ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραία Ενότητα # :Μέθοδοι παρεμβολής 3D-Αναλυτικές μέθοδοι Ιωάννης Γ Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράων Μηχανικών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναέρεται ρητώς
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους 3
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μέθοδοι παρεμβολής 3D- Αναλυτικές μέθοδοι
Περιεχόμενα ενότητας Δισδιάστατες μέθοδοι παρεμβολής Αναλυτικές παρεμβολές 3 Απλή πιστή αναλυτική παρεμβολή 4 Επιλογή συναρτήσεων βάσης 5 Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ 5
Σκοποί ενότητας Κατανόηση των αναλυτικών μεθόδων παρεμβολής στις τρεις διαστάσεις στα ψηιακά χαρτογραικά δεδομένα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Μέθοδοι παρεμβολής 3D- Αναλυτικές μέθοδοι
Δισδιάστατες μέθοδοι παρεμβολής Ανάλογα με τον τρόπο προσέγγισης των αρχικών δεδομένων Πιστές Προσεγγιστικές ή εξομαλυντικές Ανάλογα με τη μέθοδο παρεμβολής Αναλυτικές Αλγοριθμικές
Αναλυτικές παρεμβολές (/3 Έστω οι τιμές z i i=3 nενός αινομένου που περιγράεται από τη συνάρτηση fπροανώς ισχύει f i i = z i Θεωρώντας ότι f f γνωστή συνάρτηση της μορής: f = a + a + + a m m Όπου a i i=3 m πραγματικοί αριθμοί και i i=3 m γνωστές πραγματικές συναρτήσεις
Αναλυτικές παρεμβολές (/3 Για κάθε ένα από τα σημείαi=3 nμπορούμε να γράψουμε τις παρακάτω εξισώσεις: z = a + a + + a m m z = a + a + + a m m z n = a n n + a n n + + a m m n n
= m n n n n m m a a a n n z z z n Σε μορή πινάκων έχουμε: ή z= Φ a Αναλυτικές παρεμβολές (3/3
Απλή πιστή αναλυτική παρεμβολή (/3 Όταν ισχύει m=nη λύση του z= Φ aδίνεται από τη σχέση : a = Φ - z Με την προϋπόθεση ότι det{φ} 0 z k = a k k + a k k + + a m m k k
Απλή πιστή αναλυτική παρεμβολή (/3 Πλεονεκτήματα Απλή διαδικασία επίλυσης Μειονεκτήματα Αντιστροή πίνακα μεγάλων διαστάσεων Για να ξεπεράσουμε το πρόβλημα ορίζουμε ως συνάρτηση βάσης την παρακάτω: γιαi= j Si j j = 0γιαi j και συνεπάγεται Φ = Ικαι a = z
Απλή πιστή αναλυτική παρεμβολή (3/3 Μειονεκτήματα (συνέχεια Ως μέθοδος παρεμβολής έχει πολλές παραμέτρους με αποτέλεσμα μια πολύπλοκη επιάνεια παρεμβολής
Επιλογή συναρτήσεων βάσης Συνήθως επιλέγονται ως συναρτήσεις βάσεις με καλά αποτελέσματα μονώνυμα της μορής i =x k l Με συνέπεια τη δημιουργία πολυωνύμων πλήρους βαθμού (για λόγους ομοιογένειας f m m = k= 0 l= 0 a k x kl l
Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ (/ Όταν m > nτότε υπάρχουν άπειρες λύσεις για το z = Φ a Για την άρση της απειρίας των λύσεων ορίζουμε μια συνθήκη ελαχίστων τετραγώνων μεταξύ των αγνώστων : a T R a= min όπου Rπίνακας βάρους των συντελεστών των αγνώστων a i Η λύση εαρμόζοντας την ΜΕΤ είναι : aˆ = R - Φ T (ΦR - Φ T - z
Πιστή αναλυτική παρεμβολή και πιστή αναλυτική του ελαχίστου μέτρου με τη ΜΕΤ (/ Ορισµός του πίνακα R Ο πίνακας βάρους Rτων συντελεστών των αγνώστων a i επιλέγεται είτε αυθαίρετα είτε είναι το αποτέλεσμα της ελαχιστοποίησης κάποιας παραμέτρου που συνδέεται άμεσα με τις συναρτήσεις βάσης και κατά συνέπεια με την προσεγγιστική συνάρτηση fο πίνακας Rθα πρέπει να έχει όλες τις ιδιότητες ενός πίνακα βάρους
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δημήτριος Σαραίδης Θεσσαλονίκη Εαρινό Εξάμηνο 0-3