Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula
Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu, jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org). Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia (2015-V-15) Maketazioa: IPAR S.L. arte grafikoen tailerra. Donostia Ilustrazioak: Iván Landa Jenaro Guisasola, Ane Leniz eta Oier Azula EREIN. Donostia 2015 ISBN: 978-84-9746-817-6 L.G.: SS-928-2015 EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 107 20018 Donostia T 943 218 300 F 943 218 311 e-mail: erein@erein.eus www.erein.eus Inprimatzailea: Gertu Zubillaga industrialdea 9, 20560 Oñati T 943 78 33 09 F 943 78 31 33 e-mail: gertu@gertu.net
Aurkibidea FISIKA 1. gaia. Indar grabitatorioa... 6 1. Sarrera... 7 2. Planeten mugimendua: Kepler-en legeak... 8 3. Errotazioa eta planeten higidura... 11 4. Kepler-en bigarren legea eta momentu angularra... 16 5. Newton-en Grabitazio Unibertsalaren Legea... 17 6. Kepler-en hirugarren legea eta grabitazio unibertsalaren legea... 19 7. Grabitatea beste planeta batzuetan... 21 Ariketak... 23 2. gaia. Eremu grabitatorioa... 26 1. Sarrera... 27 2. Grabitazio-eremua... 28 3. Eremua: Kontzeptu fisikoa... 32 4. Eremuaren adierazpen grafikoa... 33 5. Energia potentzial grabitatorioa... 33 6. Grabitazio-eremuaren erabilpena... 38 Ariketak... 43 3. gaia. Eremu elektrikoa... 46 1. Sarrera... 47 2. Karga elektrikoa... 48 3. Eroaleak eta isolatzaileak... 50 4. Kargaren eredua. Laburpena... 52 5. Indar elektrikoa eta Coulomb-en legea... 52 6. Eremu elektrikoa... 57 7. Eremu elektrikoa: kontzeptua... 60 8. Eremu-lerro elektrikoak... 66 9. Gauss-en legea eremu elektrikoarentzat: hurbilpen kuantitatiboa... 67 10. Potentzial elektrikoa... 68 Ariketak... 79 4. gaia. Eremu magnetikoa... 82 1. Sarrera... 83 2. Magnetismoa... 84 3. Eremu magnetikoa... 85 4. Korronte elektrikoek ere eremu magnetikoak sortzen dituzte... 88 5. Eremu magnetikoek indarrak eragiten dituzte higitzen ari diren kargetan... 98 Ariketak... 111 5. gaia. Oszilazioak... 114 1. Sarrera... 115 2. Oszilazioak eta oreka... 116 3. Higidura harmoniko sinplea eta indar berreskuratzaile linealak... 119 4. Pendulua... 121 5. Higidura harmoniko sinplea... 122 6. Energia higidura harmoniko sinplean... 126 7. Oszilazio indargetuak eta erresonantzia... 131 Ariketak... 133 6. gaia. Uhin-higidura etra soinu-uhinak... 136 1. Sarrera... 137 2. Uhin-higiduraren orokortasunak... 138 3. Luzetarako uhinak eta zeharkako uhinak... 140 4. Uhin-higidura... 141 5. Uhinen deskribapena... 144 6. Soinua eta argi-uhinak... 149 7. Energia eta intentsitatea... 152 8. Doppler efektua eta talka-uhinak... 154 Ariketak... 159 7. gaia. Uhinen gainezarpena eta uhin geldikorrak... 162 1. Sarrera... 163 2. Uhinen gainezarpenaren printzipioa... 164 3. Bi iturritako uhinen arteko interferentziak... 167 4. Uhin geldikorrak... 170 Ariketak... 178
8. gaia. Optika geometrikoa... 182 1. Sarrera... 183 2. Zer da argia?... 184 3. Argiaren hedapen zuzena... 185 4. Islapena... 187 5. Errefrakzioa... 189 6. Ispiluak eta leiarrak... 194 7. Tresna optikoak... 208 Ariketak... 212 9. gaia. Optika ondulatorioa... 214 1. Sarrera... 215 2. Interferentziak... 216 3. Difrakzioa... 220 4. Polarizazioa... 223 Ariketak... 226 10. gaia. Erlatibitate berezia... 228 1. Sarrera... 229 2. Higiduraren erlatibitatea... 230 3. Teoria elektromagnetikoaren iragarpenak... 232 4. Galileoren erlatibitatearen berrikuste kritikoa: erlatibitate bereziaren printzipioa... 233 5. Transformazioak erreferentzia-sistema batetik bestera... 240 6. Argiren abiadura al da gure unibertsoan egon daitekeen abiadurarik handiena?... 243 7. XX. Mendeko fisikaren ekuaziorik ezagunena... 245 Ariketak... 248 11. gaia. Fisika kuantikoa... 250 1. Sarrera... 251 2. Erradioazioen iturriaren ikusmolde klasikoa... 252 3. Interpretatzen zaila den fenomenoa: efektu fotoelektrikoa... 253 4. Efektu fotoelektrikoa... 255 5. Fotoiak... 261 6. Uhin materialak... 264 7. Energia kuantizaturik dago... 265 8. Ziurgabetasunaren printzipioa... 267 Ariketak... 269 12. gaia. Fisika nulearra eta partikulena... 270 1. Sarrera... 271 2. Erradioaktibitatea... 272 3. Nukleo atomikoren egitura... 275 4. Transformazio erradioaktiboak... 279 5. Elementu erradioaktiboen desintegrazio-abiadura... 282 6. Egonkortasun nuklearra eta indar nuklearrak... 285 7. Fisika nuklearraren medikuntza-aplikazioak... 286 Ariketak... 288
1. gaia 1.1 irudia. Komunikazio-enpresa baten satelitea.
Indar grabitatorioa 1. Sarrera Udako gau lasai batean, telefonoz hizketan ari zara lagun batekin zure hiriko eraikin altu batetik, eta hara non ikusten duzun, urrunean, komunikazio-enpresa batek erabiltzen duen satelitea zure gainean. Nola lortzen da beti hiri beraren gainean egotea? (Ikusi 7. adibidea). Indar grabitatorioa materiaren elkarrekintzarik ahulena da. Arbuiagarria da oinarrizko partikulen arteko elkarrekintzetan, eta ondorioz, ez du inolako garrantzirik molekula, atomo eta nukleoei buruzko ikerketetan. Tamaina arrunteko objektuen arteko erakarpen grabitatorioa txikiegia da behagarria izateko. Eraikin batek auto batean eragiten duen erakarpena, adibidez, ez dugu nabaritu ere egiten. Haatik, planeta, satelite edo izarren moduko gorputz astronomikoen arteko elkarrekintzei behatzen diegunean, garrantzi handia du grabitateak. Lurrak gure gorputzetan eta inguratzen gaituzten objektuetan eragiten duen indar grabitatorioa oinarrizkoa da gure bizitzan. Grabitateak lotzen gaitu lurrera, eta horrek mantentzen ditu planetak (gurea barne) eguzki-sistemaren baitan. Indar grabitatorioak zerikusi handia du izarren garapenean eta galaxien portaeran. Demagun, eskalarik handienean, grabitateak unibertsoaren garapena zuzentzen duela. Newton-en garaian, unibertsoaren eta Lurraren arauek elkarren artean zerikusirik ez zutela pentsatzen zuten askok. Hala ere, haren aurreko ikerlari askok Newtonek beharrezkoak izan zituen ondorio asko atera zituzten. Kopernikok, esaterako, planetek Eguzkiaren inguruan biratzen zutela ondorioztatu zuen; Galileok gorputz guztiak azelerazio berberaz jausten zirela aurkitu zuen, eta Kepler-ek planeten orbita eliptikoa zela. Behaketaren bitartez deskribatutako fenomeno horiei guztiei azalpen teorikoa ematea izan zen, hain zuzen ere, Newtonen ekarpen nagusia. Newton-en grabitazio unibertsalaren legearen eta dinamikaren hiru legeen bitartez frogatu zen naturak lege berberei jarraitzen diela edonon. Horrek errotik aldatu zuen unibertsoaren inguruko ikuspuntua.
2 Planeten mugimendua: Kepler-en legeak Gizadia liluraturik egon da beti gauean zeruan ikus daitezkeen izar eta planeta argitsuekin. 1. Galdera: Nola bereiziko zenituzke izar bat eta planeta bat? Planeta eta izarren arteko desberdintasunei buruz ari garela, garrantzitsua da jakitea planetek ez bezala, izarrek distira egiten dutela. Planetek, aldiz, etenik gabe islatzen dute argia, distiratu gabe. Izarren eta gure artean dagoen distantzia askoz ere handiagoa izatea da horren arrazoia. Gainera, izarrak zirkuluak eginez mugitzen dira gauean zehar. Planetek, aldiz, ibilbide korapilatsuagoak egin ohi dituzte. Merkurio Artizarra Lurra Marte Jupiter Saturno Planeta Batez besteko erradio orbitala (x10 10 m) Periodoa T (urteak) Merkurio 5,79 0,241 Venus 10,8 0,615 Lurra 15,0 1 Marte 22,8 1,88 Jupiter 77,8 11,9 Saturno 143 29,5 Urano 287 84 Neptuno 450 165 Pluton 590 248 1.1 taula. Planeten batez besteko erradioak eta periodo orbitalak. 1.2 irudia. Eguzkiaren inguruko planeten orbitak. XVI. mendearen bukaeran, Tycho Brahe astronomoak planeten higidura aztertu zuen, eta aurretik egindako behaketak baino behaketa zehatzagoak egin zituen. Braheren datuetan oinarrituta, planetek Eguzkiaren inguruan egiten zuten ibilbidea eliptikoa zela ohartu zen Johannes Kepler (1.2 irudia). Frogatu zuen, halaber, planetak ez zirela abiadura konstantean higitzen; Eguzkitik zenbat eta hurbilago egon orduan eta azkarrago higitzen zirela frogatu zuen, hain zuzen. Azkenik, Kepler-ek erlazio matematiko bat zehaztu zuen planeten periodoa eta Eguzkiaren arteko batez besteko distantzia lotuz (1.1 taula). Planeten higidura azaltzen duten hiru lege enpirikotan adierazi zituen Kepler-ek emaitzak. Lege horiek izan ziren Newtonentzat grabitatearen legea azaltzeko oinarria. Hona hemen lege horiek: Urano Neptuno Pluton 8
1. legea: Planeta guztiak fokua Eguzkian duten orbita eliptikoetan higitzen dira. r Kometa P r p r a A 1.3 irudia. Eguzkiaren inguruko erradioa orbitalak. y b r 2 r1 F a F x 1.4 irudia. Elipsearen deskripzio geometrikoa. F foku izeneko bi puntu finkotara dauden distantzien batura konstanteko plano bateko puntu guztien leku geometrikoa da elipsea (1.4 irudia). Foku batean Eguzkia duen planeta baten ibilbide eliptikoa adierazten du. 1.4 irudian, ia zirkularra da Lurraren orbita; Eguzkirako distantzia perihelioan (punturik hurbilena) da, eta afelioan (punturik urrunena). Ardatz nagusiak bi distantzia horien batura neurtzen du; Lurraren orbitaren kasuan, erradioa da, hain zuzen. 2. Galdera:Zer egin dezakegu hain zenbaki handiak ez erabiltzeko? Lurra-Eguzkia batez besteko distantziak unitate astronomikoa definitzen du (UA): 1 UA = 1,50 10 11 m Eguzki-sistemari lotutako problemetan erabili ohi da UA. 3. Galdera:Zenbat metro daude Bilbotik Donostiara? Eta Gasteiztik New York-era? Zenbat metro egingo genituzke Lurrari bira osoa emanez gero? Zenbat bira eman beharko genizkioke Lurrari 1 UA distantzia egiteko? 9
2. legea: Planetatik Eguzkira doan irudizko lerroak azalera berdina hartzen du denbora-tarte berean. Dr Kometa Dr 1.5 irudia. Kepler-en bigarren legea erakusten du. 4. Galdera: Zer ondorio atera daiteke irudiko (1.5 irudia) bi gainazalak alderatuz gero? Hau da, planeta bat azkarrago higitzen da Eguzkitik gertu dagoenean urrun dagoenean baino. Ondorioz, denbora-tarte jakin batean bektoreak egindako azalera berdina izango da orbita osoan zehar. 3. legea: Planetak orbita osatzeko behar duen periodoaren karratua proportzionala da bere orbitaren ardatzerdi nagusiaren kuboarekiko. 5. Galdera: Tycho Brahe-ren taulari erreparatuta egiaztatzen al da 3. legearen erlazioa? Kepler-en hirugarren legeak erlazionatu egiten ditu planetaren periodoa eta Eguzkiarekiko batez besteko distantzia. Era aljebraikoan, r Eguzkiaren eta planeta baten arteko distantziaren batez bestekoa bada eta T planetaren biraketa-periodoa bada, Kepler-en hirugarren legeak honako hau ezartzen du: T 2 = K r 3 non K konstanteak balio bera duen planeta guztientzat. 1.1 adibidea Lurrak Eguzkiaren inguruan bira emateko behar duen denbora 365,2564 egunekoa da; batez besteko distantzia 150 10 6 km duelarik, zein izango da Venus-ek Eguzkiaren inguruan orbita bat egiteko beharko lukeen distantzia, baldin eta batez besteko orbitaren distantzia 108,2 10 6 km-koa bada? Erantzuna: Beste planeta baten orbitaren arabera badakigu T 2 = Kr 3 berdina dela planeta guztientzat. Lurraren periodoa eta batez besteko orbitaren distantzia jakinik, K-ren balioa aterako dugu. K-ren balioa atera ondoren, eta Venusen batez besteko orbitaren distantzia erabiliz, Venus planetaren periodoa aterako dugu. 10
Kontuan hartu erabiltzen dugun denbora-unitatearen araberako unitateekin azalduko dugula Venus-en periodoa. Beraz, honako hau da Venus planetaren periodoa: K = (365,2564 egun) 2 (150 10 6 km) 3 (365,2564 egun) 2 T 2 = (108,2 10 6 km) 3 v (150 10 6 km) 3 T = v (365,2564 egun) 2 (150 10 6 km) 3 (108,2 10 6 km) 3 T v = 223,76 egun Logikoa da kalkulatutakoa, Venus Eguzkitik Lurra baino gertuago dago, eta, beraz, logikoa Lurrak baino periodo txikiagoa izatea, hau da, denbora gutxiago behar izatea Eguzkiari bira oso bat emateko. 3 Errotazioa eta planeten higidura Badakigu planetak izar finkoen inguruan biratzen direla eta sateliteak daudela, maiz, planeta horien inguruan biraka. Lurraren kasua adibide berezia da, Ilargia baitu inguruan biraka. 6. Galdera: Pentsatu al duzu inoiz zergatik Lurretik Ilargiaren aurpegi bera ikusten dugun beti? Ilargiak orbita bat osatzen du Lurraren inguruan hilean behin. Gainera, bere ardatzaren inguruan ere bira egiten du sateliteak, bira osoa hilero hain zuzen (27,32 egun behar ditu). Hau da, biak berdinak dira!! Horrenbestez, Ilargiak beti erakusten dio Lurrari aurpegi bera. Gogoratu Errotazioaren zinematika Irudi hauetan mugimendu zirkularraren hainbat aldagai eta horien arteko harremanak agertzen dira. Mugimendu zirkularreko partikula abiadura konstantez higitzen bada, higidura zirkular uniformea duela esaten dugu. Partikulak orbita batean higitzen den satelite bat, soka baten muturrean dagoen baloi bat edo gurpil batean erantsitako partikula bat izan daitezke. Partikulak zer ordezkatzen duen alde batera utzita, haren bektorea ibilbide zirkularrarekiko ukitzailea izango da beti. Partikularen v abiadura konstantea izango da; beraz, bektorearen luzerak konstante iraungo du partikula zirkuluan higitzen bada. Higidura mota horretan, partikula θ H hasierako posiziotik θ B bukaerako posiziora mugituko da Dt denbora-tartean. Dθ = θ H θ B aldaketari desplazamendu angeluarra deritzo. 11
y y v r θ x r a x 1.6 irudia. Higidura zirkularra gogoratzen. Partikularen abiadura angeluarra, ondorioz, era honetara definituko dugu bere modulua. desplazamendu angeluarra w = = denbora-tartea Dθ Dt Abiadura angeluarraren nazioarteko unitateak rad/s dira. Gogoratu abiadura lineala abiadura angeluarraren zuzenki proportzionala dela: V = wr v y t f = t i + Dt x v w Dθ t i θ f r v θ f x 1.7 irudia. Partikula baten higidura zirkularra. 1.8 irudia. Partikula baten higidura 0i eta 0f artean. Abiadura angeluarrak denborarekiko duen aldakuntza azelerazio angeluarra da, eta bere modulua honela adierazten da: dw d 2 θ a = = dt d t 2 Azelerazio lineala ere azelerazio angeluarraren zuzenki proportzionala izango da: a = R 12
1.2 adibidea. Lurraren eta Ilargiaren abiadura angeluarrak Lurrak 24 ordu behar ditu bere ardatzaren inguruan bira bat emateko eta Ilargiak 29 egun gutxi gorabehera Lurrari bira oso bat emateko. Zein da Lurraren abiadura angeluarra? Eta Ilargiaren abiadura angeluarra Lurraren biraketa-ardatzarekiko? Erantzuna: Lurrak bere ardatzaren inguruan bira oso bat emateko 24 ordu behar ditu, segundotan T Lurra = 8,64 10 4 s. Ilargiak Lurrari bira oso bat emateko gutxi gorabehera 29 egun behar ditu, segundotan T Ilargia = 2,52 10 6 s. Bira oso batean 2π radian daude, beraz 2π zati bira bat emateko behar den denbora, periodoa, abiadura angeluarra modulua izango da w. Lurraren abiadura angeluarra: 2π 2π w Lurra = = = 3,36 10 8,64 10 4 s -5 rad/s T Lurra Ilargiaren abiadura angeluarraren modulua: 2π 2π w Ilargia = = = 2,50 10 2,51 10 6 s -6 rad/s T Ilargia Lurretik Ilargiari begiratzen diogunean eta zeruan mugitzen ari dela ikusten dugunean, bi mugimendu horien gainezarpena da benetan ikusten ari garena. Momentu angeluarra y Newton-en lehenengo legeak dioenez, isolatutako partikula baten momentua kontserbatu egiten da; lerrozuzenean higitzen den partikula batek aurrera jarraitzen duela esan nahi du horrek, higidura hori aldaraziko duen kanpoko eragilerik ez baldin badago behintzat. 7. Galdera: Zer gertatuko da higidura zirkularrean, baldin eta isolatutako partikula bat baldin badugu? Higidura zirkularrari erreparatzen badiogu, horretan p momentua ez dela kontserbatzen arrazoitu dezakegu. Momentua bektore bat da, eta higidura zirkularrean dagoen partikula baten momentua aldatu egiten da norabidea aldatzen denean. Adibidez, bizikleta baten gurpilak biraka jarraituko luke marruskadurarik ez balego. Higidura zirkularraren ideia hori adierazten duen balioa momentu angeluarra da. 1.9 irudian O jatorriarekiko r posizioan dagoen eta v abiaduraz higitzen den m masako partikula agertzen da. Partikularen momentu lineala p = m v da. Partikularen O jatorriarekiko L momentu angeluarra r eta v -ren arteko biderkadura bektorial gisa definitzen da. L = r x p r O L = r x p p = m v ø m 1.9 irudia. Momentu angeluarraren irudikapen grafikoa. x 13
1.9 irudian ikus daitekeen moduan, r eta p xy planoan badaude, orduan L z planoarekiko paraleloa izango da, eta era honetara adieraziko dugu: L = r x p = m v r sin φ k Kontuan hartu behar dugu momentu angeluarra espazioaren puntu batekiko definitzen dela. ^ Tresna matematikoak Biderkadura bektoriala Bi bektoreren (demagun A eta B) arteko biderkadura bektore gisa adierazten da C = A x B. Azken horren modulua A eta B bektoreek sortzen duten paralelogramoaren azaleraren berdina izango da (1.10 irudia), eta norabidea A eta B bektoreek osatzen duten planoarekiko perpendikularra. C bektorearen noranzkoa kalkulatzeko, eskuineko eskuaren legea erabiliko ^ dugu (1.11 irudia): A-k B-rekiko bira egiten du bien arteko angelu txikiena eginez. Bi bektoreen arteko angelua bada eta n haiekiko perpendikularra eta C-ren noranzkoa duen bektore unitarioa bada, A eta B-ren arteko biderkadura bektoriala honako hau izango da: C = A x B C = A x B B B A Ø A 1.10 irudia. A eta B bektoreen biderketa C bektorea da. 1.11 irudia. Norabidea eskuin eskuaren arauak ematen du. A x B = AB sin φ n A eta B paraleloak baldin badira, A x B nulua izango da. Biderkadura bektorialaren definiziotik honako hau ondoriozta daiteke A x A = 0 eta A x B = -B x A Biderkaduran garrantzi handikoa da bektoreen ordena. Bi bektoreen arteko biderkaduraren ezaugarri garrantzitsuenak honako hauek dira: y 1. Biderkadura bektorialak batuketaren banatze-legea betetzen du: A x (B + C) = (A x B) + (A x C) 2. A eta B t moduko aldagai baten funtzioak badira, A B-ren deribatua biderkaduren deribatuen lege normaletik lortzen da. j 3. i, j eta k bektore unitarioek (1.12 irudia), perpendikularrak izanik beren artean, honako hau betetzen dute: i x i x j = k, j x k = i, k x i = j Gainera k i x i = j x j = k x k = 0 ^ y 1.12 irudia. Bektore unitarioak. 14
Momentu angeluarraren kontserbazioa Sistema baten gainean eragiten duen kanpo-momentu erresultantea nulua bada, d L sist = 0 dt Hau da, L sist = konstantea Ekuazio hori momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioaren enuntziatua da. Sistema bati eragiten dion kanpo-momentu erresultantea nulua bada, sistemaren momentu angeluar totala konstantea izango da. Printzipio hori momentu linealaren kontserbazio-printzipioaren baliokidea da. Sistema bat bere ingurutik isolaturik badago eta, ondorioz, kanpoko indar edo momentuek sisteman eragiten ez badute, hiru magnitude hauei eutsiko zaie: energia, momentu lineala eta momentu angeluarra. Momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa naturaren oinarrizko legea da. Eskala mikroskopikoan, Fisika atomiko eta nuklearrean, mekanika newtondarra betetzen ez bada ere, sistema isolatu baten momentu angeluarra konstante mantenduko da denboran zehar. Indar zentral oro da aipatutakoaren adibide garbia. Kasu horretan, posizio bektorea eta abiadura bektorea perpendikularrak izango dira: r v 1.3 adibidea Jone, institutu bateko ikaslea, 2 metroko erradioa duen zaldiko-maldiko baten ertzean dabil biraka, jolasean. Jonek 60 Kg-ko pisua du. Une jakin batean, pauso bat eman du biraketa-ardatzerantz, eta zentrotik metro batera gelditu da. Momentu angeluarraren kontserbazioa dela-eta handitu egin du abiadura angeluarra. Hasieran abiadura angeluarra w h = 0,2 rad/s-koa zela kontuan hartuta, kalkulatu zenbatekoa izango den abiadura hori bukaeran. R Erantzuna: Kalkulua egiteko, Joneren momentu angeluarra baino ez dugu kontuan edukiko; hori ez da oso hurbilpen ona, baina baliagarria izango da estimazio bat egiteko. Lehenengo, Joneren hasierako momentu angeluarra hasierako abiadura angeluarrarekiko kalkulatuko dugu w 0. Horretarako, momentu angeluarraren ekuazioan abiadura angeluarra eta abiadura lineala mugimendu zirkularrean erlazionatzen duen ekuazioa ordezkatuko dugu: L h = r h x p h = r h m v h sin φ = r h m (r h w h ) = m r h2 w h Amaierako momentu angeluarrarentzat ekuazio berdina du, baina amaierako erradioarekin eta abiadura angeluarrarekin: L b = r b x p b = r b mv b sin φ = r b m (r b w b ) = m r 2 b w b Sistema horretan momentu angeluarra kontserbatzen denez, berdinak izango dira hasierakoa eta bukaerakoa: 2 2 2 m L h = L b fi m r h2 w h = m r b2 w b fiw b = w 1 = = 0,2 rad/s = 0,8 rad/s 1 m ( ) r h r b ( ) 15
4 Kepler-en bigarren legea eta momentu angeluarra r v dt Planeta m Kepler-ek frogatu zuenez, objektu bat (planeta edo kometa bat, adibidez) 1/r 2 -ren mendekoa den indar baten eraginez zentro baten inguruan mugitzen denean (Eguzkia, esaterako), objektuaren ibilbidea sekzio koniko (elipse, parabola edo hiperbola) bat dela. Eguzkia 8. Galdera: Noiz izango dira orbitak itxiak? (a) v a Afelio r a (b) Eguzkia r p Peritelio v p Eguzkitik gertu behin baino igarotzen ez diren objektuek sortzen dituzte ibilbide paraboliko edo hiperbolikoak. Orbita horiek ez dira itxiak. Elipseak dira gisako indar-eremua duten orbita itxi bakarrak. Eguzkiak planeta baten gainean eragiten duen indarra Eguzkiaren noranzkoan dagoela da Kepler-en bigarren legearen arrazoia. Indar zentrala da hori. Eguzkiaren inguruan orbita eliptikoan higitzen den planeta bat ikus daiteke irudian (1.13 irudia). Planetak distantzia bat egiten du denbora-tartean, eta irudian adierazitako azalera hartzen du erradio bektoreak. 1.13 irudia. Eguzkiaren inguruan orbita eliptikoan mugitzen den planeta bat. 9. Galdera: Nola kalkulatu daiteke azalera? r eta v dt bektoreek sortzen duten paralelogramoaren azaleraren erdia izango da azalera, hau da: r x vdt. Ondorioz, honako hau da dt denbora-tartean r erradio bektoreak ekortutako da azalera 1 1 da = r x vdt = r x mv dt 2 2m hau da, da dt L = 2m non L = r x mv planetak Eguzkiarekiko duen momentu angeluarraren modulua den. Denbora-tarte jakin batean ekortutako azalera, dt, L momentu angeluarrarekiko proportzionala izango da ondorioz. 10. Galdera: Zenbateko balioa du Eguzkiarekiko momentu angeluarrak? Eguzkiarekiko momentua nulua izango da, planetan eragiten duen indarra planeta eta Eguzkia lotzen dituen lerroan zuzendurik dagoelako. Ondorioz, planetaren momentu angeluarra kontserbatu egingo da, hau da, L konstantea da eta denbora-tarte jakin batean ekortutako azalera berdina izango da orbitaren zati guztietan (Kepler-en bigarren legea). Era horretara, L konstantea delako, gauza jakina da rv sin φ ere konstantea izango dela. Bai perihelioan bai afelioan φ = 90º, eta beraz r a v a = r p v p 16
1.4 adibidea Badakigu Lurrak orbita eliptiko bat osatzen duela Eguzkiaren inguruan bira egitean. Punturik gertuenean 147.5 10 6 km-ra badago eta punturik urrunenean 152.6 10 6 km-ra, zenbatekoa izango da bi puntu horien arteko abiaduren erlazioa? Erantzuna: 1. Badakigu, Kepler-en bigarren legeak dioen moduan, momentu angeluarra kontserbatu egiten dela. L = m 1 v 1 r 1 = m 2 v 2 r 2 2. Jakinda zer distantziatara dagoen Lurra Eguzkitik hurbilen pasatzen den puntua eta urrunen pasatzen den puntua, eta masa berdina dela kontuan hartuz, datuak txertatzea baino ez zaigu falta. 3. v 2 /v 1 = r 1 /r 2 = 147.5/152.6 = 0,967, hau da, Lurraren abiadura punturik hurbilenean baino %3.3 aldiz azkarragoa da punturik urrunean. 5 Newton-en Grabitazio Unibertsalaren Legea 11. Galdera: Zer ote dute komunean pilota baten erorketak eta Ilargiaren higidurak? r m 2 F 1,2 Newton-en grabitazio unibertsalaren legeak berdin eragiten diela bi gorputz horiei. Denok entzun izan dugu inoiz Newton-ek sagar bat erortzen ikusi zuenean pentsatu zuela lehen aldiz grabitatean. Istorio hori ez dago errealitatetik oso urrun. Sagarra erakarpenaren ondorioz erortzen bazen, zergatik ez luke Ilargiak erakarpen hori jasan behar? Lurrak Ilargiarengan (eta Eguzkiak planetengan) eragindako erakarpen-indarra, Lurrak sagarrarengan eragindakoaren berdina dela ondorioztatu zuen Newton-ek. Hitz gutxitan esanda, unibertsoko objektu guztien arteko erakarpen-indarra da grabitazioa! Gaur egun esaldi hori deigarria egiten ez zaigun arren, Newton-en aurretik inork ez zuen sekula pentsatu Lurreko objektuen eta unibertsokoen artean inolako loturarik egon zitekeenik. Newton-ek grabitatearen indarra distantziarekin txikituz doala ere ondorioztatu zuen. Grabitatearen inguruko bi ideia horiek unibertsala dela eta distantziarekin txikitu egiten dela dira Newton-en grabitatearen legearen oinarria. Newton-ek unibertsoko objektu guztiek beste edozein objektu erakartzen dutela proposatu zuen. Erakarpen-indar horrek ezaugarri hauek betetzen ditu: Indarra objektuen arteko distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala da. Indarra bi objektuen masen biderkaduraren zuzenki proportzionala da. 1.14 irudiak r distantziara bereizitako m 1 eta m 2 masa esferikoak irudikatzen ditu. Masa bakoitzak erakarpen-indar bat eragiten du bestearengan, indar grabitazionala hain zuzen. Bi indar horiek, akzio/erreakzio bikotea eratzen dute, beraz; F 1,2 eta F 2,1 indarrek m 1 F 2,1 1.14 irudia. Grabitate-indarrak masen artean. r(ua) r(m) F(N) 0.5 UA 7,50 10 10 1,41 10 23 1 UA 1,50 10 11 3,52 10 22 2 UA 3,00 10 11 8,81 10 21 3 UA 4,50 10 11 3,91 10 21 4 UA 6,00 10 11 2,20 10 21 5 UA 7,50 10 11 1,41 10 21 1.2 taula. Grabitate-indarra Lurraren antzeko planetentzat, hainbat distantziatara. 17
m lurrarekiko (ml) masa (kg) F(N) ml*0.5 2,99 10 24 1,76 10 22 ml 5,97 10 24 3,52 10 22 ml*2 1,19 10 25 7,04 10 22 ml*3 1,79 10 25 1,06 10 23 ml*4 2,39 10 25 1,41 10 23 ml*5 2,99 10 25 1,76 10 23 1.3 taula. Grabitate-indarra Lurraren antzeko planetentzat distantzia berean baina masa gehiagorekin. balio bera baina kontrako noranzkoak izango dituzte. Indarren balioa Newton-en grabitazio unibertsalaren legeak emango digu. Newton-en grabitazio unibertsalaren legea. m 1 eta m 2 masako bi objektu r distantziara badaude, objektuek erakarpen-indar bat eragiten dute batak bestearengan: m F 1,2 = 1 m F 2 2,1 = G r 2 Indarren norabidea bi objektuak batzen dituen zuzenaren norabide bera da. G grabitazio-konstantea da. Honako balio hau du nazioarteko unitate-sisteman: G = 6,67 10-11 N m 2 / kg 2 Objektuen arteko r distantzia handitu ahala txikitzen da haien arteko grabitazio-indarra. Haien arteko distantzia biderkatuz gero, indarra lau aldiz txikiagoa izango da. Ekuazio matematiko horrek duen garrantzia ikusita, garrantzizkoa iruditzen zaigu sakonago aztertzea. Tresna matematikoak Karratuaren alderantzizko erlazioa Bi balioak karratuaren alderantzizko erlazioa izango dute, baldin eta y-ren balioa x- ren karratuaren alderantziz proportzionala bada. Honela adierazten dugu erlazio matematikoa: A y = x 2 y y = A x 2 x bikoiztuz gero, y 4 aldiz txikituko da, grafikoan ikus daitekeen moduan. X 3 aldiz txikiagoa eginez gero, y 9 aldiz handituko da. x hirukoiztuz gero, y 9 aldiz txikituko da. Orokorrean: x C aldiz txikitzean y C 2 aldiz handituko da (1.15 irudia). 1 4 A A 0 1 2 3 4 1.15 irudia. Karratuen alderantzizko erlazio matematikoa. x Indar grabitatorio bat dago unibertsoko objektu guztien artean, baina tamaina arrunteko bi objekturen arteko erakarpen grabitatorioa oso txikia da, eta, ondorioz, ez da nabaria izango. Bi objektuetako bat (edo biak) bereziki handia denean baino ez da handia izango grabitazio-indarra. Lurrak zugan egiten duen indarra zure pisua handia da, Lurraren masa oso handia delako. Baina erakarpena bi norabidetan gertatzen da; Newton-en hirugarren legeak dioen moduan, Lurrarengan eragiten duzun indarra zure pisuaren berdina da. Dena dela, Lurraren masa handia dela-eta, arbuiagarria da indar hori. Esan bezala, Lurraren eta zure gorputzaren arteko erakarpen-indarra da zure pisuaren erantzule. Beste planeta batera bidaiatuko bazenu, zure masa berdina izango litzateke baina zure pisua aldatu egingo litzateke. 18
1.5 adibidea. Bi pertsonen arteko erakarpen grabitatorioa Fisikako zure gelan eserita zaude, zure ikaskide batetik 0.6 metrora. Estimatu zuen arteko erakarpen grabitatorioaren indarra, 65 kg-ko masa duzuela pentsatuta. Erantzuna: Masa guztia puntu batean baldin badago, hori ez da oso hurbilpen ona, baina baliagarria izango da estimazio bat lortzeko. 0,6 m izango da bi puntu horien arteko distantzia. 1.13. ekuazioa erabiliko dugu. Datuak ordezkatuz: Gm zu m beste ikaslea (6,67 10 F (zu) (beste ikaslea) = = -11 N m 2 / kg 2 ) (65 kg) (65 kg) = 7,8 10 r ( 2-7 N (0,60 m) ) 2 Indar hori oso txika da. Gutxi gorabehera ile baten pisua. 1.6 adibidea. Grabitazio-indarraren aldaketa Bi bola handiren arteko erakarpen-indar grabitatorioa 0.010 N-koa da 20 metrora daudenean, beraien zentroetatik neurtuta. Zenbatekoa da beraien zentroen arteko distantzia erakarpen grabitatorioa 0.160 N-koa denean? Erantzuna: Problema hori bi bolen masa jakin gabe ebatz dezakegu. Horretarako, indarren eta distantzien arteko zatidura hartu behar dugu kontuan. Indar grabitatorioak distantziaren karratuaren alderantzizko proportzionaltasuna du. Indarra (0,160N) / (0,010N) = 16 aldiz handiagoa egiten da. Beraz, distantzia 16 = 4 aldiz txikiagoa egin behar da. Distantzia berria orduan 20 m / 4 = 5,0 m. 6 Kepler-en hirugarren legea eta grabitazio unibertsalaren legea Orbita zirkularren kasuan, Newton-en grabitazio unibertsalaren legeak Kepler-en hirugarren legea dakar. Hori frogatzeko, demagun Eguzkiaren inguruan r erradiodun orbita zirkularrean v abiaduraz higitzen den planeta bat dugula. Eguzkiaren eta planetaren arteko erakarpen-indar grabitatorioak v 2 /r baliodun azelerazio zentripetua eragiten du. Newton-en bigarren legearen arabera, F = M p a norabide berdinean daudenez moduluak jarriko ditugu: G M e M p v = M 2 r 2 p r non M e Eguzkiaren masa eta M p planetaren masa diren. v 2 bakantzen badugu, honako hau dugu: GM v 2 = e r 19
Planetak 2π distantzia T denboran egiten duenez, haren abiadura periodoarekin erlazionaturik egongo da: 2πr v= T Aurreko ekuazioan lortutakoa ordezkatuz, honako hau lortzen da: Hau da; v 2 = 4π 2 r 2 T 2 Eguzkiaren M e masa planetaren masarekin ordezkatzen badugu, edozein planetaren sateliteen orbitentzat ere baliagarria da ekuazio hau. = G 4π 2 T 2 = r GM 3 e M e r 1.7 adibidea. Satelite geoestazionario bat kokatzen Komunikazio-sateliteak Lurreko puntu berdinaren gainean daude beti. Era horretako sateliteei geoestazionarioak esaten zaie. Zenbatekoa izan behar du bere orbitaren erradioak beti Lurreko puntu beraren gainean egon ahal izateko? Erantzuna: Satelitea beti Lurreko puntu berdinaren gainean egoteko, bere periodoak Lurraren periodoaren berdina izan behar du, hau da, 24 ordukoa. Segundotan T = 8,64 10 4 s. Satelitearen orbitaren erradioa 1.19 ekuazioaren bitartez kalkula dezakegu: GM e T 2 3 (6,67 10 ( 4π ) -11 N m 2 / Kg 2 ) (5,98 10 24 Kg) (8,64 10 4 s) 2 3 r= = ( 2 4π ) = 4,22 10 7 m 2 Hori oso orbita handia da, Lurraren erradioaren halako 7! 1 1 20 15. irudia. ZTG adibidea. NOAA-19 satelite geoestazionarioak jasotako bi datu multzo erabilita, landaretzak duen garapena aztertzen du irudiak. Satelite geoestazionarioak oso erabiliak dira eguraldia aztertzeko, eta baita telekomunikazioetan ere. Altuerak determinatzen du bere funtzioa, eta EEUU gobernuak ematen ditu baimenak.
7 Grabitatea beste planeta batzuetan Astronautak Ilargira iritsi zirenean, oinez eta jauziak emanez ibili ziren satelitearen gainean, haien jantziek 80 kg-ko masa baino handiagoa izan arren. Objektuek Ilargian gutxiago pisatzen dutela gogorarazi zigun horrek. Baina zergatik gertatzen ote da hori? 1.16 irudiak Ilargian m masadun harri baten pisua neurtzen ari den astronauta bat erakusten digu. Lurraren gainean objektu batek duen pisua kalkulatzen dugunean w = mg formula erabiltzen dugu. Kalkulu bera egin dezakegu Ilargian dagoen masa batekin, irudietan ikusten den bezala g -k Ilargian duen balioa erabiltzen baldin badugu, noski. Norabide bakarra dagoenez moduluak landuko ditugu: F = mg m M ilargia R ilargia w = mg Ilargia Objektuen erorketari buruz Ilargian egindako esperimentuetan, g Ilargia -k 1,62 m/s 2 balioa duela lortu da. Dena dela, harriaren pisua Ilargiaren grabitazio-erakarpenaren eraginez sortzen dela kontuan hartzen badugu eta R Ilargia Ilargiaren erradioa dela, beste ekuazio hau ere erabil dezakegu: GM Ilargia m F Ilargiak masan = R 2 Ilargia M ilargia GM ilargia m R 2 ilargia m Azken bi ekuazio horiek indar berdina adierazten dute, eta, ondorioz, biak berdindu ditzakegu honako hau aurkitzeko: R ilargia g Ilargia = GM Ilargia R 2 Ilargia 1.16 irudia. Astronauta bat masa neurtzen Ilargian. Kalkulua Ilargian dagoen objektu batentzat egin dugun arren, emaitza guztiz orokorra izango da. Planeta edo izar baten azalean, era honetara kalkula daiteke erorketa askeko g azelerazioa, grabitateak eragiten duena: GM g planeta planeta = R 2 planeta Ilargiaren kasu zehatzerako lortu dugun g ilargia = 1,62 m/s 2 baliora itzulita, objektu batek Ilargian Lurrean baino gutxiago pisatuko duela ondoriozta dezakegu. Ilargiko grabitate txikia dela-eta oso erraza da bertan oinez ibiltzea, baina urrats geldoez. Aurreko ekuazioak planeta baten azaleko g-ren balioa ematen digu. Era orokorragoan, demagun objektu bat dugula planetaren zentrotik r > R distantziara. Distantzia horretan objektuak izango duen erorketa askeko azelerazioa honako hau izango da: GM g= r 2 21
Emaitza orokorrago horrek aurreko ekuazioarekin bat egiten du r = R denean, baina r > R distantziara egon daitezkeen erorketa askeko azelerazioak zehazteko aukera ematen digu. Azken ekuazioak Newton-en ideia adierazten du: g-k txikitu beharko luke azaletik urruntzen garen heinean. Hegazkinean 10 km-ko altueran joanez gero, erorketa askeko azelerazioa Lurrekoa baino % 0,3 txikiagoa da. Transbordadore espazial bat aurki daitekeen altueran, hau da, gutxi gorabehera 300 km-ko altueran, ekuaziori jarraituz g = 8,9 m/s 2 -ko azelerazioa izango dugu; Lurraren azaleko erorketa askeko azelerazioa baino % 10 txikiagoa da ia-ia. Balio hori satelitearen orbitaren periodoa kalkulatzeko erabiltzen badugu, 90 minutuko periodoa duela lortuko dugu. g-ren balio horrek, lurrazalean lortzen dena baino zertxobait txikiagoa denak, adierazten du orbitan dagoen objektua ez dela grabitaterik gabea ; grabitatea egon badago espazioan, baina objektua (satelitea, esaterako) erorketa askean dago. 1.8 adibidea. Grabitatea Saturnon Saturno planetak Lurrak baino 100 aldiz masa handiagoa du, 5,68 10 26 kg. Erradioa ere Lurraren erradioa baino askoz ere handiagoa da 5,85 10 7 m. Zein da g-ren balioa Saturnoren azalean? Erantzuna: Ondorengo ekuazioaren bitartez, g Saturno kalkula daiteke: GM Saturno ( ) g = R = (6,67 10-11 N m 2 / Kg 2 ) (5,68 10 26 Kg) 2 Saturno (5,85 10 7 m) = 11,1 m/s2 Saturno 2 Saturnok Lurra baino askoz masa handiagoa du, baina erradioa ere askoz handiagoa denez, Saturnoren grabitatea Lurrarenaren nahiko antzekoa da. 22
Ariketak 1. NASAko zientzialariek Eguzkiaren inguruan orbita oso eliptikoa duen kometa berri bat aurkitu dute, eta kometaren periodoa 127,4 urtekoa da. Eguzkitik dagoen distantziarik hurbilena 0,1 UA dela jakinik, zein izan daiteke kometa Eguzkitik urrunen egon daitekeen distantzia? 2. Zein izango da Uranoren periodoa Eguzkiaren inguruan 2,87 10 12 m orbitan mugitzen bada, baldin eta Lurraren periodoa urtebetekoa bada eta Lurraren orbita 1,496 10 11 m-koa? 3. Duela gutxi asteroide berri bat aurkitu dute Europar Agentzia Espazialekoek, eta Hector izena jarri diote. Asteroide hori 5,16 UA erradioa duen orbita ia zirkularrean higitzen da Eguzkiaren inguruan, zein izango da, bada, orbita bat egiteko behar duen denbora? 4. Ilargiaren orbita Lurraren inguruan 27,3 egunekoa da. Bere orbitaren apogeoan 406.395 km-ko distantzian badago eta perigeoan 357.643 km-ko distantzian, zer abiadura izango du Ilargiak puntu bakoitzean? 5. Europa, bizi garen kontinentea izendatzeko erabiltzeaz gainera, Jupiterren inguruan dabilen satelite bat da. Bere orbitaren batez besteko distantzia 6,71 10 8 m dela eta bira bakoitza emateko 3,55 egun behar dituela jakinda, kalkulatu al dezakegu Jupiterren pisua? Zein da? 6. Askotan entzun da astronautak espazioan daudenean grabitateak ez duela eraginik haiengan. Esaera horiek gezurra ala egia dira? Kalkulatu zer indar eragingo dien Lurrak lurrazaletik 400 km-ra dagoen espazio-ontziko astronautei. Orduan, zergatik izango dute sentipen hori? 7. Lurraren periodoa (1 urte) eta Eguzkiaren inguruan egiten duen orbitaren batez besteko distantzia (1,496 10 11 m) eta G-ren balioa jakinda, esan zein den Eguzkiaren masa. 8. Urrutiko galaxia bateko M-545 planeta momentu angeluar konstantez mugitzen da S-24 izar handiaren inguruan. Planeta periheliotik pasatzean, Eguzkitik 1,0 10 15 m-ra, 5 10 4 m/s-ko abiadura darama. Zein izango da planeta horren abiadura afelioan, baldin eta 2,2 10 15 m distantziara badago S-24 Eguzkitik? 23
Ariketak 9. Estazio Espazial Internazionalak (ISS) 280.000 kg masa du eta Lurraren inguruan orbita zirkularra deskribatzen du, lurrazaletik bataz besteko 360 km-ko altueran. Goi-atmosferarekin duen marruskadura dela-eta, altuera galtzen du etengabe; eta, ondorioz, zuzenketak egin behar zaizkio aldiro. Demagun arrazoi horregatik estazioa 340 km-ko altuerara jaitsi dela, kalkulatu: a) Abiadura orbitalak 340 km eta 360 km altueran dagoela. b) Beharrezko energia estazioa orbitarik altuenera eramateko. c) Zein da periodoak jasango duen aldaketa orbita bakoitza kontuan izanda? Datuak G = 6,67 10-11 N m 2 kg -2 ; M Lurra = 5,99 10 24 kg; R L = 6,37 10 6 m. 10. Martek Eguzkiaren inguruan deskribatzen duen orbitaren batez besteko distantzia Lurrak deskribatzen duena baino 1,52 aldiz handiagoa da. Orbita zirkularrak direla dioen hurbilpena ontzat hartuta, kalkulatu Marten urte batek zenbat iraungo lukeen. Kalkulatu Marteren eta Lurraren momentu angeluarren koefizienteak Eguzkiaren erdigunearekiko. Datuak G = 6,67 10-11 N m 2 kg -2 ; M Lurra = 5,97 10 24 kg; M Lurra = 6,42 10 23 kg; Lurrean urtea 365 egun 11. Europako Agentzia Espazialak lan bat eskaini dizu. Martera satelite geo estazionarioak (puntu baten gainean geldirik daudenak) bidali nahi ditu. a) Zer ezaugarri izan behar du satelitearen orbitak? b) Marteren azaletik zer distantziara egongo dira? Datuak G = 6,67 10-11 N m 2 kg -2 ; M Marte = 6,41 10 23 kg; Errotazio-denbora = 24 h 37 min 23 s; Marteren erradioa = 3 388 km. 12. Lurraren inguruan orbita zirkular bat duen 500 kg-ko masako satelite artifizial batek 48 ordu behar ditu Lurraren inguruan bira bat emateko. Kalkulatu: a) Lurrazaletik zer altuerara dago? b) Zein da satelitearen azelerazioa orbita horretan? c) Zein izango da satelite horren periodoa Lurrazaletik Lurraren erradioaren distantzia bikoitzera jartzen baditugu? Datuak G = 6,67 10-11 N m 2 kg -2 ; M Lurra = 5,97 10 24 kg; R Lurra = 6 370 km 24
13. Eguzkiaren erdialdetik azalera dagoen distantzia: a) Zein izango da Eguzkiaren azalean egongo den azelerazioa? b) Zein izango da, gutxi gorabehera, Eguzkiak eta Lurrak Ilargiaren gainean egingo duten indarren koefizientea. Aukeratu erantzun bat eta arrazoitu erantzuna. a. 4000 b. 2 c. 10 6 d. 10-6 Datuak G = 6,67 10-11 N m 2 kg -2 ; M Lurra = 6 10 24 kg; M Ilargia =7 10 22 kg; M Eguzkia = 2 10 30 kg; R Eguzkia-lurra = 1,5 10 8 km; R Lurra-ilargia = 4 10 5 km 14. M = 3 10 24 kg masa duen planeta batek bera baino 16 aldiz masa txikiagoa eta 250.000 km erradioa duen orbita zirkularra egiten duen satelite bat du. a) Kalkulatu satelitearen abiadura orbitala. b) Kalkulatu planetaren erdigunea eta satelitearen erdigunea lotzen duen segmentuaren zer puntutan izango den grabitatearen azelerazioa nulua. c) Puntu horretan espazio-ontzi bat jartzen badugu eta perturbazio baten ondorioz planetarantz erorketa librean hasten bada, zein izango da planetaren azalean izango duen abiadura? Datuak G = 6,67 10-11 N m 2 kg -2 ; planetaren erradioa: 5.000 km 25