Αριθμητική ολοκλήρωση με σημεία ρίζες πολυωνύμων του Chebyshev. Ανάργυρος Φραγκούλης

Ε Κ Π Α Σ Ε Τ Μ Δ Ε Ε Ε Μ Αριθμητική ολοκλήρωση με σημεία ρίζες πολυωύμω του Chebyshev Αάργυρος Φραγκούλης Δεκέμβριος 06

Περιεχόμεα Ευχαριστίες Σύοψη 3 Ορθογώια πολυώυμα - πολυώυμα του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους 4. Ορθογώια πολυώυμα......................... 4. Πολυώυμα του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους....... 9.. Πολυώυμα του Chebyshev πρώτου είδους.......... 9.. Πολυώυμα του Chebyshev δευτέρου είδους..........3 Ολοκληρωτικές σχέσεις για τα ορθογώια πολυώυμα του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους...................... 6 Γεικά στοιχεία αριθμητικής ολοκλήρωσης 6. Τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής........... 6. Σύγκλιση τύπω αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής...... 9.3 Το σφάλμα εός τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης για ααλυτικές συαρτήσεις................................ 3 3 Αριθμητική ολοκλήρωση με σημεία ρίζες πολυωύμω του Chebyshev 43 3. Τύπος του Fejér πρώτου είδους ή τύπος του Pólya.......... 43 3. Τύπος του Fejér δευτέρου είδους ή τύπος του Filippi......... 55 3.3 Τύπος του Basu............................. 65 3.4 Τύπος τω Clenshaw-Curtis...................... 8 4 Αριθμητικά Παραδείγματα 95 Βιβλιογραφία 04

Ευχαριστίες Η εργασία αυτή εκποήθηκε στο πλαίσιο του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδώ Εφαρμοσμέα Μαθηματικά του Τμήματος Μαθηματικώ του Ε.Κ.Π.Α.. Με τη ολοκλήρωση αυτού του ποήματος, ιώθω τη αάγκη α ευχαριστήσω μια σειρά από αθρώπους, οι οποίοι συέβαλα ποικιλοτρόπως στη υλοποίησή του. Αρχικά, θα ήθελα α ευχαριστήσω τους κκ. Δουγαλή και Δρακόπουλο για τη τιμή που μου έκαα α συμμετάσχου στη τριμελή επιτροπή, καθώς και για όλα όσα με αφοσίωση μας δίδαξα κατά τη διάρκεια του μεταπτυχιακού προγράμματος. Επίσης, το φίλο μου Δημοσθέη Χριστόπουλο, υποψήφιο διδάκτορα στο Παεπιστήμιο του Leicester, για τη, καθοριστικής σημασίας, βοήθειά του στο ξεκίημα της συγγραφής της εργασίας σε ζητήματα που αφορούσα στη γλώσσα σήμασης LaΤex. Ακόμη, θα ήθελα α ευχαριστήσω το συμφοιτητή μου Δημήτρη Μαυριδόπουλο για τη αμέριστη στήριξη, καθώς και για τις εποικοδομητικές μας συζητήσεις. Ασφαλώς, δε θα μπορούσα α παραλείψω το αξιαγάπητο Γρηγόρη Κουάδη, υποψήφιο διδάκτορα στο Παεπιστήμιο Αθηώ, τη ευγωμοσύη προς το πρόσωπο του οποίου, δυσκολεύομαι α περιγράψω με λέξεις. Τέλος, μα όχι λιγότερο, θα ήθελα ιδιαιτέρως α ευχαριστήσω το επιβλέποτα της εργασίας μου Καθηγητή κ. Σωτήριο Ε. Νοτάρη τόσο για τη ευκαιρία που μου έδωσε α περιηγηθώ στο θαυμαστό κόσμο της αριθμητικής ολοκλήρωσης όσο και για το ότι στάθηκε πολύτιμος δάσκαλος και καθοδηγητής καθ όλη τη διάρκεια αυτής της προσπάθειας.

Σύοψη Το θέμα της εργασίας, όπως δηλώει και ο τίτλος της, είαι η αριθμητική ολοκλήρωση, δηλαδή, η προσέγγιση της τιμής εός ορισμέου ολοκληρώματος με μια αριθμητική μέθοδο. Η αριθμητική ολοκλήρωση αποτελεί κλασσικό θέμα της αριθμητικής αάλυσης και η χρησιμότητά της οφείλεται, βασικά, σε δυο λόγους: Α f είαι η συάρτηση που ολοκληρώουμε, τότε μια παράγουσά της F μπορεί α προσδιορισθεί ααλυτικά μόο σε λίγες περιπτώσεις, εώ ακόμα κι ότα αυτό είαι εφικτό, ο υπολογισμός της F μπορεί α είαι ασύμφορος. Για τη, κατά το δυατό, αρτιότερη παρουσίαση τω εοιώ που μελετάμε, η εργασία διαρθρώεται σε τέσσερα κεφάλαια, όπου:. Στο πρώτο κεφάλαιο, εισάγουμε τη έοια τω ορθογωίω πολυωύμω σημειώοτας τις βασικότερες ιδιότητές τους, όπως ο ααδρομικός τύπος τους, οι ιδιότητες τω ριζώ τους, η ταυτότητα Christoffel-Darboux και κατόπι τα πολυώυμα του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους.. Στο δεύτερο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε βασικά στοιχεία αριθμητικής ολοκλήρωσης: Τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής, το βαθμό ακριβείας τους, τη σύγκλιση αυτώ τω τύπω για διάφορες κλάσεις συαρτήσεω, καθώς και το σφάλμα τους, μέσω μεθόδω χώρω Hilbert, για ααλυτικές συαρτήσεις. 3. Στο τρίτο κεφάλαιο, μελετάμε τέσσερις συγκεκριμέους τύπους αριθμητικής ο- λοκλήρωσης εκ παρεμβολής: Τους λεγόμεους τύπους του Fejér πρώτου και δευτέρου είδους, το τύπο του Basu και το τύπο τω Clenshaw-Curtis, εξετάζοτας για το καθέα τα ζητήματα που ααλύσαμε στο τρίτο κεφάλαιο. 4. Στο τέταρτο κεφάλαιο, προχωρούμε σε κάποια αριθμητικά παραδείγματα. Συγκεκριμέα, υπολογίζουμε το σφάλμα τω τύπω που μελετήσαμε στο τρίτο κεφάλαιο για μια σειρά από συαρτήσεις, προσεγγίζουμε το ολοκλήρωμα μιας συάρτησης που παρουσιάζει μια αωμαλία στο έα άκρο του διαστήματος ολοκλήρωσης, εώ τέλος βρίσκουμε φράγματα για το σφάλμα του τύπου του Fejér δευτέρου είδους για ααλυτικές συαρτήσεις. 3

Κεφάλαιο Ορθογώια πολυώυμα - πολυώυμα του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους. Ορθογώια πολυώυμα Η μέθοδος για α κατασκεύασουμε έα ορθογώιο σύστημα πολυωύμω είαι σχετικά απλή. Θεωρούμε αρχικά μια συάρτηση βάρους w, μια συάρτηση δηλαδή που είαι θετική στο πεπερασμέο διάστημα [a, b], εκτός απο μεμοωμέα σημεία όπου μηδείζεται, και για τη οποία ισχύει 0 < b wt)dt <. Δεδομέου ότι τα μοώυμα a, t, t,... C[a, b] είαι γραμμικά αεξάρτητες συαρτήσεις στο [a, b], μπορούμε α εφαρμόσουμε σ αυτά ορθογωοποίηση κατά Gram-Schmidt. Έτσι, προκύπτει έα σύολο πολυωύμω π k t), με συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα, για τα οποία ισχύου τα εξής βαθμός π k k, k 0,,,.... π k, π l w b a π k t)π l t)wt)dt { 0, k l, > 0, k l, όπου, w είαι το σύηθες εσωτερικό γιόμεο για συαρτήσεις στη συεχή του μορφή ως προς τη συάρτηση βάρους w. Κατ αυτό το τρόπο ορίζεται έα μοαδικό σύολο ορθογωίω πολυωύμω ως προς τη συάρτηση βάρους w στο διάστημα [a, b]. Πρέπει α σημειώσουμε ότι τα ορθογώια πολυώυμα είαι ιδιαίτερης σημασίας και έχου πληθώρα εφαρμογώ στη αριθμητική αάλυση γεικά αλλά και στη αριθμητική ολοκλήρωση ειδικότερα. Η αξία τους οφείλεται σε μια σειρά από πολύ σηματικές ιδιότητες που έχου αυτά τα πολυώυμα. Ααφέρουμε αρχικά μια απλή πρόταση και στη συέχεια δίουμε το ααδρομικό τύπο που ικαοποιού, ο οποίος έχει τόσο θεωρητική όσο και υπολογιστική αξία. Πρόταση... Τα ορθογώια πολυώυμα είαι γραμμικά αεξάρτητες συαρτήσεις. Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει a 0 π 0 + a π +... + a k π k 0, a i R, i 0,,..., k. 4

Τότε, a 0 π 0 + a π +... + a k π k, π i w 0, π i w, i 0,,..., k, και λόγω της γραμμικότητας του εσωτερικού γιομέου και της ορθογωιότητας, a i π i, π i w 0 a i 0, i 0,,..., k, επομέως, τα π 0, π,..., π k είαι γραμμμικά αεξάρτητα. Θεώρημα... Τα ορθογώια πολυώυμα π k, με συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα, ως προς τη συάρτηση βάρους w στο διάστημα [a, b], ικαοποιού το ααδρομικό τύπο π k+ t) t α k )π k t) β k π k t), k 0,,,..., π t) 0, π 0 t),.) όπου α k β k b a b a tπ k t)) wt)dt, k 0,,,...,.) π k t)) wt)dt b a b a π k t)) wt)dt π k t)) wt)dt, k,,.....3) Απόδειξη. Το πολυώυμο π k+ tπ k είαι βαθμού k και τα πολυώυμα π 0, π,..., π k αποτελού έα ορθογώιο σύστημα, άρα είαι γραμμικά αεξάρτητα. Συεπώς, το π k+ tπ k γράφεται σα γραμμικός συδυασμός τω π 0, π,..., π k, στη μορφή k π k+ t) tπ k t) α k π k t) β k π k t) + γ i π i t)..4) Σχηματίζοτας το εσωτερικό γιόμεο με το π k και στα δύο μέλη της.4), k π k+, π k w tπ k, π k w α k π k, π k w β k π k, π k w + γ i π i, π k w, και με βάση τη ορθογωιότητα και τις ιδιότητες του εσωτερικού γιομέου, i0 i0 tπ k, π k w α k π k, π k w α k π k, π k w tπ k, π k w α k tπ k, π k w π k, π k w, k 0,,,..., η οποία είαι ισοδύαμη με τη.). Τώρα, προκειμέου για τα β k, παίροτας το εσωτερικό γιόμεο της.4) με το π k, tπ k, π k w β k π k, π k w β k π k, π k w tπ k, π k w, 5

όπου tπ k, π k w Άρα, b a tπ k t)π k t)wt)dt b a π k t)tπ k t)wt)dt π k, tπ k w. β k π k, π k w π k, tπ k w..5) Όμως, το tπ k είαι έα πολυώυμο βαθμού k και μπορεί α γραφεί σα γραμμικός συδυασμός τω π 0, π,..., π k, tπ k π k + c k π k + + c 0 π 0,.6) όπου c i R, i 0,,..., k. Η.5), μέσω της.6), δίει, λόγω ορθογωιότητας, β k π k, π k w π k, π k w, σχέση ισοδύαμη με τη.3). Τέλος, παίροτας το εσωτερικό γιόμεο της.4) με κάθε έα από τα π i, i 0,,..., k, συμπεραίουμε ότι γ i 0, i 0,,..., k, οπότε αποδεικύεται η.). Παρατηρούμε, μέσω της.3), ότι τα β k > 0, k,,.... Ακόμη, βλέπουμε ότι μέσω του ααδρομικού τύπου μπορούμε α υπολογίσουμε το πολυώυμο π k. Πράγματι, αφού π t) 0 και π 0 t), υπολογίζοτας από τη.), με k 0, το a 0 και εφαρμόζοτας κατόπι τη.), με k 0, βρίσκουμε το π. Στη συέχεια, θέτοτας k διαδοχικά στις.),.3) και.) υπολογίζουμε τα a, β και π, κ.ο.κ. Η επόμεη ιδιότητα αφορά στις ρίζες εός ορθογωίου πολυωύμου. Συγκεκριμέα, ισχύει ότι: Θεώρημα..3. Οι ρίζες του ορθογωίου πολυωύμου π k, με συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα, ως προς τη συάρτηση βάρους w στο διάστημα [a, b], είαι πραγματικές, διακριτές και περιέχοται στο a, b). Απόδειξη. Κατ αρχάς, το π k είαι ορθογώιο ως προς το μοώυμο, συεπώς b a π kt)wt)dt 0. Άρα, υπάρχει τουλάχιστο έα σημείο στο a, b) στο οποίο το π k αλλάζει πρόσημο. Έστω τ, τ,..., τ l, l k, τα σημεία στα οποία το π k αλλάζει πρόσημο. Ας υποθέσουμε ότι l < k. Τότε το γιόμεο π k t)t τ )t τ ) t τ l ) έχει σταθερό πρόσημο στο a, b), οπότε, b a π k t)t τ )t τ ) t τ l )wt)dt 0, το οποίο είαι άτοπο γιατί t τ )t τ ) t τ l ) P l, συεπώς, λόγω ορθογωιότητας, το προηγούμεο ολοκλήρωμα θα έπρεπε α είαι 0. Άρα l k. Στη περίπτωση που η συάρτηση βάρους w είαι άρτια και το διάστημα [a, b] είαι συμμετρικό ως προς το 0, ισχύει το 6

Θεώρημα..4. Α για τη συάρτηση βάρους w ισχύει wt) wt) και το διάστημα [a, b] είαι συμμετρικό ως προς το μηδέ, δηλαδή a b, τότε τα ατίστοιχα ορθογώια πολυώυμα π k, με συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα, ικαοποιού τη σχέση π k t) ) k π k t), k 0,,,.....7) Επιπλέο, για τους συτελεστές α k στο ααδρομικό τύπο.) ισχύει Απόδειξη. Θέτουμε και για k l, b a α k 0, k 0,,,.....8) p k t) ) k π k t), k 0,,,..., p k t)p l t)wt)dt b b ) k π k t)) l π l t)wt)dt b ) k+l Κάοτας τη αλλαγή μεταβλητής t τ, b a b b π k t)π l t)wt)dt. b p k t)p l t)wt)dt ) k+l π k τ)π l τ)wτ)dτ) b ) k+l b π k τ)π l τ)wτ)dτ 0. Βλέπουμε ότι τα p k είαι ορθογώια ως προς τη συάρτηση βάρους w. Επιπλέο τα p k έχου συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα, συεπώς, λόγω της μοαδικότητας του συστήματος ορθογωίω πολυωύμω ως προς μια συάρτηση βάρους w, έπεται ότι p k t) π k t) ) k π k t) π k t), k 0,,,..., η οποία είαι ισοδύαμη με τη.7). Ουσιαστικά, η.7) λέει ότι ότα το k είαι άρτιο, τότε το π k είαι άρτιο, δηλαδή είαι έα πολυώυμο ως προς t, εώ ότα το k είαι περιττό, περιέχει μόο περιττές δυάμεις του t. Συεπώς, η tπ k t)) είαι περιττή συάρτηση, οπότε, b b tπ k t)) wt)dt 0, k 0,,,..., και από τη.) προκύπτει ότι α k 0, k 0,,,.... Τέλος, ααφέρουμε μια ιδιότητα τω ορθογωίω πολυωύμω που θα μας φαεί πολύ χρήσιμη στη συέχεια και είαι γωστή ως ταυτότητα Christoffel-Darboux. 7

Θεώρημα..5. Τα ορθογώια πολυώυμα π k, με συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα, ως προς τη συάρτηση βάρους w στο διάστημα [a, b], ικαοποιού n k0 π k t)π k x) π k, π k w Απόδειξη. Από τη.), έχουμε και πολλαπλασιάζοτας με π k x), π n+ t)π n x) π n t)π n+ x)..9) π n, π n w t x tπ k t) π k+ t) + α k π k t) + β k π k t), tπ k t)π k x) π k+ t)π k x) + α k π k t)π k x) + β k π k t)π k x). Εαλλάσσοτας τώρα τα t και x, xπ k x)π k t) π k+ x)π k t) + α k π k x)π k t) + β k π k x)π k t), και αφαιρώτας κατά μέλη τις δυο τελευταίες σχέσεις, t x)π k t)π k x) π k+ t)π k x) π k+ x)π k t) + β k [π k t)π k x) π k x)π k t)] t x)π k t)π k x) π k+ t)π k x) π k t)π k+ x) Ατικαθιστώτας τα β k, k,,..., από τη.3), β k [π k t)π k x) π k t)π k x)]. t x)π k t)π k x) π k+ t)π k x) π k t)π k+ x) π k, π k w π k, π k w [π k t)π k x) π k t)π k x)] t x)π kt)π k x) π k, π k w π k+t)π k x) π k t)π k+ x) π k, π k w π kt)π k x) π k t)π k x) π k, π k w. Αθροίζοτας τώρα από k μέχρι k n, n t x)π k t)π k x) π k, π k w π t)π x) π t)π x) π, π w π t)π 0 x) π 0 t)π x) π 0, π 0 w + π 3t)π x) π t)π 3 x) π, π w π t)π x) π t)π x) π, π w +... + π n+t)π n x) π n t)π n+ x) π n, π n w π nt)π n x) π n t)π n x) π n, π n w π n+t)π n x) π n t)π n+ x) π n, π n w π t)π 0 x) π 0 t)π x) π 0, π 0 w. 8

Όμως, από τη.), π 0 x) π 0 t), π t) t και π x) x, οπότε, n t x)π k t)π k x) π n+t)π n x) π n t)π n+ x) t x π k, π k w π n, π n w π 0, π 0 w t x n π k t)π k x) + t x) π n+t)π n x) π n t)π n+ x) π 0, π 0 w π k, π k w π n, π n w [ t x) + π 0, π 0 w [ π 0 t)π 0 x) t x) + π 0, π 0 w t x) n k0 n n π k t)π k x) π k, π k w ] π k t)π k x) π k, π k w π n+t)π n x) π n t)π n+ x) π n, π n w ] π n+t)π n x) π n t)π n+ x) π n, π n w π k t)π k x) [π n+ t)π n x) π n t)π n+ x)], π k, π k w π n, π n w και διαιρώτας με το t x καταλήγουμε στη.9).. Πολυώυμα του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους Ίσως το πλέο διαδεδομέο ορθογώιο σύστημα πολυωύμω είαι τα ορθογώια πολυώυμα του Legendre. Αυτά προκύπτου από ορθογωοποίηση κατά Gram-Schmidt στα μοώυμα, t, t,..., ως προς τη συάρτηση βάρους wt) στο διάστημα [, ]. Ωστόσο, εμείς θα ασχοληθούμε με δυο άλλα συστήματα ορθογωίω πολυωύμω, τα πολυώυμα του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους. Πρέπει α σημειώσουμε πως υπάρχου τέσσερα είδη πολυωύμω του Chebyshev, η χρησιμότητα τω οποίω στη Αριθμητική Αάλυση είαι ιδιαίτερα σηματική... Πολυώυμα του Chebyshev πρώτου είδους Τα πολυώυμα του Chebyshev πρώτου είδους προκύπτου α ορθογωοποιήσουμε τα μοώυμα, t, t,..., ως προς τη συάρτηση βάρους wt) t ) / στο διάστημα, ). Όμως, μπορού ισοδύαμα α οριστού μέσω της τριγωομετρικής σχέσης T n cos θ) cos nθ, 0 θ π..0) Το T n t) στη.0) ορίζεται για t. Όμως, εφόσο πρόκειται για πολυώυμο και γωρίζουμε τους συτελεστές του, μπορεί α οριστεί για κάθε πραγματικό αριθμό. Σε αυτή τη τριγωομετρική ααπαράσταση οφείλεται το πλήθος τω σηματικώ αλλά και πολύ χρήσιμω ιδιοτήτω που έχου τα ορθογώια πολυώυμα T n. Κατασκεύαζουμε αρχικά το ααδρομικό τύπο που πληρού τα πολυώυμα του Chebyshev πρώτου είδους. Οι τριγωομετρικές ταυτότητες για το συημίτοο του α- θροίσματος και της διαφοράς δυο γωιώ δίου cos n ± )θ cos nθ cos θ sin nθ sin θ, οπότε, cos n + )θ + cos n )θ cos θ cos nθ, 9

ή cos n + )θ cos θ cos nθ cos n )θ. Τώρα, μέσω της.0), και τη αλλαγή μεταβλητής t cos θ, καταλήγουμε στο ακόλουθο ααδρομικό τύπο T n+ t) tt n t) T n t), n,,..., T 0 t), T t) t..) Παρατηρούμε, μέσω της.), ότι τα T n έχου συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου n. Έτσι, τα ορθογώια πολυώυμα του Chebyshev πρώτου είδους, με συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα, δίοται από τη σχέση ˆT 0 t), ˆTn t) n T nt), n,,.....) Επίσης, η.) με τη βοήθεια της.), δίει n ˆTn+ t) t n ˆTn t) n ˆTn t), συεπώς, ο ααδρομικός τύπος που πληρού τα ˆT n είαι ˆT n+ t) t ˆT n t) 4 ˆT n t), n, 3,..., ˆT 0 t), ˆT t) t, ˆT t) t, όπου το ˆT υπολογίστηκε εφαρμόζοτας τη.) με n και εισάγοτας σε αυτή τη.) με n. Έχοτας υπ όψι το γεικό ααδρομικό τύπο που πληρού τα ορθογώια πολυώυμα με συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα, παρατηρούμε ότι οι συτελεστές α k της σχέσης.) στη περίπτωσή μας είαι 0, μιας και η συάρτηση βάρους είαι άρτια και το διάστημα, ) είαι συμμετρικό ως προς το 0. Δείχουμε τώρα τη ορθογωιότητα τω T n, βασιζόμεοι πάλι στη.0). Έχουμε T n, T m w T n t)t m t)wt)dt και κάοτας τη αλλαγή μεταβλητής t cos θ, T n t)t m t) dt, t 0 T n t)t m t) dt T n cos θ)t m cos θ) sin θ)dθ t sin θ π π 0 π cos nθ cos mθdθ [cos n + m)θ + cos n m)θ] dθ 0 [ ] π sin n + m)θ sin n m)θ +, n m, [ n + m ] n m π 0 sin nθ + θ, n m > 0, n 0 [θ] π 0, n m 0. 0

Τελικά, T n, T m w 0, n m, T n t)t m t) dt π t, n m > 0, π, n m 0. Τώρα, η.3) σε συδυασμό με τη.), δίει ˆT n, ˆT m w ˆT n t) ˆT 0, n m, m t) dt π, n m > 0, t n π, n m 0..3).4) Επίσης, βασικό πλεοέκτημα τω T n είαι η ακριβής γώση τω ριζώ τους, μιας και ο υπολογισμός τους αάγεται στη επίλυση μιας απλής τριγωομετρικής εξίσωσης. Έτσι, T n t) 0 T n cos θ) 0 cos nθ 0 cos nθ cos ) π,,,..., n nθ ) π,,,..., n θ θ ) Άρα, οι ρίζες του T n δίοται από τη σχέση )π,,,..., n. n τ ) cos θ ), θ ) π,,,..., n..5) n Ακόμη, έχει εδιαφέρο α δούμε τη μορφή που παίρει η ταυτότητα Christoffel- Darboux στη περίπτωση τω T n, για τα οποία ισχύει παρ ότι δε έχου συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα. Από τη.9), έχουμε n k0 ˆT k t) ˆT k x) ˆTn+ t) ˆT k, ˆT ˆT n x) ˆT n t) ˆT n+ x) k w ˆT n, ˆT n w t x n ˆT 0, ˆT 0 w + ˆT k t) ˆT k x) ˆT k, ˆT k w η οποία, μέσω τω.4) και.), γίεται n π + k T kt) k T kx) π k π + k k π π + n π π n n T k t)t k x) π ˆTn+ t) ˆT n x) ˆT n t) ˆT n+ x) ˆT n, ˆT, n w t x n T n+t) n T nx) n T nt) n T n+x) t x T k t)t k x) n T n+ t)t n x) T n t)t n+ x) π n t x T n+ t)t n x) T n t)t n+ x), t x

επομέως, η ταυτότητα Christoffel-Darboux για τα T n είαι + n T k t)t k x) T n+t)t n x) T n t)t n+ x)..6) t x Τέλος, μπορούμε με απλούς υπολογισμούς α βρούμε τη τιμή του T nt)dt. Κάοτας, όπως και προηγουμέως, τη αλλαγή μεταβλητής t cos θ, T n t)dt 0 π T n cos θ) sin θ)dθ π 0 cos nθ sin θdθ, και χρησιμοποιώτας τις τριγωομετρικές ταυτότητες για το ημίτοο του αθροίσματος και της διαφοράς δυο γωιώ sin ± n)θ sin θ cos nθ ± cos θ sin nθ,.7) π 0 cos nθ sin θdθ π 0 [sin + n)θ + sin n)θ] dθ [ cos + n)θ + n + n) [cos + n)π ] [cos n)π ] n) + n) cos nπ ) cos nπ ) n) + n) cos nπ + ) + cos nπ + ) n) + n + ) cos nπ + ) n n n cos nπ + ) { +, n άρτιος, +, n περιττός. ] π cos n)θ n 0 Τελικά, T n t)dt n, n άρτιος, 0, n περιττός..8).. Πολυώυμα του Chebyshev δευτέρου είδους Τα πολυώυμα αυτά προκύπτου από ορθογωοποίηση κατά Gram-Schmidt στα μοώυμα, t, t,..., ως προς τη συάρτηση βάρους wt) t ), στο διάστημα, ). Ωστόσο, όπως και τα T n, μπορού α οριστού μέσω μιας τριγωομετρικής σχέσης. Δηλαδή: sin n + )θ U n cos θ), 0 θ π..9) sin θ

Με τη βοήθεια της.9), θα κατασκεύασουμε το ααδρομικό τύπο που πληρού τα U n. Κατ αρχάς, sin n + )θ sin n + )θ cos θ + cos n + )θ sin θ, και sin nθ sin n + )θ cos θ cos n + )θ sin θ. Προσθέτοτας κατά μέλη τις δυο τελευταίες σχέσεις και διαιρώτας με το sin θ, sin n + )θ sin θ + sin nθ sin θ sin n + )θ cos θ, sin θ η οποία, μέσω της.9), δίει Θέτοτας τώρα cos θ t, U n+ cos θ) + U n cos θ) cos θu n cos θ). U n+ t) tu n t) U n t), n,,..., U 0 t), U t) t,.0) όπου τα U 0, U υπολογίστηκα, μέσω της.9), ως εξής και U cos θ) U 0 cos θ) sin θ sin θ U 0t), sin θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ U t) t. Παρατηρούμε ότι τα T n και U n ικαοποιού το ίδιο ααδρομικό τύπο, όμως οι διαφορετικές αρχικές συθήκες παράγου διαφορετικά ορθογώια συστήματα πολυωύμω. Επίσης, ο συτελεστής του μεγιστοβαθμίου όρου του U n είαι n. Συεπώς, τα ορθογώια πολυώυμα του Chebyshev δευτέρου είδους, με συτελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου μοάδα, ορίζοται από τη σχέση η οποία, σε συδυασμό με τη.0), δίει Û n t) n U nt), n 0,,...,.) n+ Û n+ t) t n Û n t) n Û n t). Επομέως, ο ααδρομικός τύπος που πληρού τα Ûn είαι Û n+ t) tûnt) 4Ûnt), n,,..., Û 0 t), Û t) t. Δείχουμε τώρα τη ορθογωιότητα τω U n. Έχουμε U n, U m w U n t)u m t)wt)dt U n t)u m t) t dt, 3

και εφαρμόζοτας το μετασχηματισμό t cos θ, U n t)u m t) t dt 0 π π 0 π 0 U n cos θ)u m cos θ) sin θ sin θ)dθ sin n + )θ sin θ sin m + )θ sin θ sin n + )θ sin m + )θdθ. sin θdθ Από τις τριγωομερικές ταυτότητες για το συημίτοο του αθροίσματος και της διαφοράς δυο γωιώ, έχουμε και cos n + m + )θ cos n + )θ cos m + )θ sin n + )θ sin m + )θ, cos n m)θ cos [n + ) m + )]θ cos n + )θ cos m + )θ + sin n + )θ sin m + )θ, οπότε, αφαιρώτας κατά μέλη τις δυο τελευταίες σχέσεις, sin n + )θ sin m + )θ [cos n m)θ cos n + m + )θ], και το ολοκλήρωμα γράφεται π 0 sin n + )θ sin m + )θdθ π [cos n m)θ cos n + m + )θ] dθ 0 [ ] π sin n m)θ sin n + m + )θ, n m, n m n + m + [ ] π 0 sin n + )θ θ, n m 0. n + ) Άρα, διαπιστώουμε ότι U n, U m w Τώρα, η.) σε συδυασμό με τη.), δίει Ûn, Ûm w 0 U n t)u m t) { 0, n m, t dt π, n m 0..) Û n t)ûmt) t dt { 0, n m, π n+, n m 0..3) 4

Ακολούθως, υπολογίζουμε τις ρίζες του U n. Έχουμε U n t) 0 U n cos θ) 0 sin n + )θ 0 sin n + )θ 0 sin θ sin n + )θ sin π,,,..., n n + )θ π,,,..., n θ θ ) π,,,..., n, n + οπότε, οι ρίζες του U n δίοται από τη σχέση τ ) cos θ ), θ ) π,,,..., n..4) n + Ακόμη, όπως για τα T n, θα δούμε τη μορφή που παίρει η ταυτότητα Christoffel- Darboux για τα U n. Aπό τη.9), n k0 Û k t)ûkx) Ûk, Ûk w U ˆ n, ˆ και λαμβάοτας υπ όψι τις.) και.3), n k0 k U kt) k U kx) π k+ k+ k π n k0 n k0 π n+ U k t)u k x) n+ π Û n+ t)ûnx) Ûnt)Ûn+x), U n w t x n+ U n+t) n U nx) n U nt) n+ U n+x) t x U n+ t)u n x) U n t)u n+ x) n+ t x U k t)u k x) U n+t)u n x) U n t)u n+ x)..5) t x Τέλος, υπολογίζουμε το U nt)dt, κάοτας, όπως και στη περίπτωση τω T n, τη αλλαγή μεταβλητής t cos θ. Συεπώς, U n t)dt 0 π π 0 U n cos θ) sin θ)dθ sin n + )θdθ π 0 sin n + )θ sin θ [ cos n + )θ n + ] π 0 sin θdθ [cos n + )π ] cos nπ ) n + n + n + n + + cos nπ) { +, n άρτιος, + ), n περιττός. Τελικά, U n t)dt n +, n άρτιος, 0 n περιττός..6) 5

.3 Ολοκληρωτικές σχέσεις για τα ορθογώια πολυώυμα του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους Ολοκληρώουμε αυτή τη σύτομη μελέτη τω ορθογωίω πολυωύμω του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους, υπολογίζοτας τα ολοκληρώματα dt και t )π n t) r t π n t) r t dt, r >, όπου το πολυώυμο π n είαι είτε το T n ή το U n. Η γώση αυτώ τω ολοκληρωμάτω είαι από μόη της σηματική, επιπλέο όμως θα μας βοηθήσει α εξασφαλίσουμε φράγματα για τη όρμα του συαρτησιακού του σφάλματος συγκεκριμέω τύπω αριθμητικής ολοκλήρωσης. Σημειώουμε αρχικά δυο λήμματα που θα μας φαού χρήσιμα στη συέχεια. Το πρώτο δε είαι παρά το Θεώρημα..4, το οποίο ισχύει για τα T n και τα U n μολοότι ο συτελεστής του μεγιστοβαθμίου όρου τους δε είαι μοάδα. Λήμμα.3.. Ισχύει α) T n t) ) n T n t), n 0,,,.....7) β) U n t) ) n U n t), n 0,,,.....8) Απόδειξη. α) Α θέσουμε στη.0) όπου θ το π + θ, έχουμε T n cos π + θ)) cos nπ + θ)) T n cos θ) cos nπ cos nθ sin nπ sin nθ T n cos θ) ) n cos nθ T n cos θ) ) n T n cos θ), και κάοτας τη αλλαγή μεταβλητής cos θ t, T n t) ) n T n t), σχέση ισοδύαμη με τη.7). β) Με αάλογο τρόπο αποδεικύεται και η.8). Θέτοτας τώρα στη.9) όπου θ το π + θ, U n cos π + θ)) U n cos θ) και ατικαθιστώτας το cos θ με t, sin n + )π + θ)) sin π + θ) sin n + )π cos n + )θ + cos n + )π sin n + )θ cos nπ sin n + )θ sin θ )n sin n + )θ sin θ ) n U n cos θ), η οποία είαι ισοδύαμη με τη.8). sin θ U n t) ) n U n t), 6

Λήμμα.3.. Έστω U t) 0. Τότε T n t) {U nt) U n t)}, n,,.....9) Απόδειξη. Από τη.7) και τη.9), έχουμε σχέση ισοδύαμη με τη ζητούμεη. sin n + )θ sin n )θ cos nθ sin θ sin n + )θ sin n )θ cos nθ sin θ sin θ U n cos θ) U n cos θ) T n cos θ) U n t) U n t) T n t), Μπορούμε τώρα α παρουσιάσουμε τους τύπους, μέσω τω οποίω, υπολογίζοται τα ολοκληρώματα που ααφέραμε προηγουμέως. Πρόταση.3.3. Έστω r R με r >. α) Έχουμε και β) Έχουμε T n t) r t dt T nr) ln U n t) r t dt U nr) ln ) [n+)/] r + 4 r ) [n+)/] r + 4 r T nk+ r),.30) k U nk+ r)..3) k και T n t) r + t dt T nr) ln U n t) r + t dt U nr) ln ) [n+)/] r + + 4 r ) [n+)/] r + + 4 r T nk+ r),.3) k U nk+ r)..33) k Με [ ] συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος εός πραγματικού αριθμού, εώ με το σύμβολο εοούμε ότι ο τελευταίος όρος του αθροίσματος υποδιπλασιάζεται ότα το n είαι περιττός. Απόδειξη. α) Θα ξεκιήσουμε με τη.3), με τη βοήθεια της οποίας θα αποδείξουμε τη.30). Θα εφαρμόσουμε επαγωγή στο n. Για n, μέσω της.0), έχουμε U t) r t dt t r t dt, 7

και προσθαφαιρώτας το όρο r στο αριθμητή του ολοκληρώματος στο δεξί μέλος της τελευταίας σχέσης, U t) r t dt r t r + r dt r t r t dt r[lnr ) lnr + )] 4 r[lnr + ) lnr )] 4 ) r + r ln 4 r ) r + U r) ln 4. r Έστω ότι η.3) ισχύει για m n, δηλαδή, r r t dt + t r r t dt dt r [ lnr t) ] 4 ) [n/] U n t) r + U nk r) dt U n r) ln 4 r t r k..34) Υποθέτουμε ακόμη ότι ισχύει για m n, οπότε, U n t) r t dt U nr) ln ) [n+)/] r + 4 r U nk+ r),.35) k και θα δείξουμε ότι ισχύει για m n +. Διαιρώτας με r t τη πρώτη σχέση της.0) και ολοκληρώοτας, U n+ t) tu n t) dt r t r t dt U n t) dt. r t Τώρα, προσθαφαιρώτας το όρο ru n t) στο αριθμητή του πρώτου ολοκληρώματος στο δεξί μέλος της προηγούμεης σχέσης, U n+ t) dt r t tu n t) ru n t) + ru n t) dt r t U n t)dt + r U n t) r t dt U n t) dt r t U n t) dt..36) r t Έχουμε ήδη υπολογίσει στη.6) το πρώτο ολοκλήρωμα στο δεξί μέλος της.36), εώ οι τιμές τω άλλω δυο ολοκληρωμάτω είαι γωστές από τη υπόθεση της επαγωγής. Διακρίουμε δυο περιπτώσεις για το n. Α το n είαι άρτιος, τότε η.36), σε 8

συδυασμό με τις.6),.35) και.34), δίει U n+ t) dt r t 4 n + + r U nr) ln U nr) ln ) [n+)/] r + 4 r ) [n/] r + 4 r ) r + r U nk r) k U nk+ r) k {ru n r) U n r)} ln [n+)/] [n/] 4 r U nk+ r) U nk r) k k + n + ) r + {ru n r) U n r)} ln r { { 4 r U n r) + 3 U n3r) + 5 U n5r) +... + { U n r) + 3 U n4r) + 5 U n6r) +... + ) r + {ru n r) U n r)} ln r { 4 {ru n r) U n r)} + 3 {ru n3r) U n4 r)} +... + n {ru r) U 0 r)} + }, n + η οποία, μέσω της.0), γίεται } n U r) } n U 0r) } + n + ) U n+ t) r + dt U n+ r) ln r t r { 4 U n r) + 3 U nr) +... + n U r) + } n + U 0r)..37) Έστω τώρα ότι το n είαι περιττός. Εφαρμόζοτας ξαά τις.6),.35), και.34) 9

στη.36), έχουμε U n+ t) dt r t U n t) r r t dt r + r U nr) ln r U nr) ln U n t) dt r t ) [n+)/] 4 ) [n/] r + 4 r ) r + r U nk+ r) k U nk r) k {ru n r) U n r)} ln [n+)/] [n/] 4 r U nk+ r) U nk r) k k ) r + {ru n r) U n r)} ln r { { 4 r U n r) + 3 U n3r) + 5 U n5r) +... + } n U 0r) { U n r) + 3 U n4r) + 5 U n6r) +... + ) r + {ru n r) U n r)} ln r { 4 {ru n r) U n r)} + 3 {ru n3r) U n4 r)} και, μέσω της.0), } } n U r) +... + n {ru r) U r)} + } n {ru 0r) U r)}, ) U n+ t) r + dt U n+ r) ln r t r { 4 U n r) + 3 U nr) +... + n U 3r) + } n U r). Τώρα, η.37), μαζί με τη.38), δίει U n+ t) dt U n+ r) ln r t ) [n+)/] r + 4 r U n+k+ r), k.38) 0

σχέση που αποδεικύει το ισχυρισμό της επαγωγής, άρα και τη.3). Αποδεικύουμε τώρα τη.30). Διαιρώτας και τα δυο μέλη της.9) με το όρο r t και ολοκληρώοτας, T n t) r t dt και με τη βοήθεια της.3), έχουμε U n t) r t dt U n t) r t dt, T n t) r t dt ) [n+)/] r + U U nk+ r) nr) ln 4 r k ) [n)/] r + U nk r) U n r) ln + 4 r k ) r + {U nr) U n r)} ln r [n+)/] [n)/] U nk+ r) U nk r) k k ) r + {U nr) U n r)} ln r {{ { } U n r) + U n3r) + U U r) n5r) +... + n, n άρτιος, U 3 5 0r) n { {, n περιττός }} U n3 r) + U n5r) + U U r) n7r) +... + n3, n άρτιος, U 3 5 0r) n, n περιττός ) r + {U nr) U n r)} ln r { 4 {U nr) U n3 r)} + 3 {U n3r) U n5 r)} { } +... + n3 {U 3r) U r)} + n {U r) U r)}, n άρτιος, n {U r) U 0 r)} + n U, 0r), n περιττός η οποία, μέσω της.9), δίει 4 ) T n t) r + r t dt T nr) ln r { T n r) + 3 T n3r) +... + σχέση ισοδύαμη με τη.30). { n3 T 3r) + n T r), n T r) + n, } n άρτιος, n περιττός,

β) Προκειμέου για τη.3), αποδεικύεται εύκολα με τη βοήθεια της.30). Θέτοτας στη τελευταία όπου t το t, T n t) r + t dt T nr) ln ) [n+)/] r + 4 r T nk+ r). k Όμως, λόγω του α) του Λήμματος.3., η προηγούμεη σχέση γράφεται ) n ) [n+)/] T n t) r + T nk+ r) dt T n r) ln 4 r + t r k T n t) r + t dt )n T n r) ln T n t) r + t dt )n T n r) ln 4) k T n t) r + t dt T nr) ln ) [n+)/] r + 4) n T nk+ r) r k ) r + r [n+)/] r + r ) nk+ T nk+ r) k ) [n+)/] + 4 T nk+ r). k Τέλος, η.33) αποδεικύεται όπως ακριβώς και η.3). Κάοτας τη αλλαγή μεταβλητής t t στη.3) και λαμβάοτας υπ όψι το β) του Λήμματος.3. προκύπτει το ζητούμεο. Πρόταση.3.4. Έστω r R με r >. α) Έχουμε και t ) [n+)/] )T n t) r + dt r )T n r) ln 4r T nk+ r) ) r t r k r + n, n άρτιος,.39) n 4, n περιττός, t )T n t) dt ) n r + t t )T n t) dt..40) r t

και β) Έχουμε t ) [n+)/] )U n t) r + dt r )U n r) ln 4r U nk+ r) ) r t r k r n +, n άρτιος, n + ).4) nn + ), n περιττός, t )U n t) dt ) n r + t t )U n t) dt..4) r t Απόδειξη. α) Προκειμέου για τη.39), προσθαφαιρώτας το όρο r T n t) στο αριθμητή του ολοκληρώματος στο αριστερό μέλος της, t )T n t) dt r t t r + r )T n t) dt r t t r )T n t) dt + r t r )T n t) dt r t t )T n t) dt r T n t) ) r t r t dt r r )T n t) dt r t r + t)t n t)dt T n t)dt tt n t)dt..43) Τώρα, γωρίζουμε ήδη τα δυο πρώτα ολοκληρώματα στο δεξί μέλος της.43), εώ εύκολα μπορούμε α υπολογίσουμε και το τρίτο. Πράγματι, από το ααδρομικό τύπο που πληρού τα T n βλέπε.), και ολοκληρώοτας, tt n t) T n+t) + T nt), tt n t)dt T n+ t)dt + T n t)dt. Ακόμη, μέσω της.8), T n+ t)dt n + ), n περιττός, 0, n άρτιος nn + ), n περιττός, 0, n άρτιος, 3

και T n t)dt n ), n περιττός, 0, n άρτιος nn ), n περιττός, 0, n άρτιος, συεπώς, το ολοκλήρωμα που ζητάμε είαι [ ] + [ ], n περιττός, tt n t)dt nn + ) nn ) 0, n άρτιος nn + ) nn ), n περιττός, 0, n άρτιος n nn 4), n περιττός, 0, n άρτιος tt n t)dt n 4, n περιττός,.44) 0, n άρτιος. Τέλος, εφαρμόζοτας τις.30),.8) και.44) στη.43), έχουμε { t )T n t) dt r ) T n r) ln r t r n, n 4, ) [n+)/] r + 4 r n άρτιος, n περιττός, σχέση ισοδύαμη με τη.39). Για α δείξουμε τη.40), θέτουμε στη.39), όπου t το t, οπότε, t )T n t) dt r + t r )T n r) ln r + n, n 4, ) [n+)/] r + 4r T nk+ r) ) r k n άρτιος, n περιττός, } T nk+ r) k 4

η οποία, λόγω του α) του Λήμματος.3., γίεται t )) n T n t) dt r + t r )T n r) ln r + n, n 4, n ) ) [n+)/] r + 4r T nk+ r) ) r k n άρτιος, n περιττός t )T n t) dt r + t t )T n t) dt, r t σχέση ισοδύαμη με τη.40). β) Η απόδειξη της.4) είαι παρόμοια με αυτή της.39). Όπως και στη περίπτωση τω T n, ισχύει t )U n t) dt r U n t) ) r t r t dt r U n t)dt tu n t)dt..45) Σχετικά με το τελευταίο ολοκλήρωμα στο δεξί μέλος της.45), μέσω της.0), έχουμε tu n t)dt U n+ t)dt + U n t)dt. Τώρα, με τη βοήθεια της.6), U n+ t)dt n +, n περιττός, 0, n άρτιος, και Άρα, U n t)dt n, n περιττός, 0, n άρτιος. n + ) tu n t)dt nn + ), n περιττός, 0, n άρτιος..46) Εισάγοτας τις.3),.6) και.46) στη.45) προκύπτει η.4). Τέλος, για α δείξουμε τη.4), θέτουμε στη.4) όπου t το t και χρησιμοποιώτας το β) του Λήμματος.3. έπεται το ζητούμεο. 5

Κεφάλαιο Γεικά στοιχεία αριθμητικής ολοκλήρωσης. Τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής Ας θεωρήσουμε το ολοκλήρωμα ft)dt. Έας φυσιολογικός τρόπος για α προσεγγίσουμε τη τιμή του είαι α υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα του πολυωύμου πα- ρεμβολής της f. Α τ, τ,..., τ n είαι n διακριτά σημεία, διατεταγμέα σε φθίουσα σειρά στο αοιχτό διάστημα, ), τότε ft) p n f; t) + r n f; t), t [, ], όπου p n f; t) είαι το πολυώυμο παρεμβολής της f, βαθμού το πολύ n, το οποίο σε μορφή Lagrange γράφεται όπου p n f; t) p n f; τ, τ,..., τ n ; t) l t) n k n fτ )l t), t τ k τ τ k,,,..., n, είαι το -οστό στοιχειώδες πολυώυμο του Lagrange και r n f; t) το σφάλμα της πολυωυμικής παρεμβολής, που δίεται από τη σχέση r n f; t) f n) ξ) n! n t τ ), a < ξ ξt) < b, υπό τη προϋπόθεση ότι f C n [, ]. Άρα, για κάθε t [, ], ft) n fτ )l t) + r n f; t), 6

και ολοκληρώοτας, επομέως, ft)dt n n fτ )l t)dt + ft)dt l t)dt fτ ) + r n f; t)dt r n f; t)dt, n w fτ ) + R n f),.) όπου w l t)dt και R n f) r nf; t)dt. Βέβαια, τα w,,,..., n, μπορού α δοθού σε μια πιο πρακτική μορφή. Α π n t) n t τ ), τότε συεπώς, l t) w π nτ ) π n t) t τ )π nτ,,,..., n, ) π n t) t τ dt,,,..., n..) Κατ αυτό το τρόπο κατασκεύαζουμε έα τύπο αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής ως προς τη συάρτηση βάρους του Legendre wt) στο διάστημα [, ]. Τα τ, τ,..., τ n λέγοται κόμβοι εώ τα w,,,..., n, είαι τα ατίστοιχα βάρη, τα οποία είαι πραγματικοί αριθμοί. Α στο σύολο τω κόμβω προσθέσουμε και τα άκρα του διαστήματος ολοκλήρωσης και, τότε καταλήγουμε σε έα διαφορετικό τύπο αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής, που είαι της μορφής ft)dt w 0f) + n wfτ ) + wn+f) + Rnf)..3) Ο.3) λέγεται κλειστός τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης, εώ ο.) αοικτός. Σκοπός μας είαι μια διεξοδική μελέτη τω τύπω εκ παρεμβολής.) και.3), με κόμβους τις ρίζες του T n ή του U n. Το εγχείρημα αυτό ξεκίησε ο Fejér το 933 βλέπε [6]) και αποτέλεσε ατικείμεο μελέτης τα χρόια που ακολούθησα. Ιδιαίτερης σημασίας είαι το γεγοός ότι τα βάρη στους ε λόγω τύπους μπορού α υπολογιστού ααλυτικά σε κλειστή μορφή. Έτσι, οι τύποι αυτοί έχου ιδιαίτερη αξία οχι μόο επειδή μπορού α κατασκευαστού εύκολα, αλλά επειδή έα πλήθος ερωτημάτω θεωρητικού και πρακτικού χαρακτήρα μπορεί επίσης α απατηθεί. Συγκεκριμέα, τα ζητήματα που θα μας απασχολήσου είαι καταρχή ο βαθμός ακριβείας τω τύπω, οι ααλυτικοί τύποι για τα βάρη, η θετικότητα τω βαρώ, η σύγκλιση για συαρτήσεις οι οποίες είαι ολοκληρώσιμες κατά Riemann, η σύγκλιση για συαρτήσεις που παρουσιάζου κάποια αωμαλία είτε στο έα είτε και στα δυο άκρα του διαστήματος, εώ τέλος θα μελετήσουμε το σφάλμα τω τύπω για ααλυτικές συαρτήσεις. Ας αποσαφηίσουμε πρώτα τις έοιες που ααφέραμε. 7

Ότα ζητάμε το βαθμό ακριβείας εός τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης, εοούμε το μέγιστο βαθμό τω πολυωύμω που ο τύπος αυτός ολοκληρώει ακριβώς, δηλαδή, το μέγιστο βαθμό τω πολυωύμω για τα οποία το σφάλμα του τύπου είαι μηδέ. Τώρα, ααφορικά με το τύπο.), από τις συθήκες της πολυωυμικής παρεμβολής αλλά και από το τύπο για το σφάλμα της, βλέπουμε ότι α f P n, τότε p n f; t) ft), t [, ], δηλαδή r n f; t) 0, t [, ], επομέως, R n f) 0 για κάθε f P n. Συεπώς, ο τύπος.) ολοκληρώει ακριβώς με σφάλμα 0) όλα τα πολυώυμα βαθμού n, δηλαδή, έχει βαθμό ακριβείας τουλάχιστο n. Με το ίδιο συλλογισμό διαπιστώουμε ότι ο τύπος.3) έχει βαθμό ακριβείας τουλάχιστο n +. Γεικά, λέμε ότι έας τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης έχει βαθμό ακριβείας, επακριβώς d, α ολοκληρώει ακριβώς όλα τα πολυώυμα βαθμού d και υπάρχει πολυώυμο βαθμού d + για το οποίο το σφάλμα είαι διάφορο του μηδεός. Ακόμη, εύκολα διαπιστώει καείς ότι α γωρίζει τα βάρη στο τύπο.), τότε μπορεί α υπολογίσει τα βάρη στο τύπο.3). Αυτό φαίεται στη Πρόταση... Τα βάρη του τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής.3) δίοται από τις σχέσεις w w + w 0 t + τ )π n t)dt τ )π nτ ) + t)π n t)dt π n ), w n+,,,..., n,.4) t)π n t)dt π n ),.5) όπου π n t) n t τ ) και w είαι τα βάρη του τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής.). Απόδειξη. Θεωρούμε τη συάρτηση f t) t )π n t)/t τ ),,,..., n, που είαι εα πολυώυμο βαθμού n+, οπότε, o τύπος.3) τη ολοκληρώει ακριβώς. Έτσι, θέτοτας f f στη.3), t )π n t) dt τ )π t τ nτ )w w τ )π nτ ) τ )π nτ ) τ )π nτ ) t )π n t) dt t τ t τ + τ )π n t) dt t τ t τ )π n t) dt + t τ τ )π n t) t τ dt 8

τ )π nτ ) π nτ ) η οποία, μέσω της.), δίει w w + π n t) dt + t τ t + τ )π n t)dt + τ ) t + τ )π n t)dt t + τ )π n t)dt τ )π nτ ) τ )π nτ ),,,,..., n. π n t) dt t τ Οι σχέσεις που δίου τα w 0 και w n+ αποδεικύοται με παρόμοιο τρόπο. Για το w 0, θέτοτας στο τύπο.3) τη συάρτηση ft) t + )π n t), t + )π n t)dt w 0π n ) w 0 εώ, για το w n+, θέτοτας ft) t )π n t), + t)π n t)dt t )π n t)dt w n+)π n ) w n+ π n ) t)π n t), π n ).. Σύγκλιση τύπω αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής Σε αυτή τη εότητα, θα μελετήσουμε τη σύγκλιση του τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης.), ο οποίος θα θεωρήσουμε αρχικά ότι δε είαι κατ αάγκη εκ παρεμβολής αλλά έας τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης με n σημεία και βαθμό ακριβείας d. Δεδομέης μιας κλάσης F συαρτήσεω f, θα προσδιορίσουμε τις συθήκες που πρέπει α πληρού οι κόμβοι τ και τα βάρη w, προκειμέου ο τύπος α συγκλίει για κάθε f F. Ξεκιάμε με τη κλάση τω συεχώ συαρτήσεω στο κλειστό διάστημα [, ], παρουσιάζοτας έα αποτέλεσμα τω Pólya και Steklov βλέπε [, σελ. 64]). Έστω If) ft)dt, Q nf) n w fτ ), τ 0 και τ n+. Θεώρημα... Στο τύπο αριθμητικής ολοκλήρωσης.), έχουμε lim n Q n f) If) για κάθε συάρτηση f που είαι συεχής στο κλειστό διάστημα [, ] α. Ο τύπος συγκλίει για κάθε πολυώυμο, δηλαδή, lim Q nf) If) για κάθε ft) t k, k 0,,,.... n 9

. Υπάρχει αριθμός M R τέτοιος ώστε n w M, n,,.... Τα επόμεα δυο θεωρήματα είαι άμεσες συέπειες του Θεωρήματος... Θεώρημα... Στο τύπο αριθμητικής ολοκλήρωσης.), έχουμε lim n Q n f) If) για κάθε συάρτηση f που είαι συεχής στο κλειστό διάστημα [, ] α. lim n Q n f) If) για κάθε ft) t k, k 0,,,..... Τα βάρη w, n,,..., είαι μη αρητικά. Θεώρημα..3. Α ο τύπος.) είαι εκ παρεμβολής, τότε συγκλίει για κάθε συάρτηση f που είαι συεχής στο κλειστό διάστημα [, ] α n w M <. Τώρα, η σύγκλιση του τύπου.) για συαρτήσεις που είαι ολοκληρώσιμες κατά Riemann στο διάστημα [, ] μπορεί α εξασφαλιστεί μέσω του ακόλουθου αποτελέσματος του Rabinowitz, το οποίο αποτελεί γείκευση του Θεωρήματος... Θεώρημα..4 [, Λήμμα με wt) ]). Στο τύπο αριθμητικής ολοκλήρωσης.), έχουμε lim n Q n f) If) για κάθε συάρτηση f που είαι ολοκληρώσιμη κατά Riemann στο κλειστό διάστημα [, ] α. lim n Q n f) If) για κάθε ft) t k, k 0,,,.... n. lim n w. Θεωρούμε τώρα τη κλάση M[, ) τω συαρτήσεω f που είαι συεχείς στο ημι-αοιχτό διάστημα [, ), μοότοες σε μια περιοχή του και τέτοιες ώστε το x lim x ft)dt υπάρχει. Οι κλάσεις M, ] και M, ) ορίζοται με αάλογο τρόπο, εώ με M συμβολίζουμε τη έωση τω τριώ κλάσεω. Α η συάρτηση f M είαι φραγμέη, τότε η f C[, ]. Από το ορισμό της M, το ολοκλήρωμα If) υπάρχει σα έα γεικευμέο ολοκλήρωμα. Ααφορικά με τη σύγκλιση του τύπου.) για συαρτήσεις f M, οχι απαραίτητα φραγμέες, ισχύει το βλέπε [, σελ. 94]) Θεώρημα..5. Έστω ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης.) και μια συάρτηση f M[, ). Τότε lim n Q nf) If), α ικαοποιούται οι ακόλουθες δυο συθήκες:. lim n Q n g) Ig) g C[, ].. Υπάρχου σταθερές c > 0 και δ > 0 τέτοιες ώστε w cτ τ ) για n αρκετά μεγάλο και για κάθε τέτοιο ώστε δ τ. Α η f M, ], το θεώρημα ισχύει α η συθήκη ατικατασταθεί από τη. Υπάρχου σταθερές c > 0 και δ > 0 τέτοιες ώστε w cτ τ ) για n αρκετά μεγάλο και για κάθε n + τέτοιο ώστε τ + δ. 30

Προφαώς, οι συθήκες, και εξασφαλίζου τη σύγκλιση του τύπου.) για κάθε συάρτηση f M, εώ, α ο.) είαι συμμετρικός, δηλαδή, α τ n+ τ και w n+ w,,..., n, τότε οι συθήκες και είαι ισοδύαμες. Έχει αποδειχτεί ότι μια σειρά από γωστούς τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης συγκλίου οχι μόο για συεχείς συαρτήσεις αλλά και για συαρτήσεις που παρουσιάζου μοότοες αωμαλίες στο έα ή και στα δυο άκρα του διαστήματος ολοκλήρωσης. Αυτό που θα κάουμε στη συέχεια για α εξετάσουμε τη σύγκλιση διάφορω τύπω αριθμητικής ολοκλήρωσης είαι α επαληθεύσουμε τις συθήκες τω προηγούμεω θεωρημάτω, αάλογα με τη κλάση τω συαρτήσεω που μας εδιαφέρει..3 Το σφάλμα εός τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης για ααλυτικές συαρτήσεις Για α εκτιμήσουμε το σφάλμα εός τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης, συήθως χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Peano βλέπε [4, σελ. 86]). Α ο τύπος έχει βαθμό ακριβείας d και η f C d+ [, ], τότε ο όρος του σφάλματος γράφεται R n f) K d t)f d+) t)dt,.6) όπου K d είαι ο d-οστός πυρήας Peano για το R n. Από τη.6), έπεται R n f) c d+ max f d+) t), c d+ t K d t) dt..7) Βασικό μειοέκτημα αυτής της μεθόδου είαι ότι απαιτεί τη ύπαρξη μιας παραγώγου υψηλής τάξης της συάρτησης που ολοκληρώουμε, που δε είαι συχά διαθέσιμη. Ακόμα όμως κι ότα αυτή υπάρχει, το φράγμα του σφάλματος που προκύπτει δε ισχύει για λιγότερο ομαλές συαρτήσεις. Επίσης, εκτιμήσεις όπως η.7) δε μας επιτρέπου α συγκρίουμε τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης που έχου διαφορετικό βαθμό ακριβείας. Είαι λογικό λοιπό α επιδιώκουμε εκτιμήσεις για το σφάλμα που δε περιέχου κάποια παράγωγο της συάρτησης που ολοκληρώουμε. Αυτές μπορού α προκύψου, είτε μέσω ολοκλήρωσης σε κλειστή καμπύλη, είτε μέσω μεθόδω χώρω Hilbert. Οι τελευταίες εισήχθησα από το Davis το 953 στο [3], ο οποίος θεώρησε το σφάλμα R n f) σα έα γραμμικό και φραγμέο συαρτησιακό σε κατάλληλους χώρους Hilbert H ααλυτικώ συαρτήσεω f. Κατ αυτό το τρόπο, άμεσα προκύπτει R n f) R n f f H,.8) όπου R n είαι η όρμα του συαρτησιακού του σφάλματος και f είαι η όρμα της f στο χώρο Hilbert H. Αυτή η προσέγγιση έχει μια σειρά από πλεοεκτήματα. Κατ αρχάς, είαι αρκετά ακριβής, μιας και η.8) ισχύει ως ισότητα για κάποιες f H. Ακόμη, μπορούμε α διακρίουμε τη επίδραση του τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης εκφράζεται μέσω του 3

R n ) από αυτή της συάρτησης στη οποία εφαρμόζεται εκφράζεται μέσω του f ) στο όρο του σφάλματος. Αυτό μας επιτρέπει α συγκρίουμε σφάλματα διαφορετικώ τύπω αριθμητικής ολοκλήρωσης. Είαι προφαές ότι η εκτίμηση.8) είαι πιο ακριβής ότα η όρμα R n μπορεί α υπολογιστεί ακριβώς σε έα κατάλληλο χώρο Hilbert H. Η ιδέα αυτή αήκει στο Hämmerlin και υλοποιήθηκε από το ίδιο στο [0]. Προκειμέου α εκτιμήσει το σφάλμα στους τύπους του Gauss ως προς τη συάρτηση βάρους του Legendre, όρισε έα χώρο ααλυτικώ συαρτήσεω με μια ημιόρμα. Στη συέχεια, έδειξε ότι το R n είαι έα γραμμικό και φραγμέο συαρτησιακό στο χώρο αυτό και υπολόγισε τη όρμα του. Ας υποθέσουμε ότι η συάρτηση f στο τύπο.) είαι ααλυτική στο αοικτό δίσκο C r {z C : z < r}, r >. Τότε, η f μπορεί α γραφεί fz) a k z k, z C r..9) k0 Ορίζουμε το χώρο ααλυτικώ συαρτήσεω X r, r ), όπου και r η ημιόρμα X r {f : f ολόμορφη στο C r με f r < }, f r sup{ a k r k : k N 0 και R n t k ) 0}..0) Έστω f C [, ]. Λύοτας τη.) ως προς R n f), έχουμε R n f) R n f) ft)dt n w fτ ) ft)dt + n w fτ ) ft) dt + max ft) t n w fτ ) dt + max ft) n w t ) n + w max ft) t ) n + w f..) Άρα, το R n είαι έα γραμμικό και φραγμέο, συεπώς και συεχές, συαρτησιακό στο C [, ], ), με R n + n w. Η συέχεια του R n και η ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς στη.9) δίου R n f) a k R n t k ),.) k0 3

οπότε, R n f) a k R n t k ) k0 k0 R n t k ) r k f r k0 [ R n t k ) r k a k r k ] k0 R n t k ) r k f r..3) Από τη.), έχουμε R n t k ) + n w, επομέως, η σειρά στη.3) είαι συγκλίουσα και το R n είαι έα γραμμικό και φραγμέο συαρτησιακό στο X r, r ) με όρμα R n. Συεπώς, όπου για τη όρμα του R n, λόγω της.3), έχουμε R n f) R n f r f X r,.4) R n Α τώρα θεωρήσουμε τη συάρτηση ϕz) k0 k0 R n t k ) r k..5) signr n t k )) zk r k, z C r, τότε προφαώς η ϕ X r με ϕ r. Επίσης, μέσω της.), οπότε, R n ϕ) k0 signr n t k ))R n t k ) r k R n ϕ) [ k0 η οποία, σε συδυασμό με τη.5), δίει τελικά R n k0 k0 ] R n t k ) r k ϕ r, R n t k ) r k, R n t k ) r k..6) Ο υπολογισμός της ημιόρμας f r απαιτεί το υπολογισμό τω συτελεστώ α k, k 0 βλέπε.0)), κάτι που δε είαι πάτα εφικτό, οπότε συχά η f r πρέπει α εκτιμηθεί. Α η f αήκει στο χώρο Hardy, H f : f ολόμορφη στο C r και f,r z k z r fz) dz / <, τότε τα πολυώυμα p k z) r k, k 0,,,..., αποτελού έα πλήρες ορθοκαοικό σύολο στο H, συεπώς, από τη ταυτότητα του Parseval, έχουμε πr f,r ) /. πr α k r k k0 33

Επίσης, { αk r k : k N 0 και R n t k ) 0 } { α k r k : k N 0 } κι αφού έπεται ότι sup { α k r k : k N 0 και R n t k ) 0 } sup { α k r k : k N 0 } f r sup { α k r k : k N 0 }, sup { α k r k } : k N 0 α k r k, f r α k r k k0 k0 πr f r ) / πr α k r k k0 f r πr f,r..7) Τώρα, από το ορισμό της όρμας,r, έχουμε ) f,r fz) dz max fz) z r z r z r dz max fz) ) πr z r η οποία, εισαγόμεη στη.7), δίει f,r πr max fz) z r f,r max fz), πr z r f r max fz). z r Α και ο τύπος.6) είαι χρήσιμος για τη εκτίμηση του R n, δε μπορεί α χρησιμοποιηθεί για το ακριβή υπολογισμό του. Μια πρακτική ααπαράσταση για το R n μπορεί α προκύψει α έχουμε κάποια πληροφορία για το πρόσημο του R n t k ), k 0. Συγκεκριμέα, ισχύει: Θεώρημα.3.. Θεωρούμε το τύπο αριθμητικής ολοκλήρωσης.). Έστω π n t) n t τ ) και ϵ {, }. α) Α ϵr n t k ) 0, k 0, τότε R n r π n r) β) Α ϵ) k R n t k ) 0, k 0, τότε R n r π n r) 34 π n t) r t dt..8) π n t) r + t dt..9)

Απόδειξη. α) Από τη.6), έχουμε R n κι αφού ϵr n t k ) 0, k 0, R n k0 k0 k0 ϵ R n t k ) r k ϵr n t k ) ϵ r k ϵr n t k ) r k k0 R n t k ) r k k0 k0 k0 ϵ R n t k ) ϵ r k ϵr n t k ) r k, ϵr n t k ) r k k0 Χρησιμοποιώτας τη γραμμικότητα του R n, ) ) k t R n R n r, k0. R n t k ) r k και λόγω της συέχειας του R n στο C[, ], ), R n R ) ) k t ) n r R n t/r k0 ) r R n r t rr n r t) ) r R n..0) r t Τώρα, o.) είαι τύπος εκ παρεμβολής, οπότε, α p n είαι το πολυώυμο βαθμού n που παρεμβάλλει τη συάρτηση /r t) στα σημεία τ, τ,..., τ n, τότε r t p nt) r t)p nt)..) r t Καθώς το αριστερό μέλος της.) μηδείζεται στα σημεία παρεμβολής, τα τ, τ,..., τ n πρέπει α είαι οι ρίζες του αριθμητή του κλάσματος στο δεξί μέλος της, και απ τη στιγμή που αυτό είαι έα πολυώυμο βαθμού το πολύ n, r t)p n t) c n π n t)..) Α στη τελευταία σχέση θέσουμε t r, βρίσκουμε ότι οπότε, η.) δίει c n π n r), r t)p n t) π n r) π nt), 35

και εφαρμόζοτάς τη στη.), παίρουμε Ολοκληρώοτας τη.3), έχουμε τελικά r t p nt) π n t) π n r) r t..3) ) r t p π n t) nt) dt π n r) r t dt ) R n r t π n r) π n t) r t dt, η οποία, εισαγόμεη στη.0), δίει τη.8). β) Η.9) αποδεικύεται ετελώς παρόμοια με τη.8). Ξεκιώτας από τη.6) και χρησιμοποιώτας τώρα ότι ϵ) k R n t k ) 0, k 0, αλλά και τη συέχεια του R n στο C[, ], ), R n k0 ϵ) k R n t k ) ϵ) k r k k0 ϵ) k R n t k ) r k ϵ k0 k0 R n t ) ) k r R n k0 r R n r + t Τώρα, συεχίζοτας όπως στο α) του θεωρήματος, έχουμε ϵ) k R n t k ) r k ) k R n t k ) r k + t/r ) )..4) r + t p nt) r + t)p nt), r + t όπου, αυτή τη φορά, p n είαι το πολυώυμο βαθμού n που παρεμβάλλει τη συάρτηση /r + t) στα σημεία τ, τ,..., τ n, και, όπως και στο α), με Συεπώς, και ολοκηρώοτας, παίρουμε r + t)p n t) c n π n t), c n π n r). r + t p π n t) nt) π n r) r + t, ) R n r + t π n r) η οποία, εισαγόμεη στη.4), δίει τη.9). π n t) r + t dt, 36

Το προηγούμεο θεώρημα μας εξασφαλίζει μια χρήσιμη ααπαράσταση της όρμας του R n, στη περίπτωση που το πρόσημό του στα μοώυμα t k, k 0, είτε είαι σταθερό, είτε ακολουθεί το πρόσημο του ) k. Εύλογα προκύπτει το ερώτημα, πώς προχωράμε στη περίπτωση που το R n δε συμπεριφέρεται κατ αυτό το τρόπο. Θα δείξουμε ότι α το R n t k ) αλλάζει πρόσημο, μόο μια φορά, σε κάποιο συγκεκριμέο k k n, τότε η R n μπορεί πάλι α εκτιμηθεί ικαοποιητικά μέσω της.6). Θεώρημα.3.. Θεωρούμε το τύπο αριθμητικής ολοκλήρωσης.). Α n w M.5) και όπου M > 0 και k n k n) n R n t k ) R n r π n r) r ln { 0, 0 k k n, 0, k > k n, είαι σταθερές, τότε Απόδειξη. Από τη.6), έχουμε R n k0 π n t) r t dt + M r kn r ) ) [k n/]+ r + r R n t k ) r k και λαμβάοτας υπ όψι τη.6), R n k n k0 k0 k0 R n t k ) r k R n t k ) r k R n t k ) r k k n k0 kk n + kk n + R n t k ) r k + kk n+ R n t k ) r k R n t k ) r k k )r k. kk n + kk n + R n t k ) r k, R n t k ) r k.6).7) R n t k ) r k..8) Τώρα, όσο αφορά στο πρώτο όρο του δεξιού μέλους της.8), ακολουθώτας τη απόδειξη του προηγούμεου θεωρήματος, βασιζόμεοι στη συέχεια του R n στο C [, ], ), καταλήγουμε ότι k0 R n t k ) r k r π n r) π n t) dt..9) r t Μέει λοιπό α υπολογίσουμε το δεύτερο όρο, για το οποίο, πάλι, λόγω της συέχειας του R n στο C [, ], ), ισχύει R n t k ) ) ) k t r k R n..30) r kk n + 37 kk n +

Σχετικά με τη σειρά που εμφαίζεται στη.30), έχουμε kk n+ ) k t r k0 ) k t r k n k0 r kn ) k t r t, r k0 ) k t r t r k n k0 ) k t r όπου επομέως, k n k0 ) k t r ) kn + t r t r r k n+ t k n+ r k n+ r t r rk n+ t k n+ r k n r t), kk n + ) k t r r r t rkn+ t kn+ r k rkn+ r kn+ t kn+ ) n r t) r k n r t) Τώρα, η.30), μέσω της.3), γίεται kk n+ R n t k ) r k tk n+ r k n r t)..3) R n t k n+ Θέτοτας ft) tk n+ στο τύπο.), r t R n kk n + r kn r t) ) t kn+ t kn+ r t ) r t dt n ) r R t kn+ kn n r t..3) τ kn+ w, r τ οπότε, η.3) παίρει τη μορφή R n t k ) r k n τ k n+ w r kn r τ t k n+ r t dt..33) Υπολογίζουμε πρώτα το ολοκλήρωμα που εμφαίζεται στο δεξί μέλος της.33). Παρατηρούμε ότι το t kn+ μπορεί α γραφεί ) t kn+ r t) t k n rt kn... r k n + r kn+, 38

συεπώς, το ολοκλήρωμα γίεται ) t kn+ r t) t kn rt kn... r kn + r kn+ r t dt dt r t Τώρα, k n k0 επομέως, ) t k n rt kn... r k n dt + r k n+ k n k0 k n k0 k n k0 kn k0 r knk r knk t )dt [ ] k r k n+ lnr t) r knk [ t k+ k + r knk [ ) k+] rkn k + 0 + ισοδύαμα, t k n+ t k dt r kn+ [lnr ) lnr + )] ] r t dt + r kn+ [lnr + ) lnr )] r k [ nk ) k+] + r kn+ ln k + rkn + ) + + +... + rk nk n [ kn+ ) kn+] k n + [k n /] k0 t k [k n+ n /] r t dt rk n k0 r k n+ r r k n+ ln r t dt rk n+ ln ) r +. r rkn ) + + ) + r knk [k n /] k + r k rk n k +, r k k + + rk n+ ln [k n /] k0 k0 ) r + r + ln k + )rk ) [k n /] r + r k0 ) [k n/]+ r + r ) r + r k + )r k+, k )r k..34) 39

Σχετικά με το άθροισμα στη.33), ισχύει n τ k n+ n τ k n+ w w r τ r τ n κι αφού τ <,,,..., n, μέσω της.5), έχουμε kk n+ R n t k ) r k n M r k r n r ) τ kn+ w r τ, τ kn+ w M r τ r..35) Εφαρμόζοτας τώρα τη.35), μαζί με τη.34), στη.33), παίρουμε ln r + r ) [k n /]+ Τέλος, εισάγοτας τη.9) και τη.36) στη.8), έχουμε το ζητούμεο. Άμεση συέπεια του προηγούμεου θεωρήματος είαι το ακόλουθο k )r k..36) Πόρισμα.3.3. α) Υποθέτουμε ότι ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης.) έχει όλα τα βάρη μη αρητικά και ικαοποιείται η συθήκη.6). Τότε R n r π n r) r ln π n t) r t dt + 4 r k n r ) ) [k n /]+ r + r k )r k..37) β) Υποθέτουμε ότι ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης.) είαι συμμετρικός, έχει όλα τα βάρη μη αρητικά και ικαοποιείται η συθήκη.6). Τότε R n r π n r) r ln π n t) r t dt + 4 r k n r ) ) [k n /]+ r + r k )r k..38) Απόδειξη. α) Α όλα τα βάρη του τύπου.) είαι μη αρητικά, τότε n w n w dt, οπότε, M βλέπε.5)), το οποίο, μέσω της.7), αποδεικύει τη.37). β) Θα ακολουθήσουμε τη απόδειξη του Θεωρήματος.3.. Αφού ο τύπος είαι συμμετρικός, ισχύει τ n+ τ, w n+ w,,,..., n. 40

Δεδομέου ότι, α το n είαι περιττός, τ n+)/ 0, για το άθροισμα που εμφαίζεται στη.33) έχουμε n τ kn+ [n/] w r τ τ kn+ [n/] w + r τ w τ ) kn+ r + τ. Επίσης, λόγω συμμετρίας, ο τύπος.) ολοκληρώει ακριβώς όλα τα περιττά πολυώυμα, δηλαδή R n t l ) 0, l. Άρα, το k n στη.6) είαι άρτιος, και η τελευταία σχέση γράφεται n τ k [n/] n+ w r τ [n/] [n/] τ k [n/] n+ w r τ τ k n+ w r + τ w τ kn+ r τ r + τ w τ kn+ r + τ r τ ) r τ [n/] τ k n+ w r τ. Λαμβάοτας υπ όψι ότι τ <,,,..., n, έχουμε οπότε, κι αφού από τη.39), [n/] τ k n+ w r τ n [n/] < w r [n/] r w, τ k n+ w < [n/] r τ r w,.39) [n/] n w n w, τ kn+ w r τ r..40) Α το n είαι άρτιος, τότε καταλήγουμε πιο εύκολα στη.40). Σ αυτή τη περίπτωση, n τ k n/ n+ w r τ τ k n/ n+ w + r τ ) w τ ) k n+ r + τ, και ακολουθώτας το ίδιο συλλογισμό, παίρουμε τη σχέση που ααφέραμε. Πλέο, συεχίζουμε όπως στο Θεώρημα.3. και ατικαθιστώτας τη.35) με τη.40), οδηγούμαστε στη.37). Μια παρόμοια περίπτωση με αυτή του Θεωρήματος.3. παρουσιάζεται στο 4

Θεώρημα.3.4. Θεωρούμε το τύπο αριθμητικής ολοκλήρωσης.), ο οποίος πληροί τη.5) και { R n t k 0, 0 k k n, ).4) 0, k > k n, όπου k n k n n) είαι μια σταθερά. Τότε ) [k n /]+ r + R n r ln r r π n r) π n t) r t dt. k )r k + M r k n r ).4) Απόδειξη. Η απόδειξη της.4) ακολουθεί τα βήματα της απόδειξης της.7). Από τη.6), μέσω της.4), έχουμε R n k n k0 k0 R n t k ) r k + R n t k ) r k + kk n + kk n + R n t k ) r k R n t k ) r k. Τώρα, συεχίζοτας όπως ακριβώς στο Θεώρημα.3., καταλήγουμε στο ζητούμεο. Ατίστοιχα με το Πόρισμα.3.3, από το τελευταίο θεώρημα, έπεται το Πόρισμα.3.5. α) Έστω ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης.), ο οποίος έχει όλα τα βάρη μη αρητικά και ικαοποιείται η συθήκη.4). Τότε ) [k n /]+ r + R n r ln r k )r k.43) 4 + r k r π n t) n r ) π n r) r t dt. β) Έστω ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης.), ο οποίος είαι συμμετρικός, έχει όλα τα βάρη μη αρητικά και ικαοποιείται η συθήκη.4). Τότε ) [k n /]+ r + R n r ln r k )r k.44) 4 + r kn r ) r π n t) π n r) r t dt. Απόδειξη. Η απόδειξη είαι όμοια με αυτή του Πορίσματος.3.3. 4

Κεφάλαιο 3 Αριθμητική ολοκλήρωση με σημεία ρίζες πολυωύμω του Chebyshev Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τους τύπους του Fejér πρώτου και δευτέρου είδους. Πρόκειται για τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης εκ παρεμβολής με κόμβους τις ρίζες του n-οστού πολυωύμου του Chebyshev πρώτου και δευτέρου είδους ατίστοιχα. Η οομασία τους οφείλεται στο Ούγγρο μαθηματικό Lipot Fejér, καθώς ήτα ο πρώτος που ασχολήθηκε με το συγκεκριμέο θέμα. Θα μελετήσουμε αρχικά τους αοιχτούς τύπους του Fejér και στη συέχεια τους κλειστούς. 3. Τύπος του Fejér πρώτου είδους ή τύπος του Pólya Είαι ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης ft)dt n w ) fτ ) ) + R ) n f), 3.) όπου τ ),,,..., n, είαι οι ρίζες του n-οστού πολυωύμου του Chebyshev πρώτου είδους T n, και δίοται από τη.5). Θα ξεκιήσουμε τη μελέτη του τύπου 3.) υπολογίζοτας το βαθμό ακριβείας του. Εφόσο είαι τύπος εκ παρεμβολής με n σημεία, ολοκληρώει ακριβώς με σφάλμα 0) όλα τα πολυώυμα βαθμού n. Όσο για το σφάλμα στα πολυώυμα βαθμού n, θέτοτας στο 3.) όπου f το T n, R n ) T n ) T n t)dt. Λαμβάοτας υπ όψι τη.8), διαπιστώουμε ότι α το n είαι άρτιος, R n ) T n ) 0, συεπώς, ο τύπος 3.) έχει βαθμό ακριβείας d n α n άρτιος. Όμως, α το n είαι περιττός, μέσω της.8), βλέπουμε ότι R n ) T n ) 0, επομέως, πρέπει α 43