Trigonometrijske nejednačine

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Trigonometrijske nejednačine"

Λύσανδρος Τομαραίοι
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja ve nejednačine, najpre ćem rešiti dgvarajuću jednačinu, a zatim naći intervale kji se u nejednačini traže.. Nejednačine sin>a i sin<a a < -svaki brj je rešenje sin > a a - rešavam a -nema rešenja a -nema rešenja sin < a a -rešavam a >-svaki brj je rešenje Primer : Reši nejednačine: a) sin > sin > v) sin > Rešenja: a) sin > pšt je sin t je svaki R rešenje. sin >

2 Najpre rešim dgvarajuću jednačinu: sin Dakle, rešenja jednačine su: + k 5 + k Sada razmišljam! Pšt nam treba da je sin > uzimam grnji de. Dakle: 5 < < Jš ddam peridičnst 5 + k < < + k, v) sin > Ov je nemguće, dakle nejednačina nema rešenja. Primer : Reši nejednačine: a) sin < sin v) sin < 5 Rešenja: a) sin < Kak je sin, dakle nikad ne mže biti manji d -, data nejednačina nema rešenja.

3 sin Najpre rešim jednačinu sin Rešenja su: 5 + k 7 + k Za nejednačinu sin nama treba dnji de! Dakle: k + k, v) sin < 5 Kak je sin, va nejednačina je uvek zadvljena,tj. R je rešenje..nejednačine cs>b i cs<b b < - svaki brj je rešenje cs > b b - rešavam b - nema rešenja b < - nema rešenja cs < b b - rešavam b > - svaki brj je rešenje

4 Primer : Reši nejednačine: a) cs > v) cs > cs > Rešenja: a) cs > vde je svaki R cs > Najpre rešim cs + k + k - - Za rešenja su nam ptrebni uglvi čiji je ksinus veći d,znači desn. Knačn rešenje je + k < < + k,

5 v) cs > Ova nejednačina nema rešenja jer najveća vrednst za ksinus, ka št znam, mže biti. Primer : Reši nejednačine: a) cs < cs v) cs < Rešenja: a) cs < - nema rešenja cs -rešićem prv cs + k + k Za rešenje nejednačine cs nam treba levi de Dakle rešenje je + k + k v) cs < Ovde je naravn rešenje R 5

6 . Nejednačine sa tg i ctg: Ove nejednačine za razliku d nih sa sin i cs uvek imaju rešenja s bzirm da tg i ctg uzimaju vrednsti iz celg skupa R. I vde ćem najpre rešiti dgvarajuću jednačinu I na snvu nje drediti interval rešenja date nejednačine. Primer : a) tg > 9 7 Najpre rešim jednačinu tg, + k. Razmišljam gde su tg veći d? Prv su t Uglvi d d sa rešenjima! d 9. A nda I drugi interval d 7. Znači vde imam dva intervala Rešenje će dakle biti: < 9 i < < < 7 Ddam perid k kja važi za tg. + k < < + k i + k < < + k Ili mžem zapisati: ( + k, + k ) i ( + k, + k )

7 tg < Prv rešim tg, znam da je t uga d 5 i 5. Nama treba da su tangensi manji d.(pdebljana pluprava) Opet imam dva rešenja! 7 < < i 5 < < Odnsn: 5 ( + k, + k ) ( + k, + k ) Primer : Reši nejednačine: a) ctg > ctg < Rešenja: a) Rešim prv ctg i 8 7

8 Opet dva intervala: < < i < < Rešenje je: ( + k, + k ) ( + k, + k ), ctg Traženi uglvi su iz II i IV kvadranta. < < i < < Rešenje je: ( + k, + k ) ( + k, + k ) 8

9 Zadaci: ) sin Najpre rešim sin sin Dakle: + k + k Sve pdelim sa k k ) sin + cs < Najpre rešim jednačinu: sin + cs Ov je tip uvdjenje pmćng argumenta 9

10 a b c tgϕ b a ϕ 5 tgϕ tgϕ a c + b + c Pa je : sin( + ϕ) sin( + ) a + b Dakle imam: sin( + ) < Ovde nam ne dgvara sam ak je sin( + ) Tj. + + k + k + k Dakle rešenje je sem ) sin + 5sin + > k + dnsn + k, sin + 5sin + > smena sint t + 5t + > pgledaj kvadratne nejednačine! t t t, 5 ±

11 t (, ) (, sin (, ) ( ) tj,, ) Pšt je sin mram izvršiti krekciju intervala! sin, dnsn sin > k < < + k Je knačn rešenje! ) Pkazati da važi za svak α : + 8 sin α cs α Transfrmišem izraz na levj strani! cs α + sin α + sin α cs α sin α + cs α Transfrmišem izraz sin α + cs α. Pdjim d :

12 sin α + cs α / () kvadriram (sin α + cs α) sin α + sin αcs α + cs α davde izrazim sin α + cs α sin α + cs α sin αcs α ddam ka trik sin αcsα sin α + cs α sin α sin α + cs α sin α + sin α sin α + cs α pet trik da je sin α cs α + cs α Vratim se u zadatak: + cs α cs α + sin α + cs α 8 ddam( ) sin α cs α sin α cs α sin α cs α 8 8( + cs α) 8( + cs α) 8 8 sin αcs α sin α sin α A v sigurn važi! 5) Ak su α, β, γ uglvi trugla I ak je γ tup, tada je tg αtgβ <. Dkazati tg α tgβ <? Ak je uga tup I α + β + γ 8 nda zbir α + β mra biti manji d 9 t jest uga ( α + β ) je u I kvadrantu! A pšt znam da su tangensi uglva u prvm kvadrantu pzitivni, mra biti tg ( α + β ) > Za tg ( α + β ) imam frmulu: tgα + tgβ > tgαtgβ A Pazi: > ( A >, B > ) ( A <, B < ) B Pšt je tg α + tgβ > mra biti:

13 tg αtgβ > dnsn tg αtgβ < Št sm I trebali dkazati!!!

Σχετικά έγγραφα

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja Trgnmetrjsk blk kmpleksng brja Da se pdsetm: Kmpleksn brj je blka je realn de, je magnarn de kmpleksng brja, - je magnarna jednca, ( Dva kmpleksna brja su jednaka ak je Za brj _ je knjugvan kmpleksan brj.