Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Transcript

1 Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους

2 Τεταρτοβάθμιες εξισώσεις και Cardano (Ferrari)

3 To πρώτο πρόβλημα στις τεταρτοβάθμιες! ΙΔΕΑ: Αν και από τις δύο μεριές της ισότητας είχαμε τέλεια τετράγωνα τότε θα παίρναμε τις ρίζες τους και θα λύσουμε για x! Προσπαθούμε λοιπόν να κάνουμε δύο τέλεια τετράγωνα. Ας συμμαζέψουμε πρώτα τα x στο αριστερό σκέλος. Προσθέτουμε 6x 2 (και στα δύο σκέλη) και το πρώτο γίνεται τέλειο τετράγωνο. Υπολείπεται βέβαια το δεξιό σκέλος. Θα δοκιμάσουμε να εισάγουμε μία νέα μεταβλητή y φροντίζοντας να μη «χαλάσει» το αριστερό σκέλος.

4 Η ποσότητα που προστέθηκε στο αριστερό σκέλος έτσι ώστε να έχουμε το το τετράγωνο με ακμή x 2 +6+y είναι y 2 +12y+2yx 2. Η ίδιαποσότηταπρέπεινα προστεθεί και στο δεξιό σκέλος. Νέο ερώτημα: ποια τιμή πρέπει να έχει το y έτσι ώστε το δεξιό σκέλος να είναι τέλειο τετράγωνο? Πότε είναι μία έκφραση της μορφής Ax 2 +Bx+C τέλειο τετράγωνο? Ποια συνθήκη πρέπει να ισχύει για τις ρίζες του πολυωνύμου? Τι σημαίνει αυτό για τη διακρίνουσα? Εδώ Α=6+2y, Β=60, C= y 2 +12y

5 Αφού Α=6+2y, Β=60, C= y 2 +12y θα πρέπει να ισχύει ότι: Η συνθήκη: «Διακρίνουσα =0» δίνει την εξίσωση της επιλύουσας τριτοβάθμιας.

6 Τύπος του Cardano για το y -----Mathematica y I è!!!!!!!!! 3767 M 1ê3 + I è!!!!!!!!! 3767 M 1ê3 Και η λύση για το x της τεταρτοβάθμιας x 1 2 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% è!!!!!!!!! I M 1ê3 + 2 I è!!!!!!!!! 3767 M 1ê J 1 3 J 24 I è!!!!!!!!! 3767 M 1ê3 6 I è!!!!!!!!! 3767 M 1ê3 360 ì J-J I è!!!!!!!!! 3767 M 1ê3 + 2 I è!!!!!!!!! 3767 M 1ê3 NNNN

7 Νέο παράδειγμα Επιλύουσα τριτοβάθμια λύση y=3

8 Αντικατάσταση του y: Παίρνουμε τετραγωνικές ρίζες και από τα δύο σκέλη και επιλύουμε τη δευτεροβάθμια Υπάρχουν άλλες ρίζες?

9 Rafael Bombelli ( ) Μηχανικός «Άλγεβρα» 1572

10 Ριζικά: πίσω στο «Κύβος και πρώτη δύναμη ισούνται αριθμό» Ο τύπος του Cardano

11 ΟΒombelli έδειξε ότι το 2 ισούται με αυτή τη ποσότητα!

12 Ο συλλογισμός του Bombelli Έστω ότι ποια είναι τα b,a? Τότε: Δηλαδή: Επίσης

13 Επίσης, αφού προκύπτει αντι καθιστώντας ότι και άρα a=1.

14 Έτσι και επομένως

15 Σύμφωνα με την απόδειξη του Cardano αυτός είναι ένας θετικός αριθμός.

16 Συντεταγμένες και Oresme (14 ο αιώνα)

17 ρίζες αρνητικών αριθμών: μέθοδος σοφιστείας Ο Bombelli έκανε πράξεις ακολουθώντας τους κανόνες γιαταριζικάκαιέδειξεότιητιμή(από τον τύπο) του Cardano είναι ίση με το 4.

18 Αν τότε Επίσης προκύπτει ότι Όμως αφού

19 ημόνηλύσηείναιτοa=2 και άρα b=1. Έπεται ότι και

20 Τεράστια Σημασία των λύσεων τρίτου-τετάρτου βαθμού εξισώσεων : Οι λύσεις δεν ήταν αποτέλεσμα πρακτικών υπολογισμών Οι λύσεις δεν χρησίμευαν στους μηχανικούς. Προσεγγιστικές λύσεις για αυτές τις εξισώσεις υπήρχαν. Έδωσαν ώθηση στην αλγεβρική έρευνα προς διάφορες κατευθύνσεις. Στην Άλγεβρα: προσπάθεια για γενίκευση για εξισώσεις οποιουδήποτε βαθμού Ενασχόληση με άλλο είδος αριθμών: τις τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών.

21

22 François Viète (επάγγελμα: δικηγόρος) ( ) Γάλλος Σύμβουλος του Ερρίκου ΙΙΙ και του Ερρίκου IV. H πιο παραγωγική μαθηματικά περίοδος της ζωής του ήταν όταν έπεσε σε δυσμένεια!( ).

23 In artem analyticam isagoge (1591) υπό την επιμέλεια του F. Van Schooten (1646)

24 A cubus + Β quad. in A æquetur B quad. in Z. Ο Viete εισαγάγει και χρησιμοποιεί φωνήεντα για το άγνωστο μέγεθος και σύμφωνα για το γνωστό. Έτσι κάνει τον διαχωρισμό ανάμεσα στην έννοια της παραμέτρου και της άγνωστης ποσότητας.

25 «Εισαγωγή στην Αναλυτική Τέχνη» Θέτει την άλγεβρα ως την επιστήμη για την ανακάλυψη στα μαθηματικά. Πιστεύει ότι ο «φορμαλισμός» τηςάλγεβραςθα μπορεί να λύσει όλα τα μαθηματικά προβλήματα. Η χρήση παραμέτρων και μεταβλητών μετέτρεψε την άλγεβρα από μελέτη συγκεκριμένων προβλημάτων στη μελέτη γενικών προβλημάτων. Με τον ίδιο τρόπο η «αναλυτική του τέχνη» επηρέασε και τους άλλους τομείς, στην ανακάλυψη και στην απόδειξη των αποτελεσμάτων.

26 1593 van Roomen (Βέλγος) δημοσίευσε την εξίσωση Ο Viete έδωσε μία λύση αμέσως μόλις του τέθηκε το πρόβλημα από τον βασιλιά και έδωσε 22 λύσεις μία μέρα αργότερα!

27 Λύση τριτοβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας ιδιότητες του συν θ. Θα χρησιμοποιήσει τον τύπο για το cos 3θ Η αντικατάσταση του x στην τριτοβάθμια εξίσωση θα οδηγήσει σε μία μορφή που μοιάζει με αυτήν της ταυτότητας: Έτσι θέλει να βρει θ που να ικανοποιεί

28