III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

Transcript

1 III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/. Koeficijenti X[k] nazivaju se koeficijenti urijeovog reda ili spektralni koeficijenti signala x(t). Celobrojna promenljiva k predstavlja redni broj harmonika osnovne učestanosti f. Na ovaj način se signal razlaže na harmonijske komponente, čime se može vršiti dodatna analiza signala. urijeov koeficijent za k =, X[], predstavlja srednju vrednost signala x(t) na intervalu t t t + : 1 X [ ] = t + t x( t) dt Pomoću urijeovih koeficijenata X[k] može se predstaviti funkcija x(t) na intervalu odgovarajućim redom t t t + kf t x t = + X k e j 2π ( ) [ ], t t t + k = kf t koji se naziva urijeov razvoj funkcije x(t) u red, ili kraće, urijeov red. Signali e j 2π X[ k] se nazivaju harmonijske komponente signala, ili kraće harmonici. Izvan intervala t t t +, prethodni red ne opisuje funkciju x(t) u opštem slučaju. Van ovog intervala vrednosti koje se dobijaju ovim redom će biti jednake vrednostima funkcije x(t) samo ukoliko je ta funkcija periodična, pri čemu širina intervala predstavlja celobrojni umnožak osnovnog perioda funkcije x(t). Stoga su urijeovi redovi najvecu primenu upravo i našli u analizi vremenski kontinualnih periodičnih funkcija. Ukoliko postoji beskonačno mnogo ne nultih urijeovih koeficijenata, prilikom proračuna vrednosti funkcije x(t) u okviru intervala od interesa, u realnom slučaju uzima se samo konačan broj članova u razvoju u red. Samim tim se umesto urijeovog razvoja kao dovoljno dobra aproksimacija funkcije ponekad uzima tzv. N-ta parcijalna suma urijeovog reda ili prekinuti urijeov razvoj: x N N ( t) = X [ k ] e k = N t t t j 2πkf t, + 18

2 3.2. Zadaci Zadatak 1 - Razvoj signala u urijeov red na zadatom intervalu Dat je signal x( t) = 1cos(1 π t). a) Primenom simboličkog paketa naći kompleksne koeficijente razvoja date funkcije na intervalu t = ( 7.5ms,7.5ms). b) U dva prozora jedne slike, pomoću komande stem prikazati moduo i fazu koeficijenata X[k] za 1 k 1. c) U dva prozora jedne slike, pomoću komande plot prikazati moduo i fazu koeficijenata X[k] za 5 k 5. d) U četiri prozora jedne slike, nacrtati dve periode signala x N (t) koji odgovara N-toj parcijalnoj sumi urijeovog reda za N = 1, N = 3, N = 3 i N. e) U tri prozora jedne slike, nacrtati dve periode signala e = lim x ( t) x ( t), gde je x ( t ) K-ta parcijalna suma urijeovog reda signala (t), Primer za x( t) = sin(1πt ). N N M M x za N = 1, N = 3, N = 3. % signal x(t)=sin(1pi *t) syms t k % simbolicke konstante = 15/1; w = 2*pi/; Ck=(1/)*int(sin(1*pi*t)*exp(-j*w*k*t),t,-/2, /2) % rezultat simbolicke integracije se iskopira u program % odredjivanje koeficijenata c[k] za -3<=k<=3 k = -1:1:1; ck = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k + 3*exp(2*i*pi.*k) % Ima smisla crtati samo dvadesetak koeficijenata pomocu %komande stem ro = abs(ck); fi = angle(ck); subplot(2,1,1) stem(k,ro); title('moduo koeficijenata') subplot(2,1,2) stem(k,fi); title('faza koeficijenata') close all; K % brisanje definicija svih varijabli: k,ck k = -5:1:5; 19

3 ck = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k+3*exp(2*i*pi.*k) % Ima smisla crtati samo dvadesetak koeficijenata pomocu % komande stem ro = abs(ck); fi = angle(ck); subplot(2,1,1) plot(k,ro); axis tight; grid on title('moduo koeficijenata') subplot(2,1,2) plot(k,fi); axis tight; title('faza koeficijenata'), grid on % za N->beskonacno dobija se periodicno produzenje osnovne % periode rezolucija crtanja=1 tacaka=>dt=2/1 dt = 2*/1; t = -:dt:; x = sin(1*pi.*t).*((t>-/2)&(t</2))+sin(1*pi.*(t+)).*(t<- /2)+sin(1*pi.*(t-)).*(t>/2); k = -1:1:1; ck1 = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k+3*exp(2*i*pi.*k) k1 = -3:1:3; ck3 = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k1+3*exp(2*i*pi.*k1)+ 4*i*exp(2*i*pi.*k1).*k1)./exp(i*pi.*k1)./pi./(16.*k1.^2-9); k2 = -3:1:3; ck3 = 2^(1/2)*(-3+4*i.*k2+3*exp(2*i*pi.*k2) +4*i*exp(2*i*pi.*k2).*k2)./exp(i*pi.*k2)./pi./(16.*k2.^2-9); Nmax = length(t); x1 = zeros(1,nmax); % N-ta parcijalna suma N=1 x3 = zeros(1,nmax); % N-ta parcijalna suma N=3 x3 = zeros(1,nmax); % N-ta parcijalna suma N=3 Index_od_t=1; for t = -:dt: for n = 1:1:21 x1(index_od_t)=x1(index_od_t)+ck1(n)*exp(i*k(n)*w*t); for n=1:1:61 x3(index_od_t)=x3(index_od_t)+ck3(n)*exp(i*k1(n)*w*t); for n=1:1:61 x3(index_od_t)=x3(index_od_t)+ck3(n)*exp(i*k2(n)*w*t); Index_od_t = Index_od_t+1; t = -:dt:; subplot(2,2,1) 2

4 plot(t,x); axis tight; grid subplot(2,2,2) plot(t,x1); axis tight; grid subplot(2,2,3) plot(t,x3); axis tight; grid subplot(2,2,4) plot(t,x3); axis tight; grid e1 = abs(x-x1); e3 = abs(x-x3); e3 = abs(x-x3); % greske subplot(3,1,1) plot(t,e1); axis tight; grid on subplot(3,1,2) plot(t,e3); axis tight; grid on subplot(3,1,3) plot(t,e3); axis tight; grid on Rezultat simboličke integracije: Ck = 2^(1/2)*(3+4*i*k+3*exp(i*pi*k)^2 +4*i*exp(i*pi*k)^2*k)/exp(i*pi*k)/pi/(16*k^2-9) Dobijeni grafici: 21

5 Slika 3.1. Grafički prikazi dobijeni priloženim Matlab programom 22