ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ - 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΕΦ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-7 ΘΕΜΑ Α Α - Λ Α - Λ Α3 - Σ Α4 - Λ Α5 - Λ Α6 - Σ Α7 - Σ Α8 - Λ Α9 - Λ Α - Λ ΘΕΜΑ Β Β. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Τη χρονικ στιγμ t τραβάμε ακαριαία το πώμα από την οπ. Έστω το μέτρο της ταχύτητας ρος των σημείων της επιφανείας του νερού αρχικά. Μια τυχαία χρονικ στιγμ t που η στάθμη έχει κατέβει κατά y το μέτρο της ταχύτητας ρος των σημείων της επιφανείας του νερού είναι, ενώ η ταχύτητα εκρος από την οπ είναι. Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli κατά μκος μιας ρευματικς γραμμς από το σημείο Γ στο σημείο Δ. p gh p. Αλλά p p p οπότε η σχέση γίνεται: gh gh (). Εφαρμόζουμε την εξίσωση της συνέχειας : 3 () 3 Όμως h H y. Από (), () έχουμε: 8 gh 8 gh y gh g y (3). 4 4 Η σχέση αυτ είναι της μορφς y (4) εξίσωση που χαρακτηρίζει κάθε ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Με σύγκριση ομοίων όρων μεταξύ των σχέσεων (3) και(4) έχουμε: Από την εξίσωση κίνησης έχουμε: gh gh ενώ 4 4 g 4 g 8 t gh g t 4 8 gh g t 4 8 8 gh H t 4 g 4 g
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ - 7 Β. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Υπολογίζουμε την ταχύτητα που έχει το σύστημα μάζας Μ τη στιγμ της σύγκρουσης με το έδαφος με ΑΔΜΕ: Mgh MV V gh 3 m / s. Το σώμα μάζας m εκτελεί αατ ξεκινώντας τη χρονικ στιγμ t από τη θέση φυσικού μκους με ταχύτητα μέτρου V. Για τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης ισχύει: F k mg mg,m k Εφαρμόζουμε ΑΔΕ για την αατ τη t : ka k mv A,m Η μέγιστη δύναμη που δέχεται ο κλωβός από το ελατριο είναι ίση με τη μέγιστη δύναμη του ελατηρίου: F k 3 N max Β3. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Η σωστ απάντηση είναι η γ. Είναι H h() Στη θέση ισορροπίας ισχύει: F mg k Η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για τη μεταφορά του σώματος είναι: W mgh k mgh k από τις (), () έχουμε: W mgh mg H h W mgh mg h h 3 mgh Β4. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αφού το μκος της ράβδου ΑΒ είναι σταθερό, πρέπει οι συνιστώσες των ταχυττων στη διεύθυνση της ράβδου, στα σημεία Α και Β να είναι ίσες:,,
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ - 7 Β5. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Η σωστ απάντηση είναι η β. Η ταχύτητα του m μετά την ελαστικ μετωπικ κρούση είναι: m υ = m m Όταν χαθεί η επαφ του με το οριζόντιο επίπεδο ισχύει F συνφ= m g k, συνφ= m g k, = m g k = 6m g, Όμως D k m 36m (3) g Από (), (3) είναι 36m 6m g (4) 6 Ενεργειακά ισχύει: m 6m g,4 4 Β6. ΑΠΑΝΤΗΣΗ m k, m k,4 4 g 6g,4 4m / s 4 6 α) Έστω ν ο αριθμός των δεσμών στη χορδ : (ν ) λ (ν ) υ Έστω κ ο αριθμός των δεσμών στη χορδ : (κ ) λ (κ ) υ (ν )υ ν υ (κ )υ κ υ αφού οι κ, ν οι μικρότεροι ακέραιοι ισχύει ν και κ. Άρα ( )υ β) Υπάρχουν συνολικά 8 δεσμοί αφού το σημείο συνάντησης (Γ) δεν το μετράμε δύο φορές. 3
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ - 7 ΘΕΜΑ Γ (ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ) η Ερώτηση. α. Η τροχιά του βαριδιού είναι ευθύγραμμη καμπυλόγραμμη; Η τροχιά του βαριδιού είναι ευθύγραμμη, επειδ η αρχικ απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας έγινε κατακόρυφα κατά την διεύθυνση της συνισταμένης δύναμης ( βάρος - τάση ελατηρίου ). β. Από τα πειραματικά δεδομένα μπορείτε να συμπεράνετε αν η κίνηση είναι περιοδικ και πώς; Η κίνηση είναι περιοδικ. Αυτό το συμπεραίνουμε από τη γραφικ παράσταση θέσης χρόνου η οποία επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστματα. γ. Αν η κίνηση είναι περιοδικ, πoια είναι η συχνότητά της; Μεταξύ της χρονικς στιγμς t =,8s και της χρονικς στιγμς t = 3,8s το βαρίδι έχει εκτελέσει,5 ταλαντώσεις. Συνεπώς,5 Τ = t t =,6Hz,5 Τ = 3,8s -,8s, οπότε: Τ =,94s και f =/T η Ερώτηση. Συμφωνείτε ότι η εξίσωση κίνησης του βαριδιού είναι αυτ και γιατί; ΠΡΟΣΟΧΗ: Η γραφικ παράσταση Θέσης χρόνου τέμνει τον άξονα θέσης στο (-,3m, s). Συμφωνώ διότι: Η εξίσωση κίνησης ενός σώματος που εκτελεί α.α.τ. είναι της μορφς x ( t ) Από τη γραφικ παράσταση παρατηρώ ότι το πλάτος είναι: Α =,4m Η ω = πf =6,66rad/s Την χρονικ στιγμ t = s η x,4 (3,94) = -,3m 3 η Ερώτηση. Αξιοποιώντας τα στοιχεία της καρτέλας μαθηματικς προσαρμογς και την θεωρητικ σας γνώση, να υπολογίσετε την μάζα του βαριδιού; 4
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ - 7 Γνωρίζουμε ότι στην α.α.τ. η συνισταμένη των δυνάμεων που δρουν στο σώμα είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και ισχύει: ΣF=-D x, όπου D η σταθερά επαναφοράς. Από τα στοιχεία της καρτέλας συμπεραίνω ότι: D=,3N/m H D = m ω οπότε,3ν/m=m (6,66rad/s) m=,499κg 4 η Ερώτηση. Με βάση τη θεωρητικ γνώση που διαθέτετε δικαιολογείστε την μορφ της γραφικς παράστασης. Από τη γραφικ παράσταση Θέσης χρόνου και για το χρονικό διάστημα που μελετθηκε η α.α.τ, παρατηρώ ότι δεν μεταβάλλεται το πλάτος συνεπώς και η ενέργεια της ταλάντωσης. Συνεπώς K U ET m D x D A m m x m A x A A x Της οποίας η γραφικ παράσταση είναι σαν αυτ της εικόνας. 5 η Ερώτηση. Χρησιμοποιώντας τα υλικά που διαθέτουν, θα μπορούσαν να αναγκάσουν το βαρίδι να ταλαντώνεται με νέα συχνότητα f f ; Δώστε την δικς σας απάντηση εξηγώντας ακριβώς τι θα κάνετε και γιατί. Θα πρέπει να κρεμάσουν και το δεύτερο κομμάτι του ελατηρίου, από τον γάντζο του δυναμόμετρου, και το βαρίδι από τα ελεύθερα άκρα των ελατηρίων. Αν τώρα απομακρύνουν το βαρίδι από την θέση ισορροπίας του και το αφσουν ελεύθερο θα εκτελέσει α.α.τ με συχνότητα f f και αυτό διότι: Τα δύο ελατρια, εφόσον είναι πανομοιότυπα, έχουν το ίδιο Κ. Όταν το σώμα ταν κρεμασμένο στο ένα ελατριο τότε η D f m 5
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ - 7 Όμως D=K, οπότε: f K m Όταν το σώμα είναι κρεμασμένο στα δύο ελατρια D =K (με απόδειξη), οπότε: ΘΕΜΑ Δ Δ. Υπολογισμός ροπς αδράνειας συστματος ως προς τον άξονα περιστροφς Ο. K K f f m m Εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο ΑΟN, προκύπτει: N N N 5 Η ροπ αδράνειας της ράβδου ΟΒ, ως προς τον άξονα περιστροφς Ο, ισούται με: 5 I cm, AN 5 4 4 I () 3 Η ροπ αδράνειας της ράβδου ΑΟ, ως προς τον άξονα περιστροφς Ο, ισούται με: cm, I I (3) 4 3 Η ροπ αδράνειας του συστματος των δύο ράβδων, ως προς τον άξονα περιστροφς Ο, ισούται με: (),(3) 4 5 I I kg m (4) 3 3 3 Δ. Όπως φαίνεται από το σχμα τα σημεία Ο και Β εκτελούν κυκλικ κίνηση με κέντρο Α και ακτίνες: r O AO και r A Για τα μέτρα των ταχυττων των σημείων Ο και Β ισχύει: 6
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ - 7 r O O r Όπου ω το μέτρο της γωνιακς ταχύτητας του συστματος. O Έτσι το πηλίκο O, ισούται με: Δ3. 7
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ - 7 Εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της στροφικς κίνησης στη ΘΕΣΗ (ΙΙΙ), προκύπτει: 5 5 w Mg 3 3 3g () (η φορά της φαίνεται στο παραπάνω σχμα) Το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης του σημείου Μ ισούται με: 3g () εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε. για τη μετάβαση του συστματος από τη ΘΕΣΗ (Ι) στη ΘΕΣΗ (ΙΙΙ), έτσι έχουμε: U U U U βαρ, βαρ, βαρ, βαρ, 5 3 Mg Mg Mg Mg 3Mg 3Mg 8g 9 g (3) 5 Το μέτρο της κεμτρομόλου επιτάχυνσης του σημείου Μ ισούται με: 3 9 g 4 5 Το μέτρο της (ολικς) επιτάχυνσης του σημείου Μ ισούται με: 3 73 g Για τη γωνία που σχηματίζει το αντίστοιχο διάνυσμα με την οριζόντια διεύθυνση, ισχύει: 8
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ - 7 Δ4. Όπως φαίνεται και στο διπλανό σχμα, φέρνουμε το σύστημα σε τέτοια θέση ώστε τα βάρη των δύο ράβδων να ασκούν αντίρροπες ροπές. Στη θέση όπου το σύστημα αποκτά μέγιστη κατά μέτρο γωνιακ ταχύτητα ισχύει: wd wd d d Όμως d d d d 4 3 Άρα η σχέση () γίνεται: 3 3 8,5 8,5 Για τον υπολογισμό του μέτρου της μέγιστης γωνιακς ταχύτητας εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε. για τη μετάβαση του συστματος από τη ΘΕΣΗ (Ι) στη ΘΕΣΗ (ΙΙ), έτσι έχουμε: U U U U βαρ, βαρ, βαρ, βαρ, Mg Mg mαx Mg Mg Mg 3 5 3 Mg mαx Mg Mg 3 3g mαx 3 3 5 Αντικαθιστώντας όπου 8,5, και 8,5,3, 3g προκύπτει: mαx 3 5 9