ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {0,,,,, 00} Δίνονται και οι πιθανότητες κ =,,, 00 Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(0) Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α, Β υποσύνολα του Ω Υποθέτουμε ότι P(A') 0,8 και P(B') 0,7 Να αποδείξετε ότι i) P(A Β),0 P(A Β) και A Β o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α' Ομάδας - Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιαγράμματα 6 i) Ασυμβίβαστα Δεν είναι ασυμβίβαστα i Δεν είναι ασυμβίβαστα iv) Ασυμβίβαστα 7 {ααα, αακ, ακα, ακκ, καα, κακ, κκα, κκκ} Ω = {αα, αβα, αββ, βαα, βαβ, ββ} Να βρείτε το δειγματικό χώρο και τα ενδεχόμενα με τη βοήθεια πίνακα διπλής εισόδου A' Ομάδας i) i) i 4 i) 6 i) 0% 0% 7 8 9 0,4 0 P(A B) P(A) + P(B) P(A) + P(B) P(A B) P(A) + P(B) κτλ 6% α) 4% β) % 4 0% i) κ + λ μ κ λ + μ i κ + λ μ % 4 Αν P(A) =, τότε P(A') = κτλ Να λάβετε υπόψη ότι Α Β Α και P(A B) 6 Να λάβετε υπόψη ότι P(Α') = P(A) και P(A B)
4 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ o ΚΕΦΑΛΑΙΟ i) 4000 9999 i 4 4 7 7 B i) i) y + + y y i) 4 ( ) i) Πάρτε τη διαφορά Πάρτε τη διαφορά Άθροισμα τετραγώνων i),, 4 i) 9, 8 και 0 0,9 και 0,7 i 4 46 και iv) 48,4 και 0, 4 i) 0, και 6, 6,8 και,68 6 Απαλοιφή παρονομαστών 7 < 0 B i) Απαλοιφή παρονομαστών, απαλοιφή παρονομαστών Πάρτε τη διαφορά Εκτέλεση πράξεων 4 i) Πολλαπλασιάστε με το πολλαπλασιάστε με το i) 4 i iv) 0 i) 4 ή 0 ή 6 i) d(,7, D) 0,00,6 και,7 B Χρησιμοποιήστε τριγωνική ανισότητα, i) = y= 0 0ήy 0 4 i) < < Αρκεί να δειχθεί < i) 9, έως 0,, έως 6,8 i,8 έως 4, 4 4 i)0 i 0 i) 4 0 i iv) 0 i) 0 + i + 4 4( 7 + ) B Χρησιμοποιείστε το ερώτημα (i) i) 6 o o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( + ) a i) i 7 iv) i) Αδύνατη ταυτότητα i) Αν, τότε =, αν =, ταυτότητα Αν, τότε =, αν =, αδύνατη i Αν 0 και, τότε =, αν = 0, αδύνατη, αν =, ταυτότητα + iv) Αν 0 και, τότε =, αν = 0, ταυτότητα, αν =, αδύνατη 4 i) =, = 70 και 0 8 v v0 RR 6 i) t = R = R R 7 i) 4και και 8 i) 0και και0
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 9 i) και και 0 i), και i) και αδύνατη, i) αδύνατη με 0 και i αδύνατη iv) με και (,0, ), (,,) και (,, ) 4 i) 4 και και i iv) αδύνατη i) και αδύνατη 6 i) 9 και και B, 0, 0, 0ml 4 λεπτά, Αν 0, τότε =, αν = 0, τότε με 0 6 = 0, 7 και, 8 και i) i i) i i) 8και 8 και i και 4 i) 0και 0και i 0, και 9 6 i) i και 4 i) και i αδύνατη i), και, 0και i αδύνατη i) Δ= 4( ) ( ) 4 και Δ = Δ= 4, ( ) 6 i) + 6= 0 i 0+ = 0 7 i) και + = 0 9+ 4 9 4 και 8 i) και και 9 ( ) ( ) + και 0 4 και 0 i),, 4 και 4 και i 6, 6, και, 0και +, και 4 i) και i) και και i αδύνατη 7και 4 Θέτουμε όπου το i) και και 6 i) Δ= 4 + και4, = 7, 4 και 8 9 ώρες, 4 ώρες 0 = 9, ρίζες είναι οι :,, και o 4 o ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 i) < αδύνατη i 0 i) <, Όχι, 4 0, και, i) (,) [ ] i (,) 6 i) (, ] [, + ) (, ) (, + ) i (, ] [, + ), 7 i), 8 i) (,) 9 [,8] 0 + < [,0 ] 7 i), 4 i) [ 4, ] [, 4] [,] [ 7,9] i) i 4 i) 4 i 7 4 4, i) ( )( ) ( )( ) +
6 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ( ) i) + 7 i) > 0, για (, ) (, + ) + = i 4+ > 0 για 4 4 ( ) 4 i) + 4 > 0 για (,) + = i + < 0 για 9 6 ( ) i) [ 0,4] [ 4,] i 6 i) (, ) (, + ), 7 i), = 8 i) Αδύνατη 9 (,) 0 ( 4, ) (, 4) (, ) (,) B i) ( ) ( ), ( + ), και + ( ) ( )( + ) +, και 4 i) 4 < 0 ή > 4 i 0 < < 4 4 0 < < 9 6 i) Δ = 8 4, < ή > 0 < 7 Το Μ βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία που τριχοτομούν την ΑΓ 8 Α > 0 με, ομόσημους, Α < 0 με, ετερόσημους 4 + + + P( ) 0 0 0 + P( ) 0 + 0 0 (,) (, + ) 4 [,0] [, + ) (, ] { } [, + ) 6, (,) 7 i) (, ) (, + ) 8 (, ] (, ] B 7 i),, ( ] (, ] (,4],, + i), [,] (, ), [, + ) 4,0 ( 0, ),9 < < 4,4 6 < t < 4 4o o ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Α' A Ομάδας i) i),, 7, { 9, }, 4, { 0,4 8, 6, } i i iv), 6, ( 0,+, 0, ) 0 iv) 0,,,, 4 v), 0,, 0,0, 0,00, 0,000 i) [, ] vi) v 4,,,, 0 (, ] [, + ) vi i) i [, ] iv) [ 0,) (, + ) ),, i),,,, 4 i) f ( ) = ( + ) i) 0,,,,, 6 4,,8,0 i) = αδύνατο i = ή = i, 4, 6, 0, 8 i) 4 α = 6 και α ν+ = + α ν A α = και α ν+ = α ν < < και < y < 6 i α = και α ν+ = α ν + i) (, ) (, ) i (, iv) α ) = 8 και α ν+ = + α ν iv) (, ) 4 i) α ν = ν α ν = ν 4 i) i 4 iv)
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 7 Α' Ομάδας i) α ν = ν + 4 α ν = ν + 9 i α ν = ν + 8 iv) v) α ν = ν i) α = 68 α 0 = 44 i α 0 = iv) α = 89 v) vi) α 47 = i) α = 7 ω = α =, ω = 4 i α = 4, ω = 4 i) α 0 = 8, α 8 = i) Ο όρος ο όρος 6 i) = 6 7 i) 0 και 0 8 i) 840 60 i 60 iv) 60 9 i) 90 080 0 i) 490 86 i 00 i) 9 όρους 8 όρους i),8 Πάρτε τη διαφορά α ν+ α ν, α = 8 ω = 4 i) 40000 9000 i 606 i) 900 66 4 i) 0 40 S = (+++00) (4+8++00) (9+8++98) +(6+7++80) = 6 6 Απαιτούνται τουλάχιστον 0 πρώτοι όροι 7 η γραμμή: 0, 780 η γραμμή: 4, 9 η γραμμή:, 4 4η γραμμή: 8 68 8 78 το /ωρο και άρα 6 το 4/ωρο 9 8840, 480 0 0, 7, 4,, 8, 4,, 9, 66, 7 40m βάθος Α' Ομάδας i) α ν = ν α ν = ν i α ν = ν+ iv) v) vi) i) α 9 = 64 α 7 = 48 i iv) α 0 = v) i) α = 4 i) λ = i) 6 9 όροι 7 i) Ο όρος O όρος 8 i) 0, = 9 i) 0 87 i 64 0 i) 09 8 i 7 88 0,74m Πάρτε το λόγο ν = 4 i) Σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με όρο και λόγο λ 4 Σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με όρο και λόγο λ k 0 6 α ν+ =,0 α ν, 09,8 εκατομμύρια 7 Ι ν+ = 0,9 Ι ν, 0, Ι 0 8 i) 9 i) D ν+ = 0,9D ν 0,87 lt 0 9,0 τόννοι i) S ν = 4 ν 4 A' Ομάδας 68,4 ευρώ 704,87 ευρώ % 4 74,0 ευρώ v α ν = (0,4) ν vi α ν = ( ) ν i) α ν = ( ) ν
8 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4o 6 o ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 4 i) { } { 0,4} i iv) ( 0,+ ) i) [, ] (, ] [, + ) i [, ] iv) [ 0,) (, + ),, 4 i) f ( ) = ( + ), 4,,8,0 i) = αδύνατο i = ή = 6 4 < < και < y < 6 i) (, ) (, ) i (, ) iv) (, ) 4 i) i 4 iv) = + i) ΑΒ = ΑΓ ( ΒΓ) ( ΑΒ) ( ΑΓ) 6 ( ΑΒ) = ( ΒΓ) = ( ΓΔ) = ( ΔΑ) = 7 i) i 4 0, 4 8 i) ( 4,0 ), ( ) (,0 ), (,0 ), ( 0,6 ) i (, 0 ), ( 0, ) iv) ( 0, ) v) (, 0 ) vi) (,0), (,0 ) 9 i) ( 0, ), (, 0 ),(, 0) < > 0 i) (, ), (,4 ) < < ή 6 4 i) 4 60 i iv) 0 i) i 0 iv) i) y = + y = + i y = 4 i) y = + y = + i y = iv) y = + 40 C 6 Αποτελείται από την ημιευθεία y = +, 0, το ευθ τμήμα y =, 0 και την ημιευθεία y = +, 7 i), και, 0, (,) { }, [,0] [, + ) 8 i) [,], (, ) (, + ) B i) f ( 6) =, f ( ) =, ( ) f 4 = 0, f ( ) =, f ( ) =, ( ) f ( 0) =, ( ) f ( ) = 0, ( ) f = 0, f =, f ( ) =, f 4 =, f ( ) = f ( ) = 0 : 4,, f ( ) = :, 4 f ( ) = : [ 0,] { 6} i y = 0,, [,] { } y =, i) Β() t = 000 00t, 0 t 0, Δ() t = 600 + 00t, 0 t 0, t=7min 4 f ( ) = + 8, 0 4 0 i) h () t = t+ 0,0 t h () t = t + 0, 0 t 4,4 h i,4 h 64 44 i) ( ) ( ) i ( + ) iv) ( ) 6 4 + f (,], f [, + ), g (,0], g [ 0, ], g [,+ ), h (, ] h [, 0], h [ 0, ], h [, + ), f () = ολικό ελάχιστο, η g δεν έχει ολικά ακρότατα, h = oλικό ελάχιστο h( ) =, () i) Αρκεί f ( ) f ( ) Αρκεί g ( ) g( ) 4 i) Άρτια άρτια i τίποτα iv) περιττή v) τίποτα vi) περιττή i) Άρτια τίποτα i περιττή iv) περιττή v) άρτια vi) άρτια 6 i) Περιττή άρτια i τίποτα, 7 i) Άρτια περιττή i τίποτα
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 9 7 o ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 y = 4 > < ή > f (,0], f [ ) f ( 0) = 0, ελάχιστο i) α) β) < < <, 0,+, > > > 4 7 y = 4 0 ή <, 0 > < <, 0 ή < 0 > < < 6 4 y 7 y = + i) ( ) = α) = ελάχιστο 49 β) g = 6 μέγιστο y ( ) = i) i, i) < 0 Δ > 0 i =, = i) f ( ) = + 0 ( ) f = 4 i) E= ( 6 8) + ΜΑ=ΜΒ 0, 40 4 8 6 0 0 9 6 0 4 8 7 4 < < i = ή= 6 A) i) t = 6 t =, t = 0 7 E = 8τμ 8 < 9 Β) Αν < 0, αδύνατο, αν = 0, δύο λύσεις, αν 0 < < τέσσερις λύσεις, αν = τρεις λύσεις, αν > δύο λύσεις 0 i Αν =± δύο λύσεις, αν 0< < ή < < 0, τέσσερις λύσεις, αν =± τρεις λύσεις, αν < ή> αδύνατο = i f : ελάχιστο, g : ελάχιστο 0, μέγιστο, ναι,0 0 6 i) f ( ) = 0 00, 0 40 + 00, 40 60 i = 7 = 8 =, E =,τμ 9 i) 4, 0 ( ) E = 4 Να λάβετε υπόψη ότι P(0) + P() ++ P(00) = i) P(A') = P(A) κτλ Να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής