Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Transcript

1 Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak 3 Odrediti sve vrednosti funkcije f(z) = U zavisnosti od odabrane grane odrediti vrednost f(3). z( z) (z+)(3 z) Zadatak 4 Odrediti sve vrednosti funkcije f(z) = z z 4 zavisnosti od odabrane grane odrediti vrednost f(i). u tački z =. u tački z =. U Zadatak 5 Odrediti sve vrednosti funkcije f(z) = 3 (z )(z ) u tački z = 3. U zavisnosti od odabrane grane odrediti vrednost f( i). Zadatak 6 Odrediti analitičku funkciju f(z) = R(x, y)e iθ(x,y), z = x + iy, u zatvorenom obliku ako je njen modul R(x, y) = (x + y )e x. Zadatak 7 Odrediti analitičku funkciju f(z) = R(x, y)e iθ(x,y), z = x + iy, u zatvorenom obliku ako je njen argument θ(x, y) = xy. Zadatak 8 Odrediti analitičku funkciju f(z) = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ), z = re iϕ, u sin ϕ cos ϕ zatvorenom obliku ako je njen realni deo u(r, ϕ) = r i f( + i) = +i. Zadatak 9 Odrediti analitičku funkciju f(z) = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ), z = re iϕ, u cos ϕ sin ϕ zatvorenom obliku ako je imaginarni deo v(r, ϕ) = r i lim f(z) =. z Zadatak Odrediti analitičku funkciju f(z) = R(ρ, ϕ)e iθ(ρ,ϕ), z = ρe iϕ, u zatvorenom obliku ako je njen modul R(ρ, ϕ) = ρ e ρ cos ϕ. Zadatak Odrediti analitičku funkciju f(z) = R(ρ, ϕ)e iθ(ρ,ϕ), z = ρe iϕ, u zatvorenom obliku ako je njen argument θ(x, y) = ϕ + ρ sin ϕ. Zadatak Odrediti vrstu singulariteta tačke z = iπ funkcije f(z) = Res(f(z); z = iπ). Zadatak 3 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = i Res(f(z); z = ). Zadatak 4 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = i Res(f(z); z = ). Zadatak 5 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = i funkcije f(z) = i Res(f(z); z = i). z e z + i z z 3 + z z 8z 56 z 4 + 8z 3 8z z z +

2 z + Zadatak 6 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = 3 funkcije f(z) = (z )(z + 3) i Res(f(z); z = 3). Zadatak 7 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = z cos i Res(f(z); z = ). z Zadatak 8 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = 5 funkcije f(z) = ze z z 5 Res(f(z); z = 5). Zadatak 9 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = 3 funkcije f(z) = sin i Res(f(z); z = 3). Zadatak Odrediti vrstu singulariteta tačke z = a funkcije f(z) = ze i Res(f(z); z = a). i z z 3 π (z a) Zadatak Odrediti vrstu singulariteta tačke z = i funkcije f(z) = sin z + i z i i Res(f(z); z = i). Zadatak Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = e z sin z i Res(f(z); z = ). Zadatak 3 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = sin z i Res(f(z); z = ). Zadatak 4 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = Res(f(z); z = ). cos πz z 4 i Zadatak 5 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = ctg z z i Res(f(z); z = ). Zadatak 6 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = sin z + i z i i Res(f(z); z = ). Zadatak 7 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = e z sin z i Res(f(z); z = ). Zadatak 8 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = i Res(f(z); z = ). cos πz z 4 Zadatak 9 Odrediti vrstu singulariteta tačke z = funkcije f(z) = ctg z i Res(f(z); z = ). z

3 Zadatak 3 Izračunati (z + )e z dz. Zadatak 3 Izračunati Zadatak 3 Izračunati Zadatak 33 Izračunati Zadatak 34 Izračunati Zadatak 35 Izračunati z = z = z = z = z = z = e z z dz. (z + sin iz) dz. (3z + cos iz) dz. (z + chz) dz. sin z (z 3) dz, a <. (z a) Zadatak 36 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 37 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 38 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 39 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 4 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 4 Metodama kompleksne integracije izračunati x x + x 4 + x + 9 dx. x (x + 4) dx. dx (x + ) (x + 4). x + 5 x 4 + 5x + 6 dx. x sin x x x + dx. x cos x x x + dx. 3

4 Zadatak 4 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 43 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 44 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 45 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 46 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 47 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 48 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 49 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 5 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 5 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 5 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 53 Metodama kompleksne integracije izračunati 4 (x 3 + 5x) sin x x 4 + x + 9 dx. (x 3 + ) cos x x 4 + 5x + 4 dx. cos 3x cos x (x + ) dx. ln x + x dx. ln x x dx. ln x + x dx. x x 6 + dx. ln x ( + x) 3 dx. ln x x + 4 dx. ln x 3 x( + x) dx. ln x x(x ) dx. xe x/ e x + dx.

5 Zadatak 54 Metodama kompleksne integracije izračunati (, ). Zadatak 55 Metodama kompleksne integracije izračunati Zadatak 56 Metodama kompleksne integracije izračunati x α ln x x dx, α x( x) dx. x + 3 x x 3 dx. Zadatak 57 Metodama kompleksne integracije izračunati + x ln x dx. x Furijeovi redovi Zadatak 58 Funkciju f(x) = x predstaviti Fourierovim redom na intervalu [, ]. Zadatak 59 Funkciju f(x) = x predstaviti Fourierovim redom na intervalu [5, 5]. Zadatak 6 Funkciju f(x) = chax predstaviti Fourierovim redom na intervalu [ π, π]. Zadatak 6 Funkciju f(x) = x cos x predstaviti Fourierovim redom na intervalu [ π, π ]. Zadatak 6 Funkciju f(x) = e x predstaviti Fourierovim redom na intervalu [ l, l]. Zadatak 63 Funkciju f(x) = π x predstaviti Fourierovim redom na intervalu [, π]. Zadatak 64 Funkciju f(x) = cos ax predstaviti Fourierovim redom na intervalu [ π, π]. Zadatak 65 Funkciju f(x) = π x predstaviti Fourierovim redom na intervalu [ π, π]. Zadatak 66 Funkciju f(x) = x 3 predstaviti Fourierovim redom na intervalu [ π, π]. Zadatak 67 Funkciju f(x) = e x predstaviti Fourierovim redom na intervalu [, π]. 5

6 Zadatak 68 Funkciju f(x) = x 3 predstaviti Fourierovim redom na intervalu [ π, π]. Zadatak 69 Funkciju f(x) = e x predstaviti Fourierovim redom na intervalu [, π]. x, x π Zadatak 7 Funkciju f(x) =, π predstaviti Fourierovim π x, < x π redom na intervalu [ π, π]. Zadatak 7 Funkciju f(x) = π 4 predstaviti sinusnim Fourierovim redom na intervalu [, π], a zatim na osnovu dobijenog rezultata izračunati sumu brojnog reda S = Zadatak 7 Funkciju f(x) = sin x predstaviti kosinusnim Fourierovim redom na intervalu [, π], a zatim na osnovu dobijenog rezultata izračunati sumu brojnog reda S = Zadatak 73 Koristeći razvoje funkcija x i x u kosinusni Fourierov red na intervalu [, π] dokazati da važi jednakost cos nx n = 3x 6πx + π. n= πx x Zadatak 74 Funkciju f(x) =, x (, π], x 3πx + π, x (π, π) ( ) n Fourierovim redom, i pokazati da je (n ) 3 = π3 3. n= predstaviti Zadatak 75 Funkciju f(x) = redom na intervalu [ 3, 3]. Zadatak 76 Funkciju f(x) = ovim redom na intervalu [, π]., x, 3 x, x >., predstaviti Fourierovim x, x π, π, < x π., predstaviti sinusnim Fourier Zadatak 77 Funkciju f(x) = x sin x predstaviti kosinusnim Fourierovim redom na intervalu [, π]. Zadatak 78 Funkciju f(x) = chx predstaviti Fourierovim redom na intervalu [, π]. Zadatak 79 Funkciju f(x) = sin x ln cos x intervalu [ π, π]. predstaviti Fourierovim redom na 6

7 Zadatak 8 Periodičnu funkciju f(x) = ln sin x predstaviti Fourierovim redom. Zadatak 8 Periodičnu funkciju f(x) = ln tg x predstaviti Fourierovim redom. Zadatak 8 Ispitati konvergenciju Fourierovog reda funkcije f(x) = arcsin(sin x) na intervalu [ l, l]. Zadatak 83 Ispitati konvergenciju Fourierovog reda funkcije f(x) = x + na intervalu [ l, l]. Zadatak 84 Ispitati konvergenciju Fourierovog reda funkcije x sin f(x) = x, x,, x =, na intervalu [ l, l]. Laplasova transformacija Zadatak 85 Primenjujući definiciju, odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = cos 3t. Zadatak 86 Primenjujući definiciju, odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = e t sin t. Zadatak 87 Primenjujući definiciju, odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = te t cos e t. Zadatak 88 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = e t sin t. Zadatak 89 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = sin t. Zadatak 9 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = e at cos ωt + θ. Zadatak 9 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = e 7t sh t. Zadatak 9 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = sin 3 ωt. Zadatak 93 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = cos 3 ωt. Zadatak 94 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = sin t. Zadatak 95 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = sin ωt t. Zadatak 96 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije f(t) = sin t t. 7

8 Zadatak 97 Odrediti Laplaceovu transformaciju funkcije nπ sin ωt, f(x) = ω < t < (n+)π ω, (n+)π, ω < t < (n+)π, ω. Zadatak 98 Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija Zadatak 99 Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija e p p 3. Zadatak Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija ln p + a, a, b >. p + b Zadatak Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija c p p p + e ap. Zadatak Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija p (p + )(p ). Zadatak 3 Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija p + p(p ) 3. Zadatak 4 Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija p + p + 3 p(p 3 6p + 5p + ). Zadatak 5 Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija p (p + a )(p + b ). Zadatak 6 Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija p (p a )(p b )(p c ). Zadatak 7 Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija p (p ). Zadatak 8 Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija p (p + ) 3. Zadatak 9 Odrediti funkciju čija je Laplaceova transformacija c (p + c ). 8 p + p + 5.

9 Zadatak Primenom Laplaceove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu x + x =, x() = x () =. Zadatak Primenom Laplaceove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu x + x = e t + t +, x() = x () = x () =. Zadatak Primenom Laplaceove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu x sin t, t π, + x =, x() = x, t > π. () =. Zadatak 3 Primenom Laplaceove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu x + cx = sin ωt, x() = c, ω >. Zadatak 4 Primenom Laplaceove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu x + x = t e t, x() =. Zadatak 5 Primenom Laplaceove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu x + 4x = sin t, x() =, x () =. Zadatak 6 Primenom Laplaceove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu x + tx x = 4, x() =, x () =. Zadatak 7 Primenom Laplaceove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu x x 3x = te t, x() =, x () =. Zadatak 8 Primenom Laplaceove transformacije rešiti diferencijalnu jednačinu x + 5x + x 8x = sin t, x() = x () =, x () =. Zadatak 9 Primenom Laplaceove transformacije rešiti jednačinu x +3x+ x(τ)dτ = sin t, x() = Zadatak Primenom Laplaceove transformacije rešiti sistem jednačina x = y; y = x, x() =, y() =. Zadatak Primenom Laplaceove transformacije rešiti sistem jednačina x + y + x + y = ; x + y = e t, x() =, y() =. Zadatak Primenom Laplaceove transformacije rešiti sistem jednačina x + 3x + y = ; y + x + 3y =, x() =, y() =. Zadatak 3 Primenom Laplaceove transformacije rešiti sistem jednačina x + x y = + sin t; y x + y = t sin t, x() =, y() =. Zadatak 4 Primenom Laplaceove transformacije rešiti sistem jednačina x y +y = e t ; x +y y = 3e t +t, x() =, y() =, y () =. 9

10 Zadatak 5 Primenom Laplaceove transformacije rešiti integralnu jednačinu x = e t + sin (t τ)x(τ)dτ. Zadatak 6 Primenom Laplaceove transformacije rešiti integralnu jednačinu x = + cos (t τ)x(τ)dτ. Zadatak 7 Primenom Laplaceove transformacije rešiti jednačinu x (τ)x(t τ)dτ = sin t, x () = x() =. Zadatak 8 Primenom Laplaceove transformacije rešiti sistem jednačina x(t) = + t y(t) = t + y(u)e t u du, x(u)du. Zadatak 9 Primenom Laplaceove transformacije rešiti sistem jednačina x(t) = e t + y(t) = t x(u)du (t u)x(u)du + e t u y(u)du, y(u)du. Zadatak 3 Primenom Laplaceove transformacije rešiti sistem jednačina x(t) = e t y(t) = x(u)du + 4 e (t u) x(u)du + e t u y(u)du, y(u)du.