DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

Transcript

1 DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, / 22

2 Teorija grafova April 17, / 22

3 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova, (ii) E je skup grana, pri čemu je V E = i (iii) ψ : E {{u, v} : u, v V } funkcija incidencije. Definicija (Prost, neusmeren) graf je ure den par G = (V, G), gde je (i) V konačan skup čvorova i (ii) E ( V 2) je skup grana. April 17, / 22

4 Neka je G graf i v G. Ako je ψ(e) = {u, v}, kažemo da je grana e incidentna sa u i v ili da spaja u i v. Čvorovi u i v su krajevi grane i kažemo da su u i v susedni čvorovi. Ako se početak i kraj grane poklapaju, onda je to petlja. Dve ili više grana koje su incidentne sa istim čvorom kažemo da su paralelne. Za graf koji nema ni petlji ni paralelnih grana kažemo da je prost (inače je multigraf). April 17, / 22

5 Neke oznake ω G (v) - skup čvorova grafa G koji su susedni sa v d G (v)- stepen čvora v, što je broj grana grafa G koje su incidentne sa v δ(g) = min d(v) - minimalan stepen grafa v V (G) (G) = max d(v) maksimalan stepen grafa v V (G) U prostom grafu je ω G (v) = d G (v) April 17, / 22

6 Teorema ("handshaking") Zbir stepena čvorova grafa jednak je dvostrukom broju grana, tj. d G (v) = 2 E(G). v V April 17, / 22

7 Teorema ("handshaking") Zbir stepena čvorova grafa jednak je dvostrukom broju grana, tj. d G (v) = 2 E(G). v V Dokaz. Svakoj grani odgovara 2 incidentna čvora. To znači da sabiranjem stepena čvorova dva puta izbrojimo svaku granu. April 17, / 22

8 Teorema Graf ima paran broj čvorova neparnog stepena. April 17, / 22

9 Teorema Graf ima paran broj čvorova neparnog stepena. Dokaz Neka je G = (V, E), gde je V = V 1 V 2 i V 1 i V 2 redom stepeni čvorova parnog i neparnog stepena. Tada je 2 E = v V d G (v) = v V 1 d G (v) + v V 2 d G (v) 2 E v V 1 d G (v) = v V 2 d G (v) Kako je zbir (razlika) dva parna broja paran broj, suma sa desne strane mora biti paran broj, odakle direktno sledi tvr denje. April 17, / 22

10 Posledica Ako su svi čvorovi neparnog stepena, onda je broj čvorova paran. Posledica Ako je broj čvorova grafa neparan, onda postoji bar jedan čvor parnog stepena. April 17, / 22

11 Posledica Ako graf ima n čvorova i ne više od n 1 grana onda postoji čvor v sa d(v) 1. April 17, / 22

12 Posledica Ako graf ima n čvorova i ne više od n 1 grana onda postoji čvor v sa d(v) 1. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da za svaki čvor v G važi d G (v) 2. Tada na osnovu prethodnih tvr denja važi 2n > 2(n 1) 2 E(G) = v V d G (v) > v V d G (v) > v V 2 = 2 V (G) = 2n tj. 2n > 2n što je kontradikcija. April 17, / 22

13 Teorema U svakom grafu postoje bar dva čvora jednakih stepena. April 17, / 22

14 Regularan graf Definicija Graf je regularan ako su svi njegovi čorovi istog stepena. Graf je k-regularan ako su svi njegovi čvorovi stepena k. April 17, / 22

15 Neke specijalne vrste grafova K n - kompletan graf K n = (V, E), V = {1, 2,..., n}, E = ( ) V 2 April 17, / 22

16 Neke specijalne vrste grafova K n - kompletan graf K n = (V, E), V = {1, 2,..., n}, E = ( ) V 2 April 17, / 22

17 Neke specijalne vrste grafova April 17, / 22

18 Neke specijalne vrste grafova C n - cikluc (kontura) C n = (V, E), V = {1, 2,..., n}, E = {i, i + 1} : i = 1, 2,..., n 1} {{1, n}}. April 17, / 22

19 Neke specijalne vrste grafova C n - cikluc (kontura) C n = (V, E), V = {1, 2,..., n}, E = {i, i + 1} : i = 1, 2,..., n 1} {{1, n}}. April 17, / 22

20 Neke specijalne vrste grafova P n - put P n = (V, E), V = {1, 2,..., n}, E = {{i, i + 1} : i = 1, 2,..., n 1} April 17, / 22

21 Neke specijalne vrste grafova P n - put P n = (V, E), V = {1, 2,..., n}, E = {{i, i + 1} : i = 1, 2,..., n 1} April 17, / 22

22 Neke specijalne vrste grafova Bipartitan graf G = (V, E), V = V 1 V 2, V 1 V 2 =, E {{u, v} : u V 1, v V 2 } K n,m - Kompletan bipartitan graf G = (V, E), V = V 1 V 2, V 1 V 2 =, E = {{u, v} : u V 1, v V 2 } April 17, / 22

23 Neke specijalne vrste grafova Bipartitan graf G = (V, E), V = V 1 V 2, V 1 V 2 =, E {{u, v} : u V 1, v V 2 } K n,m - Kompletan bipartitan graf G = (V, E), V = V 1 V 2, V 1 V 2 =, E = {{u, v} : u V 1, v V 2 } April 17, / 22

24 Jednakost grafova Definicija Neka je G 1 = (V 1, E 1 ) i G 2 = (V 2, E 2 ). Kažemo da su grafovi G 1 i G 2 jednaki, u oznaci G 1 = G 2 akko V 1 = V 2 i E 1 = E 2. April 17, / 22

25 Izomorfizam grafova Definicija Neka je G 1 = (V 1, E 1 ) i G 2 = (V 2, E 2 ). Kažemo da su grafovi G 1 i G 2 izomorfni, u oznaci G 1 = G2 ako postoji bijekcija f : V 1 V 2 sa osobinom {u, v} E 1 {f(u), f(v)} E 2 April 17, / 22

26 Izomorfizam grafova Definicija Neka je G 1 = (V 1, E 1 ) i G 2 = (V 2, E 2 ). Kažemo da su grafovi G 1 i G 2 izomorfni, u oznaci G 1 = G2 ako postoji bijekcija f : V 1 V 2 sa osobinom {u, v} E 1 {f(u), f(v)} E 2 April 17, / 22

27 Izomorfizam grafova Teorema Izonorfizam = je relacija ekvivalencije na skupu svih grafova. April 17, / 22

28 Zadatak Ako su data dva grafa sa n čvorova. Koliko ima bijektvinih preslikavanja jednog u drugi? Zadatak Odrediti sve neizomorfne grafove sa 3 čvora. Zadatak Koliko ima neizomorfnih prostih grafova sa n čovorova? April 17, / 22

29 Podgrafovi Definicija Neka je G 1 = (V 1, E 1 ) i G 2 = (V 2, E 2 ). Kažemo da je G 1 podgraf grafa G 2, ako važi V 1 V 2 E 1 E 2 Definicija Neka je G 1 = (V 1, E 1 ) i G 2 = (V 2, E 2 ). Kažemo da je G 1 pokrivajući podgraf grafa G 2, ako važi V 1 = V 2 E 1 E 2 April 17, / 22

30 Operacije Neka je G 1 = (V 1, E 1 ) i G 2 = (V 2, E 2 ). Uklanjanje čvora G 2 = G 1 v : V 2 = V 1 \ {v} E 2 = E 1 \ {{u, w} : v {u, w}}. Uklanjanje grane G 2 = G 1 {u, v} : V 2 = V 1 E 2 = E 1 \ {u, v}. April 17, / 22