Σχεδιασμός και Τεχνολογία Γ Λυκείου - Λύσεις Ασκήσεων

Transcript

1 Σχεδιασμός και Τεχνλγία Λυκείυ - Λύσεις σκήσεων Κεφάλαι : Κατασκευαστικά Συστήματα ντχή Υλικών Άσκηση Στην εικόνα.α φαίνεται τ σχέδι τυ ξενδχείυ «Κιβωτός» και στην εικόνα.β ένα όστρακ ναυτίλς. ικόνα.α ικόνα.β α)λαμβάνντας υπόψη τα δύ αυτά παραδείγματα να κατατάξετε τις κατασκευές στις δύ μεγάλες τυς κατηγρίες. β) Να αναφέρετε τα (δύ) κύρια είδη κατασκευαστικών στιχείων με τα πία μπρεί να φτιαχτεί μία κατασκευή. Πια στιχεία περιλαμβάνει τ κάθε είδς; α) Φυσικές και τεχνητές κατασκευές. β) ραμμικά κατασκευαστικά στιχεία. Περιλαμβάνυν τις κλώνες, τις ράβδυς και τις δκύς. πιφανειακά κατασκευαστικά στιχεία. Περιλαμβάνυν τις πλάκες και τα κελύφη. Άσκηση Στ πι κάτω σχέδι φαίννται πέντε είδη καταπόνησης τα πία πρκαλύνται από την εφαρμγή δυνάμεων σε διάφρα κατασκευαστικά στιχεία. (α) (β) (γ) (δ) (ε) α) Να αναφέρετε τ είδς της καταπόνησης για την καθεμία από τις πι πάνω περιπτώσεις. β) Να αναφέρετε ένα πρακτικό παράδειγμα για την καθεμία από τις πι πάνω καταπνήσεις.

2 α) : φελκυσμός : Θλίψη : Στρέψη : ιάτμηση : Κάμψη β) : φελκυσμός. Τα συρματόσχινα σε ένα γερανό εφελκύνται από τ βάρς των φρτίων πυ ανυψώνυν. : Θλίψη. Οι κλώνες μιας ικδμής θλίβνται από τ βάρς της ρφής πυ συγκρατύν. : Στρέψη. Ο τεχνίτης όταν βιδώνει μια βίδα στ ξύλ ασκεί δυνάμεις πυ τείνυν να στρέψυν τόσ τ κατσαβίδι όσ και τη βίδα. : ιάτμηση. Τ ψαλίδι ασκεί δυνάμεις διάτμησης πάνω στα κλαδιά πυ κόβει. : Κάμψη. Ο αθλητής ασκεί με τα χέρια τυ δυνάμεις πυ πρκαλύν κάμψη στις ριζόντιες δκύς τυ δίζυγυ. Άσκηση α) Να αναφέρετε και να εξηγήσετε δύ ζεύγη κατηγριών φρτίων στις κατασκευές. β) Να χαρακτηρίσετε τ είδς τυ φρτίυ πυ δρα πάνω στην κατασκευή πυ φαίνεται στην εικόνα: (i) όταν τ παιδί απλώς κάθεται πάνω στην κύνια. (ii) όταν τ παιδί κυνιέται. α) Στατικά δυναμικά Στατικά νμάζνται τα φόρτια πυ εφαρμόζνται σε μια κατασκευή τόσ σιγά ώστε να θεωρείται ότι η κατασκευή παραμένει σε ηρεμία κατά τη διάρκεια της εφαρμγής τυς. Τα δυναμικά φρτία κινύνται και μεταβάλλνται συνέχεια και τείνυν να δημιυργύν μεγαλύτερες δυνάμεις από τα στατικά. Οι κατασκευές δεν θεωρείται ότι παραμένυν σε ηρεμία κατά τη διάρκεια της εφαρμγής τυς. Μόνιμα κινητά Μόνιμα νμάζνται τα φρτία πυ τ μέγεθς ή η θέση στην πία βρίσκνται δεν αλλάζυν κατά τη διάρκεια ζωής της κατασκευής. ντίθετα κινητά νμάζνται τα φρτία πυ τ μέγεθς και η θέση τυς δεν παραμένει σταθερή. Σημειακά ή συγκεντρωμένα κατανεμημένα Σημειακά ή συγκεντρωμένα νμάζνται τα φρτία τα πία εφαρμόζνται πάνω στην κατασκευή σε ένα συγκεκριμέν σημεί. Κατανεμημένα νμάζνται τα φρτία τα πία εφαρμόζνται πάνω σε λόκληρη την κατασκευή ή σε μέρς της. β) (i) Στατικό φρτί (ii) υναμικό φρτί

3 Άσκηση 4 Να υπλγίσετε αναλυτικά: α) Τις συνιστώσες της δύναμης τυ σχήματς (α) και β) Τη συνισταμένη των δυνάμεων και τυ σχήματς (β). =5 kn =5 kn 40 =5 kn O (α) O (β) α) = συν40 = 5 0,766 =,49 kn = 5 kn = ημ40 = 5 0,64 = 9,65 kn 40 β) R ,5 kn θ=εφ - ( ) = εφ - ( 5 5 ) =0,96o = 5 kn θ R = 5 kn Άσκηση 5 Χρησιμπιώντας τη γραφική και την αναλυτική μέθδ να υπλγίσετε τη συνισταμένη δύναμη των πι κάτω δυνάμεων πυ έχυν κινό σημεί εφαρμγής. (Κλίμακα cm=00 N) = 500 N = 00 N =400 N O 0 4 = 400 N 5 = 00 N

4 = Χ + + 4= συν60 + συν συν0 = = , , ,866 = 99,9 Ν = = ημ60 + ημ45 4 ημ0 5= = 00 0, , ,5 00 =6,7 Ν Χ Υ 99,9 6,7 9960,0 7,89 0,67 kn θ τξεφ Υ 6.7 ( ) τξεφ( ) 7, Χ ραφική μέθδς: 4 4 Ο Άσκηση 6 Να αναφέρετε σε πια από τις δύ περιπτώσεις α και β των πι κάτω σχημάτων νμίζετε ότι είναι πι πιθανόν να σπάσει τ σχινί. Να δικαιλγήσετε την απάντησή σας (α) kn (β) kn 4

5 m 0,75 m ν αναλύσυμε γραφικά τις δυνάμεις στις δύ περιπτώσεις βλέπυμε ότι η Τ είναι μικρότερη από την Τ. Άρα τ σχινί είναι πι πιθανόν να σπάσει από τ. T T T T 45 0 T T (α) kn (β) kn = 50 N Άσκηση 7 Να υπλγίσετε τ μέγεθς και τη φρά της δύναμης Τ πυ ασκείται στ συρματόσχιν της κατασκευής τυ διπλανύ σχήματς. m Τ 0,75 m Ο 60 πμνώνυμε τη ράβδ από τ συρματόσχιν, πότε στ σημεί έχυμε την δύναμη Τ πυ ασκεί τ σχινί πάνω στη ράβδ με την κατεύθυνση πυ φαίνεται στ σχέδι. Παίρνυμε τη συνθήκη ισρρπίας ρπών ως πρς τ σημεί Ο: = 50 N T (ΣΜ)Ο = 0 T - Τ Χ,5m m 0 - T συν60,5m 50N m Nm T 800 N 0,5,5 m T T Στ συρματόσκιν ασκείται (από την ράβδ) δύναμη Τ ίση και αντίθετη με την Τ πυ έχυμε υπλγίσει. Ο 60 5

6 ,5 m m Άσκηση 8 Σε μία μεταλλική ράβδ μήκυς m και με εμβαδόν διατμής 50 mm, εφαρμόζεται εφελκυστική δύναμη 40 kν και επιμηκύνεται κατά 6 mm. Να υπλγίσετε την εφελκυστική τάση και την ανηγμένη μήκυνση της ράβδυ. σ 40 kn 50 mm 0,8 kn/mm 800 MN/m ε l l 6 mm 60 m 0 m m Άσκηση 9 Πάνω σε μία μεταλλική ράβδ, μήκυς m, με εμβαδόν διατμής 00 mm και μέτρ ελαστικότητας = kν/m, κρέμεται ένα φρτί πυ έχει βάρς ίσ με 0 kν. Να υπλγίσετε την τάση εφελκυσμύ και την ανηγμένη μήκυνση της ράβδυ. = 00 mm m σ 0 kn 00 mm 0 kn m 50 MN/m 0 kn σ ε ε σ 50 MN/m kn/m kn/m kn/m 7,50 4 Άσκηση 0 Ένας πρβλέας κρέμεται από την ρφή με μία κυλινδρική ράβδ, πυ απτελείται από δύ επιμέρυς ράβδυς και. Να υπλγίσετε την λική επιμήκυνση της ράβδυ πυ δημιυργείται από τη δύναμη = 70 N πυ ασκεί τ βάρς τυ πρβλέα πάνω στη ράβδ (να αγνηθεί τ βάρς της ράβδυ). Οι διατμές των τμημάτων και είναι 00 mm και 00 mm αντίστιχα. Τ μέτρ ελαστικότητας τυ υλικύ και των δύ τμημάτων της ράβδυ είναι = kν/m. 6

7 lλ= l + l l λ l E l E l ( E 70 N m N/m 0 m m,5 ( ), l ( 00 5 m 70N ) kn/m,5 ) 00 m ( m,5m m ) Άσκηση ια τη στήριξη τυ κινύμενυ μέρυς της κύνιας πυ φαίνεται στ πι κάτω σχήμα κατασκευαστής μπρεί να χρησιμπιήσει μία από τις δύ διευθετήσεις και.. α) Να νμάσετε τ είδς της καταπόνησης πυ υφίσταται τ μπυλόνι στήριξης. β) ν τ εμβαδόν της διατμής τυ μπυλνιύ είναι =80 mm (και στις δύ διευθετήσεις) και τ βάρς τυ παιδιύ πυ κάθεται στην κύνια είναι 400 Ν, να υπλγίσετε την τάση στ μπυλόνι τόσ στη διευθέτηση όσ και στη διευθέτηση. γ) Να υπλγίσετε την ανηγμένη μήκυνση στη ράβδ όταν στην κύνια κάθεται τ ίδι παιδί. Η ράβδς πυ έχει μήκς m και εμβαδόν διατμής 0 mm, έχει κατασκευαστεί με υλικό με μέτρ ελαστικότητας ίσ με kn/m. α) ιάτμηση β) ια τη διευθέτηση : τ 400N/,5 N/mm (τ κάθε μπυλόνι καταπνείται από τ μισό βάρς τυ παιδιύ) 80mm ια τη διευθέτηση : (διπλή στήριξη άρα διπλάσια επιφάνεια διάτμησης ) τ 400N/,5 N/mm 80mm 7

8 γ) σ ε ε σ 4000 kn/ -6 6 E 00 m 000 kn/m 8,0 6 Άσκηση Χρησιμπιώντας τη συσκευή δκιμής αντχής υλικών τυ εργαστηρίυ, υπβάλαμε δύ διαφρετικά υλικά (α) και (β) σε εφελκυσμό και πήραμε τα διπλανά διαγράμματα τάσης / ανηγμένης μήκυνσης. σ (kn/m ) α β α) Να νμάσετε πι από τα δύ υλικά είναι τ πι ελαστικό δικαιλγώντας την απάντησή σας. β)να αναφέρετε πι από τα δύ υλικά έχει τ μεγαλύτερ μέτρ ελαστικότητας. Να δικαιλγήσετε την απάντησή σας. ε α) ν στα δύ υλικά «α» και «β» αναπτύσσεται ίδια τάση σ, στ υλικό «α» παρατηρείται ανηγμένη μήκυνση εα και στ υλικό «β» εβ.. πό τ διάγραμμα φαίνεται ότι εβ> εα. Άρα τ υλικό «β» είναι πι ελαστικό από τ υλικό «α». σ(kn/m ) α β (κάθε μνάδα μήκυς τυ υλικύ «β» επιμηκύνεται περισσότερ από ότι επιμηκύνεται η μνάδα μήκυς τυ υλικύ «α» όταν δέχνται την ίδια τάση). σ β) ν στα δύ υλικά «α» και «β» αναπτύσσεται ίδια τάση σ, τότε σ = σα = σβ ε α ε β ε σ ε α ε α β ε β α β ε ε β α πό τ πι πάνω διάγραμμα φαίνεται ότι εβ> εα. ρα από την πι πάνω σχέση: α>β Τ υλικό «α» έχει μεγαλύτερ μέτρ ελαστικότητας από τ υλικό «β». 8

9 Άσκηση Η γραφική παράσταση πυ φαίνεται στ διπλανό σχήμα δείχνει την τυπική καμπύλη σ - ε, για δκίμι μαλακύ χάλυβα πυ υφίσταται εφελκυσμό. α) Να αναφέρετε τι αντιπρσωπεύυν τα σημεία, Υ και U πυ φαίννται πάνω στην καμπύλη. β)να υπλγίσετε τ μέτρ ελαστικότητας () τυ μαλακύ χάλυβα από τη διπλανή γραφική παράσταση. σ (ΜΝ/m ) γ) Στ ίδι σχεδιάγραμμα να σχεδιάσετε τ διάγραμμα εφελκυσμύ τυ χαλκύ, όταν δίδεται ότι τ μέτρ ελαστικότητας τυ χαλκύ είναι = kn/m 0,00 0,00 0,00 0,004 ε και δύ τιμές τάσης στην ελαστική περιχή είναι 50 0 kn/m και 00 0 kn/m. Υ U α) : Όρι ελαστικότητας Υ: Όρι διαρρής U: Μέγιστη τάση εφελκυσμύ β) σ ε σ ε 00 ΜN/m 0, MN/m kn/m γ) για σ= 50 0 kn/m σ 50 0 kn/m ε 0, kn/m για σ= 00 0 kn/m σ kn/m kn/m ε 0,0009 σ (ΜΝ/m ) U Υ Χαλκός 50 0,0005 0,00 0,00 0,00 0,004 ε 9

10 Άσκηση 4 α) Να εξηγήστε πότε ένας κατασκευαστικός φρέας νμάζεται «στατικά ρισμένς» και πότε «στατικά αόριστς». β)στα πι κάτω σχήματα φαίννται τρεις () κατασκευαστικί φρείς (δκί) μαζί με τις στηρίξεις τυς. Κάτω από κάθε κατασκευαστικό φρέα σχεδιάστηκε τ διάγραμμά τυ. Να σχεδιάσετε στ διάγραμμα τυ κάθε φρέα τις αντιδράσεις σε κάθε στήριξη. Να αναφέρετε πιι από τυς πι κάτω φρείς είναι στατικά ρισμένι και πιι είναι στατικά αόριστι. (α) (β) ριθμός αντιδράσεων.. Στατικά... ριθμός αντιδράσεων.. Στατικά... (γ) Ζ Ζ ριθμός αντιδράσεων.. Στατικά... α) Ένας κατασκευαστικός φρέας νμάζεται στατικά ρισμένς όταν αριθμός των αγνώστων αντιδράσεων πυ αναπτύσσνται στις στηρίξεις τυ λόγω της φόρτισής τυ, είναι ίσς με τν αριθμό των συνθηκών ισρρπίας. (στ επίπεδ τρεις συνθήκες ισρρπίας τρεις άγνωστες αντιδράσεις). Ονμάζεται στατικά αόριστς όταν αριθμός των άγνωστων αντιδράσεων στις στηρίξεις τυ είναι μεγαλύτερς από τν αριθμό των συνθηκών ισρρπίας. β) (α) (β) Η Η Η R R R R ριθμός αντιδράσεων: 4 Στατικά αόριστη ριθμός αντιδράσεων: Στατικά ρισμένη 0

11 (γ) Ζ Η E M E Ζ Η Z ριθμός αντιδράσεων: 5 Στατικά αόριστη R E R Z Ο φρέας (β) είναι στατικά ρισμένς αφύ αριθμός των αντιδράσεων στις στηρίξεις τυ είναι όσς και αριθμός των συνθηκών ισρρπίας (στ επίπεδ). Οι φρείς (α) και (γ) είναι στατικά αόριστι αφύ αριθμός των αντιδράσεων στις στηρίξεις και των δύ φρέων είναι μεγαλύτερς από πυ είναι αριθμός των συνθηκών ισρρπίας στ επίπεδ. Άσκηση 5 Στν τίχ τυ διπλανύ σχήματς είναι στερεωμένη η δκός από την πία κρέμνται ι δύ πινακίδες και βάρυς 50 Ν η καθεμιά. α) Να σχεδιάσετε χρησιμπιώντας τα κατάλληλα σύμβλα τις αντιδράσεις στη στήριξη και τις δυνάμεις πυ ασκύνται στη συγκεκριμένη κατασκευή. Ο β) Να υπλγίσετε τις άγνωστες αντιδράσεις στ σημεί Ο της δκύ. 0,5 m m α) Η Ο Ο MΟ β) =0 HO=0 =0 RO = 0 RO = 00 N R Ο 50 Ν 50 Ν 0,5 m m (ΣM)O=0 M 50 0,5 50,5 0 M O O 00 Nm

12 Άσκηση 6 Πι κάτω δίννται επτά (7) κατασκευές μαζί με τις στηρίξεις τυς και τα φρτία πυ ασκύνται σε κάθε μία από αυτές. Να σχεδιάσετε στ τετράδιό σας τ διάγραμμα για κάθε μία από πι κάτω κατασκευές μαζί με τις στηρίξεις της. Σε κάθε διάγραμμα να τπθετήσετε τα φρτία πυ ασκύνται σε κάθε κατασκευή και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. Στη συνέχεια, να υπλγίσετε τις αντιδράσεις στις στηρίξεις της κάθε κατασκευής. Σχεδιάζυμε τ διάγραμμα για κάθε μία από πι κάτω κατασκευές μαζί με τις στηρίξεις της. Σε κάθε διάγραμμα τπθετύμε τα φρτία πυ ασκύνται σε κάθε κατασκευή και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. κλύθως, αφύ αναγνωρίσυμε τ είδς της κάθε στήριξης, σχεδιάζυμε σε κάθε σημεί στήριξης την/τις αντιδράσεις. =0 kn = 0 kν (α) m m m H =0 kn =0 kn Σημεί : Άρθρωση. Σημεί : Κύλιση R m m m R Η κατασκευή ισρρπεί άρα ισχύυν ι συνθήκες ισρρπίας: =0, =0 και ΣM=0 (ΣΜ) 0 - R -0 0 R 4 0 R R 4 0 kn Χ 0 H 0 R 0 R R 0kN 0 kn R 0 R 0 kn R R R 0 kn

13 m =60 kn = 40 kν (β) 60 m,5 m, m H = 60 kn 60 = 40 kn Σημεί : Άρθρωση Σημεί : Κύλιση R R m,5 m, m Η κατασκευή ισρρπεί άρα ισχύυν ι συνθήκες ισρρπίας: =0, =0 και ΣM=0 (ΣΜ) ημ60 4,7 R 40 4,7 R,5 0,5 0 R 9,9 R,5 8,4 kn 0 H Χ H H 0 H H 60 συν60 H έχει φρά αντίθετη απαυτήν πυ φαίνεται στ σχήμα 0kΝ 0 R R R R 9,96 kn R 0 R R 60 ημ60 8,40kN 9,96 kn R ,56 kn = 0 kν (γ) = 0 kν = 0 kν m m m m

14 H m R =0 kn = 0 kn = 0 kn m m m m R Σχεδιάζυμε στα σημεία στήριξης και τις αντιδράσεις. Σημεί : Άρθρωση Σημεί : Κύλιση Η κατασκευή ισρρπεί άρα ισχύυν ι συνθήκες ισρρπίας: =0, =0 και ΣM=0 (ΣΜ) R H H 0-9 R 40 R 0 H 0 kn H 0 0 H R 0 kn έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυφαίνεται στ σχήμα 0 R 0 R R 0kN 40 kn R 0 R 0 kn R R R 40 kn = kn kν/m (δ) m m m = kn H R =6 kn m m m kn/m R Τ κατανεμημέν φρτί kn/m μετατρέπεται σε συγκεντρωμέν: = kn/m m = 6 kn. Στ μέσ της απόστασης τπθετύμε τη δύναμη = 6 kν. Σχεδιάζυμε στα σημεία στήριξης και τις αντιδράσεις. Σημεί : Άρθρωση Σημεί : Κύλιση Η κατασκευή ισρρπεί άρα ισχύυν ι συνθήκες ισρρπίας: =0, =0 και ΣM=0 4

15 (ΣΜ) 0,5 R 5 0 6,5 R 5 0 R 9 R 5,8 kn 0 H 0 R 0 R R,8kN 8 kn R 0 R 6, kn R 6 0 R R 8 kn 0 kν/m 0 kν/m (ε) 4 m 8 m m 0 kn/m H R 0 kn/m R Θ Ζ ντικαθιστύμε τ κατανεμημέν φρτί με δύ συγκεντρωμένα φρτία ως ακλύθως: Χωρίζυμε τ κατανεμημέν φρτί σε δύ μέρη, ένα ρθγώνι (Ζ) και ένα τρίγων (Θ). 4 m 7,5 m 5 m,5 m 8 m m ια τ ρθγώνι η δύναμη ασκείται στη μέση τυ (Ζ) και ισύται με: = 0 kn/m 5 m = 50 kn ια τ τριγωνικό η δύναμη ασκείται στ / τυ (Ζ) από τ σημεί Ζ και ισύται με: = 0/ kn/m 5 m = 50 kn Σχεδιάζυμε στα σημεία στήριξης και τις αντιδράσεις. 5

16 m m m m Σημεί : Άρθρωση Σημεί : Κύλιση H κατασκευή ισρρπεί άρα ισχύυν ι συνθήκες ισρρπίας: =0, =0 και ΣM=0 (ΣΜ) R 0 4,5 R 975 R 8,88 kn ,5 R H 0 R 0 R R R 00 kn R 0 R R ,88 kn 00 kn R 78, kn 0 kν/m = 50 kν (στ) = 00 kν 0 m = 50 kn = 00 kn =00 kn 0 kn/m Τ κατανεμημέν φρτί 0 kn/m μετατρέπεται σε συγκεντρωμέν: = 0 kn/m 0 m = 00 kn. Στ μέσ της απόστασης E τπθετύμε τη δύναμη =00 kν. H Σχεδιάζυμε στα σημεία στήριξης και τις αντιδράσεις. Σημεί : Άρθρωση Σημεί : Κύλιση R 0 m R 6

17 m m m m H κατασκευή ισρρπεί άρα ισχύυν ι συνθήκες ισρρπίας: =0, =0 και ΣM=0 (ΣΜ) R H H R 0 H 0 H R H 50 kn έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυφαίνεται στ σχήμα 00 0 kn 0 0 R R 0 R R 00 0 R R 90 kn (ζ) 0 kν/m = 0 kν 8 m =60 kn 0 kn/m Τ κατανεμημέν φρτί 0 kn/m μετατρέπεται σε συγκεντρωμέν: 0 kn/m 8 m = = 60 kn. = 0 kn R Στ μέσ της απόστασης τπθετύμε τη δύναμη = 60 kν. H R Σχεδιάζυμε στα σημεία στήριξης και τις αντιδράσεις. Σημεί : Άρθρωση Σημεί : Κύλιση 8 m Η κατασκευή ισρρπεί άρα ισχύυν ι συνθήκες ισρρπίας: =0, =0 και ΣM=0 7

18 (ΣΜ) 0 4 R R 8 0 R kn 8 H H 0 H 0 H 0 0 H 0 kn έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φαίνεται στ σχήμα 0 R R 0 R R 60 0 R R 75 kn Άσκηση 7 Τι εννύμε όταν αναφερόμαστε στν «συντελεστή ασφάλειας» μίας κατασκευής; Ο συντελεστής ασφαλείας μιας κατασκευής δείχνει πόσ περισσότερ φρτί μπρεί να αντέξει μια κατασκευή σε σχέση με τ φρτί ασφαλύς λειτυργίας της. Συντ. ασφαλείας= Μέγιστ φρτί αντχής Μέγιστη τάση αντχής = Φρτί ασφαλύς λειτυργίας Τάση λειτυργίας Άσκηση 8 Η διπλανή κατασκευή χρησιμπιείται για να συγκρατεί στη θέση τη διαφημιστική πινακίδα βάρυς 0 kn. α) Να υπλγίσετε τ μέγεθς της δύναμης πυ ασκείται στ συρματόσχιν, τ είδς και τ μέγεθς της δύναμης πυ ασκείται στη ράβδ. β) ν τ υλικό από τ πί είναι κατασκευασμέν τ συρματόσχιν έχει διάμετρ 0 mm και αντέχει σε τάσεις (εφελκυστικές) όχι μεγαλύτερες των 500 MN/m, να υπλγίσετε τν συντελεστή ασφάλειας της κατασκευής. 0 8

19 α) πμνώνυμε τη ράβδ και τπθετύμε τις δυνάμεις πυ δρυν σε αυτή. υτές είναι η δύναμη από τ συρματόσχιν, τ βάρς της ταμπέλας και ι αντιδράσεις R και H της άρθρωσης στ σημεί. Η μπρεί να αναλυθεί στις δύ συνιστώσες της και. H R 0 πειδή η ράβδς ισρρπεί ισχύυν ι συνθήκες: ΣΜ=0, x=0, =0 (ΣΜ) = 0 I - I= 0 = = 0 kn = ημ0 = ημ0 = 0 0,5 = 0 kn = R = 0 πειδή = R = 0 I=τ μήκς της ράβδυ Χ = 0 - Χ + Η = 0 Χ = Η Η = = συν0 = 0 0,866 Η = Χ = 7, kν Η δύναμη πυ δρα πάνω στ συρματόσχιν είναι ίση με την αλλά με φρά αντίθετη (θεώρημα: δράση-αντίδραση). Άρα τ συρματόσχιν δέχεται εφελκυστική καταπόνηση ίση με 0 kν, ενώ η δύναμη πυ δρα πάνω στη ράβδ είναι θλιπτική και ίση με 7, kν. β) Η τάση σ στ συρματόσχιν ισύται με σ =, όπυ η δύναμη εφελκυσμύ πυ ισύται =0 kn και τ εμβαδό της επιφάνειας τυ συρματόσχινυ πυ είναι = πd 4,4 0,0 = =0, m 4 Άρα σ = 0 kn σ = 0, m σ=54,77 ΜΝ/m Ο συντελεστής ασφάλειας της κατασκευής ισύται: Συντ. ασφαλείας= Μέγιστ φρτί αντχής Μέγιστη τάση αντχής = = 500 Φρτί ασφαλύς λειτυργίας Τάση λειτυργίας 54,77 =,96 9

20 Άσκηση 9 Τ δκάρι πυ φαίνεται στ πι κάτω σχήμα, στηρίζεται από δύ παράλληλα συρματόσχινα Τ, τ καθένα από τα πία έχει εμβαδόν διατμής 400 mm. Τ μέτρ ελαστικότητας τυ υλικύ είναι = Ν/m. Τ μήκς τυ κάθε συρματόσχινυ ισύται με,46 m. Τ 0 = 0 kn m m Να υπλγίσετε: α) Τη δύναμη σε κάθε συρματόσχιν. β) Την επιμήκυνση τυ συρματόσχινυ λόγω της δύναμης αυτής. T H 0 T α) πειδή η ράβδς ισρρπεί ισχύυν ι συνθήκες: ΣΜ=0, x=0, y=0. R T m m =0 kn Σημειώνυμε στ σημεί (άρθρωση) τις αντιδράσεις R και H και τη διεύθυνση της τάσης των σχινιών στ σημεί. (ΣΜ) T 0 Τ T ημ0 Υ Τ 0 0,5 6 0 T 40 kν Σε κάθε συρματόσχιν ασκείται δύναμη kn T ' T 40 0 kn 0

21 m β) σ ε ' Τ σ 0 kν mm N/mm 6 σ 500 N/mm ε 0, N/mm l ε l εl 0,0005,46 m 0, m l Άσκηση 0 Στ διπλανό σχήμα φαίνεται ένα δικτύωμα. = 0 kν α) Να σχεδιάσετε στ τετράδιό σας τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα να τπθετήσετε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. β) Να νμάσετε τα είδη των στηρίξεων στα σημεία και.. γ) Να υπλγίσετε τις αντιδράσεις στα σημεία και = 0 kν m m m δ) Να απδείξετε ότι τ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν. ε) Να υπλγίσετε και να χαρακτηρίσετε τις δυνάμεις πυ ασκύνται στις ράβδυς τυ δικτυώματς. =0 kn α) Σχεδιάζυμε τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα τπθετύμε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. κλύθως αφύ αναγνωρίσυμε τ είδς της κάθε στήριξης σχεδιάζυμε σε κάθε σημεί στήριξης την/τις αντιδράσεις. H R =0 kn m m R β) Σημεί : Άρθρωση

22 Σημεί : Κύλιση γ) Υπλγισμός αντιδράσεων: (ΣΜ) 0 R R 4 0 R 60 5 kn 4 0 R R 0 R R 0 0 R R 5 kn H H 0 H 0 H 0 0 H 0 kn έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φαίνεται στ σχήμα δ) Στ δικτύωμα: b=o αριθμός των ράβδων b=5 r= o αριθμός των αντιδράσεων r= j =o αριθμός των κόμβων j=4 Άρα 5+= 4 Τ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν αφύ ισχύει η σχέση b+r=j ε) Υπλγισμός δυνάμεων πυ ασκύνται στις ράβδυς τυ δικτυώματς Κόμβς 0 R Υ 5 0,707 0 R ημ45,kn θλιπτική 45 0 Χ 0 (,) 0,707 συν45 5 kn εφελκυστική R =5 kν Κόμβς kN 5kN εφελκυστική εφελκυστική =5 kn =0 kn

23 0,866 m Κόμβς 0 ημ45 Υ R R 0 0 7,07 kn θλιπτική 5 0,707 H =0 kn R =5 kn 45 =5 kn Άσκηση Στ διπλανό σχήμα φαίνεται ένα δικτύωμα.,5 m,5 m 0 0 0,866 m = 0 kν = 50 kν α) Να σχεδιάσετε στ τετράδιό σας τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα να τπθετήσετε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. β) Να απδείξετε ότι τ δικτύωμα τυ πι πάνω σχήματς είναι στατικά ρισμέν. γ) Να υπλγίσετε τις αντιδράσεις στα σημεία και και τις δυνάμεις πυ ασκύνται στις ράβδυς τυ δικτυώματς. Να χαρακτηρίσετε τ είδς της καταπόνησης πυ δέχεται η κάθε ράβδς τυ δικτυώματς. δ) ν τ υλικό κατασκευής τυ δικτυώματς αντέχει σε μέγιστη τάση (σ μεγ) 400 Ν/mm και συντελεστής ασφάλειας πρέπει να είναι 5, να υπλγίσετε τ ελάχιστ εμβαδόν διατμής της ράβδυ. m α) Σχεδιάζυμε τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα τπθετύμε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. κλύθως αφύ αναγνωρίσυμε τ είδς της κάθε στήριξης σχεδιάζυμε σε κάθε σημεί στήριξης την/τις αντιδράσεις. H R 0 0 = 0 kn = 50 kn R

24 Σημεί : Άρθρωση Σημεί : Κύλιση β) b=5, r=, j=4 και b+r =8 και j=8 Τ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν αφύ ισχύει η σχέση b+r=j γ) Υπλγισμός αντιδράσεων στα σημεία και. (ΣΜ) 0,5 0,866 R 0 50,5 0 0,866 R 0 R 57,68 9, kn 0 R R 0 R R 50 0 R 9, 50 0 R 0,77 kn 0 H H H 0 H 0 0 H 0 kn έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φ αίνεται στ σχήμα Υπλγισμός δυνάμεων στις ράβδυς τυ δικτυώματς. Κόμβς 0 R 0 Χ Υ 9, 0,5 0 R 8,46kN 8,46 0,866 0 εφελκυστική ημ0 συν0, kn θλιπτική 0 R =9, kn Κόμβς 0 0 =-, kn 0 0, kn θλιπτική Κόμβς 0 H συν0 Χ 0 (-,) 6,56 kn εφελκυστική 0 5, 0,866 H =0 kn =-, kn 0 R =0,77 kn 4

25 m δ) Υπλγισμός εμβαδύ διατμής ράβδυ σμεγ = 400 Ν/mm Συντελεστής ασφάλειας (Σ)=5 =6,56kN σμεγ σμεγ 400Ν/mm Σ σ λειτ σ Σ 5 σ λειτ λειτ σ λειτ 6,560 Ν 769,5 mm 80 Ν/mm 80 Ν/mm Άσκηση Τ δικτύωμα τυ διπλανύ σχήματς σχεδιάστηκε για να χρησιμπιείται στα συνεργεία αυτκινήτων, ώστε να συγκρατεί στ σημεί μηχανές αυτκινήτων βάρυς μέχρι και 5 kν. α) Να σχεδιάσετε στ τετράδιό σας τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα να τπθετήσετε τ φρτί πυ ασκείται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. m m = 5 kν β) Να υπλγίσετε τις δυνάμεις πυ ασκύνται στις ράβδυς τυ δικτυώματς και να χαρακτηρίσετε τ είδς της καταπόνησης πυ δέχεται η κάθε ράβδς. γ) ν τ υλικό κατασκευής τυ δικτυώματς αντέχει σε τάση σ μεγ = 400 Ν/mm και συντελεστής ασφάλειας πρέπει να είναι 4, να υπλγίσετε τ ελάχιστ εμβαδόν διατμής της ράβδυ. α) Σχεδιάζυμε τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα τπθετύμε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. κλύθως αφύ αναγνωρίσυμε τ είδς της κάθε στήριξης σχεδιάζυμε σε κάθε σημεί στήριξης την/τις αντιδράσεις. H R m 0 = 5 kn Σημεί : Άρθρωση Σημεί : Κύλιση H 5

26 β) Υπλγισμός αντιδράσεων: (ΣΜ) 0 H 0 5 H 0 H 5 kn 0 R 0 R 5 0 R 5 kn 0 H H H H 0 H 5 0 H έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φαίνεται στ 5 kn σχήμα Υπλγισμός δυνάμεων στις ράβδυς τυ δικτυώματς. Στ δικτύωμα: b=5, r=, j=4 b+r =5+=8 και j= 4=8 Ισχύει b+r= j Τ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν. Κόμβς ,5 Χ Υ 0 ( 0) 0, kN θλιπτική ημ0 συν0 8,66 kn εφελκυστική 0 = 5 kn Κόμβς 0 0 Υ 5 0,5 Χ Η 0 0 ( 0) 0,866 ημ0 0kN θλιπτική Υ 8,66 kn Η συν0 εφελκυστική Η = 5 kn 0 Κόμβς 0 Υ ημ45 R R - 8,66 5 0,707 Υ 0 5,8 kn θλιπτική H =5 kν =8,66 kν R =5 kν =8,66 kν 45 6

27 γ) Υπλγισμός εμβαδύ διατμής ράβδυ σμεγ = 400 Ν/mm Συντελεστής ασφάλειας (Σ)=4 =8,66kN σ Σ σ σ λειτ μεγ λειτ σ λειτ σ σμεγ Σ λειτ 400Ν/mm 4 8,660 Ν 00 Ν/mm 00 Ν/mm 86,6 mm Άσκηση Τ δικτύωμα πυ φαίνεται στ πι κάτω σχήμα, χρησιμπιείται για συγκρατεί στ σημεί φρτί ίσ με 40 kn. m 5, m m 45 0 = 40 kν α) Να σχεδιάσετε στ τετράδιό σας τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα να τπθετήσετε τ φρτί και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. β)nα υπλγίσετε τις δυνάμεις πυ ασκύνται στις ράβδυς τυ δικτυώματς και να χαρακτηρίσετε τ είδς της καταπόνησής τυς, εξαιτίας τυ πι πάνω φρτίυ. γ) ια την κατασκευή τυ δικτυώματς λήφθηκε υπόψη συντελεστής ασφάλειας για κάθε ράβδ ίσς με 4. Να υπλγίσετε τ εμβαδόν διατμής της ράβδυ πυ δέχεται τη μεγαλύτερη καταπόνηση σε εφελκυσμό, λαμβάνντας υπόψη ότι χρησιμπιήθηκε μεταλλικό υλικό με μέγιστη τάση αντχής σ μεγ= 750 MN/m. 7

28 α) Σχεδιάζυμε τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα τπθετύμε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. κλύθως αφύ αναγνωρίσυμε τ είδς της κάθε στήριξης σχεδιάζυμε σε κάθε σημεί στήριξης την/τις αντιδράσεις. m H m 5, m 45 0 = 40 kn Σημεί : Άρθρωση Σημεί : Κύλιση R R β) Υπλγισμός αντιδράσεων: 0 ( ΣΜ) 0 - R 8, 0-40 R 8, 0 R R 8, R 0 R R 0 R 4, R R 5,7 kn ,6 kn 0 H 0 b=5, r=, j=4 b+r =5+=8 και Κμβς j= 4=8 Ισχύει b+r= j Τ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν. 0 R 5,7 0,707 0 R ημ45 5,88kN θλιπτική ( 5,88) 0,707 συν45 5,7 kn εφελκυστική R =5,7 kn Κόμβς kn εφελκυστική =5,7 kn 0 0 5,7 kn εφελκυστική =40 kn 8

29 4, m Κόμβς - Υ 0 R ημ0 R 4,6 0,5 Υ 0 9,6 kn θλιπτική 0 =5,7 kn γ) σμεγ=750 MΝ/m Συντελεστής ασφάλειας (Σ)=4 Μεγαλύτερη εφελκυστική δύναμη ασκείται στη ράβδ : =40 kn σμεγ σμεγ 750 MN/m Σ σ λειτ 87,5 MN/m σ Σ 4 σ λειτ λειτ σ λειτ 40 0 Ν 6 87,50 Ν/m, 0-6 m R =4,6 kn Άσκηση 4 Τ δικτυωμα πυ φαίνεται στ πι κάτω σχήμα χρησιμπιείται για να ανεβάζει φρτία σε μια βιμηχανία. ια τν σκπό αυτό χρησιμπιύνται τα δύ συρματόσχινα στις θέσεις και. Τ συρματόσχιν στη θέση μπρεί να ανεβάσει φρτί με μέγιστ βάρς 5 kn, ενώ αυτό στη θέση φρτί με μέγιστ βάρς 8 kn = 8 kν = 5 kν,5 m 5 m α) Να σχεδιάσετε στ τετράδιό σας τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα να τπθετήσετε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. 9

30 β) Να υπλγίσετε τις δυνάμεις πυ ασκύνται στις ράβδυς τυ δικτυώματς της κατασκευής και να χαρακτηρίσετε τ είδς της καταπόνησης πυ δέχεται η κάθε ράβδς, όταν τα συρματόσχινα στις θέσεις και ανεβάζυν τα μέγιστα φρτία τυς. γ) Να νμάσετε τη ράβδ πυ δέχεται τη μεγαλύτερη καταπόνηση ι) σε εφελκυσμό και ιι) σε θλίψη. R H α) Σχεδιάζυμε τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα τπθετύμε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. κλύθως αφύ αναγνωρίσυμε τ είδς της κάθε στήριξης σχεδιάζυμε σε κάθε σημεί στήριξης την/τις αντιδράσεις. Σημεί :Κύλιση Σημεί : Άρθρωση 4, m H = 8 kn,5 m 5 m 0 = 5 kn β) Υπλγισμός αντιδράσεων (ΣΜ) 0 -,5 7,5 H 4, 0-8,5 57,5 H 4, 0 57,5 H H,8 kn 4, H H έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φαίνεται στ σχήμα 0 R 0 R R 0 R kn 0 H H 0 H -H 0 H,8kN Υπλγισμός των δυνάμεων πυ ασκύνται στις ράβδυς τυ δικτυώματς b=5, r=, j=4 b+r =5+=8 και j= 4=8 Ισχύει b+r= jτ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν. Κόμβς H 0,8kN θλιπτική Η =,8 kn 0

31 m Κόμβς 0 Υ 5 0,5 0 Χ 00, kN εφελκυστική 0 Υ συν0 8,66 kn θλιπτική ημ0 0 = 5 kn Κόμβς 8 0 Υ 0 ημ60 8 0,866 Υ 8 0 9,4kN εφελκυστική 60 =-,8 kn =-8,66 kn = 8 kn γ) Η ράβδς πυ δέχεται την μεγαλύτερη καταπόνηση σε εφελκυσμό είναι η (=0 kn). Η ράβδς πυ δέχεται την μεγαλύτερη καταπόνηση σε θλίψη είναι η (=,8 kn). Άσκηση 5 Στ πι κάτω σχήμα φαίνεται ένα δικτύωμα τ πί απτελείται από πέντε ράβδυς και στηρίζεται στα σημεία και. Στν κόμβ εφαρμόζεται κατακόρυφ φρτί 5 kn και στν κόμβ ριζόντι φρτί 0 kn. = 5 kν = 0 kν m m m α) Να σχεδιάσετε στ τετράδιό σας τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα να τπθετήσετε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις.

32 β) Να νμάσετε τα είδη των στηρίξεων και να υπλγίσετε τις αντιδράσεις στα σημεία στήριξης και. γ) Να απδείξετε ότι τ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν. δ) Να υπλγίσετε τις εσωτερικές δυνάμεις στις ράβδυς τυ δικτυώματς και να χαρακτηρίσετε τ είδς της καταπόνησης πυ δέχεται η καθεμιά από αυτές. ε) ν τ υλικό πυ χρησιμπιήθηκε για την κατασκευή τυ δικτυώματς έχει σ μεγ= 500 Ν/mm να υπλγίσετε τ εμβαδόν διατμής της ράβδυ, έτσι ώστε να επιτευχθεί συντελεστής ασφάλειας ίσς με 4. α) Σχεδιάζυμε τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα τπθετύμε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. κλύθως αφύ αναγνωρίσυμε τ είδς της κάθε στήριξης σχεδιάζυμε σε κάθε σημεί στήριξης την/τις αντιδράσεις. m = 5 kn =0 kn R H β) Σημεί : Κύλιση Σημεί : Άρθρωση Υπλγισμός αντιδράσεων: R m m m (ΣΜ) 0 R R 0 R 60 R 0 kn 0 R R 0 R R 5 0 R 0 5 R 5 kn 0 H H H 0 H 0 0 H 0 kn έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φαίνεται στ σχήμα. γ) b=5, r=, j=4 b+r =5+=8 και j= 4=8 Ισχύει b+r= j Τ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν

33 δ) Υπλγισμός και χαρακτηρισμός δυνάμεων στις ράβδυς. Κόμβς 0 Υ R 0 0, ημ45 8,9kN θλιπτική 45 0 Χ 0 ( 8,9) 0,707 συν45 0 kn εφελκυστική R =0 kn Κόμβς 0 5 0,707 Υ R 0 5 ημ45 7,07kN εφελκυστική 45 Η =0 kn 0 Χ συν45 Η 5 knθλιπτική Η 0 7,07 0,707 0 R =5 kn Κόμβς =7,07 kn 0 ημ45 Υ Υ 0 ημ45 7,07kN θλιπτική 45 =0 kn 45 0 kn ε) σμεγ = 500 Ν/mm Συντελεστής ασφάλειας (Σ)=4 = 0kN σ Σ σ σ λειτ μεγ λειτ σ λειτ σ σμεγ Σ λειτ 500Ν/mm Ν 5 Ν/mm 5 Ν/mm 60 mm

34 Άσκηση 6 Στ διπλανό σχήμα φαίνεται ένας υπαίθρις καλυμμένς χώρς σταθμύ τρένυ. Πι κάτω παρυσιάζεται τ δικτύωμα, τ πί στηρίζεται στα σημεία και και αυτό με τη σειρά τυ στηρίζει την ρφή και την θόνη πρβλής αναχωρήσεων. Οθόνη Φρτί kn = 8 kν, m 60 = 6 kν 0 0 m m = 8 kν 4 = kν α) Να σχεδιάσετε στ τετράδιό σας τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα να τπθετήσετε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. β) φύ απδείξετε ότι τ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν να υπλγίσετε τις εσωτερικές δυνάμεις στις ράβδυς (), (), () και () τυ δικτυώματς και να χαρακτηρίσετε τ είδς της καταπόνησης πυ δέχεται η καθεμιά από αυτές. γ) ν τ εμβαδόν διατμής της ράβδυ () είναι 70 mm και τ υλικό πυ χρησιμπιήθηκε για την κατασκευή τυ δικτυώματς έχει σ μεγ= 400 Ν/mm να υπλγίσετε τν συντελεστή ασφάλειας πυ λήφθηκε υπόψη για την επιλγή της πι πάνω ράβδυ. 4

35 α) Σχεδιάζυμε τ διάγραμμα τυ δικτυώματς μαζί με τις στηρίξεις τυ. Στ διάγραμμα τπθετύμε τα φρτία πυ ασκύνται και τις αντιδράσεις στις στηρίξεις. κλύθως αφύ αναγνωρίσυμε τ είδς της κάθε στήριξης σχεδιάζυμε σε κάθε σημεί στήριξης την/τις αντιδράσεις. β), m b=7, r=, j=5 b+r =7+=0 και j = 5=0 Ισχύει b+r= j Τ δικτύωμα είναι στατικά ρισμέν. H H =8 kn =6 kn =8 kn = kn R m m Υπλγισμός ντιδράσεων (ΣΜ) H, H 68 Η Η 9,44 kn, H H έχει φρά αντίθετηαπ'αυτή πυφαίνεται στ 4 σχήμα, H 0 H 9,44 kn Η 0 0 R 4 0 R R kn Υπλγισμός εσωτερικών δυνάμεων στις ράβδυς Κόμβς 0 Η Χ ημ60 Χ 9,44 0 4kN εφελκυστική 9,44 0,866 H =9,44 kn =8 kn 0 συν60 5 kn θλιπτική Υ , E 5

36 Κόμβς E 0 R ημ0 E 6 kn θλιπτική 0 Η Χ 5,58 kn Χ 0 E 9,44 - (-6) θλιπτική 0 - -(-5) 0,5 Η συν0 H =9,44 kn =-5 kn 0 R = kn γ) Υπλγισμός τυ συντελεστή ασφάλειας = 70 mm =4 kn σμεγ= 400 N/mm Συντελεστής ασφάλειας (Σ); Σ σμεγ σμεγ 400 N/mm 400 N/mm σ E 4 0 N 9,89 N/mm λειτ 70 mm E Σ 4,5 6