Dr.-Ing. Α. ΕΛΕΝΑΣ, Καθηγ. Α. ΛΙΩΛΙΟΣ

ΗΗ ΓΡ ΑΗ ΗΙΚΟΣ ΤΡΙΣΔΙΑ Σ ΤΑΤΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΗΟΣ Υ ΗΛΩΝ ΚΤΗΡ ΙΩ Ν Α ΠΟ ΟΠΛΙΣ Η ΕΝΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΥΠΟ ΣΕΙΣΜ ΙΚΉ ΕΠΙΠΟΝΗΣΗ Dr.-Ing. Α. ΕΛΕΝΑΣ, Καθηγ. Α. ΛΙΩΛΙΟΣ Δημκριτει Πανεπιστήμει Θράκης, Τμήμα Πλιτικών Μηχανικων, Ερ γ. Εφηρμ. Στατικής, 67100 Ξάνθη. Περtληψη Η εργασία παρυσιάζει ένα λκληρωμέν μαθηματικό μντέλ για τν μη γραμ μικό τρισδιάστατ υπλγισ μ ό κατασκευών υπό σεισμική επιπόνηση. Με αφετηρια την αρχή των δυνατών παραμρφώσεων διαμρφώννται ι μη γραμμικές εξισώσεις ισρρπιας, χωρtς να γtνεται εξ αρχής η παραδχή για γραμμική γεωμετρική συμπεριφρά των κατασκευών. Παρυσιάζεται τ μητρώ δυσκαμψtας ε νός ρθγώνιυ πεπερασμένυ στιχείυ δtσκυ από πλισμέν σκυρόδεμα. Στις καταστατικές σχέσεις των δύ υλικών πυ συνθέτυν τ πλισμέν σκυρόδεμα λαμβάννται υπ' όψη ι κύριες υλικές μη γραμμικότητες ι πιες επηρεάζυν την συμπεριφρά τυ υλικύ. Στη μη γραμμική συ μ περιφρά τυ χάλυβα λαμβάννται υπ' όψη τ φαινόμεν Bauschinger και η κράτυνση τυ υλικύ μετά τη διαρρή. Για τν καταστατικό νόμ τυ σκυρδέματς θεωρειται ένα διαξνικό υπέλαστικό μντέλ. Επισης, η δημιυργία ρωγμών ελέ γ χεται με τ κριτήρι των κυρίων τάσεων. Ακόμη, η συνεργασία τυ σκυρδέματς μεταξύ των ρωγμών λαμβάνεται υπ' όψη, καθώς και η διαφραγματική λειτυργία των πλακών. Τέ λς, η λύση των μη γ ραμμικών εξισώσέων πραγματπιείται με βήμα πρς βήμα λκλήρωση και η βελτιστπίηση της λύσης με την επαναληπτική μέθδ τυ Newton/Raphson. Η εφαρμγή τυ. πραναφερθέντς μντέλυ και η σύγκριση των απτελεσμάτων αυτών με πειραματικά απτελέσματα απέδειξε την ικανπιητική πρσμίωση των μη γραμμικών φαινμένων, όπως η μη γραμμική σχέση τaσεων / παραμρφώσεωγ τυ σκυρδέματς και τυ χάλυβα, η ρηγμάτωση τυ σκυρ~έματς, η διαρρή τυ χάλ υ βα και η συνεργασία τυ σκυρδέματς μεταξύ των ρωγμών. 321

ΜΗ ΓΡΑΚΚΙΧΟΣ ΤΡΙΣΑΙλΣΤλΤΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΚΟΣ Υ9ΗΛΟ8 XTHPIOR λdο ΟDΛΙΣΚΕΗΟ DtΥΡΟΑΒΚλ ΥΠΟ ΣΒΙΣΚΙΧΗ ΒΠΙDΟ8ΗΣΗ DR.-ING. λ. ΕΛΕΝΑΣ, Κλθ. ΔΡ. ΠΟΛ. ΗΗΧ. λ. ΛΙΩΛΙΟΣ, ΔΗΗΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ θρλκησ, ΤΗΗΗΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΗΗΧΑΝΙΚΩΝ, ΕΡΓ. ΕΦΗΡΗ. ΣΤΑΤΙΚΗΣ, 67100 ΞΑΝθΗ. ΒΙΣΑΓΟΓΗ Ηια ρεαλιστική πρσέ γγιση της πλύπλκης συμπεριφράς των κατασκευών από πλιdμέν σκυρόδεμα υπό σεισμική επιπόνηση μπρει να επιτευχeει μόν με μια μη γραμμικη ανάλυση της κατασκευής, όπυ λαμβάννται 'υπ ' όψη κατά τ δυνατό ακριβεtς κατασττικι νόμι και χρησιμπιύνται αnτελεσματικι αλγόριθμι επιλύσεως. Η παρύσα εργασια αφρά μια τέτια αριθμητική επιλυση τυ πρβλήματς των τιχωμάτων από πλισμέν σκυρόδεμα με μη γραμμική καταστατική συμπεριφρά, λαμβάνντας υπ ' όψη την ακαμψια των πλακών σε πλυόρφα κτήρια.' Αρχικά γινεται η μlκραυξητική διατύ πωση των κ αταστατικών νόμων χωρ ι ς περιρισμύς ως πρς την γεωμετρι κή μη γραμμι κότη τα. κατόπιν περιγράφεται έvα διαξνικό ρθτρnικό nρσμ ι ωμα υπελαστι κ ύ υλικύ για σκυρόδεμα. Ακλυθει η περιγραφή ενό ς μη γραμμικύ πρσμιώματς για τν χάλυβα. Η συμπεριφρά. τυ σκυρδέματ ς κατά τ ην ρηγμάτωση λαμβάνεται επtσης υπ' όψη σε συνδιασμό με ένα κριτήρι αστχtας για την κύρια εφελκυστική τάση. Η τελι κή επtλυση τυ πρβλήματς γ t νετι με έναν επαναληπτι κ ό αλγόριθμ μι κ ρυξητικής δι δικσιας. Τέλς, τ ανωτέρω πρσμιώμτα και αλγόριθμς εισάγνται σε ένα πρόγραμμα πεπερασμένων στιχειων και η χρησιμότητά τυς δε ι χνεται σε ένα παράδειγμα. ΑΙλΤΥΠΟΣΗ ΚΕΣΟ ΤΗΣ ΚΗΣΑRΙΧΗΣ ΣΥRΕΣΟR ΣΟΚλΤΟR Χρησιμπιώντας τυς συμβλισμ ύς τ υ σχήματς 1, η αρχή των δυνατών μεττπι σεω ν εκφράζεται [l ]ι 322

( 1 ) όπu ( 2) και. t+δtui,j ι η μερική παράγωγς της αύξησης της μετατόπι.σης u 1 ως t+δt πρς την σuντεταyμένη xj. Η εξtσωση (1) δεν πρόσφέρεται για άμεση επtλuση, yι.α τν λόγ αuτό μεταβάλλεται. η δι. ατύ πωσή της με σύστημα.αναφράς τ σώμα στη κατά σταση κατά τη χρνική στι.γμή t. Σε αuτή τη μεταβληθεtσα διατύπωση τu Lagrange, η εξtσωση (1) γtνεται ( 3) όπu s 2ς τανuστής τάσεων των Piola-Kirchhof και. ε τανuστής των παραμρφώσεων των Green-Lagrange, τελεuταtς ρtςεται ως εξήςι (4) Μετά την εισαγωγή των γραμμικών σχέσεων C e t ijrs t rs ( 5) και. της επαναληπτικής δι.αδι.κασtας ( 6 ) όπu c καταστατι.κός τανuστής τu uλι.κύ, η εξtσωση (3) ριςε τ αι. 323

te~~} δtei~) tdv + J tτij tν f t+δt (k-1) τij t+δtv(k-1) ( 7} όπυ τ te παριστάνει τ γραμμικό και τ tη τ μη γραμμικό τμήμα τυ τανυστή της αύξησης των παραμρφώσεων tε. ΑΡΙθΗΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΗΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Η εξlσωση (7) στη μητρω tκή της διαiύπωση και για ένα στιχεl δηγεί στη σχέση [ f tν tbt C t B tdv f tbt tτ ttbnl tdv ] Δu(k} t L t t L + t NL tν J t+δt 8 (k-l}t t+δt~(k-1) t+δtdv. t+δt L t+δtv(k-1) (8) Χρησιμπιώντας ~να μη γραμμικό πεπε ρασ μέν στιχεl η εξlσωση (8) δηγεl στη σχέση + t K } Δ (k} t+δtr + t NL u t+δtr(k - 1) t+δt ( 9} τ γραμμ ικό και τ μη γραμμικό μητρώ συσχετισμύ παραμρφώσεων-μετατπίσεων κατά την χρνική στιγμή t και σύστημα αναφράς τ σώ μα κατά την ίδια χρνική στιγμή t, t~ τ μητρώ και τ διάνυσμα των τάσεων Cauchy κατά την χρνική στιγμή t, Δu 1 δ ι άνυσμα των διρθώσεων των μ ετατπlσεων, 324

t+δtr, διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων, t t tkl, tknl ι γραμμικό και μη γραμμικό μητρώ δυσκαμψlας κατά την χρνική στιγμή t και σύστημα αναφράς τ σώμα κατά την Lδια χρνική στιγμή t, και τέλως διάνυσμα των εσωτερικών δυνάμεων κατ ά την χρνική στιγμή t και σύστημα αναφράς τ σώμα κατά την ίδια χρνική στιγμή t. Περιριζόμενι μόν στην μη γραμμικότητα τυ υλικ ύ, η σχέση (9) περιέχει μ όν τ γεωμετρικά γραμμικό μητρώ δυσκαμψtας. Λαμβάνντας υπ' όψ η τις δυνάμεις αδρανεlας και απόσβεσης κατά την δυναμική επιπόνηση της κατασκευής, η σχέση (9) γίνεται Η t+δt~ + ~ t+δt~ + tκ Δu(k) - t+δtr + t+δtf(k-1) t+δt ' ( 10) όπυ Η ΣΗ(m) H(m) με - J ρ (m) 8 (m)t 8 (m)t ~ν(m) m v<mj. ( 11) και c - ΣC(m) C(m) J κ(m) με 8 (m)t 8 (m)t dv(m) m ν ( ιn J ( 12) Για την περlπτωση σεισμικής επιπόνησης, τ μητρώ των,εξωτερικών δυνάμεων στη σχέση ( 10) γι νεται t+δt t+δt.. R - - Η r υ 9 (13) όπυ m ι αριθμός τυ πεπερασμέ νυ στιχεtυ, Η μητρώ μ άζας, c, μητρώ απόσβεσης, ρ 1 πυκνότητα ι κ 1 συντελεστής απόσβεσης, Η, μητρώ συσχετισμύ μετατπίσ εων, r, διάνυσμα στατικής απμάκρυνσης βάσης, t+δt" υ 9 σεισμική επιτάχυνση κατά τη χρνική στιγμή t+δt. ' 325

Για την επίλυση της μη γραμμικής εξίσωσης (10) χρησιμπιήθηκε μικραυξητικός (incremental) αλγόριθμς τυ Newmark σέ συνδ ιασ μ ό με την επαναληπτική (iteratiν) μέθδ των Newton/Raphson για βελτιστπίηση της λuσης [1). ΜΗ ΓΡλΗΗΙΚΕΣ ΚλΤλΣΤλΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΟΡΙλΚΕΣ ΣΥΝθΗΚΕΣ Η πρσμ ίωση της διαξνικής εντατικής κατάστασης, όπως αυτ~ εμφανίζεται σε τιχεία πλισμένυ σκυρδέματς, πραγματπιήθηκε με τ διαξνικό, υπελαστικό μντέλ των Darwin/Pecknold, όπως παρυσιάζεται στ σχήμα 2, σε. συνδιασμό με τ διαξνικό κριτήρι αστχίας των Kupfer/Gerstle [3). Η δημιυργ ία των ρωγμών ελέγχεται με τ κριτήρι των κυρίων τάσεων τυ σκυρδέματς. Η συνεργασία τυ σκυρδέματς μεταξu των ρωγμών στην ανάληψη τάσεων (Tension Stiffening Effect), λαμβάνεται υπ' όψη με τ μντέλ των Gilbert/Warner [1). Για την πρσμίωση της μη γραμμικής συμπεριφράς τυ χάλυβα χρησιμπιήθηκε τ μντέλ των Kent/Park τ πί λαμβάνει υπ' όψη τ φαινόμεν Bauschinger και την κράτυνση τυ υλικu μετά την δ~. αρρή [2). Στ σχήμα 3 φαίνεται η καλή ήρσμtωση της πραγματικής συμπεριφράς με τ μντέλ Έων Kent/Park. Εκτός των συνθηκών cτήριξης, παρυσιάζεται στις κτηριακές κατασκευές η ακαμψία των πλακών ως πρόσθετη συνριακή σχέpη [1), [4]. Η απτελεσματικότερη εισαγωγή αυτής της συνριακής σχέσης στν υπλγισμό πραγματπιε ίται εδώ με την μέθδ "Haster Joint/Dependent Joint" (σχήμα 4). ΕΦΑΡΗΟΓΗ ΤΗΣ ΗΕθΟΔΟΥ ΚΑΙ ΣΥΗΠΕΡΑΣΗΣΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η μέθδς όπως περιγράφηκε, χρησιμπιήθηκε στην αριθμητική ανάλυση ενός 16 -ρόφ υ κτηρίυ τυ πίυ η κάτψη παρυσιάζεται στ σχήμα 5. Τ πάχς των τίχων είναι 20 cm, τ uψς ρόφυ 3 m, η αντχή τυ σκυρδέματς 30 ΜΝ ιm 2 με παραμόρφωση θραuσεως 0.002. Ο πλισμός απτελείται από χάλυβα BSt 500/550. Τό πσστό κατακόρυφυ πλισμu είναι 2\ έως τν 80 όρφ και 1.5\ από τν 9 έως τν 160 όρφ. Τό πσστ ό ριζντίυ nλισμu είναι τ 50\ τυ εκάσττε κατακρuφυ. 326

Τ σύστημα πρσμιώθηκε με ρθγώνια ισπαραμετρικά πεπερασμένα στιχεια δtσκυ. Η επιτάχυνση τυ εδάφυς απεικνtζεται στ σχήμα 6 και η διεύθυνσή της είναι αυτή τυ άξνα Υ. Τα σχήματα 7 και 8 απεικνίζυν τη γραμμική και μη γραμμική μετατόπιση στη διεύθυνση Υ και τη στρφή τυ 16υ ρόφυ. Παρατηρύμε μια αύξηση της μέγιστης μετατόπισης κατά 15\ στ μη γραμμικό υπλ γισμό σε σύγκριση με τν γραμμικό, καθώς και μια παραμένυσα παραμόρφωση. Τα απτελέσματα αυτά δείχνυν την χρησιμότητα της μεθόδυ πυ παρυσιάσθηκε, η πία επιτρέπει τν μη γραμμικό υπλγισμό της κατασκευής λαμβάνντ ας υπ' όψη ακριβεtς καταστατικύς νόμυς για τ σκυρόδεμα και τν χάλυβα. Τέλς η εφαρμγή της μεθόδυ σε δκίμια τιχ εί ων από πλισμέν σκυρόδεμα και η σύγκριση των απτελεσμάτων με εκείνα των αντιστιχων πειραματικών, απέδειξαν την άριστη πρσμίωση (1). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Elenas, Α. ι "Ein Beitrag zur physikalisch- nichtlinearen Analyse erdbebenerregter raeumlicher Aussteifungssysteme aus Stahlbetonscheiben" Dissertation, Ruhr-Universitaet Bochum, 1990. [2] CEB General Task Group 10 1 "Response of R.C. Critical Regions under large Amplitude reversed Actions" Bulletin d' Information Ν. 161, 1983. (3) Darwin, D./Pecknold, D. A. : "Analysis of R/C Shear Panels under Cyclic Loading" J. Struct. Div., Vol. 102 (1976), 355. (4) Elenas A./Hanskoeter, U./Meskouris, K.r "Zur modellierung dreidimensionaler erdbebenbeanspruchter Konstruktionen" Gemeinschaftsseminar Baudynamik SFB151/FSP30, Innsbruck 1989. 327

Σχημα 11 Κlνηση τυ σώματς σε Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων 0.2f~ Σχήμα 21 Μντέλ τυ σκυρδέματς κατά Darwin/Pecknold 328

δο (MN/m 2 J 40 20 Model Experiment 20 40 δο ι (10-3 ) 80 12 10 8 8... -2 2.. 8 8 10 12 Σχημα 31 Μντέλ τυ χάλυβα κατά Kent/ Park Σχ~μα 41 Μντέλ Ήaster Joint/ Dependent Joint" 329

1 4.00 1 4.00 1... ~Ι.,,.; γ Lχ 1 1 ΟΙΟ '...... 32.00 Σχήμα Sι Κάτψη της κα τασκευής.. ~ φ 111. ~ '... e φ... φ 1 1.6 2.0 2.4 2.8 ~.e [s) Σχήμα 61 Επιταχuνσιyρ ά φημα της σεισμικής διέγερσης 330

θ 1 9 1 4' Σχήμα 7ι Διάγραμμα μετατόπισης-χρόνυ τυ 16υ ρόφυ με γραμμική και μη γραμμική συμπεριφρά 7 θ 9 ι Ί 9 10 Σχήμα βι Διάγραμμα στρφής-χρόνυ τυ 16υ ρόφυ με γραμμική και μη γραμμική συμπεριφρά 331