Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Transcript

1 Klasifikacija blizu

2 Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) = 0 R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ) R(X, Y )J = JR(X, Y ) R(X, Y ) = R(JX, JY ) R(JX, JY, Z, W ) = R(X, Y, JZ, JW ) = R(X, Y, Z, W ) za X, Y, Z, W χ(m).

3 Teorema Kelerova mnogostrukost je lokalno ravna.

4 Definicija Sekciona ravan Σ se zove holomorfna sekciona ravan ako je Σ invarijantna u odnosu na J, a to je ako i samo ako je {X, JX } ortonormirana baza za Σ gde je X bilo koji jedinični vektor ravni Σ. Za holomorfnu sekcionu ravan Σ u tački p sekciona krivina k(p, Σ) se zove holomorfna sekciona krivina. (k(p, Σ) = R(X, JX, X, JX ))

5 Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Ako je k(p, Σ) = c ( c je konstanta ) za svaku holomorfnu sekcionu ravan Σ, tada je R = cr 0 u tački p, gde je R 0 (X, Y, Z, W ) = 1 [< X, W >< Y, Z > < Y, W >< X, Z > 4 + < X, JW >< Y, JZ > < Y, JW >< X, JZ > +2 < X, JY >< W, JZ >] za X, Y, Z, W T p (M).

6 Definicija Neka je M skoro Hermitski prostor. M je blizu Kelerova mnogostrukost ako važi X (J)X = 0 za svako X χ(m).

7 Lema Za operator krivine R XY (X, Y χ(m)) važe sledeći identiteti: 1 < R XY X, Y > < R XY JX, JY >= X (J)(Y ) 2 2 < R WX Y, Z >=< R JWJX JY, JZ > 3 2 < 2 WX (J)Y, Z >=< R WJX Y, Z > + < R WJZ X, Y > + < R WJY Z, X > 4 < R WX Y, Z >=< R JWJX Y, Z > + < R JWX JY, Z > + < R JWX Y, JZ > za W, X, Y, Z χ(m).

8 Lema Za svako W, X, Y, Z χ(m) vazi < R WX Y, Z > < R WX JY, JZ >=< W (J)(X ), Y (J)(Z) >.

9 Lema Neka je M blizu Kelerova mnogostrukost. Neka je x T p M jedinični vektor u kom holomorfna sekciona krivina H(x) ima maksimum. Tada za svako y T p M takvo da je < x, y >=< Jx, y >= 0 i y = 1, vazi H(x) 3 < R xy x, y > + < R xjy x, Jy > 3 x (J)(y) 2.

10 Lema Pretpostavimo da holomorfna sekciona krivina H od M ima konstantnu vrednost µ u tački p M, i neka su x, u T p M takvi da je x = u = 1. Tada važi ako je < x, u >= 0. K xu = µ 4 {1 + 3 < Jx, u >2 } x(j)(u) 2,

11 Lema Neka je M blizu Kelerova mnogostrukost tačka po tačka λ(p). Tada za w, x, y, z T p (M) važi R(w, x, y, z) = = λ(p) (< w, y >< x, z > < w, z >< x, y > 4 + < Jw, y >< Jx, z > < Jw, z >< Jx, y > +2 < Jw, x >< Jy, z >) (< ( w J)y, ( x J)z > < ( w J)z, ( x J)y > + 2 < ( w J)x, ( y J)z >)

12 Lema Neka je M blizu Kelerova mnogostrukost. Onda je M lokalno simetrična.

13 Lema Neka je M blizu Kelerova mnogostrukost tačka po tačka λ. Ako M nije Kelerova onda je λ > 0.

14 Teorema Neka je M blizu Kelerova mnogostrukost tačka po tačka λ. Tada je M lokalno izometrična jednom od sledećih prostora rimanovoj površi M 2 komlpleksnom euklidskom prostoru C n kompleksnom hiperboličkom prostoru CD n kompleksnom projektivnom prostoru CP n sferi S 6

15 Primer S 6 je blizu Kelerova mnogostrukost( koja nije Kelerova mnogostrukost) 1.

16 Teorema () Neka je M blizu Kelerova mnogostrukost, dim M 4. Ako holomorfna sekciona krivina H(p, X ) ne zavisi od X onda je ona konstantna.

17 λ(w, X, Y, Z) = R(W, X, Y, Z) R(W, X, JY, JZ)

18 λ(w, X, Y, Z) = R(W, X, Y, Z) R(W, X, JY, JZ) P(V, W, X, Y, Z) = = ( 3 V (λ)(w, X, Y, Z) + V (λ)(w, X, Y, Z)) V,W,X X,Y,Z

19 λ(w, X, Y, Z) = R(W, X, Y, Z) R(W, X, JY, JZ) P(V, W, X, Y, Z) = = ( 3 V (λ)(w, X, Y, Z) + V (λ)(w, X, Y, Z)) V,W,X X,Y,Z λ(w, X, Y, Z) = < ( W J)X, ( Y J)Z > λ(w, X, Y, Z) = λ(w, JX, Y, JZ) = λ(jw, JX, JY, JZ) λ(w, X, Y, Z) = λ(w, X, JY, JZ)

20 Lema Neka je M blizu Kelerova mnogostrukost. Tada za sve W, X χ(m) važi P(JW, W, X, W, X ) + P(JW, W, JX, W, JX ) = 0 Lema Neka je M blizu Kelerova mnogostrukost, čija je holomorfna sekciona krivina µ tačka po tačka konstantna Tada za sve W, X χ(m) važi P(JW, W, X, W, X ) + P(JW, W, JX, W, JX ) = = 2(JW µ)( W 2 X 2 + < W, X > 2 + < JW, X > 2 ) + 4 W 2 (< W, JX > X µ < W, X > JX µ)