ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Transcript

1 ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ηράκλειο 7-8 Μαρτίου 014 ΠΕΚ

2 A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης Έστω μία ρητή συνάρτηση Rx () Ax (). Επειδή τα A( x), B( x ) είναι Bx () πολυώνυμα, η Rx () είναι συνεχής συνάρτηση σε κάθε διάστημα εκτός της ρίζας του παρανομαστή. Άρα σε αυτό το διάστημα είναι ολοκληρώσιμη. Η ρητή συνάρτηση Rx () Ax (), γράφεται σαν άθροισμα ενός Bx () πολυωνύμου () x και μιας ρητής συνάρτησης () x, δηλαδή: R( x) A( x) ( x) ( x)... B( x) B( x) Bx (), όπου

3 Κάθε τώρα ρητή συνάρτηση () x, όπου.., γράφεται Bx () σαν άθροισμα ρητών συναρτήσεων της μορφής: Bx,, ό n, m * n m 4 0 x x x που ονομάζονται απλά κλάσματα. To Bx () αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβαθμίων και δευτεροβαθμίων πολυωνύμων με μιγαδικές ρίζες ως εξής: n n ( ) ( ) 1...( ).( m ) 1...( m B x a x x k a x x a x x ) 1 k 1 1 1, i, a j, j, j R, n i, m j, j 4a j j 0, n i, m j 0., όπου,

4 Άρα το () x γράφεται ως εξής: Bx () T ( x) A1 A A T T n n... k Bx ( ) n x1 x x ( ) ( ) k n xk xk xk C C x D E x Z... 1xD1 m... 1 m 1 E... 1xZ1 m m.... m 1 m a1x 1x1 ( a1x 1x1) a x x ( a x x ) Οπότε κάθε συνάρτηση Rx ( ) Ax ( ) Bx ( ) γράφεται ως εξής: Ax ( ) A Bx R( x) ( x) Bx ( ) n ( x) ( x x ) m.

5 x Τα ολοκληρώματα: ( x) dx, dx, dx n m x είναι x x στοιχειώδεις συναρτήσεις, οπότε το R( x) dx είναι στοιχειώδης συνάρτηση, που βρίσκεται αν γράψουμε αυτή τη ρητή συνάρτηση σαν άθροισμα απλών κλασμάτων και ολοκληρώσουμε αυτά.

6 ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ «Κλασική μέθοδος» Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: x 11 dx. ( x 1)( x )( x 3) Απάντηση Η συνάρτηση x 11 ( x 1)( x )( x 3) x 1 x x 3 x 11 f( x) ( x 1)( x )( x 3) κάνοντας απαλοιφή παρανομαστών, έχουμε 1 γράφεται ως εξής:

7 x x x x x x x 11 ( 5 6) ( 3) ( 3) x x x 11 5 (6 3 3 ) Η τελευταία ισότητα μας δίνει: Α=1, Β=-5 και Γ=5. Άρα x dx dx dx dx ln x 1 5ln x 5ln x 3 c ( x 1)( x )( x 3) x 1 x x 3

8 (Άλλη τεχνική).αν έχουμε f( x) hx ( ) gx ( ) 1 k 1 k i και g( x) ( x )( x )...( x )..., R τότε f x hx ( ) k g( x) x x x 1 ( )... 1 k καθένας από τους συντελεστές m, m 1,,..., k υπολογίζονται ως hx ( ) εξής: lim ( x ), m 1,,..., k m xm m gx ( ) δηλαδή m h( m), m 1,,..., k g( ) m

9 Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: x 11 dx. ( x 1)( x )( x 3) Απάντηση Η συνάρτηση f( x) x 11 ( x 1)( x )( x 3) γράφεται ως εξής: x 11 ( x 1)( x )( x 3) x 1 x x 3 1 x 11 1 lim x 1 1 x1 ( x 1)( x )( x 3) 1 x lim x 5 x ( x 1)( x )( x 3) 3 x 11 0 lim x 3 5 x3 ( x 1)( x )( x 3) 4

10 ή αν h( x) x 11 και g( x) x x 3 x 1 x 3 x 1 x h( m) τότε έχουμε (, m 1,,..., m g( ) m k ): h g(1) (1) h( ) g( ) 31 3 h( 3) g( 3) Άρα x dx dx dx dx ln x 1 5ln x 5ln x 3 c ( x 1)( x )( x 3) x 1 x x 3

11 Αν έχουμε f( x) hx ( ) gx ( ) και g( x) ( x ) ( x )...( x )..., R τότε 1 k 1 k i hx ( ) k f( x) g( x) ( x ) ( x ) x x x p p p Οι συντελεστές υπολογίζονται ως εξής: p x p x 1 ( x )...( x k ) x d 1 1 ( ) dx hx ( ) p x f x. x 1 p1 1 d x 1p p1 1 p [ f ( x)] ( p 1)! dx x 1 k

12 Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: 4 3 3x x 17x x 109 dx. 3 ( x3) ( x) Απάντηση H συνάρτηση γράφεται: 4 3 3x x 17x x 109 ( x 3) ( x ) x 3 ( x 3) x ( x ) ( x ) 3 3, (1) Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με ( x 3) και θέτοντας x=-3, έχουμε: 4 3 3x x 17x x 109 ( x 3) ( x 3)...() 3 x3 ( x) x x3 x

13 Για να βρούμε το Α παραγωγίζουμε μία φορά την () και θέτουμε x=-3, δηλαδή: d x x x x 3 dx ( x ) x x 6x 34x 1 x 33x x 17x x ( 5) x 4 x3 Το Ε βρίσκεται όπως το Β, δηλαδή: 4 3 3x x 17x x 109 x 3 x 3.

14 Όμοια: 4 3 d 3x x 17x x dx ( x 3) x d 3x x 17x x 109 d 6x 34x 18x 103x 15 4 dx ( x 3) dx ( x 3) 3 x x Άρα Οπότε: 4 3 3x x 17x x ( x 3) ( x ) x 3 ( x 3) x ( x ) ( x ) x x 17x x dx dx dx dx dx dx 3 3 ( x 3) ( x ) x 3 ( x 3) x ( x ) ( x ) 3 ln 3 ( 3) 4ln ( ) ( ) 1 1 x x x x x c

15 «Αντικατάσταση» Παράδειγμα 1: f( x) x 1 ( x ) 4 Απάντηση: Έχουμε x 1 ( x ) x ( x ) ( x ) ( x ) Θέτουμε x x, οπότε η (1) γίνεται: (1) () (3) Αλλά

16 Από () και (3) έχουμε: 1 0, 1, 3 4, 4 3 Οπότε: x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) Παράδειγμα : x 5 x1 3 1x dx x Απάντηση: x 1 1 x x x 1 x 1 x 1 1x 3 3 (1) Θέτουμε x1 x 1, οπότε η (1) γίνεται:

17 6 1 3 ( ) ( ) Παρατηρούμε ότι το 1 3 είναι το δευτεροβάθμιο πηλίκο της διαίρεσης του 6 δια του διατεταγμένα κατά τις ανιούσες δυνάμεις του ω. Η διαίρεση μας δίνει: (3)

18 Έχοντας υπ όψιν και την (): 6 ( ) 3 1 3, έχουμε: ,, 3 3, 1, 5 x 3 1 1x x Οπότε: x 1 1 x x x 1 x Άρα 5 3 x x dx dx dx dx dx x x 1 1 x x x 1 x ln x 1 ln(1 x ) x c x1 ( x1)

19 Β. ΜΟΡΦΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΜΕΝΑ ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ax Ι. ( x) e dx x x ΙΙ. ( x ) e dx, ( x ) e dx ΙΙΙ. ( x) ( x ) dx, ( x) ( x ) dx, ( x) ax ax IV. ( x) ( x ) e dx, ( x) ( x ) e dx V. R( x) ln ( x) dx, ( ), ( ) R x x ή ά VI. R( x) xdx και VII. R( x) ( ) x dx ώ

20 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΝΩΤΕΡΩ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ I. 1 η ax 1 ax 1 ax 1 ax Περίπτωση. ( x) e dx ( x) e dx ( x) e ( x) e dx 1 Το ( x) a a a είναι πολυώνυμο με βαθμό κατά μία μονάδα μικρότερο του βαθμού του ( x). Με διαδοχικές ολοκληρώσεις κατά παράγοντες θα έχουμε:

21 ax 1 ax 1 ax 1 ax ( x) e dx ( x) e dx ( x) e ( x) e dx a a a 1 ax 1 ax 1 ax ( x) e ( x) e ( x) e dx a a a 1 ax 1 ax ax 1 ax 1 ax 1 ax... ( x) e ( x) e... e dx ( x) e ( x) e... e a a a a a ax ax e ( ( x) ( x)... ) ( x) e a a a 1 ax ax Άρα ( x ) e dx 1( x ) e, όπου ( x) 1 πολυώνυμο ίσου βαθμού με το ( x). Οι συντελεστές του ( x) 1 υπολογίζονται με παραγώγιση των μελών, εξισώνοντας τους συντελεστές των ίσων δυνάμεων του x και λύνοντας το σχηματιζόμενο σύστημα.

22 3x 3x Παράδειγμα 1: x 1 e dx ax e και παραγωγίζοντας 3x 3x x 1 e 3ax 3 a e 3x 3x 3x x 1 e ax e ax ( e ) 3a a 3 3 a x 1 3 Άρα 1 x x e dx x e c 3 9

23 x Παράδειγμα : (5 8 13) και παραγωγίζοντας: x x e dx ax x e 5 5x 5x 5x 5x (5x 8x 13) e ax e 5 ax x e 5a5 a1 a x 5x... (5x 8x 13) e 5ax a 5 x e x Άρα (5 8 13) 3 5 5x x x e dx x x e c

24 Σχηματική μέθοδος Μία σχηματική μέθοδος για την ολοκλήρωση κατά παράγοντες του γινομένου συναρτήσεων του x θα παρουσιάσουμε στα επόμενα παραδείγματα. Παράδειγμα 1: To γινόμενο δύναμης του x με μία τριγωνομετρική συνάρτηση του x μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς. Έστω 5 f ( x) x g( x) x. 5 1 x xdx Γράφουμε τις παραγώγους της f ως προς x σε μία στήλη και τα ολοκληρώματα της g ως προς x σε

25 δεύτερη στήλη, συνεχίζοντας μέχρι την γραμμή όπου η ( n) f γίνεται 0. x 5 5x 4 0x 3 60x 10x συνx ημx -συνx -ημx συνx 10 ημx 0 -συνx Οπότε: I 1 =x 5 ημx+5x 4 συνx-0x 3 ημx-60x συνx+10xημx+10συνx+c

26 Παράδειγμα : Το γινόμενο μιας εκθετικής συνάρτησης με μία τριγωνομετρική e ax bxdx ax Έστω f ( x) e και g( x) bx. Δουλεύουμε όπως στο παράδειγμα 1, αλλά συνεχίζουμε ως τη γραμμή όπου το ( n) γινόμενο f g n είναι σταθερό πολλαπλάσιο του δοθέντος. e αx + αe αx 1 α e αx ημbx b bx b bx

27 ax 1 ax a ax a ax e bxdx e bx e bx e bxdx b b b ax 1 ax a ax a e bxdx e bx e bx b b b ax a ax 1 a e b bx abx e bx bx c b b b a b Παράδειγμα 3: x 3 xe xe x xdx ημx (x+1)e x 1 (x+)e x x x 4

28 1 x 1 x 1 x 3 xe x e ( x 1) x ( x ) e xdx x 1 x 1 x 1 x 3 xe x e ( x 1) x xe xdx e xdx 4 4 I x 1 x 1 x 3 3 xe x e ( x 1) x e xdx xe x e ( x 1) x e xdx (1) x x x 3 Έστω e x xdx I

29 e x ημx e x 1 x - e x 1 + x 4 x 1 x 1 x 1 x e xdx e x e x e xdx x 1 x 1 e x e x 4 4 x 1 x e x e x () 5 5 (1) () x 1 x 4 x x 3 xe x e ( x 1) x e x e x x e 3 3 5x x (4 10 x) x c 5

30 Βιβλιογραφία: [1] J.B.Reynolds, Undetermined coefficients in integration, American Mathematical Monthly, vol. 54 (1947), pp [] K.W.Folley, Integration by parts, American Mathematical Monthly, vol. 54 (1947), pp [3] M.R.Spiegel, Partial fractions with repeated linear or quadratic factors, American Mathematical Monthly, vol. 57 (1950), pp [4] Δ. Στρατηγόπουλος, Ανώτερα Μαθηματικά, Κλασσική Ανάλυση, Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, Πάτρα 1989.

31 ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΠΟΛΥ