Σύστημα από μάζες με ταχύτητες ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς ολική ορμή (διάνυσμα) και μάζα (βαθμωτό): Δυναμική Συστήματος Σωμάτων P ttal ttal........ Αν το σύστημα ισοδυναμεί με ΕΝΑ σώμα, ίδιας μάζας και ορμής, καλούμε c τη ταχύτητα του συστήματος σωμάτων ή ταχύτητα του κέντρου P ttal c ttal ttal c c P ttal ttal...... O Η ταχύτητα του K αντιστοιχεί στο διάνυσμα θέσης για κάθε χρονική στιγμή t r r r.. rc.. ttal rc r ό c ttal ttal Σε απομονωμένο σύστημα η ορμή είναι σταθερή το Κ.Μ. απομονωμένου συστήματος κινείται με σταθερή ταχύτητα σε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Αν στο Κ.Μ. τότε σύστημα αναφοράς Κ.Μ. ( c 0) (O) αμαξ/ελατ/στέλεχος
Αν δεν είναι απομονωμένο και υπάρχουν και άλλα αλληλεπιδρώντα στοιχεία ( και ) τότε όλο μαζί απομονωμένο αρχή διατήρησης ορμής P ολ P P σταθερό δηλ. αν αλλάξει κατά ΔP - ΔP. Αν παραγωγίσω με χρόνο παίρνω δηλαδή P P - Ο ρυθμός αλλαγής της ορμής του ως προς t εξωτερική δύναμη πάνω στο (αίτιο) () P διότι ο ρυθμός αλλαγής της ορμής οφείλεται στην αλληλεπίδρασή του με το. Και αφού οι εσωτερικές δυνάμεις στο δεν αλλάζουν την ολική ορμή του τότε αν καλέσω την εξωτερική δύναμη πάνω στο, η () απαιτεί P - & c c ac P P - Το κέντρο μάζας ενός συστήματος σωμάτων κινείται σαν να ήταν ένα σώμα μάζας ίσης προς την ολική και σαν να υπόκειται στην εξωτερική δύναμη που εφαρμόζεται στο σύστημα. Μπορούμε να συσχετίσουμε την επίδραση της πάνω στα επί μέρους σώματα (του ). Έστω δύο σώματα, και. Τότε η είναι η εσωτερική δύναμη που εφαρμόζεται στο εξ αιτίας της αλληλεπίδρασής του με το και την εσωτερική δύναμη που εφαρμό-ζεται στο εξ αιτίας της αλληλεπίδρασής του με το. (Φ) Ο νόμος δράσης αντίδρασης μας λέει: - Αν καλέσω και τις εξωτερικές δυνάμεις πάνω στο σώμα και αντίστοιχα που οφείλονται σε αλληλεπίδραση με άλλα σωμάτια τότε για την εξίσωση κίνησης κάθε σώματος από όλες τις έχω P P & ( ) δηλαδή οι εσωτερικές δεν συνεισφέρουν στην αλλαγή ορμής του συστήματος
x Ανηγμένη μάζα Δύο σωμάτια που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Ποια η σχετική τους κίνηση: ( ος : a (/)/) z r r r y O Ονομάζω ( / ) / & ( / ) ( / ) - ( / ) / - - ( - ) - ( - ) a / / a Η σχετική κίνηση δύο σωμάτων που υπόκεινται μόνο στην αμοιβαία αλληλεπίδρασή τους, είναι ισοδύναμη με τη κίνηση σε σχέση με ένα αδρανειακό παρατηρητή, ενός σώματος μάζας ίσης με την ανηγμένη μάζα μ και πάνω στο οποίο δρα δύναμη ίση με την αλληλεπίδρασή τους a ανηγμένη μάζα μ Στροφορμή συστήματος σωματιδίων ˆn b φ L r r L L & a ( ) a b [ a,b ] nab ˆ sn φ L & ροπή δύναμης ( L L ) r r L L 0 L L L L... ( L L ) 0 Ο ρυθμός αλλαγής της L tt με το χρόνο σε σχέση με ένα αυθαίρετο σημείο ενός συστήματος σωμάτων, είναι ίσος με την ολική ροπή υπολογισμένη ως προς το ίδιο σημείο των που δρουν πάνω στο σύστημα. Αν δεν υπάρχουν ή Σ(ροπών)0 τότε L/0 Απομονωμένα L L L -L
Κινητική Ενέργεια συστήματος σωμάτων σώματα n Η αλλαγή της κινητικής ενέργειας ενός συστήματος σωμάτων είναι ίση με το έργο που παράγουν πάνω στο σύστημα και οι εξωτερικές και οι εσωτερικές δυνάμεις, δηλαδή W W n nt n, W W ( r r ) & W ( r r ) nt ( r - r ) nt r δηλαδή το έργο που παράγουν οι εσωτερικές δυνάμεις εξαρτάται από τη σχετική μετατόπιση των σωμάτων Διατήρηση ενέργειας συστήματος σωματιδίων Έστω σύστημα σωμάτων όπου οι εσωτερικές δυνάμεις είναι διατηρητικές υπάρχει η εσωτερική δυναμική ενέργεια που εξαρτάται από τις συντεταγμένες των και W nt n n, ( )- ( ) n r U U,nt n W n,nt,nt,,nt,,nt,nt ( ),nt W n,nt,nt ll artcles ll ars U U -U U -U W U W κανονική ενέργεια του συστήματος,nt Αν πολλά σωμάτια U -U ή Ολική ενέργεια: Μπορεί οι εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα να είναι διατηρητικές έτσι ώστε το έργο των εξωτερικών δυνάμεων να γραφεί σαν η διαφορά των δυναμικών ενεργειών στην αρχική και τη τελική κατάσταση U U -U U -U W U W,, U,, U,nt,, U,, Η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή κατά τη κίνηση του συστήματος όταν οι εσωτερικές και οι εξωτερικές δυνάμεις είναι διατηρητικές
Κρούσεις Σκέδαση, V () Α, V,V Β,nt,nt,nt,nt,V () 0 < 0 0,nt ελαστική,nt μη ελαστική ου είδους μη ελαστική ου είδους Στο σύστημα κέντρου μάζας - - Πειραματικά διαπιστώνεται ότι κατά τη μετωπική κρούση δύο στερεών σφαιρών (π.χ. μπιλιάρδου) η σχετική ταχύ- τητα μετά τη κρούση συνδέεται με τη σχετική ταχύτητα πριν από τη κρούση με την έκφραση -e Το e ονομάζεται συντελεστής αποκατάστασης και παίρνει τιμές μεταξύ 0 και (πλαστική κρούση 0 & ελαστική )
3 ος Νόμος Κρούσεις : ταχύτητες πριν και μετά 450 s t rest, 3 vng, 6,5% Σχεδόν ελαστική (ίσες μάζες, ) Σχεδόν ελαστική κρούση: σε 3 (ακίνητη) vng, t rest, 3
Σχεδόν ελαστική κρούση: 3 σε (~ 5%) Πλαστική κρούση: σε Πλαστική κρούση : σε 3 (ακίνητη) Πλαστική κρούση: 3 σε (ακίνητη) vng, t rest, 3