Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου, Κουντζάκη Χρήστο, για την υπομονή του και τη πολύτιμη καθοδήγηση που μου παρείχε

Σάμος, 2016

Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου, Κουντζάκη Χρήστο, για την υπομονή του και τη πολύτιμη καθοδήγηση που μου παρείχε καθ όλη τη διάρκεια της παρούσας εργασίας.

Περιεχόμενα Μέρος Α: Θεωρητικό Μέρος Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγικές Έννοιες 1.1 Εισαγωγή....1 1.2 Στόχοι...3 1.3 Βασικές Έννοιες και Ορισμοί...4 Κεφάλαιο 2 ο : Παρουσίαση Ερευνητικών Εργαλείων 2.1 Βελτιστοποίηση Χαρτοφυλακίου...20 2.1.1 Κατά Harry Markowitz (Modern Portfolio Theory)...20 2.1.2 Αποτελεσματικό σύνορο..22 2.1.3 Min-Max Μέθοδος.....24 2.1.4 Post Modern Χαρτοφυλάκιο.....25 2.2 Αξία σε Κίνδυνο (Value at Risk)..27 2.2.1 Παραμετρική μέθοδος υπολογισμού του VaR 28 2.2.2 Υπολογισμός VaR με χρήση Ιστορικής Προσομοίωσης...30 2.2.3 Υπολογισμός VaR με χρήση Monte Carlo...33

2.3 Λοιπά μέτρα κινδύνου... 34 2.3.1 Οριακή VaR... 34 2.3.2 Συνιστώσα VaR...35 2.3.3 Επαυξημένη VaR...36 2.3.4 Expected Shortfall...36 Μέρος Β: Εφαρμογή Κεφάλαιο 3 ο : Βελτιστοποίηση Χαρτοφυλακίου με τη χρήση του Sharpe Ratio....37 Κεφάλαιο 4 ο : Εφαρμογή Value at Risk και Excepted Shortfall.......53 Κεφάλαιο 5 ο : Εύρεση αποτελεσματικού συνόρου με τη χρήση του κλασικού μοντέλου βελτιστοποίησης του H. Markowitz 79 Κεφάλαιο 6 ο : Κατασκευή Χαρτοφυλακίων....86 Κεφάλαιο 7 ο : Σύγκριση Χαρτοφυλακίων και Συμπεράσματα.92 Βιβλιογραφία

1 Μέρος Α: Θεωρητικό Μέρος Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγικές Έννοιες 1.1 Εισαγωγή Ο χώρος της χρηματοοικονομικής διοίκησης αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά πρακτικά πεδία έρευνας. Η πολύπλοκη μορφή που έχουν αποκτήσει οι χρηματοοικονομικές αγορές κυρίως λόγω της παγκοσμιοποίησης έχει ως συνέπεια την απώλεια υψηλών κεφαλαίων από χρηματοπιστωτικούς οργανισμούς και επιχειρήσεις. Το γεγονός αυτό αναδεικνύει τη σπουδαιότητα καθώς και την αναγκαιότητα της χρηματοοικονομικής διοίκησης, η οποία έχει αποκτήσει ιδιαίτερο ρολό και σημασία για κάθε οργανισμό και επιχείρηση. Σκοπός λοιπόν κάθε εταιρίας είναι η αντιμετώπιση καταστάσεων οι οποίες παρουσιάζουν αυξημένη πιθανότητα απωλειών. Η πλειοψηφία όμως των συγχρόνων χρηματοοικονομικών προβλημάτων παρουσιάζουν ιδιαίτερη πολυπλοκότητα, με αποτέλεσμα ολοένα και πιο εξελιγμένα μαθηματικά εργαλεία να χρειάζονται για την επίτευξη αυτού του στόχου. Για την επίλυση αυτών των προβλημάτων απαιτείται ο συνδυασμός της χρηματοοικονομικής θεωρίας με συγκεκριμένα μοντέλα ανάλυσης και λήψης αποφάσεων. Σε κάθε χρηματοοικονομικό ίδρυμα και κυρίως στις τράπεζες δίνεται μεγάλη βαρύτητα στην ανάλυση και την όσο το δυνατό καλύτερη διαχείριση των κινδύνων με την δημιουργία ξεχωριστών μονάδων διοικήσεως για το σκοπό αυτό. Η διαχείριση κινδύνων εξετάζει την δυνατότητα που έχει κάποιο συμβάν να προκαλέσει ζημιά. Μέσα από συγκεκριμένες στρατηγικές, για κάθε παράγοντα κινδύνου, η διαχείριση κινδύνων αναλύει την επικινδυνότητα κάθε ρίσκου που η επιχείρηση, αναλαμβάνει. Έτσι αναλύει τους κινδύνους στους οποίους είναι εκτεθειμένη η εταιρία και εκτιμάει το κόστος που θα προκληθεί σε κάθε περίπτωση. Εκτός του υπολογισμού του κινδύνου που φέρει το χαρτοφυλάκιο μιας εταιρίας και ο υπολογισμός του οποίου όπως αναφέραμε είναι κομβικής σημασίας, οι εταιρίες

2 επικεντρώνονται και στη βελτιστοποίηση του χαρτοφυλακίου τους. Πατέρας της θεωρίας του χαρτοφυλακίου είναι ο νομπελίστας Harry Markowitz, που μεγάλες του ανακαλύψεις κατά τη διάρκεια της περιόδου 1940-1950 έθεσαν τις βάσεις για την εξέλιξή της θεωρίας αυτής μέχρι σήμερα. Με τον όρο διαχείριση χαρτοφυλακίου εννοούμε τις απαραίτητες ενέργειες που πρέπει να πραγματοποιηθούν, σε κάθε χαρτοφυλάκιο, έτσι ώστε να διασφαλιστεί το κεφάλαιο το οποίο έχει επενδυθεί. Η μεγαλύτερη συνεισφορά της Σύγχρονης Θεωρίας Χαρτοφυλακίου ήταν η θεμελίωση της ιδέας της αναλογίας ρίσκου-απόδοσης για τις επενδύσεις. Ορίζοντας το επενδυτικό ρίσκο με αριθμητικούς όρους, ο Markowitz έδωσε στους επενδυτές ένα μαθηματικό πλαίσιο για να προσεγγίσουν την διαχείριση χαρτοφυλακίων καθώς και για την σωστή επιλογή αξιογράφων.

3 1.2 Στόχοι Στόχος της συγκεκριμένης διπλωματικής εργασίας, είναι η παρουσίαση διαφόρων μεθόδων κατασκευής βέλτιστων χαρτοφυλακίων, καθώς και η μεταξύ τους σύγκριση. Για το σκοπό αυτό θα κατασκευαστούν τα χαρτοφυλάκια Minimum Var Portfolio, Max Expected Return for a given level of Risk Portfolio, Maximum Sharpe Portfolio, Minimum Value at Risk Portfolio και Maximum Expected Return for a given level of Value at Risk για τα οποία θα αναφερθούν τα πλεονεκτήματα και τις αδυναμίες τους.

4 1.3 Βασικές Έννοιες και Ορισμοί Επένδυση Η επένδυση είναι μια διαδικασία κατά την οποία ο επενδυτής δεσμεύει κάποια κεφάλαια Κ για ένα χρονικό διάστημα t με σκοπό την επίτευξη κέρδους. Δε μπορεί να είναι γνωστό όμως το αποτέλεσμα της επένδυσης εκ των προτέρων αφού στο χρονικό αυτό διάστημα μεσολαβούν αστάθμητα, μεταβλητά μη αναμενόμενα γεγονότα. Η επένδυση είναι ο κυριότερος συντελεστής ανάπτυξης μιας επιχείρησης. Στη χρηματοοικονομική, οι επενδύσεις αποτελούν απόδειξη χρέους, ιδιοκτησίας ή δικαιώματος αγοροπωλησίας μεριδίου ιδιοκτησίας και ονομάζονται αξιόγραφα. Τα πιο συνηθισμένα είδη αξιογράφων είναι οι μετοχές, οι ομολογίες και συμφωνίες αγοραπωλησίας. Πιο αναλυτικά κάποια από τα είδη των χρηματοοικονομικών επενδύσεων είναι : 1. Μετοχές a. Κοινές μετοχές i. Αντιπροσωπεύουν κεφάλαια που έχουν δοθεί στην εταιρεία και για τα οποία δεν υπάρχει νομική δέσμευση επιστροφής τους ii. Αντιπροσωπεύουν δικαιώματα ιδιοκτησίας της εταιρείας iii. Οι κάτοχοι των μέτοχών λέγονται μέτοχοι και είναι οι ιδιοκτήτες της εταιρείας. iv. Διαπραγματεύονται στην κεφαλαιαγορά b. Προνομιούχες μετοχές i. Έχουν απαιτήσεις στα κέρδη της εταιρείας και στα περιουσιακά στοιχεία της εταιρείας µε προτεραιότητα έναντι των κατόχων κοινών µμέτοχών. ii. Ενίοτε οι κάτοχοι προνομιούχων µμέτοχών έχουν το δικαίωμα να λαμβάνουν µόνο κάποιο συγκεκριμένο ποσοστό από τα κέρδη. iii. Διαπραγματεύονται στην κεφαλαιαγορά.. c. Εγγυήσεις. Είναι αξιόγραφα που εκδίδονται από την εταιρεία και δίνουν στον κάτοχο τους το δικαίωμα να αποκτήσει μετοχές της εταιρείας σε μια προκαθορισμένη τιμή και εντός ενός προκαθορισμένου χρονικού διαστήματος.

5 2. Ομόλογα. Είναι ένα αξιόγραφο που αποτελεί απόδειξη χρέους του εκδότη του ομολόγου προς τον κάτοχο του ομολόγου. 3. Παράγωγα. Ένα παράγωγο είναι ένα συμβόλαιο που καθορίζει τις συνθήκες κάτω από τις οποίες, οι αντισυμβαλλόμενοι ανταλλάσσουν περιουσιακά στοιχεία κατά τη διάρκεια της ζωής του συμβολαίου. 4. Δικαιώματα. Ένα δικαίωμα είναι ένα συμβόλαιο το οποίο δίνει στον κάτοχο του έναντι αμοιβής το δικαίωμα να πράξει µε κάποιο τρόπο εφόσον αυτό είναι προς το συμφέρον του. Τα αξιόγραφα αυτά γίνονται προϊόν διαπραγμάτευσης σε οργανωμένες αγορές και η αξία τους προσδιορίζεται βάση των αρχών της οικονομικής θεωρίας αλλά και της αρχής της προσφοράς και της ζήτησης. Ένας συνδυασμός διαφόρων περιουσιακών στοιχείων τα οποία κατέχει ταυτόχρονα ένας επενδυτής αποτελούν ένα χαρτοφυλάκιό. Ο επενδυτής θα επενδύσει ένα ποσό W στην αρχή μιας δεδομένης περιόδου σε αξιόγραφα της αρεσκείας του, για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα (περίοδος δια κράτησης). Με το τέλος της περιόδου ο επενδυτής θα ρευστοποιήσει τις θέσεις του και θα πράξει σύμφωνα με τις προτιμήσεις του (είτε θα προβεί σε επανεπένδυση, είτε θα αποταμιεύσει, είτε θα καταναλώσει). Απόδοση Μια βασική έννοια είναι αυτή της απόδοσης η οποία αποτελεί ένα δείκτη ο οποίος χρησιμοποιείται για να συγκρίνει το κέρδος που αποκομίζει ένας επενδυτής μέσα σε μια χρονική περίοδο. Η χρονική περίοδος μπορεί να είναι μια ημέρα, ένας μήνας, ένας χρόνος κτλ. Πραγματοποιηθείσα απόδοση: Αναφέρεται στην πραγματική απόδοση που επιτυγχάνει μια επένδυση ή ένα αξιόγραφο σε μια συγκεκριμένη χρονική

6 στιγμή. Η πραγματοποιηθείσα απόδοση για ένα αξιόγραφο που έχουμε επενδύσει δίνεται από τη σχέση: R t = P t P t 1 P t (1.3.1) Ενώ στην περίπτωση που φέρει και μέρισμα: R t = P t P t 1 P t + d t P t 1 (1.3.2) Όπου: t είναι η χρονική στιγμή R t η απόδοση τη χρονική στιγμή t P t η τιμή του αξιογράφου τη χρονική στιγμή t P t 1 η τιμή του αξιογράφου την χρονική στιγμή t-1 d t το καταβαλλόμενο μέρισμα την χρονική στιγμή t Η Πραγματοποιηθείσα απόδοση ενός χαρτοφυλακίου ορίζεται ως: R P = W t W t 1 W t 1 (1.3.3) Όπου: - W t η αξία του κεφαλαίου την χρονική στιγμή t - W t 1 η αξία του κεφαλαίου την χρονική στιγμή t-1

7 Αναμενόμενη απόδοση : Είναι η απόδοση η οποία οι επενδυτές προβλέπουν ότι θα αποκομίσουν στο μέλλον από μια επένδυση. Η πραγματοποιηθείσα απόδοση όμως είναι δυνατόν να διαφέρει από την αναμενόμενη που είχαν εκτιμήσει οι επενδυτές. E(R p ) = n i=1 E(R i ) w i (1.3.4) Όπου: - E(R p ) η αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου. - R P είναι η απόδοση του αξιογράφου i. - w i το ποσοστό συμμέτοχης του i αξιογράφου στο χαρτοφυλάκιο. - n ο αριθμός των στοιχείων στο χαρτοφυλάκιο. Απαιτούμενη απόδοση : Είναι η ελάχιστη απόδοση που δέχονται οι επενδυτές προκειμένου να αναλάβουν το κίνδυνο που φέρει μια επένδυση. Κίνδυνος Όπως αναφέραμε το αποτέλεσμα μιας επένδυσης είναι αβέβαιο και ενδέχεται ο επενδυτής να χάσει μέρος από το κεφάλαιο που έχει διαθέσει. Αυτό αποτελεί αποτέλεσμα της μεταβλητότητας ενός τίτλου, η οποία ποσοτικοποιεί τη τάση του τίτλου να προβεί σε μεταβολές της αξίας του σε μικρό χρονικό διάστημα. Η μεταβλητότητα μπορεί να μεταβάλλεται με το χρόνο ή και να παραμένει σταθερή. Η δεύτερη περίπτωση συναντάται σπανίως στο χρηματοοικονομικό κόσμο. Το συνηθέστερο μέτρο υπολογισμού της μεταβλητότητας είναι η τυπική απόκλιση (η τετραγωνική ρίζα της διασποράς), δηλαδή η τετραγωνική απόκλιση των τιμών από την αναμενόμενη τιμή του τίτλου. Η ύπαρξη μεταβλητότητας μπορεί να έχει ως συνέπεια ζημίες ή κέρδη σε μια επένδυση. Ο κίνδυνος είναι μια έννοια που αναφέρεται στις

8 ζημιές που μπορεί να προκληθούν. Η πολύπλευρη έννοια αυτή του κίνδυνου αναλύεται σε πληθώρα ορισμών και διαφορετικών εννοιών. Στη χρηματοοικονομική επιστήμη και στη θεωρία επενδύσεων ο κίνδυνος εκφράζει οποιαδήποτε κατάσταση εμπεριέχει αβεβαιότητα σχετικά με το αποτέλεσμα που θα εμφανιστεί. Κάθε χρηματοπιστωτικός οργανισμός, όπως και κάθε επιχειρηματίας-επενδυτής, είναι εκτεθειμένος σε έναν μεγάλο αριθμό κινδύνων που ποικίλουν μεταξύ τους διότι οι στρατηγικές του κάθε οργανισμού και επενδυτή διαφέρουν και υπάρχουν πολλές κατηγορίες κινδύνων. Οι πιο κύριοι από αυτούς είναι οι εξής : Κίνδυνος αγοράς Πρόκειται για τον κίνδυνο που προέρχεται από τη μεταβολή των τιμών ενός προϊόντος σε μια διεθνή ή σε μια τοπική αγορά, με αυτό το τρόπο μεταβολές στην αγορά μπορούν να προκαλέσουν μείωση της αξίας ενός χρηματοπιστωτικού μέσου. Οι συνηθέστεροι παράγοντες κινδύνου της αγοράς είναι: o Ο κίνδυνος μετοχών o Ο κίνδυνος επιτοκίου o Ο συναλλαγματικός κίνδυνος Πιστωτικός Κίνδυνος Η αδυναμία εκπλήρωσης κάποιων συμβατικών υποχρεώσεων ενός εκ των συμβαλλομένων είναι δυνατό να προκαλέσει ζημία. Μερικές από τις απώλειες των επενδυτών μπορούν να περιλαμβάνουν χαμένα κεφάλαια, μειωμένες ταμειακές ροές και μη εισπραχθέντες τόκους. Συστημικός Κίνδυνος Η αδυναμία ενός χρηματοπιστωτικού ιδρύματος να εκπληρώσει κάποιες ληξιπρόθεσμες υποχρεώσεις του μπορεί να προκαλέσει την αδυναμία άλλων χρηματοπιστωτικών ιδρυμάτων να εκπληρώσουν τις δικές τους. Κίνδυνος Ρευστότητας Είναι ένας χρηματοοικονομικός κίνδυνος και προκαλείται από τυχόν έλλειψη ρευστότητας στην αγορά ως προς ένα ή και περισσότερα χρηματοπιστωτικά μέσα.

9 Λειτουργικός Κίνδυνος Ο κίνδυνος αυτός είναι άμεσα συνδεδεμένος τόσο με εσωτερικούς παράγοντες, όπως είναι οι εργασιακές σχέσεις και τα συστήματα μιας επιχείρησης, όσο και με εξωτερικούς παράγοντες, όπως φυσικές καταστροφές ή τρομοκρατικές επιθέσεις. Από τον ορισμό του το χαρτοφυλάκιο αποτελείται από έναν αριθμό αξιόγραφων, κάθε αξιόγραφο όμως περιέχει και ένα κίνδυνο, έτσι κάθε χαρτοφυλακίου φέρει κατ επέκταση το κίνδυνο του καθενός μεμονωμένου στοιχείου που περιέχει. Ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου καθορίζεται από τη διακύμανση των αποδόσεων κάθε αξιόγραφου που περιέχει, τις σταθμίσεις που έχει κάθε τίτλος καθώς και τις συνδιακυμάνσεις των αποδόσεων μεταξύ των αξιόγραφων που περιέχονται στο χαρτοφυλάκιο. Ως μέτρο κινδύνου χρησιμοποιείται η τυπική απόκλιση. Η τυπική απόκλιση αποτελεί ένα μέτρο της διακύμανσης της απόδοσης γύρω από την αναμενόμενη μέση τιμή. Όσο μεγαλύτερη είναι η τυπική απόκλιση, τόσο μεγαλύτερη είναι και η διακύμανση και συνεπώς τόσο μεγαλύτερος και ο κίνδυνος. O υπολογισμός της τυπικής απόκλισης στην περίπτωση που υπάρχει διαθέσιμο ένα δείγμα ιστορικών στοιχείων για n περιόδους είναι ο ακόλουθος: σ p = Var p = [R i E(R i )] n (1.3.5) Θεωρία χαρτοφυλακίου Μια προέκταση της χρηματοοικονομικής θεωρίας που θεωρήθηκε αναγκαία και άρχισε να αναπτύσσεται από τα μέσα του 20ου αιώνα είναι η διαχείριση επενδύσεων. Στόχος της επιστήμης αυτής είναι η επιλογή ενός κατάλληλου άριστου συνδυασμών επενδύσεων έτσι ώστε να έχουν την βέλτιστη απόδοση. Πατέρας της θεωρίας του χαρτοφυλακίου είναι ο νομπελίστας Harry Markowitz, που μεγάλες του ανακαλύψεις κατά τη διάρκεια της περιόδου 1940-1950 έθεσαν τις βάσεις για την εξέλιξή της θεωρίας αυτής μέχρι σήμερα. Με τον όρο διαχείριση χαρτοφυλακίου εννοούμε τις

10 απαραίτητες ενέργειες που πρέπει να πραγματοποιηθούν, σε κάθε χαρτοφυλάκιο, έτσι ώστε να διασφαλιστεί το κεφάλαιο το οποίο έχει επενδυθεί. Η βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου περιλαμβάνει : Την ανάλυση των αξιογράφων που το συνθέτουν, δηλαδή εξετάζονται τα αξιόγραφα τα οποία προβλέπονται να έχουν καλύτερη απόδοση. Την ανάλυση χαρτοφυλακίου, εδώ προβλέπεται η απόδοση ενός χαρτοφυλακίου και οι πιθανότητες κινδύνου του. Και τέλος την επιλογή χαρτοφυλακίου, στο στάδιο αυτό επιλέγεται ένα από τα χαρτοφυλάκια τα οποία ελαχιστοποιούν τον κίνδυνο σε σχέση με την απόδοσή τους. Οι διαχειριστές χαρτοφυλακίων αποστρέφονται τον κίνδυνο για αυτό και επιθυμούν να επενδύουν σε γνωστές εταιρείες. Αυτό γίνεται διότι αυτές οι εταιρείες έχουν τη φήμη ότι είναι επιτυχημένες, έτσι είναι ευκολότερο να πείσουν τους πελάτες να επενδύσουν και μια επένδυση σε αυτές θεωρείται λιγότερο επικίνδυνη από την επένδυση σε λιγότερο γνωστές επιχειρήσεις. Υπολογισμός κίνδυνου του χαρτοφυλακίου Για τον υπολογισμό του κινδύνου σε ένα χαρτοφυλάκιο χρησιμοποιούνται τα στατιστικά μέτρα της διασποράς και της τυπικής απόκλισης. Ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου δίνετε από τον τύπο της τυπικής απόκλισής του : n n σ p = Var p = i=1 j=1 w i w j Cov(R i R j ) (1.3.6) Όπου, n το σύνολο των στοιχείων που απαρτίζουν το χαρτοφυλάκιο.

11 w i το ποσοστό του κεφαλαίου που επενδύεται στο αξιόγραφο i. w j το ποσοστό του κεφαλαίου που επενδύεται στο αξιόγραφο j. Cov(R i R j ) η συνδιακύμανση μεταξύ των αξιογράφων i και j. Συνδιακύμανση Η συνδιακύμανση είναι ένα στατιστικό μέτρο, το οποίο μετράει τη συσχέτιση δυο αξιόγραφων. Cov(R i R j ) = E [(R i E(R i )) (R j E(R j ))] (1.3.7) Όπου, R i η απόδοση του στοιχείου i (η πραγματική απόδοση). R j η απόδοση του στοιχείου j (η πραγματική απόδοση). E(R i ) η αναμενομένη απόδοση του στοιχείου i. E(R j ) η αναμενομένη απόδοση του στοιχείου j. Συντελεστής συσχέτισης Ο συντελεστής συσχέτισης περιγράφει το βαθμό της γραμμικής συσχέτισης (ομοιότητα ή ανομοιότητα) της συμπεριφοράς των αποδόσεων των αξιογράφων και ορίζεται ως ο

12 λόγος της συνδιακύμανσης δύο αξιόγραφων προς το γινόμενο των τυπικών τους αποκλίσεων, ρ ij = Cov(R i,r j ) σ(r i )σ(r j ) (1.3.8) Ικανοποιείται η σχέση : 1 ρ ij 1 Όπου: ρ ij : είναι ο συντελεστής συσχέτισης δυο περιουσιακών στοιχείων i και j. Cov(R i, R j ): η συνδιακύμανση των αποδόσεων των δυο περιουσιακών στοιχείων i, j. σ(r i ): η τυπική απόκλιση των αποδόσεων του περιουσιακού στοιχείου i. σ(r j ): η τυπική απόκλιση των αποδόσεων του περιουσιακού στοιχείου j. Σε αντίθεση με το μέτρο της συνδιασποράς που εκφράζεται σε όρους τετραγώνου της αρχικής μονάδας μέτρησης, ο συντελεστής συσχέτισης είναι καθαρός αριθμός, πράγμα που αποτελεί σημαντικό πλεονέκτημα όταν θέλουμε να μελετήσουμε την συσχέτιση των αποδόσεων δυο αξιόγραφων. Για τον συντελεστή συσχέτισης δυο αξιόγραφων ισχύει: Αν ρ ij = 0, τότε έχουμε μηδενική συσχέτιση. Αν ρ ij > 0, τότε έχουμε θετική συσχέτιση. Αν ρ ij <0, τότε έχουμε αρνητική συσχέτιση.

13 Προσδοκώμενη χρησιμότητα Ο όρος χρησιμότητα στα οικονομικά, χρησιμοποιείται ως ένα μέτρο σχετικής ικανοποίησης από την κατανάλωση αγαθών και υπηρεσιών. Η θεωρία της χρησιμότητας υποστηρίζει ότι τα άτομα λαμβάνουν αποφάσεις με ορθολογικό τρόπο. Οι αποφάσεις αυτές βρίσκονται μεταξύ ενός δεδομένου αριθμού εναλλακτικών επιλογών με γνωστές κατανομές πιθανοτήτων για κάθε εναλλακτική. Τα άτομα λαμβάνουν εκείνη την απόφαση που μεγιστοποιεί την αναμενόμενη αξία της συνάρτησης χρησιμότητας. Όσο πιο μεγάλος είναι ο κίνδυνος που αναλαμβάνει ένας ορθολογικός επενδυτής τόσο μεγαλύτερη απόδοση απαιτεί από αυτή την επένδυση. Η σχέση της χρησιμότητας απεικονίζεται μέσο της συνάρτησης χρησιμότητας. Μια συνάρτηση χρησιμότητας αξιολογεί τα διαθέσιμα ως προς επένδυση χαρτοφυλάκια και επιλεγεί εκείνο που μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα του. Η αναμενόμενη χρησιμότητα είναι ένα μαθηματικό εργαλείο, μέσω του οποίου υπολογίζεται η ανοχή στον κίνδυνο του εκάστοτε επενδυτή. Οι καμπύλες αδιαφορίας βοηθάνε στο να κατανοήσουμε καλύτερα τη σημασία της χρησιμότητας για τον επενδυτή. Μια καμπύλη αδιαφορίας λοιπόν απεικονίζει το σύνολο των επενδυτικών συνδυασμών που αποδίδουν το ίδιο επίπεδο χρησιμότητας στον επενδυτή (δηλ. το σύνολο των συνδυασμών μεταξύ των οποίων το άτομο είναι αδιάφορο). Μέσα από τις καμπύλες αυτές μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι μαθηματικές δομές της γραμμικότητας, της κοιλότητας και της κυρτότητας αντιστοιχούν σε στάσεις του επενδυτή ως προς τον κίνδυνο. Δηλαδή η γραμμικότητα της συνάρτησης χρησιμότητας χαρακτηρίζει αδιάφορες ως προς τον κίνδυνο προτιμήσεις, η κυρτότητα της συνάρτησης χρησιμότητας χαρακτηρίζει την ροπή προς τον κίνδυνο και αν είναι κοίλη, τότε χαρακτηρίζει προτιμήσεις αποστροφής κίνδυνου. Μια αύξηση της χρησιμότητας θα οδηγήσει σε μεταφορά της καμπύλης προς τα πάνω όπως φαίνεται και στο σχήμα παρακάτω. Αντίθετα μια μείωση της χρησιμότητας θα οδηγήσει σε μεταφορά της καμπύλης αδιαφορίας προς τα κάτω.

14 Καμπύλες αδιαφορίες του επενδυτή, σχέση Απόδοσης (Υ) Κινδύνου(Χ) Κάθε ορθολογικός επενδυτής που αποστρέφεται τον κίνδυνο, θα προτιμήσει τη καμπύλη που βρίσκεται επάνω και αριστερά στο διάγραμμα. Η λήψη των αποφάσεων Οι επενδυτικές επιλογές του επενδυτή εξαρτώνται από τις προτιμήσεις του, οι επενδυτές που έχουν προτιμήσεις ορθολογικές, συνεχείς και ανεξάρτητες επιλέγουν µε κριτήριο τη μεγιστοποίηση της αναμενόμενης χρησιμότητάς τους και χαρακτηρίζονται από κάποια βασικά αξιώματα: 1. Το αξίωμα της πληρότητας, ένας επενδυτής εκφράζει προτίμηση ανάμεσα σε δύο οποιαδήποτε βέβαια στοιχεία. 2. Συνέχεια (Βέβαιο Ισοδύναμο): Για κάθε επένδυση(στοίχημα) υπάρχει ένα βέβαιο στοιχείο που το ονομάζουμε βέβαιο ισοδύναμο του στοιχήματος, τέτοιο ώστε ο επενδυτής να είναι αδιάφορος ανάμεσα στο να επιλέξει το στοίχημα ή το σίγουρο ποσό του βέβαιου ισοδύναμου.

15 3. Το αξίωμα του μη κορεσμού, ο επενδυτής προτιμά πάντα το περισσότερο πλούτο από το λιγότερο (ονομάζεται επίσης και μονοτονικότητα των προτιμήσεων) 4. Οι επενδυτές θεωρούν ότι κάθε εναλλακτική επένδυση αντιπροσωπεύεται από μία κατανομή πιθανοτήτων προσδοκώμενων αποδόσεων κατά τη διάρκεια μιας περιόδου. 5. Οι επενδυτές εκτιμούν το ρίσκο του χαρτοφυλακίου στη βάση της διακύμανσης των αναμενόμενων αποδόσεων. Στρατηγικές χαρτοφυλακίων Παθητική στρατηγική χαρτοφυλακίου : Η παθητική στρατηγική στηρίζεται στη διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου με σκοπό να ισοφαρίσει την απόδοση του δείκτη της αγοράς που διαπραγματεύεται, καθώς περιέχει ελάχιστα δεδομένα πρόβλεψης. Ενεργητική Στρατηγική Χαρτοφυλακίου : Η ενεργητική στρατηγική χρησιμοποιεί διαθέσιμες πληροφορίες και τεχνικές πρόβλεψης, για να επιτύχει όσο το δυνατόν καλύτερη απόδοση από ένα χαρτοφυλάκιο που είναι απλά ευρέως διαφοροποιημένο. Τύποι Χαρτοφυλακίου Αναλόγως την συμπεριφορά ενός επενδυτή, δηλαδή εάν κάποιος αποστρέφετε τον κίνδυνο (συντηρητικός), είναι ουδέτερος ως προς τον κίνδυνο ή έχει προτίμηση στον κίνδυνο (ριψοκίνδυνος), έχουν αναπτυχθεί τρία είδη χαρτοφυλακίου. Κάθε χαρτοφυλάκιο έχει χαρακτηριστικά αντίστοιχα με τις προτιμήσεις του επενδυτή του.

16 Συντηρητικό Χαρτοφυλάκιο Αυτό το είδος το χαρτοφυλάκιο είναι κατάλληλο για συντηρητικούς επενδυτές, που δεν διαθέσιμοι να αναλάβουν πολύ κίνδυνο. Στο συντηρητικό χαρτοφυλάκιο επιλέγονται αξιόγραφα τα οποία μας δίνουν μικρή αλλά σταθερή απόδοση και ενέχουν όσο το δυνατόν μικρότερο κίνδυνο. Επιθετικό χαρτοφυλάκιο Το επιθετικό χαρτοφυλάκιο επιλέγεται από επενδυτές προθύμους να αναλάβουν περισσότερο ρίσκο, με στόχο να αποκτήσουν μεγαλύτερα οικονομικά οφέλη. Το επιθετικό χαρτοφυλάκιο επενδύει σε αξιόγραφα που προσφέρουν μεγάλες αποδόσεις αλλά επίσης έχουν υψηλότερους κινδύνους. Υπομονετικό χαρτοφυλάκιο Το υπομονετικό χαρτοφυλάκιο επιλέγεται από ουδέτερους επενδυτές, που δεν έχουν προτίμηση ως προς τον κίνδυνο. Σε αυτό το είδος επιλέγονται αξιόγραφα από γνώστες και μεγάλες εταιρίες των οποίων οι αποδόσεις είναι μεγάλες ενώ στην αγορά έχουν τη φήμη ότι είναι πετυχημένες. Για ένα χαρτοφυλάκιο ισχύει : i. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των στοιχείων που απαρτίζει το χαρτοφυλάκιο, τόσο μικρότερος είναι ο κίνδυνος του. ii. Όσο μεγαλύτερες είναι οι διακυμάνσεις των αποδόσεων των επί μέρους στοιχείων τόσο πιο ριψοκίνδυνο θα καθίσταται το χαρτοφυλάκιο. iii. Ο συντελεστής συσχέτισης παίρνει τιμές που κυμαίνονται μεταξύ του -1 και +1. iv. Διαφορετικές συνθέσεις του χαρτοφυλακίου από τα ποσοστά συμμετοχής προκαλούν διαφορετικά αποτελέσματα τα οποία καθορίζουν και την αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου.

17 Τέλος θα κάνουμε τις εξής παραδοχές για τις προτιμήσεις ενός ορθολογικού επενδυτή απέναντι στον κίνδυνο: i. Ο επενδυτής απορρίπτει πάντα ένα δίκαιο στοίχημα (αποστροφή στον κίνδυνο). ii. Καθώς μεγαλώνει ο πλούτος του επενδυτή αυτός τοποθετεί όλο και μεγαλύτερο ποσό σε αβέβαιες επενδύσεις (φθίνουσα απόλυτη αποστροφή στον κίνδυνο). iii. Εφαρμόζει ενεργητική στρατηγική χαρτοφυλακίου και το χαρτοφυλάκιο που επενδύει είναι το υπομονετικό. Η περίοδος διακράτησης των τίτλων Ο επενδυτής διαθέτει στο παρόν δεδομένο χρηματικό ποσό, που επιθυμεί να επενδύσει σε αξιόγραφα για δεδομένη προκαθορισμένη χρονική περίοδο. Η χρονική περίοδος αρχίζει κατά το παρόν με αγορά και τελειώνει με την πώληση των αξιογράφων που αγόρασε στην αρχή της περιόδου. Ο χρονικός ορίζοντας συνδέεται άμεσα με τους περιορισμούς ρευστότητας που έχει ένας επενδυτής, καθώς και με την ανοχή του απέναντι στον κίνδυνο. Συνήθως οι επενδυτές με βραχυπρόθεσμο χρονικό ορίζοντα δεν είναι διατεθειμένοι να ανεχθούν μεγάλη έκθεση στο κίνδυνο και επιλέγουν επενδύσεις με μικρή με μικρή μεταβλητότητα. Αντιθέτως οι επενδυτές με μακροπρόθεσμο χρονικό ορίζοντα επιδιώκουν επενδύσεις με μεγαλύτερη μεταβλητότητα και είναι διατεθειμένοι να ανεχθούν μεγαλύτερη έκθεση στο κίνδυνο. Διαφοροποίηση χαρτοφυλακίου. Η διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου είναι μια επενδυτική στρατηγική κατά την οποία συλλέγουμε μια ποικιλία αξιογράφων στο χαρτοφυλάκιο μας, τα οποία έχουν διαφορετικά επίπεδα κινδύνου, διαφορετικές αποδόσεις και διαφορετικές συσχετίσεις. Στόχος μας είναι να μειώσουμε τον συνολικό κίνδυνο του χαρτοφυλακίου χωρίς να μειώσουμε την απόδοσή του. Πρώτος για αυτή τη μέθοδο μίλησε ο Harry Markowitz και η στρατηγική αυτή αποτελεί μια από τις πιο γνωστές και χρήσιμες στην παγκόσμια οικονομία. Εμπειρικά έχει παρατηρηθεί ότι όσο προστίθενται στοιχεία σε ένα χαρτοφυλάκιο, ο κίνδυνος του ελαττώνεται και τείνει να πλησιάζει τον κίνδυνο που

18 έχει το χαρτοφυλάκιο της κεφαλαιαγοράς. Με αυτό το τρόπο εξαλείφεται ο μη συστηματικός κίνδυνος. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να εξηγήσουμε τι είναι ο συστηματικός κίνδυνος και ποιες είναι οι διαφορές του με το συστημικό. Στις επενδύσεις υπάρχουν πολλοί τύποι κινδύνου αλλά ο πιο καταστροφικός για ένα επενδυτικό χαρτοφυλάκιο είναι ο συστηματικός κίνδυνος. Ο συστηματικός κίνδυνος είναι ένας κίνδυνος μιας επένδυσης που σχετίζεται με αδυναμίες στην δομή της αγοράς. Πιο απλά οι απώλειες σε μία επένδυσή οφείλονται σε παράγοντες που επηρεάζουν την συνολική κατάσταση της αγοράς. Ο συστηματικός κίνδυνος δεν θα πρέπει να συγχέεται με τον συστημικό κίνδυνο ο οποίος προέρχεται από την αδυναμία ενός χρηματοπιστωτικού ιδρύματος να εκπληρώσει κάποιες ληξιπρόθεσμες υποχρεώσεις του προκαλώντας με αυτό το τρόπο την αδυναμία άλλων χρηματοπιστωτικών ιδρυμάτων να εκπληρώσουν τις δικές τους. Ο μη συστηματικός κίνδυνος είναι ο κίνδυνος που συνδέεται απευθείας με την απόδοση μιας συγκεκριμένης επένδυσης. Το χαρτοφυλάκιο στη περίπτωση αυτή είναι δυνατόν να προστατευτεί μέσω της διαφοροποίησης και της επένδυσης σε διάφορα οικονομικά προϊόντα. Επιτόκιο Μηδενικού Κινδύνου (Risk-free rate) Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου είναι το επιτόκιο το οποίο μπορεί να επιτευχθεί μέσα από επενδύσεις σε οικονομικά προϊόντα που δεν ενσωματώνουν κίνδυνο. Θεωρητικά υπάρχουν ακίνδυνες επενδύσεις, τέτοιες θεωρούνται τα κυβερνητικά ομόλογα επειδή η πιθανότητα να πτωχεύσει μία χώρα είναι πολύ μικρή. Παρόλα αυτά θα ήταν εξωπραγματικό να υποθέταμε ότι οι επενδυτές μπορούν να δανειστούν στο επιτόκιο μηδενικού κινδύνου. Μπορούν όμως να τοποθετήσουν κεφάλαια σε κυβερνητικά αξιόγραφα και έτσι να έχουν εγγύηση για μια απόδοση άνευ κίνδυνου στο τέλος του χρονικού ορίζοντά τους. Όπως αναφέραμε και προηγουμένως για κάθε επένδυση υπάρχει ένα βέβαιο στοιχείο που το ονομάζουμε βέβαιο ισοδύναμο, το οποίο αφήνει αδιάφορο τον επενδυτή στο να επιλέξει την επένδυση ή το ποσό από το βέβαιο ισοδύναμο. Το επιτόκιο του βέβαιου ισοδύναμου του χαρτοφυλακίου, είναι το επιτόκιο αυτό που προσφέρει μια επένδυση μηδενικού ρίσκου, ώστε ο επενδυτής να επιδεικνύει αδιαφορία μεταξύ της αβέβαιης επένδυσης και της επένδυσης με το επιτόκιο μηδενικού

19 κινδύνου. Συνήθως όταν θέλουμε να επιλέξουμε ένα Επιτόκιο μηδενικού κινδύνου, επιλέγουμε το επιτόκιο που δανείζει η Ευρωπαϊκή Κεντρική Τράπεζα (ΕΚΤ) ή η Ομοσπονδιακή Τράπεζα των ΗΠΑ (FED). Στη παρούσα εργασία όταν αναφερόμαστε σε Risk-free rate, θα εννοούμε το επιτόκιο με το οποίο δανείζει η FED. Sharpe Ratio (Δείκτης Sharpe) Τα τελευταία χρόνια στο χώρο των χρηματαγορών έχουν αναπτυχθεί μέτρα αποδοτικότητας των συστημάτων ποσοτικού Trading. Ένα από τα πιο γνωστά και διαδεδομένα αυτά μέτρα είναι το Sharpe Ratio, το οποίο αναπτύχθηκε από τον William Forsyth Sharpe το 1966. Το Sharpe Ratio μετρά την πρόσθετη απόδοση ανά μονάδα ρίσκου και ορίζεται ως: Sharpe = E(R R F ) σ (1.3.9) Όπου, R: Απόδοση του αξιόγραφου ή του χαρτοφυλακίου που εξετάζουμε. R F : Απόδοση μηδενικού κινδύνου σ: Τυπική απόκλιση της πρόσθετης απόδοσης E(R R F ): Η προσδοκώμενη απόδοση (expected value) της διαφοράς των αποδόσεων της στρατηγικής που θα ακολουθήσουμε από το risk-free Rate (απόδοση χωρίς κίνδυνο). Ουσιαστικά το Sharpe Ratio, δείχνει το βαθμό υπεραπόδοσης έναντι του Risk-free επίτοκου για το επίπεδο κινδύνου που έχει αναλάβει. Όσο υψηλότερος είναι ο δείκτης, τόσο περισσότερο αποζημιώνεται ο επενδυτής για το ρίσκο που έχει αναλάβει.

20 Κεφάλαιο 2 ο : Παρουσίαση των Ερευνητικών Εργαλείων 2.1 Βελτιστοποίηση Χαρτοφυλακίου 2.1.1 Κατά Harry Markowitz (Modern Portfolio Theory) Ο επενδυτής επιλέγει το χαρτοφυλάκιο το οποίο μεγιστοποιεί την αναμενόμενη απόδοση µε δεδομένο κίνδυνο (διακύμανση) ή αντίστροφα, το χαρτοφυλάκιο το οποίο ελαχιστοποιεί το κίνδυνο µε δεδομένη την αναμενόμενη απόδοση. Υπάρχουν πολλές μεθοδολογίες βελτιστοποίησης στη σύνθεση χαρτοφυλακίων, η πρώτη είναι η κλασική μεθοδολογία που ανέπτυξε ο Markowitz, δηλαδή η κλασική προσέγγιση μέσου διακύμανσης. Ο Η. Markowitz αντιμετωπίζει τον επενδυτή ως ορθολογικό και αποστρεφόμενο τον κίνδυνο και αυτό θα τον οδηγήσει στις εξής παραδοχές για τον τρόπο που θα επιλέξει το άριστο χαρτοφυλάκιο του : 1. θα επιλέξει τη μέγιστη απόδοση για δεδομένο επίπεδο κινδύνου 2. θα επιλέξει τον μικρότερο κίνδυνο για δεδομένο επίπεδο απόδοσης Το παραπάνω πρόβλημα αποδίδεται σε γραμμικό σύστημα ως εξής : Ελαχιστοποίηση του: n n i=1 j=1 (2.1.1) w i Cov(R i R j )w j Κάτω από τους περιορισμούς n i=1 n i=1 w i w i R i = μ Ρ = 1 Δεδομένης της απόδοσης στόχου που αναμένεται να έχει το χαρτοφυλάκιο μ P βρίσκουμε την στρατηγική αυτή που ελαχιστοποιεί το σ Ρ 2.

21 Το παραπάνω γίνεται ως εξής: Έχουμε σχηματίσει την συνάρτηση Lagrange N N Ν L = 1 w 2 i=1 j=1 iw j σ ij λ 1 ( i=1 w i 1) λ 2 ( i=1 w i R i μ Ρ ) (2.1.2) N όπου λ 1 και λ 2 πολλαπλασιαστές της συνάρτησης Lagrange.

22 2.1.2 Αποτελεσματικό σύνορο Ένα χαρτοφυλάκιο χαρακτηρίζεται ως αποτελεσματικό όταν δεν υπάρχει κάποιο άλλο που να έχει μεγαλύτερη απόδοση σε δεδομένο κίνδυνο ή μικρότερο κίνδυνο σε δεδομένη αναμενομένη απόδοση. Το ίδιο ισχύει και όταν έχει μεγαλύτερη ή ίση αναμένομε απόδοση και μικρότερο κίνδυνο. Το Αποτελεσματικό ή βέλτιστο αποδοτικό σύνορο χαρτοφυλακίου είναι ένα σύνολο από χαρτοφυλάκια τα οποία ικανοποιούν την ιδιότητα της μη ύπαρξης άλλου χαρτοφυλακίου με μεγαλύτερη απόδοση δεδομένου της ίδιας ήδη υπάρχουσας διακύμανσης. Οι επενδυτές μετράνε την αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου μαθηματικά ως την μέση αναμενόμενη τιμή και το ρίσκο της επένδυσης ως την διακύμανση του χαρτοφυλακίου. Οι μετρήσεις αυτές φαίνονται στο παρακάτω γράφημα. Αποτελεσματικό σύνορο (Πηγή: Graziadio Business Review) Στον κάθετο άξονα βλέπουμε την μεταβλητή που μετράει την αναμενόμενη απόδοση και στον οριζόντιο άξονα τον αναμενόμενο κίνδυνο δηλαδή τη Διακύμανση. Τα σημεία του χώρου είναι τα διάφορα χαρτοφυλάκια που έχουν για συντεταγμένες τις

23 αντίστοιχες μετρήσεις για την αναμενόμενη απόδοσή τους καθώς και τον κίνδυνο. Κατά μήκος της καμπύλης καθώς και στο χωρίο που περικλείει, βλέπουμε τα χαρτοφυλάκια που είναι αποδεκτά, δηλαδή τα χαρτοφυλάκια εκείνα τα οποία είναι εφικτό να δημιουργηθούν με τον τρέχοντα αρχικό. Αυτά που βρίσκονται πάνω από την καμπύλη απαιτούν αρχικό κεφάλαιο μεγαλύτερο από το διαθέσιμο και αυτά κάτω από τη καμπύλη με μικρότερο. Πιο αυστηρά τώρα θα μπορούσαμε να ορίσουμε το αποτελεσματικό σύνορο σαν ένας συνδυασμός από χαρτοφυλάκια που έχει την μέγιστα δυνατή απόδοση δεδομένου ενός συγκεκριμένου επίπεδου ρίσκου. Σκοπός λοιπόν του κάθε επενδυτή είναι να επιλέξει ένα επίπεδο κινδύνου-διακύμανσης που δέχεται και με δεδομένο αυτό να μεγιστοποιήσει την το αναμενόμενο κέρδος της επένδυσής του. Όπως βλέπουμε και στο γράφημα ένας επενδυτής θα διαλέξει κάποιο από τα σημεία της καμπύλης με θετική κλίση καθώς για κάθε διαφορετικό επίπεδο ρίσκου η μέγιστη αναμενόμενη απόδοση βρίσκεται υποχρεωτικά πάνω στην καμπύλη.

24 2.1.3 Min-Max Μέθοδος Μια καινούρια μέθοδος παρουσιάστηκε το 1998 από τον Young, σε μια προσπάθεια βελτίωσης του αρχικού μοντέλου του H. Markowitz. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται MinMax και ως βέλτιστο χαρτοφυλάκιο επιλέγετε αυτό μεγιστοποιεί την ελάχιστη απόδοση του χαρτοφυλακίου υπό τον περιορισμό ότι η μέση απόδοση χαρτοφυλακίου υπερβαίνει κάποιο κατώτατο επίπεδο Α, ή αντίστοιχα μεγιστοποιεί την αναμενόμενη απόδοση υπό τον περιορισμό ότι η απόδοση υπερβαίνει κάποιο κατώτατο όριο Β. Αυτό πραγματοποιείται λύνοντας το ακόλουθο γραμμικό σύστημα: Μεγιστοποιούμε : minr P Με περιορισμούς: m i R i minr P 0 m i E(R i ) A m i K Αντίστοιχα, Μεγιστοποιούμε : E(R P ) Με περιορισμούς: m i R i B m i K Όπου: minr P η ελάχιστη απόδοση του χαρτοφυλακίου m i R i το άθροισμα των αποδόσεων των στοιχείων του χαρτοφυλακίου, επί τα επιμέρους κεφάλαια που έχουν επενδυθεί σε αυτά E(R P ) = m i E(R i ) η μέση απόδοση του χαρτοφυλακίου. m i το κεφάλαιο που επενδύεται στο τίτλο i.

25 2.1.4 Post-Modern Portfolio Theory Από το 1952 που εμφανίστηκε το μοντέλο του Markowitz, έχουν γίνει πολλές προσπάθειες ώστε να βελτιωθεί. Οι πρώτες προσπάθειες λάβανε χώρα με την εμφάνιση της Post-Modern Portfolio Theory η οποία επέκτεινε την θεωρία του Markowitz υιοθετώντας ευρύτερες υποθέσεις. Η θεωρία αυτή βασίζεται στην υπόθεση ότι οι κατανομές των αποδόσεων δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή και πως τα μέτρα κινδύνου είναι ασύμμετρα. Το πρώτο εργαλείο που εισήχθη στο Post-Modern Portfolio Theory μοντέλο ήταν ένα μέτρο κινδύνου που ονομάστηκε downside risk. Το συγκεκριμένο μέτρο υπολογίζεται βάσει της target semi-deviation (της τετραγωνικής ρίζας της target semi-variance) και καλείται downside deviation. Το μέτρο αυτό εκφράζεται σε ποσοστά, και έτσι καθίσταται δυνατή η κατάταξη με τρόπο ανάλογο αυτού της τυπικής απόκλισης. Ένας διαισθητικός τρόπος να δει κανείς το downside risk, είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς κάτω από μία απόδοση στόχο. Το τετράγωνο των κάτω από την απόδοσηστόχο έχει την ιδιότητα να δίνει τετραγωνική ποινή στις αποτυχίες και υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο: d = E [(R p t) 2 Ι {RP <t}] = (2.1.3) t (t R p ) 2 f(r p )dr p Όπου, d είναι το downside risk t είναι ο ετήσιος στόχος απόδοσης, αρχικά αναφερόμενος ως το ελάχιστα αποδεκτό πόσο απόδοσης R p είναι η τυχαία μεταβλητή που παρουσιάζει την απόδοση και f(r p ) είναι η κατανομή των ετήσιων αποδόσεων.

26 Ένα δεύτερο εργαλείο που χρησιμοποιείται σε αυτή τη μέθοδο, είναι η λοξότητα της μεταβλητότητας. Το στατιστικό εργαλείο αυτό μετράει την αναλογία των ποσοστών της κατανομής της συνολικής διακύμανσης των αποδόσεων που είναι πάνω από την μέση τιμή, διά τα ποσοστά της κατανομής της συνολικής διακύμανσης των αποδόσεων κάτω από την μέση τιμή. Η λοξότητα της μεταβλητότητας είναι 1 όταν η κατανομή των αποδόσεων είναι συμμετρική, μικρότερη της μονάδας όταν υπάρχει αρνητική ασυμμετρία και μεγαλύτερη της μονάδας όταν υπάρχει θετική ασυμμετρία. Η σημασία της ασυμμετρίας έγκειται στο γεγονός ότι όσο περισσότερο μη κανονική είναι μια κατανομή αποδόσεων, τόσο περισσότερο το πραγματικό της ρίσκο παραποιείται από τα συνηθισμένα μέτρα της Σύγχρονης Θεωρίας Χαρτοφυλακίου όπως το Sharpe ratio.

27 2.2 Αξία σε Κίνδυνο (Value at Risk) Οι χρηματοοικονομικοί οργανισμοί στην προσπάθεια αντιμετώπισης των κινδύνων της αγοράς στράφηκαν στη δημιουργία μέτρων κινδύνου. Ένα από τα πιο διαδεδομένα μέτρα κινδύνου είναι το Value at Risk (VaR). Η εκτίμηση της VaR παίζει καθοριστικό ρόλο στη λήψη αποφάσεων των χρηματοοικονομικών οργανισμών, διότι καταφέρνει και συνοψίζει την έκθεση στον κίνδυνο ενός περιουσιακού στοιχείου σε ένα μοναδικό αριθμό. Η έννοια της VaR αναπτύχθηκε κατά τη διάρκεια των δεκαετιών του 1980, από μεγάλες χρηματοοικονομικές εταιρίες για την μέτρηση του κινδύνου των χαρτοφυλακίων τους. Η μέθοδος αυτή παρέχει στον χρηματοοικονομικό αναλυτή μια τιμή που εκφράζει τη μέγιστη (υπό συνήθεις συνθήκες) δυνητική ζημιά για δεδομένο χρονικό ορίζοντα και για δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης. Το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι η πιθανότητα η ζημιά να µην ξεπεράσει αυτή τη μέγιστη τιμή. Αν σε ένα χαρτοφυλάκιο ισχύει α=95%, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι είμαστε 95% βέβαιοι ότι μια πραγματική ζημιά θα είναι μικρότερη του ποσού VaR. Πλεονεκτήματα της VaR : Η VaR έχει το μεγάλο πλεονέκτημα να συνοψίζει σε έναν μόνο αριθμό, κατανοητό και εύκολο να ερμηνευτεί, την έκθεση στον κίνδυνο της αγοράς ενός χαρτοφυλακίου. Αυτός ο αριθμός αντιπροσωπεύει την πιθανή ζημία του χαρτοφυλακίου σε νομισματικούς όρους. Παρέχει ένα σταθερό μέτρο του κινδύνου για όλους τους τύπους των θέσεων και για όλα τα είδη των αγορών και των παραγόντων κινδύνου και καθιστά δυνατή τη σύγκριση θέσεων σε διαφορετικές αγορές ή διαφορετικά προϊόντα σε καθημερινή, μηνιαία και ετήσια βάση. Με βάση την πληροφόρηση που παρέχει η συγκεκριμένη προσέγγιση, οι επενδυτές και οι διαχειριστές κινδύνων είναι σε θέση να λάβουν καλύτερες αποφάσεις σχετικά µε τη στρατηγική επένδυσης ή διαχείρισης που ακολουθούν, επιτυγχάνοντας τη βέλτιστη απόδοση για τα χαρτοφυλάκια τους.

28 Μειονεκτήματα της VaR Το VaR υπολογίζει την ελάχιστη ζημιά που έχει το χαρτοφυλάκιο μας στο a των χειροτέρων καταστάσεων του κόσμου ενός σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Οι ζημιές υπολογίζονται υποθέτοντας, ότι τα περιουσιακά στοιχεία μπορούν να πωληθούν στις τρέχουσες τιμές της αγοράς. Ωστόσο, αν η επιχείρηση έχει στην κατοχή της ένα μεγάλο αριθμό από µη ρευστοποιήσιμά στοιχεία τότε η VaR μπορεί να υποεκτιμά τις πραγματικές ζημιές, αφού τα στοιχεία ίσως χρειάζεται να πωληθούν µε έκπτωση. Η VaR, εκφράζει το περισσότερο που μπορούμε να χάσουμε στο a των περιπτώσεων, αλλά δεν μας λέει τίποτα για το τι μπορούμε να χάσουμε στο υπόλοιπο 1-a των περιπτώσεων. Η τιμή της VaR δεν μας δίνει καμία ένδειξη για το ποσό της ζημίας σε περίπτωση που ένα τυχαίο γεγονός (οικονομική κρίση,χρηματιστηριακό κραχ) συμβεί. Οι μέθοδοι υπολογισμού του VaR διακρίνονται κυρίως σε 3 κατηγορίες, στις µη παραμετρικές, στις ημι-παραμετρικές και στις παραμετρικές μεθόδους υπολογισμού. Οι µη παραμετρικές μέθοδοι υπολογισμού δεν κάνουν καμία υπόθεση σχετικά με τη μορφή της κατανομής των αποδόσεων. Οι παραμετρικές μέθοδοι αντίθετα είναι πολύ χρήσιμες όταν οι αποδόσεις ακολουθούν την κανονική κατανομή, αλλά δεν είναι κατάλληλες όταν υπάρχει ασυμμετρία ή λεπτοκύρτωση. Διαφορετικές προσεγγίσεις μπορεί να είναι κατάλληλες για διαφορετικούς τύπους χαρτοφυλακίων και για διαφορετικούς σκοπούς. 2.2.1 Παραμετρική μέθοδος υπολογισμού του VaR Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην υπόθεση ότι οι αποδόσεις του χαρτοφυλακίου καθώς και των αξιόγραφων που το αποτελούν ακολουθούν την κανονική κατανομή. Έστω χαρτοφυλάκιο το οποίο αποτελείται από n τίτλους (ομόλογα, μετοχές κτλ.), τότε κάθε τίτλος έχει ένα συντελεστή στάθμισης w i ( για i = 1,2,,n). Η μέθοδος αυτή υποστηρίζει ότι η απόδοση του χαρτοφυλακίου έχει γραμμική συσχέτιση με εκείνες των συστατικών που το απαρτίζουν. Η αξία σε κίνδυνο του χαρτοφυλακίου δίνεται από το τύπο :

29 VaR P= z a σ P Π (2.2.1) n i=1 n j=1 με σ p = ρ ij σ i σ j w i w j όπου : σ p η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου ρ i,j ο συντελεστής συσχέτισης των R i και R j αντίστοιχα z a αντιπροσωπεύει το 100(1-α)% ποσοστημόριο της τυπικής κανονικής κατανομής. (πχ με 95% διάστημα εμπιστοσύνης έχουμε z a = 1,645) Π η αξία του χαρτοφυλακίου Πλεονεκτήματα: Υπερτερεί στη ταχύτητα του υπολογισμού έναντι των άλλων μεθόδων καθώς απαιτείται μικρό χρονικό διάστημα για τους υπολογισμούς ακόμη και για μεγάλο αριθμό στοιχείων. Είναι εύκολη στην ανάλυσή της. Μειονεκτήματα : Οι παραμετρικές μέθοδοι βασίζονται στην υπόθεση ότι οι μεταβλητές της αγοράς ακολουθούν τη κανονική κατανομή, ενώ στη πραγματικότητα τις περισσότερες φορές οι κατανομές των παραγόντων κινδύνου έχουν υψηλή κύρτωση με περισσότερα ακραία γεγονότα από ότι θα μπορούσαν να προβλεφθούν από την κανονική κατανομή.

30 Η προσέγγιση της μεθόδου αυτής μπορεί να αποδειχθεί αρκετά άστοχη σε περίπτωση ακραίων γεγονότων όπως είναι η κρίση, διότι προϋποθέτει ότι οι παράγοντες κινδύνου έχουν κανονική κατανομή. 2.2.2 Υπολογισμός VaR με χρήση Ιστορικής Προσομοίωσης Κάποιοι διαχειριστές κινδύνου αποφάσισαν ότι δε μπορούν να βασιστούν σε προσεγγίσεις και παρατήρησαν ότι στη πραγματικότητα πολλές από τις μεταβλητές ακολουθούν κατανομές οι οποίες έχουν πιο βαριές ουρές από την κανονική κατανομή, κάτι που τους οδήγησε να χρησιμοποιήσουν τη μέθοδο της ιστορικής προσομοίωσης. Η μέθοδος αυτή δεν στηρίζεται στην υπόθεση των κανονικά κατανεμημένων αποδόσεων, στο συγκεκριμένο υπόδειγμα χρησιμοποιούνται οι πραγματικές αλλαγές των τιμών των αξιογράφων που συνθέτουν το χαρτοφυλάκιο μας και δεν απαιτείτε η χρήση μιας συγκεκριμένης κατανομής, αφού περιέχει τα χαρακτηριστικά της πραγματικής κατανομής των αποδόσεων των στοιχείων του χαρτοφυλακίου. Για τη πραγματοποίηση της μεθόδου, παρατηρούμε τις αποδόσεις των αξιογράφων καθώς μεταβάλλονται και στη συνέχεια προσεγγίζουμε τη κατανομή που ακολουθούν (σε κάποιες περιπτώσεις είναι δυνατό οι αποδόσεις να ακολουθούν προσεγγιστικά και τη κανονική κατανομή ). Στη συνέχεια με βάση την κατανομή αυτή κατασκευάζονται οι υποθετικές αποδόσεις των αξιογράφων μας για ένα συγκεκριμένο χρονικό ορίζοντα, καθώς το υπόδειγμα αυτό θεωρεί ότι οι μεταβολές που έγιναν στο παρελθόν θα συμβούν και στο μελλοντικό χρονικό ορίζοντα. Έπειτα οι υποτιθέμενες αποδόσεις του χαρτοφυλακίου ταξινομούνται σε αύξουσα σειρά και το α-ποσοστημόριο που ψάχνουμε είναι η απόδοση που αφήνει α% των παρατηρήσεων στην αριστερή πλευρά και 100(1-α)% στην δεξιά πλευρά.

31 Έτσι, η VaR θα αποτελεί εκείνη την τιμή ανάλογα με το επίπεδο εμπιστοσύνης που έχουμε επιλέξει. Για παράδειγμα στη περίπτωση που έχουμε 1000 παρατηρήσεις και έχουμε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% τότε η VaR είναι η πεντηκοστή χαμηλότερη απόδοση. Έτσι καθίσταται δυνατή η εκτίμηση της δυνητικής ζημίας, για συγκεκριμένο χρονικό ορίζοντα και επίπεδο εμπιστοσύνης, από την συνολική κατανομή των υποθετικών αποδόσεων. Διαδικασία εκτίμησης της κατανομής που ακολουθούν οι αποδόσεις.

32 Πλεονεκτήματα: Το κύριο πλεονέκτημα της ιστορικής προσομοίωσης είναι ότι δεν χρειάζεται να κάνουμε υπόθεση σχετικά με την παραμετρική μορφή της κατανομής των αποδόσεων των αξιογράφων μας. Χρησιμοποιούνται δεδομένα που είναι άμεσα διαθέσιμα είτε μέσα από την ίδια την εταιρία, είτε από δημόσιες πηγές (π.χ. yahoo finance, nautemporiki). Είναι δυνατή η εφαρμογή της σε κάθε χαρτοφυλάκιο. Μειονεκτήματα: Οι αδυναμίες της ιστορικής προσομοίωσης πηγάζουν από το γεγονός ότι τα αποτελέσματά της εξαρτώνται εξολοκλήρου από το σύνολο των δεδομένων. Αν η περίοδος αναφοράς ήταν ασυνήθιστα ασταθής και οι συνθήκες πρόσφατα έχουν αλλάξει, η ιστορική προσομοίωση θα τείνει να παράγει εκτιμήσεις της VaR που θα είναι είτε πολύ υψηλές είτε πολύ χαμηλές σε σχέση με τους κινδύνους που αντιμετωπίζουμε στην πραγματικότητα. Γενικότερα κανείς δεν μπορεί να εκτιμήσει ότι γεγονότα που συνέβησαν στο παρελθόν θα πραγματοποιηθούν οπωσδήποτε και στο μέλλον. Απαιτείται ο κατάλληλος προσδιορισμός του πλήθους των ιστορικών δεδομένων που θα χρησιμοποιηθούν. Επιλέγοντας σύντομες χρονικές σειρές οι εκτιμήσεις πιθανότατα δεν θα είναι αξιόπιστες λόγω του μικρού μήκους της περιόδου παρατήρησης, όμως με μακρά χρονική σειρά υπάρχει πρόβλημα με την εκτίμηση της VaR διότι δίνεται έμφαση σε δεδομένα από το μακρινό παρελθόν τα οποία στην ουσία εξουδετερώνουν τις πληροφορίες που έχουν τα πιο πρόσφατα δεδομένα μας. Αφού τα παρελθοντικά γεγονότα είναι πιο δύσκολο να επαναληφθούν και οι τρέχουσες παρατηρήσεις της αγοράς επισκιάζονται από τις παλαιότερες παρατηρήσεις. Θεωρεί ότι η κατανομή των αποδόσεων είναι ίδια στην περίοδο του δείγματος και στην περίοδο της πρόβλεψης, αυτό σημαίνει ότι η αξία σε κίνδυνο στην

33 πρόβλεψη δε θα είναι μεγαλύτερη από την ιστορική αξία σε κίνδυνο, από την άλλη η μέθοδος της ιστορικής προσομοίωσης μπορεί να οδηγήσει σε ''άλματα'' την αξία σε κίνδυνο εξαιτίας των ακραίων αποδόσεων. Ο υπολογισμός της VaR μπορεί να επηρεαστεί σημαντικά εάν τα ιστορικά δεδομένα που χρησιμοποιούνται ενσωματώνουν ένα ιδιαίτερα αρνητικό γεγονός, όπως είναι μια οικονομική κρίση ή ένα χρηματιστηριακό κραχ, το οποίο δεν είναι ιδιαίτερα πιθανό να επαναληφθεί στο προσεχές µμέλλον. Στην περίπτωση αυτή η VaR που προσδιορίζεται θα είναι ιδιαίτερα υψηλή. Η συλλογή των ιστορικών στοιχείων δεν είναι πάντοτε εύκολη ή εφικτή. Ακόμη, το ιστορικό αρχείο, μπορεί να µην είναι επαρκές. Επιπλέον μερικές εταιρίες προχωρούν σε split («σπάσιμο» της μετοχής ) και reverse split («μάζεμα» της μετοχής) με αποτέλεσμα να υπάρχει κάποια δυσκολία στη συλλογή των ιστορικών τιμών. 2.2.3 Υπολογισμός VaR με χρήση Monte Carlo Η μέθοδος αυτή είναι μια στατιστική προσομοίωση που χρησιμοποιεί προχωρημένες τεχνικές από τη θεωρία πιθανοτήτων και την στατιστική για την παραγωγή στατιστικών σεναρίων σχετικά µε τις καταστάσεις που μπορεί να βρεθεί η αγορά. Το πρώτα δυο στάδια για την εύρεση της VaR με αυτή τη μέθοδο είναι ίδια με τη, μέθοδο της βήματα της μεθόδου διακύμανσης συνδιακύμανσης. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την προσομοίωση, µε την οποία ορίζονται κατανομές πιθανότητας για κάθε έναν από τους παράγοντες κινδύνου της. Σε αντίθεση με τις παραμετρικές μεθόδους στη προσομοίωση αυτή δίνεται η ελευθέρια στην επιλογή κατανομής για τις μεταβλητές. Όταν καθοριστούν οι κατανομές η διαδικασία προσομοίωσης ξεκινά. Σε κάθε εφαρμογή της προσομοίωσης, οι μεταβλητές κινδύνου αγοράς λαμβάνουν διαφορετικά αποτελέσματα και η αξία του χαρτοφυλακίου αλλάζει. Μετά από μια επαναλαμβανόμενη σειρά προσομοιώσεων, η οποία συνήθως αγγίζει τις χίλιες φορές,

34 παρέχεται μια κατανομή για την αξία του χαρτοφυλακίου, που χρησιμοποιείτε για την αξιολόγηση του VaR. Πλεονεκτήματα: Η μέθοδος αυτή διαθέτει τους μηχανισμούς που λαμβάνουν υπόψη τους : Τις χρονικές μεταβολές στη μεταβλητότητα Το φαινόμενο των παχιών ουρών Τις ακραίες καταστάσεις. Μειονεκτήματα: Το μεγαλύτερο μειονέκτημα της μεθόδου είναι ο χρόνος που απαιτείται για τον υπολογισμό του VaR. Καθώς εάν δημιουργηθούν 1000 μονοπάτια για ένα χαρτοφυλάκιο 100 περιουσιακών στοιχείων, τότε ο συνολικός αριθμός των εκτιμήσεων μπορεί να αγγίξει τις 100000. Άλλη μια αδυναμία της είναι o κίνδυνος υποδείγματος. Η προσομοίωση Monte Carlo στηρίζεται σε συγκεκριμένες στοχαστικές διαδικασίες για τους υποκείμενους παράγοντες κινδύνου, που ενδέχεται να είναι λανθασμένες. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε μεροληπτικά αποτελέσματα όσον αφορά τις τιμές των παραγόντων κινδύνου και τις αποδόσεις του χαρτοφυλακίου με αποτέλεσμα να προκύπτουν μεροληπτικά αποτελέσματα σχετικά με την εμπειρική κατανομή των αποδόσεων. 2.3 Λοιπά μέτρα κινδύνου 2.3.1 Οριακή VaR Η οριακή VaR δείχνει τον κίνδυνο που θα προστεθεί στο χαρτοφυλάκιο αν γίνει αύξηση μιας χρηματικής μονάδας σε ένα από τα αξιόγραφα. Εκφράζει την ευαισθησία

35 της VaR του χαρτοφυλακίου σε μικρές μεταβολές του ποσοστού συμμετοχής κάθε στοιχείου του χαρτοφυλακίου ΔVaR i = a Cov(R i,r p ) σ p (2.3.1) 2.3.2 Συνιστώσα VaR Με τη Συνιστώσα VaR μας δίνετε η ικανότητα να διαμερίσουμε τη VaR του χαρτοφυλακίου ώστε να δω σε τι ποσοστό συμμετέχει το κάθε στοιχείο του χαρτοφυλακίου στη συνολική αξία σε κίνδυνο, αν η CVaR ενός αξιόγραφου του χαρτοφυλακίου είναι θετική τότε αυτό σημαίνει ότι το αξιόγραφο αυτό αυξάνει το κίνδυνο του χαρτοφυλακίου, αντιθέτως αν η CVaR του αξιογράφου είναι αρνητική τότε το αξιόγραφο αυτό μειώνει το κίνδυνο του χαρτοφυλακίου. CVaR i = ΔVaR i w i P (2.3.2) Ισχύει ότι : VaR p = CVaR 1 + + CVaR n Και το ποσοστό συμβολής κάθε στοιχείου στο συνολικό κίνδυνο είναι : CVaR i VaR p

36 2.3.3 Επαυξημένη VaR Η επαυξημένη VaR είναι συναφείς με την οριακή VaR με τη διαφορά ότι δείχνει το πόσο θα άλλαζε η VaR του χαρτοφυλακίου αν ρευστοποιηθεί εντελώς ένα αξιόγραφο από το χαρτοφυλάκιο ή αν προστεθεί ένα άλλο. IVaR = VaR p+x VaR p (2.3.3) 2.3.4 Αναμενόμενο Έλλειμα (Expected Shortfall) Το αναμενόμενο έλλειμα υπολογίζει τις αναμενόμενες απώλειες που ξεπερνούν αυστηρά τη VaR. To ES (Expected Shortfall) ισούται με το μέσο όρο του ποσοστού του χειρότερου σεναρίου ως προς την απώλεια του χαρτοφυλακίου. Σε αντίθεση με το VaR, το ES ορίζεται ως οι αναμενόμενες ζημιές υπό συνθήκη οι οποίες ξεπερνούν το VaR για ένα συγκεκριμένο επίπεδο εμπιστοσύνης.

37 Μέρος Β: Εφαρμογή Κεφάλαιο 3 ο : Βελτιστοποίηση Χαρτοφυλακίου με τη χρήση του Sharpe Ratio Στην ενότητα αυτή θα εφαρμόσουμε το μοντέλο του Markowitz που αναδείξαμε στην ενότητα 3.1.1, με τη βοήθεια του δείκτη Sharpe. Για τη πραγματοποίηση της μεθόδου χρησιμοποιήσαμε ιστορικά δεδομένα μέτοχων από τα δυο μεγαλύτερα χρηματιστήρια της Αμερικής και του κόσμου, το χρηματιστήριο της Νέας Υόρκης (NYSE) και τον NASDAQ, καθώς και 2 πρώτες ύλες. Στόχος μας είναι η βελτιστοποίηση του αρχικού μας χαρτοφυλακίου που αποτελείται από 10 στοιχεία. Για να πέτυχουμε τη μέγιστη δυνατή διαφοροποίηση και να ελαχιστοποιήσουμε όσο μπορούμε το μη συστηματικό κίνδυνο, οι 8 μετοχές που επιλέξαμε προέρχονται από διαφορετικούς τομείς της οικονομίας, που σε συνδυασμό με τις δυο πρώτες ύλες προσφέρουν ικανοποιητικά αποτελέσματα. Πιο συγκεκριμένα : Εταιρία: Southwest Airlines Co. Τομέας: Αεροπορική. Διαπραγματεύεται ως: LUV, στο χρηματιστήριο NYSE. Η Southwest Airlines είναι η μεγαλύτερη αεροπορική εταιρία όσον αφορά τις οικονομικές θέσεις και απασχολεί περίπου 50,000 εργαζομένους. Ιδρύθηκε το 1967 από τον Herb Kelleher και έχει την έδρα της στο Dallas του Texas, στην Αμερική.

38 Η τιμή της μετοχής της Southwest Airlines το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Αργό πετρέλαιο. Διαπραγματεύεται ως: Crude oil. Το πετρέλαιο, ο μαύρος χρυσός όπως αποκαλείται συχνά αποτελεί τη σημαντικότερη ίσως πρώτη ύλη της εποχής μας. Ο 19ος αιώνας ήταν η περίοδος που έλαβε χώρα η βιομηχανική επανάσταση και η ανακάλυψη του πετρελαίου έχει ένα αξιοσημείωτο μερίδιο ευθύνης για τη πρόοδο των τελευταίων δεκαετιών καθιστώντας το τη κυριότερη πηγή ενεργείας στην εποχή μας. Από την στιγμή που ο μαύρος χρυσός απέκτησε χρηματιστηριακή και εμπορική αξία έχει σταματήσει να αποτελεί μόνο μια πρώτη ύλη καθώς η πρόσβαση σε αυτό επηρεάζει την παγκόσμια οικονομία. Οι τιμές του πετρελαίου στην αγορά καθορίζονται από τις βασικές αρχές της προσφοράς και της ζήτησης καθώς και από άλλους γεωπολιτικούς παράγοντες καθιστώντας έτσι δύσκολη τη πρόβλεψη της τελικής τιμής του. Η ζήτηση για πετρέλαιο αυξανόταν παγκοσμίως, αλλά η παγκόσμια παραγωγή δεν κατάφερνε να ανταποκριθεί και αυτό είχε ως συνέπεια την ολοένα και μεγαλύτερη αύξηση της τιμή του. Τα τελευταία χρόνια όμως η προσφορά κάλυψε και ξεπέρασε τη ζήτηση με αποτέλεσμα οι τιμές του πετρελαίου να βυθιστούν περισσότερο από 50%, φτάνοντας σε εξαιρετικά χαμηλά επίπεδα.

39 Η τιμή του Αργού πετρελαίου το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Εταιρία: Intel Corporation. Τομέας: Τεχνολογικός. Διαπραγματεύεται ως: INTC, στο χρηματιστήριο NASDAQ. H Intel είναι ο μεγαλύτερος κατασκευαστής τσιπ ημιαγωγών στον κόσμο, με βάση τα έσοδα της. Ιδρύθηκε στις 18 Ιουλίου 1968, από τους Ρόμπερτ Νόις και Γκόρντον Μουρ και έχει ως βάση την Σάντα Κλάρα, στην Καλιφόρνια των ΗΠΑ. Η εταιρία εκτός από μικροεπεξεργαστές, κατασκευάζει μητρικές πλακέτες, κάρτες δικτύου, μνήμες τύπου flash, μονάδες επεξεργασίας γραφικών και άλλες συσκευές που συνδέονται με επικοινωνίες και υπολογιστές.

40 Η τιμή της μετοχής της Intel Corporation.το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Εταιρία: The Goldman Sachs Group. Τομέας: Χρηματοοικονομικός τομέας. Διαπραγματεύεται ως: GS, στο χρηματιστήριο NYSE. Η The Goldman Sachs Group είναι μια επενδυτική τράπεζα, οι επενδυτικές τράπεζες κατά κύριο λόγο βοηθούν τις δημόσιες και ιδιωτικές εταιρείες στη συλλογή κεφαλαίων στις κεφαλαιαγορές και παρέχουν στρατηγικές γνωμοδοτικές υπηρεσίες για διάφορους τύπους οικονομικών συναλλαγών. Η Goldman Sachs ιδρύθηκε το 1869 από τους Marco Goldman και Samuel Sachs, εκ των οποίων η εταιρία έλαβε το όνομα της. Η εταιρεία ξεκίνησε με το πρωτοποριακό τότε αντικείμενο τραπεζικής εργασίας τη χρήση των εμπορικών χρεογράφων και στην πορεία έγινε ένας επενδυτικός κολοσσός. Σήμερα είναι μια από τις μεγαλύτερες στον κόσμο διεθνείς τράπεζες επενδύσεων τραπεζικών τίτλων, διαχείρισης επενδυτικών χαρτοφυλακίων, οικονομικών συμβούλων και άλλων χρηματοοικονομικών υπηρεσιών. Πελάτες της είναι κατά κύριο λόγο μεγάλες κρατικές και ιδιωτικές εταιρείες, κυβερνήσεις χωρών αλλά και ιδιώτες.

41 Η τιμή της μετοχής της The Goldman Sachs Group το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Πρώτη ύλη: Χρυσός. Διαπραγματεύεται ως: Gold. Ο χρυσός από τα αρχαία χρόνια αποτελούσε σύμβολο πλούτου και υψηλής κοινωνικής θέσης σε πολλούς πολιτισμούς καθώς χρησιμοποιούνταν ως η πρώτη μορφή νομίσματος. Στη σημερινή εποχή ο χρυσός εξακολουθεί να αποτελεί σημαντικό στοιχείο των συναλλαγών και του επιχειρηματικού κόσμου. Πολλές χώρες χρησιμοποιούν τον χρυσό ως μονάδα μέτρησης του πλούτου τους και ως βάση για τις συναλλαγές τους. Μέχρι και σήμερα συνεχίζει να επηρεάζει τις διεθνείς χρηματοοικονομικές αγορές και θα εξακολουθήσει να διατηρεί την επιρροή του αυτή και στο μέλλον. Η τιμή του εκφράζεται σε δολάρια ΗΠΑ, δηλαδή στην ποσότητα χρυσού που μπορεί να αγοραστεί ή να πωληθεί με ένα δολάριο ΗΠΑ και όπως σε κάθε νόμισμα είναι δυνατή η πραγματοποίηση συναλλαγών σε χρυσό.

42 Η τιμή του Χρυσού το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Εταιρία: Ford Motor Company Τομέας: Αυτοκινητοβιομηχανία. Διαπραγματεύεται ως: F, στο χρηματιστήριο NYSE. Η Ford Motor Company είναι αμερικανική αυτοκινητοβιομηχανία. Ιδρύθηκε στις 16 Ιουνίου 1903 από τον Χένρυ Φορντ στο Ντιτρόιτ. Συνολικά, ο Όμιλος Ford είναι σήμερα η 4 η μεγαλύτερη αυτοκινητοβιομηχανία παγκοσμίως και απασχολεί περίπου 200,000 εργαζομένους.

43 Η τιμή της μετοχής της Ford Motor Company το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Εταιρία: Costamare Shipping SA. Τομέας: Ναυτιλία. Διαπραγματεύεται ως: CMRE, στο χρηματιστήριο NYSE. Η Costamare Shipping SA είναι μια ναυτιλιακή εταιρία με έδρα την Αθήνα. Ιδρύθηκε το 1974 από τον Βασίλη Κωνσταντακόπουλο και τα τελευταία χρόνια εισήχθη στο χρηματιστήριο της Νέας Υόρκης. Παρά το γεγονός ότι η παγκόσμια ναυτιλία τραντάζεται από την δραματική πτώση των ναύλων τα έσοδα της εταιρίας το 2015 ανήλθαν στα είναι 143,8 εκ δολάρια.

44 Η τιμή της μετοχής της Costamare Shipping SA. το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Εταιρία: CVS Health. Τομέας: Retail health care. Διαπραγματεύεται ως: CVS, στο χρηματιστήριο NYSE. CVS Health είναι μία εταιρία που παρέχει φροντίδα υγείας καθώς και ασχολείται με το λιανικό εμπόριο φαρμάκων. Η εταιρία δημιουργήθηκε το 1996 έπειτα από το διαχωρισμό της από την Melville Corporation και έχει την έδρα της στο Woonsocket στην Αμερική.

45 Η τιμή της μετοχής της CVS Health το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Εταιρία: Alcoa Inc. Τομέας: Βιομηχανία Βασικών μεταλλουργικών προϊόντων. Διαπραγματεύεται ως: AA, στο χρηματιστήριο NYSE. Η Alcoa Inc. είναι μια εταιρία που ασχολείται με την παραγωγή αλουμινίου. Ιδρύθηκε το 1888 από τον Charles Martin Hall και εδρεύει στη Νέα Υόρκη. Είναι από τις μεγαλύτερες εταιρίες στο κλάδο της καθώς τα περιουσιακά τις στοιχεία εκτιμώνται στα 36,7 δισεκατομμύρια δολάρια και απασχολεί περισσότερο από 600000 εργαζόμενους.

46 Η τιμή της μετοχής της Alcoa Inc.το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Εταιρία: Fluor Corporation. Τομέας: Κατασκευαστική εταιρία. Διαπραγματεύεται ως: FLR, στο χρηματιστήριο NYSE. Η Fluor Corporation είναι αμερικανική κατασκευαστική εταιρία, ιδρύθηκε 1912 από τον John Simon Fluor και η έδρα της είναι στο Irving του Texas. Στο πέρασμα των χρόνων εξελίχθηκε σε ένα μεγάλο κατασκευαστικό κολοσσό στις Ηνωμένες πολιτείες της Αμερικής καθώς το 2015 η εταιρία απασχολούσε περισσοτέρους από 37.000 εργαζομένους και τα κέρδη της έφτασαν 21.53 δισεκατομμύρια δολάρια.

47 Η τιμή της μετοχής της Fluor Corporation το διάστημα 1/6/2011 1/1/2016 Για τον υπολογισμό του βέλτιστου χαρτοφυλακίου χρησιμοποιήσαμε αρχικά τα στατιστικά εργαλεία του Minitab και στη συνέχεια λύσαμε το πρόβλημα με μη γραμμικό προγραμματισμό στο Microsoft Office Excel (2010). Ως σημείο αναφοράς χρησιμοποιείται, το ισόνομα κατανεμημένο χαρτοφυλάκιο, δηλαδή το χαρτοφυλάκιο που προκύπτει όταν ο επενδυτής επιλεγεί να ισομοιράσει τα κεφάλαια του, στους διαθέσιμους τίτλους. Αναλυτικά: 1. Εισάγαμε σε ένα φύλλο του Minitab τις ημερήσιες τιμές των τίτλων που έχουμε επενδύσει για το χρονικό διάστημα 1/6/2011 1/1/2016. Η άντληση των τιμών αυτών έγινε μέσω του yahoo finance. 2. Στη συνέχεια υπολογίσαμε τις αποδόσεις των τίτλων σε ημερήσια βάση χρησιμοποιώντας τη σχέση 1.3.1

48 3. Στη συνέχεια, επιλέγοντας στο Minitab την εντολή Stat Basic Statistics Display Descriptive Statistics, υπολογίζουμε τις μέσες ημερήσιες αποδόσεις και τις τυπικές αποκλίσεις των αποδόσεων των τίτλων. 4. Έπειτα υπολογίζουμε το πίνακα συνδιακύμανσης των αποδόσεων των τίτλων επιλέγοντας στο Minitab την εντολή Stat Basic Statistics Covariance. Ακολουθούν οι μέσες αποδόσεις και οι τυπικές αποκλίσεις των στοιχείων του χαρτοφυλακίου: Stocks Expected Returns Standard Deviation LUV 0,001306 0,018296 Crude oil -0,000868 0,016781 INTC 0,000497 0,014727 GS 0,000388 0,01703 Gold -0,000237 0,011367 F 0,000132 0,016753 CMRE -0,000242 0,01941 CVS 0,000879 0,011745 FLR -0,000101 0,019407 AA -0,000195 0,021376 και ο πίνακας συνδιακύμανσης τους:

49 Covariance Matrix LUV Crude oil INTC GS Gold LUV 0,00033474 0,00000023 0,00010657 0,00014491-0,00001087 Crude oil 0,00000023 0,0002816 0,00005302 0,00006982 0,00003134 INTC 0,00010657 0,00005302 0,00021688 0,00011661 0,00000069 GS 0,00014491 0,00006982 0,00011661 0,00029001-0,00000009 Gold -0,00001087 0,00003134 0,00000069-0,00000009 0,00012921 F 0,00013789 0,00005615 0,00010877 0,00016883-0,00000101 CMRE 0,00009423 0,00007242 0,0000698 0,00011682-0,00000048 CVS 0,00008211 0,00003569 0,00006733 0,0000994 0,00000165 FLR 0,00013409 0,00011087 0,00012959 0,00020292 0,00002336 AA 0,00015359 0,00010205 0,00014419 0,00020487 0,00001224 Covariance Matrix F CMRE CVS FLR AA LUV 0,00013789 0,00009423 0,00008211 0,00013409 0,000154 Crude oil 0,00005615 0,00007242 0,00003569 0,00011087 0,000102 INTC 0,00010877 0,0000698 0,00006733 0,00012959 0,000144 GS 0,00016883 0,00011682 0,0000994 0,00020292 0,000205 Gold -0,00000101-0,00000048 0,00000165 0,00002336 1,22E-05 F 0,00028065 0,00011536 0,0000908 0,00019416 0,000191 CMRE 0,00011536 0,00037673 0,00006601 0,00013637 0,000138 CVS 0,0000908 0,00006601 0,00013794 0,00010885 0,000104 FLR 0,00019416 0,00013637 0,00010885 0,00037663 0,000255 AA 0,00019055 0,00013776 0,00010383 0,00025475 0,000457 5. Στη συνέχεια μεταφέραμε τις μέσες ημερήσιες αποδόσεις, τις τυπικές αποκλίσεις και το πίνακα συνδιακύμανσης των αποδόσεων των τίτλων στο excel και υπολογίσαμε την αναμενομένη απόδοση καθώς και τον κίνδυνο (τυπική απόκλιση) του χαρτοφυλακίου. Για να το πέτυχουμε αυτό βασιστήκαμε στις σχέσεις 1.3.1 και 1.3.6 που αναφέραμε στην ενότητα 1.3. 6. Το επόμενο βήμα είναι και το πιο σημαντικό, αφού θα δημιουργήσουμε το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού που θα κληθούμε να λύσουμε. Το μοντέλο που θα χρησιμοποιήσουμε υπάρχουν περιορισμοί ως προς τα βάρη, καθώς δε θα επιτρέπεται να υπάρχει στοιχείο με αρνητικό ποσοστό συμμέτοχης. Στόχος μας λοιπόν είναι να ελαχιστοποιηθεί ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου. Για να το πέτυχουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε το δείκτη Sharpe που αναφέραμε στην ενότητα 1.3. Το Sharpe Ratio μετρά την υπερβάλλουσα απόδοση ανά μονάδα ρίσκου και ορίζεται ως:

50 Sharpe = E (R R F 365 ) σ Όπου, R: Απόδοση του χρεογράφου ή του χαρτοφυλακίου που εξετάζουμε. R F : Απόδοση μηδενικού κινδύνου, (ως risk-free rate έχουμε πάρει το επιτόκιο της FED, του οποίου η απόδοση είναι 0,0025) σ: Τυπική απόκλιση της προσθετής απόδοσης. E(R R F ): Η προσδοκώμενη απόδοση (expected value) της διαφοράς των αποδόσεων της στρατηγικής που θα ακολουθήσουμε από το risk-free Rate (απόδοση χωρίς κίνδυνο). Στο μοντέλο λοιπόν θα μεγιστοποιήσουμε το κλάσμα: E(R R F 365 ) σ μεταβάλλοντας τα ποσοστά συμμέτοχης των τίτλων, κάτω από τους ακολούθους περιορισμούς: i. w i 0, το ποσοστό συμμέτοχης του κάθε τίτλου είναι θετικό. 10 ii. i=1 w i = 1, Το άθροισμα των ποσοστών συμμέτοχης είναι ίσο με 1. iii. Η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου (σ p ) είναι μικρότερη-ίση με ένα επιθυμητό επίπεδο το οποίο το ορίζει ο εκάστοτε επενδυτής, ανάλογα με το ποσό κίνδυνο είναι διατεθειμένος να πάρει. Στη δική μας περίπτωση είναι 0,8%.

51 7. Τέλος η επίλυση του προβλήματος καθιστάται δυνατή από την εντολή επίλυση του Excel (δεδομένα ανάλυση επίλυση). Αποτελέσματα της μεθόδου. Προσδιορίσαμε ένα καινούριο χαρτοφυλάκιο με μεγαλύτερο Sharpe ratio, το οποίο σημαίνει ότι η απόδοση του καινούριου χαρτοφυλάκιού, μας αποζημιώνει καλυτέρα για το επίπεδο κίνδυνου που έχουμε αναλάβει. Παρακάτω φαίνονται αναλυτικά ο δείκτης Sharpe, η αναμενομένη απόδοση και η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου καθώς και τα ποσοστά συμμέτοχης των τίτλων, πριν και μετά τη βελτιστοποίηση. Portfolio A Weight Portfolio B Weight LUV 0,1 LUV 0,131031515 Crude oil 0,1 Crude oil 0 INTC 0,1 INTC 0,10639185 GS 0,1 GS 0 Gold 0,1 Gold 0,363198439 F 0,1 F 0 CMRE 0,1 CMRE 0,00059222 CVS 0,1 CVS 0,398785976 Fluor 0,1 Fluor 0 AA 0,1 AA 0 Expected Return 0,0001559 Expected Return 0,000488315 Standard Deviation 0,010657115 Standard Deviation 0,00800001 Sharpe 0,013986026 Sharpe 0,060183186 Όπως βλέπουμε ο δείκτης Sharpe έχει αυξηθεί σημαντικά από 0,013986026 που ήταν στο αρχικό χαρτοφυλάκιο σε 0,060183186. Δηλαδή σε ημερήσια βάση, το χαρτοφυλάκιο μας υπεραποδίδει έναντι ενός risk free επιτοκίου κατά 6% για κάθε 1% επιπλέον αποδοχή κινδύνου. Ακόμη μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η αναμενόμενη απόδοση του καινούριου χαρτοφυλακίου είναι πολύ μεγαλύτερη από του παλιού. Ενώ ταυτόχρονα καταφέραμε με τη διαδικασία αυτή να πέτυχουμε μια σημαντική μείωση του κινδύνου, που αντιστοιχεί σε σ p =0,008. Όπως παρατηρούμε τα 5 στοιχεία που δε

Expected Return 52 συμμετέχουν στο καινούριο χαρτοφυλάκιο είναι αυτά που έχουν αρνητική αναμενομένη απόδοση. Τέλος βλέπουμε ότι το καινούριο μας χαρτοφυλάκιο αποτελείται από 4 τίτλους και μία πρώτη ύλη σε αντίθεση με το αρχικό που είχαμε 8 τίτλους και 2 πρώτες ύλες, διότι τα υπόλοιπα 5 στοιχεία δε προσέφεραν ικανοποιητική αποζημίωση για τον αναλαμβανόμενο κίνδυνο. Η διαφορά που έχει προκύψει από τη βελτιστοποίηση φαίνεται καθαρά στο ακόλουθο γράφημα. 0,00050 Scatterplot of Portfolio A vs Portfolio B 0,00045 0,00040 0,00035 0,00030 0,00025 0,00020 0,00015 0,0080 0,0085 0,0090 0,0095 0,0100 Standard Deviation 0,0105 0,0110 Scatterplot of Portfolio A vs Portfolio B Με μπλε χρώμα παρουσιάζεται το σημείο εκκίνησης, δηλαδή το ισόνομα κατανεμημένο χαρτοφυλάκιο και με κόκκινο το βελτιστοποιημένο. Όπως παρατηρούμε το καινούριο χαρτοφυλάκιο υπερτερεί του παλιού.

53 Κεφάλαιο 4 ο : Εφαρμογή Value at Risk και Excepted Shortfall Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε τη διαδικασία που ακολουθήσαμε για να υπολογίσουμε την Αξία σε Κίνδυνο του χαρτοφυλακίου που είχαμε ως σημείο αναφοράς (ισόνομα κατανεμημένο χαρτοφυλάκιο), καθώς και των στοιχείων που το απαρτίζουν. Το χαρτοφυλάκιο αυτό αποτελείται από ίσα ποσοστά συμμέτοχης 8 μετοχών ( Southwest Airlines, Intel Corporation, The Goldman Sachs Group, Ford Motor Company, Costamare Shipping, CVS Health, Alcoa Inc, Fluor Corporation) και 2 πρώτων υλών ( Crude oil, Gold). Η μέθοδος που επιλέξαμε είναι αυτή της Ιστορικής Προσομοίωσης, για επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Αναλυτικά τα βήματα που ακολουθήσαμε: Υπολογισμός των ημερησίων αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων και του χαρτοφυλακίου χρησιμοποιώντας τη σχέση 1.3.1

R(LUV) 54 Date R(CMRE) R(CVS) R(FLR) R(AA) R(Portfolio) 31/12/2015 0,080913-0,00982-0,011514-0,009036 0,0128167 30/12/2015 0,027719-0,00624-0,011792-0,016782-0,0099375 29/12/2015-0,03299 0,009551 0,0047807 0,01503 0,0036285 28/12/2015 0,012526-0,00445-0,012318-0,013834-0,0014919 24/12/2015 0,010549 0,003553 0,0012332-0,00687 0,0011509 23/12/2015 0,047514 0,002442 0,0322512 0,0659-0,0000453 22/12/2015 0,026077 0,024179 0,0183665 0,025751 0,0020343 21/12/2015-0,00339 0,011491 0,0118058 0,009751 0,0129344 18/12/2015-0,04941 0,001584-0,008239 0,008743 0,0025329 17/12/2015-0,05097-0,02921-0,021015-0,00974-0,0235192.......................................... 10/6/2011-0,02719-0,0143-0,014947-0,014194-0,0053072 9/6/2011-0,00118 0,006398-0,008826 0,00584 0,0016364 8/6/2011-0,00528 0,003746 0,0004731-0,017846-0,0037013 7/6/2011 0,015504 0,003221 0,0026877 0,005125-0,0015974 6/6/2011-0,02044-0,01896-0,038023-0,019472 0,0018587 3/6/2011-0,00638-0,01453-0,010683-0,017284 0,0000203 2/6/2011 0,005251 0,003908 0,0069697 0,006837 0,0014913 Στη συνέχεια με τη χρήση του Minitab προσπαθήσαμε να προσεγγίσουμε τη κατανομή που ακολουθούν οι αποδόσεις. Αρχικά με τη χρήση Boxplot προσπαθήσαμε να εκτιμήσουμε τη κατανομή που ακολουθούν οι αποδόσεις των υπό μελέτη στοιχείων. 0,10 Boxplot of R(LUV) 0,05 0,00-0,05-0,10 Boxplot of R(LUV)

R(INTC) R(crude oil) 55 Boxplot of R(crude oil) 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10 Boxplot of R(Crude Oil) Boxplot of R(INTC) 0,100 0,075 0,050 0,025 0,000-0,025-0,050 Boxplot of R(INTC)

R(Gold) R(GS) 56 Boxplot of R(GS) 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10 Boxplot of R(GS) Boxplot of R(Gold) 0,050 0,025 0,000-0,025-0,050-0,075-0,100 Boxplot of R(Gold)

R(CMRE) R(F) 57 Boxplot of R(F) 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10 Boxplot of R(F) Boxplot of R(CMRE) 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10 Boxplot of R(CMRE)

R(FLR) R(CVS) 58 Boxplot of R(CVS) 0,100 0,075 0,050 0,025 0,000-0,025-0,050 Boxplot of R(CVS) Boxplot of R(FLR) 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10-0,15 Boxplot of R(FLR)

R(Portfolio) R(AA) 59 Boxplot of R(AA) 0,10 0,05 0,00-0,05-0,10 Boxplot of R(AA) Boxplot of R(Portfolio) 0,050 0,025 0,000-0,025-0,050-0,075 Boxplot of R(Portfolio)

60 Διαπιστώνουμε σε όλες τις περιπτώσεις που εξετάσαμε την ύπαρξη ακραίων και πολύ ακραίων τιμών που μας δίνουν την ένδειξη σημαντικής απόκλισης από τη συμμετρική κατανομή. Από αυτές τις ενδείξεις θα συμπεράνουμε ότι κανένα στοιχείο δεν ακολουθεί την κανονική κατανομή και θα το αποδείξουμε εφαρμόζοντας τον έλεγχο κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(LUV)

61 Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(INTC) Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(Crude oil)

62 Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(GS) Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(Gold)

63 Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(F) Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(CMRE)

64 Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(CVS) Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(FLR)

65 Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(AA) Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smyrnov of R(Portfolio)

66 Στη συνέχεια επιχειρήσαμε να βρούμε τη κατανομή που ακολουθούν, εξετάζοντας τις εξής 8 πιθανές κατανομές: Smallest Extreme Value, Largest Extreme Value, 3- Parameter Gamma, Logistic, Normal, 3-Parameter Lognormal, 2-Parameter Exponential, 3-Parameter Weibull. Η διαδικασία αυτή έλαβε χώρα στο Minitab επιλέγοντας την εντολή Individual Distribution Identification. Individual Distribution Identification of R(LUV)

67 Individual Distribution Identification of R(LUV) Individual Distribution Identification of R(Crude oil)

68 Individual Distribution Identification of R(crude oil) Individual Distribution Identification of R(INTC)

69 Individual Distribution Identification of R(INTC) Individual Distribution Identification of R(GS)

70 Individual Distribution Identification of R(GS) Individual Distribution Identification of R(Gold)

71 Individual Distribution Identification of R(Gold) Individual Distribution Identification of R(F)

72 Individual Distribution Identification of R(F) Individual Distribution Identification of R(CMRE)

73 Individual Distribution Identification of R(CMRE) Individual Distribution Identification of R(CVS)

74 I ndividual Distribution Identification of R(CVS) Individual Distribution Identification of R(FLR)

75 Individual Distribution Identification of R(FLR) Individual Distribution Identification of R(AA)

76 Individual Distribution Identification of R(AA) Individual Distribution Identification of R(Portfolio)

77 Individual Distribution Identification of R(Portfolio) Με το τέλος της διαδικασίας αυτής είμαστε σε θέση να ισχυριστούμε ότι οι αποδόσεις των ακόλουθων στοιχείων ακολουθούν τη λογιστική κατανομή: Southwest Airlines Company, Intel Corporation, Ford Motor Company, CVS Health, και Fluor Corporation. Ενώ τα υπόλοιπα στοιχεία καμία από τις εξετασθείσες κατανομές. Επόμενο βήμα είναι η παραγωγή τυχαίων αριθμών με βάση τη πραγματική κατανομή που ακολουθούν. Για τις μετοχές των Southwest Airlines, Intel Corporation, Ford Motor Company, CVS Health και Fluor Corporation έχουμε αποδείξει ότι ακολουθούν τη λογιστική κατανομή. Χρησιμοποιώντας τη συγκεκριμένη κατανομή πραγματοποιήσαμε τη παραγωγή των υποθετικών αποδόσεων με βάση το Location και το Scale

78 της κάθε μίας. Η διαδικασία αυτή έλαβε χώρα στο Minitab επιλέγοντας την εντολή Calc Random Data Logistic. Για τα υπόλοιπα στοιχεία η παραγωγή των τυχαίων αποδόσεων πραγματοποιήθηκε επιλέγοντας την εντολή Calc Random Data Sample From Columns. Με τη διαδικασία αυτή παράγουμε ένα τυχαίο δείγμα με βάση τη πραγματική κατανομή που ακολουθούν οι αποδόσεις. Η παραπάνω διαδικασία πραγματοποιήθηκε 10 φορές για καθένα από τα περιουσιακά στοιχεία για δείγμα μεγέθους 100. Στη συνέχεια τοποθετήσαμε τις υποθετικές αποδόσεις κατά φθίνουσα σειρά για κάθε ένα από τα περιουσιακά στοιχεία μας και επιλέξαμε τη πέμπτη χειρότερη απόδοση ως το VaR του δείγματός μας. Το τελικό VaR κάθε στοιχείου προσδιορίζεται ως ο μέσος των VaR των δειγμάτων. Για τον υπολογισμό του Expected Shortfall των αποδόσεων των στοιχείων μας εργαστήκαμε με παρόμοιο τρόπο, με τη διαφορά ότι σε αντίθεση με τη VaR το ES προσδιορίζεται ως ο μέσος των αποδόσεων που ξεπερνούν το επίπεδο εμπιστοσύνης μας.

79 Κεφάλαιο 5 ο : Εύρεση αποτελεσματικού συνόρου με τη χρήση του κλασικού μοντέλου βελτιστοποίησης του H. Markowitz Τα πρώτα βήματα που ακολουθήσαμε για τον υπολογισμό του αποτελεσματικού συνόρου είναι τα ίδια με αυτά της προηγουμένης ενότητας, γι αυτό θα τα αναφέρουμε λιγότερο αναλυτικά. 1. Εισήγαμε σε ένα φύλλο του Minitab τις ημερήσιες τιμές των τίτλων που έχουμε επενδύσει για το χρονικό διάστημα 1/6/2011 1/1/2016. 2. Στη συνέχεια υπολογίσαμε τις ημερήσιες πραγματοποιθείσες αποδόσεις των τίτλων όπως στην προηγουμένη ενότητα. 3. Υστέρα, με τη χρήση του Minitab, υπολογίσαμε τις μέσες ημερήσιες αποδόσεις και τις τυπικές αποκλίσεις των αποδόσεων των τίτλων. 4. Έπειτα υπολογίζουμε το πίνακα συνδιακύμανσης των αποδόσεων τίτλων. 5. Στη συνέχεια μεταφέραμε τις μέσες ημερήσιες αποδόσεις, τις τυπικές αποκλίσεις και το πίνακα συνδιακύμανσης των αποδόσεων των τίτλων στο excel και υπολογίσαμε την αναμενομένη απόδοση καθώς και τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου μας. 6. Σε αντίθεση με το 6 ο στάδιο της προηγουμένης ενότητας, θα δημιουργήσουμε το πρόβλημα του μη γραμμικού προγραμματισμού μεγιστοποιώντας την αναμενομένη απόδοση του χαρτοφυλακίου κάτω από τους εξής περιορισμούς: i. w i 0, το ποσοστό συμμέτοχης του κάθε τίτλου είναι θετικό. 10 ii. i=1 w i = 1, Το άθροισμα των ποσοστών συμμέτοχης είναι ίσο με 1.

80 iii. Η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου είναι μικρότερη-ίση από ένα επιθυμητό επίπεδο το οποίο το ορίζει ο εκάστοτε επενδυτής. Ή αντίστοιχα ελαχιστοποιώντας το κίνδυνο υπό τους εξής περιορισμούς: i. w i 0, το ποσοστό συμμέτοχης του κάθε τίτλου είναι θετικό. 10 ii. i=1 w i = 1, Το άθροισμα των ποσοστών συμμέτοχης είναι ίσο με 1. iii. Η αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου είναι μεγαλύτερη-ίση από ένα επιθυμητό επίπεδο το οποίο το ορίζει ο εκάστοτε επενδυτής. 7. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τα χαρτοφυλάκια που θα αποτελέσουν το αποτελεσματικό μας σύνορο. Αναλυτικά: i. Προσδιορίζουμε το άνω άκρο του αποτελεσματικού συνόρου, το οποίο θα είναι το χαρτοφυλάκιο που αποτελείται αποκλειστικά από το αξιόγραφο με τη μεγαλύτερη αναμενομένη απόδοση. ii. iii. Προσδιορίζουμε το κάτω άκρο του αποτελεσματικού συνόρου, το οποίο θα είναι το χαρτοφυλάκιο με τη μικρότερη διακύμανση (Min Var Portfolio). Προσδιορισμός άλλων 10 χαρτοφυλακίων του αποδοτικού συνόρου. Χρησιμοποιούμε την εντολή επίλυση του Excel (δεδομένα ανάλυση επίλυση), μεγιστοποιώντας έτσι την αναμενομένη απόδοση του χαρτοφυλακίου για κάθε νέο αποδεκτό επίπεδο κινδύνου. Ακολουθούν οι αναμενόμενες αποδόσεις, οι τυπικές αποκλίσεις και τα ποσοστά συμμέτοχης των τίτλων των 12 νέων χαρτοφυλακίων τα οποία χρησιμοποιούμε, ώστε να σκιαγραφήσουμε το αποτελεσματικό μας σύνορο.

81 Πιο συγκεκριμένα υπολογίσαμε το χαρτοφυλάκιο ελάχιστης διασποράς: Min Var Portfolio Weight LUV 0,068596 Crude oil 0,087582 INTC 0,103888 GS 0 Gold 0,419843 F 0,00635 CMRE 0,049656 CVS 0,264084 FLR 0 AA 0 Expected Return 0,000187 Standard Deviation 0,007532 Sharpe 0,023872 Το χαρτοφυλάκιο με τη μεγαλύτερη αναμενόμενη απόδοση: Portfolio Max Expected Return Weight LUV 1 crude-oil 0 INTC 0 GS 0 Gold 0 F 0 CMRE 0 CVS 0 FLR 0 AA 0 Expected Return 0,001306 Standard Deviation 0,018295901 Sharpe 0,071007745 Για τα ακόλουθα χαρτοφυλάκια μεγιστοποιήσαμε την αναμενομένη απόδοση για δεδομένο κάθε φορά επίπεδο κίνδυνου:

82 Portfolio A Weight Portfolio B Weight LUV 0,130932115 LUV 0,210560537 crude-oil 0 crude-oil 0 INTC 0,106620315 INTC 0,059560586 GS 0 GS 0 Gold 0,363215474 Gold 0,223874415 F 0 F 0 CMRE 0,000459435 CMRE 0 CVS 0,398772661 CVS 0,506004462 FLR 0 FLR 0 AA 0 AA 0 Expected Return 0,000488316 Standard Deviation 0,00800001 Sharpe 0,060183205 Expected Return 0,000696313 Standard Deviation 0,009000005 Sharpe 0,076607078 Portfolio C Weight Portfolio D Weight LUV 0,263768505 LUV 0,30918383 crude-oil 0 crude-oil 0 INTC 0,027880808 INTC 0,000891998 GS 0 GS 0 Gold 0,1304461 Gold 0,050940464 F 0 F 0 CMRE 0 CMRE 0 CVS 0,577904588 CVS 0,638983708 FLR 0 FLR 0 AA 0 AA 0 Expected Return 0,000835401 Standard Deviation 0,01000001 Sharpe 0,08285507 Expected Return 0,000953831 Standard Deviation 0,01100001 Sharpe 0,086089185

83 Portfolio F Weight LUV 0,742244877 crude-oil 0 INTC 0 GS 0 Gold 0 F 0 CMRE 0 CVS 0,257755123 FLR 0 AA 0 Expected Return 0,001195939 Standard Deviation 0,015000001 Sharpe 0,079272613 Tέλος υπολογίσαμε και τα ακόλουθα χαρτοφυλάκια ελαχιστοποιώντας τον κίνδυνο για δεδομένη κάθε φορά αναμενόμενη απόδοση: Porfolio G Weight Portfolio H Weight LUV 0,058016632 LUV 0,060306302 crude-oil 0,099575566 crude-oil 0,096980006 INTC 0,10165575 INTC 0,102136106 GS 0 GS 0 Gold 0,427762545 Gold 0,426091361 F 0,015363703 F 0,0135118 CMRE 0,055416953 CMRE 0,0541476 CVS 0,24220885 CVS 0,246826825 FLR 0 FLR 0 AA 0 AA 0 Expected Re 0,00014 Standard De 0,007542265 Sharpe 0,017653939 Expected Return 0,00015 Standard Deviation 0,007538172 Sharpe 0,018990106

84 Portfolio I Weight Portfolio J Weight LUV 0,062568 LUV 0,064829 crude-oil 0,094418 crude-oil 0,091854 INTC 0,10264 INTC 0,103145 GS 0 GS 0 Gold 0,424389 Gold 0,422687 F 0,011537 F 0,009562 CMRE 0,052921 CMRE 0,051696 CVS 0,251527 CVS 0,256228 FLR 0 FLR 0 AA 0 AA 0 Expected Return 0,00016 Standard Deviation 0,007535 Sharpe 0,020325 Expected Return 0,00017 Standard Deviation 0,007533 Sharpe 0,021658 Portfolio J Weight LUV 0,037674898 crude-oil 0,122617301 INTC 0,097244881 GS 0 Gold 0,4430649 F 0,033181438 CMRE 0,066440902 CVS 0,19977568 FLR 0 AA 0 Expected Return 0,00005000 Standard Deviation 0,007622859 Sharpe 0,005660696 Value at risk -0,01846327 Στο παρακάτω γράφημα ακολουθούν τα προαναφερθέντα χαρτοφυλάκια που σκιαγραφούν το αποτελεσματικό σύνορο:

Expected Return 85 Scatterplot of Expected Return vs Standard Deviation 0,0014 0,0012 0,0010 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0,0000 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 Standard Deviation Προσδιορισμός του αποτελεσματικού συνόρου

86 Κεφάλαιο 6 ο : Κατασκευή Χαρτοφυλακίων Στο κεφάλαιο αυτό θα κατασκευάσουμε 7 διαφορετικά χαρτοφυλάκια βασιζόμενοι στο μοντέλο του Markowitz. Το πρώτο χαρτοφυλάκιο είναι το Minimum Var χαρτοφυλάκιο. Δηλαδή το χαρτοφυλάκιο με το μικρότερο κίνδυνο. Για τη κατασκευή του ελαχιστοποιήσαμε τη τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου, κάτω από τους περιορισμούς: i. w i 0, το ποσοστό συμμέτοχης του κάθε τίτλου είναι θετικό. 10 ii. i=1 w i = 1, Το άθροισμα των ποσοστών συμμέτοχης είναι ίσο με 1. αφήνοντας ελεύθερη την αναμενομένη απόδοση.. Το δεύτερο χαρτοφυλάκιο το ονομάσαμε Max Expected Return for a given level of Risk, για τη κατασκευή του μεγιστοποιήσαμε την αναμενόμενη απόδοση κάτω από τους ακόλουθους περιορισμούς:

87 i. w i 0, το ποσοστό συμμέτοχης του κάθε τίτλου είναι θετικό. 10 ii. i=1 w i = 1, Το άθροισμα των ποσοστών συμμέτοχης είναι ίσο με 1. iii. Η τυπική απόκλιση είναι μικρότερη-ίση από 0,008. Maximum Expected Return for a given level of Risk Weight LUV 0,123230413 crude-oil 0,00882886 INTC 0,106970298 GS 0 Gold 0,370771148 F 0 CMRE 0,00705666 CVS 0,383142621 FLR 0 AA 0 Expected Return 0,000453642 Standard Deviation 0,008000001 Sharpe 0,056555916 VaR -0,20548825 Στη τρίτη περίπτωση κατασκευάσαμε ηθελημένα ένα κακό χαρτοφυλάκιο το οποίο ονομάσαμε worst. Για τη κατασκευή του ελαχιστοποιήσαμε τη τυπική απόκλιση υπό τους εξής περιορισμούς: i. w i 0, το ποσοστό συμμέτοχης του κάθε τίτλου είναι θετικό. 10 ii. i=1 w i = 1, Το άθροισμα των ποσοστών συμμέτοχης είναι ίσο με 1. iii. Η αναμενόμενη απόδοση είναι μικρότερη-ίση με 0,00005.

88 Το τέταρτο χαρτοφυλάκιο το ονομάσαμε maximum Sharpe και αποτελεί το χαρτοφυλάκιο που μεγιστοποιεί τo Sharpe Ratio. θα μεγιστοποιήσουμε το Sharpe= Υπό τους περιορισμούς: E(R R F 365 ) σ i. w i 0, το ποσοστό συμμέτοχης του κάθε τίτλου είναι θετικό. 10 ii. i=1 w i = 1, Το άθροισμα των ποσοστών συμμέτοχης είναι ίσο με 1.