ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 017-018 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4/09/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Α1 Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση Τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το σώμα βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της τροχιάς του: α το μέτρο της ταχύτητας του γίνεται μέγιστο β η δύναμη επαναφοράς που δέχεται το σώμα είναι ίση με το μηδέν γ το μέτρο της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το σώμα γίνεται μέγιστο δ η κινητική του ενέργεια γίνεται μέγιστη Α Ένα σώμα μάζας εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους, στην οποία η επιτάχυνση του και απομάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας του συνδέονται με τη σχέση Η εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σώματος σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, στο είναι: α β γ δ Α3 Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και τη χρονική στιγμή κινείται προς τη θέση ισορροπίας του έχοντας θετική επιτάχυνση Τη χρονική στιγμή : α το σώμα βρίσκεται σε μία θέση του θετικού ημιάξονα β το σώμα επιταχύνεται γ η ταχύτητα του σώματος είναι αρνητική δ το μέτρο της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το σώμα αυξάνεται Α4 Κεντρική ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται: α βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία πριν από την κρούση β είναι παράλληλα πριν από την κρούση γ έχουν τυχαίες διευθύνσεις πριν από την κρούση δ είναι κάθετα πριν από την κρούση Α5 Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) α Στις ελαστικές κρούσεις δε διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων β Κρούση στο μικρόκοσμο ονομάζεται το φαινόμενο στο οποίο τα «συγκρουόμενα» σωματίδια αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρονικό διάστημα Σελίδα 1 από 11
γ Όταν μία σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει ελαστικά και πλάγια στην επιφάνεια ενός κατακόρυφου τοίχου, ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου αλλά η γωνία πρόσπτωσης της δεν είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης της δ Στην απλή αρμονική ταλάντωση η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι μεγέθη συμφασικά ε Η φάση της ταλάντωσης στην απλή αρμονική ταλάντωση αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο Α1 γ, Α δ, Α3 β, Α4 α, Α5 α Λ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Σ ΘΕΜΑ Β Β1 Δύο σώματα (1) και () με μάζες και αντίστοιχα, ισορροπούν στερεωμένα στα ελεύθερα άκρα κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων που έχουν το άλλο άκρο τους ακλόνητα στερεωμένο Εκτρέπουμε τα δύο σώματα από τη θέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα πάνω μέχρι τα ελατήρια να αποκτήσουν το φυσικό τους μήκος και στη συνέχεια τα αφήνουμε ελεύθερα να εκτελέσουν απλή αρμονική ταλάντωση Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα (1) για να διέλθει από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά είναι ίσος με τον αντίστοιχο χρόνο για το σώμα () Αν οι ολικές ενέργειες των ταλαντώσεων των σωμάτων (1) και () είναι και αντίστοιχα, τότε ισχύει ότι: α β γ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Μονάδες Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Β1 Σωστή απάντηση είναι η α Έστω και οι χρόνοι που χρειάζονται τα σώματα (1) και () αντίστοιχα, για να διέλθουν από τη θέση ισορροπίας τους για πρώτη φορά Ισχύει ότι: και, όπου και είναι οι περίοδοι της ταλάντωσης των σωμάτων (1) και () αντίστοιχα Συνεπώς ισχύει: ή ή Για τις σταθερές και των ελατηρίων που είναι στερεωμένα τα σώματα (1) και () αντίστοιχα ισχύει ότι: (1) και Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και () προκύπτει: Έστω η επιμήκυνση που έχει υποστεί το ελατήριο σταθεράς στη θέση ισορροπίας του σώματος Ισχύει: ή ή (3) Έστω η επιμήκυνση που έχει υποστεί το ελατήριο σταθεράς στη θέση ισορροπίας του σώματος Ισχύει: ή ή (4) Από τη διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (3) και (4) προκύπτει ότι: Σελίδα από 11 ή Επειδή τα σώματα (1) και () αφήνονται ελεύθερα να εκτελέσουν απλή ταλάντωση στη θέση όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος, για τα πλάτη τους και αντίστοιχα ισχύει ότι: και Για τις ολικές ενέργειες και των ταλαντώσεων των σωμάτων (1) και () αντίστοιχα, ισχύει: (5) και ή
(6) Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (5) και (6) προκύπτει ότι: ή Β Α Ένα σώμα μάζας εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Τη χρονική στιγμή το σώμα κινείται στον αρνητικό ημιάξονα και η κινητική του ενέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης του Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή είναι: α β γ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Μονάδες Μονάδες 4 Β Α Σωστή απάντηση είναι η β Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση που εκτελεί το σώμα έχουμε: ή ή ή ή ή ή Β Τη χρονική στιγμή το σώμα συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του σώματος ελάχιστα πριν από την κρούση που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά την κρούση ισούται με: α 5% β 50% γ 75% Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Μονάδες Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Μονάδες 4 B Σωστή απάντηση είναι η γ Έστω το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή ελάχιστα πριν συγκρουστεί με το σώμα και το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση ΠΡΙΝ 1 0 m ΜΕΤΑ m Σελίδα 3 από 11
Από την αρχή διατήρησης της ορμής του συστήματος των δύο σωμάτων κατά την κρούση έχουμε:, ή Θεωρώντας θετική φορά τη φορά προς τα δεξιά έχουμε: ή Το ζητούμενο ποσοστό υπολογίζεται από τη σχέση: ή Β3 Σώμα μάζας κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλο αρχικά ακίνητο σώμα μάζας Ο λόγος των μαζών των δύο σωμάτων, για τον οποίο μεταβιβάζεται στο σώμα ολόκληρη η κινητική ενέργεια του σώματος, είναι: α β γ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Μονάδες Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Μονάδες 4 Β3 Σωστή απάντηση είναι η γ Έστω και οι ταχύτητες των σωμάτων και αμέσως μετά την ελαστική τους κρούση 1 0 ΠΡΙΝ 1 m ΜΕΤΑ m Ισχύει ότι: ή ή ή ή ή ή ΘΕΜΑ Γ Ένα μικρό σώμα μάζας ισορροπεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του οριζόντια μέχρι να συσπειρωθεί κατά, και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς Σελίδα 4 από 11
/ d Γ1 Να υπολογίσετε την περίοδο και τη μέγιστη τιμή του μέτρου της ταχύτητας του σώματος Γ Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης του σώματος, θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά προς τα αριστερά Γ3 Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το σώμα από τη χρονική στιγμή έως τη χρονική στιγμή Γ4 Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η κινητική του ενέργεια είναι ίση με Γ5 Κάποια στιγμή κατά την οποία το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς την αρνητική κατεύθυνση συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο μικρό σώμα Αμέσως μετά την κρούση το σώμα κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση συνεχίζοντας να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με νέο πλάτος Να υπολογίσετε τη μάζα το σώματος Να θεωρήσετε αμελητέα τη χρονική διάρκεια της κρούσης Γ1 Η περίοδος της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: ή Η μέγιστη τιμή του μέτρου της ταχύτητας υπολογίζεται από τη σχέση: Γ Η χρονική εξίσωση της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση: ή ή (1) Για το σώμα βρίσκεται στη θέση Συνεπώς από τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης για και έχουμε: ή ή () Επειδή είναι:, η λύση της εξίσωσης () είναι: Συνεπώς η σχέση (1) γίνεται: Σελίδα 5 από 11
Γ3 Τη χρονική στιγμή το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο κατά τη θετική φορά Το έργο της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το σώμα από τη χρονική στιγμή έως τη χρονική στιγμή, υπολογίζεται από τη σχέση: ή ή ή ή Γ4 Έστω η απόλυτη τιμή της απομάκρυνσης του σώματος από τη ΘΙ του τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η κινητική του ενέργεια είναι Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης έχουμε: ή ή Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος τις παραπάνω χρονικές στιγμές υπολογίζεται από τη σχέση: Γ5 1 0 m 1 m Έστω το μέτρο της ταχύτητας του σώματος ελάχιστα πριν την κρούση Ισχύει ότι: Έστω το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μετά την κρούση Ισχύει ότι: ή Συνεπώς, είναι: ή ή ΘΕΜΑ Δ Σώμα αμελητέων διαστάσεων μάζας ισορροπεί στερεωμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, το κάτω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο στο έδαφος Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατακόρυφα προς τα κάτω κατά και στη συνέχεια το εκτοξεύουμε από τη θέση, όπου το εκτρέψαμε κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου Σελίδα 6 από 11
d 0 1 Δ1 Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε το πλάτος της Μονάδες 6 Δ Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες διέρχεται από τη θέση, όπου μηδενίζεται η δύναμη που δέχεται από το ελατήριο Μονάδες 4 Κάποια στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τα πάνω συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με δεύτερο σώμα αμελητέων διαστάσεων μάζας, το οποίο κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου Μέτα την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς Δ3 Να υπολογίσετε το ποσό θερμότητας που παράχθηκε κατά την κρούση Μονάδες 4 Δ4 Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της επιτάχυνσης του συσσωματώματος κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του, θεωρώντας ως τη χρονική στιγμή αμέσως μετά την κρούση και ως θετική φορά τη φορά προς τα πάνω Μονάδες 6 Δ5 Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος τη χρονική στιγμή κατά την οποία η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου γίνεται ίση με για πρώτη φορά αμέσως μετά την κρούση Να θεωρήσετε αμελητέες πάσης φύσεως τριβές και αντιστάσεις καθώς επίσης και τη χρονική διάρκεια της κρούσης Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: Δ1 Για να αποδείξουμε ότι η κίνηση του σώματος είναι απλή αρμονική ταλάντωση, αρκεί να αποδείξουμε ότι η συνολική δύναμη που δέχεται το σώμα σε μια τυχαία θέση είναι της μορφής:, όπου η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης και η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του Σελίδα 7 από 11
l F w 1 F x w 1 Το σώμα αρχικά ισορροπεί με το ελατήριο συσπειρωμένο κατά Στη θέση ισορροπίας το σώμα δέχεται την επίδραση του βάρους του, με, και τη δύναμης του ελατηρίου, με Για την ισορροπία του σώματος ισχύει: ή ή (1) Έστω μία τυχαία θέση της ταλάντωσης του σώματος, η οποία έχει απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας Αν θεωρήσουμε ως θετική φορά τη φορά της απομάκρυνσης, τότε για τη συνολική δύναμη που δέχεται το σώμα ισχύει: ή ή, λόγω της σχέσης (1): ή () Από τη σχέση () προκύπτει ότι η κίνηση του σώματος είναι απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς: ή Έστω το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα πριν από την κρούση Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση που εκτελεί το σώμα πριν από την κρούση έχουμε: ή ή ή Δ Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα μηδενίζεται τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες σώμα διέρχεται από τη θέση όπου το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος Το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου υπολογίζεται από τη σχέση: ή Η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης είναι: ή Από τη συνθήκη ισορροπίας του σώματος έχουμε: ή Συνεπώς προκύπτει ότι: Δ3 Έστω το μέτρο της ταχύτητας του σώματος ελάχιστα πριν από την κρούση Ισχύει ότι: ή Σελίδα 8 από 11
(1) m m 1 1 m l l x 1 () Για να υπολογίσουμε το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων κατά την κρούση, θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά προς τα πάνω Συνεπώς έχουμε: Το ποσό θερμότητας που παράχθηκε κατά την κρούση είναι: Δ4Έστω η συσπείρωση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του σώματος Από τη συνθήκη ισορροπίας του σώματος έχουμε: Έστω η συσπείρωση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος Στη θέση αύτη ισχύει: Η απομάκρυνση του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του αμέσως μετά την κρούση είναι: ή Έστω το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά τη κρούση Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση του συσσωματώματος έχουμε: Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα μετά την κρούση υπολογίζεται από τη σχέση: ή Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από τη σχέση: Για είναι (1) Συνεπώς, από τη σχέση (1) έχουμε: ή Επειδή ισχύει ότι:, οι λύσεις της σχέσης (1) είναι: ή Σελίδα 9 από 11
Η ταχύτητα του συσσωματώματος δίνεται από τη σχέση: () Για και από τη σχέση () παίρνουμε: Για και από τη σχέση () παίρνουμε: Επειδή τη χρονική στιγμή δεκτή λύση είναι η Με αντικατάσταση των τιμών στη σχέση το συσσωμάτωμα κινείται κατά τη θετική φορά έχουμε: Δ5 Έστω η παραμόρφωση του ελατηρίου τη χρονική στιγμή κατά την οποία η δυναμική του ενέργεια είναι Ισχύει: ή Έστω ότι το ελατήριο τη χρονική στιγμή φυσικό του μήκος, όπως φαίνεται στο σχήμα είναι επιμηκυμένο σε σχέση με το m () l m l x Η απομάκρυνση του συσσωματώματος θα είναι: Άτοπο γιατί Έστω ότι το ελατήριο τη χρονική στιγμή είναι συμπιεσμένο σε σχέση με το φυσικό του μήκος, όπως φαίνεται στο σχήμα l m l () x m Για την απομάκρυνση του συσσωματώματος εκείνη τη στιγμή ισχύει: Έστω η ταχύτητα του συσσωμάτωματος τη χρονική στιγμή Από τη αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση του συσσωματώματος έχουμε: Σελίδα 10 από 11
Όταν διέρχεται το σώμα για πρώτη φορά από τη θέση όπου το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά η ταχύτητα του είναι αρνητική Συνεπώς είναι: Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος τη χρονική στιγμή είναι: ή Σελίδα 11 από 11