7 Σειρές Fourier Κεφάλαιο 7 Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier Mια συνάρτηση : R καλείται εριοδική µε ερίοδο >, αν ισχύει ( x) = ( x+ ) για κάθε x R και ο είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οοίο ισχύει αυτή η σχέση Μια εριοδική συνάρτηση αρκεί να µελετηθεί σε οοιοδήοτε διάστηµα µήκους ίσο µε την ερίοδό της Παράδειγµα Οι συναρτήσεις si x,cos x είναι εριοδικές µε ερίοδο, ενώ οι συναρτήσεις ta x,cot x είναι εριοδικές µε ερίοδο Οι συναρτήσεις si x, cos x, ( N ) είναι εριοδικές µε ερίοδο / Ορισµός 7 Εστω : R είναι µια -εριοδική και αόλυτα /, / Ο χώρος ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [ ] αυτών των συναρτήσεων συµβολίζεται µε L Ορισµός 7 Έστω L Τότε η σχέση ix / ˆ = ( x) e, (7) / ορίζει µια αεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε συνάρτηση L να ˆ, η { } αντιστοιχεί µοναδική ακολουθία µιγαδικών αριθµών οοία καλείται ακολουθία (µιγαδικών) συντελεστών Fourier της Η τριγωνοµετρική σειρά (αν έχει νόηµα) ˆ = i x = S x = e, (7) καλείται σειρά Fourier (σε µιγαδική µορφή) της συνάρτησης Αό την (7) έχουµε 6
/ ix ˆ / x x = ( x) e ( x) cos isi = / / a ib =, όου / a = ( x) / / x a = ( x)cos,,, / = / x b = ( x)si / (73) Θέτοντας όου το βρίσκουµε ˆ a ib a + ib ( ) = =, οότε αό τη σχέση (7) σε συνδυασµό µε την (73) αίρνουµε ix ix ix = ˆ = ˆ + ˆ + ˆ S x e e e = = = ˆ ˆ = + e ˆ + e = ix ix a ib x x a + = + cos isi = a ib x x + cos isi + και µετά αό στοιχειώδεις ράξεις ροκύτει µια ισοδύναµη µορφή του ανατύγµατος Fourier της (σε ραγµατική µορφή): 7
x x S ( x) = a + acos+ bsi =, (74) όου οι συντελεστές a, b, =,, είναι όως στην (73) και καλούνται είσης συντελεστές Fourier της Το άθροισµα ή N x x SN, ( x) = a + acos+ bsi = = N / SN, ( x) = e N ix καλείται N -οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier S x της συνάρτησης στο σηµείο x σε ραγµατική ή µιγαδική µορφή Σηµειώνουµε ότι η σειρά Fourier (7) (ή (74)) δεν συγκλίνει ααραίτητα και όταν συγκλίνει δεν συγκλίνει υοχρεωτικά στη συνάρτηση Παρ όλα αυτά έχουµε: Πρόταση 7 Αν, g είναι συνεχείς εριοδικές συναρτήσεις, τότε ˆ = gˆ = g Οσον αφορά τη συµεριφορά της ακολουθίας των συντελεστών Fourier ισχύει το ακόλουθο: Λήµµα 7 (Riema-Lebesgue) Αν L, τότε η ακολουθία των συντελεστών Fourier της είναι µηδενική, δηλαδή ή ισοδύναµα lim ˆ =, + lim a + = limb = + Οσον αφορά τη σηµειακή σύγκλιση της σειράς Fourier έχουµε το ακόλουθο: Θεώρηµα 7 (Dirichlet) Εστω L είναι τµηµατικά συνεχής και έχει εερασµένο λήθος µέγιστα και ελάχιστα στο [ /, /], 8
τότε lim S N N, ( x) + + x x = Υενθυµίζουµε ότι οι αριθµοί ( x + ), ( x ) είναι το εκ δεξιών και εξ αριστερών όριο της στο σηµείο x αντιστοίχως Παράδειγµα Η -εριοδική συνάρτηση x / ( x) = / < x < ικανοοιεί τις συνθήκες Dirichlet στο διάστηµα [, ] υστυχώς δεν είναι αληθές ότι κάθε µηδενική ακολουθία µορεί να γραφεί ως ακολουθία συντελεστών Fourier µιας αόλυτα ολοκληρώσιµης συνάρτησης Τότε όµως ως µορούµε να ξεχωρίσουµε ότε µια τριγωνοµετρική σειρά είναι σειρά Fourier µιας συνάρτησης; Μια ικανή συνθήκη µας δίνει το ακόλουθο Θεώρηµα 7 (Riesz-Fischer) Εστω { } c είναι µια = τετραγωνικά αθροίσιµη ακολουθία (µιγαδικών) αριθµών, δηλαδή ισχύει c < = Τότε υάρχει τετραγωνικά ολοκληρώσιµη εριοδική / συνάρτηση (δηλαδή () t dt < ) τέτοια ώστε / c = ˆ Ο διανυσµατικός χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιµων εριοδικών συναρτήσεων συµβολίζεται µε L και είναι ολύ σηµαντικός Κατ αρχήν εριέχεται στον L Στο χώρο L µορούµε να ορίσουµε ένα εσωτερικό γινόµενο ως εξής: / /, g = x g ( x ) 9
ότε, σε αναλογία µε την ευκλείδια γεωµετρία ορίζεται µια νόρµα στον L έτσι ώστε /, x = = / Με χρήση αυτής της νόρµας, λέµε ότι τα στοιχεία, g L είναι κάθετα αν και µόνον αν, g = Αοδεικνύεται δε ότι το σύνολο e ix = είναι µια βάση του χώρου αυτού, άρα για κάθε { } L υάρχει µοναδική ακολουθία συντελεστών c ( ) ώστε ix imx ix imx,, = = = c e e = c e e imx ˆ, e = c c = m m m = έτσι Eιλέον ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 73 (Ταυτότητα του Parseval) Αν L,τότε όου { },{ } ( ), (75) / ( x) = a / + a + b = a b είναι όως στην (73) Ισοδύναµα / ( x) = / = Αόδειξη Η αόδειξη ου θα δούµε δεν είναι αυστηρή εχόµενοι ότι τα σύµβολα της ολοκλήρωσης και της άθροισης µορούν να εναλλαχθούν ως ρος τη σειρά εφαρµογής τους και κάνοντας χρήση των τύων υολογισµού τριγωνοµετρικών ολοκληρωµάτων, για a, b έχουµε
/ / x x ( x) a / / acos bsi = + + = / x x a / acos = bsi + + = x x + a acos+ bsi = / x x = a + a cos si / b + = / x x = a + a cos si / b + = / x x + a cos+ b si / = m> mx mx amcos+ bmsi / x x = a + a cos si / b + = = a + ( a + b) = Σηµείωση (i) Aν η είναι ραγµατική συνάρτηση, τότε c = c (ii) Υενθυµίζουµε ότι µια εριοδική συνάρτηση καλείται άρτια αν ισχύει ( x) = ( x) για κάθε x,, ενώ καλείται εριττή αν ( x) = ( x) για κάθε x,
Αν λοιόν η είναι µια εριοδική και άρτια συνάρτηση, τότε η σειρά Fourier της αίρνει τη µορφή cos x S x = a + a = και µιλούµε για τη σειρά συνηµιτόνων της Αν η είναι µια εριοδική και εριττή συάρτηση, τότε η σειρά Fourier της αίρνει τη µορφή x S ( x) = bsi = και µιλούµε για σειρά ηµιτόνων της (iii) Aς υοθέσουµε ότι ισχύει το Θεώρηµα 7 Τότε η σειρά Fourier είναι ένας µετασχηµατισµός ου αναλύει µια εριοδική συνάρτηση στο φάσµα συχνοτήτων της (διακριτών) ηλαδή αό µια (συνεχή) συνάρτηση ροκύτει µια διακριτή ακολουθία ˆ, Το είναι η συχνότητα ου µετρά το λήθος των ταλαντώσεων ανά ερίοδο Eτσι ο αριθµός ˆ µας δίνει ένα µέτρο του κατά όσο η -ιοστή συχνότητα είναι ουσιώδης στην ανααράσταση της συνάρτησης µέσω της σειράς Fourier Με ˆ, το Θεώρηµα { } γνώση µόνον της διακριτής ακολουθίας 7 µας δείχνει τον τρόο ανακατασκευής της Παράδειγµα Αν η συνάρτηση είναι άρτια δείξτε ότι 4 / x a = ( x)cos, ( N ) b = Λύση Αό τον ορισµό έχουµε / x a = ( x)cos /
x / x = ( x)cos ( x)cos / + Mε αλλαγή µεταβλητής x = u στο ρώτο ολοκλήρωµα και λόγω αρτιότητας έχουµε: u / x a = ( u)cos du ( x)cos / + / u / x = ( u)cos du ( x)cos + 4 / x = ( x)cos Για το υολογισµό του b έχουµε: / x b = ( x)si / x / x = ( x)si ( x)si / + Οως και στον υολογισµό των a έτσι και εδώ κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής x = u στο ρώτο ολοκλήρωµα και εειδή η συνάρτηση είναι άρτια έχουµε: u / x b = ( u)si du ( x)si / + / u / x = ( u)si du ( x)si + = Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση < x < ( x) =, < x < 3
την οοία την εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο 4 (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier της (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της (iii) Να ορίσετε τη συνάρτηση κατάλληλα στα σηµεία x =,, έτσι ώστε η σειρά να συγκλίνει στη συνάρτηση για x Λύση (i) Αό τον ορισµό έχουµε Για =,, έχουµε: Η γραφική αράσταση της a = ( x) = = 4 4 x a = ( x)cos 4 cos x x = = si = Είσης: x b = ( x)si 4 si x = x = cos = cos ( ( ) ) (ii) Αό την (i) ροκύτει ότι η σειρά Fourier της είναι η S ( ( ) ) cos x ( x) = + si = 4
( ) x = + si = 4 x 3x 5x = + si si si + + + 3 5 (iii) Η συνάρτηση ικανοοιεί τις συνθήκες Dirichlet, άρα η σειρά συγκλίνει στην τιµή ( x ) στα σηµεία συνέχειας αυτής και στο ηµιάθροισµα + ( x ) + ( x ) ου ρέει να έχει στο x = είναι είναι + () = = και στο x = είναι Παράδειγµα ίνεται η συνάρτηση για x =,, Κατά συνέεια, η τιµή + ( ) = =, στο x = + () = = ( x) = x, < x< την οοία εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier αυτής (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της (iii) είξτε ότι = 6 = (iv) Κάνοντας χρήση της ταυτότητας του Parseval δείξτε ότι 4 = 4 = 9 Η γραφική αράσταση της 5
Σηµειώνουµε εδώ ότι λόγω εριοδικότητας ισχύει άντοτε = + = ( + ) + / / / x x x x x / / / / + = x x x / Λύση (i) Λόγω της αραάνω έχουµε x a = ( x) cos = x cos( x) Κάνοντας ολοκλήρωση κατά αράγοντες για αίρνουµε άρα: si x cosx = x + xcosx si x, 3 si x 4 a = x + xcosx si x 3 = Για = έχουµε a 3 x 4 x 3 3 = = = Oµοίως υολογίζουµε b = x si x cosx = + + x xsi x cosx 3 4 = (ii) Η σειρά Fourier είναι 4 4 4 S ( x) = + cosx six 3 = Μορούµε ειλέον να αρατηρήσουµε ότι αό το θεώρηµα του 6
Dirichlet ισχύει S ( x) = ( x), x, (iii) Για x = η σειρά Fourier είναι ίση µε S () 4 4 = + 3 = Τότε σύµφωνα µε το Θεώρηµα του Dirichlet η σειρά S () συγκλίνει στο + + =, άρα 3 4 4 = + = Αό την αραάνω ροκύτει ότι 4 = = 4 3 6 = (iv) Εφαρµόζουµε την ταυτότητα Parseval (75) ( ) / ( x) = ( x) a / a b = + + = Εχουµε: 4 4 6 ( x ) = x = 5 A την άλλη µεριά έχουµε 6 6 6 6 8 8 a + a + b = + + = + + 4 4 = 9 = 9 = = Αρα: 4 4 ( ) ( ) ( x) a a b = + + = 7
6 6 8 8 = + + = 5 9 5 9 4 4 4 4 4 4 = = = = = = 4 4 4 4 4 = 5 9 6 9 Ασκήσεις ίνεται η συνάρτηση ( x) εριοδικά µε ερίοδο (i) Να βρεθούν οι συντελεστές Fourier αυτής (ii) Να γραφεί η σειρά Fourier της (iii) είξτε ότι = = 8 = x την οοία εεκτείνουµε Α (i) a a 4 =, = εριττος (ii) b = = x = ( ) ( ) 4cos = x Aν, L [, ] δείξτε ότι ( ) ( ) i ˆ ( ) = 3 Aν L [ ] δείξτε ότι x + () t dt = (), 4 Aν, g [, ] L έστω είναι η συνέλιξη των, t dt x g x = t g xt dt g είξτε ότι ( g) g = 5 Υολογίστε τη σειρά συνηµιτόνων της συνάρτησης ( x) = si x την οοία εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο 4 Α si x = = cos ( x) 4 8
6 Υολογίστε τη σειρά ηµιτόνων της συνάρτησης ( x) = x την οοία εεκτείνουµε εριοδικά µε ερίοδο + ηµ ( x) Α x = 7 Υολογίστε τη σειρά Fourier της 4-εριοδικής συνάρτησης = ( x) x < x< = 4 x < x < 4 Στη συνέχεια µε χρήση της ταυτότητας Parseval δείξτε ότι 4 = 4 = 96 ( ) Α S ( x) 8 = = cos ( ) ( ) x 8 Aν, g είναι οι µιγαδικοί συντελεστές Fourier των εριοδικών συναρτήσεων, g L (, ) δείξτε ότι ( g) ( ) = ( k ) g ( k ) k= 9
7 Ο Μετασχηµατισµός Fourier Ορισµός 73 Εστω : συνάρτηση στο, συµβολικά τελεστής είναι αόλυτα ολοκληρώσιµη L : = L Τότε ο γραµµικός ix γ S γ = x e είναι καλά ορισµένος Η εικόνα S καλείται µετασχηµατισµός Fourier της Για αλότητα χρησιµοοιούµε και το συµβολισµό ˆ : = S k = k, k =,,, για τους χώρους των k αραγωγίσιµων συναρτήσεων µε συνεχή k -αράγωγο (για C : = C είναι ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων) Στο εξής θα γράφουµε C : C k = Αρχικά αναφέρουµε χρήσιµες ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier: Πρόταση 7 F Για κάθε, g L ισχύει a + bg = aˆ + bgˆ, a, b (γραµµικότητα) F Αν ( τ ) τ =, τότε F3 Για ω ισχύει: ˆ i e γτ τ γ = γ (µετάθεση στο χρόνο) ω i i e ( γ ) = ˆ ( γ ω) (µετάθεση στις συχνότητες) F4 Για a { } ισχύει: ˆ γ = a a (διαστολή) ( a ) ( γ ) 3
γ = ˆ γ, γ F5 F6 Εστω L x Αν F( x) ( γ ) = t dt και F L, τότε ˆ ˆ F ( γ) =, γ {} (αντιαράγωγος στο χρόνο) γ i και ( k ) F7 Αν,,, L x, τότε: ( k ),,,, ( k ) k ( γ ) ( γ i ) ˆ ( γ) = (αράγωγοι στο χρόνο) F8 Αν L ( ) και x ( x) L και: ( i) x τότε η είναι αραγωγίσιµη γ = γ (αράγωγος στις συχνότητες) F9 Εστω g x = xt g t dt είναι η συνέλιξη δυο συναρτήσεων, g L Τότε Λήµµα 7 Αν, g L g γ = ( γ) g( γ), γ (συνέλιξη στο χρόνο), τότε = x g x x g x Aόδειξη Αµεση, χρησιµοοιώντας τον ορισµό 73 Παράδειγµα Εστω χ[ ] ( A ) είξτε ότι ( γ ) ( A ) ηµ γ = γ Λύση Αµεση µε χρήση του ορισµού 73 [ ], x A/, A/, αλλου = > A/, A/ = 3
( Ax) ηµ Σηµείωση Αν ( x) = A>, τότε χρησιµοοιώντας τη x θεωρία ολοκληρωτικών υολοίων αίρνουµε ( γ ) χ[ ]( γ) = x A A/, A/ Παράδειγµα Εστω = [ ] ( A> ) ( γ ) χ AA, ( γ ) ηµ Aγ = A είξτε ότι Λύση Ισχύει = [ A/, A/ ] [ A/, A/] A χ χ Στη συνέχεια χρησιµοοιούµε το θεώρηµα συνέλιξης F9 και το ροηγούµενο αράδειγµα Παράδειγµα Εστω ( x) = e x είξτε ότι ( γ ) = + ( γ ) Λύση Αευθείας υολογισµός µε χρήση του ορισµού 73 Παράδειγµα Εστω ( x) = e x είξτε ότι ( γ ) Λύση Εχουµε: ( γ) ( γ ) d x i γ x e e i xe x e i γ = = x dγ = e γ x i x x i x γ γ x ( i γ x ) = i e e = ie e i e e x i x e γ e = γ =γ γ Kαταλήγουµε στην είλυση µιας οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης ης τάξης d ( γ ) + γ ( γ ) =, dγ x 3
η λύση της οοίας είναι η Αλλά: γ γ γ = e = e d γ x ( x + y ) ( ) r = e = e dy = lim e rdrdθ =, r και εφόσον > τελικά αίρνουµε ( γ ) Θεώρηµα 74 Εστω Fourier της Τότε: L = e γ r = και και είναι ο µετασχηµατισµός (α) Η είναι (οµοιόµορφα) συνεχής συνάρτηση στο (β) (αντιστροφή µετασχηµατισµού): Aν L, τότε σε κάθε σηµείο συνέχειας της γ γ i x x = e dγ (γ) (Μοναδικότητας): Aν ( γ) = γ, τότε = αντού εκτός εερασµένου λήθους σηµείων (δ) (Riema-Lebesgue): ˆ ( γ ) lim = γ Πρόταση 73 Για κάθε, g L ( ) (δηλαδή ( x) <, g( x) < ισχύει η ταυτότητα Parseval και = x g x γ g γ dγ 33
Ασκήσεις είξτε τις ιδιότητες F-F9 της ρότασης 73 Εστω ( ) L, > είξτε ότι η είναι φραγµένη k 3 Αν < =,,, t t dt k δείξτε ότι (α) είναι φορές αραγωγίσιµη στο k (β) ( k k i t t dt = ) k =,,, 4 είξτε ότι δεν υάρχει g L ( ) { } µε 5 Αν g = L a > υολογίστε τη συνέλιξη g( t) = χ χ ( t) [ a/, a/] [ a/, a/] και στη συνέχεια το µετασχηµατισµό Fourier των συναρτήσεων ( t) = χ[ a/, a/] ( t), g( t) = χ[ a/, a/] χ[ a/, a/] ( t), ht χ χ χ χ ( t) = [ a/, a/] [ a/, a/] [ a/, a/] [ a/, a/] 6 Εστω, g ( t) = χ ( t), h( t) = χ ( t) και () t g h() t [, ] [,] είξτε ότι:, t (α) () t = + t, t + (β) ( γ ) ( ) ( ) ηµ γ ηµ γ = L γ = 7 Υολογίστε το όριο λ ηµ ax i x lim e γ, ( a λ > σταθερά) λ x 8 είξτε ότι συν ( x /) ( γ ) συν γ γ < /4 συν x = x γ > /4 34
Υόδειξη: Εφαρµόστε θεώρηµα αντιστροφής 9 Για a >, δείξτε χρησιµοοιώντας ιδιότητες του at t = e + at έχει µετασχηµατισµού Fourier ότι η συνάρτηση µετασχηµατισµό Fourier ( γ ) = 3 4a 8 a iγ ( a + ( γ ) ) Υολογίστε την οικογένεια συναρτήσεων a ( γ) ( ax) e = ηµ x + ( x) > γ i x, a, γ Υόδειξη: Συνέλιξη κάοιων (γνωστών) συναρτήσεων είξτε ότι =, ab, >, a>b ( x + a )( x + b ) ab( a + b) Υόδειξη: Eφαρµογή ταυτότητας Parseval Αν L ( ), µε χρήση ιδιοτήτων υολογίστε το µετασχηµατισµό Fourier της ου ικανοοιεί την εξίσωση x+ a y dy e x e x = xa 3 Υολογίστε το µετασχηµατισµό Fourier (µε την έννοια των γενικευµένων συναρτήσεων) της µοναδιαίας βηµατικής συνάρτησης:, x > U( x) =, x < ixγ καθώς είσης και των συναρτήσεων e, συν γ x, ηµ γ x, ( k ) k δ, x, k, όου γ σταθερά 35