9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora.

Transcript

1 A Utexev 9 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora 1 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Budem oboznaqatь qerez V line noe vektornoe prostranstvo (vewestvennoe ili kompleksnoe) razmernosti n: dim V = n; ego зlementy propisnymi bukvami: X, Y,, X, Y,, a skal ry stroqnymi: x, y,, α, β, Opredelenie Funkci A, otobraжa wa V v seb : A : V V, nazyvaets line nym preobrazovaniem V ili operatorom na V esli ona obladaet svo stvom line nosti: A (α 1 X 1 + α 2 X 2 ) = α 1 A (X 1 ) + α 2 A (X 2 ) dl { {X1, X 2 } V {α 1, α 2 } R ili C (1) (zdesь α 1, α 2 konstanty iz R esli oba prostranstva vewestvenny, i iz C, esli hot by odno iz prostranstv kompleksnoe) Rassmotrim operator A na V i pustь {X 1,, X n } bazis V Na dem koordinaty vektorov A (X 1 ),, A (X n ) v bazise {X 1,, X n } : Opredelenie Matrica A (X 1 ) = α 11 X 1 + α 21 X α n1 X n, A (X 2 ) = α 12 X 1 + α 22 X α n2 X n,, A (X n ) = α 1n X 1 + α 2n X α nn X n A = α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n α n1 α n2 α nn n n, (2) v kotoro po stolbcam sto t koordinaty obrazov bazisnyh vektorov, nazyvaets matrice operatora A v vybrannom bazise 1

2 Primer 1 V line nom prostranstve P 3 polinomov stepene ne vyxe 3 rassmotrim differencialьny operator A def = 2 d d x 1 : p(x) 2 p (x) p(x) Na ti ego matricu v bazise {1, x, x 2, x 3 } Rexenie V зtom primere X 1 = 1, X 2 = x, X 3 = x 2, X 4 = x 3 Formuly (2) priobreta t vid: A (X 1 ) = 2X 1 X 1 = 1 = 1 X 1, A (X 2 ) = 2X 2 X 2 = 2 x = 2 X 1 1 X 2, A (X 3 ) = 2X 3 X 3 = 4 x x 2 = 4 X 2 1 X 3, A (X 4 ) = 2X 4 X 4 = 6 x 2 x 3 = 6 X 3 1 X 4 Vybiraem koзfficienty iz pravyh qaste poluqivxihs formul i formiruem iz nih stolbcy matricy operatora: A = Primer 2 Izvestny obrazy bazisnyh vektorov R 3 pod de stviem operatora A : A 5 3 = 2 1, A 1 3 = 1 3, A 1 2 = Na ti matricu зtogo operatora v ishodnom bazise Rexenie Komponenty matricy A iwuts po formulam (2), kotorye moжno zapisatь v matriqnom vide: Otkuda [X 1,, X n ] A = [A (X 1 ),, A (X n )] A = [X 1,, X n ] 1 [A (X 1 ),, A (X n )], i dl naxego primera зta formula daet A = = = =

3 Teorema 1 Koordinaty proizvolьnogo vektora X = X X n i ego obraza Y = A (X) = y 1 X X n sv zany formulo y 1 = A (3) Dokazatelьstvo S odno storony, Y = A (X) = y 1 X X n S drugo storony, s pomowь formul (2) poluqaem: A (X) = A ( X X n ) = A (X 1 ) + + A (X n ) = = (α 11 X α n1 X n ) + + (α 1n X α nn X n ) = = ( α α 1n )X ( α n1 + + α nn )X n Poskolьku koordinaty vektora v fiksirovannom bazise opredel ts edinstvennym obrazom, imeem: y 1 = α α 1n, = α n1 + + α nn, qto i sootvetstvuet matriqno forme zapisi (3) Teorema 1 pozvol et svesti issledovanie operatora, de stvuwego v proizvolьnom prostranstve V, k issledovani operatora, de stvu wego nad vektorami-stolbcami v R n ili C n Posledni vsegda moжno zadatь v vide A (X) = AX, te de stvie A na stolbec X зkvivalentno domnoжeni зtogo stolbca sleva na podhod wu kvadratnu matricu por dka n Ostalosь tolьko vy snitь kak izmen ets matrica operatora pri perehode ot odnogo bazisa k drugomu i podobratь zatem tako bazis, v kotorom matrica priobrela baibolee prostu strukturu Teorema 2 Esli C matrica perehoda ot starogo bazisa k novomu, to matricy A i B operatora v starom i novom bazisah sv zany formulo : B = C 1 A C (4) Dokazatelьstvo Pustь {X 1,, X n } stary bazis, {X 1,, X n } novy bazis i nam izvestny koordinaty vektorov X i A (X) v oboih bazisah: X = X X n = X X n, Y = A (X) = y 1 X X n = y 1 X X n 3

4 Matrica perehoda C sv zyvaet koordinaty vektorov v starom i novom bazisah: y 1 y 1 = C, = C Poluqaem cepoqku ravenstv: y 1 B = = C 1 y 1 = C 1 A = C 1 AC Ravenstvo imeet mesto dl l byh stolbcov (,, ), sledovatelьno i dl stolbcov , 0,, 1 Obъedin poluqennye n ravenstv v odno matriqnoe, poluqim B E = C 1 A C E, otkuda i sleduet (4) Opredelenie Matricy A i B, sv zannye sootnoxeniem (4) (pri kako -to neosobenno matrice C) nazyva ts podobnymi: A = B 2 Sobstvennye qisla i sobstvennye vektory Rassmotrim operator nad kompleksnym prostranstvom V Opredelenie Vektor X V nazyvaets sobstvennym vektorom operatora A, esli a)x O, i b) λ C takoe, qto A (X) = λx V зtom sluqae qislo λ nazyvaets sobstvennym (ili harakteristiqeskim) qislom operatora, sootvetstvu wim dannomu sobstvennomu vektoru; obratno, govor t, qto vektor X prinadleжit sobstvennomu qislu λ Geometriqeski smysl vewestvennyh sobstvennyh qisel i vektorov: cobstvenny vektor zadaet napravlenie, na kotorom de stvie operatora svodits k rast жeni, togda koзfficient rast жeni i budet sobstvennym qislom Teorema 3 V kompleksnom prostranstve l bo operator imeet po kra ne mere odin sobstvenny vektor 4

5 Dokazatelьstvo Pustь {X 1,, X n } proizvolьny bazis V i A matrica operatora A v зtom bazise Togda dl togo qtoby vektor X = X X n O byl sobstvennym, prinadleжawim sobstvennomu qislu λ, N i D qtoby vypoln losь ravenstvo A x 2 = λ x 2 α 11 λ α 12 α 1n α 21 α 22 λ α 2n α n1 α n2 α nn λ x 2 = O n 1 (5) Pokaжem, qto suwestvu t kompleksnye qisla λ i ne vse nulevye,,, udovletvor wie sisteme (5) Neobhodimym usloviem suwestvovani netrivialьnogo rexeni u odnorodno sistemy (5) vl ets ravenstvo nul ee opredelitel : det(a λe) = α 11 λ α 12 α 1n α 21 α 22 λ α 2n α n1 α n2 α nn λ = 0 (6) Зtot opredelitelь vl ets polinomom stepeni n po λ Po osnovno teoreme vysxe algebry зtot polinom imeet po kra ne mere odin kompleksny korenь λ = λ 1 Podstaviv ego v (5), poluqaem odnorodnu sistemu uravneni s nulevym opredelitelem U tako sistemy vsegda suwestvuet netrivialьnoe rexenie (x 1,, x n), no togda vektor def X 1 = x 1X x nx n budet sobstvennym vektorom operatora A, prinadleжawim λ 1 Opredelenie Uravnenie (6) nazyvaets harakteristiqeskim ili vekovym uravneniem, a polinom v levo ego qasti harakteristiqeskim polinomom matricy A Primer 3 Har polinomy matric vtorogo i tretьego por dkov a 11 λ a 12 a 21 a 22 λ = λ2 (a 11 + a 22 )λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) ; a 11 λ a 12 a 13 a 21 a 22 λ a 23 a 31 a 32 a 33 λ = { } = λ 3 + (a 11 + a 22 + a 33 )λ 2 a 11 a 12 a 21 a 22 + a 22 a 23 a 32 a 33 + a 11 a 13 a 31 a 33 λ + det A voznika t v zadaqe o klassifikacii lini i poverhnoste vtorogo por dka 1 1 Sm vopros 11 5

6 Primer 4 Na ti sobstvennye qisla i sobstvennye vektory matricy 3/2 1/2 1/2 1/2 A = /2 1/2 3/2 1/ Rexenie Vyqisl em harpolinom i nahodim ego korni: det(a λe) = λ 4 3 λ 3 + λ λ 2 = (λ + 1)(λ 2)(λ 1) 2 Podstavl em kaжdy iz зtih korne v sistemu (5), rexaem ee po metodu Gaussa i stroim fundamentalьnu sistemu rexeni (fsr) { (A + 1 E)X = O = fsr = X 1 = (0, 1, 0, 1) } L bo vektor vida αx 1 budet sobstvennym, prinadleжawim λ = 1 { (A 2 E)X = O = fsr = X 2 = ( 1, 0, 1, 0) } L bo vektor vida αx 2 budet sobstvennym, prinadleжawim λ = 2 { (A 1 E)X = O = fsr = X 3 = (0, 0, 1, 1), X 4 = ( 1, 1, 0, 0) } L bo vektor vida αx 3 + βx 4 budet sobstvennym, prinadleжawim λ = 1 Sledstvie 1 L bo korenь harpolinoma vl ets sobstvennym qislom operatora A i obratno: l boe sobstvennoe qislo operatora A vl ets kornem harpolinoma Teorema 4 Harpolinomy podobnyh matric odinakovy Dokazatelьstvo A = B neosobenna matrica C, taka qto B = C 1 AC Imeem: det(b λe) = det(c 1 AC λe) = = det(c 1 AC λc 1 EC) = det C 1 (A λe)c = det(a λe) Inaqe govor, dl dannogo operatora A harpolinom ego matricy ne zavisit ot vybora bazisa prostranstva Poзtomu moжno govoritь o harpolinome operatora A 6

7 3 Diagonalizuemostь matricy operatora Teorema 5 Sobstvennye vektory operatora, prinadleжawie razliqnym sobstvennym qislam, line no nezavisimy Dokazatelьstvo Pustь λ 1,, λ k razliqnye sobstvennye qisla operatora A, a X 1,, X k prinadleжawie im sobstvennye vektory: A (X j ) = λ j X j Dokaжem teoremu indukcie po k Dl k = 1 utverжdenie oqevidno Pustь ono verno dl k 1 vektora, no neverno dl k vektorov: α 1 X α k 1 X k 1 + α k X k = O (7) pri kakom-to iz koзfficientov otliqnom ot nul ; pustь α 1 0 K obeim qast m ravenstva (7) primenim operator A Poluqim A (α 1 X 1 + +α k 1 X k 1 +α k X k ) = O = α 1 λ 1 X 1 + +α k 1 λ k 1 X k 1 +α k λ k X k = O Domnoжim ravenstvo (7) na λ k i vyqtem iz poslednego: α 1 (λ 1 λ k )X α k 1 (λ k 1 λ k )X k 1 = O Zdesь α 1 (λ 1 λ k ) 0 tk λ 1 λ k Vektory X 1,, X k 1 poluqilisь line no zavisimymi, qto protivoreqit indukcionnomu predpoloжeni Teorema 6 Esli operator imeet n = dim V line no nezavisimyh sobstvennyh vektorov, to v bazise imi obrazuemom matrica operatora diagonalьna Obratno: esli matrica operatora v nekotorom bazise diagonalьna, to kaжdy vektor зtogo bazisa sobstvenny dl operatora Dokazatelьstvo Esli A (X 1 ) = λ 1 X 1,, A (X n ) = λ n X n (8) i sistema {X 1,, X n } lnz, to vz v ee v kaqestve bazisa prostranstva V poluqim sootvetstvu wu matricu operatora A v vide: λ 1 O A diag = (9) O Obratno, esli matrica operatora v nekotorom bazise {X 1,, X n } imeet vid (9), to зto oznaqaet, naprimer, qto A (X 1 ) = λ 1 X 1, te X 1 sobstvenny vektor, prinadleжawi λ 1 Analogiqno dokazyvaets i dl ostavxihs vektorov λ n 7

8 Opredelenie Bazis line nogo prostranstva, sosto wi iz sobstvennyh vektorov operatora A, nazyvaets kanoniqeskim Sledstvie 1 (Matriqny analog teoremy) Pustь A matrica operatora A v zadannom bazise Neosobenna matrica C, udovletvor wa ravenstvu C 1 AC = A diag suwestvuet togda i tolьko togda, kogda suwestvuet bazis prostranstva, sosto wi iz sobstvennyh vektorov Togda matrica C vl ets matrice perehoda ot zadannogo bazisa k kanoniqeskomu bazisu, a na diagonali A diag sto t sobstvennye qisla matricy A Opredelenie Pri vypolnenii uslovi predyduwego sledstvi govor t, qto matrica A diagonalizuema (ili privodits k diagonalьno forme) Teorema 5 pozvol et sformulirovatь dostatoqnoe uslovie diagonalizuemosti Teorema 7 Esli harpolinom operatora ne imeet kratnyh korne, to matrica operatora diagonalizuema Uslovie teoremy 7 prover ets qisto algebraiqeski: vyqisleniem naibolьxego obwego delitel harpolinoma i ego proizvodno 2 Podqerknem ewe raz: зto uslovie ne vl ets neobhodimym dl diagonalizuemosti, kak pokazyvaet primer 4 S drugo storony, ime ts primery matric s kratnymi sobstvennymi qislami, kotorye ne vl ts diagonalizuemymi Tak, dl matric A = ( ) i A = ( popytka podobratь matricu C, udovletvor wu ravenstvu ( ) α1 0 AC = C α 0 α 1 C, α 2 C, 2 zakanqivaets neobhodimym usloviem: det C = 0 Dl togo, qtoby vy snitь diagonalizuema ili net danna konkretna matrica, ime wa kratnye sobstvennye qisla, kaжdoe iz poslednih issleduets otdelьno na koliqestvo line no-nezavisimyh sobstvennyh vektorov, emu prinadleжawih Qislo takih vektorov ne prevoshodit kratnosti sobstvennogo qisla v harpolinome Takim obrazom, matrica operatora diagonalizuema togda i tolьko togda, kogda dl kaжdogo sobstvennogo qisla λ j vypolneno: n rank(a λ j E) = kratnostь λ j (10) 2 Ili жe diskriminanta harpolinoma ) 8

9 Primer 5 Na ti vse vewestvennye znaqeni parametra α, pri kotoryh matrica α α diagonalizuema Rexenie Harpolinom f(λ) = λ λ 2 (3 α 1) imeet kratnye korni tolьko dl teh znaqeni parametra α, pri kotoryh odnovremenno f(λ) = 0, f (λ) = 0, te pri α = 0 i α = 2/3 Pri α = 0 korenь λ = 1 imeet kratnostь 2 Na dem rang matricy A + E: = rank = 2, n rank = 1 Uslovie (10) ne vypolneno Ono ne budet vypolneno i pri α = 2/3 (zdesь korenь λ = 1 imeet kratnostь 2) Otvet Matrica diagonalizuema pri vseh znaqeni h parametra, za iskl qeniem α = 0 i α = 2/3 Suwestvuet cely klass diagonalizuemyh matric Teorema 8 L ba simmetriqna matrica diagonalizuema Esli, vdobavok, зta matrica vewestvenna, to i ee diagonalьny vid toжe budet vewestvennym Zameqanie Dl nediagonalizuemyh matric stavits zadaqa ob ih privedenii k tak nazyvaemo жordanovo normalьno forme 9