1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Transcript

1 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Α Ομάδας,, 6,, t ή t π π,, θ ή θ 0, R {, } 6 x 7 (,] [7, ) 7 x 7x x x, x x 8 i) ii) -0 iii) iv) v) E ( θ) 0 ημθ, 0 θ 80 i) x ( x )( x ) κτλ ii) h ( h) ( h )( h ) κτλ Α Ομάδας i) ii) - iii) 0 i) π ii) π i) 0, ii) 00 i) y 9 ii) y x 9 i) 0 ii) iii) iv) 8 v) -0 vi) A Ομάδας B Ομάδας Να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα v α v α E ( x(0, 0 x 0 0 h V ( h) π h, 0 h 0 π 0 E( r) πr πr (0 πr), 0 r π υ ( θ) 0 ημθ, 0 θ 80 8 i) 0 ii) x iii) 9x i) x ii) x iii) x 6 i) ii) x x i) x x x x iii) x x i) x ii) 0x 6 9 iii) 8x

2 80 6 i) iii) 9 x x x 7 i) x ii) x iii) x x 8 i) x συνx ii) 6ημx 8(x ) 9 6 i) 7x x x ii) συνx συνx 0 i) συνx xημx ii) (8x x )ημx (x ) συνx i) x x ημx xσυνx ii) ( x ) ημ x συνx xημx iii) ( συν ημx 6 i) ii) ( συν ( x ) i) ( x ) ii) x συνx iii) (x (x ) i) ημ x συνx ii) x συνx iii) ημx x συνx iv) συν x x συνx i) ii) x x ημx 6 i) e x ii) xe αx β iii) αe iv) x x ( e e ) 7 i) x α ii) iii) x αx β iv) ( x ) ln x 8 i) ii) e x ln x x x 9 i),08 ii) ( ) 0 i) ( t ) ii),, 0 09 B Ομάδας ( 0, 0), (, 6) (, 8), (, ) ( 0, 0), (,) υ ( t) t t, t, t α, α() f ( Aωημωx Bωσυνωx f ( Aω συνωx Bω ημωx κτλ px px 6 f ( αpe βpe px px f ( αp e βp e κτλ 7 -, 8 y x π α 9 i) P ( I) ( α βi) ii) Να κάνετε τις πράξεις στο ο μέλος 0 i) υ( t) Aωσυνωt α( t) Aω ημωt ii) α( t) ω y iii) α ( t) 0 συνωt κτλ Α Ομάδας i) Ελάχιστο: f ( ) ii) Μέγιστο: f ( 0) 6 iii) Ελάχιστο: f ( ) i) Μέγιστο: f ( 0) Ελάχιστο: f ( ) 7 ii) Ελάχιστο: f ( ) Μέγιστο: f ( ) i) f (, γνησίως αύξουσα ii), γνησίως φθίνουσα f ( x iii) f ( ( x ), γνησίως αύξουσα iv) f ( x 0 για κάθε x R, άρα γνησίως φθίνουσα 00 Το τετράγωνο με πλευρά 0m 6 Πλευρά βάσης dm, ύψος dm 7 dm 6 8, 9 λ c 0 Καθένας είναι ίσος με

3 8 Β Ομάδας υ ( r) 00 p 00q, r υ ( r) 00 p 0 κτλ r υ ( κ(xln x, υ ( κ(ln x ) κτλ Πλευρά βάσης 0cm, ύψος 0cm ,m, 6m 0 0 Είναι το τετράγωνο 6 Διάμετρος κύκλου = λ Πλευρά τετραγώνου= π 7 t κ ln κ κ κ i) 0, υ υ ii) 0000 Km/h 9 Καθεμιά Ω 0 Θα έχουν, διότι η ελάχιστη απόσταση των πλοίων θα είναι Km ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i) 0, 76 iii) ρ 0, 6 μονάδες από 8 εργάτες (, ) β p q ( α β) αλ κτλ λ 0 0 Διάμετρος cm, ύψος= cm 6 Ύψος = Διάμετρος βάσης 7 π R 7 8 β) i) 600,,6, 0600,,, ,,87, 8 ii) 6,, 9 α) P ( R( C( κτλ β) 00 0 i) AΓ κτλ ii) t ( υ d x, BΓ d ( d x υ d x x d ( d x ) d iii) Όταν t ελάχιστος, τότε t ( 0 κτλ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ποιοτικές: γ, δ, στ, ζ Ποσοτικές-διακριτές: β, η, θ, ι Ποσοτικές-συνεχείς: α, ε Είναι δυνατόν να έχουμε διάφορες μεταβλητές για κάθε περίπτωση Για παράδειγμα: α) μισθός (ποσοτική-συνεχής), ηλικία (ποσοτική-διακριτή), φύλο (ποιοτική) κτλ (ε) Είναι δυνατό να έχουμε διάφορους λόγους ακαταλληλότητας των επιλεγομένων δειγμάτων Για παράδειγμα: α) Θα έχουμε υπερεκτίμηση των ανδρών κτλ Α Ομάδας β) i) 6% ii) % iii) 8% Έχουμε αγόρια με βαθμό <, κτλ α) Το % των φοιτητών είναι αγόρια με βαθμό <, κτλ α) 76% β) 6% γ) % δ) 8% ε) 6% Από τη σχέση v f v βρίσκουμε πρώτα το μέγεθος v 0 Να βρεθεί μετά το N κτλ 6 Να εργαστείτε όπως στο σχήμα (γ) 7 Να κατασκευάσετε πρώτα τον πίνακα συχνοτήτων και μετά να εργαστείτε όπως στα σχήματα (β) και 8 Για τους v 0 μαθητές έχουμε 0% με τιμή x Λίαν καλώς Δηλαδή

4 8 f% 0 v α 08, κτλ 9 Να εργαστείτε όπως στα σχήματα (β) και 0 Να εργαστείτε όπως στο σχήμα (γ) Να εργαστείτε όπως στο σχήμα γ) άτομα δ) επίδοση 7 0% ΝΑΙ Το εμβαδόν πρέπει να είναι 00 Β Ομάδας Για τη Λέσβο υπάρχει πτωτική τάση ενώ για τη Σαλαμίνα υπάρχει ανοδική τάση Για τη Θάσο υπάρχει περίπου σταθερή κατάσταση Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Έτος Ηλικία 0-0 Σύνολο Ανάλογα με την άσκηση β) γυναίκες, άνδρες γ) 69 δ) Δεν μπορούμε να ξέρουμε με τα στοιχεία που μας δίνονται Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 6 α) Φάρμακο Α 7,% και Φάρμακο Β 6% 7 Επειδή v να χρησιμοποιήσετε κ 7 κλάσεις με πλάτος c, 8 Α Ομάδας 0,,, 6, 8, 0 με διάμεσο δ α) ΝΑΙ, β) ΟΧΙ, γ) ΝΑΙ 8,% α) 06,cm β) cm,8 6 Και στις περιπτώσεις έχουμε: x gr, δ gr, M 0 gr 7 α), β) δρχ 9 Οι και 6 0 α), β), γ) α) x,, β) δ, γ) M 0, δ) Q, Q 7 α) x,, β) M 0,, γ) Q,, δ, Q 6 α) 69,66cm, β) 70cm, γ) 69,67cm α) Μικρότερη διασπορά έχουμε στη δεύτερη λίστα και μεγαλύτερη διασπορά στην τρίτη β) ΟΧΙ α) x 0, M 0, δ β) Q 7, Q γ) R, s,87, cv 8,7% 6,7 7 α) 6%, β),%, γ) 0%, δ) 8,% 8 α) x, δ β) x 6, δ γ) x, δ δ) x 6, δ 9 α) s, β) s 6, γ) s, s 0 v 8 Β Ομάδας β) x, δ γ) P ή - α) x 00 δρχ, δ 00 δρχ, M δρχ β) Αυξάνουν κατά 8% γ) Αυξάνουν κατά 00 δρχ Να γίνουν οι πράξεις α) 60, β), γ), εκατομ δρχ, δ) x, 7 εκατομ δρχ, s, ε) Q, 8, δ,, Q 8, 6 α) s, 9, cv,7% β) Q Q Q 9 7 Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 7 Α Ομάδας Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 6 i) y x, ii) y 6,7 0, 67x 6 α) yˆ x, β) yˆ 6 x, γ) yˆ,9 0, x δ) yˆ, 0, x yˆ 8,98, 6x

5 8 α) y 0,, 07x, β) 6 Β Ομάδας α) Η ηλικία γ,δ) Καθένας από τους μαθητές μπορεί να φέρει τη δική του ευθεία, οπότε θα έχει και διαφορετική πρόβλεψη συστολικής πίεσης α) 78,7 cm β) 77, cm α) 68, cm β) 68, cm α) yˆ,88, 8x β) Περίπου 7 έτη και 7 μήνες γ) Περίπου έτος και μήνες α) xˆ, 0, 7y β) Περίπου έτη και μήνες γ) Περίπου 9 μήνες Α Ομάδας 0, 0,, -0,6, -0,7, 0,9, - α) Θετική - μεγάλη, κτλ α) r 0, 99, β) r 0, 9, γ) r 0, 70 δ) r 0, 0 ε) r 0, α) r, β) r r 0, 7 6 r 0, 97 7 β) r Β Ομάδας α) r β) r r 0, 87 r 0, r 0, 77 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ x, 0, δ, M 0, s, 9 Να εργαστείτε όπως στο σχήμα α) v 60, κ, c γ) x,, δ,, M 0,, s,9 00 v 8 6 κτλ 00 β) x,, s 7, γ) i) 8, ii) δ) Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 8(β) α) Να εργαστείτε όπως στο σχήμα (γ) β) x , x99 7 α) i) τις λυχνίες τύπου Β ii) δεν έχουμε προτίμηση iii) τις λυχνίες τύπου Α β) cv A 9,8%, cvb 8,8% 6 α) Να εργαστείτε όπως στο σχήμα (γ) β) Ο σταθμικός μέσος 7 Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 8 α) yˆ 6, 0, x β) 68, 9 κάτοικοι/km 9 γ) y 6, 0, x 0 α) yˆ 0,06 0, 6x β) δρχ γ) Πρέπει να βρείτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων της Χ πάνω στην Υ Δείτε και την άσκηση 7(α) Α Ομάδας της Fˆ, 8C r( X, Y ) εάν λ 0 r ( X, Y ) r( X, Y ) εάν λ 0 yˆ 6, 8, 87x y ˆ99 7 διαζύγια, y ˆ διαζύγια ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α Ομάδας Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα 6 i) Ασυμβίβαστα ii) Δεν είναι ασυμβίβαστα iii) Δεν είναι ασυμβίβαστα iv) Ασυμβίβαστα 7 Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα Β Ομάδας Ω { αα, αβα, αββ, βαα, βαβ, ββ}

6 8 Να βρείτε το δειγματικό χώρο και τα ενδεχόμενα με τη βοήθεια πίνακα διπλής εισόδου Έστω x B, τότε x B κτλ Να χρησιμοποιήσετε διάγραμμα Venn Α Ομάδας i) i) i) ii) ii) 0 ii) 8 6 i) 0% ii) 0% , 0 iii) 0 P ( A P( P( P( P( P( A P( P( κτλ 6% α) % β) % 0% Β Ομάδας i) κ λ μ ii) κ λ μ iii) κ λ μ %, 7 7 Αν P( x, τότε P( x κτλ Να λάβετε υπόψη ότι A B A και P ( A 6 Να λάβετε υπόψη ότι P( A ) P( και P ( A Α Ομάδας 00, 6000, 60, 6 7!, 7 8 v v! v! κ κτλ κ!( v κ)! ( v κ)! κ! 8, Β Ομάδας! v, 0 i) ii) 6 Περίπου 7% 7 800, v 9,, iii) 0,8, 0, Α Ομάδας

7 8 6 7,, 9, i) Όχι ii) Όχι iii) 9 Να λάβετε υπόψη ότι P( A P( P( A 0 i) ii) Β Ομάδας ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λάβετε υπόψη ότι P ( 0) P() P(00) i) Να λάβετε υπόψη τους κανόνες λογισμού πιθανοτήτων ii) Να χρησιμοποιήσετε την εις άτοπον απαγωγή i) 9! ii) 6 7 λ Χωρίς επανατοποθέτηση: κ λ λ Με επανατοποθέτηση: κ λ i) Να λάβετε υπόψη ότι P( A P( P( A ii) Να λάβετε υπόψη ότι P( A P( P( A iii) Να λάβετε υπόψη ότι A B ( A 0,96 8% i) 8% ii) 7% 7 Όχι, έχουν ίδια πιθανότητα i) ii) iii) , 087, δηλ 8,7% 09