Εαρινό εξάμηνο 2011 23.03.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
al Khwārizmī ā ī (780 850) Ιράκ
Kitāb al Jam wa l tafrīq bi ḥisāb al Hind (λατινικά Dixitalgorizm) ~825
الكتابwa'l muqabala al Kitab al mukhtasar fi hisab al jabr 830~ المختصر في حساب الجبر والمقابلة al-jabr: αποκατάσταση συμπλήρωση Mugabala: ελάττωση---εξισορρόπηση
Χάρτης του al-kwarizmi (και γεωγράφος)
Ποιό πρέπει να είναι το τετράγωνο που όταν το προσθέσεις σε 10 από τις ρίζες του θα γίνει 39? ιαιρείς τον αριθμό των ριζών και παίρνεις 5 αυτό το πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του και το γινόμενο είναι 25 προσθέτεις σε αυτό 39 το αποτέλεσμα είναι 64 παίρνεις της ρίζα του που είναι 8 αφαιρείς το μισό του αριθμού των ριζών που είναι 5, το υπόλοιπο είναι 3. Αυτή είναι η ρίζα που ζητούσες.
(Ρητορική προσέγγιση.) Πλήρωση του τετραγώνου: (απόδειξη ) 1. Φτιάχνουμε τετράγωνο με ακμή x 2. Προσθέτουμε τα ορθογώνια παραλληλόγραμμο, με μήκος x και πλάτος 5/2. Συνολικό εμβαδό 3. Ολοκληρώνουμε σε τετράγωνο προσθέτοντας 4 τετραγωνάκια με ακμή 5/2. Το μεγάλο μγ τετράγωνο έχει εμβαδόν Άρα το μεγάλο τετράγωνο έχει ακμή 8. Αφαιρούμε τις ακμές των δύο μικρών τετραγώνων, δηλ. 5 και βρίσκουμε x=3.
2. Προσθέτουμε τα ορθογώνια παραλληλόγραμμο, με μήκος x και πλάτος b/4. Συνολικό εμβαδό 3. Ολοκληρώνουμε σε τετράγωνο προσθέτοντας 4 τετραγωνάκια με ακμή b/4. Το μεγάλο τετράγωνο έχει εμβαδόν άρα και η λύση που ψάχνουμε είναι
είναι ειδική μορφή πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού 2. Για κάθε άλλη μορφή δίνεται διαφορετική λύση και απόδειξη. Στις μορφές αυτές ο al-kwarizmi δεν δέχεται αρνητικούς συντελεστές. Επίσης οι λύσεις πρέπει να είναι θετικές, ενώ το 0 δεν είναι λύση. Για τη λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης της μορφής χρησιμοποιεί την παρακάτω γεωμετρική κατασκευή. ABNH=c, ΗC=b, ΗG=b/2, KT=b/2
Ινδο-Αραβικό αριθμητικό σύστημα
Adam Riez (1525) Τυπωμένη έκδοση για εμπόρους
Aryabhata (476 550 μ.χ.) (μικρό απόσπασμα από τα Μαθηματικά στην Ινδία» Το βιβλίο του «Aryabhatiya» είναι σε μαθηματικά (αριθμητική, άλγεβρα, τριγωνομετρία, σφαιρική τριγωνομετρία, δευτεροβάθμιες εξισώσεις, συνεχή κλάσματα, αριθμητικές σειρές, πίνακες ημιτόνων ) και αστρονομία.
Το μηδέν και η ιστορία του Το μηδέν ως ψηφίο και ως αριθμός: κεντρική Αμερική ~ 36 π.χ. (ψηφίο) Πτολεμαίος ~130 μ.χ. (ψηφίο +αριθμός) Ινδία ~ 460 μ.χ. (δεκαδική βάση+ σύστημα θέσης+κωδικοποιημένη μορφή 10 ψηφίων) al Κwarizmi ~825 Ευρώπη 12 ο αιώνα (όπως και τα άλλα Ινδο αραβικά σύμβολα με το Liber abaci (δεν υπάρχει χρόνος 0) ερώτηση: ποια είναι η ημερομηνία της πρώτης μέρας της τρίτης χιλιετίας? (1 η Ιανουαρίου του 2000 ή του 2001?)
Κλαύδιος Πτολεμαίος (85 165) Αλεξάνδρεια «Η μεγάλη σύνταξις της Αστρονομίας γνωστή ως η «Μεγίστη» και από τα Αραβικά ως «almagest». (τριγωνομετρικοί πίνακες+ιππαρχος) 360 ο μοίρες για τον κύκλο «Γεωγραφία» (μήκος και πλάτος) και ο Κολόμβος
Leonardo Fibonacci i 1170-12501250 Γιός του Βonaccio Ινδοαραβικά ψηφία και ύση
Liber abaci (1202)
Liber abaci (το βιβλίο των υπολογισμών) (0 9 + σύστημα θέσης)
Η ακολουθία του Fibonacci σχηματίζεται από το εξής πρόβλημα, (Liber Abaci) : «πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε σε ένα χρόνο, αν ξεκινήσουμε με ένα ζευγάρι, και αν κάθε μήνα το κάθε ζευγάρι γεννά ένα καινούριο, που αρχίζει να αποκτά δικούς του απογόνους από το δεύτερο μήνα και μετά?» 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... Τρίγωνο του Pascal+ ακολουθία Fibonaccii
Ακολουθία του Fibonacci και η χρυσή τομή
Ηλιοτρόπιο + ακολουθίες Fibonacci: σπείρες13 και 21
Omar Khayyam (Περσία) (1048 1131)
Αν D είναι το σημείο τομής του ημικυκλίου και της παραβολής (με κορυφή B, άξονα BZ και παράμετρο ΑΒ) τότε ΒΕ είναι λύση της εξίσωσης. Αρχή των αξόνων είναι το B τότε η εξίσωση της παραβολής είναι
Παραβολές (Ο Ιπποκράτης ο Χίος ς( (περ. ρ 430 π.χ.) ) ) Μεναίχμου (περ. 350 π.χ.) ) για τον διπλασιασμό του κύβου Αρχιμήδη (287 212 (8 π.χ.) ) (κωνικές έ τομές εμβαδό παραβολικού τμήματος) «Κωνικά» του Απολλώνιου (περ. 250 π.χ.)(όροι παραβολή, βλή έλλειψη, υπερβολή)
Girolamo Cardano (1501 1576)
Cardano, Η Μεγάλη Τέχνη, Για τους Κανόνες της Άλγεβρας (1545) Περιλαμβάνει την επίλυση της κυβικής και τεταρτοβάθμιας εξίσωσης.
Διαμάχη Cardano Tartaglia Ο Cardano παραδέχεται ότι την υπόδειξη για την λύση της τριτοβάθμιας της πήρε από τον Tartaglia (1500 1557) ενώ η λύση της τεταρτοβάθμιας οφείλεται στον γραμματέα του τον Ferrari(1522 1565) Την λύση στην τριτοβάθμια την είχε ανακαλύψει ο dl del Ferro (1425 1526) χωρίς να την δημοσιεύσει, και την εκμυστηρεύθηκε στον μαθητή του τον Fior. Στη μαθηματική μονομαχία τo 1535 των Fior Tartaglia νίκησε συντριπτικά ο Tartaglia. Έτσι κίνησε το ενδιαφέρον του Cardano. Το 1539 έπεισε τον Tartaglia να του πει τον τρόπο και ορκίστηκε να μην το φανερώσει.
Tartaglia O τύπος των εξισώσεων που (1500-1557) 1557) μπορούσε να λύσει ο Fior O Tartaglia μπορούσε να λύσει επιπρόσθετα και αυτές
«Κύβος και πρώτη δύναμη ισούνται αριθμό»
Εφαρμογή όταν το c=6, d=20 Όμως σημειώνει ο Cardano, η παραπάνω ποσότητα πρέπει να είναι ίση με 2 αφού το 2 είναι λύση του παραπάνω πολυωνύμου. Παρατήρηση Πόσες πραγματικές ρίζες έχει το πολυώνυμο?
Έστω u,v έτσι ώστε Τότε μία ρίζα του πολυωνύμου δίνεται από τη διαφορά Πράγματι και
Οι σχέσεις δίνουν το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο ως προς u Βρίσκοντας τη (θετική) ρίζα u και αντικαθιστώντας για το v, και στη συνέχεια για το x βρίσκει τον τύπο για τη ρίζα του τριτοβάθμιου.
Ο Cardano δεν χρησιμοποίησε σύμβολα, και ο τύπος του δόθηκε ρητορικά (με λόγια). Ο τύπος δίνει μόνο μία ρίζα του κυβικού πολυωνύμου. Τι γίνεται με τις υπόλοιπες? Υπάρχουν περιστάσεις με αρνητικούς αριθμούς στο έργο του, αλλά αυτούς τους αποκαλούσε «πλασματικούς». Οι συντελεστές και οι ρίζες των πολυωνύμων ήταν θετικοί (όχι κατ ανάγκη ρητοί). Χώρισε τα κυβικά πολυώνυμα σε περιπτώσεις ανάλογα με τους συντελεστές τους. (Ήταν γνωστό ότι τα κυβικά με ρίζες μπορούν να αναχθούν σε μία από τις δύο κατηγορίες: Έδωσε γεωμετρική δικαιολόγηση για τη διαδικασία λύσης.
x=4 είναι ρίζα του πολυωνύμου! Το παραπάνω τι είναι?
Ασκήσεις Να βρείτε γεωμετρικά τη λύση για το τετράγωνο και 8 ρίζες ίσο με 9, όπως ο al-kwarizmi. Να δείξετε ότι το σχήμα της διαφάνειας 9 οδηγεί σε λύση της εξίσωσης τετράγωνο και c είναι b ρίζες. Ποια συνθήκη πρέπει να ισχύει για να υπάρχει λύση? Να βρείτε γεωμετρικά (όπως παραπάνω) τη λύση για τετράγωνο και 8 ισούται 9 ρίζες. Μπορείτε να εντοπίσετε και άλλη λύση?
Να βρείτε όπως ο Khayyam τη λύση του κύβου και ρίζα ίσο με 3. Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις της παραβολής και του ημικυκλίου ότι BE είναι λύση της κυβικής εξίσωση. (Θεωρήστε ότι Β είναι η αρχή των αξόνων.) Να δείξετε ότι ρίζα ρζ του c και d/c είναι κατασκευάσιμα ευθύγραμμα τμήματα, χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη. Να αποδείξετε ότι 2 είναι ίσο με τη λύση που δίνει ο τύπος του Cardano στη διαφάνεια 30. Να αποδείξετε δίξ ότι 4 είναι ίσο με τη λύση που δίνει ο τύπος του Cardano στη διαφάνεια 34.