Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula

Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu, jo Cedrora (Centro Español de Derechos eprográficos, www.cedro.org). Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia (015-VII-) Maketazioa: IPA S.L. arte grafikoen tailerra. Donostia Ilustrazioak: Iván Landa Jenaro Guisasola, Ane Leniz eta Oier Azula EEIN. Donostia 015 ISBN: 978-84-9746-976-0 L.G.: SS-109-015 EEIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 107 0018 Donostia T 94 18 00 F 94 18 11 e-mail: erein@erein.eus www.erein.eus Inprimatzailea: Gertu Zubillaga industrialdea 9, 0560 Oñati T 94 78 09 F 94 78 1 e-mail: gertu@gertu.net

Aurkibidea FISIKA 1. gaia. Indar grabitatorioa... 7. gaia. Eremu grabitatorioa... 5. gaia. Eremu elektrikoa... 6 4. gaia. Eremu magnetikoa... 81 5. gaia. Oszilazioak... 106 6. gaia. Uhin-higidura etra soinu-uhinak... 16 7. gaia. Uhinen gainezarpena eta uhin geldikorrak... 14 8. gaia. Optika geometrikoa... 16 9. gaia. Optika ondulatorioa... 180 10. gaia. Erlatibitate berezia... 190 11. gaia. Fisika kuantikoa... 00 1. gaia. Fisika nulearra eta partikulena... 11

Problemak ebazteko eredua Ikerketa gidatzeko jarduera Problemen ebazpenaren alorreko porrot orokorrak egoera guztiz ezkorrera garamatza, itxuraz, eta hori gainditzeko asmoz, zalantzan jarriko dugu ikasgelan jarduera hori aurkeztu ohi den modua. Lehenik, gogoeta egingo dugu problematzat hartu ohi dugunari buruz. Hona hemen problemaren hainbat definizio: Pertsona bat problema bati aurre egin beharrean dago zerbait nahi duenean eta ez dakienean zer ekintza egin behar dituen hori lortzeko (Newell y Simon, 197). Gizabanako batek edo talde batek konpondu nahi edo behar duen egoera bat, eta hori konpontzeko edo ebazteko bide zuzenik ezagutzen ez duenean (Lester, 198). Gure ezagutzetara egokitzen ez den egoera bat, tentsioa eta anbiguotasuna sortzen duena. Intelektualki, gure egitura kognitiboen mugatik hurbil-hurbil dago, gure interesa sortzeko bezain hurbil (Garret, 1988). Ageriko irtenbiderik ez duen egoera (Gil et al.,1988). Definizio horiek guztiak, elkarren desberdinak badira ere, bat datoz adierazten dutenean egoera bat ezin dela problematzat hartu hura existitzen dela aitortzen ez bada, hau da, ezezaguna bada eta a priori ez badugu harentzako irtenbiderik. Hala ere, irakasleek ikasgelan problema izenaz egin ohi ditugun jarduera askok ez diete jarraitzen problema batek izan beharko lituzkeen oinarrizko ezaugarri horiei, izan ere, irakasleak modu ordenatuan azaltzen du horien bitartez egoera bat eta oso ondo ezagutzen du horrentzako irtenbidea; beraz, ez dago zalantza izpirik, beretzat ez baita benetako problema bat, nahiz eta ikasleentzat hala izan. Ikasleak erantzuna ikastea eta antzeko kasuetara aplikatzea da azken helburua. Orduan, bidezkoa da pentsatzea ikasleek ez dutela ikasiko benetako problemei nola aurre egin eta porrot egingo dutela ezagutzen dutenari buruz edozein aldaketa gertatzen denean. Problema bat ebazteak zer dakarren argitzea da problemen ebazpenari buruzko gure zalantzaren bigarren alderdi saihestezina. Eta horrekin batera bada beste galdera bat: nola aurkitu irtenbidera eramango gaituen bide hori, irteera hori? Erantzuna Zientzian bertan aurkituko dugu, zientzialariek beraientzat ezezagunak diren problemei aurre egin behar dietenean egiten dutena egin behar dugu, hau da, aztertu eta ikertu. Beti bat ez bagatoz ere zientzialariek problemak ebazteko duten moduari eta eskolaren eremuan kontuan hartu beharreko ezaugarriei buruz, funtsezko hainbat irakaspen-estrategia daude ikasleei problemak ebazteko bidean gidatzeko. Estrategia horiei buruz kontsentsu handia dago eta puntu hauetan labur daitezke:

a) Azterketa kualitatibo bat egitea, helburua argitzen laguntzeko: zer bilatzen ari den, egoeraren testuingurua hura moldatu eta sinplifikatzeko, erreferentzia teorikoaren zirriborroa egitea, aldagaiak identifikatzea, datuak bilatzea, problemaren atalak identifikatzea. b) Hipotesiak egitea sistema nola aldatu edo bilakatu litekeen aurreikusteko. Era horretara, mendekotasun harremanak ezartzen dira aldagaien artean eta garrantzi fisiko berezia duten muturreko kasuak aztertzen dira. c) Irtenbide bat bilatzeko egon litezkeen aukerak aintzakotzat hartzea eta ebaluatzea, hau da, estrategiak bilatzea, hala nola, irtenbide saioak egitea; horretarako, ekintzen deskribapen sekuentziala aurkeztuko da, legeak eta oinarrizko printzipioak identifikatuko dira, egon litezkeen irtenbideak ebaluatuko dira. d) Emaitzak aztertzea, eta orobat aztertzea azaldutako hipotesiekin zenbateko koherentzia duten; estrategia desberdinen bitartez erantzun berbera topatu den egiaztatzea, edo, bestela, mundu errealeko egoeretan zer arazo sor litezkeen kontuan hartzea. e) Beste sakontasun maila bati heltzera eramaten gaituzten ikuspegi berriak, beste eredu batzuetara hurbiltzea eta, azkenik, problema berriak finkatzea. Ikasleei problemak ebazteko prozesuan sortutako zailtasunekin laguntzeko proposatzen diren irakaskuntza-estrategiak ez du adierazitako ezaugarri bakoitzaren sekuentzia zurrun bat biltzen, ezta aplikatu beharreko errezeta bat ere, baizik eta alderantziz, ikuspegi holistiko bat, modu egokian erabili behar dena problema bakoitzean eta dagokion testuinguruan.

1. gaia: Indar grabitatorioa 1. NASAko zientzialariek Eguzkiaren inguruan orbita eliptikoa duen kometa berri bat aurkitu dute; kometaren periodoa 17,4 urtekoa da. Baldin badakigu Eguzkitik dagoen distantziarik hurbilena 0,1 AU dela, zenbatekoa izan daiteke kometa Eguzkitik urrunen egon daitekeen distantzia? PLANTEAMENDUA Orain arte ikusitakoaren arabera, orbita eliptikoak sortzen direnean badakigu momentu angeluarra kontserbatu egiten dela. Horrez gain, badakigu, denbora berdinean azalera berdineko elipseak egiten dituela kometak. Horrek erakusten digu Eguzkitik hurbilago dagoenean azkarrago mugituko dela eta urrunean dagoenean mantsoago. Urruntasunean izango duen abiadura periodoak baldintzatuko du; hau da, azkenean 17,4 urtekoa bada periodoa, periodo horrek esaten digu zenbat mantsotu daitekeen, zeren, esan dugun bezala, periodo oso baten bira osoa eman behar du. T 17,4 urte 0,1 UA D max? ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Kasu honetan aldagai bi ematen dizkigu enuntziatuak, periodoa eta kometatik hurbilen dagoen distantziaren datua. Periodoa eta distantziak oso lotuta daude, zenbat eta periodo handiagoa, orduan eta distantzia luzeagora irits daiteke kometa. Periodoa eta kometaren erradioaren batez besteko distantzia oso erlazionatuta daude. Batez besteko distantzia hori perihelioaren (Eguzkitik hurbilen dagoen distantzia) eta afelioaren (Eguzkitik urrunen dagoen distantzia) mende egongo da. Laburbilduz, periodoak zuzeneko erlazioa du Eguzkiaren orbitarekiko kometak izango duen batez besteko erradioarekin. Bestalde, batez besteko erradioa hurbileneko eta urruneneko distantziekin lotuta dago. Zenbat eta periodo handiagoa, orduan eta batez besteko erradio handiagoa. Batez besteko erradio horren arabera, Eguzkiarengana zenbat eta gehiago hurbildu punturik eta hurbilenean gehiago urrunduko da punturik urrunenean, eta orbita eliptikoa osatzen da horrela. EBAZPENEAKO ESTATEGIAK 1) Keplerren legearen arabera badakigu denbora-tarte berdinean orbitan zehar azalera berdina beteko duela kometak. ) Horrez gain, badakigu batez besteko distantzia, punturik hurbilenaren (perihelio) eta urrunenaren (afelio) batez bestekoa dela. r p + r r a m non: r m batez besteko distantzia, r p distantzia perihelioan (0,1 UA kasu honetan) eta r a distantzia afelioan (punturik urrunena, ariketa honen helburua). 7

) Keplerren. Legea. T Cr m 4) Badakigu Lurraren r m 1 UA dela eta periodoa 1 urte, beraz, C Keplerren legearen konstantea ateratzeko datu guztiak ditugu. SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA Beraz bi ekuaziotatik abiatzen gara, T L Cr L bien arteko zatiketa eginez gero, C, badoa. T K Cr K T K T L r K r L Horrela, kometaren batez besteko erradioa lortzen dugu: T K T L Kontuan eduki behar dugu, kometaren batez besteko erradioa puntu hurbilenaren (perihelio) eta urrunenaren (afelio) batez bestekoa dela. Beraz, Zenbakiekin eginda, T K T L r K r L fi r K / r L r r p + r a r p + r a T K K fi / r fi r / T K a L r r p L ( ) / 17,4 urte 1 urte 1UA izango da kometa egon daitekeen punturik urrunena; hau da, Eguzkiaren eta Lurraren arteko distantziaren halako 50. Kontuan izanda, Lurraren periodoaren aldean 17,4 aldiz periodo handiagoa dela, logikoa da horren urrun egotea. Kontuan izanda, r m kometarena, 5,1 UA dela, eta punturik hurbilenean 0,1 UA ra dagoela, punturik urrunenean derrigor egon behar du 50 UA ingurura. Kasu honetan, orbita oso eliptikoa da, orbita zirkular bat izatetik oso bestelakoa. 17,4 urteko periodoa eta 0,1 UA distantzia laburrena dela kontuan hartuz, ezin zitekeen besterik espero. T L 0,1UA 50,54 UA ( ) T L. Zein izango da Uranoren periodoa Eguzkiaren inguruan,,87 10 1 m orbitan mugitzen bada, Lurraren periodoa urtebetekoa bada eta Lurraren orbita 1,496 10 11 m-koa bada? LUA UANO PLANTEAMENDUA Keplerrekn legeak esaten zuen espazioan mugitzen diren astroak lege berdinen arabera mugitzen direla. Horregatik, badakigu, denbora berean azalera berean zirkuluak egiten dituela. Horrek erakusten digu Eguzkitik hurbilago dagoenean azkarrago mugituko dela, eta urrunean dagoenean mantsoago. Beraz, planeten mugimendua konparatzeko haien periodoa hartu beharko ditugu kontuan. Badakigu Uranoren periodoa Lurrarena baino askoz handiagoa izango dela. 8

ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Periodoari dagokionez, badakigu aldatu egiten dela daraman abiaduraren eta Eguzkiarekiko erradioaren arabera: T f (v, r). Lurra Euzkiaren gainazaletik gertuago egongo denez, periodo orbital txikiagoa izango duela aurreikus dezakegu. Kasu honetan, periodoa batez besteko erradioarena da, beraz, horren araberako abiadura izango dugu. Kasu honetan aldagai bi ematen dizkigu enuntziatuak, T periodoa eta Eguzkitik planeta bakoitzera dagoen batez besteko distantzia. Periodoaren berbidura, erradioaren kuboarekiko proportzionala da. EBAZPENEAKO ESTATEGIAK 1) Keplerren legearen arabera badakigu denbora-tarte berdinean orbitan zehar azalera berdina beteko duela kometak. ) Keplerren. Legea. T Cr m SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA Beraz bi ekuaziotatik abiatzen gara, eta badakigunez T L Cr L bien arteko zatiketa egin ezkero, C, kentzen da. T U Cr U T U T L r U r L Eta, orduan, hortik r U r L r U r L T U T L fi T U xt L Beraz datuak ordezkatzea baino ez zaigu falta. T U,87 10 1 1,496 10 11 1 urte 84,0 urte izango da Uranoren periodoa. Aurreko aldagaien analisiarekin bat al dator emaitza? Esan dugun guztiarekin bat dator. Hau da, Lurrarekin konparatuta distantzia handira dago, beraz, logikoa da Lurrak baino denbora askoz gehiago behar izatea Eguzkiaren inguruan bira bat emateko. 9

. Duela gutxi, asteroide berri bat aurkitu dute Europar Agentzia Espazialekoek, eta Hector izena jarri diote. Asteroide hori 5,16 UA erradioa duen orbita ia zirkularrean higitzen da Eguzkiaren inguruan, zein izango da orbita bat egiteko behar duen denbora? PLANTEAMENDUA 5,16 UA Kasu honetan planetaren asteroidearen orbitaren erradioa ematen digu enuntziatuak, eta periodoa, T, kalkulatu behar da. Asteroidearen orbita ia zirkularra dela esaten da. Marrazkia egitea komeni da beti, datu guztiak grafikoki ikusteko (begiratu marrazkia). Kontuan izanda asteroidearen orbitaren erradioa Lurrarena baino 5 aldiz handiagoa dela, periodoak ere oso handia izan behar duela aurreikusten dugu. Zer aldagairen mende dago asteroidearen periodoa? ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Harremana dago planeta baten orbitaren erradioaren eta bira osoa emateko behar duen periodoaren artean. Keplerrek, hori horrela izanik, periodoaren eta erradioaren arteko erlazioa atera zuen, non bien arteko harremana C konstante batez konplimentatzen den. Hau da, periodoaren berbidura, erradioaren kuboarekiko proportzionala delako. Periodoaren berbiduraren eta erradioaren kuboaren arteko zatidura beti konstantea, C, izango da planeta guztien kasuan. Beraz: T f (r, C) Hori jakinik Lurraren periodoa eta erradioa erabiliko ditugu asteroidearen periodoa zenbatekoa izango den jakiteko. Beraz, zer lege erabil daiteke periodoa kalkulatzeko? EBAZPENEAKO ESTATEGIAK Keplerren legearen arabera badakigu denbora-tarte berdinean orbitan zehar azalera berdina egingo duela kometak. Keplerren. Legea. T Cr m Badakigu Lurraren r m 1 UA dela eta periodoa 1 urte, beraz, C Keplerren legearen konstantea ateratzeko datu guztiak ditugu. SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA Beraz bi ekuaziotatik abiatzen gara, T L Cr L T A Cr A bien arteko zatiketa eginez gero, C kentzen da. T A T L r A r L Horrela erraz atera dezakegu asteroidearen periodoa T A. r A r A 5,16UA T A fi T r A T L r L 1UA 1 urte 11,7 urte L ( ) 10

Emaitza bat al dator aurreko aldagaien analisiarekin? Ikusten den moduan periodoa handiagoa da Lurraren periodoa baino. Problemaren aldagaien azterketan esandakoarekin guztiz bat dator. Erradio handiagoko orbita batek, periodo handiagoa du Keplerren legean adierazitako mendekotasunaren arabera. 4. 7, egunekoa da Ilargiaren orbita Lurraren inguruan. Orbitaren punturik urrunenean 406.95 km-ko distantzian badago eta hurbilenean 57.64 km-ko distantzian, zein izango da puntu bakoitzean Ilargiak izango duen abiadura? PLANTEAMENDUA Puntu bakoitzean Ilargiaren abiadura kalkulatzeko, Ilargiaren mugimenduaren ezaugarri bat erabili behar dugu. Kasu honetan ibilbide eliptikoa dela problemak berak esaten digu. Horrek zera esan nahi du, puntu batean duen abiaduraren eta lurrazalarekiko distantziaren biderkadura bera izango dela orbitaren beste edozein puntutan. 406.95 km LUA 57.64 km ILAGIA ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Momentu angeluarra kontserbatzen bada, kontuan hartu behar dira momentu angeluarrean eragiten duten aldagaiak: L f (m, r, v). Momentu angeluarra kontserbatzeko, masa aldatzen ez denez, erradioa txikia denean abiadurak handia izan behar du. Beraz, orbita eliptikoetan momentu angeluarra kontserbatzen dela jakinda, erlazio zuzena dago puntu bakoitza lurrazaletik dagoen distantziaren eta daraman abiaduraren artean. Nola kalkulatu aldagaiak eta momentu angeluarra? Kasu honetan aldagai bi ematen dizkigu, T periodoa batetik, eta Lurraren inguruan biraka ari den Ilargiak Lurrarekiko dituen bi distantzia, laburrena eta luzeena. Bestetik, Ilargiak Lurraren inguruan bira bat emateko behar duen denbora. Denbora batez besteko distantziarekin zuzenki proportzionala da, eta alderantziz proportzionala abiadurarekin. EBAZPENEAKO ESTATEGIAK 1) Ilargiaren orbitaren batez besteko distantzia kalkulatu behar da. r p + r r a m non r m batez besteko distantzia, r p distantzia perihelioan (57.64 km kasu honetan) eta r a distantzia afelioan (406.95 km) diren. ) Batez besteko distantzia edukita, periodoa jakinda eta batez besteko distantzia jakinda orbitan izango duen abiadura kalkulatu dezakegu batez besteko distantzia horretan (Lurraren erradioa kontuan hartu behar da). π π T fi v T ) Esan bezala, propietate bat momentu angeluarraren kontserbazioa da, eta kontuan izanik Ilargiak beti masa berdina duela, honako hau geldituko litzateke. r 1 v 1 m 1 r v m 1 r v m 1 11

Laburbilduz, lehen urratsa batez besteko distantzia kalkulatzea litzateke. Distantzia hori edukita, eta kontuan izanda Lurraren zentrora dagoen distantzia erantsi behar zaiola, batez besteko distantziari dagokion abiadura kalkula dezakegu. Eta azkenik, momentu angeluarraren kontserbazioaren printzipioa erabiliko dugu. SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA 1) Lurrazaletik Ilargiaren batez besteko distantzia kalkulatzea izango da lehenengo urratsa. r m r p + r a (57.64 + 406.95) 8.019 km izango da batez besteko distantzia. ) Batez besteko distantzia erabilita, Lurraren erradioa kontuan hartuta eta periodoa ezagututa, abiadura aterako dugu (kontuz unitateekin, m/s, jarri). π π (6,7 10 6 + 8.019 10 ) v 1.04,6 m/s T 4 ordu 600 s 7, egun x 1 egun 1 ordu ) Orbitaren puntu baten abiadura jakinda, beste puntuena ere jakin daiteke, Lurretik gertu eta urrun. r 1 v 1 8.019 km 1.04,6 m/s r 1 v 1 r v fi v 1.105,1 m/s r 5764 km r 1 v 1 8.019 km 1.04,6 m/s r 1 v 1 r v fi v 1.08,8 m/s r 406.95 km Bat al dator emaitza aurreko aldagaien analisiarekin? Planteamenduan esaten genuen moduan, argi gelditu da Ilargia Lurretik hurbilago dagoenean abiadura handiagoan mugitzen dela eta Lurretik urrunago dagoenean, aldiz, motelago. Logikoa den moduan, batez besteko distantziaren abiadura bien erdian kokatzen da. 5. Europa izena gure kontinentea izendatzeko erabiltzeaz gain, Jupiterren inguruan dabilen satelite bat da. Europaren orbitaren batez besteko distantzia 6,71 10 8 m dela eta bira bakoitza emateko,55 egun behar dituela jakinda, kalkulatu dezakegu Jupiterren masa? Zein da? PLANTEAMENDUA JUPITE 6,71 10 8 m EUOPA Kasu honetan, sateliteak Jupiterri buelta emateko behar duen periodoa eta erradioa ematen dira enuntziatuan. Pentsa daiteke emandako distantzia Jupiterren zentrotik abiatuta dela. Marrazkia egitea komeni da, datu guztiak grafikoki ikusteko (begiratu marrazkia). Marrazkian ikusten denez, ez da kontuan hartzen Europa sateliteari beste astroek (adibidez, Eguzkiak) eregiten dioten indar grabitatorioa. Zer aldagai hartu behar dira kontuan masa kalkulatzeko? Badago erlaziorik masarekin eta emandako datuekin? 1

ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Argi dago zenbat eta handiagoa izan erradioa orduan eta handiagoa izango dela periodoa. Aldi berean, periodoa zuzenki lotuta dago planetak duen abiadura orbitalarekin, beraz, T E f (v E, r). Eta bi horiek, erradioaren araberakoak, Jupiter eta Europa satelitearen arteko grabitate indarraren mende daude. Beraz, periodoa zuzenean lotuta dago Jupiter eta Europa satelitearen artean dagoen grabitate-indarrarekin. Grabitate-indarra, satelitea Jupiterretik dagoen distantziaren araberakoa izango da, eta baita Jupiterrek duen masaren araberakoa ere. Distantzia horren arabera, sateliteak abiadura orbital jakin bat izango du, periodoarekin lotuta egongo dena. Beraz, horien guztien arteko erlazioa planteatu beharko da, Jupiterren masa zein den jakiteko. Hau da: F f (r, m J ) Azelerazioa abiadura orbitalarekin zeharo lotuta dago, hau da, Jupiterrek azelerazio berdina eragingo die inguruan dituen objektuei, baina horiek dauden distantziaren arabera, abiadura orbital handiagoa (zenbat eta hurbilago) edo abiadura orbital txikiagoa (zenbat eta urrunago) izango dute. Abiadura orbital horrek definituko du (grabitate-indarrak emandako azelerazioaren eta distantziaren araberakoak) zer periodu izango duen Europa sateliteak Jupiterren inguruan. Hau da, a E f (v E, r) Zer lege erabil daiteke aldagai horiek lotzeko eta periodoa kalkulatzeko? EBAZPENEAKO ESTATEGIAK Lehen urratsa Newtonen grabitatearen legea eta Newtonen. legea erlazionatzea da. m Newtonen grabitazio unibertsalaren legea. E m F G J r F m E a E da Newtonen. legea. Beraz, bi indar hauek berdinak badira, horrela geldituko litzateke. m E m J m F G m J E a E fi G a E r Azelerazio zentripetoa honela definitzen da. v E a E r Abiadura orbitala, periodoa eta erradioaren arteko erlazioa: π r π r T fi v v T Behin datu horiek kalkulatu ondoren, horien arteko erlazioak erabiliz, Jupiterren masa kalkulatu dezakegu. SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA r Orduan, lehenik eta behin, abiadura ordezkatuko dugu indarren ekuazioan: m J m J V G a E r E fi G r r Abiadura hori abiadura orbitalarekin ordezka dezakegu, eta kontuan hartu aurreko ekuazioan erradioa sinplifikatu daitekeela eta horrela geldituko litzatekeela. 1

m J askatuz, hau da Jupiterren masa, m J 4 π r 4 π r G fi m r T J T G Datuak ordezkatuko ditugu ondoren, baina adi ibili behar da unitateekin. 4 π (6,71 10 8 ) m J 4 ordu 600s,55 egun 1 egun 1 ordu 6,67 10 ( ) -11 1,48 10 7 kg Wikipedian Jupiterren masa 1,9 x 10 7 kg dela agertzen da. Zergatik ez da gure emaitza horren berdina? (Begiratu planteamenduko baldintzak) Emaitza bat al dator aldagaiei buruzko aurreko analisiarekin? Sateliteak periodo laburra duela,,55 egunekoa, eta bien arteko distantzia Lurraren eta Ilargiaren artekoaren antzekoa dela kontuan izanda, erraz ondoriozta daiteke Lurrak baino askoz ere masa handiagoa duela. Astronautak LUA 400 km 6. Askotan entzun da, astronautak espazioan daudenean grabitateak ez duela eraginik beren gainean. Esaera horiek gezurra ala egia dira? Kalkulatu: zer indar eragingo die Lurrak lurrazaletik 400 km-ra espazio-ontzi batean dauden astronautei? Orduan, zergatik izango dute sentipen hori? PLANTEAMENDUA Problema planteatzeko aztertzen den sistemaren marrazkia egitea komeni da (ikusi marrazkia). Kasu honetan, bi objekturen arteko grabitazio-indarra Newtonen grabitazio unibertsalaren legeak baldintzatzen du. Bi objektuen masaren (Lurrarena eta astronautena) eta beraien arteko distantziaren araberakoa izango da. Zer aldagai eta erlazio hartu behar dira kontuan astronautaren gaineko indarra kalkulatzeko? ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Problema ebazteko, grabitate-indarra kuantifikatzeko kontuan hartu behar diren aldagaiak honako hauek dira: Lurraren masa, astronauten masa eta beraien arteko distantzia, F f (m E, m A, r). Beraien arteko mendekotasuna Newtonen grabitazio unibertsalaren legeak definitzen du. EBAZPENEAKO ESTATEGIAK Lehen urratsa Newtonen grabitatearen legea eta Newtonen. legea erlazionatzea da. m L m Newtonen grabitazio unibertsalaren legea. F -G A r Erabili behar ditugun aldagaiak definitu: Lurraren masa: M L 5,97 10 4 kg Astronauta baten masa, M A 80 kg, pertsona heldu bati dagokion masa. distantzia, 6,7 10 6 m + 4 10 5 m, Lurraren erradioaren eta astronautak dauden lurrazaletik 400 km-ko distantziaren arteko batura izango da. 14

SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA Orduan, kalkulatu dezakegu astronautaren eta Lurraren arteko grabitate indarra: F -6,67 10 11 5,97 10 4 80 (6,7 10 6 + 4 10 5 ) -696, N-eko indarra eragiten dio Lurrak astronautari. Emaitza bat al dator aurreko aldagaien analisiarekin? Ikusten den moduan, Lurrak grabitate-indar bat eragiten du astronautaren gainean, nahiz eta 400 km-ra egon. Gainera, grabitate-indar hori nahiko altua da, kontuan hartzen badugu lurrazalean 784 N-eko indarra eragingo liokeela; hau da, ez da asko txikitzen espazioan 400 km-ra edo lurrazalean Lurrak egindako indarra. Orduan, zergatik dute astronautek grabitaterik ez edukitzearen sentipena? Erorketa librean jausten ari direlako etengabe, nahiz eta espazio-ontziaren eta Lurraren arteko indar-erakarpenagatik orbita zirkularra izan. Orbita zirkularra duenez, indar zentripetoa izan behar du, eta indar hori indar grabitatorioa da. Beraz, pisua du eta horregatik du orbita zirkularra. Baina, horrek ez du esan nahi grabitaterik ezaren sentipena eduki ezin denik. Hori bera gertatzen da barraketako tresna batzuetan erorketa librea denean edo NASAk egiten dituen frogetan. Erorketa librean grabitaterik ez edukitzearen antzeko sentipena izaten dute. 7. Lurraren periodoa (1 urte) eta Eguzkiaren inguruan egiten duen orbitaren batez besteko distantzia (1,496 10 11 m) eta G-ren balioa jakinda, esan zein den Eguzkiaren masa. PLANTEAMENDUA Aztertutako sistemaren marrazkia egiten hasiko gara. Kasu honetan enuntziatuak ematen digun distantzia Lurraren zentrotik kalkulatua da. Periodoa neurtzea planeta baten masa neurtzeko erabiltzen den teknika bat da. Periodoa zuzenean lotuta baitago Eguzkiaren eta Lurraren artean dagoen grabitateindarrarekin. Eguzkia 1,496 10 11 m LUA ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Argi dago erradioa zenbat eta handiagoa periodoa ere orduan eta handiagoa izango dela. Aldi berean, periodoa planetak duen abiadura orbitalarekin zuzenki lotuta dago, beraz, T E f (v E, r). Beraz, periodoa zuzenean lotuta baitago, Eguzkia eta Lurraren artean dagoen grabitate-indarraren artean. Grabitate-indarra, Lurra dagoen distantziaren araberakoa izango da, eta baita Eguzkiak daukan masaren araberakoa ere. Distantzia horren arabera, Lurrak abiadura orbital jakin bat izango du, periodoarekin lotuta egongo dena. Beraz, horien guztien arteko erlazioa planteatu beharko da, Eguzkiaren masa zein den jakiteko. Hau da: F f (r, m J ) Azelerazioa erabat lotuta dago abiadura orbitalarekin, hau da, Eguzkiak azelerazio bera eragingo die inguruan dien objektuei, baina horiek dauden distantziaren arabera, abiadura orbital handiagoa (zenbat eta hurbilago) edo abiadura orbital txikia- 15

goa (zenbat eta urrunago) izango dute. Abiadura orbital horrek (grabitate indarrak emandako azelerazioa eta distantziaren araberakoa) Lurrak Eguzkiaren inguruan izango duen periodoa definituko du. Hau da, a E f (v E, r) Zer lege erabil daiteke aldagai horiek lotzeko eta periodoa kalkulatzeko? EBAZPENEAKO ESTATEGIAK Lehen urratsa Newtonen grabitatearen legea eta Newtonen. legea erlazionatzea izango da. m L m Newtonen grabitazio unibertsalaren legea. F G E r F m L a L da Newtonen. legea, eta bi indar horiek berdinak dira. Beraz, F G m L m E m E r m a fi G L L r a L Azelerazio zentripetoa honela definitzen da. a L V L r Abiadura orbitala, periodoa eta erradioaren arteko erlazioa π r π r T fi v v T Behin datu horiek kalkulatuta, horien arteko erlazioak erabiliz, Jupiterren masa neur dezakegu. SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA Orduan, lehenik eta behin, abiadura ordezkatuko dugu indarren ekuazioan: m E r m E r G a L fi G v L r Abiadura hori abiadura orbitalarekin ordezkatu dezakegu; kontuan izan aurreko ekuazioan erradioa sinplifikatu daitekeela. m E π r m 4 π r G r T fi G E r T ( ) m J askatuz, hau da, Jupiterren masa, m E 4 π r 4 π r G fi m r T E T G Orain datuak ordezkatuko ditugu (adi unitateekin). 4 π (1,496 10 11 ) m E 65 egun 4 ordu 600s 1 urte 1 urte 1 egun 1 ordu ( ) 6,67 10-11 1,99 10 0 kg Emaitza bat al dator aurreko aldagaien analisiarekin? Emaitzak erakusten du Eguzkiaren masa Lurraren masa baino 1.000.000 aldiz handiagoa dela. Guztiz logikoa da hori, Eguzkiaren masak oso handia izan behar baitu; kontuan hartu grabitate-indarra eragiten diela Eguzki-sistemako astro guztien erdian kokatuta, beraz, beharrezkoa da masa izugarria izatea. 16

8. Urrutiko galaxia bateko M-545 planeta S-4 eguzki handiaren inguruan momentu angeluar konstantez mugitzen da. Planeta periheliotik pasatzean, Eguzkitik 1,0 10 15 m-ra, 5 10 4 m/s-ko abiadura darama. Zer abiadura izango du planeta horrek afelioan, baldin eta, 10 15 m distantziara badago S-4 Eguzkitik? PLANTEAMENDUA 1 10 15 m M-545 Sistemaren marrazkia egiten da gorputzak eta interakzioak adierazteko. Enuntziatuan adierazten den moduan, Eguzkiaren inguruko planeten mugimenduak momentu angeluarra kontserbatzen du., 10 15 m S-4 ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Momentu angeluarra kontserbatzen bada, momentu angeluarrean eragiten duten aldagaiak hartu behar dira kontuan: L f (m, r, v). Momentu angeluarra kontserbatzeko, masa aldatzen ez denez eta erradioa txikia bada, abiadurak handia izan behar du. Beraz, orbita eliptikoetan momentu angeluarra kontserbatzen dela jakinda, puntu bakoitzak lurrazaletik duen distantziaren eta daraman abiaduraren artean harreman zuzena dago. Kasu honetan, Eguzkiarekiko dituen bi distantzia, laburrena eta luzeena, ematen dizkigu. Eta horrez gain, beste puntu bateko distantzia ematen digunez, zuzenean kalkulatu dezakegu beste abiadura. Nola kalkulatu aldagaiak eta momentu angeluarra? EBAZPENEAKO ESTATEGIAK Momentu angeluarraren kontserbazioak esan nahi du M-545 planetak puntu batean duen abiadura eta S-4 distantziaren biderkadura berdinak izango direla orbitaren beste edozein puntutan. Beraz, puntu batean dugun abiadura eta Eguzkiarekiko distantzia jakinda, beste puntu batera Eguzkitik dagoen distantzia jakinda, abiadura kalkulatu dezakegu. Beraz: L 1 L r 1 v 1 m p r v m p SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA Planetak Eguzkiarekiko puntu batean duen distantzia eta abiadura jakinda, zuzenean atera dezakegu beste abiadura. r 1 v 1 r v fi v r 1 v 1 r 1 10 15 m 5 10 4 m/s,7 10, 10 15 m 4 m/s Emaitza bat al dator aurreko aldagaien analisiarekin? Aldagaien azterketan esaten genuen moduan, argi gelditu da S-4 Eguzkitik hurbilago dagoenean abiadura handiagoan mugitzen dela M-545 planeta, eta urrunago dagoenean, aldiz, motelago. Planetak Eguzkiarekiko duen distantzian aldea distantzia bikoitza baino gehiagokoa denez, proportzio berean txikiagoa da abiadura punturik urrunenean. 17

9. Nazioarteko Espazio Estazioak 80.000 kg-ko masa du, eta orbita zirkularra deskribatzen du Lurraren inguruan, lurrazaletik bataz besteko 60 km-ko altueran. Goi-atmosferarekin duen marruskadura dela-eta, altuera galtzen du etengabe, beraz, hori dela eta aldiro zuzenketak egin behar zaizkio. Demagun, arrazoi horregatik estazioa 40 km-ko altuerara jaitsi dela. Kalkulatu: a) Abiadura orbitalak, 40 km eta 60 km-ko altueretan. b) Beharrezko energia, estazioa berriro ere orbitarik altuenera eramateko. c) Zein da periodoak jasango dituen aldaketak orbita bakoitza kontuan izanda? Datuak G 6,67 10-11 N m kg - ; M Lurra 5,99 10 4 kg; L 6,7 10 6 m. PLANTEAMENDUA (a) ISS (b) ISS Problema ulertzeko argi izan behar dugu ISS espazio-ontziari zer indar eragiten dion Lurrak. Indar hori, ISS eta Lurraren arteko distantziaren araberakoa izango da. Modu berean, ISS abiadura orbitala ere, Lurrarekiko dagoen distantziaren mende dago, zenbat eta hurbilago egon, orduan eta abiadura orbital handiagoa izango du. Bere orbitara bueltatzeko beharko duen energia, bi puntuetan ISS estazioak duen energia mekaniko aldea (energia zinetikoa gehi energia potentziala) izango da. Periodoari dagokionez, badakigu daraman abiaduraren eta Lurrarekiko erradioaren arabera aldatzen dela. Kontuan hartuta aurretik badakigula punturik baxuenean abiadura orbital handiagoa izango duela eta Lurraren gainazaletik gertuago egongo dela, periodo orbital txikiagoa izango duela aurreikus dezakegu. LUA 60 km LUA 40 km ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Honako hauek dira problema ebazteko kontuan hartu behar diren aldagaiak. 1) Abiadura orbitala. Abiadura orbitala Lurraren masaren eta Lurraren gainazaletik dagoen distantziaren mende dago: v f (M L, ). Indar grabitatorioa distantziaren mende dagoenez, Lurraren gainazaletik zenbat eta hurbilago egon, abiadura orbital handiagoa duela pentsa dezakegu. ) Planteamenduan energia ere kontuan hartzen da. Ariketaren enuntziatuak energia-galera bat dagoela dio, eta horregatik galtzen duela altuera. Horregatik, badakigu energia eman beharko diogula berriz bere altuerara itzul dadin. Horrez gain, energia mekanikoa energia zinetikoaren eta energia potentzialaren mende dago: E m f (E z, E p ). Horiek abiadura orbitalaren eta lurrazalarekiko distantziaren mende daude hurrenez hurren: E m f (E z, E p ) f (v, ). Zenbat eta abiadura gehiago, orduan eta energia zinetiko gehiago, eta zenbat eta energia potentzial gehiago, orduan eta erradio handiago. ) Orbita-periodoa ere kontuan hartu behar da. Orbita-periodoa Lurrarekiko distantziaren eta abiadura orbitalaren mende dago: T f (, v). Kasu honetan, bigarren puntuan, abiadura orbital handiagoa izan eta gainera Lurretik hurbilago badago, pentsa dezakegu periodo orbital txikiagoa izango duela. 18

EBAZPENEAKO ESTATEGIAK Ebazpenari begira, gauza argi izan behar ditugu. 1) Abiadura orbitalaren eta Lurrarekiko distantziaren arteko erlazioa. M T M T v G fi v G abiaduraren ekuazioa, Newtonen legeetatik ondorioztatzen da. ) Energia mekanikoa puntu bakoitzean zein izango den. E mek E Z + E p a. Energia zinetikoa 1 1 E Z m ISS v m ISS G M T b. Energia potentziala E p -G M T m ISS c. Energia mekaniko osoa 1 E mek E Z + E p G M T m ISS M T m +( -G ISS ) -G M T m ISS ) Periodo orbitalaren, abiadura orbitalaren eta lurrazalarekiko distantziaren arteko erlazioa. T π v Hortaz, bi puntuetan abiadura orbitala kalkulatzea da lehen urratsa. Ondoren, abiadura horiek erabilita, zenbat energia behar izan den kalkulatu dezakegu (edo, ekuazioetan jartzen duen moduan, abiadura kontuan hartu gabe ere egin daiteke). Eta, azkenik, puntu bakoitzeko abiadura orbitalarekin eta lurrazalarekiko distantziarekin periodo orbitala aurkitu dezakegu. SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA a) Lehen zatian, posizio bakoitzean abiadura zein izango den kalkulatu behar da. Kasu honetan kontuan izan behar da Lurraren zentrotik neurtu behar dela distantzia, beraz, Lurraren erradioari gehitu beharko diogu lurrazaletik zenbateko distantziara dagoen estazioa. a. 1 puntua, 40 km-ra. M 5,99 10 4 T v 1 G 6,67 10-11 7716,41 m/s 6,7 10 6 +,4 10 5 b. 1 puntua, 60 km-ra. M 5,99 10 4 T v G 6,67 10-11 7704,9 m/s 6,7 10 6 +,6 10 5 Aurretik ikusi bezala, abiadura handiagoa darama ISS estazioak lehen orbitan bigarren orbitan baino. Altueren diferentziak hain handiak ez direnez, abiaduraren artekoak ere ez. 19

b) Zein izango da beharrezko energia estazioa berriro bere lekura itzultzeko? W DE mek E mek E mek 1 Aurretik argitu dugun moduan, lehenengo orbitaren (40 km) energia mekanikoa honako hau izango da. 5,99 10 4,8 10 5 E mek 1-6,67 10-11 -8,4 10 (6,7 10 6 +,4 10 5 ) 1 J Bigarren orbitaren (60 km) energia mekanikoa honako hau izango da. E mek -6,67 10-11 Beraz, egin beharreko lana, guztira: 5,99 10 4,8 10 5 (6,7 10 6 +,6 10 5 ) W DE mek E mek E mek 1-8,1 10 1 J (-8,4 10 1 J) 10 10 J logikoa den moduan, energia-galera baten bidez (goi-atmosferarekin duen marruskadura) energia galdu baldin badu eta horrekin batera altuera, altuera berdinera igo ahal izateko, energia eman beharko zaio ISS estazioari. c) Orbita bakoitzaren periodoaren arteko aldea zein izango den jakiteko, honako hau egingo dugu. Aurretik esan bezala, lehenengo orbita azkarragoa izango da. Lehen orbitaren periodoa 40 km. π 1 π (6,7 10 6 +,4 10 5 ) T 1 v 1 7716,41 Bigarren orbitaren periodoa 60 km. -8,1 10 1 J 546,7 s T π π (6,7 10 6 +,6 10 5 ) v 7704,9 5488,15 s Beraz, T T 1 5488,15 s 546,7 s 4,45 s Emaitza bat al dator aurreko aldagaien analisiarekin? Ikusten denez, aurretik egin ditugun hausnarketak baliozkoak izan dira. Hau da, Lurretik hurbilen dagoenean, ISS estazioak abiadura handiagoa du, eta baita periodo orbital txikiagoa ere. Ikusten denez, diferentzia ez da hain handia, baina gehiago erortzen utziko balitzateke handiagoa izango litzateke diferentzia, abiadurari zein periodoari dagokionez. 0

10. Martek Eguzkiaren inguruan deskribatzen duen orbitaren batez besteko distantzia Lurrak deskribatzen duena baino 1,5 aldiz handiagoa da. Orbita zirkularrak direla dioen hurbilpena ontzat hartuta, kalkulatu Marteren urte batek zenbat iraungo lukeen. Kalkulatu Marteren eta Lurraren momentu angeluarren koefizienteak Eguzkiaren erdigunearekiko. Datuak G 6,67 10-11 N m kg - ; M Lurra 5,97 10 4 kg; M Marte 6,4 10 kg; Lurrean urtea 65 egun PLANTEAMENDUA Aztertzen den sistema eta datuak eta eragiten diren indarrak marrazten dira (ikusi marrazkia). Galderak bi parte nahiko bereiziak ditu. Alde batetik, a) Marteren urteak zenbat irauten duen kalkulatu behar da; beste aldetik, b) Lurraren eta Marteren arteko L momentu angeluarren koefizientea L aurkitu nahi da. L M Badakigu Lurraren r m 1 UA dela eta periodoa 1 urte, beraz, C Keplerren legearen konstantea ateratzeko datu guztiak ditugu. Marteren urtea esaten denean, Eguzkiaren inguruan bira bat emateko behar duen periodoa esan nahi da. Zer aldagai hartu behar dira kontuan galderei erantzuteko? 1 UA 1,5 UA LUA MATE ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA a) Periodoari dagokionez, badakigu aldatu egiten dela daraman abiaduraren eta Eguzkiarekiko erradioaren arabera: T f (v, r). Kontuan hartuta abiadura orbital handiago izango duela Eguzkitik gertuago dagoenak, Lurrak periodo orbital txikiagoa izango duela aurreikusi dezakegu. Kasu honetan, periodoa batez besteko erradioarena da, beraz, horren araberako abiadura izango dugu. Kasu honetan bi aldagai ematen dizkigu enuntziatuak: T periodoa eta Eguzkitik planeta bakoitzaren batez besteko distantzia. Periodoaren eta Lurraren artean erlazio handiagoa dago, periodoaren berbidura erradioaren kuboarekiko proportzionala delako. b) Momentu angeluarren arteko erlazioa kalkulatu behar dugu. Momentu L M angeluarra astro bakoitzaren orbitaren puntu guztietan kontserbatzen da. Momentu angeluarra, Eguzkira arteko batez besteko distantziaren, planetaren masaren eta abiadura orbitalaren mende dago L f (r,m,v). Zer lege eta definizio erabil daiteke aldagaiak erlazionatzeko eta eskatutako magnitudeak kalkulatzeko? L L EBAZPENEAKO ESTATEGIAK a) Periodoa; Keplerren legeak erabiliko ditugularik: T Cr. Lege horien arabera badakigu astroek denbora berean azalera berdineko zirkuluak egiten dituztela Eguzkiaren inguruan. Horrek erakusten digu Eguzkitik hurbilago dagoenean azkarrago mugituko dela eta urrunean dagoenean mantsoago. Beraz, aurreikus dezakegu Marteren urtea Lurrarena baino luzeagoa izango dela. 1

Beste aldetik, periodoaren definizioa: T π v Abiadura orbitalaren eta Eguzkiarekiko distantziaren erlazioa Eguzkiaren masaren araberakoa da. Abiaduraren ekuazioa Newtonen legeetatik ondorioztatzen da. v G m E r b) Momentu angeluarrarekin ere antzeko zerbait gertatuko zaigu, hau da, badakigu Lurraren momentu angeluarra Marterena baino handiago izango dela, nahiz eta hurbilago egon, abiadura handiagoa eta masa handiagoa dituelako. Kalkulatu behar den koefizientea Lurraren momentu angeluarra Marterenarekin zatitzean lortzen dena da. Horretarako momentu angeluarra definitu behar dugu. Ikusten den moduan, planeta bakoitzak Eguzkiarekiko duen distantzia, planetaren masa eta abiadura orbitalaren mende dago. Abiadura eta erradioa elkarrekiko elkarzutak direnez, 90º jartzen da. Momentu angeluar hori orbita guztian zehar kontserbatzen da. L r m v sen90º SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA Lehen urratsa Marteren periodoa kalkulatzea da. Beraz, bi ekuazioetatik abiatzen gara, eta badakigunez r M 1,5 r L dela. T L Cr L T bien arteko zatiketa eginez gero, C, kentzen da. M r M T M Cr T M L r L Eta orduan hortik r M 1,5 r T L M T T r L L 1,5 L fi T M T L Beraz, datuak ordezkatzea baino ez zaigu falta. T M 1,5 T L 1,5 1 urte 1,87 urte 684 egun Bigarren urratsa momentu angeluarren arteko koefizientea lortzea da, L horretarako adierazpen hauek erabiliko ditugu. M L L r L m L v L L M r M m M v M } L L L M r L r L m L v L r M m M v M Abiadurak kalkulatzeko goian adierazitako espresioa erabiliko dugu. L L L L L M r L m L G M E r L r M m M G M E r M r L m L r M m L r L m L (5,97 10 4 ) 7,54 1,5 r L m L 1,5 (6,4 10 ) L L L M L M L L 7,54 fi 0,1

Emaitza bat al dator aurreko aldagaien analisiarekin? Marteren periodoaren kalkulua bat dator planteamenduan esandakoarekin. Hau da, Marteren periodoa Lurrarena baino askoz handiagoa da. Ikusten den moduan, erradioaren eta periodoaren artean mendekotasuna dago, nahiz eta ez den aldaketa proportzionala. Hau da, distantzia 1,5 aldiz handiago den bitartean, periodoa 1,87 aldiz Lurrarena izango da. Momentu angeluarraren koefizientearen kasuan ere bete da planteamenduan aurreikusitakoa. Bi planeten arteko konparazioa egitea nahikoa zen Lurrak Marte baino momentu angeluar handiagoa izango zuela jakiteko, Lurraren masa magnitude bat handiago delako; erradioa ez da askoz handiagoa, 1,5 aldiz soilik. Gainera, abiadura orbitala ere handiagoa da Lurraren kasuan, Eguzkitik hurbilago dagoelako. 11. Europako Agentzia Espazialak lan bat eskaini dizu. Martera satelite estazionario bat (puntu baten gainean geldirik dagoena) bidali nahi du. Zein ezaugarri izan behar ditu satelitearen orbitak? Marten gainazaletik zer distantziara egongo da? Datuak G 6,67 10-11 N m kg - ; M Martitz 6,41 10 kg; Errotazio-denbora 4 h 7 min s; Marten erradioa.88 km. PLANTEAMENDUA Ariketa honetan, Marteren inguruan satelite estazionario bat jartzeko egin behar diren kalkuluak egin behar ditugu; horretarako garrantzitsua da a azpiatalari erantzutea lehenbizi. Zer ezaugarri izan behar ditu satelitearen orbitak? Marteren gaineko satelite estazionario bat, beti Marteren gainean eta puntu berean egongo den satelite bat da. Hau da, Marten egongo litzatekeen behatzaile batek satelitea beti bere gainean puntu berdinean ikusiko luke, mugitzen ez denaren sentipenarekin. Satelitearen periodo orbitala erlazionatuta dago, eta estrategiaren atalean zehaztuko dugu erlazioa. Orbita honen erradioa jakiteko bere periodoa, grabitate-indarra eta abiadura orbitala erlazionatu behar dira. Aldagai horiek nola erlazionatzen eta nola eragiten duten hurrengo atalean aztertuko dugu. Marteren masak eta erradioak definituko dute grabitatearen indarra, eta horrek definituko du, 4 h 7 min s, periodoa izango duen satelite batek izan beharreko altuera. h? T 4 h 7 min s MATE ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Satelite estazionario baten baldintza hauxe da: satelitearen periodo-orbitak Marteren biraketa-abiaduraren berdina izan behar du. Horrez gain, orbita Marteren ekuatorearen gainean izan behar da, Martek eragiten dion grabitate-indarra berdina izan dadin orbitaren ibilbide guztian. Baldintza horrek bigarren ataleko erantzuna baldintzatzen du, eta azterketa osoan hartuko dugu kontuan hemendik aurrera.

Satelite-orbitaren erradioa ebazteko kontuan hartu behar diren aldagaiak honako hauek dira. Orbita-periodoa ere hartu behar da kontuan. Orbita-periodoa satelitearen Marterekiko distantzia, eta abiadura orbitalaren mende dago: T f ( (r+h), v). Kasu horretan, periodoaren eskakizunak definitzen ditu altuera eta abiadura. Abiadura orbitalak, Marteren masarekiko eta Marteren gainazaletik dagoen distantziaren mende dago: v f (M M, ). Indar grabitatorioa distantziaren mende dagoenez, Marteren gainazaletik zenbat eta hurbilago egon abiadura orbital handiagoa duela pentsa dezakegu. Kasu honetan, altuera definitu beharko dugu lehenik. Aurreko bi aldagaiak, periodoa eta abiadura orbitala, nola ez, grabitate-indarraren mende daude. Modu berean, grabitate-indarra Marteren masaren eta erradioaren araberakoa da, F f (m, r). Beraz, Marteren masa eta erradioaren arabera, orbita hori izateko behar duen altuera bat edo bestea izango da. EBAZPENEAKO ESTATEGIA Satelitearen orbitaren erradioa kalkulatzeko, aurreko aldagaien definizioa eta beraien arteko erlazioak definitu behar dira. Beraz: π (1) Periodoa: T v () Indar grabitatorioa eta Newtonen grabitatearen legea: F G m M m s r F G m M m s m M r m a fi G s s r a s () Azelerazio zentripetoa zelan definitzen den. a s V s r SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA Periodoak baldintzatzen duen altuera kalkulatu behar da. Horretarako, abiadura orbitala deskribatzen duten bi espresioak berdinduko ditugu lehenik eta behin. Alde batetik, azelerazio zentripetotik eratorritakoa () eta () ekuazioak, eta beste aldetik, periodoak definitzen digun abiadura orbitala (1) ekuazioa. () eta () ekuazioak erabiliz, abiadura orbitala planetaren azalarekiko distantziarekin eta Marteren masarekin erlazionatuta dago. m M m v G fi v G M non r + h den, r, Marteren erradioa delarik. Beraz: π m 4 π m G m M T v G M fi G M fi T T 4 π 4

Kasu honetan masa badaukagunez, datuak ordezkatzea baino ez da falta. m M π 4 π G m M T v G fi G fi T T 4 π Kasu honetan masa badaukagunez: m M ( ) 600s 60 s G m 6,67 10-11 6,41 10 M T 4 ordu 1 ordu + 7 min + s 1 min 4 π,04 10 7 m 4 π Altuera kalkulatzeko lortu dugun distantzia, Marteren erradioa eta azaletik satelitera arteko altueren batura dela konturatu behar gara. Beraz, r + h fi h r,04 10 7 88 10 1,70 10 7 m Emaitza bat al dator aurreko aldagaien analisiarekin? Ariketa honetan garrantzitsua da satelite estazionario bat zer den ulertzea. Lurraren kasuan ere, kondizio berdinak bete beharko lituzke satelite batek estazionarioa izateko. Argi ikusten den moduan grabitate-indar horrekin, Lurrean satelite estazionario bat jartzeko baina altuera handiagoan dago, Marteren masa Lurrarena baino txikiagoa delako. Era berean, Martek bere buruaren inguruan bira emateko beharrezko denbora gutxiago balitz, satelitea altuera txikiagoan jarri beharko genuke, eta alderantziz. 1. Lurraren inguruan orbita zirkular bat duen 500 kg-ko masako satelite artifizial batek 48 ordu behar ditu Lurraren inguruan bira bat emateko. Kalkulatu: Lurraren gainazalarekiko zer altueran dago? Zein da satelitearen azelerazioa orbita horretan? Zein izango da satelite horren periodoa Lurraren gainazaletik Lurraren erradioaren distantzia bikoitzera jartzen badugu? Datuak G 6,67 10-11 N m kg - ; M Lurra 5,97 10 4 kg; Lurra 6.70 km PLANTEAMENDUA Kasu honetan Lurraren inguruan orbita zirkular batean mugitzen den satelite baten kasua aztertu behar dugu. Lehenik eta behin, periodoak definitzen du; periodoak altuera eta abiadura orbital konkretu bat definitzen du. Argi dago aldagai horiek Lurrak sateliteari eragingo dion grabitate-indarraren araberakoa izango direla. Grabitatearen indarra Lurraren masak eta erradioak definituko du, eta horrek definituko du 48 orduko periodoa izango duen satelite batek behar duen altuera. Azelerazio zentripetoa ere, puntu horretan Lurrak sateliteari eragiten dion indarraren mende dago. Satelitea Lurraren inguruan biraka dabilela altuera aldatzen denean, periodoa ere aldatu egingo da. Lehen esandakoa errepikatuz, periodoa Lurrak puntu horretan h? T 48 h LUA 5

eragiten dion grabitate-indarrarekin lotuta dago, eta puntua aldatzean, aplikazioa ere aldatu egiten da. ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Problema ebazteko kontuan hartu behar diren aldagaiak honako hauek dira. Orbita-periodoa ere kontuan hartu behar da. Orbita-periodoa Lurrarekiko satelitearen distantziaren eta abiadura-orbitalaren mende dago: T f ( (r + h), v). Kasu honetan periodoaren eskakizunak definitzen ditu altuera eta abiadura. Abiadura orbitala. Abiadura orbitala Lurraren masarekiko eta Lurraren gainazaletik dagoen distantziaren mende dago: v f (M L, ). Indar grabitatorioa distantziaren mende dagoenez, Lurraren gainazaletik zenbat eta hurbilago egon, abiadura orbital handiagoa duela suposatu dezakegu. Kasu honetan, altuera definitu beharko dugu lehenik. Aurreko bi aldagaiak, periodoa eta abiadura orbitala, nola ez, grabitate indarraren mende daude. Era berean, grabitate-indarra Lurraren masaren eta erradioaren araberakoa da, Ff (m, r). Beraz, Lurraren masaren eta erradioaren arabera, orbita hori izateko behar duen altuera bat edo bestea izango da. Azelerazio zentripetoak aurreko aldagai guztiak josten ditu, alde batetik, grabitate-indarraren mendekotasuna duelako, hau da, grabitate-indarra baldintzatzen dituzten aldagaien mendekoa da; eta beste aldetik, abiadura orbitalarekin ere harreman zuzena du, horrek periodoaren gainean eragiten duelarik. EBAZPENEAKO ESTATEGIA Lehen urratsa Newtonen grabitatearen legea eta Newtonen. legea erlazionatzea da. m Newtonen grabitazio unibertsalaren legea. L m F G s F m s a s da Newtonen. legea, bi indar hauek berdinak dira. Beraz, F G m L m s m L m a fi G s s a s Azelerazio zentripetoa honela definitzen da. V a s s Goiko ekuazioetatik abiadura orbitalaren adierazpena ondoriozta daiteke. Ikusten den bezala, abiadura orbitala planetaren azalarekiko distantziarekin eta Lurraren masarekin erlazionatuta dago. v G m M fi v G m M Abiaduraren formula, Newtonen legeetatik ondorioztatzen da, non r + h den, eta r Lurraren erradioa den. Periodo orbitalaren, abiadura orbitalaren eta lurrazalarekiko distantziaren arteko erlazioa. Konturatu goiko kasuan bezala, r+h dela, non r planetaren erradioa den. π T v 6

Bi ekuazioak berdinduta, distantzia kalkulatzeko ekuazio orokorra lortu daiteke. m L π 4 π G m L T v G fi G fi T T 4 π Keplerren legearen arabera badakigu denbora-tarte berean orbitan zehar azalera berdina ekortuko/beteko duela kometak. Keplerren. Legea. T C Laburbilduz, lehen urratsa altuera kalkulatzea da, lehen periodoaren arabera. Ondoren, grabitate-indarra eta newtonen bigarren legea erabiliz, azelerazio zentripetoa erabiliko dugu. Eta azkenik, beste altuera batean izango lukeen periodoa kalkulatzean, a atalean erabilitako formula berak erabiliko ditugu. Astro berdinaren inguruan orbitak deskribatzen dituzten sateliteen arteko harremana Keplerren legeekin ere egin daiteke. Egin proba eta ikusiko duzu emaitza berdina dela. m M SOLUZIOA ETA EMAITZEN EGIAZTAPENA Periodo bat emanda eta Lurraren ezaugarriak jakinda, lehen urratsa 48 orduko periodoa duen satelitea gainazaletik zer altuerara egongo den jakitea da. Horretarako, goiko partean erakutsitako formulak baliatuz aterako da, zuzenean, satelitea lurrazaletik zer altuerara dagoen. m L π 4 π G m L T v G fi G fi T T 4 π Kasu honetan, masa badaukagunez, datuak ordezkatzea baino ez da falta. Bestela, lurrazaleko grabitatea eta masa lotzen dituen ekuazioa ere erabil daiteke. m L π 4 π G m L T v G fi G fi T T 4 π Kasu honetan masa badaukagunez: 600s G m 6,67 10-11 5,07 10 4 M T 48 ordu 1 ordu 4 π 4 π m L m L ( ) Altuera kalkulatzeko lortu dugun distantzia, Lurraren erradioa eta azaletik satelitera arteko altueren batura dela konturatu behar gara. Beraz, r + h fi h r 6701 670 60661 km Bigarren atalean azelerazio zentripetoa kalkulatu behar da. Horretarako, estrategietan jarritako grabitate indarraren eta Newtonen dinamikaren. legearen arteko erlazioa erabiliko da. m L m s m L 5,97 10 4 F G m s a s fi a s G 6,67 10-11 0,0886 0,09 m/s (6701 10 ) Kasu honetan satelitea altueraz aldatzen da, lurrazaletik, Lurraren erradioaren araberako distantzia bikoitzera jartzen da. Beraz, Lurraren zentrotik bider Lurraren erradiora jartzen da. Kasu honetan, Keplerren legeak erabil daitezke baita ere, nahiz eta hemen lehenago atera dugun erlazioa erabiliko den. 6701 10 m 6701 km 7

4 π ( 670 10 ) 4 π T 4 π T fi G m 60,9 s 7, h L G m 6,67 10-11 5,97 10 4 L Emaitza bat al dator aurreko aldagaien analisiarekin? Lehen puntuan ikusten den moduan, 48 orduko orbita bat izateko sateliteak oso goian egon behar du. Aurreko ariketetan, 400 km-ko alturan ordu inguruko periodoa badu, guztiz logikoa da 48 orduko periodorako lurrazaletik 60661 km egon beharra. Horrek erakusten digu, Lurrak eragindako grabitate-indarra, urrunera arte iristen dela, bestela ez litzateke satelitea orbita zirkularrean jardungo. Lurraren erradioaren distantzia bikoitzera jartzen dugunean, aurreko altuera baino distantzia txikiagoa denez, guztiz koherentea da periodoa laburragoa izatea. Azelerazio zentripetoa 0,09 m/s dela irten da. Horrek esan nahi du, puntu horretan hori dela grabitate-indarrak sortzen duen azelerazioa. Lurrazalean baino 100 aldiz txikiago izan harren, kontuan hartu behar dugu zenbat distantziara dagoen, sateliteak orbita zirkular bat mantentzeko adinako indarra eragiten dio. 1. Eguzkiaren erdialdetik gainazalera dagoen distantzia 6,96 10 5 km-koa da. Zer azelerazio egongo da Eguzkiaren gainazalean? Zer koefiziente edukiko dute, gutxi gorabehera, Eguzkiak eta Lurrak Ilargiaren gainean egingo duten indarrek? Aukeratu erantzun bat eta arrazoitu erantzuna. a) 4000 b) c) 10 6 d) 10-6 Datuak G 6,67 10-11 N m kg - ; M Lurra 6 10 4 kg; M ILAGIA 7 10 kg; M EGUZKIA 10 0 kg; EGUZKIA-LUA 1,5 10 8 km; LUA-ILAGIA 4 10 5 km F L PLANTEAMENDUA Kasu honetan, Eguzkian zentratuko da problema. Alde batetik Eguzkiaren azalean zer grabitate-indar dagoen kalkulatu behar da. Zuzeneko formularen bidez edo Newtonen. Legea eta grabitate unibertsalaren legea erabiliz kalkulatu daiteke hori. Ondoren, Ilargiaren gainean Eguzkiak eta Lurrak eragiten duten grabitate-indarraren arteko koefizientea aurkitu behar da. Ezagutzen dugu Lurraren eta Ilargiaren arteko batez besteko distantzia, hala ere, Ilargia eta Eguzkiaren arteko distantzia nola definitu pentsatu beharko da. F E ALDAGAIEN ATEKO ELAZIOA Problema ebazteko kontuan hartu behar diren aldagaiak honako hauek izango lirateke. Mendekotasuna duten lehen aldagaiak grabitate-indarra, Eguzkiaren masa eta Eguzkiaren erradioa dira. Grabitate-indarra Eguzkiaren masaren eta erradioaren 8