Μαθηματική μοντελοποίηση της παραμόρφωσης του τοιχώματος της καρωτίδας ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Μαθηματική μοντελοποίηση της παραμόρφωσης του τοιχώματος της καρωτίδας ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γκολφινόπουλος Γεώργιος Επιβλέπουσα : Κωνσταντίνα Σ. Νικήτα Καθηγήτρια Ε.Μ.Π Αθήνα 2008

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ Μαθηματική μοντελοποίηση της παραμόρφωσης του τοιχώματος της καρωτίδας ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γκολφινόπουλος Γεώργιος Επιβλέπουσα : Κωνσταντίνα Σ. Νικήτα Καθηγήτρια Ε.Μ.Π Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 2008................... Αθήνα 2008

Γεώργιος Γκολφινόπουλος Διπλωματούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Ε.Μ.Π. Copyright Γεώργιος Γκολφινόπουλος Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.

Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η μαθηματική μοντελοποίηση της παραμόρφωσης του τοιχώματος της καρωτίδας. Για το σκοπό αυτό αναπτύσσονται δυο μαθηματικά μοντέλα για την περιγραφή της μετατόπισης κατά την ακτινική και την αξονική διεύθυνση αντίστοιχα. Στόχος μας είναι τα μαθηματικά μοντέλα να προσαρμόζονται ικανοποιητικά στις καμπύλες που προέρχονται από πραγματικά δεδομένα και να μπορούν να αποτελέσουν ένα μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη της μηχανικής συμπεριφοράς του τοιχώματος της καρωτίδας και την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια παρουσίαση του αρτηριακού τοιχώματος και του προβλήματος της αθηρωμάτωσης στην καρωτίδα, περιγράφονται οι μηχανικές τάσεις και παραμορφώσεις του τοιχώματος, γίνεται επισκόπηση των μεθόδων μοντελοποίησης της παραμόρφωσης του τοιχώματος και παρουσιάζονται οι ποικίλες συναρτήσεις ενέργειας παραμόρφωσης που βρέθηκαν στη βιβλιογραφία. και οι μέθοδοι εκτίμησης της παραμόρφωσης. από εικόνες υπέρηχων. Στο δεύτερο κεφάλαιο υποδεικνύεται η χρησιμότητα της μοντελοποίησης ως μεθόδου μελέτης των βιολογικών συστημάτων και καθορίζονται τα μοντέλα της ακτινικής και της αξονικής μετατόπισης. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται περιγραφή των απεικονιστικών δεδομένων και αναλύεται η μέθοδος για την προσαρμογή των μοντέλων στα πραγματικά δεδομένα και η μέθοδος στατιστικής ανάλυσης Το τέταρτο κεφάλαιο περιέχει τα αποτελέσματα της εργασίας. Παρουσιάζονται οι καμπύλες προσαρμογής και οι πίνακες των παραμέτρων και γίνεται στατιστική αποτίμηση των αποτελεσμάτων. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο αναφέρονται σε γενικές γραμμές τα συμπεράσματα όλης της προηγούμενης μελέτης. 1

Abstract The aim of the present study is the development of two spatio-temporal mathematical models which will respectively simulate the radial and the axial displacement of the carotid artery wall. The mathematical models were fitted to real data and the possibility of using them to facilitate the study of the mechanical behaviour of the arterial wall was investigated. In the first chapter the arterial wall and its mechanical properties are described. A review of strain energy functions that are used to describe stresses on the arterial wall, as well as methods of motion analysis from ultrasound images are presented. In the second chapter the usefulness of modelling as a method to study biological systems is indicated and the models of the radial and the axial displacement of the arterial wall are determined. In the third chapter the real data are described and the data fitting method, as well as the statistical analysis method used in this study are analyzed. The fourth chapter contains the results of the study. Examples of data fitting curves and the parameters that resulted from the data fitting procedure are presented and the statistical analysis results are assessed. Finally, in the fifth chapter conclusions of the aforementioned study are reported. 2

Περίληψη 1 Abstract 2 Περιεχόμενα 3 A. Εισαγωγή 5 Α1. Βασικές έννοιες ανατομίας αρτηριακού τοιχώματος 5 Α2. Μηχανικές τάσεις και παραμορφώσεις του τοιχώματος της καρωτίδας 8 Α3. Μοντελοποίηση της μηχανικής συμπεριφοράς του τοιχώματος της καρωτίδας 9 Α3.1. Η συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης 9 Α3.2. Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης τύπου Fung 10 Α3.3. Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης των Takamizawa και Hayashi 11 Α3.4. Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης του Delfino 11 Α3.5 Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης του Holzapfel 13 Α3.6. Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης του Zulliger 15 Α4. Εκτίμηση της παραμόρφωσης του τοιχώματος της καρωτίδας από εικόνες υπέρηχων 17 Α5. Σκοπός εργασίας 18 Β. Μοντελοποίηση της μηχανικής παραμόρφωσης του τοιχώματος της καρωτίδας 14 Β1. Μοντελοποίηση 16 Β1.1. Μοντελοποίηση φυσιολογικών συστημάτων 19 Β1.2. Μοντελοποίηση σε διάφορα βιολογικά επίπεδα 19 B2. Γενικές έννοιες 20 Β3. Καθορισμός ακτινικού μοντέλου 22 3

Β3.1. Μαθηματική σχέση 22 Β3.2. Διάγραμμα καμπύλης 23 Β4. Καθορισμός αξονικού μοντέλου 24 Β4.1. Μαθηματική σχέση 24 Β4.2. Διάγραμμα καμπύλης 25 Γ. Υλικό και Μέθοδοι 27 Γ1. Περιγραφή απεικονιστικών δεδομένων 27 Γ2. Μέθοδος για την προσαρμογή του μοντέλου στα πραγματικά δεδομένα 29 Γ3. Μέθοδος στατιστικής ανάλυσης 30 Δ. Αποτελέσματα 32 Δ1. Καμπύλες προσαρμογής 32 Δ2. Πίνακες με τιμές παραμέτρων 41 Δ3. Στατιστική αποτίμηση 43 Ε. Συμπεράσματα 45 Βιβλιογραφία 47 4

Α. Εισαγωγή Α1. Βασικές έννοιες ανατομίας αρτηριακού τοιχώματος Το αρτηριακό τοίχωμα αποτελείται από τρεις χιτώνες: εσωτερικός (intima), μεσαίος (media) και εξωτερικός (adventitia). Η σύσταση και επακόλουθα οι μηχανικές ιδιότητες διαφέρουν σε καθένα από τους χιτώνες. Παράγοντες όπως η ηλικία ή η παρουσία ασθένειας (αθηροσκλήρωσης) μεταβάλλουν περαιτέρω τις μηχανικές ιδιότητες των αρτηριακών χιτώνων. Ακολουθεί μια σύντομη περιγραφή του εσωτερικού, μεσαίου και εξωτερικού χιτώνα [1]. Εικόνα Α1.1: Σχηματική απεικόνιση των χιτώνων μιας υγιούς ελαστικής αρτηρίας και των κυριότερων δομικών στοιχείων τους [1]. 5

Εσωτερικός χιτώνας: Είναι ο εσωτερικός χιτώνας της αρτηρίας. Αποτελείται από ένα μοναδικό στρώμα ενδοθηλιακών κυττάρων που καλύπτει το τοίχωμα και στηρίζεται σε μια λεπτή μεμβράνη (basal lamina). Υπάρχει επίσης ένα υποενδοθηλιακό στρώμα του οποίου το πάχος ποικίλει ανάλογα με την περιοχή, την ηλικία και την ασθένεια. Το στρώμα αυτό πάντως είναι σχεδόν απόν σε νεαρές μυϊκές αρτηρίες. Σε νεαρά υγιή άτομα ο εσωτερικός χιτώνας είναι πολύ λεπτός και έχει αμελητέα συνεισφορά στις μηχανικές ιδιότητες του συμπαγούς τοιχώματος. Παρ όλα αυτά πρέπει να σημειωθεί ότι ο εσωτερικός χιτώνας αυξάνει σε πάχος και γίνεται πιο άκαμπτος (αρτηριοσκλήρωση) σε μεγαλύτερες ηλικίες με αποτέλεσμα να έχει πλέον σημαντική συνεισφορά στον καθορισμό των μηχανικών ιδιοτήτων του τοιχώματος. Μεσαίος χιτώνας: Είναι ο μεσαίος χιτώνας της αρτηρίας και αποτελείται από ένα περίπλοκο τρισδιάστατο δίκτυο λείων μυϊκών κυττάρων και ινών κολλαγόνου και ελαστίνης. Ο μεσαίος χιτώνας χωρίζεται από τον εσωτερικό και τον εξωτερικό με την εσωτερική ελαστική lamina και την εξωτερική ελαστική lamina αντίστοιχα. Ο προσανατολισμός και οι συνδέσεις μεταξύ των ινών κολλαγόνου και ελαστίνης, των ελαστικών laminae και των λείων μυϊκών κυττάρων συγκροτούν ένα συνεχή ινώδη έλικα. Ο έλικας έχει μικρή κλίση έτσι ώστε οι ίνες να είναι σχεδόν προσανατολισμένες περιφερικά. Αυτή η διάταξη δίνει στο μεσαίο μεγάλη ανθεκτικότητα, αντοχή και την ικανότητα να δέχεται φορτία στην αξονική και την περιφερική διεύθυνση. Από μηχανικής απόψεως ο μεσαίος είναι ο σημαντικότερος χιτώνας μιας υγιούς αρτηρίας. Εξωτερικός χιτώνας: Είναι ο εξωτερικός χιτώνας της αρτηρίας και αποτελείται κυρίως από κύτταρα που παράγουν κολλαγόνο και ελαστίνη, βασικά συστατικά των ιστών και παχιές δεσμίδες ινών κολλαγόνου, οι οποίες σχηματίζουν έναν ινώδη ιστό. Ο εξωτερικός χιτώνας περιβάλλεται συνεχώς από χαλαρούς συνδετικούς ιστούς. Οι κυματώδεις ίνες κολλαγόνου είναι τοποθετημένες ελικοειδώς και εξυπηρετούν στην ενίσχυση του τοιχώματος. Ο εξωτερικός είναι πιο χαλαρός από το μεσαίο χιτώνα σε χαμηλές πιέσεις, με αύξηση της πίεσης όμως οι ίνες κολλαγόνου εκτείνονται στο κανονικό τους μήκος και ο εξωτερικός μετατρέπεται σε ένα άκαμπτο περίβλημα που αποτρέπει τη ρήξη της αρτηρίας. 6

Τα τελευταία χρόνια υπάρχει αυξημένο ενδιαφέρον σχετικά με τις μηχανικές ιδιότητες των βιολογικών μαλακών ιστών, όπως αυτές περιγράφονται από μαθηματική σκοπιά και πιο συγκεκριμένα των αρτηριακών ιστών. Ένα σημαντικό κίνητρο για τέτοιου είδους μελέτες είναι η πεποίθηση ότι μηχανικοί παράγοντες ίσως παίζουν σημαντικό ρόλο στην έναρξη του σχηματισμού αθηροσκληρωτικής πλάκας (αθηροσκλήρωση), της κύριας αιτίας θνησιμότητας στον δυτικό κόσμο [1]. Η αθηροσκλήρωση σαν ασθένεια εκδηλώνεται μέσω της αθηροσκληρωτικής πλάκας, ενός στρώματος από λιπίδια, πρωτεΐνες και εστέρες χοληστερόλης, τα οποία συσσωρεύονται σταδιακά στον εσωτερικό χιτώνα των μεσαίων και μεγάλων αρτηριών [2]. Περιοχές υψηλού κινδύνου για την εμφάνιση πλάκας θεωρούνται οι περιοχές χαμηλής μέσης και ταλαντευόμενης επιφανειακής πίεσης του αρτηριακού δέντρου, όπως για παράδειγμα η έσω καρωτίδα στην περιοχή του καρωτιδικού διχασμού [3]. Εικόνα Α1.2: Σχηματική αναπαράσταση πλάκας στην έσω καρωτίδα (ICA) [4]. Η στένωση της καρωτίδας λόγω της αθηροσκληρωτικής πλάκας αποτελεί την κύρια αιτία πρόκλησης εγκεφαλικού επεισοδίου, λόγω μείωσης της αιματικής ροής και ο βαθμός στένωσης είναι το κριτήριο που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση του κινδύνου και την απόφαση για επεμβατική αφαίρεση της σχηματιζόμενης πλάκας. Παρ όλα αυτά η συγκεκριμένη επέμβαση ενέχει και αυτή κινδύνους και εκτός από το βαθμό της στένωσης πρέπει να συνεκτιμηθούν οι ιδιότητες και η μορφολογία της 7

πλάκας, καθώς και το αν ο ασθενής έχει εμφανίσει συμπτώματα της ασθένειας, ώστε να εξεταστεί αν το όφελος για τον ασθενή έγκειται στην εφαρμογή ή μη της χειρουργικής επέμβασης [2]. Ένα ακόμα φαινόμενο που παρατηρείται στην αθηροσκληρωτική πλάκα είναι η εμφάνιση ρωγμών στην επιφάνεια της και η επακόλουθη ρήξη της που έχει σαν αποτέλεσμα τον καρωτιδικό εμβολισμό. Το φαινόμενο αφορά κυρίως τις ετερογενείς πλάκες. Μελέτες υποδεικνύουν ότι η ρήξη της πλάκας ίσως σχετίζεται με το βαθμό της ομοιογένειας της, την κίνηση της σε σχέση με την κίνηση του αρτηριακού τοιχώματος, το βαθμό συγκέντρωσης της τάσης, τον τοπικό αιμοδυναμικό στροβιλισμό και την λέπτυνση της πλάκας λόγω ενζυματικής δράσης [4]. Α2. Μηχανικές τάσεις και παραμορφώσεις του τοιχώματος της καρωτίδας Σε ολόκληρο το αρτηριακό δέντρο, η κίνηση του αρτηριακού τοιχώματος προκαλείται από την πίεση του αίματος, τη ροή του αίματος και την επαφή με τον περιβάλλοντα ιστό. Η πίεση του αίματος προκαλεί μηχανικές τάσεις, οι οποίες επιφέρουν παραμορφώσεις στο αρτηριακό τοίχωμα και όσο η πίεση αυξάνει, οι τάσεις αυτές εμφανίζονται προς όλες τις κατευθύνσεις στην εντός του αρτηριακού τοιχώματος. Τέτοιου είδους τάσεις στην αξονική και περιφερική διεύθυνση οδηγούν σε επιμήκυνση του τοιχώματος, ενώ όταν εμφανίζονται με ακτινική διεύθυνση προκαλούν συμπίεση του τοιχώματος, φαινόμενο το οποίο ενισχύεται λόγω της σχετικής ακαμψίας του έξω χιτώνα. Αντίθετα με τις κάθετες δυνάμεις που εμφανίζονται λόγω της πίεσης του αίματος, η ροή του αίματος δημιουργεί μέσω της τριβής και της αντίστασης εφαπτόμενες δυνάμεις στην επιφάνεια του αρτηριακού τοιχώματος. Το μέγεθος των τάσεων αυτών εξαρτάται από παράγοντες όπως η τοπική γεωμετρία του αγγείου, η ταχύτητα της αιματικής ροής και ο συντελεστής ιξώδους του αίματος. Έχει ήδη αναφερθεί ότι η αθηροσκληρωτική πλάκα τείνει να εμφανίζεται σε περιοχές όπου η ταχύτητα του αίματος και επακόλουθα η τριβή στο τοίχωμα μειώνεται, με αποτέλεσμα να συγκεντρώνονται περιφερόμενα σωματίδια στην επιφάνεια του αρτηριακού τοιχώματος. 8

Η επαφή με τον περιβάλλοντα ιστό είναι άλλη μια πηγή κίνησης του αρτηριακού τοιχώματος. Συγκεκριμένα ο περιβάλλοντας ιστός μπορεί να εμποδίσει την κίνηση του τοιχώματος από αιμοδυναμικούς παράγοντες, αλλά και να την προκαλέσει απουσία τέτοιων παραγόντων λόγω της κίνησης του σώματος. Οι αγγειακές δομές στο σύνολο τους χαρακτηρίζονται από ποικιλία φυσικών ιδιοτήτων: α) είναι εμφανώς ανισοτροπικές και συγκεκριμένα είναι πιο άκαμπτες στην αξονική και περιφερική διεύθυνση απ ότι στην ακτινική, β) η ελαστικότητα τους είναι μη γραμμική συνάρτηση και μειώνεται με την αύξηση της εφαρμοζόμενης τάσης και γ) στην περίπτωση της αθηρωματικής πλάκας η ακαμψία αυξάνεται με την αύξηση της συχνότητας με την οποία εφαρμόζεται η τάση [5]. Α3. Μοντελοποίηση της μηχανικής συμπεριφοράς του τοιχώματος της καρωτίδας Α.3.1. Η συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης Ένα πολύ βασικό εργαλείο για τη μελέτη της μηχανικής συμπεριφοράς και των ιδιοτήτων των σύνθετων υλικών από τα οποία αποτελούνται τα τοιχώματα μεγάλων αρτηριών όπως η καρωτίδα είναι ο καθορισμός της συνάρτησης ενέργειαςπαραμόρφωσης. Η συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης περιλαμβάνει παραμέτρους που εκφράζουν τη μηχανική συμπεριφορά των βασικών συστατικών του τοιχώματος. Ανάλογα με το είδος της μελέτης είναι δυνατό να καθορισθεί η αντίστοιχη συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης και στη συνέχεια να προσδιορισθούν οι τιμές των παραμέτρων των υλικών με τη βοήθεια πειραματικών τιμών πίεσης, διαμέτρου του αγγείου και δύναμης που ασκείται στο τοίχωμα του αγγείου. Η συνάρτηση ενέργειαςπαραμόρφωσης εκφράζεται συναρτήσει των βασικών συνιστωσών της παραμόρφωσης καθώς και του συνόλου των παραμέτρων των υλικών του τοιχώματος. Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισμένες συναρτήσεις ενέργειας-παραμόρφωσης. 9

A3.2. Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης τύπου Fung Η εκτενέστερα χρησιμοποιημένη συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης για αρτηρίες είναι η δισδιάστατη εκθετικής μορφής που προτάθηκε από τον Fung [1]. Μία επέκταση αυτής στις τρεις διαστάσεις, η οποία παρουσιάστηκε από τους Chuong και Fung, βασίζεται στην υπόθεση ότι οι κύριες διευθύνσεις του τανυστή τάσης συμπίπτουν με την ακτινική, περιφερική και αξονική διεύθυνση της αρτηρίας: ( exp( be 2 2 2 ) ) 1 θ be 2 z be 1 3 r bee 4 θ z bee 5 z r bee 6 r θ c Ψ= + + + + + (1) 2 όπου c είναι μια ελαστική σταθερά και b 1 -b 6 είναι παράμετροι που περιγράφουν τη συνεισφορά των κυρίων παραμορφώσεων. Πολλές τροποποιήσεις αυτών των συναρτήσεων ενέργειας-παραμόρφωσης έχουν δημοσιευτεί μεταγενέστερα. Η πιο γενικευμένη συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης τύπου Fung διατυπώθηκε από τον Humphrey. Είναι κατάλληλη για αυθαίρετες (τρισδιάστατες) καταστάσεις παραμορφώσεων και είναι της μορφής Ψ= 1 exp( ) 1 2 c Q (2), όπου c είναι μια παράμετρος του υλικού και το Q δίνεται από τη σχέση Q= be + b E + b E + 2b E E + 2b E E + 2b E E + b E + b E + b E (3) 2 2 2 2 2 2 1 ΘΘ 2 ZZ 3 RR 4 ΘΘ ZZ 5 ZZ RR 6 RR ΘΘ 7 ΘZ 8 RZ 9 RΘ όπου τα b i, i = 1,,9 είναι αδιάστατες παράμετροι του υλικού, ενώ τα E IJ, με I, J = R, Θ, Z είναι τα στοιχεία του τροποποιημένου τανυστή παραμόρφωσης Green-Lagrange για κυλινδρικές συντεταγμένες. Η έννοια των παραμέτρων b i από φυσικής απόψεως δεν είναι ξεκάθαρη. Για αυτό το λόγο, εάν χρησιμοποιηθεί η παρούσα συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης, πρέπει να δοθεί προσοχή στην επιλογή κατάλληλων περιορισμών στις τιμές των c και b i, ώστε να εγγυηθεί η κυρτότητα της συνάρτησης ενέργειας-παραμόρφωσης (βλέπε Πίνακα Α3.2). 10

Πίνακας Α3.2: Υλικά και γεωμετρικά δεδομένα για καρωτίδα κουνελιού [1]. Material Geometry c = 26.95 [kpa] α =0.0 ο α =160.0 ο b 1 = 0.9925 [-] R i = 0.71 [mm] R i = 1.43 [mm] b 2 = 0.4180 [-] R 0 = 1.10 [mm] R i = 1.82 [mm] b 3 = 0.0089 [-] b 4 = 0.0749 [-] b 5 = 0.0295 [-] b 6 = 0.0193 [-] b 7 = 5.0000 [-] A3.3. Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης των Takamizawa και Hayashi Η συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης έχει την λογαριθμική μορφή Ψ ˆ = cln (4) ( 1 ψ ) όπου c είναι μία παράμετρος του υλικού με διαστάσεις τάσης και η συνάρτηση ψ δίνεται 1 1 = be + be + be EZZ (5), 2 2 2 2 ψ 1 ΘΘ 2 ZZ 4 ΘΘ όπου b 1, b 2, b 4 είναι αδιάστατες παράμετροι του υλικού και Ε ΘΘ, Ε ΖΖ είναι τα στοιχεία του τροποποιημένου τανυστή παραμόρφωσης Green-Lagrange στην περιφερική και αξονική διεύθυνση αντίστοιχα. Η μορφή που έχει η συνάρτηση ψ δεν αποτρέπει την τιμή ψ = 1, η οποία έχει σαν αποτέλεσμα να απειρίζεται η συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης για ορισμένες καταστάσεις παραμόρφωσης. Ακόμα για ψ > 1 το όρισμα της λογαριθμικής συνάρτησης είναι αρνητικό και η συνάρτηση δεν ορίζεται. Έτσι αυτός ο τύπος συνάρτησης ενέργειας-παραμόρφωσης είναι εφαρμόσιμος μόνο για ένα περιορισμένο πεδίο καταστάσεων παραμόρφωσης [6]. A3.4. Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης του Delfino Η αρτηρία θεωρείται ένας παχύς σωλήνας φτιαγμένος από μη γραμμικά υπερελαστικό, μη συμπιεστό, ισοτροπικό και ομογενές υλικό. Η ιξώδης ελαστικότητα, 11

η ενεργή συμπεριφορά της αρτηρίας και η ανισοτροπία δε λαμβάνονται υπ όψιν. Η αρτηρία χαρακτηρίζεται από μια συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης W, a b W = exp ( I1 3) 1 b 2 (6), όπου I 1 ο πρώτος invariant του τανυστή παραμόρφωσης και a, b οι σταθερές του υλικού. Παρατηρήσεις που έγιναν σε καρωτιδικούς διχασμούς χοίρων έδειξαν ότι: i) Μία πρώτη τομή στο επίπεδο συμμετρίας χωρίζει την καρωτίδα σε δύο όμοια μέρη. Κάθε κλάδος των δύο μερών ανοίγει σε κυκλικό τομέα. Οι άκρες της κοινής καρωτίδας και οι δύο κλάδοι παραμένουν στο ίδιο επίπεδο. ii) Μία δεύτερη τομή κατά μήκος του μέσου της εναπομένουσας καρωτίδας τη χωρίζει σε δύο κομμάτια και επιτρέπει να διαχωριστούν ο εσωτερικός και ο εξωτερικός κλάδος. Οι γωνίες ανοίγματος των δύο κλάδων αυξάνονται ελαφρώς. Περαιτέρω τομές δεν επηρεάζουν τη γεωμετρία. Από αυτές τις παρατηρήσεις κατασκευάστηκε ένα αντιπροσωπευτικό μοντέλο της κατάστασης χωρίς τάση (stress-free state) του καρωτιδικού διχασμού. Η σχέση που διέπει τις γωνίες ανοίγματος των δύο κλάδων, R Φ Φ cos = R cos 2 2 2 1 i,2 i,1 όπου R i, 1 και R i, 2 είναι οι εσωτερικές ακτίνες του πρώτου και του δεύτερου κλάδου στη κατάσταση χωρίς τάση και Φ 1, Φ 2 είναι οι γωνίες ανοίγματος των κλάδων. Δύο ακόμα σχέσεις που προέρχονται από τη συνθήκη μη συμπιεστότητας είναι ( 2er 2 ) ( 2 1 i,1 e1 12eR 1 i,1 e1) (7), π + =Φ + (8) ( 2er 2 ) ( 2 2 i,2 e2 1 2eR 2 i,2 e2) π + =Φ + (9) όπου r i, 1, r i, 2 και e 1, e 2 είναι οι ακτίνες και τα πάχη κάθε κλάδου αντίστοιχα στην κατάσταση χωρίς φορτίο (unloaded state). Γνωρίζοντας τα e 1, e 2, Φ 1, r i, 1, r i, 2 βρίσκουμε τα R i, 1, R i, 2, Φ 2 μέσω των εξισώσεων π e R = r + e 2 2 1 ( 2 i ) i,1,1 1 Φ1 π e R = r + e 2 2 2 ( 2 i ) i,2,2 2 Φ2 (10), (11), π e 1 Φ1 π e 2 Φ2 ( 2ri,1 + e1 ) cos = ( 2ri,2 + e2 ) cos 2Φ1 2 2 2Φ2 2 2 (12). 12

Η τελευταία εξίσωση είναι μη γραμμική και η λύση για το Φ 2 βρίσκεται αριθμητικά. Με χρήση του μοντέλου βρέθηκε ότι το πεδίο τάσης επηρεάζεται σημαντικά αν συμπεριληφθεί η τοπική παραμόρφωση. Η μέγιστη αρχική τάση ήταν πιο ομοιόμορφα διανεμημένη σε όλο το διχασμό και πάχος του τοιχώματος. Η παρατήρηση ότι ο λόγος της εσωτερικής προς την εξωτερική τάση στο τοίχωμα είναι μέγιστος στον πλάγιο τοίχο του καρωτιδικού βολβού ίσως έχει σχέση με την εμφάνιση της αθηροσκλήρωσης [3]. A3.5. Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης του Holzapfel Επειδή οι αρτηρίες συντίθενται από χιτώνες, μοντελοποιείται καθένας από τους χιτώνες αυτούς με μια ξεχωριστή συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης. Από μηχανικής απόψεως κάθε χιτώνας θεωρείται ενισχυμένος από δύο οικογένειες ινών κολλαγόνου, οι οποίες είναι τοποθετημένες σε συμμετρικούς δακτυλίους. Υποτίθεται ότι κάθε χιτώνας ανταποκρίνεται με παρόμοια μηχανική συμπεριφορά και γι αυτό το λόγο χρησιμοποιείται η ίδια μορφή συνάρτησης ενέργειας-παραμόρφωσης (αλλά διαφορετικές παραμέτρους υλικού) για κάθε χιτώνα. Η ισοχωρική συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης Ψ χωρίζεται σε ένα μέρος που σχετίζεται με τις ισοτροπικές παραμορφώσεις παραμορφώσεις Ψ iso και σε ένα μέρος που σχετίζεται με τις ανισοτροπικές Ψ aniso. Έτσι η συνάρτηση γράφεται ( C,a 0 1,a 0 2 ) iso ( C) aniso ( C,a 0 1,a0 2 ) Ψ =Ψ +Ψ (13), όπου οι οικογένειες των ινών κολλαγόνου χαρακτηρίζονται από δύο διανύσματα αναφοράς a 0 i, i = 1, 2 με μοναδιαίο μέτρο. Ενσωματώνονται δύο τανυστές A i, i = 1, 2, οι οποίοι ορίζονται ως το τανυστικό γινόμενο των a 0 i. Η βάση για τους τρεις συμμετρικούς τανυστές δευτέρας τάξης αποτελείται από τα αναλλοίωτα μεγέθη (invariants) 1 2 I1 ( C) = trc (14), ( ) ( ) 2 2 I2 C = trc trc ( ) I3 C = det C = 1 (16), 2 (,a ) = : (17), ( ) I C C A 4 0 1 1 5 0 1 1 (15), I C,a = C : A (18), 13

2 (,a ) = : (19), ( ) I C C A 6 0 2 2 ( ) ( ) I C,a = C : A (20), 7 0 2 2 I C,a,a = a a a Ca (21), 8 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 ( a,a ) ( a a ) 2 I = (22). 9 0 1 0 2 0 1 0 2 Επειδή τα αναλλοίωτα μεγέθη (invariants) I 3, I 9 είναι σταθερές η συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ( C, A1, A2) iso ( I1, I2 ) aniso ( I 1, I 2, I4,... I8) Ψ =Ψ +Ψ (23). Τα αναλλοίωτα μεγέθη (invariants) I 4, I 6 είναι τα τετράγωνα των τανύσεων στις διευθύνσεις των a 0 i, i = 1, 2, δηλαδή είναι τα μέτρα τάνυσης για τις δύο οικογένειες των ινών κολλαγόνου και έτσι έχουν ξεκάθαρη φυσική σημασία. Για απλότητα, με σκοπό να ελαχιστοποιηθεί ο αριθμός των παραμέτρων του υλικού θεωρείται η συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης στη μορφή ( C, A1, A2) iso ( I1) aniso ( I4, I6) Ψ =Ψ +Ψ (24). Η ανισοτροπία περιγράφεται έτσι μόνο από τα αναλλοίωτα μεγέθη I 4, I 6, αλλά ακόμα κι έτσι υπάρχει επαρκής γενικότητα, ώστε να διαγραφούν τα τυπικά χαρακτηριστικά των αρτηριακών αντιδράσεων. Τελικά, οι συνεισφορές των Ψ iso και Ψ aniso στην Ψ πρέπει να συγκεκριμενοποιηθούν, ώστε οι παράμετροι του υλικού να συμφωνούν με τις πειραματικά παρατηρημένες αντιδράσεις των αρτηριακών χιτώνων. Για την ισοτροπική αντίδραση χρησιμοποιείται η c Ψ iso ( I1) = ( I1 3) (25), 2 όπου c > 0 είναι μία υλική παράμετρος μορφής τάσης. Το φαινόμενο της ισχυρής αύξησης της ακαμψίας των χιτώνων που παρατηρείται σε υψηλές πιέσεις συνηγορεί στη χρησιμοποίηση μιας εκθετικής συνάρτησης για την περιγραφή της ενέργειας παραμόρφωσης που αποθηκεύεται στις ίνες κολλαγόνου. Χρησιμοποιείται η 2 i 4,6 2 { } Ψ k1 aniso ( I4, I6) = exp k2( Ii 1) 1 2k (26), = όπου k 1 > 0 είναι μία υλική παράμετρος μορφής τάσης και k 2 > 0 είναι μια αδιάστατη παράμετρος [1]. 14

A3.6. Συνάρτηση ενέργειας-παραμόρφωσης του Zulliger Η γενική ιδέα είναι ο διαχωρισμός της συνάρτησης ενέργειας-παραμόρφωσης σε ισοτροπικό και ανισοτροπικό μέρος [7]. Το ισοτροπικό μέρος θεωρείται ότι περιγράφει τη συμπεριφορά της ελαστίνης και ακριβέστερα μόνο το κομμάτι που βρίσκεται υπό φορτίω, δεν υπολογίζονται δηλαδή κομμάτια ελαστίνης, τα οποία δεν συνδέονται στο πλέγμα. Έτσι η συνάρτηση (ισοτροπικό μέρος) είναι Ψ iso = felastψ elast (27), όπου f elast είναι το τμήμα της ελαστίνης που σχετίζεται με την επιφάνεια που φέρει το φορτίο και Ψ elast μια συνάρτηση ενέργειας παραμόρφωσης που περιγράφει τις μηχανικές ιδιότητες της ελαστίνης. Προτείνεται η ακόλουθη κυρτή σχέση, που εξαρτάται από την ελαστική σταθερά c elast : elast elast ( I ) 32 Ψ = c (28). 1 3 Ομοίως για το ισοτροπικό μέρος της συνάρτησης ενέργειας παραμόρφωσης, υποτίθεται ότι το ανισοτροπικό μέρος αντιπροσωπεύει μόνο τις ίνες κολλαγόνου, που φέρουν φορτίο: Ψ aniso = fcollψ coll (29), όπου f coll είναι η αντίστοιχη περιοχή κολλαγόνου και Ψ coll η συνάρτηση ενέργειαςπαραμόρφωσης για το δίκτυο του κολλαγόνου. Θεωρείται ότι η εμπλοκή των ινών κολλαγόνου από τη κατάσταση χωρίς φορτίο, στην οποία έχουν κυματώδη διάταξη, στην έκταση του μήκους τους υπό φορτίο ακολουθεί τη στατιστική κατανομή με κάτω όριο ε 0 : ρ fiber ( ε) 0 = k 1 k ( ε εo b) b k 1 + ( ε εo b) 2 για.. ε ε..., (30), για.. ε > ε 0 0 32 1 1 ( 1 3) ( 4 1) ( 4' 1) Ψ= felastcelast I + fcoll Ψcoll I + Ψcoll I 2 2 όπου b > 0 είναι μία παράμετρος κλίμακας και το k > 0 προσδιορίζει τη μορφή της κατανομής. Τίθεται ε 0 = 0, ώστε οι ίνες κολλαγόνου να μη φέρουν φορτίο στην κατάσταση μηδενικής τάσης. (31) 15

Μία μόνη ίνα κολλαγόνου περιγράφεται από τη συνάρτηση Ψ fiber ( ε ) = c coll 0 για.. ε 0 ( ε log ( ε + 1) )... για.. ε > 0 (32), όπου c coll είναι ο συντελεστής Young του κολλαγόνου. Για να περιγραφεί το σύνολο των ινών κολλαγόνου εξάγεται από τις παραπάνω η σχέση: * ( ε) ρ ( x) ρ ( ε ) Ψ =Ψ = Ψ x dx (33). coll fiber fiber fiber fiber Υποθέτοντας ότι οι ίνες κολλαγόνου σχηματίζουν γωνία α με την περιφερική διεύθυνση, ο λόγος τάνυσης λ = ε + 1 γίνεται λ = I4 = λ cos a+ λ sin a (34). 2 2 2 2 θ z Το ανισοτροπικό μέρος της συνάρτησης ενέργειας-παραμόρφωσης με τις μισές ίνες σε γωνία α και τις άλλες μισές σε γωνία -α με την περιφερική διεύθυνση γίνεται ( 4 1) ( 4' 1) 1 1 Ψ aniso = fcoll Ψcoll I + Ψcoll I 2 2 (35). Εικόνα Α3.6: Σχηματική αναπαράσταση του αρτηριακού τοιχώματος στην κατάσταση μηδενικής τάσης. Οι ίνες κολλαγόνου σχηματίζουν γωνίες α και -α με την περιφερική διεύθυνση [7]. Τα υπόλοιπα συστατικά του αρτηριακού τοιχώματος θεωρείται ότι έχουν αμελητέα επίδραση στις μηχανικές ιδιότητες. Έτσι η συνολική συνάρτηση ενέργειαςπαραμόρφωσης είναι η 32 1 1 ( 1 3) ( 4 1) ( 4' 1) Ψ= felastcelast I + fcoll Ψcoll I + Ψcoll I 2 2 (36) [7]. 16

Α4. Εκτίμηση της παραμόρφωσης του τοιχώματος της καρωτίδας από εικόνες υπέρηχων Η ποσοτική ανάλυση της κίνησης του τοιχώματος της καρωτίδας μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας εικόνες υπέρηχων. Η παραμόρφωση μπορεί να υπολογιστεί με μεθόδους οπτικής ροής ή με την τεχνική του block matching. To block matching μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανίχνευση ομάδων από pixels σε εικόνες υπέρηχων, υποθέτοντας ότι η κίνηση των παραπάνω ομάδων μεταφράζεται σε κίνηση των απεικονιζόμενων σημείων. Δεδομένης μιας ομάδας από pixels στην πρώτη από δυο εικόνες, η τεχνική συνίσταται στην εύρεση της ομάδας στην δεύτερη εικόνα που ταιριάζει περισσότερο με αυτήν της πρώτης. Ο ορισμός αυτός βασίζεται στην υπόθεση ότι η πρώτη ομάδα (ή ομάδα αναφοράς) παραμένει σταθερή και ανεπηρέαστη από το χρόνο και την κίνηση, πράγμα το οποίο ισχύει αν ο ρυθμός της συλλογής των εικόνων είναι αρκετά υψηλός. Η μέθοδος απαιτεί ένα καλό μέτρο σύγκρισης, το οποίο να παίρνει μεγάλες τιμές όταν η ομάδα αναφοράς και η υπό ερευνά ομάδα συμπίπτουν σε επίπεδα φωτεινότητας και μικρές σε άλλη περίπτωση. Η αναζήτηση περιορίζεται συνήθως σε ένα πλαίσιο αναζήτησης, το μέγεθος του οποίου πρέπει να επιλέγει κατάλληλα ώστε να μην επηρεάζονται τα αποτελέσματα της ανάλυσης της κίνησης. Ένα μεγάλο πλαίσιο επιτρέπει τον ακριβή εντοπισμό γρήγορων κινήσεων, αλλά αυξάνει την πιθανότητα λάθους και το υπολογιστικό κόστος του αλγόριθμου. Οι μέθοδοι οπτικής ροής βασίζονται στον υπολογισμό των χωροχρονικών μεταβολών στη φωτεινότητα μεμονωμένων pixels παρά ομάδων από pixels μιας ακολουθίας εικόνων. Το αποτέλεσμα είναι ένας πυκνός χάρτης διανυσμάτων όπου κάθε pixel αναπαριστάται από ένα διάνυσμα που αντιστοιχεί στην ταχύτητα του μεταξύ δυο εικόνων. Υποτίθεται ότι η φωτεινότητα ενός δεδομένου pixel είναι σταθερή μεταξύ δυο διαδοχικών εικόνων της ακολουθίας. Η υπόθεση αυτή είναι αληθής εφόσον ο ρυθμός συλλογής των εικόνων είναι υψηλός. Η χρήση διαφορετικών τεχνικών ανάλυσης οδηγεί σε διαφορετικού είδους αποτελέσματα, γεγονός το οποίο μπορεί να επηρεάσει την ερμηνεία των ευρημάτων. Οι κυματομορφές μετατόπισης που προκύπτουν με χρήση μεθόδων οπτικής ροής μεταβάλλονται πιο αποφασιστικά σε σχέση με αυτές που προκύπτουν με χρήση block matching. Αυτό ίσως οφείλεται στο ότι η θέση κάθε pixel σε μια δεδομένη εικόνα 17

βασίζεται στη σύγκριση της ταχύτητας του με την προηγούμενη εικόνα. Σαν αποτέλεσμα πιθανά λάθη στον εντοπισμό διαδίδονται και σε επόμενες εικόνες. Στο block matching από την άλλη, η θέση μιας ομάδας pixels υπολογίζεται συγκρίνοντας τις φωτεινότητες στην πρώτη εικόνα της ακολουθίας [5]. Α5. Σκοπός εργασίας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι ο καθορισμός μοντέλων που θα περιγράφουν την χρονική και χωρική μεταβολή της μετατόπισης για οποιοδήποτε σημείο της κοινής καρωτίδας κατά την ακτινική και την αξονική διεύθυνση. Θα γίνει ανάπτυξη των αλγορίθμων σε Matlab που θα υλοποιούν τα χώρο-χρονικά μαθηματικά μοντέλα μετατόπισης, προσαρμογή των μοντέλων στα πειραματικά δεδομένα, τα οποία θα προέρχονται από νεαρά και ηλικιωμένα άτομα και καθορισμός των παραμέτρων των μοντέλων σε κάθε περίπτωση. Κατόπιν τα αποτελέσματα θα αποτιμηθούν στατιστικά. 18

Β. Μοντελοποίηση της μηχανικής παραμόρφωσης του τοιχώματος της καρωτίδας Β1. Μοντελοποίηση Β1.1. Μοντελοποίηση φυσιολογικών συστημάτων Οι εξελίξεις στις βιολογικές και ιατρικές επιστήμες βασίζονται προσφάτως όλο και περισσότερο στη μοντελοποίηση και την προσομοίωση. Η ανάπτυξη των σύγχρονων υπολογιστών συμπίπτει με την ανάγκη για ποσοτική κατανόηση των σύνθετων βιολογικών προβλημάτων και χρησιμοποιείται ως εφαλτήριο στη προσπάθεια κατανόησης των βιολογικών φαινομένων και των σχέσεων τους στα βιολογικά συστήματα. Εκμεταλλευόμενοι την σύνθεση βιολογικών και υπολογιστικών / μαθηματικών επιστήμων, δεν είμαστε πλέον αναγκασμένοι να κάνουμε συμβιβασμούς μεταξύ επιστημονικής ακρίβειας και μαθηματικής / φαινομενολογικής συνέπειας. Αυτό είναι ιδιαίτερης σημασίας στη βιολογία και στην ιατρική όπου οι διαδικασίες περιγράφονται από ποικίλες χρονικές και ποσοτικές μετρήσεις, των οποίων οι σύνθετες αλληλεπιδράσεις είναι κρίσιμες για την λειτουργία των βιολογικών συστημάτων. Η ανάγκη για συνεργασία μεταξύ μελετητών βιολογικών συστημάτων και μηχανικών είναι εμφανής. Η μοντελοποίηση και η προσομοίωση είναι ένα επιτυχημένο μέσο για αυτήν τη συνεργασία καθώς είναι ταυτόχρονα ένα βασικό βήμα και ένα χρήσιμο εργαλείο για την κατανόηση της συμπεριφοράς ενός βιολογικού συστήματος. Η προσομοίωση φυσικά δε θα μπορέσει ποτέ να αντικαταστήσει το πείραμα στην απόδειξη μιας βιολογικής υπόθεσης, αλλά μπορεί να βοηθήσει στη βαθύτερη κατανόηση των πειραματικών αποτελεσμάτων και στη βελτίωση του πειραματικού σχεδιασμού [8]. Β1.2. Μοντελοποίηση σε διάφορα βιολογικά επίπεδα Μερικές από τις πιο εμφανείς εξελίξεις είναι βιοφυσικής και βιοχημικής φύσεως και σχετίζονται με την υποκυττάρια κλίμακα, όπου οι πρωτεΐνες, τα υποστρώματα, τα 19

παράγωγα διαλύματα και τα ιόντα αλληλεπιδρούν και προσδίδουν ποσοτικές περιγραφές των λειτουργιών σε κυτταρικό επίπεδο. Σχεδόν καμία από τις παραπάνω εξελίξεις δε δίνει κινητικές περιγραφές οι οποίες να συνδέουν τα συγκεκριμένα κυτταρικά γεγονότα με διαδικασίες όπως η σηματοδότηση γονίδιων και η ρύθμιση της μεταγραφής και της μετάφρασης, αν και ο καθορισμός των πρωτεϊνικών αλληλεπιδράσεων προχωρά γοργά με διαγραμματικούς συσχετισμούς. Σε υψηλότερα φυσιολογικά επίπεδα, οι εξελίξεις είναι λιγότερο βιοφυσικής φύσεως και περισσότερο περιγραφικές, με αποτέλεσμα να ορίζονται με μικρότερη ακρίβεια. Οι συμπεριφορές πληθυσμών νευρώνων και άλλων κύτταρων, ιστών, οργάνων και των κεντρικών βροχών έλεγχου τους είναι λιγότερο ποσοτικές κυρίως λόγω της πολυπλοκότητας τους, αν και τέτοια μοντέλα είναι σημαντικά στην ανίχνευση της έναρξης μιας ασθένειας, στην παρατήρηση της εξάπλωσης των διαταραχών και στην κατανόηση του αντίκτυπου των θεραπευτικών παραγόντων και των δυνητικών παρενεργειών τους [9]. Β2. Γενικές έννοιες Χρησιμοποιούμε σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων με κύριες κατευθύνσεις e θ (περιφερική), e z (αξονική) και e r (ακτινική). Υποθέτουμε ότι το υλικό του αρτηριακού τοιχώματος είναι μη συμπιεστό, ώστε λ θ λ z λ r = 1 (37), όπου λ θ, λ z και λ r είναι οι κύριοι λόγοι τάνυσης: π r l r λθ = (38), λ z = (39), λr = (40), π Θ R L R όπου Θ είναι η γωνία ανοίγματος, R μια ακτίνα ως ένα σημείο στην κατάσταση μηδενικής τάσης και r η ακτίνα στο ίδιο σημείο με φορτίο στην αξονική διεύθυνση. L είναι το αξονικό μήκος του τμήματος που εξετάζουμε στην χωρίς τάση κατάσταση και l το αξονικό μήκος υπό φορτίο. 20

Εικόνα B2: Σύστημα συντεταγμένων και παράμετροι που χαρακτηρίζουν την κατάσταση μηδενικής τάσης και την κατάσταση με φορτίο μιας αρτηρίας [7]. Από τις παραπάνω σχέσεις και αν θεωρήσουμε ότι η εξωτερική ακτίνα R o της κατάστασης μηδενικής τάσης αντιστοιχεί στην r o της κατάστασης υπό πίεση σύμφωνα με τη σχέση παίρνουμε τη σχέση: Οι παραμορφώσεις Green είναι ( ) r R = r (41), 0 0 2 2 2 r( R) ( r0) ( R0 R ) π Θ = (42). λ π E k 1 2 = ( λk 1), k = θ, z, r (43), 2 Η παραμόρφωση συχνά εκφράζεται και με τον τανυστή παραμόρφωσης Cauchy- Green C: C x x k k ij =, i, j, k θ,, xi x j z = z r (44), όπου Χ είναι η θέση ενός σημείου στην κατάσταση μηδενικής τάσης και x(χ) η θέση του ίδιου σημείου μετά την παραμόρφωση. Σε κυλινδρικές συντεταγμένες, οι λόγοι τάνυσης και ο C, ακολουθούν τις σχέσεις C = λ (45), 2 11 r C22 = λ (46), 2 θ C = λ (47) 2 33 z Ο I 1 είναι το πρώτο αναλλοίωτο μέγεθος (invariant) του C και στην περίπτωση των κυλινδρικών συντεταγμένων ισχύει 21

I = λ + λ + λ (48). 2 2 2 1 θ z r Ο I 4 είναι επίσης ένας invariant του C για τον οποίο ισχύει 2 2 2 2 I4 = λθ cos a+ λz sin a (49). Εάν θεωρήσουμε I 4 με τη σχέση α = -α να ισχύει για τις γωνίες, έχουμε I 1 = I 4. Έτσι οι I 1 και I 4 μαζί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή ενός πλέγματος με δύο διαχωρισμένες διευθύνσεις, ώστε να προσομοιωθεί το δίκτυο κολλαγόνου του αρτηριακού τοιχώματος. Οι τοπικές σχέσεις τάσης-παραμόρφωσης δίνονται από τις παραγώγους της συνάρτησης ενέργειας-παραμόρφωσης: όπου p είναι η τοπική υδροστατική πίεση. Η πειραματικά μετρούμενη πίεση είναι σ 2 k = p + λ Ψ k, k = θ, z, r (50), E i k ( σ σ ) r r θ r dr (51) P = 0 1 και η αξονική δύναμη που χρειάζεται για να διατηρηθεί η αξονική τάνυση είναι r 0 2 σ 2π π (52) [7]. ri F = rdr P r z z i r Β3. Καθορισμός ακτινικού μοντέλου Β3.1. Μαθηματική σχέση Για την μοντελοποίηση της ακτινικής μετατόπισης θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση που προτείνουν οι Humphrey & Na [10]. Η ακτίνα του αρτηριακού τοιχώματος r μεταβάλλεται με τον χρόνο και την ακτίνα R στη γεωμετρία αναφοράς, σύμφωνα με την σχέση: Θ0 2 2 rrt (, ) = At ( ) ( Ra R) (53) πll όπου Α(t) είναι μια σειρά Fourier πέντε συντελεστών, δηλαδή 5 A(t)=A m + ( Ancos nωt+ Bnsin nωt) (54) n= 1 22

Για την εσωτερική ακτίνα στο σύστημα αναφοράς (ελεύθερο τάσης) και την γωνία ανοίγματος του αρτηριακού τοιχώματος έχουμε R α =3.3544mm και Θ ο =160 ο. Οι λόγοι διάτασης λαμβάνονται ίσος προς l=1.8 και L=1.0177 Τέλος, οι συντελεστές της σειράς Fourier ισούνται με Α 1 = 0.0574, Α 2 =0.0504, Α 3 =0.0105, Α 4 =0.0063, Α 5 =0.0022 Β 1 =0.0668, Β 2 =0.0095, Β 3 =0.0114, Β 4 =0.0032, Β 5 =0.0018 (όλα με μονάδες [mm 2 ]) ενώ η τιμή του A m βρέθηκε ίση με 7.193mm 2 ώστε η εξωτερική ακτίνα σε πίεση P i = 60mmHg να ισούται με αυτή της αρτηρίας Fung. Οι συντελεστές αυτοί προέκυψαν από προσαρμογή στα πειραματικά δεδομένα Tozzi et al [11]. Η σχέση (53) μεταβάλλεται για τις τιμές του R a που αντιστοιχούν σε καθένα από τους τρεις χιτώνες ξεχωριστά, δηλαδή Εσωτερικός: R=R a Μεσαίος: R=R a +H m Εξωτερικός: R=R a +H m +H a όπου H m =0.26mm και H a =0.13mm τα πάχη του Μεσαίου και του Εξωτερικού χιτώνα όπως τα λαμβάνουμε από τους Holzapltel et al [1]. Β3.2. Διάγραμμα καμπύλης Σε περιβάλλον MATLAB προκύπτει το διάγραμμα της μετατόπισης του αρτηριακού τοιχώματος με τον χρόνο. Θεωρούμε την διάρκεια ενός καρδιακού παλμού ίση με 0.8sec. 23

0.5 0.45 0.4 radial displacement(mm) 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 time(sec) Σχήμα Β3.2 : Καμπύλη του μαθηματικού μοντέλου για την μετατόπιση στην ακτινική διεύθυνση Β4. Καθορισμός αξονικού μοντέλου Β4.1. Μαθηματική σχέση Για τη μαθηματική μοντελοποίηση της μετατόπισης του αρτηριακού τοιχώματος στην αξονική διεύθυνση ακολουθήσαμε μια προσέγγιση που βασίζεται σε ένα μαθηματικό μοντέλο κίνησης του μυοκαρδίου, όπως αυτό καθορίζεται σε μια πρόσφατη μελέτη των Ledesma-Cabayo et al [12]. Η υιοθέτηση του συγκεκριμένου μοντέλου βασίστηκε στην υπόθεση ότι διαφορετικά τμήματα του καρδιοαγγειακού συστήματος ακολουθούν τον ίδιο κανόνα χρονικής μεταβολής, κυρίως λόγω της επίδρασης της πίεσης του αίματος. Χρησιμοποιώντας το μοντέλο αυτό η μετατόπιση του τοιχώματος της καρωτίδας κατά την αξονική διεύθυνση z(t) είναι 24

2 πt zt () =Π ( t0, t1)sin +Π ( t1, t2)( a+ bt) (55) ct όπου Τ είναι η διάρκεια του κύκλου, α, b, c, t 1,t 2 είναι οι παράμετροι του μοντέλου και Π(t i, t i+1 ) είναι μια παλμική συνάρτηση που ορίζεται ως: 1 Π ( ti, ti+ 1) = (1 + tanh( d( t ti)))(1 + tanh( d( ti+ 1 t))) (56) 4 Το παραπάνω μοντέλο λαμβάνει υπ όψιν την επίδραση της πίεσης του αίματος αλλά αγνοεί την επίδραση της ροής του αίματος, παράγοντα πολύ σημαντικού όσον αφορά τη μετατόπιση κατά την αξονική διεύθυνση. Για τον λόγο αυτό προστεθήκαν δύο παράμετροι στο μοντέλο, οι h και g ώστε αυτό να πάρει τη μορφή: 2 πt zt () = h Π ( t0, t1)sin +Π ( t1, t2)( a+ bt) (57) ct 1 Π ( t, t ) = (1 + tanh( d( t ( t + g))))(1 + tanh( d( t t))) (58) 4 όπου 1 2 1 2 η οποία είναι και η τελική μορφή του μοντέλου που χρησιμοποιήθηκε. Η παράμετρος α ελέγχει το πλάτος του δεύτερου παλμού, η παράμετρος b αντιστοιχεί στην κλίση του δεύτερου τμήματος της καμπύλης και εκφράζει την ταχύτητα του τοιχώματος από το τέλος της συστολής ως το τέλος της διαστολής, c είναι η παράμετρος που καθορίζει την κλίση του αρχικού τμήματος της καμπύλης που έχει μικρότερη κλίση από το κυρίως τμήμα, t 1 είναι η διάρκεια του πρώτου παλμού και αντιστοιχεί στη διάρκεια της συστολής, t 2 είναι η διάρκεια του δεύτερου παλμού και αντιστοιχεί στη διάρκεια της διαστολής και η παράμετρος d ελέγχει την κλίση του πρώτου τμήματος της καμπύλης και αντιστοιχεί στην ταχύτητα του αρτηριακού τοιχώματος από το τέλος της διαστολής ως το τέλος της συστολής. Τέλος οι παράμετροι h και g ελέγχουν το πλάτος του πρώτου παλμού και την απόσταση μεταξύ των δυο παλμών αντίστοιχα. Β4.2. Διάγραμμα καμπύλης Σε περιβάλλον MATLAB προκύπτει το διάγραμμα της μετατόπισης του τοιχώματος της καρωτίδας με τον χρόνο για τις ακόλουθες τιμές των παραμέτρων: h=6, d=18.5sec -1, t 1 =0.32sec, c=0.65, g=0.16sec, t 2 =0.78sec, α=0.38mm, b=- 0.35mm/sec και διάρκεια κύκλου T=0.8 sec. 25

0.5 0.45 0.4 axial displacement(mm) 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 time(sec) Σχήμα Β4.2: Καμπύλη του μαθηματικού μοντέλου για την μετατόπιση στην αξονική διεύθυνση 26

Γ. Υλικό και μέθοδοι Γ1. Περιγραφή απεικονιστικών δεδομένων Στη μελέτη αυτή χρησιμοποιήθηκαν 5 ακολουθίες εικόνων υπερήχων β-σάρωσης της κοινής καρωτίδας που αντιστοιχούν σε περιπτώσεις νεαρών ατόμων με υγιείς αρτηρίες. Από τα πέντε φυσιολογικά άτομα, τα τέσσερα ήταν άνδρες και το πέμπτο γυναίκα, ενώ οι ηλικίες τους κυμαίνονταν από 25 έως 32 έτη. Επιπρόσθετα, για να αναδειχθεί η κλινική χρησιμότητα της μεθοδολογίας μοντελοποίησης, χρησιμοποιήθηκαν 3 ακολουθίες εικόνων υπερήχων καρωτίδας ατόμων μεγαλύτερης ηλικίας από 50 έως 90 έτη. Στις περιπτώσεις αυτές, η καρωτίδα ήταν αθηρωματική, με την αθηρωματική πλάκα στην έσω καρωτίδα, κοντά ή ακριβώς στη θέση του διχασμού, αλλά οι περιοχές ενδιαφέροντος που επιλέχθηκαν αντιστοιχούσαν στο υγιές τμήμα του τοιχώματος, λίγο πριν τη θέση της αθηρωματικής πλάκας. Για κάθε άτομο έγινε καταγραφή ακολουθίας εικόνων υπερήχων β σάρωσης της καρωτίδας με τη βοήθεια του συστήματος ATL (Advanced Technology Laboratory) Ultramark 4 Duplex και κεφαλής γραμμικής διάταξης και υψηλής ανάλυσης στα 7.5MHz. Οι ρυθμίσεις του σαρωτή ήταν ίδιες για όλες τις μετρήσεις (2D gray map, linear; persistence, low; frame rate, high). Το κέρδος, που αποτελεί υποκειμενική παράμετρο στις ρυθμίσεις του σαρωτή, ρυθμίστηκε έτσι ώστε τόσο το αίμα, όσο και ο έξω χιτώνας της καρωτίδας να ικανοποιούν τα ακόλουθα κριτήρια: (α) το αίμα να είναι σκοτεινό και με ομοιόμορφη ηχογένεια, δηλαδή ομοιογενές, χωρίς διακυμάνσεις στη φωτεινότητα, και (β) ο έξω χιτώνας της καρωτίδας να είναι παχύς, φωτεινός και με ομοιόμορφη ηχογένεια. Για κάθε άτομο, οι ακολουθίες των εικόνων που λήφθηκαν αποτελούσαν διαμήκεις τομές της καρωτίδας. Οι ακολουθίες καταγράφηκαν με ρυθμό 25 εικόνες / δευτερόλεπτο για περίπου 3 δευτερόλεπτα (2 3 καρδιακοί κύκλοι). Η ανάλυση κίνησης των περιοχών ενδιαφέροντος πραγματοποιήθηκε με χρήση της μεθόδου οπτικής ροής ελαχίστων τετραγώνων με βάρη. Η μέθοδος αυτή βρέθηκε να έχει βέλτιστη απόδοση στην εκτίμηση κίνησης από ακολουθίες εικόνων υπερήχων της καρωτίδας σε σύγκριση με άλλες μεθόδους. 27

Σε αυτή τη μελέτη, πραγματοποιήθηκε ανάλυση κίνησης για 6 ορθογώνιες περιοχές ενδιαφέροντος (ΠΕ) μεγέθους 1.0x1.6mm 2 σε ίση απόσταση κατά την οριζόντια κατεύθυνση, οι οποίες βρίσκονται: (α) στο κάτω τοίχωμα, μεταξύ του αυλού και του συμπλέγματος του έσω-μέσου χιτώνα (lumen και intima-media complex, L-IM), (β) στις αντιδιαμετρικές θέσεις στο άνω τοίχωμα (IM-L), (γ) στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ του έσω-μέσου χιτώνα και του έξω χιτώνα (intima-media complex και adventitia, IM-A) για το κάτω τοίχωμα και (δ) στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ του έξω χιτώνα και του περιβάλλοντος ιστού (adventitia surrounding tissue, A-T) στο κάτω τοίχωμα. Η οριζόντια απόσταση μεταξύ των γειτονικών ΠΕ για το ίδιο αρτηριακό τοίχωμα ήταν περίπου 5mm. Στην Εικόνα Γ1 παρουσιάζονται τα κέντρα των επιλεγμένων ΠΕ. Εικόνα Γ1: Κέντρα των ΠΕ που επιλέχθηκαν για την εξαγωγή των κυματομορφών κίνησης 28

Υπολογίστηκαν κυματομορφές της ακτινικής και αξονικής μετατόπισης συναρτήσει του χρόνου για κάθε ΠΕ. Κάθε κύκλος ακτινικής και αξονικής μετατόπισης επιλέχθηκε χειροκίνητα από αυτές τις κυματομορφές. Η χειροκίνητη επιλογή αφορά στον καθορισμό των χρονικών ορίων που αντιστοιχούν σε κάθε κύκλο της ακτινικής και αξονικής μετατόπισης. Από κάθε κυματομορφή ακτινικής και αξονικής μετατόπισης απομονώθηκε ένας κύκλος. Γ2. Μέθοδος για την προσαρμογή του μοντέλου στα πραγματικά δεδομένα Τα προτεινόμενα μοντέλα είναι μη γραμμικά ως προς τις παραμέτρους και συνεπώς για να πραγματοποιηθεί προσαρμογή του μοντέλου στα πραγματικά δεδομένα επιλέχθηκε μια μη γραμμική μέθοδος βελτιστοποίησης, η μέθοδος μη γραμμικής προσαρμογής ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσαρμογή μιας μεγάλης ποικιλίας συναρτησιακών σχέσεων. Το βασικό μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι θα πρέπει να είναι διαθέσιμη μια αρχική γνώση για τις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων, ώστε να χρησιμοποιηθούν ως τιμές εκκίνησης της μεθόδου. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε ελαχιστοποιεί τη διαφορά μεταξύ των πραγματικών και εκτιμώμενων τιμών, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Newton. Πρόκειται για μια επαναληπτική διαδικασία, όπου σε κάθε επανάληψη επιλύεται ένα γραμμικό σύστημα με τη μέθοδο των συζυγών κλίσεων (preconditioned conjugate gradients). Το αποτέλεσμα της διαδικασίας προσαρμογής συνίσταται στις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων του μαθηματικού μοντέλου παραμόρφωσης της καρωτίδας. Χρησιμοποιήθηκαν άνω και κάτω όρια για τις τιμές των παραμέτρων για να διασφαλισθεί η αντιστοιχία με αποδεκτές πραγματικές συνθήκες. Συγκεκριμένα για την περίπτωση του μαθηματικού μοντέλου που περιγράφει την ακτινική μετατόπιση, οι παράμετροι A m, A n και B n αφέθηκαν να κινηθούν ελεύθερες στο διάστημα (-, + ). Η παράμετρος Θ 0 είχε πεδίο τιμών λόγω της φυσικής της σημασίας (γωνία ανοίγματος στη γεωμετρία αναφοράς για την κατάσταση χωρίς τάση) το [π/2, π]. Επιπρόσθετα, το πεδίο τιμών για τους λόγους διάτασης l και L τέθηκε [1, 2.6] και [1, 1.0354] αντίστοιχα. Σαν σημεία εκκίνησης για την προσαρμογή προτιμήθηκαν οι τιμές των 29

παραμέτρων όπως αυτές προτείνονται στη βιβλιογραφία και παρουσιάζονται στην παράγραφο Γ1.1. Η χρήση συγκεκριμένου εύρους για τις τιμές των παραμέτρων του μοντέλου βελτιώνει τη διαδικασία προσαρμογής γιατί ελαχιστοποιεί την πιθανότητα ο αλγόριθμος βελτιστοποίησης να παγιδευτεί σε ένα τοπικό ελάχιστο, που θα αντιστοιχεί σε τιμές που δεν είναι βέλτιστες για την περιγραφή της παραμόρφωσης του τοιχώματος. Στην περίπτωση του μαθηματικού μοντέλου για την αξονική μετατόπιση, τα πεδία τιμών για τις παραμέτρους καθορίστηκαν μετά από δοκιμές με γνώμονα την όσο το δυνατόν καλύτερη προσέγγιση των καμπυλών που προκύπτουν από τα πειραματικά δεδομένα. Συγκεκριμένα, τα πεδία τιμών για τις παραμέτρους a, c, h και d επιλέχθηκαν (-, + ), [0, + ), [0, + ) και (-, + ). Η παράμετρος b θα πρέπει να έχει αρνητικές τιμές, επειδή όμως παρατηρήθηκε ότι, για τις περιπτώσεις των ασθενών κυρίως, οι καμπύλες των πειραματικών δεδομένων διαφέρουν σημαντικά από την αναμενόμενη, όπως αυτή παρουσιάζεται στο Σχήμα Γ2.2, αφέθηκε να κινηθεί στο (-,+ ) με αποτέλεσμα την επίτευξη καλύτερης προσαρμογής στις περιπτώσεις αυτές. Επιπρόσθετα, το πεδίο τιμών για τη χρονική διάρκεια των παλμών t 1 /Τ και t 2 /Τ τέθηκε [0, 1]. Το πεδίο τιμών για την παράμετρο g που ελέγχει την απόσταση μεταξύ των δυο παλμών τέθηκε [0, + ). Τα σημεία εκκίνησης προέκυψαν και αυτά μετά από δοκιμές. Συγκεκριμένα χρησιμοποιήσαμε h=1, d=25, t 1 /Τ= 0.5, c=1, g=0.12, t 2 /Τ=0.9, α=0 και b=1.58. Η απόδοση της προσαρμογής του μοντέλου στις πραγματικές τιμές μετατόπισης μελετήθηκε με χρήση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος (Root Mean Square Error - RMSE). Το RMSE ορίζεται από τη σχέση: 1 RMSE = y i x i N 2 ( ( ) ( )) (59) N i = 1 όπου y(i) είναι η πραγματική τιμή, x(i) είναι η εκτιμώμενη από το μοντέλο τιμή και Ν είναι ο συνολικός αριθμών των σημείων. Γ3. Μέθοδος στατιστικής ανάλυσης Οι διαφορές μεταξύ των τιμών των παραμέτρων των μοντέλων που υπολογίσθηκαν για διαφορετικές θέσεις του τοιχώματος της καρωτίδας, μελετήθηκαν με μια μη 30

παραμετρική στατιστική δοκιμασία (Wilcoxon). Η χρήση μη παραμετρικής στατιστικής δοκιμασίας ενδείκνυται καθώς η κατανομή που ακολουθούν οι προς μελέτη ομάδες είναι άγνωστη. Συγκεκριμένα πραγματοποιείται ένα αμφίπλευρο τεστ για την υπόθεση ότι δυο ανεξάρτητα δείγματα προέρχονται από κατανομές με ίσους στατιστικούς μέσους και επιστρέφεται την τιμή της πιθανότητας p στο επίπεδο της οποίας η παραπάνω υπόθεση δε μπορεί να απορριφθεί. Μια τιμή του p ίση με 0.05 θεωρήθηκε σημαντική. 31

Δ. Αποτελέσματα Δ1. Καμπύλες προσαρμογής Στo Σχήμα Δ1.1 παρουσιάζονται παραδείγματα προσαρμογής του μοντέλου για την ακτινική μετατόπιση που ορίζεται από τη σχέση (53) στις πραγματικές καμπύλες μετατόπισης που υπολογίσθηκαν με τη μέθοδο της οπτικής ροής ελαχίστων τετραγώνων με βάρη από ακολουθία εικόνων υπερήχων ενός υγιούς τοιχώματος νεαρού ατόμου για το άνω και το κάτω τοίχωμα του έσω χιτώνα, τον μέσο και τον έξω χιτώνα. Στο Σχήμα Δ1.2 παρουσιάζονται παρόμοια παραδείγματα για την περίπτωση καρωτίδας ατόμου μεγαλύτερης ηλικίας. 0.6 model experimental data 0.5 radial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (α) 32

0.6 model experimental data 0.5 radial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (β) 0.6 model experimental data 0.5 radial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (γ) 33

0.6 model experimental data 0.5 radial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (δ) Σχήμα Δ1.1: Παραδείγματα προσαρμογής του μοντέλου ακτινικής μετατόπισης στα κλινικά δεδομένα ενός νεαρού ατόμου στις ΠΕ: (α) IM-L, (β) L-IM, (γ) IM-A, (δ) A-T 0.6 model experimental data 0.5 radial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (α) 34

0.6 model experimental data 0.5 radial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (β) 0.6 model experimental data 0.5 radial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (γ) 35

0.6 model experimental data 0.5 radial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (δ) Σχήμα Δ1.2: Παραδείγματα προσαρμογής του μοντέλου ακτινικής μετατόπισης στα κλινικά δεδομένα ενός ηλικιωμένου ατόμου στις ΠΕ: (α) IM-L, (β) L-IM, (γ) IM-A, (δ) A-T Στο Σχήμα Δ1.3 παρουσιάζονται παραδείγματα προσαρμογής του μοντέλου για την αξονική μετατόπιση που ορίζεται από τις σχέσεις (57), (58) στις πραγματικές καμπύλες μετατόπισης που υπολογίσθηκαν με τη μέθοδο της οπτικής ροής ελαχίστων τετραγώνων με βάρη από ακολουθία εικόνων υπερήχων ενός υγιούς τοιχώματος νεαρού ατόμου για το άνω και το κάτω τοίχωμα του έσω χιτώνα, τον μέσο και τον έξω χιτώνα. Στα Σχήματα Δ1.4 παρουσιάζονται παρόμοια παραδείγματα για την περίπτωση καρωτίδας ατόμου μεγαλύτερης ηλικίας. 36

0.6 model experimental data 0.5 axial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (α) 0.6 model experimental data 0.5 axial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (β) 37

0.6 model experimental data 0.5 axial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (γ) 0.6 model experimental data 0.5 axial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (δ) Σχήματα Δ1.3: Παραδείγματα προσαρμογής του μοντέλου αξονικής μετατόπισης στα κλινικά δεδομένα ενός νεαρού ατόμου στις ΠΕ: (α) IM-L, (β) L-IM, (γ) IM-A, (δ) A-T 38

0.6 model experimental data 0.5 axial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (α) 0.6 model experimental data 0.5 axial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (β) 39

0.6 model experimental data 0.5 axial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (γ) 0.6 model experimental data 0.5 axial displacement(mm) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 time(sec) (δ) Σχήματα Δ1.4: Παραδείγματα προσαρμογής του μοντέλου αξονικής μετατόπισης στα κλινικά δεδομένα ενός ηλικιωμένου ατόμου στις ΠΕ: (α) IM-L, (β) L-IM, (γ) IM-A, (δ) A-T 40

Δ2. Πίνακες με τιμές παραμέτρων Στον Πίνακα Δ2.1 παρουσιάζονται οι τιμές των παραμέτρων του μοντέλου της ακτινικής μετατόπισης και οι τιμές του μέσου τετραγωνικού σφάλματος για κάθε θέση του τοιχώματος της καρωτίδας. Σημειώνεται ότι στις διαχωριστικές επιφάνειες IM-L και L-IM οι παράμετροι Θ 0, l και L δεν εμφανίζονται λόγω του μηδενισμού του όρου 2 2 ( Ra R ). Πίνακας Δ2.1 : Μέσες τιμές (± τ.α.) των παραμέτρων του μοντέλου για την ακτινική μετατόπιση και του RMSE για διαφορετικές θέσεις του τοιχώματος της καρωτίδας. * Υποδεικνύει στατιστικά σημαντική διαφορά από το L-IM, υποδεικνύει στατιστικά σημαντική διαφορά από το IM-A, # υποδεικνύει στατιστικά σημαντική διαφορά σε σύγκριση με το υγιές τοίχωμα. ΑΤΟΜΑ ΝΕΑΡΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ IM-L L-IM IM-A A-T A m, mm 2 13,20 ± 0,47 13,04 ± 0,74 13,98* ± 0,66 14,10* ± 0,69 A 1, mm 2-0,89 ± 0,45-0,66 ± 0,47-0,80 ± 0,42-0,58 ± 0,42 A 2, mm 2-0,47 ± 0,13-0,46 ± 0,19-0,47 ± 0,18-0,41 ± 0,19 A 3, mm 2-0,24 ± 0,22-0,39 ± 0,13-0,27 ± 0,24-0,26* ± 0,21 A 4, mm 2-0,12 ± 0,14-0,15 ± 0,07-0,12 ± 0,14-0,13 ± 0,12 A 5, mm 2-0,04 ± 0,09-0,07 ± 0,08-0,05 ± 0,12-0,08 ± 0,06 B 1, mm 2 1,04 ± 0,46 1,08 ± 0,31 0,99 ± 0,33 0,95* ± 0,33 B 2, mm 2 0,03 ± 0,24 0,24 ± 0,15 0,15 ± 0,29 0,16 ± 0,26 B 3, mm 2-0,10 ± 0,17-0,02 ± 0,14-0,07 ± 0,19-0,02 ± 0,17 B 4, mm 2-0,11 ± 0,07-0,13 ± 0,10-0,13 ± 0,14-0,09 ± 0,11 B 5, mm 2-0,10 ± 0,12-0,10 ± 0,08-0,08 ± 0,10-0,06 ± 0,09 Θ 0, degrees - - 164,89 ± 0,07 165,08 ± 0,59 l - - 1,78 ± 0,00 1,78 ± 0,00 L - - 1,02 ± 0,00 1,02 ± 0,00 RMSE, (mm) 0,02 ± 0,02 0,02 ± 0,01 0,02 ± 0,02 0,02 ± 0,01 41