωνικός και η ορίζουσά του είναι Τελικά, 0 0 0 0 0 0 a b c d b c d b c d b c d ( a b c d) b c d b c d b c d b c d b c d 0 0 0 ( a b c d) a b c d 0 0 0 0 0 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος Αποτελεί υλικό της διδασκαλίας του μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό 5