-- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, ( ω K m ספירת המצבים של מערכת גדולה קומבינטוריקה מספרהאפשרויותלסדר חלקיקיםכאשרלכלאחדm מצביםאפשריים: מספרהאפשרויותלבחור k איבריםשוניםמתוך איברים, כאשרהבחירהללאחשיבותלסדר וללאהחזרה: k! C k k! ( k! k!, מתקיים:, k k מספרהאפשרויותלבחור k מתוך עםחשיבותלסדרוללאהחזרה:! k! הבינוםשלניוטון: k k a+ b a + a b+ a b + + b a b k k נשיםלב ( + i ( i ρ X p d ar( ρ הסתברות תוחלת (ממוצעמשוקללבהסתברות: ( d ( p X i נרמול: שונות (מדד לפיזורהסטטיסטישלמשתנהמקרי: מתקיים: ar X X X ( + ar( X ar( X ar( X + Y ar( X + ar( Y ar X ar X X ar X X X σ סטייתתקן (חזרהליחידותהמשתנההמקרי: כאשרחוזריםעלניסוימספררבשלפעמים מקרהפרטישלמשפטהגבולהמרכזי: עבורקבוצהשלמשתניםאקראייםבלתיתלויים, בעלי אותומרחבמדגםובעליתוחלת וסטיית ρ :σ הממוצעשלהם: i i בגבול - התפלגותנורמאלית: σ σ ( פונקציתצפיפותהסתברות:, σ p πσ σ ( α d π α תקן גאוסיאן: אינטגרל גאוסיאני: (מחושב ע"י העלאה בריבוע ומעבר לקואורדינאטות פולאריות ( a b π b 4a d p, a > a 4a + + d עלאינטגרלזוגי: d α d עלאינטגרלאיזוגי: α ( α ( π / α α α α d d 4 α d d :( מתקיים: נוסחתסטרלינג o! o o + π + + O פונקציתהריבוישלמערכתספינים ספיןכולל: + ( + מציינתאתמספרהמצביםהאפשרייםלחלק ספינים פונקציתהריבוי למערכתספינים (, + ל- :, הקירובהגאוסיאני (, (,, (, π עבורטמפרטורותגבוהות - פונקציתהריבויהמנורמלת פונקציתצפיפותההסתברות: (, ρ(,, (, d (, d אנטרופיה, טמפרטורהוההנחההיסודית [ σ ] [ ] J σ (, o (, אנטרופיה: σ טמפרטורהמוחלטת: β קבועבולצמן: J 6 r 5 K 8 8 86 K K K אנטרופיהביחידותפיסיקליות: K σ האנטרופיההיאגודלאדטיבי: + טמפרטורה:, פונקציתהריבוישלמערכת אוסילטוריםהרמונייםקוונטיים האנרגיהשל אוסילטורהרמוניקוונטי: (אנרגיתהאפסמוזנחת: ω עבור אוסילטוריםזהים: i iω ω (לחלק כדוריםל- קבוצותע"י (- מחיצות מס מצבים: + (, האנטרופיה: σ o( + o+ o ω ω ω ω האנרגיהכתלותבטמפרטורה: ω ω אנטרופיהוטמפרטורהשל ספינים ובגבולותשלטמפרטורהנמוכהוגבוהה מערכתחלקיקיםעם שניערכיספיניםאפשריים ± בהפעלתשדהמגנטיH האנרגיהשלכלחלקיק: E (מגנטוןבוהר: ( i ± H m E H עבור ספיניםזהים: E m + H פונקציתהריבוי:! ( E, ( E ( E כאשר האנטרופיה: ( σ ( o ( + ( o ( הטמפרטורה: β o ( / ( H טמפרטורהגבוהה: מקסימוםאנטרופיה טמפרטורהנמוכה: מינימוםאנרגיה,,, החוקהשנישלהתרמודינאמיקה: במערכתסגורה, האנטרופיהיכולהרקלגדול שתימערכותספיניםבמגעתרמי מספר המצביםהזמיניםשלהמערכתהמשולבת: ( (, שימור: + + ' + ' "הקונפיגורציההמסתברתביותר" עבורההמכפלהשלפונקציותהריבוימקסימאלית (כאשר נתונים מתקבלתעבור:,, שיווי-משקלתרמי: כאשרהמערכתהמשולבתשלהןנמצאת בקונפיגורציההמסתברתביותרשלה שתיהמערכותנמצאותבשיווי-משקלתרמי כאשרהטמפרטורותשלהןשוות כאשר מביאיםשתימערכותלש"מתרמי, האנטרופיהלאתגדלרקאםהןהיומלכתחילה באותהטמפרטורה החוםיזרוםמהמערכתעםהטמפרטורההגבוהה אלהמערכתעםהטמפרטורההנמוכה ( התפלגות בולצמן והאנרגיה החופשית של הלמהולץ ( ( פונקציתהחלוקה: פונקציתהחלוקהשל חלקיקים: מובחנים: התפלגות בולצמן: לאמובחנים:! אנרגיהממוצעת: o o β d dσ d d d o השונותבאנרגיה: σ C β β הדיפרנציאל: d( σ, dσ + d σ σ σ לחץ: נקבלאת הזהותהתרמודינמיתהיסודית: קיבולחוםסגולי כמותהאנרגיהשצריךלהשקיע ביחידתמסהכדילהעלותאתהטמפרטורהשלהבמעלהאחת σ m קיבולחוםבנפחקבוע (חסראובעליחידות: C, C
-- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, 8 ( 4 π d( באמצעות :( d d dσ שימוש בזהות התרמודינמית היסודית: d C y y, C σ טרנספורםלג'נדר - נתונהפונקציה ונרצה לעבור לתלות במשתנה חדש בלבד ( p y( ( p p ( p ψ : dy p d,ψ ( p האנרגיה החופשית של הלמהולץ σ d d d + d האנרגיה החופשית של הלמהולץ: הדיפרנציאל:, לכןהנגזרותהחלקיות: הקונפיגורציההמסתברתביותרעבורמערכתהמצומדתלאמבטחוםהיאזושעבורה מינימאלית - (,, ( σ, נעשהע"י המעברביןהפונקציותהבסיסיותשלש"מ - טרנספורםלג'נדר מהמשתנה σלמשתנה הקשרבין ל- : o דוגמא- גזאידיאלי קלאסי גזאידיאלי אוסףאטומיםללאאינטראקציה האנרגיהוהתנע שלהאורביטל ה- שלאטוםבקופסא: בגז קלאסי: π + + m L, ( y z ddydz p π r L פונקצית החלוקה של אטום בקופסא: m האנרגיהשלאטוםאחד: הריכוזהקוונטי: π חוקהחלוקההשווה: כלדרגתחופשריבועית, נקבלתוספת! קיבולהחום: האנרגיה: C K K האנרגיההחופשיתשלהלמהולץ: o הלחץ: K משוואתהגזהאידיאלי: K R קבועהגזים: R K לאנרגיה גזאידיאלישל אטומים: mo האנטרופיה: 5 K o + החישובעבורגזיחסותי ( m ( p + האנרגיה: d d p β פונקציתהחלוקהלחלקיקיחיד: 4 קרינהתרמית, נוסחתפלאנק, פונוניםבמוצק נוסחתפלאנק מתארתמס' הפוטוניםהממוצעבתדירות בחלל כזה, עבור כל תדירות ω בחומרהנמצאבשיווי-משקלתרמיעםאמבטחום ω האנרגיה של אופן תנודה: ω (מוד / אופןתנודה ישנם פוטונים, כלאחדעםאנרגיה ω β ω β ω ω פונקציתהחלוקה βω מספר הפוטונים הממוצע: האנרגיה הממוצעת של כל מוד: האנרגיה הכוללת במערכת עם אופני תנודה (נוסחת פלאנק ω :ω π ω + + L y z * התדירות בחלל תהודה: חוק סטפן-בולמן ע"י חישוב הסכום פולריזציהלשדהא"מ ניתןלקבל: [תוך שימוש ב: והכפלהב- ( כיווני u ( π 5 [ 4 d π 5 האנרגיהליחידתנפחשל הקרינהבחללהתהודה: 4 בולצמן לחץ הקרינה האלקטרומגנטית: - חוק סטפן- u( האנטרופיה של קרינה תרמית 4π dσ d d σ + 45 (קבוע האינטגרציההתלויבנפחהוא מכיווןשלמצבהיסודאין ניווןולכןאנטרופיהאפס גוףשחור גוףשחור: גוףהסופגאת כלהקרינההא"משמקריניםעליו גוףשחורמתנהגלפי חוקסטפןבולצמן חוקהקרינהשלפלאנק צפיפותהקרינה u ω ω π βω ליחידת תדירות: (כלומר התפלגותהקרינהבתדירות ספקטרוםהקרינה חוקוויין המקסימוםשלהספקטרום: ( ν ωma 8 K λma 9[ m K] שטףהקרינהשלגוףשחור (אנר' לשנייהליח' 4 שטח: J σ 4 π K 8 J σ 567 קבועסטפן-בולצמן: 4 6 m K קיבולחוםשלמוצקים (פונונים אנרגיהתרמיתבמוצקמתבטאת בתנודותהאטומיםסביבאנרגיתש"מ מקוונטטת פונונים שגםלהםאנרגיה פקטור במקום מודים דרגותחופש פרטל- הבדלים: נוסחתפלאנקמתקיימת β ω לפונונים קיטוביםאפשריים (נוסףקיטובאורכי לפונוניםמספרסופישלאופניתנודה: בחומרעם אטומים גבול אינטגרציה: ma ma 4π 6 ma ma 8 π 8 4 d π π L 4 d β π oud X D X D נקבל סה"כ: θ D כאשר 4 4 π K בגבולות: : X D θd 5θ oud 6π טמפרטורתדבאי: θd K D K : + θ 4 π K לכן קיבולהחום: θ D 5 θd C K θd 5 פוטנציאלכימיוהתפלגותגיבס מגעדיפוזיוני: המערכותיכולותלהעבירחלקיקים (שימור: ( d d d d שיווי-משקלדיפוזיוני: כאשרהאנרגיההחופשיתהכוללת מינימאלית: d (,, משלושתהגדליםהב"ת: (פונקציהשל נגדיר פוטנציאלכימי:, שיווימשקלדיפוזיוני שוויוןפוטנציאליםכימיים חלקיקיםיזרמומפוטנציאלגבוהלנמוך D בדוגמה- גזאידיאליקלאסי
-- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, fd ( ( β + האנרגיההחופשית: o הפוטנציאלהכימי: o o פוטנציאלכימיאינטרינזיוטוטאלי בנוכחות שדה חיצוני שגורם לאנרגיה פוטנציאלית r,( האנרגיההחופשיתמקבלתאיברנוסף: + φ mm δ ( + δ + tota r, ( לכן: הפוטנציאל הכימי הטוטאלי: הפוטנציאלהאלקטרוכימי מקרהפרטיעבורפוטנציאלחשמלי: אנרגיה פוטנציאליתשלחלקיקיםבעליספין ½ ומומנטמגנטיm בשדה : (שלילי עבורספיןבכיווןהשדה - נוסחתהלחץהברומטרי: M ( p tot i + M ot K יחדעם חוקדלתוןומשוואתהמצבלגזאידיאלי: M p( K i p i K פונקצית החלוקההגרנד-קנונית, p λ (, האקטיביות המוחלטת: λ β p( β ( התפלגותגיבס: (( o o β β אכלוס ממוצע: אנרגיה ממוצעת: * הפלקטואציה (aria במספרהחלקיקיםעבורמערכתבמגעדיפוזיוניעםאמבט: הפוטנציאלהתרמודינאמי הגרנד-קנוני תנאילש"מ הרחבהשלהאנרגיההחופשיתשלהלמהולץ עםמגעדיפוזיוני: הפוטנציאלהתרמודינמית הגרנד-קנוני: Φ,, σ - פרמטרים של האמבט Φ מזעריכאשרהמערכתהמשולבת (עםהאמבט נמצאתבקונפיגורציההמסתברתביותר, שלה שיווי-משקל Φ מזערי מתקבלעבור שוויוןטמפרטורותופוטנציאליםכימיים בשיווימשקלהפוטנציאליםהכימייםשוויםכךשגם נקבע- Φ Φ(,, הדיפרנציאל: dφ σ d d d הנגזרותהחלקיות: Φ Φ Φ σ,,, הקשראל פונקציתהחלוקה הגרנד-קנונית:,, Φ,, o חישוב ע"יצפיפותמצביםעבור/פרמיוניםאידיאלי: β( rmio Φ (,, m d D( o( ± oo 6 גזאידיאליקוונטי גזקוונטי: מערכתחלקיקיםזהיםללאאינטראקציות מצברב-חלקיקי מאופייןע"ימספריהאכלוסשלהמצביםהחד-חלקיקיים החלקיקיםיכוליםלהיות: בוזונים מספרזוגישל½ ספין: ללאהגבלה עלהאכלוסהחד-חלקיקי פרמיונים מספראי-זוגישל½ ספין: אכלוסשל / בכלמצבחד-חלקיקי (חוקהאיסורשל פאולי * לחלקיקיהיסודישמספראי-זוגישל ½ ספין (אלקטרון, פרוטון, ניטרון התפלגותפרמידיראק המערכתלהנתייחס: אורביטלאחד שיכוללהיותמאוכלסבפרמיון המע' במגעתרמיודיפוזיוניעם אמבט האנרגיהשלאכלוספרמיון - rmio +λ פונקציתהחלוקה הגרנד-קנונית: התפלגותפרמידיראק האכלוסהממוצע: אנרגית פרמי: f D תכונה חשובה: תמיד התפלגותבוזה-איינשטיין המערכתלהנתייחס: אורביטלאחדשיכוללהיותמאוכלסע"י אינסוףבוזוניםחסריאינטראקציה המערכתבמגע תרמיודיפוזיוניעםאמבט האנרגיהשלאכלוסכלבוזון - פונקציתהחלוקההגרנד-קנונית: oo λ fe ( ( β λ התפלגותבוזה-איינשטיין האכלוסהממוצע: * עבור בוזונים: < (אחרת במצבי אנרגיה נמוכים, אכלוס שלילי חישובהגדליםהתרמודינמייםשלגזאידאליקוונטי פונקציתהחלוקה הגרנד-קנוניתשלגזאידיאלי קוונטי, היאמכפלהשלפונקציותהחלוקהשלכלאחד r / o מהמצביםהחד-חלקיקיים (, (, : β β הפוטנציאל התרמודינמיהגרנדקנוני: β( (,, o m o( Φ ± rmio β m d D( o( ± λ oo מהפוטנציאלניתןלחשבאתכל יתרהגדליםהתרמודינמיים המשטרהקלאסי גזנמצאבמשטרהקלאסיכאשרהאכלוס החד-חלקיקיהממוצע קטןבהרבהמ-, לכן: β ומתקבלת: β ההתפלגותהקלאסית: ( f E fd λ f במשטרהקלאסיאיןהבדלבין פרמיוניםלבוזונים λ λ λ λ, כאשר β o לכן הפוטנציאלהכימי: בגבולהקלאסי: σ d C + d,,,, λ (ללאיחידות ללא ( K C C + K קיבול חום בלחץ קבוע: עבור גז קלאסי: גז אידיאלי עם דרגות חופש פנימיות + סה"כהאנרגיה: it בהנחתמשטרקלאסי (אכלוסקטןבהרבהמאחד סדריםגבוהיםשל מוזנחים, פונקצית ( λ it β it β β + λ + λ it it it it β tra החלוקה: +λ עםדרגותחופשפנימיות: it בהינתןדרגותחופשפנימיות: it פונקצית החלוקה לדרגות החופש הפנימיות: לכןמתקבל: λ β o λit it rot it C C K האקטיביות החדשה: עדיין מתקיים: בגזדואטומי, דרגותחופשנוספות תנועה רוטציוניתוויברציונית: j ניוון: o רוטציונית: j j+ rot j( j+ 8 π ma 8π ma עבורטמפרטורותגבוהות: rot βω o וויברציונית: ( i ib ω + תהליכיםשוניםבגזאידיאליקלאסי התפשטותאיזותרמיתהפיכה (טמפרטורה קבועה
-4- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, ( m 4π ( ( D ( '( 8 π m D D π : עבורספין½!!! - p W d o ( σ σ W (האנטרופיה: (σ o + ot התפשטותאיזנטרופיתהפיכה, תהליךאדיאבטי (ללאזרימתחום - אנטרופיהקבועה עבורגז אידיאלי חד-אטומיללאדרגותחופשפנימיות: σ, o / + o + ot 5 5 לכן: בהכללה עבורדרגותחופשפנימיות: γ γ γ ( γ ot ot ot עבורגז אידיאליחדאטומי: 5 γ ot ot ot γ C C ot תהליך איזוכורי (נפח קבוע תהליך איזוברי (לחץ קבוע כל המינוסיםלפניהעבודהצריכיםלהיותעםפלוס (כשהסימןפלוסזהעבודהשנעשיתעלהמע' התפשטותחופשיתאלתוךחללריק לאתהליךהפיך: איןזרימתחום אוביצועעבודה: W, אךמכיווןשהנפחגדל, ישיותרמצבים זמיניםכךשהאנטרופיהגדלה: σ o > ערבובהפיךשלשניגזיםשונים נניחשני מיכליםבנפחשווהשנעיםזהלתוךזה, עםדפנותבררניות מעבירותרקאתהסוגהשני המיכליםנעיםזהלזהבתהליך קווזי-סטטיעדמיזוגמוחלט המערכתבמגעעםאמבטחום הלחץ הואסכוםהלחצים, האנטרופיה היאסכוםהאטרופיות, והאנרגיההיאסכוםהאנרגיות לכן התהליךהפיךוגםלאזרםחום לאהתבצעהעבודהכלל ערבובאי-הפיךשלשניגזיםשונים שובריםאתהמחיצהביןשניהגזים מכיווןשכעתהנפחגדלפי הנפח שבויכולכלאטוםלנועגדל פי מספרהמצביםהמיקרוסקופייםהזמינים גדלפי, tot כךשהאטרופיהגדלהב- σ tot לאהתבצעהעבודהולאהייתההזרמתחום o 7 גזיםקוונטייםמנוונים - / גזקוונטי: כאשרישמצבים חד-חלקיקייםעםאכלוסממוצע שאינוקטןמ- קורהכאשר - כלהמצביםעם π המוגדרתלפי: m אזיש הבדלביןפרמיוניםלבוזונים הדברקורהבטמפרטורותמתחת גז פרמיונים מנוון גזפרמיוניםמנווןכאשר: אנרגייתפרמי - אנרגיה מתחת ל- : בטמפרטורהאפס, פונקציתפרמי היאמדרגהעד מאוכלסים, ומעללא π רדיוסכדורפרמי, המכיל אתכלהמצביםהמאוכלסים חישוב : m L 4π (ולכןכלהחלקיקים: 8 π D ריכוז π m לכןב- מימדים: האנרגיההממוצעת: 8 5 מרחב הפאזה : מצב קוונטי אינפי' מיוצג ע"י ריבוע במרחב הפאזה בשטח d ( π d ( π d d p ספין D d עבורחלקיקלאיחסותי, האנרגיהלאתלויהבמיקוםולכן : p k m m, π, p k ( m d k dk D d d 4 π k d d d π נשתמש בקשרים ב- D, :D ml ml D D D D( π π עבורספין½!!! חישובגדליםמקרוסקופיים בעזרתצפיפותהמצבים מספרהחלקיקיםהכולל: ( f D( D d האנרגיההכוללת: D f d D חישובהלחץ:, גזבוזוניםמנוון והתעבותבוזה-איינשטיין צפיפותהמצביםשלבוזונים זההלצפיפותהמצביםשל פרמיוניםפרטלהתחשבוןבספין ספין איןפקטור התעבותבוזה-איינשטיין: תופעהשלמחוץלמשטרהקלאסי מצבהיסודהחד-חלקיקי (מסדר גודל של המספר הכולל O מאוכלסבמספרמאקרוסקופישלחלקיקים ( ( (, ( ( f + f E ( D( (נדרשת הפרדה כי נשתמשבצפיפותהמצביםללאספין, ונחשבאתמספרהחלקיקיםהמעורערים עבור im D f d 6 itd E o לכן: 6, שזהוהתנאילעיבוי - התנאי π E m 6 (עבורו יש ערך סופי לאינטגרל כאשרעשינו שימושבאינטגרל: d 6π טמפרטורתההתעבותשלאיינשטיין הטמפ' שעבורה, > ומתחתיהמתרחשתההתעבות: לעיבוי: כך ש: ( σ האנרגיה, קיבולהחום והאנטרופיהשלגזבוזוניםמנוון: 5 im ( E ( itd ( o E מכאןניתןלחשבאת: כאשרמחישובנומרי: D f d 77 C 5 5 C, σ ( d E E 8 חום, עבודהותרמודינאמיקה חוםועבודה יעילותקרנו, מקדםהקירור 4 π d ( 4 אלאגםבריכוז - *במקרההיחסותי - בניגודלגזאידיאליקלאסי - האנרגיהפרחלקיקלאתלויהרקב- צפיפות המצביםהחד-חלקיקיים הגדרה: d( ( D( d D( d : במרחב ( דרכיחישוב: נפח של שמינית כדור ברדיוס חום: מבצעעבודהבאמצעותמעבראנרגיהמאמבטחםלקר בתהליךהפיך: W d d d d + d + בנוסף: לכן בתהליך הפיך מתקיים:
-5- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, w η W η יעילות ה: מקדםהביצוע (לחום: קרנו היעילביותר (תהליכים הפיכיםבלבד: η < בקרנו איזותרמות ו- איזנטרופות: (באיזותרמותנכנס/יוצאחוםמהמערכת העבודה המקסימאליתשניתןלהפיקמ: W η d (לשיםלבלסימן md γ η מקרר: קיבול חום סגולי: γ W מקדם הקירור: בתהליךהפיך היעילותהמקסימאלית: ריאקציותכימיות חוקפעולתהמסה עבורמערכתבמגעתרמיעםאמבטחום ובמגעמכניעםאמבטלחץ, האנרגיההחופשיתשל גיבס מינימאלית בשיווי-משקל האנרגיההחופשיתשלגיבס: σ + הנגזרותהחלקיות:,, σ, (,, (,,,,, מכיוון ש- גדלים אינטנסיביים: הפוטנציאלהכימישווהלאנרגיהגיבספרחלקיק ותלוירקבשנימשתנים בלתי-תלוייםאינטנסיביים: (, d σ d + d+ id, כאשרישמספרסוגיםשלחלקיקים: i שיווימשקלשלריאקציהכימית i i ריאקציה כימית מתוארת ע"י: - i המקדם הסטויכומטרישלאותהמולקולהבריאקציה - הכינוישלהמולקולהה- I, d< d i d% i i השינוי במספר המולקולות מסוג מסוים בריאקציה הינו: - פרמטר הריאקציה הסופר כמה פעמים התרחשה הריאקציה הבסיסית ( d, i ( i i d % ii i i i קבועים:, % אם נניח כי בשיווי משקל (בהנחה שמספר המולקולות במערכת קבוע: כשלא בשיווי משקל: הסימן של % d עבורריאקציותשלגזאידיאלי חוקפעולתהמסה: הפוך לסימן הסכום כדי שנקבל i ( ( K, ו- K( הואקבועהריאקציה j (, i it p β j ריכוז, i באופןכללי: j j j it K מכפלתהריכוזיםשל המגיביםהיאפונקציהרקשלהטמפרטורה חשובלבחוראתסקאלתהאנרגיהבאופןעקבי! dh d + d (, האנתלפיה:, H + 9 מעבריפאזה טמפרטורותנמוכות, לחץגבוה מוצק טמפרטורותגבוהות, לחץנמוך גז באמצע נוזל הנקודההמשולשת: קוהגבולבין הפאזות נעבודעם גדליםאקסטנסיבייםסגוליים: u מתכונותההומוגניותשל הפוטנציאליםהתרמודינמיים:, (,, u(, (,,, (,, (, f (, du d d df d d d d + d הגדלים הסגולייםתלוייםבמשתנהאחדפחותמאשרהפוטנציאלים התרמודינמייםהאקסטנסיביים נוסחתקלאוזיוס-קלפרון מבטאתאתהקשר ביןהקפיצותבגדלים האקסטנסיבייםוהשיפועיםשל קוהדו-קיום: התנאיםלמצב הדו-קיוםהםהתנאיםלשיווי-משקלבין מערכותהנמצאותבמגעתרמי, דיפוזיוניותרמי: על הקו ( p, ( p, לכן: ( ( p, ( p, ( ( p + dp, + d ( p + dp, + d (, + + p dp d p p ( p, + dp+ d p p p,, בפרט, על נקודותכלליותבמרחקאינפי' עלקוהדו-קיום: p נרחיב את משוואה (: dp עם (: d p p p p בעזרתהנגזרותהחלקיותשל האנרגיה החופשיתשלגיבסוהגדרתהגדליםהסגוליים - : /, Σσ / σ Σ p p, p, p נקבלאתנוסחת קלאוזיוס-קלפירון ( L נוסחתקלאוזיוס-קלפירון: d L d החום הכמוס (פר חלקיק של מעבר הפאזה: ( לחץ האדים הרווים לחץהאדיםהרווים - : הלחץבאזור הדו-פאזתיבועבורטמפ' נתונה הלחץיישארקבוע בשינויהנפח חלקמהחומריהיהבמצבגזוחלקובמצבנוזלי (אומוצק חישובמקורב - קירובים: א נקרבלגזאידאלי:, ב משוואת קלאוזיוס-קלפרון: נזניחאתנפחהמוצק/נוזלביחסלגז: d L L L d K ( d p L ( L אם L - נעשהאינטגרציה: L L : L אם L p + שיווי-משקלגז-מוצק נתוןמצבש"מ שלגז-מוצק מודלפשוטלמוצק: כלאטוםקשור מתנהגכאוסילטורהרמוניעםאנרגית + ω הגז הינוגזאידיאלי, ונניחשניתן קשר ועםרמותאנרגיהמעוררות: להזניחאתהנפחהסגולישלהמוצקביחסלנפחהסגולישלהגז פונק' החלוקה הקנוניתשלאטוםבודדקשור (מוצק: β β( + ω > βω f o + o β ω > f האנרגיה החופשית פר אטום (מוצק: הפוטנציאל הכימי של המוצק: בכדישהמוצקיהיהיציב אנרגיההקשר חייבתלהיותגדולהמהאנרגיההתרמית: < : עבורגזאידיאלי - לכן הפוטנציאל הכימי של המוצק:, ומכיווןש- f f o o הפוטנציאל הכימי של הגז:
-6- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, בשיווי-משקל- לכן לחץ האדים הרווים: m π 5 βω ( שיווי-משקלגז-נוזל מודלואןדרואלס מכיווןשאיןהבדל איכותיביןהפאזות, נתאר אתהגזוהנוזלע"י אותומודל- מודלואןדרואלס: נתייחסלנפחהגלעיןהקשה - - הנפח b האפקטיביקטן: b לכן:,,, b, נתייחסלכוחהמשיכה, ע"יקירובהשדההממוצע: נניחפיזורבצפיפותאחידה (מחוץלגלעין b ונחשבאתתוספתהאנרגיההממוצעתפרחלקיק: נחלקב- בכדי φ( ri d a r > r להתחשבבספירתזוגותפעמיים: a ( a מכאן- אנרגיתהלמהולץשלמודלואןדרואלס, ואזשאר התכונותהתרמודינמיות: ( b a DW (,, o + DW b 5 σdw o +, DW b b a DW o +, ( b DW a משוואתהמצב: a DW, b b a האנרגיהלאתלויהרקבטמפ'! - DW + σ DW C, עבור - המודל חוזרלהיותגזאידיאליקלאסי האנרגיההפנימיתתלויהבנפח (בניגודלגזאידיאליקלאסי קיבולהחום C זההלגזאידיאלי b a b הנקודההקריטיתלמודלואןדרואלס: pˆ נגדיר: ˆ ˆ p p / / / a / 7b b 8 a / 7b ונקבל הגדרהשבמונחיםאלוכלהגזיםנראיםזהה (אםמקיימיםאתהמודל: ˆ 8 pˆ ˆ ˆ אפקט ג'אול-תומסון תהליךשל זרימתגזאונוזלביןשני מיכליםדרךחורקטןבאמצעותהפרשלחצים סופיביניהם, ללא חילוףחוםעםהסביבה, אךלאהפיך התהליך מענייןעבורגזלאאידיאלי מודלואןדרואלס המטרה: לחשבאתהשינויבטמפרטורה חוםלא מוזרםולכןההפרשבאנרגיהשווהלעבודהשהושקעה: + + H H כלומר, האנתלפיהנשמרת נחשבאת המקדםשלג'אול-תומסון, ע"יקשרי M- ונגזרתפונקציהסתומה: H +,, H H, >, C C,, ( α עבורגזואןדרואלס: C נגדירקיבולחוםפרחלקיק: b a נקבל: ( b b a H, + ( b a b טמפרטורתהאינוורסיה: i b < i המונהשליליעבור - טמפרטורתהאינוורסיה מתחתלטמפ' האינוורסיה מקדם ג'אול-תומסוןחיובי כדי למצוא את הטמפרטורה הסופית, צריך לבצע אינטגרל של המקדם (הגז התקרר מצב מטה-סטבילישלטיפתנוזל, כאשרמשניםאת לאטובזהירות, המערכתעשויהלהיתקעבתוך המינימוםהמקומישל (, אפילוכשזהכבר אינוהמינימוםהגלובאלי נבחןתהליךהיווצרות טיפתנוזלבתוךסביבה γ > > גזיתכאשרהנוזלהואהפאזה היציבה למשטח המפריד בין שתי הפאזות יש אנרגיה ליחידת שטח (מתח הפנים של הטיפה אשר למעשהיוצרכוחהגורםלקריסתהטיפה נניחטיפהבצורתכדורונחפש אתהרדיוסהמינימאליבו "שורדת" טיפתהנוזלולאקורסת ההפרשבאנרגיההחופשיתשלגיבס: + ( σ - 4π צפיפות המולקולות 4 + Eurfa R + π R γ בנוזל הנקודההקריטיתתתקבלמגזירה: γ מעל RC יחידות וקבועים לחץ טמפרטורה הרדיוס, הטיפה תגדל והחומר יהפוך כולו מגז לנוזל d π π 5 d a a ( a b π b 4a d p, a > a 4a d a + a 4 / d + + + a! 6π π d d d + a π p+ q d d a 6 p+ q q aq p+ q d a p+ q aq p + o( + + + [ ] [ C] K 75K k 8 r K 6 8 J K 86 K 5 4 / π 6 6 R k Jou mo J 7 r 6 6 k m 9 J r a 49 Jou קבוע בולצמן קבוע פלאנק המצומצם a m bar m 5 atm m [ m ] 8 / 5 מהירות האור מסת אלקטרון מספר אבוגדרו m קבועהגזים mp 9 67 8 4 r מסת פרוטון r יחידת מסה אטומית אנרגיה amu r / mo 66 4 r ρ r / m watr צפיפות המים נטגרלים קירובים o ta i ot האיזותרמההמתקבלתלפיהנוסחהלאמתארתנכון אתמעברהפאזה, אךניתןלמצואאתהתיאורהנכון ע"י חוקהשטחיםהשוויםשלמקסוול: לחץהאדים הרווייםהואהלחץשעבורושניהשטחיםהאפורים שווים הנפחהסגולישלהפאזההנוזלית, הנפחהסגולישלהפאזההגזית (נק' החיתוך באמצע הפתרוןה"לאיציב"
-7- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, α κ, α מתקיים: C C κ נגזרותשימושיות: α κ κ C α α,, α C α κ,, חוקינגזרות y y y y y z z z + y y y z y z קשרימקסוול H + + שם וסימון הדחיסותהאיזותרמית: κ, הצגהדיפרנציאלית מקדםההתפשטותהנפחית: α, זיהוי נגזרות חלקיות,,,,,,,,, H H H,,,,,, Φ Φ Φ,,, d (,, d d + d d (,, ( d d + d,, d d + d dh d dφ (,, d + d + d (,, (,, d + d + d d d ; H + ; + ; Φ מזההמיקום מילותמפתחמשניות Id ספציפי מזההמיקוםכללי שאלה אנטרופיה (,, (,, אנרגיה אנרגיה חופשית של הלמהולץ (,, אנתלפיה (,, H אנרגיה חופשית של גיבס (,, פוטנציאל גרנד קנוני מילות מפתח אדיאבטי אדיאבטי קשרים בין הפונקציות התרמודינמיות היסודיות:,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי חישוב עבודה חישוב חום שאלה אדיאבטי שאלה איזוברי,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי שינוי אנטרופיה חישוב עבודה שאלה איזוברי שאלה איזוברי,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי חישוב חום שינוי אנטרופיה שאלה איזוכורי שאלה איזוכורי,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי חישוב עבודה חישוב חום שאלה איזוכורי שאלה אנרגיית סיבוב עמוד,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי,אנרגיית סיבוב שינוי אנטרופיה פוטנציאל כימי של עם דרגות חופש פנימיות שאלה שאלה אנרגיית סיבוב אנרגיית סיבוב עמוד עמוד,אנרגיית סיבוב,אנרגיית סיבוב קיבול חום בלחץ קבוע התפשטות איזנטרופית שאלה אתרים שאלה אתרים עמוד עמוד ספינים,אתרים ספינים,אתרים פונקצית חלוקה גרנד קנונית הסתברותאכלוס,פרמידיראק פוטנציאלכימי,טמפרטורות נמוכות,מספראלקטורנים ממוצע מציאתטמפרטורהמתוך גרףשלשטףקרינהכתלות בתדירות שאלה אתרים שאלה גוף שחור עמוד ספינים,אתרים שאלה שאלה עמוד עמוד גוף שחור גוף שחור עמוד אנטרופיה של קרינה,התפשטות איזנטרופית חישובעבודהבהתפשטותאיזנטרופית שיווימשקלביןלקרינה,לחץשלקרינה תרמית שאלה שאלה גוף שחור עמוד עמוד,אנרגיית סיבוב פוטנציאל כימי של עם דרגות חופש פנימיות שאלה שאלה עמוד עמוד,אנרגיית סיבוב,אנרגיית סיבוב קיבול חום בלחץ קבוע התפשטות איזנטרופית שאלה
-8- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, גזאידאלי,עבודהעלגז,מערכת מבודדת גזאידאלי,עבודהעלגז,מערכת מבודדת,עבודהעלגז,צימוד לאמבטתרמי חישוב לחץ,חישובטמפרטורה,חישובנפח,תהליך איזנטרופי חישוב לחץ,חישובטמפרטורה,חישובנפח,תהליך איזוברי חישוב לחץ,חישוב טמפרטורה,חישוב נפח דו מימדי עמוד דו מימדי פוטנציאל כימי דו מימדי עמוד דו מימדי אנרגיה חופשית דו מימדי עמוד דו מימדי אנרגיה כוללת דו מימדי עמוד דו מימדי אנטרופיה שאלה 4 עמוד הוכחה מתמטית שאלה 4 עמוד מציאת טמפרטורת עיבוי שאלה 4 עמוד קשר בין טמפרטורה ופוטנציאל כימי שאלה 4 דבאי חד מימדי עמוד גזבוזונים דבאיחדמימדי,שרשרתאטומיםחד מימדית טמפרטורה כתלות בטמפרטורת עיבוי אנרגיה כוללת,טמפרטורת דבאי,קיבול חום שאלה 7 שאלה 4 המרתחוםלעבודה התעבותבוזה איינשטיין התעבותבוזה איינשטיין התעבותבוזה איינשטיין המרת חום לעבודה התעבות בוזה איינשטיין עבודה מקסימלית,שינוי פאזה,חום סגולי,חום היתוך צפיפות מצבים שאלה 6 שאלה 6 התעבות בוזה איינשטיין התעבות בוזה איינשטיין אקטיביות,חלקיקים במצב יסוד חלקיקים במצבים מעוררים שאלה 6 שאלה ציור מחזור של שאלה אנתלפיה,דחיסה איזנטרופית שאלה שינויטמפרטורה חישובטמפרטורה,חישוב לחצים,תהליךאיזוברי,תהליך איזנטרופי שאלה שאלה נצילות שאלה,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי חישוב עבודה שאלה,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי חישוב חום שאלה מערכת מבודדת,אדיאבטי,איזוכורי,איזוברי גזאידאלי,עבודהעלגז,מערכת מבודדת שינויאנטרופיה חישוב לחץ,חישובטמפרטורה,חישובנפח,תהליך איזנטרופי מערכת מבודדת,עבודה על גז,מערכת מבודדת חישוב לחץ,חישוב טמפרטורה,חישוב נפח,תהליך איזוברי ספין בשדה מגנטי שאלה 9 ספין בשדה מגנטי מציאת טמפרטורה עבורה אחוז מסוים מקביל לשדה ספין בשדה מגנטי שאלה 9 ספין בשדה מגנטי מעבר בין רמות אנרגיה,הספק ספינים עמוד ספינים,אתרים שאלה פונקצית חלוקה גרנד קנונית ספינים עמוד ספינים,אתרים שאלה הסתברות אכלוס,פרמי דיראק ספינים עמוד ספינים,אתרים שאלה פוטנציאל כימי,טמפרטורות נמוכות,מספר אלקטורנים ממוצע עבודה על גז,עבודה על גז,מערכת מבודדת חישוב לחץ,חישוב טמפרטורה,חישוב נפח,תהליך איזנטרופי עבודה על גז עבודה על גז גזאידאלי,עבודהעלגז,מערכתמבודדת גזאידאלי,עבודהעלגז,צימודלאמבט תרמי גזאידאלי,עבודהעלגז,צימודלאמבט תרמי חישוב לחץ,חישוב טמפרטורה,חישוב נפח,תהליך איזוברי חישוב לחץ,חישוב טמפרטורה,חישוב נפח צימוד לאמבט תרמי קרינה תרמית שאלה חישובלחץ,חישובטמפרטורה,חישובנפח מציאתטמפרטורהמתוךגרףשלשטףקרינהכתלות בתדירות עמוד קרינה תרמית עמוד שאלה אנטרופיה של קרינה,התפשטות איזנטרופית קרינה תרמית עמוד שאלה חישוב עבודה בהתפשטות איזנטרופית קרינה תרמית עמוד שאלה שיווי משקל בין לקרינה,לחץ של קרינה תרמית שרשרת אטומים שאלה שרשרת אטומים אנרגיה כוללת,אנרגיה חופשית,אנטרופיה,טמפרטורות גבוהות שרשרת אטומים שאלה שרשרת אטומים אנרגיה כוללת,אנרגיה חופשית,אנטרופיה,טמפרטורות נמוכות שרשרתאטומים שרשרתאטומיםחד מימדית שאלה 8 שאלה 7 שרשרתאטומים דבאיחדמימדי,שרשרתאטומיםחד מימדית טמפרטורת מעבר בין מצבים אנרגיה כוללת,טמפרטורת דבאי,קיבול חום
ל -9- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, + אטומיםבשרשרת, ישמסוג וישמסוג הסידורעבורטמפ' גבוהות: בחום מ- צריך מינוס לפני העבודה, גם באנטרופיה המינוס הראשון מיותר מיכלמיםחמיםבטמפ' ומסהm, טמפ' הסביבה נמוכהמטמפ' הקיפאון f מהיהעבודההמקס'? נתון,Ci,Cw חוםההיתוךשלקרחL במעבר פאזה כשהמים קפואים המיםבמצבנוזל גזאידיאליחדאטומינמצאבתוךגליל, מעליןבוכנה (בליחיכוך עלהבוכנהm, מצבהגז,, הגזמבודד, מסתהבוכנהולחץאווירזניחים א מגדיליםבאיטיות אתm לm חשבאת,, בסוףב ההגדלהנעשיתמהירהומחכיםשהמע' תתייצב בשיווימשקלחדש חשבמהקורהלגזג חזורעלהסעיפיםכאשרישמגעתרמיעםאמבט בהקשרלשאלהלמעלהשלהאטומיםבשרשרת ( מלמעלה
-- דף נוסחאות בפיסיקה תרמית (אוניברסיטת ת"א, ההסתברויות יחושבו כרגיל נציב למבדה שנמצא