ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ένα διάνυσμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα,δηλαδή ένα τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος.το διάνυσμα με αρχή το σημείο Α και πέρας το σημείο Β συμβολίζεται AB. Ένα διάνυσμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0. Ισχύει AB 0 A B (Α ταυτίζεται με Β). Η ευθεία(ε) πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα AB ονομάζεται φορέας του διανύσματος αυτού Δύο διανύσματα θα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά, όταν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς.για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα γράφουμε // προς κάθε άλλο διάνυσμα.το διάνυσμα 0 θεωρείται παράλληλο Ένα διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο,αν έχει μέτρο ίσο με 1. Είναι δηλαδή a 1. Δύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα. Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα. - 1 -

Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα a και β είναι ίσα γράφουμε. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αν τα διανύσματα είναι διαδοχικά: Β Γ + = Α + + = κ.λ.π Αν τα διανύσματα έχουν κοινή αρχή: A OA OB Ο Γ B ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Τα διανύσματα έχουν κοινή αρχή OA OB BA B O A - -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ Ασκηση 1 Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσματα AM BΓ και. Να δείξετε ότι το σημείο Γ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΜΝ.. Επειδή AM BΓ έχουμε :. (1) Επειδή BN AΓ, έχουμε (). Από (1) και () έχουμε ότι M Γ. Άρα ΜΓ//ΓΝ και συνεπώς τα σημεία Μ,Γ,Ν είναι συνευθειακά. Και επειδή MΓ, έπεται ότι το Γ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΜΝ. Άσκηση Θεωρούμε τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ και ονομάζουμε Ο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Να δείξετε ότι : OB OΔ Β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). - 3 -

Άσκηση 3 Για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ,ισχύει : AB AΓ Να δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ και ΔΕ έχουν κοινό μέσο. Έχουμε ότι: A Δ. Άρα το τετράπλευρο ΒΔΓΕ είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ και ΔΕ έχουν κοινό μέσο. Άσκηση 4 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: i) AM // BΓ ii) // i)η σχέση // ισχύει μόνο όταν και οι ευθείες ΑΜ και ΒΓ είναι παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ε, που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΒΓ. - 4 -

ii) Ισχύουν οι ισοδυναμίες: BM // BΓ οι ευθείες ΒΜ και ΒΓ είναι παράλληλες ή συμπίπτουν οι ευθείες ΒΜ και ΒΓ συμπίπτουν (διότι έχουν το Β κοινό σημείο) το Μ ανήκει στην ευθεία ΒΓ. Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ΒΓ. Άσκηση 5 Για τα διανύσματα a,β, ισχύουν : 0 και 6 3. Να δείξετε ότι: και. Έχουμε : 6 a γ 3 1 3 3 (1) Επίσης έχουμε: () Από (1) και () έπεται ότι : Επειδή, έπεται ότι και επειδή έχουμε ότι και συνεπώς. - 5 -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ 1.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει + = -..Αν ισχύει - = + να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι αντίθετα. 3.Αν για τα σημεία Α,Β,Γ,Δ και Ε ισχύουν οι ισότητες = και =, να αποδείξετε ότι το Δ είναι μέσο του ΓΕ. 4.Αν = 3, = 1 και 1,να αποδείξετε ότι τα και 4 4 είναι ομόρροπα. 5.Αν Ο είναι τυχαίο σημείο τριγώνου ΑΒΓ,να αποδείξετε ότι + =. 6.Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ.Να αποδείξετε ότι - 6 -

7.Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσματα : και.να δείξετε ότι το σημείο Γ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΜΝ. 8.Θεωρούμε τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ και ονομάζουμε Ο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ.Να δείξετε ότι: 9.Αν =, =3,. 5 και - 0 να αποδείξετε ότι 10.Αν =5, =, 3 5 και 5 0,δείξτε ότι. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ - 7 -

ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ: a // β με λ 0 με λ 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Έστω OA a, O Γ 3 και. Να εκφράσετε τα διανύσματα,, συναρτήσει των και. 3 (3 ) 3. Άσκηση - 8 -

Θεωρούμε τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ και ονομάζουμε Μ το μέσο ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ και Ν του ΒΔ. Να δείξετε ότι: Έχουμε : MN AB ΓΔ. Προσθέτοντας κατά μέλη και επειδή 0 και 0 βρίσκουμε ότι Έχουμε : και Προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε ότι: Άσκηση 3 Θεωρούμε δύο διανύσματα τα διανύσματα: 3 και 6 7,, ένα σημείο αναφοράς Ο και 3,, Να αποδείξετε ότι AB - 9 -

Έχουμε : 3 6 7 3 3 6 3( ) - Άρα 3 και συνεπώς Άσκηση 4. Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,έναν αριθμό λ λ -1 0, και τα σημεία Ε και Ζ με BE και λ. Να δείξετε ότι οι ευθείες ΒΖ και ΔΕ είναι παράλληλες Θέτουμε: AB β και. Έχουμε BΓ. 1 1 1 1 ( ) Άρα ΒΖ//ΔΕ - 10 -

Άσκηση 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Αν είναι A Δ 3 5 6 5 και, να αποδείξετε ότι. 6 3 Είναι. Άρα 5 5 5 5 3 6 6 3 3 6 6 5 5 1 ( ) ( ). 3 6 3 6 6 3 Επειδή 1 0,, είναι αντίρροπα. 6 Άσκηση 6 Θεωρούμε τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ για τα οποία ισχύει: 5A Δ 3 Να δείξετε ότι τα σημεία Β,Γ,Δ είναι συνευθειακά. Θεωρούμε τα Β ως σημείο αναφορας. Έχουμε - 11 -

5(ΒΔ ) 3( ) 5 5 3 3 5 // 5 Άρα τα σημεία Β,Γ,Δ είναι συνευθειακά. Άσκηση 7 Θεωρούμε τέσσερα σημεία Ο,Α,Β,Γ. Να δείξετε ότι τα Α,Β και Γ είναι συνευθειακά αν,και μόνο,αν,υπάρχουν κ,λ,μ με κ+λ+μ=0, κ 0 και κ 0. Έστω ότι υπάρχουν αριθμοί κ,λ,μ για τους οποίους ισχύουν οι δοσμένες σχέσεις. Από τη δεύτερη σχέση, έπεται ότι ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι 0. Έστω π.χ ότι κ 0. Από την πρώτη σχέση, έχουμε μ=-κ-λ και αντικαθιστώντας στην τρίτη σχέση έχουμε: κοα (κ λ)oγ 0 ( ) ( ),, κά Αντιστρόφως: Έστω ότι Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. 0 ι)έστω ότι Α=Β. Τότε OA OB και συνεπώς 1OA ( 1) OB 0OΓ 0. Έτσι κ=1,λ=-1 και μ=0. ιι)έστω ότι Α.Τότε 0 και επειδή τα, είναι συγγραμμικά, έπεται ότι υπάρχει ρ με ( ) ( 1 ) 0 Έτσι κ=ρ,λ=-1-ρ μ=1-1 -

Άσκηση 8 Δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου με κέντρο Ο τέμνονται στο σημείο Σ. Ονομάζουμε Κ και Λ τα μέσα των χορδών ΑΓ και ΔΒ, αντίστοιχα. Ναδείξετε ότι: 1) ΟΣ )Το τετράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. Έστω Ε και Ζ τα μέσα των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. Προφανώς, το ΟΕΣΖ είναι ορθογώνιο. Έχουμε: ΟΣ. )Από την (1) έχουμε : ( ) ( ) παραλληλόγραμμο. - 13 -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ 1.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Αν είναι 5 6 3 να αποδείξετε ότι. 3 5 6 και.θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε και Ζ για τα οποία είναι και,όπου 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε,Γ και Ζ είναι συνευθειακά. 1 1 3.Δίνονται τα σημεία Α,Β και Γ.Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα u 5 8 3 είναι σταθερό(ανεξάρτητο του Μ). 4.Αν ισχύουν =60, =3 και =10,να αποδείξετε ότι 5 0 5.Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και το σημείο Μ με: MA MB MΓ Να δείξετε ότι το Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ - 14 -

6.Θεωρούμε δυο διανύσματα και,ενα σημείο Ο και τα διανύσματα OA a β, 3, 5, 4 Να δείξετε ότι 7.Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Μ και Ν με 1 5 και 1 6 Θέτουμε και. α) Να βρείτε τα διανύσματα και συναρτήσει των και. β) Να δείξετε οτι τα σημεία Μ,Ν,Β είναι συνευθειακά 8.Να λυθεί το σύστημα : 9.Aν ισχύει ( ) 3 ( 5),,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά 10.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: 1 1 α) ( ) β) - 15 -

11.Δίνονται τα διανύσματα και A ' B' Αν Μ και Μ είναι τα μέσα των ΑΒ και Α Β να αποδείξετε ότι : AA' BB' MM' 1.Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν είναι αντιστοίχως τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ να αποδείξετε ότι: 1 1 α) ΜΝ ( ) ( ) β) 4. 13.Να αποδείξετε ότι σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι του διχοτομούνται και αντιστρόφως:αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου διχοτομούνται τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο 14.Να αποδειχτεί ότι τα μέσα των πλευρών τετράπλευρου είναι κορυφές παραλληλόγραμμου 15.Να αποδειχτεί ότι οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες - 16 -

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άσκηση 1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δίνονται οι κορυφές Α(1,4),Β(3,-9) και Γ(-5,) του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ.Να βρείτε τις συντεταγμένες του Δ. Έστω ότι είναι Δ(χ,y). Το σημείο τομής Κ των διαγωνίων του παραλληλόγραμμου έχει συντεταγμένες x A x Γ και y A y Γ δηλ - και 3 Άρα Κ(-,3).Επομένως επειδή το Κ είναι το μέσο της ΔΒ, 3 x 9 y θα έχουμε: και 3 δηλ χ=-7 και y=15 Άρα Δ(-7,15) Άσκηση Δίνονται τα σημεία Α(-,4) και Β(3,10). Να βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος AB. Είναι AB ( x x, yb y ) (3 ( ),10 4) (5,6) B A A - 17 -

Άσκηση 3 Δίνονται τα σημεία Α(,-1),Β(-3,4) και Γ(κ,5). Να βρείτε το κ ώστε: ι) το A Γ // y' y ιι) τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ι)ένα διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα y y αν και μόνο αν η τετμημένη του είναι 0.Είναι A Γ (,6).Επομένως είναι // y' y αν και μόνο αν κ-=0 ή κ=. ιι)τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν τα διανύσματα AB και A Γ είναι παράλληλα, δηλαδή αν και μόνο αν det(, ) =0. Είναι (5,5) και (,6),οπότε 5 5 det( AB,ΑΓ) 0 0 30 5( ) 0 4 6-18 -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ 1.Δίνεται το διάνυσμα =(λ -5λ+6,λ -3λ+).Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει : ι) 0 ιι) 0.Δίνεται το διάνυσμα =(λ-8,3λ+6).να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: ι) //χ χ ιι) //y y. 3.Να βρείτε για ποιες τιμές των a ( 3λ μ, λ - μ 8) είναι το μηδενικό. λ.μ το διάνυσμα 4.Να γράψετε το διάνυσμα u (8,17) ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων (,1 ) a και β (4,5). 5. Το σημείο Α(4,) ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ(3,5). Να βρεθεί το αντιδιαμετρικό σημείο του Α. 6.Αν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μέσο Μ και είναι Α(,5 ) και Μ(-1,7),να βρείτε τις συντεταγμένες του Β. 7.Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(,5) ως προς το σημείο Β(3,1). 8. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των διανυσμάτων i) 3i 1 j ii) i iii) 4 j 9.Θεωρούμε τα διανύσματα (,3) και ( 4, y 1).Να βρείτε τους χ,y ώστε. - 19 -

10.Να ορίσετε τον χ ώστε τα σημεία Α(χ,3),Β(-1,χ) και Γ(χ,4) να είναι συνευθειακά. 11.Δίνονται τα διανύσματα : (,8), (1,1 ), (3,) εκφραστεί το ως συνάρτηση των και.. Να 1.Δίνεται το σημείο Α(3,-) και το διάνυσμα (5,4).Να βρείτε τις συντεταγμένες του Β. 13.Αν Β(3,5), να βρείτε το σημείο εφαρμογής του διανύσματος AB (1,3 ) 14.Αν το διάνυσμα AB (,8) έχει σημείο εφαρμογής Α(5,4) να βρείτε το πέρας του. 15.Να βρείτε για ποιες τιμές του χ τα διανύσματα (,1) και ( 9, ) είναι αντίρροπα. 16.Να βρείτε για ποια τιμή του χ τα διανύσματα a ( 8, x) και β (,) είναι: ι)συγγραμμικά ιι)ομόρροπα ιιι)αντίρροπα - 0 -

17.Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(-3,-1),Β(-1,3) και Γ(,9) είναι συνευθειακά. 18.Να βρεθούν οι τιμές του χ για τις οποίες τα σημεία τα σημεία Α(1,χ+3),Β(χ,8) και Γ(-4,-10) είναι συνευθειακά. 19. Να εξετάσεται αν τα σημεία Α(α+β,α-β) Β(α,-β) και Γ(α+β,α-β) είναι συνευθειακά. 0.Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ.Αν οι τρείς κορυφές είναι Α(1,),Β(4,5),Γ(5,6),να βρεθούν οι συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής. 1.Οι συντεταγμένες των μέσων των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι αντίστοιχα Κ(,-1),Λ(4,-3) και Μ(-,-). Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α,Β,Γ.. Αν u (5,8) να βρεθεί διάνυσμα v το οποίο να είναι ομόρροπο προς το u και να έχει διπλάσιο μέτρο από αυτό. 3.Θεωρούμε τα σημεία Α(λ+,1-μ), Β(λ-4,4-μ), Γ(5-λ,μ+5) και Δ(3-λ,μ+6).Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι ομόρροπα. 4.Θεωρούμε τα σημεία Ο(0,0) και Α(3, 3 ). Να βρείτε τα σημεία Β του επιπέδου, για τα οποία το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. - 1 -

5.Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ,του οποίου τα μέσα των πλευρών του ΒΓ,ΓΑ και ΑΒ είναι Δ(-3,),Ε(4,-) και Ζ(3,5) αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ. 6.Για ποιες τιμές του λ το τετράπλευρο ΑΒΓΔ,με Α(-1,1), Β(1,),Γ(3,1) και Δ(λ,λ+1), είναι τραπέζιο. 7.Αν u =(5,1),να βρείτε το διάνυσμα v το οποίο είναι παράλληλο προς το u και έχει τριπλάσιο μέτρο από αυτό. 8.Να βρεθεί το εμβαδό τετραγώνου ΑΒΓΔ στο οποίο είναι Α(-,1) και Γ(0,5). - -

ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έστω δυο μη μηδενικά διανύσματα a και β. Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο ή βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με τον πραγματικό αριθμό: (, ) Επομένως (, ) Σημείωση Γίνεται φανερό,ότι αν είναι 0 ή 0τότε είναι 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1.Είναι (, ) 0. Ο αριθμός θα ονομάζεται εσωτερικό τετράγωνο του και θα συμβολίζεται με.. Ετσι :.Αν (, ) 0 και άρα 0-3 -

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Αν =(χ 1,ψ 1 ) και =(χ,ψ ) τότε 1 ψ1 Επομένως a a aa x 1 x 1 ψ 1 1 1 1 Άρα 1 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. για κάθε, Αντιμεταθετική ιδιότητα. ( ) Επιμεριστική ιδιότητα 3. ( ) ( ) ( ) 4. 1, όχι παράλληλα στον y y ΓΙΑ ΤΗΝ ΓΩΝΙΑ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αν a x 1, y ) και (, y ) τότε: ( 1 β aβ (, ) (, ) x 1 x 1 x y 1 y 1 x y y - 4 -

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Για να υπολογίσουμε το μέτρο ενός διανύσματος,θα υπολογίζουμε το τετράγωνο του μέτρου του,δηλαδή: Για να υπολογίσουμε το a θα υπολογίσουμε το a Για να υπολογίσουμε το a β θα υπολογίζουμε το Για να υπολογίσουμε το θα υπολογίζουμε το ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Αν είναι η προβολή του διανύσματος διάνυσμα στο,τότε το θα συμβολίζεται με. Ετσι ΟΜ ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕ ΟΤΙ : aβ ( ) Ομοίως αποδεικνύεται ότι Με τη βοήθεια της προβολής διανύσματος σε διάνυσμα,μπορούμε να αναλύουμε ένα διάνυσμα σε δύο κάθετες μεταξύ των συνιστώσες,εκ των οποίων η μία να έχει την διεύθυνση του ενός εξ αυτών - 5 -

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΟΜΟΡΡΟΠΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1.Αν τα διανύσματα a και β είναι ομόρροπα,τότε : συν( α, ) 0 και ( 0) οπότε: (, ) 0 ( ) λ>0. Αν τα a και β είναι αντίρροπα,τότε: (, ) και ( 0) οπότε (, ) ( ) λ<0,, - 6 -

ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Α.ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο διανύσματα και λέγονται συγγραμμικά όταν έχουν την ίδια διεύθυνση. Ειδικώτερα δύο συγγραμμικά διανύσματα λέγονται: Ομόρροπα,αν έχουν την ίδια φορά Αντίρροπα,αν έχουν αντίθετη φορά Β.ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να αποδείξουμε ότι τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, αποδεικνύουμε την σχέση: με (1) det(, ) 0 () (3) ΣΗΜΕΙΩΣΗ Αν δίνεται σχέση μεταξύ των μέτρων των διανυσμάτων,η συγγραμμικότητα αυτών αποδεικνύεται με την χρήση του εσωτερικού γινομένου ή με χρήση των μέτρων τους. - 7 -

Ισχύουν τα παρακάτω: Αν ισχύει:,τότε τα διανύσματα είναι ομόρροπα Αν ισχύει: ομόρροπα,τότε τα διανύσματα είναι Αν ισχύει: τότε τα διανύσματα είναι αντίρροπα Αν ισχύει: αντίρροπα,τότε τα διανύσματα είναι ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ(για διανυσματική Γεωμετρία) Α.Ορισμός Τρία σημεία Α,Β,Γ λέγονται συνευθειακά όταν τα σημεία αυτά ανήκουν στην ίδια ευθεία Β.Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά,θα αποδεικνύουμε ότι: AB λαγή ή (1) ή οποιαδήποτε άλλη γραμμική σχέση των διανυσμάτων των σχέσεων (1) - 8 -

Οι σχέσεις (1) αποδεικνύονται είτε λαμβάνοντας ένα σημείο Ο του επιπέδου σαν σημείο αναφοράς,είτε λαμβάνοντας ένα άλλο σημείο από την δοσμένη σχέση σαν σημείο αναφοράς Άσκηση 1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θεωρούμε τα διανύσματα a και β,τέτοια ώστε:,. 1, 4, Να υπολογίσετε τα: 3 i) ii) iii) iv) 3 4 v) 3 1 i) a β 1 4 4 3 ii) 1 4 17 iii) 17 13 iv)( )(3 4 ) 3 31 816 115 4 6 8 v)a 3β 4 1 9 411 916 14-9 -

Άσκηση Αν a β και 8 να αποδείξετε ότι a β 8 (, ) (, ) 8 4 (, ) (, ) (, ) 1, (, ) 1. 8 (, ) (, ) Αρα και,αφού έχουν και ίσα μέτρα είναι. Άσκηση 3 Θεωρούμε δύο διανύσματα a και β τέτοια ώστε, 3,,. Αν 3 να 3 υπολογίσετε τις γωνίες,,,. - 30 -

Είναι φανερό ότι η ΟΔ είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας π AOB.Επομένως η γωνία, είναι μη κυρτή, 3 ενώ η, είναι κυρτή. Έχουμε 3 3 3 3 6. 3 9 1 4 1 9 4 1 3 49 36 1 6 1 Άρα 6,οπότε (, ). Συνεπώς 6 5,.Ομοίως, 3 3 Άσκηση 4 Να λυθεί η εξίσωση x aβ 5, όπου ( 1,4), ( 1,), ( 0,35). Αν (, ), τότε 1 4 4 και 4 1, 4, 8-31 -

Οπότε 5 4 4, 13 Η εξίσωση γράφεται 4α-4β=-0 α+13β=35 Και α=-,β= 3 οπότε x (,3) Άσκηση 5 Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ονομάζουμε Ε και Ζ τις προβολές του Γ στις πλευρές ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: A Γ AB AE AB AΓ και Γιατί και. Άρα Άσκηση 6 Δίνονται τα διανύσματα a ( 3,),β (,1 ). Να αναλυθεί το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο. - 3 -

Έστω 1, δύο διανύσματα τέτοια ώστε 1 με 1 και //. Το είναι η προβολή του στο β και επειδή β //, θα υπάρχει λ τέτοιο ώστε 3, Όμως είναι ( ) 3 1 33 8 13 Αρα 8 4 16, 13 13 13 3,,1 3, 3, 8 13 Οπότε 1 4 16,1 13 13 13, 3 13 Άσκηση 7 Αν ισχύει a β τότε να δείξετε ότι: 3 Είναι: 0-33 -

Έχουμε λοιπόν: ( ) 3 Και άρα: 3 3 Άσκηση 8 α)αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα και ισχύει: a β β)χρησιμοποιώντας το (α) ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης Α=6x-8y αν x +y =36 γ)με τη βοήθεια του (α) ερωτήματος αποδείξτε ότι 6 8 10 α) (, ) (, ) (, ) διότι: (, ) 1 β)έστω ( 6, 8) και ( x, y). Τότε: - 34 -

α 6x 8y a 6 8 10 β x y 36 6 Από το α) ερώτημα παίρνουμε: aβ 6x 8y 10 6 60 60 6x 8y 60 Άρα Α max =60 και Α min =-60. γ) Έστω a ( 6, 8) και β (, ). Τότε: 6 8 6 8 10 1 Από α) ερώτημα παίρνουμε: 6 8 10 1 6 8 10-35 -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ 1.Έστω ότι: =, =3 και (, ) = εσωτερικά γινόμενα: i) ii) ( )(.Να βρείτε τα 3 ).Έστω ότι των διανυσμάτων =1, 3 και και..να βρείτε τα μέτρα 3.Σ ένα επίπεδο Οχy,θεωρούμε τα σημεία Α(-1,4) και Β(3,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα χ χ,για το οποίο το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ορθογώνιο στο Μ. 4.Για δύο διανύσματα και, ισχύουν : 3, =4 και (8 ) ( 9 ). Να δείξετε ότι:. 5.Για τρία διανύσματα 1 και 3,, ενός επιπέδου,ισχύουν: +5 =8. Να δείξετε ότι:. 6.Αν είναι 3 και 9, να αποδείξετε ότι. - 36 -

7.Αν είναι 10, 4 του διανύσματος 4. και (, ) =10 0,να βρείτε το μέτρο 8.Έστω ότι η γωνία των διανυσμάτων και είναι ίση με 10 0 και, 3. γωνία των και. Αν 3,να υπολογιστεί η 9.Τα διανύσματα και είναι τέτοια ώστε και 1 και σχηματίζουν γωνία διανυσμάτων v α και u a β..να βρείτε τη γωνία των 6 10.Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο (3,4) και έχουν μέτρο. 11.Να βρείτε το αν 1, 3 13 και (, ) 3 1.Αν και =8 να δείξετε ότι. 13.Εστω, δύο διανύσματα του επιπέδου με 3, και συν(, )=150 0.Αν είναι,να υπολογίσετε: i)το ii)τη γωνία (, ). - 37 -

14.Αν 0 και 1, 3, 6,να υπολογίσετε τα 15.Να βρείτε τα μέτρα των και,αν είναι γνωστό ότι, 3 και ( ) ( 3 ). 16.Αν ( ) και ( ) να αποδείξετε ότι ( ) 17.Το διάνυσμα (4,3) να αναλυθεί σε δύο μη μηδενικές συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη και η άλλη κάθετη στο διάνυσμα (3,1 ). 18.Έστω Ο και Α δύο σταθερά σημεία με 3.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ( )=7. 19.Αν ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ είναι οι διάμεσοι τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι A Δ 0 0.Δείξτε ότι στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) η διάμεσος ΑΔ είναι και ύψος. - 38 -

1.Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι ρόμβου τέμνονται κάθετα..έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει AB AM ΑΓ 0. 3.Άν ισχύουν a β 3 0 και, να 5 αποδείξετε ότι: i) ii) 5 και 4.Για τα διανύσματα a, β ισχύουν οι σχέσεις a 3β (4, ) και 3 ( 7,8). i) Να αποδείξετε ότι (1,) και (,) ii)να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε τα διανύσματα κa β και 3 να είναι κάθετα. iii)να αναλυθεί το διάνυσμα γ (3, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες,από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα. 5. Δίνεται το a 5 4, 5,. 8 i)να βρεθεί το. ii)να υπολογιστεί η γωνία,. iii)αν ua να υπολογίσετε το u. iv)να υπολογίσετε το κ ώστε v όταν v ( a ). - 39 -

Π.6.Δίνονται τα διανύσματα 1, και 3. Να βρεθούν: α)το εσωτερικό γινόμενο. β)η γωνία των διανυσμάτων,. a και ώστε : Π.7.Δίνονται τα διανύσματα (1,), (3,1). α)να βρείτε την γωνία θ των διανυσμάτων,. β)να βρείτε το λ ώστε το διάνυσμα κάθετο στο (, 1) να είναι γ)αν να βρείτε την. Π.8.Αν ( 1,1), (,3), (, ) : α)να υπολογιστεί το 3. β)να υπολογιστεί το αν και Π.9.Δίνονται τα σημεία Α(-1,),Β(,4), Γ(3,1), Δ(1,1).Αν Κ μέσο του τμήματος ΑΒ και τότε: α)να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Κ,Λ. - 40 -

β)να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ όταν το ΒΚΜΛ είναι παραλληλόγραμμο. Π.30.Δίνονται τα διανύσματα: (3,4), (1,3), ( 4,7) α)να γραφεί το σαν γραμμικός συνδυασμός των,. β)να βρεθεί η. Π.31.Α.Αν Κ,Α,Β,Γ τέσσερα σημεία του επιπέδου τέτοια ώστε να ισχύει 7 8 15, να αποδείξετε ότι τα Α,Β,Γ δεν ορίζουν τριγωνο. Β.Να βρεθεί το ώστε το διάνυσμα (3 1, ) να είναι κάθετο στο, όπου Α(1,-) και Β(4,-6). Π.3.Δίνονται τα διανύσματα,, με (,1), ( 5,0),,. α)να βρείτε για κάθε τιμή του χ τις συντεταγμένες του διανύσματος. β)αν τα διανύσματα και είναι κάθετα να αποδείξετε ότι χ=. γ)για χ= να βρείτε το μέτρο του και το συνημίτονο της γωνίας των,. Π.33. Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και (3,4). - 41 -

Να βρείτε τον ώστε να ισχύει: α) 0 β) // γ),. 4 Π.34.Έστω uv, διανύσματα με u, v 1. α)αν τα διανύσματα a u v, 3u 5v είναι κάθετα, να βρείτε την uv, β)αν επιπλέον v (1,0) να βρεθούν οι συντεταγμένες του u. Π.35.Δίνονται τα σημεία Α(1,κ),Β(κ-1,),Γ(κ,κ+3) k Α)Να δείξετε ότι AB ( k, k) ( 1,3) Β)Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα Α,Β,Γ να είναι συνευθειακά. Γ)Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε. Π.36.Δίνονται τα διανύσματα : a (, 1) και (3, 6). Να βρείτε: α)το μέτρο του διανύσματος 3 β)τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον χ χ. γ)το ώστε το διάνυσμα συγγραμμικό προς το. u ( k, k 1) να είναι - 4 -

Π.37.Δίνονται τα διανύσματα, 0,, 60. με Α)Να βρεθεί το Β)Αν 4 να υπολογίσετε το Γ)Να υπολογίσετε το (, ) Π.38.Δίνονται τα διανύσματα p και q με 1 και και, 3 Α) Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων pq, Β)Να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο p q Γ)Να υπολογίσετε το pq, Δ)Να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία του ερωτήματος Γ σε σχέση με τα διανύσματα a, - 43 -

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» 1.Αν a, ό Σ Λ.Αν 0, ό 0 Σ Λ 3.Αν, ό ΑΒ 0 Σ Λ 4.Το διάνυσμα, είναι παράλληλο με το 3, 3 Σ Λ 5.Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα Σ Λ 6.Αν 0, ό (, ) είναι οξεία Σ Λ 7.Το παριστάνει διάνυσμα Σ Λ 8.Για τα ομόρροπα διανύσματα, ισχύει Σ Λ 9.Αν 0, τότε οπωσδήποτε 0. Σ Λ 10.Αν, ό για κάθε διάνυσμα Σ Λ 11.Αν 0 και α, μη συγγραμμικά τότε λ=μ=0 Σ Λ 1.Με πλευρές οποιαδήποτε διανύσματα a,, ώστε α 0 ορίζεται τρίγωνο Σ Λ 13.Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα - 44 -

του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του. Σ Λ 15.Μπορούμε να γράφουμε: Σ Λ 16.Δύο διανύσματα με ίσους συντελεστές διεύθυνσης είναι ομόρροπα Σ Λ 17.Αν,, ό 0 Σ Λ 18.Αν τότε Σ Λ 19.Αν τότε Σ Λ 0.Αν 0 0 ή 0 Σ Λ 1.Αν, δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου τότε ισχύει. Σ Λ.Για τα διανύσματα, ισχύει η ισοδυναμία // det a, 0 Σ Λ - 45 -