Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Διερεύνηση βέλτιστου ελέγχου σε τροχοφόρο μοντέλο με ημιενεργές αναρτήσεις μαγνετορεολογικού τύπου. Όνομα: Αναστάσιος Νατσάκης ΑΕΜ: 4264 Έτος: 2009-2010

Εισαγωγή Η παρούσα εργασία αποτελεί την μελέτη ενός μοντέλου αυτοκινήτου, το οποίο χρησιμοποιεί την τεχνολογία των ημι-ενεργών αποσβεστήρων κραδασμών. Οι εν λόγω αποσβεστήρες δεν διαφέρουν στην βάση της λειτουργίας από τους συνηθισμένους αποσβεστήρες (παθητικούς), δηλαδή λειτουργούν εκμεταλλευόμενοι το ιξώδες ενός ρευστού για να απορροφούν τυχόν κραδασμούς κατά τη λειτουργία του αυτοκινήτου. Η διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι το ιξώδες στην προκειμένη περίπτωση δεν είναι σταθερό, αλλά ελεγχόμενο. Για να επιτευχθεί αυτό χρησιμοποιούνται ρευστά των οποίων το ιξώδες εξαρτάται είτε από το ηλεκτρικό ρεύμα που τα διαπερνά (ηλεκτρορεολογικά) είτε από το μαγνητικό πεδίο που αναπτύσσεται γύρω τους (μαγνετορεολογικά). Στην παρούσα εργασία μελετήθηκαν αποσβεστήρες που χρησιμοποιούν μαγνετορεολογικά ρευστά, αλλά οι ίδιοι υπολογισμοί μπορούν να επαναληφθούν για οποιοδήποτε διαφορετικό ημι-ενεργό αποσβεστήρα. Το μοντέλο που μελετήθηκε παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα: Εικόνα 1 Πλήρες μοντέλο αυτοκινήτου. Οι αποσβεστήρες τοποθετούνται παράλληλα με τα ελατήρια και είναι τα σημεία όπου εφαρμόζεται η ελεγχόμενη δύναμη για να επιτευχθεί ο απαιτούμενος έλεγχος. Στο κάτω σημείο της ρόδας του αυτοκινήτου υπάρχουν οι διαταραχές του συστήματος, που θα αποτελέσουν και τις εισόδους.

Κατάστρωση εξισώσεων Οι εξισώσεις που περιγράφουν το σύστημα μας είναι οι εξής: z g = -f s1 -f s2 -f s3 -f s4 -F MR1 - F MR2 -F MR3 - F MR4 J θ = af s1 + af s2 -bf s3 - bf s4 + af MR1 + af MR2 - bf MR3 - bf MR4 J φ = -cf s1 + df s2 - cf s3 + df s4 - cf MR1 + df MR2 - cf MR3 - df MR4 m 1 us1 = f s1 -f t1 + F MR1 m 2 us2 = f s2 -f t2 + F MR2 m 3 us3 = f s3 -f t3 + F MR3 m 4 us4 = f s4 -f t4 + F MR4 όπου: f si = k si (z si - z usi ) + c si ( si - usi) (i = 1,2,3,4) f ti = k ti (z usi - z i ) z s1 = z g - aθ + cφ z s2 = z g - aθ - dφ z s3 = z g + bθ + cφ z s4 = z g + bθ - dφ Συμπίνοντας το σύστημα με την χρήση πινάκων προκύπτει τελικά η εξής εξίσωση: Όπου Μ είναι το μητρώο μάζας του συστήματος, C το μητρώο απόσβεσης, K το μητρώο στιβαρότητας, F u το μητρώο των δράσεων, F w το μητρώο των διαταραχών, q το διάνυσμα των μετατοπίσεων q=[z g θ φ z us1 z us2 z us3 z us4 ] T, u(t) το διάνυσμα των δράσεων u=[f MR1 F MR2 F MR3 F MR4 ] T και w(t) το διάνυσμα των διαταραχών w=[ft1 ft2 ft3 ft4] T. Τα μητρώα αυτά παρουσιάζονται στο παράρτημα αναλυτικότερα. Για να μελετηθεί το σύστημα μας, μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις σε ένα σύστημα καταστάσεων. Για να γίνει αυτό ορίζουμε το διάνυσμα x=[q ] T (που είναι το διάνυσμα καταστάσεων), το διάνυσμα v=[f u f w ] T (που είναι το διάνυσμα δράσεων) και το διάνυσμα y=[x] (που είναι το διάνυσμα των εξόδων μας). Έτσι το σύστημα μας μετασχηματίζεται στο εξής:

Όπου,, και Έτσι έχουμε σαν καταστάσεις την θέση και την ταχύτητα του συστήματος, και σας έξοδο την θέση. Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση sys του Matlab, μπορούμε εύκολα να δημιουργήσουμε ένα σύστημα καταστάσεων με τις προδιαγραφές του μοντέλου μας. Matlab και Μpctool Το επόμενο βήμα, αφού εισάγουμε το μοντέλο μας στο πεδίο των καταστάσεων στο λογισμικό Matlab, είναι να ορίσουμε τον κατάλληλο για εμάς ελεγκτή ώστε να επιτύχουμε ελαχιστοποίηση των κραδασμών που μεταδίδονται από το οδόστρωμα στον οδηγό και τους επιβάτες. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε την μέθοδο του ελέγχου πρόβλεψης μοντέλου (model predictive control), όπου ο ελεγκτής, χωρίς να έχει ακριβή επίγνωση του μοντέλου προσπαθεί να μαντέψει την συμπεριφορά του συστήματος σε γνωστές ή άγνωστες διαταραχές και χρησιμοποιώντας τις δράσεις να ελέγξει το σύστημα. Για να γίνει πιο εύκολος ο υπολογισμός του ελεγκτή, χρησιμοποιούμε το εξειδικευμένο υποπρόγραμμα του Matlab ΜPCtool, το οποίο υπολογίζει αυτόματα έναν ελεγκτή με την μέθοδο του mpc (model predictive control), και επιτρέπει στον χρήστη να αλλάζει τις παραμέτρους ελέγχου ώστε να βελτιστοποιεί την αποτελεσματικότητα του. Η οθόνη εισαγωγής του μοντέλου μας στο mpctool παρουσιάζεται παρακάτω:

Εικόνα 2 Οθόνη εισαγωγής μοντέλου στο mpctool Όπως φαίνεται και παρακάτω, εισάγουμε το μοντέλο sys που δημιουργήσαμε προηγουμένως στο matlab, του οποίου οι παράμετροι παρουσιάζονται αναλυτικά στο πεδίο ιδιοτήτων του παραθύρου (properties). Αφού γίνει η εισαγωγή, θα πρέπει να διαλέξει ο χρήστης ποια κανάλια εισόδου είναι οι άγνωστες(ή γνωστες) διαταραχές, και ποια οι δράσεις που θα ελέγχει ο ελεγκτής. Εικόνα 3 Προσδιορισμός γνωστών ή αγνώστων διαταραχών και δράσεων

Για το μοντέλο μας, έγιναν 2 διαφορετικές μελέτες: 1 στην οποία οι διαταραχές δεν ήταν μετρούμενες και μία για την οποία οι διαταραχές ήταν μετρούμενες και άρα γνωστές στον ελεγκτή. Οι 2 αυτές μελέτες έγιναν ώστε να διαπιστωθεί κατά πόσο η μέτρηση ή όχι των διαταραχών μπορεί να έχει διαφορετική επιρροή στην αποτελεσματικότητα του ελεγκτή μας. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στις 2 επόμενες παραγράφους. Μη μετρήσιμες διαταραχές στους τροχούς του οχήματος Στην πρώτη περίπτωση επιλέξαμε οι διαταραχές να μην είναι μετρήσιμες και άρα γνωστές στον ελεγκτή μας. Αυτό δυσχεραίνει το έργο του καθώς δίνει λιγότερες πληροφορίες για την κατάσταση που επικρατεί σε αυτό. Παρ όλ αυτά όμως, με την μέθοδο της πρόβλεψης μοντέλου, αυτό μπορεί να απαλειφθεί μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, καθώς ο ελεγκτής μαθαίνει για το σύστημα από τις πληροφορίες που του είναι διαθέσιμες. Για να κάνουμε τις δοκιμές μας, ορίζουμε αρχικά τον ελεγκτή μας και προσδιορίζουμε τις ιδιότητες του. Αρχικά πρέπει να εισάγουμε τον ρυθμό ελέγχου (κάθε πόσες χρονικές στιγμές θα υπάρχει δράση από τον ελεγκτή), καθώς και τον ορίζοντα πρόβλεψης και ελέγχου του ελεγκτή. Σαν αρχικές τιμές εισάγουμε t=0.1 για τον ρυθμό ελέγχου, 10 περιόδους για τον ορίζοντα πρόβλεψης και 2 περιόδους για τον ορίζοντα ελέγχου.

Εικόνα 4 Οδηγός ορισμού ιδιοτήτων ελεγκτή Έπειτα πρέπει να ορίσουμε το βάρος της κάθε εξόδου, δηλαδή το πόσο θα επηρεάζει η κάθε έξοδος την αντικειμενική συνάρτηση κόστους, κάτι που έχει να κάνει με το ποιες εξόδους θεωρούμε πιο σημαντικές. Αρχικά θέτουμε όλα τα βάρη ίσα με τη μονάδα, και άρα όλες τις εξόδους εξίσου σημαντικές. Τέλος πρέπει να ορίσουμε το πόσο γρήγορα θα εκτιμάει ο ελεγκτής το μοντέλο και πόσο σημαντικό θα το θεωρεί ώστε να το λαμβάνει υπ όψιν του για τους υπολογισμούς. Εικόνα 5 Ορισμός 'βάρους' εκτίμησης μοντέλου

Στους αρχικούς μας υπολογισμούς αυτή η βαρύτητα την θέτουμε στο 0.5, δίνοντας της όχι και τόσο σημαντικής θέσης στους υπολογισμούς μας. Όταν τελειώσουμε με τον ορισμό των ιδιοτήτων του ελεγκτή μας, είμαστε έτοιμοι να αρχίσουμε με τις εξομοιώσεις και τις δοκιμές. Ο πρώτος έλεγχος που έγινε στο σύστημα μας, είναι η περίπτωση μίας βηματικής αλλαγής στην μετατόπιση ενός από τους τέσσερεις τροχούς. Η αλλαγή αυτή γίνεται στο χρόνο 0 και είναι στιγμιαία. Στα αποτελέσματα εμφανίζονται οι μεταβολές των καταστάσεων συναρτήσει του χρόνου. Εικόνα 6 Απόκριση συστήματος σε βηματική μεταβολή της μετατόπισης ενός τροχού Όπως φαίνεται και από τα αποτελέσματα του διαγράμματος, η απόκριση του συστήματος δεν είναι ιδιαίτερα γρήγορη, καθώς ταλαντώνεται για πάρα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα (800sec!). Οπότε είναι εμφανές ότι η βελτίωση του ελεγκτή μας είναι μάλλον αναγκαία. Για να βελτιώσουμε την συμπεριφορά του ελεγκτή, αρχικά προσδιορίζουμε τις εξόδους που θεωρούμε ως πιο σημαντικές για βελτιστοποίηση. Όπως είναι λογικό, ο σκοπός μας είναι να ελαχιστοποιήσουμε τις ταλαντώσεις που γίνονται κύριο μέρος του αυτοκινήτου μας και πιο συγκεκριμένα αυτές που γίνονται στην διεύθυνση z και στις διευθύνσεις θ και φ (roll και pitch του αυτοκινήτου). Από τις τρείς αυτές διευθύνσεις, μεγαλύτερο πρόβλημα παρουσιάζεται στην τρίτη (roll), και άρα εκεί θα επικεντρωθούν οι προσπάθειές μας. Αυξάνοντας τον συντελεστή βαρύτητας του συγκεκριμένης εξόδου (κάνοντας την δηλαδή να προσθέτει περισσότερο κόστος στην συνάρτηση κόστους, από τις υπόλοιπες εξόδους), εμφανίζεται πολύ σημαντική βελτίωση στην συμπεριφορά του μοντέλου μας:

Εικόνα 7 Απόκριση συστήματος με 10πλάσιο βάρος στην 3ή έξοδο (roll) Όπως είναι εμφανές και από το παραπάνω διάγραμμα, σταθερή τελική κατάσταση επιτυγχάνεται στο 10% του χρόνου που απαιτούνταν με την προηγούμενη ρύθμιση. Επιπλέον η απόκλιση από την αρχική τιμή είναι ελαφρώς μικρότερη (στην προηγούμενη περίπτωση ήταν 3*10-4 ενώ τώρα είναι στο 2*10-4 ). Συγχρόνως όμως, δεν μειώθηκε η αποτελεσματικότητα του ελεγκτή στις αποκρίσεις των υπολοίπων διευθύνσεων. Συνεπώς πετύχαμε μια πολύ σημαντική βελτίωση του ελεγκτή μας, αλλάζοντας μονάχα μία παράμετρο. Πώς όμως μπορεί να βελτιωθεί η απόκριση ακόμη περισσότερο; Κάνοντας δοκιμές, δοκιμάζουμε να αυξήσουμε την βαρύτητα και των υπολοίπων σημαντικών εξόδων (z και θ), όμως δεν υπάρχει καμία αξιοσημείωτη βελτίωση στην απόδοση. Το παρακάτω διάγραμμα παρουσιάζει την απόκριση του ελεγκτή όταν έχουμε 10πλασιάσει την αρχική βαρύτητα και των 3ών σημαντικών εξόδων.

Συνεπώς, περαιτέρω αύξηση της βαρύτητας δεν είναι πιθανόν να μας δώσει καλύτερα αποτελέσματα. Γι αυτό μελετούμε πως επιδρούν άλλοι παράγοντες. Ένας από αυτούς είναι η επίδραση της πρόβλεψης του μοντέλου από τον ελεγκτή. Ένας ελεγκτής που λειτουργεί με την μέθοδο του model predictive control, προβλέπει την απόκριση του μοντέλου σε κάθε επανάληψη και υπολογίζει δράσεις που θα του επιφέρουν την επιθυμούμενη τροχιά. Αυτό δεν γίνεται μόνο για μία περίοδο, αλλά για πολλές, δηλαδή μπορεί ο ελεγκτής να προβλέψει την απόκριση του μοντέλου για 10 περιόδους, και να υπολογίσει τις απαιτούμενες βέλτιστες δράσεις για 5 περιόδους. Παρακάτω παρουσιάζεται η επίδραση αυτών των παραμέτρων. Σε αυτό το σημείο παρουσιάζεται η επίδραση του βάρους που έχει η εκτίμηση για το μοντέλο που έχει ο ελεγκτής. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω διάγραμμα, το βάρος αυτής της εκτίμησης παίζει σημαντικό ρόλο, ιδίως για ένα μοντέλο όπως το δικό μας, το οποίο δεν δέχεται ιδιαίτερες διαταραχές. Η απόκριση του συστήματος βελτιώνεται κατά πάρα πολύ, σε σχέση με την αρχική μας απόπειρα, και αυτό χωρίς να εισάγουμε κάποιο επιπλέον βάρος σε κάποια από τις εξόδους. Ο λόγος για τον οποίο ο ελεγκτής κάνει καλύτερη δουλειά σε αυτή την περίπτωση είναι επειδή το μοντέλο είναι απλό και χωρίς πολλές διαταραχές, και άρα μπορεί να προβλεφθεί πολύ εύκολα από τον ελεγκτή. Άρα όσο πιο σημαντικό ρόλο παίζει στον έλεγχο η εκτίμηση του μοντέλου, τόσο πιο γρήγορη θα είναι η απόκριση του όλου συστήματος.

Φυσικά για να δούμε πραγματικά την αποτελεσματικότητα του ελεγκτή, θα πρέπει να γίνουν και άλλες δοκιμές, πέραν της βηματικής αλλαγής στην θέση ενός τροχού. Γι αυτό κάνουμε παρόμοιες δοκιμές και για ημιτονοειδείς μεταβολές, που είναι αρκετά συνηθισμένες κατά τη διάρκεια λειτουργίας αυτοκινήτων. Αρχικά παρουσιάζεται η απόκριση του συστήματος με τις αρχικές ρυθμίσεις του ελεγκτή:

Η απόκριση όπως φαίνεται δεν είναι ιδιαίτερα καλή, καθώς επικρατεί μόνιμη ταλάντωση στο σύστημα μας, χωρίς αυτή να αποσβήνει γρήγορα (αν και είναι μικρή σε εύρος ταλάντωσης). Και σε αυτή την περίπτωση, κάνουμε δοκιμές, και η πρώτη δοκιμή είναι να αυξήσουμε την βαρύτητα που έχει στην αντικειμενική συνάρτηση κόστους, η απόκριση της 3ης εξόδου. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα των αποκρίσεων των καταστάσεων. Είναι εμφανές ότι η συμπεριφορά του συστήματος βελτιώνεται σημαντικότατα, καθώς οι ταλαντώσεις στην διεύθυνση φ απαλείφονται πολύ γρήγορα (σχετικά) και επέρχεται πλήρης ηρεμία στο σύστημα για την εν λόγω έξοδο. Παρατηρούμε ότι η απόκριση του συστήματος για τις υπόλοιπες εξόδους δεν αλλάζει καθόλου.

Τέλος δοκιμάζεται να αυξηθεί η επίδραση της εκτίμησης του μοντέλου, κάτι που δεν επιφέρει σημαντικές βελτιώσεις στην απόκριση του συστήματος, απεναντίας επιφέρει κάποιες παραμένουσες ταλαντώσεις στο σύστημα οι οποίες έχουν πολύ μικρό εύρος και μεγάλη συχνότητα (θόρυβος).

Συνεπώς, εξάγεται το συμπέρασμα ότι το καλύτερο που μπορεί να γίνει από άποψη ελέγχου είναι να αυξηθεί η βαρύτητα της εκάστοτε κατάστασης που μας ενδιαφέρει, ώστε να προσπαθεί ο ελεγκτής να την ισορροπήσει όσο το δυνατόν πιο γρήγορα. Mετρήσιμες διαταραχές στους τροχούς του οχήματος Συνήθως, σε τέτοιου είδους μοντέλα, οι εξωτερικές διαταραχές δεν είναι γνωστές, και ούτε καν μετρήσιμες. Παρ όλ αυτά έγινε μία διερεύνηση ώστε να συμπεραίνουμε κατά πόσο η μέτρηση ή όχι των εξωτερικών διαταραχών είναι σημαντική. Εκ πρώτης όψεως, η μέτρηση αυτή θα πρέπει να προκύπτει ιδιαίτερα σημαντική, καθώς προσθέτει επιπλέον γνώση στον ελεγκτή για το σύστημα μας, και άρα δύναται αυτός να κάνει καλύτερο έλεγχο. Τι γίνεται όμως στην πράξη; Αρχικά μελετούμε το σύστημα υπό τις αρχικές συνθήκες του ελεγκτή, δηλαδή μοναδιαίες βαρύτητες επίδρασης και τις αρχικές τιμές για τους ορίζοντες ελέγχου και δράσεων του ελεγκτή. Τα αποτελέσματα σε βηματική αλλαγή παρουσιάζονται στο παρακάτω διάγραμμα. Τα αποτελέσματα δεν εμφανίζουν σημαντικές διαφορές σε αυτή την περίπτωση σε σχέση με εκείνα για το μοντέλο όπου οι διαταραχές δεν ήταν μετρήσιμες. Δίνοντας περισσότερο έμφαση όμως σε μία από τις 3 σημαντικές καταστάσεις (στην διεύθυνση φ), παρατηρούμε ότι η απόκριση βελτιώνεται σε πάρα πολύ μεγάλο βαθμό σε σχέση με την αντίστοιχη αλλαγή στο προηγούμενο μοντέλο (10πλάσιο βάρος).

Η απόκριση της μετατόπισης γίνεται όχι μόνο πιο γρήγορη, αλλά και πιο σταθερή, δηλαδή είναι η τελική της τιμή πιο κοντά στην αρχική μηδενική τιμή. Κάνοντας διαφορετικές εξομοιώσεις με διαφορετικού τύπου εισόδους έχουμε και πάλι καλύτερα αποτελέσματα από το προηγούμενο μοντέλο.

Ως παράδειγμα έχουμε την ημιτονοειδή είσοδο σε έναν από τους 4 τροχούς. Το σύστημα φαίνεται να αποσβήνει σε πολύ μεγάλο τις εξωτερικές διαταραχές, και ιδιαίτερα στον βαθμό ελευθερίας όπου δώσαμε βάρος κατά τον προγραμματισμό του ελεγκτή. Περεταίρω βελτίωση της απόκρισης του συστήματος φαίνεται να υπάρχει με αύξηση των οριζόντων πρόβλεψης και δράσης (από 10 σε 50 περιόδους για τον ορίζοντα πρόβλεψης και από 2 σε 20 για τον ορίζοντα δράσης). Ο λόγος είναι ότι ο ελεγκτής μπορεί έτσι να προβλέψει τυχόν αντίστροφες αντιδράσεις της δράσεως σε μετέπειτα χρονικές στιγμές, και έτσι να καθορίσει καλύτερες δράσεις ώστε να επιτευχθεί βέλτιστος έλεγχος. Τα αποτελέσματα της απόκρισης εμφανίζονται στο παρακάτω διάγραμμα, όπου είναι εμφανές ότι το εύρος της ταλάντωσης μειώθηκε κατά 1 τάξη μεγέθους και στους 3 σημαντικούς βαθμούς ελευθερίας.

Ο τελευταίος έλεγχος που μπορούμε να κάνουμε για να πιστοποιήσουμε την καλή ποιότητα του ελεγκτή μας, είναι να ορίσουμε στο σύστημα μην προβλέψιμες (και άρα πιο κοντά στην πραγματικότητα) διαταραχές στις εισόδους. Το εργαλείο του matlab mpctool μας δίνει τη δυνατότητα να εισάγουμε Gaussian διαταραχές με δεδομένη μέση τιμή και μεταβλητότητα. Εισάγοντας λοιπόν τέτοιες διαταραχές στο μοντέλο μας, και για τις αρχικές τιμές του ελεγκτή προκύπτουν οι εξής αποκρίσεις.

Από τη στιγμή που εισάγουμε χαοτική διαταραχή στο σύστημα, είναι επόμενο να έχουμε και χαοτικές αποκρίσεις σε όλες τις διευθύνσεις. Όπως φαίνεται όμως, οι αποκρίσεις αυτές είναι αρκετά μικρές σε σχέση με τις εισόδους και σε σχέση με τις αποκρίσεις στις προηγούμενες περιπτώσεις. Αυτό μας δείχνει ότι ο ελεγκτής μας είναι αρκετά ικανός να αποσβέσει και τυχαίες διαταραχές. Προσπαθώντας να βελτιώσουμε την απόκριση του συστήματος, ορίζουμε ένα μεγαλύτερο βάρος σε έναν από τους 3 σημαντικούς βαθμούς ελευθερίας, και συγκεκριμένα σε αυτόν για τον οποίο έχουμε μεγαλύτερη διαταραχή (βαθμός φ/roll). Αυξάνοντας την βαρύτητα αυτής της εξόδου έχουμε πολύ σημαντική βελτίωση της απόκρισης και στους 3 βαθμούς, όπως φαίνεται και στο παρακάτω διάγραμμα.

Το εύρος της ταλάντωσης μειώθηκε κατά 3 τάξεις μεγέθους για τον επιδιωκόμενο βαθμό, ενώ για τους άλλους δύο παρέμεινε σταθερό. Τέλος, εάν θέλουμε να διερευνήσουμε την επίδραση τον 2 οριζόντων του ελεγκτή, μπορούμε να κάνουμε και μία τελευταία δοκιμή αυξάνοντας τους 2 ορίζοντες όπως και στην προηγούμενη περίπτωση. Παρ όλ αυτά όμως, παρά τη σημαντική αύξηση των οριζόντων, η απόκριση δεν παρουσιάζει καμία ιδιαίτερη βελτίωση ως προς το εύρος ταλάντωσης των 3 σημαντικών βαθμών ελευθερίας.

Συμπεράσματα Αναλύοντας τα παραπάνω διαγράμματα, μπορεί κάποιος εύκολα να συμπεράνει ότι η σημαντικότητα των παραμέτρων έχει να κάνει και με τον τύπο των διαταραχών που πρέπει να αντιμετωπίσει ο ελεγκτής. Εξάλλου είναι γνωστό ότι κανένας ελεγκτής δεν είναι ικανός να αντιδράσει τέλεια σε όλες τις περιπτώσεις, αλλά είναι φτιαγμένος για μερικές περιπτώσεις. Συνεπώς αντιλαμβανόμαστε ότι πολύ μεγάλο ρόλο παίζει η μέτρηση ή όχι των εξωτερικών διαταραχών, καθώς και ο συντελεστής βαρύτητας που ορίζουμε σε κάθε βαθμό ελευθερίας. Οι ορίζοντες πρόβλεψης και δράσης δεν είναι ιδιαίτερα σημαντικοί, ειδικά σε περιπτώσεις όπου οι διαταραχές δεν είναι σταθερές, καθώς ο ελεγκτής δεν μπορεί να μαντέψει την φύση του μοντέλου και να βγάλει συμπεράσματα για το πώς θα αντιδράσει σε επόμενες διαταραχές και δράσεις. Τέλος ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο παίζει η βαρύτητα της εκτίμησης του μοντέλου από τον ελεγκτή, αλλά και πάλι κυρίως όταν το μοντέλο υπόκειται σε σταθερές διαταραχές, ή περιοδικά επαναλαμβανόμενες (π.χ. ημιτονοειδείς)

Παράρτημα 1 - Εξισώσεις-Μητρώα-Τιμές Παρουσιάζεται το πρόγραμμα που εισάγεται στο matlab ώστε να ορίσουμε το σύστημα μας. Mg=39600; m1=470; m2=470; m3=400; m4=400; Jth=88500; Jphi=2460000; Ks1=372400; Ks2=372400; Ks3=196000; Ks4=196000; Cs1=16950; Cs2=16950; Cs3=16950; Cs4=16950; Kt1=2000000; Kt2=2000000; Kt3=2000000; Kt4=2000000; a=1.5; b=1.5; c=0.5; d=0.5; Ap=0.000707; Ar=0.000254; Lm=0.04; hm=0.001; apar=0.083; Mmat=[Mg 0 0 0 Jth 0 0 0 Jphi 0 0 0 m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 0 0 0 m4]; Kmat=[Ks1+Ks2+Ks3+Ks4 -a*ks1-a*ks2+b*ks3+b*ks4 c*ks1-d*ks2+c*ks3- d*ks4 -Ks1 -Ks2 -Ks3 -Ks4 -a*(ks1+ks2)+b*(ks3+ks4) a^2*(ks1+ks2)+b^2*(ks3+ks4) -a*(c*ks1- d*ks2)+b*(c*ks3-d*ks4) a*ks1 a*ks2 -b*ks3 -b*ks4 c*(ks1+ks3)-d*(ks2+ks4) c*(a*ks1+b*ks3)-d*(a*ks2+b*ks4) c^2*(ks1+ks3)-d^2*(ks2+ks4) c*ks1 -d*ks2 c*ks3 -d*ks4 -Ks1 a*ks1 -c*ks1 Ks1+Kt1 0 0 0 -Ks2 a*ks2 d*ks2 0 Ks2+Kt2 0 0 -Ks3 -b*ks3 -c*ks3 0 0 Ks3+Kt3 0 -Ks4 -b*ks4 d*ks4 0 0 0 Ks4+Kt4]; Cmat=[Cs1+Cs2+Cs3+Cs4 -a*cs1-a*cs2+b*cs3+b*cs4 c*cs1-d*cs2+c*cs3- d*cs4 -Cs1 -Cs2 -Cs3 -Cs4 -a*(cs1+cs2)+b*(cs3+cs4) a^2*(cs1+cs2)+b^2*(cs3+cs4) -a*(c*cs1- d*cs2)+b*(c*cs3-d*cs4) a*cs1 a*cs2 -b*cs3 -b*cs4 c*(cs1+cs3)-d*(cs2+cs4) c*(a*cs1+b*cs3)-d*(a*cs2+b*cs4) c^2*(cs1+cs3)-d^2*(cs2+cs4) c*cs1 -d*cs2 c*cs3 -d*cs4 -Cs1 a*cs1 -c*cs1 Cs1 0 0 0 -Cs2 a*cs2 d*cs2 0 Cs2 0 0 -Cs3 -b*cs3 -c*cs3 0 0 Cs3 0 -Cs4 -b*cs4 d*cs4 0 0 0 Cs4];

Fumat=400*(Ap-Ar)*2*Lm/hm*apar*[-1-1 -1-1 -a -a b b c -d c -d 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1]; Fwmat=[ Kt1 0 0 0 0 Kt2 0 0 0 0 Kt3 0 0 0 0 Kt4]; Amat=[ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 -inv(mmat)*kmat -inv(mmat)*cmat]; Bmat=[ inv(mmat)*fumat]; Gmat=[ inv(mmat)*fwmat]; Bmat2=[Bmat Gmat]; Comat=[1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0]; Dmat=[inv(Mmat)*Fumat]; Hmat=[inv(Mmat)*Fwmat]; Dmat2=[Dmat Hmat]; sys=ss(amat,bmat2,comat,0);