ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

2 Διανύσματα

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τα παρακάτω αθροίσματα : i) ii) iii) iv) 3. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Κ,Λ,Μ,Ν τυχαία σημεία. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα αθροίσματα: i) ii) 4. Nα εκφράσετε το διάνυσμα x του διπλανού σχήματος ως συνάρτηση των διανυσμάτων,,, 5. Nα εκφράσετε το διάνυσμα x του διπλανού σχήματος ως συνάρτηση των διανυσμάτων,, 1

4 6. Nα εκφράσετε το διάνυσμα x του διπλανού σχήματος ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται : 7. Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. 8. Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. 9. Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. 10. Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. 11. Έστω ότι για τα μη συνευθειακά σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει.να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ΜΕΤΡΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Αν ισχύουν 5,να αποδείξετε ότι Αν ισχύουν 3, και 5,να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι ομόρροπα 14. Δίνονται τα ομόρροπα,, για τα οποία ισχύουν 1, 4 και 8. Να βρείτε : i)το ii) το iii)το 15. Για οποιαδήποτε διανύσματα,με και 3.Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε διάνυσμα ισχύει ότι : Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα,, για τα οποία ισχύει ότι 0 και, να αποδειχτεί ότι : 5 3 i) a ii) 17. Αν ισχύουν 4, 3 5 0, να αποδείξετε ότι 7 3.

5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ 18. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : Έστω Α,Β,Γ,Δ σημεία μη συνευθειακά για τα οποία ισχύει ότι Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 0. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Kτο κέντρο του. Αν Μ είναι το μέσο του ΚΓ, να αποδείξετε ότι 4 1. Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι 3.. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το σημείο Μ για το οποίο ισχύει. Να αποδείξετε ότι. 3. Έστω Α, Β δύο διαφορετικά σημεία. Να βρεθεί η τιμή του x για την οποία ισχύουν x Θεωρούμε τα διαφορετικά σημεία Α και Β, καθώς και σημείο Γ,για το οποίο ισχύει 3.Να βρείτε την τιμή του λr. 5. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Ρ τέτοιο, ώστε. 6. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ τέτοιο, ώστε ΡΓ=ΡΒ.Να αποδείξετε ότι :. 7. Θεωρούμε σημεία Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει 3 5. i) Να αποδείξετε ότι 8 5 ii) Αν,, είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α,Β,Γ αντίστοιχα ως προς σημείο Ο, να εκφράσετε το συναρτήσει των και. 8. Έστω Α,Β,Γ,Δ σημεία μη συνευθειακά ανά τρία για τα οποία ισχύει ότι i) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. ii) Nα βρείτε σημείο Μ, ώστε να ισχύει ότι : 3 9. Έστω τα σημεία Α, Β, Γ και Δ με Β Γ. Αν ισχύει,κr, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει x. 3

6 ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 4a είναι συγγραμμικά. 31. Αν ισχύει 3, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι αντίρροπα 3. Αν ισχύει ότι: 3 3, να αποδείξετε ότι. 33. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ.Να αποδείξετε ότι: i) το διάνυσμα v 4 είναι ομόρροπο με το ii) το διάνυσμα w 3 3 είναι αντίρροπο με το 34. Δίνονται τα διανύσματα u 4 3 και v.να αποδείξετε ότι : i) το διάνυσμα u 3v είναι ομόρροπο με το ii) το διάνυσμα u v είναι αντίρροπο με το 35. Σ ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχουμε, Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. 36. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε του επιπέδου του τέτοια ώστε : 5AB 8 και AE 3 AB 10. Να αποδειχθεί ότι : //. ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ 37. Αν ισχύει ,να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 38. Δίνονται σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε για τα οποία ισχύει ότι : Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β,Γ,Δ,Ε είναι συνευθειακά. 39. Θεωρούμε σημεία Ο,Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει ότι : 4, και 3. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 40. Δίνονται τα διανύσματα, και Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 41. Αν ισχύει (κ + ) + 3 = (κ + 5), να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 4. Δίνονται τα διανύσματα OA a, OB 5a 3 4 και O 13a Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 4

7 43. Να αποδείξετε ότι αν: 4ΚΑ 5ΚB 9 συνευθειακά., όπου α R τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι, 44. Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Γ και Δ είναι συνευθειακά. 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΜΕΣΟΥ 45. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με διαμέσους ΑΜ,ΒΝ και ΓΚ.Αν, και,να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i) ii) 46. Έστω Α, Β, Γ, Δ σημεία ενός επιπέδου και Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. i) Να εκφράσετε το ως συνάρτηση των ii) Αν Ρ το σημείο για το οποίο ισχύει η σχέση, να αποδείξετε ότι iii) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΡΔ είναι παραλληλόγραμμο. 47. Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ έστω Κ και Λ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι i) ii) και iii) 0 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 48. Αν τα σημεία Α και Β είναι διαφορετικά,να βρείτε τον xr για τον οποίο ισχύει, x x 49. Δίνονται σημεία Α,Β,Γ,Δ, με Β Γ,για τα οποία ισχύει 3 i) Να αποδείξετε ότι : ii) Να λύσετε την εξίσωση : x x (x ) 50. Έστω και δύο γνωστά διανύσματα.θεωρούμε επίσης διάνυσμα x για το οποίο ισχύει : 1 ( x ) 1 (3 x ) 4 α) Να βρείτε το διάνυσμα x β) Αν επιπλέον ισχύει ότι : 4, 4 και 8 να αποδείξετε ότι : 5

8 i) x ii) x 51. Να λυθεί το σύστημα : x 3y 7a x y 3 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R ισχύει ( 3) 5, ó a 0. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 53. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ρ τέτοιο, ώστε 3. i) Να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και ii) Να βρείτε τα κ,λ R για τα οποία ισχύει : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο του ΒΓ. Να βρείτε τα κ,λ R για τα οποία ισχύει : Θεωρούμε τα μη συνευθειακά σημεία Ο,Α,Β και τα διανύσματα v OA OB και u OA OB. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R τα διανύσματα v και u δεν είναι συγ γραμμικά. 56. Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ και έστω και.θεωρούμε τα σημεία Γ και Δ τέτοια ώστε 6 και 4.Αν Ε είναι το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ,να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και 57. Αν 4 3, να γράψετε το ως γραμμικό συνδυασμό των. 6

9 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 57. Δίνεται το σημείο Α(λ -9, λ -λ) με λr.να βρείτε για ποιες τιμές του λr το σημείο ανήκει i) στον άξονα χ χ ii) στον άξονα y y 58. Δίνεται το σημείο Α(λ+3, λ) με λ<0 το οποίο απέχει από τον άξονα y y απόσταση 3 α) Να βρείτε την τιμή του λ β) Να βρείτε το συμμετρικό του Α ως προς τον : i) τον άξονα χ χ ii) τον άξονα y y iii) την αρχή των αξόνων Π(0.0) iv)τη διχοτόμο 1 ου -3 ου τεταρτημορίου 59. Ποια είναι η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει: i)y= ii)x=-4 iii) x =3 iv)- y 1 v) x <1 vi) y=3 και -1<x< ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ - ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 60. Αν Β(3, 5), να βρείτε το σημείο εφαρμογής του διανύσματος AB = (-1, 3). 61. Αν το διάνυσμα AB = (, 8) έχει σημείo εφαρμογής το Α(5, 4), να βρείτε το πέρας του. 6. Να βρείτε τις συντεταγμένες : α) του διανύσματος OA,όταν Α(-5,4),(Ο η αρχή των αξόνων) β) του σημείου Β.όταν OB ( 3, ),(Ο η αρχή των αξόνων) γ) των διανυσμάτων i) 3i j ii) 5i iii) j 63. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(4,-),Β(-3,8) και Γ(-5,-6).Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB,B. 64. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(-3,5),Β(,7) και (7, 6).Να βρείτε τις συντεταγμένες i) του σημείου Γ ii) των διανυσμάτων AB,B. 65. Δίνεται το σημείο A(5,-3).Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ για τα οποία ισχύει ( 3,9) και (3,) 66. Δίνεται το διάνυσμα a ( x 5 x) i ( x 5) j. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει: i) //x'x ii) // y'y iii) // x'x και 0 iv) // y'y και 0 7

10 67. Δίνονται τα διανύσματα (, 4), (, 6) και (7, 1).Να βρείτε Για ποιες τιμές των λ,μ R ισχύει 68. Δίνονται τα διανύσματα ( 1, ) και (, 1).Να βρείτε τα κ,λ ώστε i) το να είναι το μηδενικό διάνυσμα ii) τα, να είναι ίσα iii) τα, να είναι αντίθετα 69. Αν Α (-, 1), Β (3, -) και AM 3BM 0, να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του Μ. 70. Δίνονται τα διανύσματα (4,6), ( 3,1) και ( 1,15).Να γράψετε το σαν γραμμικό συνδυασμό των και. 71. Δίνονται τα διανύσματα. (1, ) και ( 3,). i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και 3 ii) Να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των και ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ 7. Δίνονται τα σημεία Α(,5) και Β(4,-9).Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. 73. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(-1,4) έχει μέσο το σημείο Μ(-4,3).Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β 74. Δίνονται τα σημεία Α(λ,κ-4),Β(-λ-κ,3λ-κ) και Μ(κ,λ-1),με κ,λr..να βρείτε τις τιμές των κ,λ, ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 75. Δίνονται τα σημεία Α (-3, 4), Β (5, -4),Γ (-9,1) και Δ(1,-8).Αν Μ και Ν είναι τα μέσα είναι αντιστοίχως τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα,να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος. 76. Αν τα σημεία Δ (-1, 4), Ε (5, 4), Ζ (, -1) είναι αντιστοίχως τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του. 77. Δίνονται τα σημεία Α (3, -4) και Β (, 1). Να βρεθεί: i) το συμμετρικό του Α ως προς κέντρο συμμετρίας το Β. ii) το συμμετρικό του Β ως προς κέντρο συμμετρίας το Α. 78. Δίνονται τα σημεία Α(5,-1 και Β(-3,).Να βρείτε : i) το μέσο του τμήματος ΑΒ ii) το σημείο Γ,ώστε το Β ν α είναι μέσον του τμήματος ΑΓ. 79. Να βρείτε το αντιδιαμετρικό σημείο Β του Α(-3,) ενός κύκλου με κέντρο Κ(5,-4). 8

11 80. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ,με Α(-1,3),Β(6,4) και Γ(5,-1).Να βρείτε τις συντεταγμένες : i) του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ ii) της κορυφής Δ 81. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τεταγμένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης 3 x ( ) x 0. Να βρείτε την τιμή του λ R,ώστε το μέσον του τμήματος ΑΒ να έχει τεταγμένη ίση με Οι τεταγμένες των σημείων Α, Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης y - (λ + 3λ+ 10)y - 4 = 0. Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ να έχει τεταγμένη ίση με 5. ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ-ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ 83. Αν ( 3,4) και (5, 1),να υπολογίσετε τα μέτρα : i) ii) Αν ( 1,) και (3, ),να υπολογίσετε τα μέτρα : i) 3 ii) Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων: i) 6i 8j ii) (συνθ) i +(ημθ) j 86. Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων: i) 8i j ii) (ημθ) i -(συνθ) j iii) (x - y) i + xy j iv) 3 1 i j Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων Α και Β σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) A(-,7) και B(4,-1) ii) A(3,-5) και B(3,) iii) A(-4,-) και B(,-) 88. Δίνονται τα σημεία Α(λ,1) και Β(-1,λ+3),με λr.να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση των σημείων Α και Β είναι Δίνεται το σημείο Α(3,-1).Να βρείτε σημείο Β του άξονα y y,που απέχει από το Α απόσταση Δίνονται τα σημεία Α(3,8) και Β(9,4)..Να βρείτε σημείο Γ του άξονα χ χ το οποίο ισαπέχει από τα Α και Β. 91. Αν v (1,),να βρείτε διάνυσμα u που να έχει μέτρο διπλάσιο του v και να είναι ομόρροπο του v. 9

12 9. Να βρείτε διάνυσμα v αντίρροπο του (1,4) με μέτρο Δίνονται τα διανύσματα (,7 ) και (1, 3),λR.Να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει 13 και i) Να βρείτε το v, όταν v 4 v 5 ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος,για το οποίο ισχύει ( 4,8) 95. Αν u (1, ), v ( 1,0) και u v,να βρείτε το 96. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,1),Β(3,-) και Γ(7,-4) i) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v 4 7 ii) Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ,να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 97. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(-1,0),Β(3,-) και Γ(,0).Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΒΔ. 98. Να βρεθεί το εμβαδόν τετραγώνου ΑΒΓΔ στο οποίο είναι Α(-,1) και Γ(0, 5). 99. Δίνονται τα διανύσματα a ( 5,3 ) και (4,15 6 ) κ,λ,μr.αν τα διανύσματα και είναι ίσα,να βρείτε: i) τους αριθμούς κ,λ,μ. ii) το iii) διάνυσμα,που είναι αντίρροπο του και έχει τριπλάσιο μέτρο από το 100. Να βρείτε το διάνυσμα a για το οποίο a ( 4, a ) Να βρείτε το διάνυσμα a για το οποίο 3 3,. 10. Να βρεθούν τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν ( 3, ) (1, ) Δίνεται διάνυσμα,μη παράλληλο στον χ χ,για το οποίο ισχύει η σχέση : (4, ) (1, 1).Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος a 104. Δίνονται τα σημεία Α (-1, ),και Β (-3, 0). Να βρείτε σημείο Γ του επιπέδου Οxy τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο Να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α (3, -), Β (-, 3) και Γ (0, 4), είναι ορθογώνιο και να υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών του Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Β(3,5),Γ(5,-1) και Δ(-1,-1).Να βρείτε : i) τις συντεταγμένες της κορυφής Α ii)το μέτρο του διανύσματος 10

13 107. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαγώνιες 9,1 3, υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων. ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ-ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ 108. Δίνονται τα σημεία, 3, 1, 4 5, Δίνονται τα σημεία 3,, 1, 4, 13. Να. Να δείξετε ότι είναι συνευθειακά.. Να δείξετε ότι είναι συνευθειακά Δίνονται τα σημεία 1, 4 4, σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά..να βρείτε σημείο Γ του άξονα χ χ,ώστε τα 111. Τα σημεία Α,Β και Γ έχουν διανύσματα θέσης ως προς Ο τα ( 1,9), (5, 3) και (1,5) αντίστοιχα.να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Δίνονται τα διανύσματα (, 4) και. ( 5,6) με λr.να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι // Να βρεθεί η τιμή του xr για την οποία τα διανύσματα = (3,x) και = (6,4) είναι συγγραμμικά (παράλληλα) Να βρείτε για ποιες τιμές του λr τα διανύσματα 4 i 9j και 4i j είναι : α) παράλληλα β ) ομόρροπα 115. i) Να βρείτε τις τιμές του λ,ώστε τα διανύσματα ( 1,1) και (1, 1) να είναι συγγραμμικά ii) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ( x 1, 3) και (, x) είναι μη συγγραμμικά για κάθε x R 116. Να βρείτε τις τιμές του κ,ώστε τα διανύσματα (1, 1) και ( 1,9) να είναι αντίρροπα 117. Δίνονται τα διανύσματα (4, 1), (,3 ) και (3,6) για τα οποία ισχύει ότι //. i) Nα βρείτε την τιμή του λr ii) Αν Ρ(-,7) και Σ(6,-4) να γράψετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των 118. Δίνονται τα διανύσματα (,3), ( 10,) και.να βρείτε : i) το ii) τον αριθμό λ R ώστε το διάνυσμα (,1 ) να είναι παράλληλο στο 11

14 119. Δίνονται τα σημεία : Α(κ-3,-),Β(7-κ,κ) και Γ(κ-6,-11),με κr.να βρείτε για ποια τιμή του κ: i) το διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα y y ii)τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. 10. Δίνονται τα σημεία Α(-, 1) και Β(7, 4). Να βρείτε τα σημεία Μ, Ν για τα οποία ισχύει 1 AM MB 4. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ-ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ χ χ 11. Nα βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης των διανυσμάτων : i) (, 6) ii) (8, 4) iii) ( 5,0) iv) (0,7) 1. Nα βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης (αν ορίζεται) του διανύσματος AB στις παρακάτω περιπτώσεις: i) A(-1,3),B(,-3) ii) A(3,1),B(-5,1) iii) A(-,3),B(-,7) 13. Aν φ η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα χ χ,να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος στις παρακάτω περιπτώσεις : i) 3 ii) 10 iii) iv) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των διανυσμάτων: i) 3i 1 j ii) i iii) 4 j iv) 3 j1i 15. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζουν με τον άξονα χ χ τα διανύσματα : i) ( 3,3) ii) ( 6, 1) iii) ( 4, 4) iv) ( 7, 9) 16. Δίνονται τα διανύσματα (,) και 1, 3. i) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει καθένα από τα, με τον άξονα χ χ ii) Να βρείτε τη γωνία, 17. Δίνονται τα σημεία Α(μ-3,) και Β(3μ,μ-3).Να βρείτε το μr,ώστε το AB να σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία Δίνεται το διάνυσμα (, 6),με λr.να βρείτε για ποια τιμή του λ, το διάνυσμα σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 19. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: i) a a 5, 7,(, ) 5, ii) a 5,,( a, ) Το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και ισχύουν 6 γινόμενο και, 60.Να βρείτε το εσωτερικό 131. Τα διανύσματα a και είναι ομόρροπα,.με 3 και 7.Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 13. Τα διανύσματα a και είναι αντίρροπα με 9 και 4.Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 133. Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν 1, 1 και, 150.Nα βρείτε i) το μέτρο του διανύσματος a ii) το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ) 134. Δίνονται διανύσματα a, και για τα οποία ισχύουν : 1, 5, 1,, και,.nα βρείτε : 6 3 i) το μέτρο του διανύσματος ii) ( ) ( ) 135. Δίνονται διανύσματα a και,με 4, 5, i) ii) ( ) (3 ) iii) ( ) 136. Δίνονται διανύσματα a και,με 4 να βρείτε :: i) το εσωτερικό γινόμενο ii) το μέτρο του διανύσματος και, iii) το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ), 10.Nα βρείτε τα γινόμενα::.αν ισχύει ( ) ο Λύκειο Περιστερίου

16 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 137. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) (3,5) και (4,) ii) (, 3) και (1,5) iii) ( 4,) και (, 6) iv) (0, 3) και (7, ) 138. Δίνονται τα σημεία Α(3,1),Β(,-5),Γ(-4,3) και Δ(-1,-).Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 139. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,με Α(3,5), Β(x,x-4) και Γ(-5,11),όπου xr για το οποίο ισχύει 3 i) Nα βρείτε τον αριθμό x ii) Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα, να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 140. Δίνονται τα διανύσματα (, ) και ( 8,1),με λr για τα οποία ισχύει ότι 1. i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Το εσωτερικό γινόμενο ( ) ( ) 141. Δίνονται τα διανύσματα (4, 3), (x, x 3) και ( 6,1), για τα οποία ισχύει ότι 1 και 11 i) Να αποδείξετε ότι x= ii) Να βρείτε για ποια τιμή του λr ισχύει ( ) ( ) Δίνονται τα διανύσματα (x, 1), (, y) και (x 5,3), για τα οποία ισχύει ότι. i) Να βρείτε τις τιμές των x,y ii) Να βρείτε για ποια τιμή του λr ισχύει ( ) ( ) 38 ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 143. Έστω διανύσματα,. Να αποδειχτούν οι παρακάτω σχέσεις: i ) a 4 ii ) a a. Πότε ισχύει η ισότητα; iii 144. Δίνονται διανύσματα, για τα οποία ισχύουν και 4 5. Να αποδείξετε ότι ο Λύκειο Περιστερίου

17 145. Δίνονται διανύσματα, για τα οποία ισχύουν 3 και. Να αποδείξετε ότι 146. Αν ισχύει = τότε να δείξετε ότι Αν για κάθε ισχύει ότι i) και 1 ii) ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ και 1, να αποδείξετε ότι: 148. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα (,3) και ( 6, ).Να βρείτε : i) τον αριθμό λ ii) για ποια τιμή του μ είναι 149. Δίνονται τα κάθετα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν 15 και 3 5Να βρείτε : i) Να βρείτε το ii) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα v 5 και w 3 είναι κάθετα Δίνονται τα διανύσματα (1, ) και ( 3,4 ) με λ R για τα οποία ισχύει i) Να βρείτε τον αριθμό λ ii) Να βρείτε για ποια τιμή του μr,το διάνυσμα 5 είναι κάθετο στο (, 8) 151. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α=. Αν ΑΔ είναι το ύψος του, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: i., ii., iii Δίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα και,για τα οποία ισχύει και,. 3 i) Nα αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε για ποια τιμή του λ R τα διανύσματα v και w είναι κάθετα 153. Τα σημεία Α, Β, Γ, Δ έχουν, ως προς την αρχή Ο, των αξόνων διανύσματα θέσης (, 5), (4, 10), (-6, -15) και (-16, λ-15), λr, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Να βρείτε το λ ώστε AB ο Λύκειο Περιστερίου

18 ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 154. Αν,, 3, και, να βρείτε το Δίνονται τα διανύσματα και με 8, 3 και (, ) 45. Να βρείτε το Δίνονται τα διανύσματα και με 3, i) Να αποδείξετε ότι 3 ii) Να βρείτε το 4 3 (, ) και Δίνονται τα διανύσματα και με, 4 και 4. i) Να αποδείξετε ότι 3 ii) Να βρείτε το Δίνονται τα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν, 4 και 3 5 i) Να αποδείξετε ότι και 1 ii) Να βρείτε το Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις:,, και 3α 7. Να υπολογιστούν τα, Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων και για τα οποία ισχύουν : (, ), 3 και Δίνονται τα διανύσματα και με 3 και (, ) 60.Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ,με 4 και 4 6,για το οποίο ισχύει 91 i) Να αποδείξετε ότι 5 ii) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ ο Λύκειο Περιστερίου

19 ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 16. Δίνονται τα διανύσματα,, με 1,, 3 0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Δίνονται τα διανύσματα,, με 3,, 1 0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Δίνονται τα διανύσματα,, με, 3, 54 και 4 0. i) Να αποδείξετε ότι 4 ii) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο 165. Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν a και a 0.Να αποδείξετε ότι : το a είναι ομόρροπο του, και ότι: το διάνυσμα είναι αντίρροπο του Αν για τα διανύσματα a,, ισχύει: a 0 και a, να δείξετε ότι: το 3 5 a είναι ομόρροπο του, και ότι: το διάνυσμα είναι αντίρροπο του Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με OA OB O και 3OA 4OB 5O όπου Ο η αρχή των αξόνων. Να αποδείξετε ότι:. ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 168. Να υπολογιστεί η γωνία, των διανυσμάτων a =(1, - 3), =(1, 1). i) a =(1, - 3), =(1, 1). ii) a =(4,3), =(7,-+ 1). iii) a =(1, 3), = ( 3, 3) iv) a = (,6), = (-3,1) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α (1, ), Β (-, 1) και Γ (3, 6). Να αποδειχθεί ότι: A Δίνονται τα διανύσματα (, 3) και ( 3, 4), με λr, για τα οποία ισχύει ότι ( 3 ) 6. Να βρείτε: α) τον αριθμό λ, β) τη γωνία, Δίνονται διανύσματα a και για τα οποία ισχύουν: (7, 1) και 3 (8, 19) Να βρείτε: α) τις συντεταγμένες των διανυσμάτων a και, β) τη γωνία, ο Λύκειο Περιστερίου

20 17. Έστω a και δύο διανύσματα τέτοια ώστε: a, 5,( a, ) υπολογιστούν τα συνημίτονα των γωνιών (, ) και (, ). 3. Αν 3, να 173. Αν για τα διανύσματα ισχύουν a, και να υπολογιστεί η γωνία,., = 45, 174. Έστω τα διανύσματα και, με μέτρα 1, που σχηματίζουν γωνία φ= 3 Αν u 4 και v, να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων u v και η μεταξύ τους γωνία 175. Δίνονται διανύσματα και, με και 3, για τα οποία ισχύει ότι: (3α 7 ) (6 ) α) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και. β) Θεωρούμε το διάνυσμα, με λ R, το οποίο είναι κάθετο στο. Να βρείτε : i) την τιμή του λ, ii) το μέτρο του διανύσματος, iii) τη γωνία των διανυσμάτων και Δίνονται μοναδιαία διανύσματα και, καθώς και τα μη μηδενικά διανύσματα u v, για τα οποία ισχύουν: u v 4 και v u και. (u, v) 60 α) Να γράψετε καθένα από τα διανύσματα u v ως γραμμικό συνδυασμό των και. β) Να βρείτε τη γωνία, 177. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 5, 4, = 60. και Να βρεθεί το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η με τη διαγώνιο του ΑΒΓΔ Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α (1, ), Β (-1, -) και Γ (-3, 4). Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(-1, 1), Β(1, 5) και Γ(4, -4). α) Να εξετάσετε αν η γωνία ˆ είναι οξεία ή αμβλεία, β) Να βρείτε τη γωνία ˆ ο Λύκειο Περιστερίου

21 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 180. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι : 4, 6 και η γωνία των διανυσμάτων ί. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ,τότε : 3 i) να υπολογίσετε το AM ii) να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος AB πάνω στο διάνυσμα AM είναι το διάνυσμα 14 AM 19 (1 η Δέσμη 1999) 181. Για τα διανύσματα a, ισχύουν οι σχέσεις a 3 ( 4, ) 3 ( 7, 8 ). i) να δείξετε ότι ( 1, ) (, ). ii) να βρεθεί ο κ R,ώστε τα διανύσματα 3 να είναι κάθετα iii) να αναλυθεί το διάνυσμα ( 3, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες,από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα. (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ 000) 18. Για τα διανύσματα a, δίνεται ότι a 1, και,. 3 Έστω τα διανύσματα u a 3 v a. Να υπολογίσετε : i) το εσωτερικό γινόμενο ii) τα μέτρα u, v iii) το εσωτερικό γινόμενο u v iv) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u v (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 001) 183. Δίνονται τα διανύσματα (1,1), (5,7) του καρτεσιανού επιπέδου. α) Να βρείτε τα διανύσματα 3 β) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ,για την οποία το διάνυσμα x (, 6) είναι κάθετο στο διάνυσμα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 1,όπου.(ο Εσπερινού 00) 184. Δίνονται τα διανύσματα a (1,) και (,3). α) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5 3 β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα x x. γ) Να βρείτε τον αριθμό k R,ώστε το διάνυσμα u ( k k, k) να είναι κάθετο στο a ο Λύκειο Περιστερίου

22 Ευθεία

23 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y v) 18x-6y + 5 = 0 vi) x = vii) y =. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης, αν υπάρχει, της ευθείας: i) που διέρχεται από τα σημεία Α(,-3) και Β(-1,6). ii) που διέρχεται από τα σημεία Γ(0,-) και Δ(0,3). iii) που είναι κάθετη στη ΓΔ. 3. Να βρεθεί η γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα χ χ η ευθεία: i) που διέρχεται από τα σημεία Α(4,-) και Β(3,-3). ii) που διέρχεται από τα σημεία Γ(3,-1) και Δ(-,-1). iii) που διέρχεται από τα σημεία Ε(4,-) και Ζ(4,1). 4. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x η ευθεία, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με: i) 1 ii) -1 iii) 3 iv) 0 ν) 5. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με άξονα x'x η ευθεία με εξίσωση: 1 i) y x ii) y x 3 1 iii) y = 1 - x iv) y = l v) y = 3 vi) x = 0 vii) x= 6. Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες : η ευθεία ε : y = ( α - 10)x+ 4 σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία Να βρεθεί ο α R έτσι ώστε η ευθεία: i) ε: y x να σχηματίζει 45 γωνία με τον άξονα x x ii) ε: y 3 x 1 να σχηματίζει 30 γωνία με τον άξονα y y και κανένα σημείο της να μη βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο ο Λύκειο Περιστερίου

24 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το Α(-1,3) και είναι : i) παράλληλη στην ευθεία δ: y = -x ii) κάθετη στην ευθεία δ: y x iii) κάθετη στην ευθεία δ: x = 5 iv) παράλληλη στην ευθεία δ: y = Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(3,-) και : α) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (, 5) β) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (0, 3) γ) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (,0) δ) είναι κάθετη στο διάνυσμα (,1) ε) είναι κάθετη στο διάνυσμα (0, 4) στ) σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία Δίνονται τα σημεία Α (1, 4) και Β (- 1, - 5). α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας τον ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 11. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών 1 και του διπλανού σχήματος. 1 y 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών x ο Λύκειο Περιστερίου

25 13. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε του διπλανού σχήματος. Α y 1 ε - Ο x 14. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από τις κορυφές Α (, -1), Β (4, -5) και Γ(-3, 4) τριγώνου ΑΒΓ και είναι παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές. 15. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο Α (-, 0) και είναι παράλληλη στην διχοτόμο της γωνίας x Οy. 16. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση: y=3x-1. ΤΟΜΕΣ ΕΥΘΕΙΩΝ 17. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1,10) και από το σημείο τομής των ευθειών :ε1: y x 5 και y 5x Δίνεται η ευθεία ε: y 3x 011. Να βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ζ1 που είναι παράλληλη στην ευθεία ε και διέρχεται από το σημείο Α(1,-5) ii) την εξίσωση της ευθείας ζ που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το σημείο Β(-3,13) iii) το σημείο τομής των ευθειών ζ1 και ζ 19. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1: y=x+3, ε: y=-x+15 και ε3: y=3x-5 διέρχονται από το ίδιο σημείο. 0. Δίνονται τα σημεία Α(1,5),Β(4,-1),Γ(3,7) και Δ(-1,-9).Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ. 1. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ του διπλανού σχήματος. A4, B,0 Μ. Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ, όπου Α(- 1,0) και Β(5, ). 14 ο Λύκειο Περιστερίου

26 ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ 3. Δίνονται τα σημεία Α(4,-3) και Β(-, 5).Nα βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β ii) για ποια τιμή του λ R η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Γ(-5,λ+1) 4. Δίνονται τα σημεία Α(α,α-3) και Β(7α,3α-1), με αr.η ευθεία ε: y=3x- διέρχεται από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.Να βρείτε : i) τον αριθμό α ii) τα σημεία τομής της ευθείας ΑΒ με τους άξονες. 5. Θεωρούμε την ευθεία y x 5 και το διάνυσμα (3, 4),με λ R.Η ευθεία ε είναι παράλληλη στο διάνυσμα. α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Το σημείο Α(μ,7-μ),με μr,ανήκει στην ευθεία ε.να βρείτε : i) τον αριθμό μ ii) την ευθεία ζ που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην ε. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ 1 6. Δίνεται το σημείο Α(-3,5) και η ευθεία y x 1.Να βρείτε : i) την προβολή του Α στην ε ii) το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε 7. Έστω η ευθεία ε: y=x+1 το σημείο Α(,1) α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Α πάνω στην ε β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού του Α ως προς την ε 8. Δίνεται η ευθεία ε: y x. Να βρείτε τη συμμετρική ευθεία της ε, ως προς: α) τον άξονα χ χ β) τον άξονα y y γ) την αρχή Ο των αξόνων δ) τη διχοτόμο y x. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 9. Να αποδείξετε ότι : i) τα σημεία Α(1,), Β(3,6) και Γ(4,10) είναι κορυφές τριγώνου, ii) τα σημεία Α(1,), Β(3, 6) και Γ(4, 8) δεν είναι κορυφές τριγώνου. 30. Δίνονται τα σημεία Α(4, 5), Β(6,- 1) και Γ(1,1) ο Λύκειο Περιστερίου

27 i) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. ii) Να βρείτε σημείο Δ, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. 31. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(1,), Β(-3,-), Γ(3,-4). Να βρεθούν οι εξισώσεις του ύψους, της διαμέσου και της μεσοκαθέτου που αντιστοιχούν στην πλευρά ΑΓ. 3. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(5,), Β(1,), Γ(3,4). Να υπολογιστούν οι συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών και να βρεθεί το είδος του τριγώνου. 33. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(,1), Β(-1,-1), Γ(-3,). Να βρεθούν οι εξισώσεις : i) του φορέα του ύψους ΒΔ ii) του φορέα της διαμέσου ΑΜ iii) της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ 34. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α (- 8, ), Β (7, 4) και Η (5, ) το ορθόκεντρο του.να βρείτε: α) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ γ) τις εξισώσεις των πλευρών του. δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. ε) Να βρεθεί το εμβαδόν τον τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ. 35. Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (,1) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται τα δύο ύψη του έχουν εξισώσεις y = - 3x + 11 και y = x + 3.Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου. 36. Η κορυφή Α ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ έχει συντεταγμένες (3,1) και μια πλευρά του βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωση y = x- 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις βρίσκονται οι άλλες τρεις πλευρές του τετραγώνου. 37. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών παραλληλογράμμου που έχει δύο πλευρές 1 με εξισώσεις ε1 y x 1 y 3x 1 και το κέντρο του Ο έχει συντεταγμένες 4 5, Τα σημεία Α(,0) και Β(-1,4) είναι διαδοχικές κορυφές τετραγώνου. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του ο Λύκειο Περιστερίου

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη και τον άξονα y'y σε σημείο με τεταγμένη -3, ii) την ευθεία x = 5 σε σημείο με τεταγμένη 4 και την ευθεία y = - σε σημείο με τετμημένη -1, iii) την ευθεία y = x - 1 σε σημείο με τετμημένη 4 και την ευθεία y = x + 1 σε σημείο με τεταγμένη -.. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών: 3x + 4y - 11 = 0 και x - 3y + 1 = 0 και είναι: α) παράλληλη προς την ευθεία x + γ + 1 = 0 β) κάθετη προς την ευθεία 3x - y + 5 = 0 γ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) παράλληλη στον άξονα χ χ ε} παράλληλη στον άξονα γ'y στ) παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων ζ) παράλληλη στη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων 3. Δίνονται τα σημεία Β(-3,7), Γ(3,1) και οι ευθείες (ε1):3xy 0 και (ε): x y7 0οι οποίες τέμνονται στο σημείο Α. Να βρεθούν : α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ, η γωνία που σχηματίζει η ΒΓ με τον άξονα x x και η εξίσωση της ΒΓ. β) Οι συντεταγμένες του σημείου Α. γ) Η εξίσωση της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ και η γωνία των ευθειών ΑΜ, ΒΓ. δ) η εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΕΥΘΕΙΩΝ 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ R η εξίσωση (- μ) x - (μ + 5)y + μ- 1 = 0 παριστάνει : i) ευθεία, ii) ευθεία ε παράλληλη στον άξονα χ χ, iii) ευθεία ε παράλληλη στον άξονα y'y, iv) ευθεία, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 5. Nα δείξετε ότι για κάθε τιμή του λ, η εξίσωση (x+y-5)+λ(3x-y+1)=0 (1) παριστάνει ευθεία. Στη συνέχεια να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την 5

29 (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο. Τέλος να βρείτε ποια από τις παραπάνω ευθείες της εξίσωσης (1) : i) Διέρχεται από το σημείο Α(3,-1) ii) Είναι παράλληλη στον χ χ iii) Είναι παράλληλη στον y y iv) Είναι παράλληλη στην ευθεία 4x+3y-5=0 v) Είναι κάθετη στην ευθεία x+3y+7=0 6. Δίνεται η εξίσωση: (κ +κ-)x+(k -4)y+κ+4=0 (1) α) Να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε η (1) να παριστάνει ευθεία β) Να βρεθούν οι τιμές του κ για τις οποίες οι ευθείες αυτές περνούν από το σημείο Α(4,) ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ 7. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx + 8y-4λ +4 = 0 και ε : (λ-1)x +(λ+ )y- 3 = 0. Να βρείτε τη σχετική θέση των ε1,ε για τις διάφορες τιμές του λ R. 8. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx + (λ+ 1)y-3 = 0 και ε : (λ-)x +λy-1 = 0. i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R οι ευθείες ε1,ε έχουν μοναδικό κοινό σημείο. ii) Να βρείτε το λ,ώστε η ευθεία ζ : 3x+y+3=0 να διέρχεται από το μοναδικό κοινό σημείο των ε1 και ε. 9. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx + (λ+ 3)y-6 = 0 και ε : (λ-1)x +(λ+ )y-3 = 0. i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1,ε έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε λr. ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, το σημείο τομής Μ των ε1 και ε κινείται πάνω σε μία ευθεία. 10. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1 : 3x + y -4 = 0, ε :y = -x+l και ε3 : x + y = 0 διέρχονται από το ίδιο σημείο. 11. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ R οι ευθείες ε1 : y = μx + 5 και ε : y = (3μ - 4)x + μ 1 είναι : i) παράλληλες ii) κάθετες 1. Δίνονται οι ευθείες ε1: (μ + 1) x + (μ + ) y = 0 και ε: μx - (3μ + )y+7=0. Να βρείτε τον μ, ώστε η γωνία των ε1 και ε να είναι Οι ευθείες : ε1: ( 6)x y 1 0 και ε: x ( )y 0 είναι παράλληλες, ενώ οι ευθείες ε3 : ( )x y 9 0 και ε4 : ( )x ( )y 7 0 είναι κάθετες. i) Να βρείτε τις τιμές των λ και μ ii) Αν Α είναι το σημείο τομής των ε1 και ε και Β είναι το σημείο τομής των ε3 και ε4 να βρείτε το μέτρο του διανύσματος. 6

30 ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ 14. Να βρείτε την σχετική θέση των ευθειών ε1: μx-y=μ- και ε: 3x-y=1 για τις διάφορες τιμές του μ R. Για ποια τιμή του μ R η ευθεία ε σχηματίζει με την ε 1 γωνία ίση με: α), και β) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε1 : x = και ε : x 3 3y k Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε1: y=x-5 και ε : y=-3x Οι ευθείες ε1 : x ( 6)y 0 και ε : ( 5)x ( 7)y 13 0 είναι παράλληλες.να βρείτε : i) τον πραγματικό αριθμό λ ii) την οξεία γωνία των ευθειών ε1 και ε3 : 3x+y-5= Δίνονται οι ευθείες ε1: αx+y+3=0 και ε : 5x-3y+8=0.Να βρείτε τον αριθμό α,ώστε οι ευθείες ε1 και ε να σχηματίζουν γωνία 45. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 19. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(6-3λ, 1 + λ), όταν το λ παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές. 0. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τωv σημείων Μ (5-μ,3μ +4),μ R. 1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων 3,3. Από τα προηγούμενα σημεία να βρείτε το πλησιέστερο στην αρχή των αξόνων. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ x By xy x y Z 0. Δίνεται η εξίσωση : x y 3xy 7x y 3 0 (1) i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες,οι οποίες είναι κάθετες. ii) Να βρείτε το σημείο τομής των δύο ευθειών του ερωτήματος (i) 3. Δίνεται η εξίσωση : x y xy x y 3 0 (1) i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε. ii) Έστω ότι οι ευθείες ε1 και ε τέμνουν τον άξονα y y στα σημεία Α και Β και έστω Μ το μέσο του ΑΒ.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από το Μ και είναι παράλληλη στις ε1 και ε. 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y 3xy x 0 παριστάνει ζεύγος δύο κάθετων μεταξύ τους ευθειών, οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. 7

31 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 1. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Μ(,-3) από την ευθεία y= x β) Να βρεθεί η απόσταση της αρχής Ο των αξόνων από την ίδια ευθεία y= x Να βρεθεί το σημείο του άξονα y'y που ισαπέχει από την αρχή των αξόνων και από την ευθεία ε : 4x-3y + 4 = Να βρείτε τα σημεία της ευθείας ε : x + y - = 0 που απέχουν από την ευθεία ζ : 3x + 4y-10 = 0 απόσταση ίση με. 4. Να υπολογισθεί το μήκος του ύψους ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ στο οποίο Α(4,13), Β(10,1), Γ(-,5) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 5. Να βρείτε τις ευθείες που είναι παράλληλες στην ευθεία ζ: 3x+y-011=0 και απέχουν από το σημείο A(-4,) απόσταση ίση με Να βρείτε τις ευθείες που σχηματίζουν με τον άξονα χ χ γωνία 45 και απέχουν από το σημείο Α(,5) απόσταση ίση με 3 7. Δίνεται η ευθεία ζ: x+y-15=0 και το σημείο Α(3,1):Να βρείτε: i) την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ζ, ii) τις ευθείες που είναι κάθετες στη ζ και απέχουν από το Α απόσταση ίση με 0 8. Να βρείτε τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Ρ(6,5) και απέχουν από το σημείο Α(3,-1) απόσταση ίση με Να βρείτε την ευθεία ε που είναι παράλληλη στην ευθεία ζ: 6x-3y-13=0 και ισαπέχει από τα σημεία Α(1,-4) και Β(5,) ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ 10. Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ε1: 4x -6y+5=0 και ε: y= 3 x Δίνονται οι ευθείες ε1: x-y+1=0 και ε: 3x-4y-1=0. Nα βρείτε σημείο Μ της ε1 που απέχει από την ε απόσταση ίση με 1 μονάδα 8

32 1. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών, οι οποίες είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: y = 3 x - και απέχουν από αυτή απόσταση ίση με Δίνονται οι ευθείες ε1 : y = 3x - 4 και ε : y = 3x + 0. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε, η οποία απέχει από τις ε 1, ε αντίστοιχα αποστάσεις με λόγο Η μια πλευρά τετραγώνου ΑΒΓΔ, με Α(, -1), βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε : 3x - 4y + 0 = 0.Nα βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου. 15. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε : 5x - 1y-60 = 0 και ζ : 5x - 1y + 31 = i) Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών που παριστάνει η εξίσωση x + xy + y -x-y-μ = 0 ii) Για ποια τιμή του μ η απόσταση των παραπάνω ευθειών είναι ίση με 10 ; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ-ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 17. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών: α) ε1 : 3x-y+1=0 και ε :-6x+y-3=0 β) ε: x = 4 και ε : x = - 6 γ) ε1: y =x και ε :y =x Η ευθεία ε : y = 5 1 x + 3 είναι η μεσοπαράλληλος δύο ευθειών ε 1, ε, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 8. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών αυτών. 19. Δίνονται οι ευθείες ε1: 3x-4y+1=0 και ε: 8x-6y+5=0.Να βρείτε : i) τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε ii) ποια από τις παραπάνω διχοτόμους αντιστοιχεί στην οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε 0. Δίνονται τα σημεία Α(3,1) και Β(13,6).Έστω ε1 η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη στο διάνυσμα v (3,6) και ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Να βρείτε : i) τις εξισώσεις των ευθειών ε1 και ε ii) την απόσταση του σημείου Β από την ευθεία ε1 iii) τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνονται τα σημεία Α(-,1),Β(3,4) και Γ(1,-6).Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 9

33 . Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου που έχει κορυφές τα σημεία Α(1, - ),Β(-, 3), Γ (- 1, - 4) και Δ (5, 0). 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, του οποίου οι τρεις κορυφές είναι τα σημεία Α(- 1, 5), Β(5, -3), Γ(-, 3). 4. Δίνονται τα σημεία Α(8,3) και Β(6,-1).Να βρείτε σημείο Γ του άξονα χ χ,ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να έχει εμβαδόν 7 τ.μ. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Αν ισχύει ότι (8,4) και (1, 3),να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 6. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία : x 3y 1 0 και οι οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 1τμ. 7. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(-, 6) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Έστω τα σημεία Α(1,), Β(-3,4), Γ(λ+1,-λ+1), λ. i) Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου με σταθερό εμβαδό για κάθε λ. ii) Nα δείξετε ότι το σημείο Γ κινείται πάνω σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση iii) Nα βρείτε το λ ώστε το σημείο Γ(λ+1, -λ+1) να απέχει από την αρχή των αξόνων την ελάχιστη απόσταση ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ 9. Δίνεται η ευθεία ε:x+y-6=0.να βρείτε : i) τη μικρότερη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας ε από την αρχή των αξόνων, ii) ποιο σημείο της ευθείας ε απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Μ(,-3) 30. Δίνονται τα σημεία Α(-,4) και Β(8,-1). α) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ,όπου Ο η αρχή των αξόνων. β) Έστω η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β.Να βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ε ii) ποιο σημείο της ευθείας ε απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Γ(5,3). 31. Θεωρούμε τα σημεία Μ(λ-4,3λ-) με λ R i) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του λ τα σημεία Μ κινούνται σε ευθεία ε της οποίας να βρείτε την εξίσωση 30

34 ii) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας ε από την αρχή των αξόνων. 3. Οι ευθείες ε 1 : λx+(λ -1)y-5=0 και ε 1 : (λ +1)x-(λ +4)y-15=0 είναι κάθετες. Να βρείτε: i) τον αριθμό λ ii) το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε iii) την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας ε1 από την αρχή των αξόνων,καθώς και ποιο είναι το σημείο αυτό. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 33. Δίνονται τα σημεία Α(,3),Β(5,λ) και Γ(λ-6,5),με λr,για τα οποία ισχύει ότι 35. Να βρείτε : i) τον αριθμό λ ii) την απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑΒ iii) τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α και ισαπέχουν από τα σημεία Β και Γ 34. Οι παράλληλες ευθείες : y x και 1 : y x απέχουν απόσταση ίση με 1. α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Να βρείτε τη μεσοπαράλληλη των ε1 και ε γ) Έστω ε3 η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(4,) και τέμνει την ε1 σε σημείο με τετμημένη 7.Να βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ε3 ii) τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες εκαι ε Οι ευθείες : x ( 4)y 0 και 1 : ( 1)x (3 )y 3 0 είναι κάθετες.να βρείτε : i) τον αριθμό λ ii) τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Ρ(,-1) και σχηματίζουν με τις ε1και ε τρίγωνο με εμβαδόν 1 τ.μ. 36. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ(-,-1),στο οποίο η πλευρά ΑΒ βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση x y 10 0 και το ύψος ΑΔ βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση : x 3y 15 0.Να βρείτε : i) τις συντεταγμένες της κορυφής Α ii) τις εξισώσεις των πλευρών ΑΓ και ΒΓ iii) τις συντεταγμένες της κορυφής Β iv) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 37. Δίνονται τα σημεία Α(8,0) και Β(0,4) του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. Α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το μέσο Δ του τμήματος ΑΒ. Β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΔ. 31

35 Γ) Έστω τυχαίο σημείο της παραπάνω ευθείας (ε).να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: MA MB OM (ΘΕΤΙΚΗ ο ΘΕΜΑ) 38. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, εξίσωση της ευθείας ( 1) x( 1) y 3 0 όπου λ πραγματικός αριθμός περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος Φ. α) Nα βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Κ(,),Λ(-1,5) και Μ(1,3).Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ,Λ και Μ. γ) Nα υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκονται πλησιέστερα στην φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ. δ) Nα υπολογίσετε το εμβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. (ΘΕΤΙΚΗ ο ΘΕΜΑ) 39. Δίνεται η εξίσωση x y 6x 9 0 α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες ε1 και ε. β) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε1 και ε είναι κάθετες. γ) Να βρείτε ένα σημείο Μ (κ,λ) με κ>0 και λ>0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα a (3, k ) να είναι παράλληλο προς τη μία από τις δύο ευθείες ε1 και ε και το διάνυσμα ( 16, 4 ) να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία. δ) Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων άξονα συμμετρίας τον άξονα x x και διέρχεται από το σημείο Μ. (ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ο ΘΕΜΑ) 40. Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α(λ 1, 3λ+), Β(1,) και Γ(,3) όπου λir με λ. Α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο IR. Β. Εάν λ=1, να βρείτε: α. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ β. την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ. (3ο 003) 41. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε1 : 3x+4y+6 = 0 και ε : 3x+4y+16=0. A. Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε1 και ε Β. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε1 και ε Γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας ε1 με τον άξονα χ χ και αποκόπτει από την ευθεία ε χορδή μήκους δ=4 3 (4ο 004) 3

36 Κύκλος

37 ΚΥΚΛΟΣ Η εξίσωση του κύκλου 1.Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των κύκλων με εξισώσεις: i) (x-3) +(y-1) = 5 ii) (x + ) + y = 4 iii) x + (y-3) = 5 0 iv) x + y =.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και επιπλέον: i) έχει ακτίνα ίση με 3, ii) διέρχεται από το σημείο Α(- 1,), iii) εφάπτεται της ευθείας ε : y = - 3x Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και επιπλέον: i) έχει ακτίνα ίση με 3, ii) διέρχεται από το σημείο Α(- 1,), iii) εφάπτεται της ευθείας ε : y = - 3x Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(5, - 3) και επιπλέον: i) έχει ακτίνα ίση με 3, ii) διέρχεται από το σημείο Α(-6,8), iii) εφάπτεται της ευθείας ε : x-y+5=0. 5.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις: i) Έχει κέντρο το σημείο Κ(0,1) και διέρχεται από το σημείο Α( 3,0) ii) Έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα Α(-1,) και Β(7,8) iii) Έχει ακτίνα ρ=5 και τέμνει τον άξονα χ χ στα σημεία Α(1,0) και Β(7,0) iv) Διέρχεται από τα σημεία Α(4,0) και Β(8,0) και έχει κέντρο στην ευθεία y=x v) Τέμνει τον άξονα χ χ στα σημεία Α(4,0) και Β(8,0) και τον y y στο Γ(0,) vi) Εφάπτεται του άξονα χ χ στο σημείο Α(3,0) και διέρχεται από το σημείο Β(1,) vii) Διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται στην ευθεία 3x+4y=1 στο Α(0,3) 6.Δίνεται κύκλος C κέντρου Κ ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Α(-,1) και Β(6,5),και το διάνυσμα που έχει συντελεστή διεύθυνσης 3. i) Να βρεθεί την εξίσωση του κύκλου C, ii) Να αποδείξετε ότι το σημείο Γ(,5) ανήκει στον κύκλο C και να βρείτε το αντιδιαμετρικό σημείο 7.Θεωρούμε τον κύκλο C1 που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(4,-3) και τον κύκλο C που έχει διάμετρο ΒΓ με Β(3,) και Γ(-1,4).Να βρείτε: i) τις εξισώσεις των κύκλων C1 και C, ii) τα σημεία τομής των κύκλων C1 και C. 33

38 8.Δίνεται κύκλος με εξίσωση : (x 3) ( y 4) 9. i) Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου ii) Να εξετάσετε ποια από τα σημεία Μ(3,0),Ν(0,-4),Ρ(3,-7) και Σ(1,1) είναι σημεία του κύκλου. iii) Να εξετάσετε αν το σημείο Ο(0,0) είναι εσωτερικό ή εξωτερικό σημείο του κύκλου 9.Δίνεται κύκλος C1 με κέντρο Κ(-,-), ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(-5,-3) και ο κύκλος C με κέντρο Λ(1,4),ο οποίος εφάπτεται στην ευθεία ε : 4x-3y-17=0.Να βρείτε : i) τις εξισώσεις των κύκλων C1 και C, ii) τα κοινά σημεία τομής Β και Γ των κύκλων C1 και C iii) την εξίσωση του κύκλου C3 που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ 10. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει ακτίνα ρ = 10, διέρχεται από το σημείο Α(,1) και το κέντρο του είναι σημείο της ευθείας ε : x-y+1 =0 11.Να αποδείξετε ότι το σημείο Α(,- 5) ανήκει στον κύκλο C : (x-l) + (y + ) = 10 και να βρείτε το αντιδιαμετρικό σημείο Α' του Α. 1.Δίνονται τα σημεία Α(-1,3), Β(3, 5) και Γ(,6). i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΓ και ΒΓ είναι κάθετες. ii) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. 13.Θεωρούμε τον κύκλο C: x + y = 50 και το σημείο Μ(6, -). i) Να αποδείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου C. ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία ορίζει στον κύκλο C χορδή με μέσο Μ. 14.Δίνεται ο κύκλος x +y =10 και το σημείο Μ (-. ). Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει μέσον το σημείο Μ. 15.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-3,1),Β(3,7) και Γ(-1,-5).Να βρείτε : i) τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων των πλευρών ΑΒ και ΑΓ ii) την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. ί x y Ax By : 0 16.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Κ(1, 1),Λ(1, - 1) και Μ(,0). 17.Να βρείτε τι παριστάνουν οι παρακάτω εξισώσεις: i) x + y + 8x - y +1 = 0 ii) x + y -6x+10y+34=0 iii) x + y -4x+y+10 = 0 iv) 9x + 9y +1x-6y+4 = 0 18.Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των κύκλων: α) x +y -10x+y+=0, β) x +y +6x+8=0, γ) x(x-1)+(y+1)(y-3)=0, δ) (x+ y) -y=x(α+y), ε) x +y -4x+1=0, ζ) (x-1) +(y+3) =4. 34

39 19.Δείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των κύκλων αυτών. Μετά να τους γράψετε και με άλλη μορφή. α) x +y +4x-6y-3=0 β) x +y -4αx+10βy+4α +16β =0 0.Να αποδείξετε ότι καθένας από τους κύκλους C1 : x + y -6x-y-15 = 0 και C : x + y + 6y-16 = 0 διέρχεται από το κέντρο του άλλου. 1.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος είναι ομόκεντρος του κύκλου C' : x + y -x + 4y-5 = 0 και : i) έχει διπλάσια ακτίνα από αυτόν, ii) εφάπτεται της ευθείας ε: y = -x + 1, iii) διέρχεται από το σημείο Α (3, 4)..Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περιέχει μία διάμετρο του κύκλου C: x +y +4x-6y-17=0 και είναι κάθετη στην ευθεία (ε): 5x+y=13. 3.Να δειχτεί ότι οι κύκλοι με εξισώσεις : (C1) : x + y + x - 8y + 13 = 0, (C) : 4x + 4y -40x +8y +79 = 0 δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. 4.Να αποδειχτεί ότι οι κύκλοι : (C 1 ) : x + y -x -4y +1 =0, (C ) : x + y -4x -y -5 =0 τέμνονται και ότι η κοινή χορδή τους είναι κάθετη στη διάκεντρο τους. 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση x + y + 10x - 6y + 3λ - = 0 παριστάνει κύκλο. 6. Να βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση x + y + λx-y-λ+1=0 παριστάνει κύκλο, του οποίου το κέντρο ανήκει στην ευθεία ε: x- y = 3. 7.Δίνονται η εξίσωση : x y x ( ) y 1 0 (1) i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ϵr, ii) Να βρείτε για ποια τιμή του λ ϵr,το κέντρο του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση (1) ανήκει στην ευθεία ε: x-5y-8=0. iii) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ϵr,η ακτίνα του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση (1) είναι ίση με 5 8.Δίνονται η εξίσωση : x y ( 1) x (3 ) y 1 0 (1) i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λϵr, ii) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η εξίσωση (1) για τις διάφορες τιμές του λϵr ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση iii) Να βρείτε για ποιες τιμές του λϵr ο κύκλος που παριστάνει η εξίσωση (1) έχει ακτίνα ίση με 4 9.Δίνεται η εξίσωση : x y x ( ) y 7 0 (1) α) Nα βρείτε για ποιες τιμές του λ ϵr η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο β) Έστω ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο C του οποίου το κέντρο Κ απέχει από την ευθεία ε : 3x+4y+5=0 απόσταση ίση με 5.Να βρείτε 35

40 i) τον αριθμό λ ii) την εξίσωση του κύκλου C1 που είναι ομόκεντρος με τον κύκλο C και διέρχεται από το σημείο Α(-5,) 30.Δίνεται η εξίσωση : ( x 1) ( y 3) 0 (3x y 10) 0 (1) α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λϵr β) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι που παριστάνει η εξίσωση (1) για τις διάφορες τιμές του λϵr διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β τα οποία και να βρείτε. γ) Έστω ότι το κέντρο Κ του κύκλου C που παριστάνει η εξίσωση (1) ανήκει στην ευθεία ζ: x+y+8=0.να βρείτε i) τον αριθμό λ ii) τo εμβαδόν του τριγώνου AKB. Εφαπτόμενες κύκλου 31.Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x +y = η οποία: 6 α) Διέρχεται από το σημείο Α(, ) β) Διέρχεται από το σημείο Β(,0) γ) Διέρχεται από το σημείο Γ(0,- ) δ) Σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία 45 0 ε) Είναι κάθετη στην ευθεία x+y+=0 στ) Διέρχεται από το σημείο Δ(,0) 3.Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης : α) του κύκλου (x-) +(y+1) =4 στο σημείο του Α(4,-1) β) του κύκλου x +y +x-6y+5=0 που διέρχεται από το σημείο Β(-4,4) γ) του κύκλου (x-) +(y+1) =5 που είναι παράλληλη στην ευθεία y=x+5 33.i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C : x + y = 5 στο σημείο του Α(-,1). ii) Ομοίως αν C : x + y = 1 και Α(συνθ, -ημθ). iii) Ομοίως αν C : x + y = 9 και Α(-3, 0). 34.Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου C: x +y +x-6y+1=0, στο σημείο του A (, 3). 35.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C: x +y + x- 10y+l = 0 στο σημείο του Α(3,). 36.Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = x - 4 εφάπτεται του κύκλου C : x +y - 4x + = 0 και να βρείτε το σημείο επαφής. 37.Δίνεται ο κύκλος (x-3) +(y-) =5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Α (-1, 5). Να δείξετε ότι η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου, x +y +x-8=0. 38.Δίνεται ο κύκλος C με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=5.να βρείτε : i) την εξίσωση του κύκλου C ii) τις εφαπτομένες του κύκλου C στα σημεία του Α(3,-4),Β(0,5) και Γ(-5,0) 36