Zadaqi spektral~no teorii differencial~nyh operatorov Dmitri Vassiliev (University College London) 1
Kto tako i otkuda vzls 1972{1978 student FUPMa 1978{1981 aspirant MFTI, nauqny rukovoditel~ Viktor Borisoviq Lidski 1981{1991 Institut Problem Mehaniki AN SSSR 1991 1999 University of Sussex 1999 2006 University of Bath 2006 University College London 2
Prostexa zadaqa spektral~no teorii differencial~nyh operatorov: svobodnye kolebani struny d2 u = λu, u(0) = u(π) = 0. dx2 Spektral~ny parametr λ proporcionalen kvadratu qastoty. Sobstvennye znaqeni i sobstvennye funkcii vyqislts vno λ k = k 2, u k (x) = 2 π sin kx, k = 1, 2,.... 3
Pust~ teper~ Ω ograniqenna oblast~ v R 3. zadaqu ob akustiqeskom rezonatore Rassmotrim u = λu v Ω, u Ω = 0. Posqitat~ sobstvennye znaqeni 0 < λ 1 < λ 2 λ 3... trudno, potomu vvodim v rassmotrenie funkci raspredeleni sobstvennyh znaqeni N(λ) := 1 λ k <λ (qislo sobstvennyh znaqeni λ k men~xih dannogo λ). Formula Rle-Dinsa (1905): N(λ) = V 6π 2λ3/2 + o(λ 3/2 ) pri λ +, gde V obm rezonatora. Strogoe dokazatel~stvo: G.Vel~ (1912). 4
Obxa postanovka zadaqi. Pust~ M n-mernoe kompaktnoe mnogoobrazie s kraem M i pust~ A lliptiqeski samosoprnny poluograniqenni snizu operator qtnogo pordka 2m destvuxi na M. Rassmotrim spektral~nu zadaqu Togda Au = λu na M, (B (j) u) = 0, j = 1,..., m. M N(λ) = aλ n/(2m) + o(λ n/(2m) ) pri λ +, gde konstanta a vyqislets vno. Gipoteza Vel: spravedliva dvuqlenna asimptotika N(λ) = aλ n/(2m) +bλ (n 1)/(2m) +o(λ (n 1)/(2m) ) pri λ +, gde konstanta b toe vyqislets vno i uqityvaet kraevye ffekty. 5
Mo osnovno rezul~tat: Teorema Gipoteza Vel verna esli ne slixkom mnogo periodiqeskih i tupikovyh billiardnyh traektori. \Ne slixkom mnogo" = \mera startovyh toqek ravna nul". Yu.Safarov and D.Vassiliev, The asymptotic distribution of eigenvalues of partial differential operators, American Mathematical Society, 1997 (hardcover), 1998 (softcover). 6
Osnovna ide dokazatel~stva: zamenit~ spektral~ny parametr λ na 2m-u proizvodnu po vremeni Au = ( i t) 2m u i stroit~ operator e ita1/(2m) (\volnova gruppa"). Volnova gruppa stroits vno, po modul integral~nogo operatora s beskoneqno gladkim drom, metodamimikrolokal~nogo analiza (sm. 4 toma Hrmandera). Potom berts sled volnovo gruppy (v smysle obobwnnyh funkci) i priments tauberovy teoremy Fur~e kotorye prevrawat vrem t obratno v spektral~ny parametr λ. 7
Primer: svobodnye kolebani plastiny Togda 2 u = λu v Ω R 2, u Ω = u/ n Ω = 0. N(λ) = S 4π λ1/2 + βl 4π λ1/4 + o(λ 1/4 ) pri λ +, gde S plowad~ plastiny, L dlina granicy i β = 1 Γ(3/4) π Γ(5/4) 1.763. Pervy qlen asimptotiki byl naden Kurantom (1922). Obrawa mo formulu i perehod k qastotamλ 1/2 N, poluqaem λ 1/2 N = 4π S N 2 π βl N + o( N ) pri N +. S 3/2 8
Drugie spektral~nye zadaqi kotorye izuqal 1 Kolebani tonkih uprugih oboloqek. 2 Kolebani oboloqek kontaktiruwih s idkost~. 3 Fraktal~nye barabany (fractal drums). 4 Lokalizovannye volny (trapped modes). 5 Kraevo rezonans (edge resonance). 9
Qem zanimas~ seqas Izuqa sistemy nelinenyh giperboliqeskih uravneni v razmernosti 1 + 3 ispol~zu metody mikrolokal~nogo analiza. Cel~ { sozdat~ novye matematiqeskie modeli dl fermionov (netrino, lektron). 10
Osnovnye idei 1 Mono snaqala rexit~ linenu zadaqu a potom kofficienty uravneni (glavny simvol) sdelat~ nezavisimymi peremennymi. to uproxnny sposob izuqeni nelinenyh uravneni (poor man s approach). 2 Vrem mono otdelit~ a kofficient pri vtorom qlene spektral~no asimptotiki rassmatrivat~ kak destvie (variacionny funkcional). 3 Mikrolokal~ny analiz dat metod postroeni volnovogo paketa, znaqit est~ nadeda kogda-nibud~ postroit~ soliton kotory by imel svostva lementarno qasticy. 11
Qto ume delat~ na segodnxni den~ Ume izvlekat~ geometriqeskie struktury iz sistemy uravneni v qastnyh proizvodnyh: 1 metrika, 2 svznost~, 3 kruqenie, 4 spinor, 5 lagranian Diraka, 6 lektromagnitny vektorny potencial. 12
Memorial~ny tom Viktora Borisoviqa Lidskogo: Victor Borisovich Lidskii (1924-2008), American Mathematical Society, 2010, editors M.Levitin and D.Vassiliev. V predislovii kratko opisyvaets biografi Lidskogo i obsnets (zapadnomu qitatel) qto takoe Fizteh. Predislovie mono proqitat~ na internete. Vse giperssylki na moe stranice. Qtoby nati mo stranicu dostatoqno vvesti Vassiliev v Google. 13