Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Ειδικά Μοντέλα Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής

Σύνοψη διάλεξης Μοντέλο μη αυτόματου εφοδιασμού (Economic Lot size) Αλγόριθμος Wagner-Whitin βέλτιστου προγραμματισμού αποθεμάτων Αποφάσεις μιας περιόδου Μοντέλο εφημεριδοπώλη Μοντέλο base-stock Παραδείγματα εφαρμογής 2

Μη αυτόματος εφοδιασμός Σε ένα σύστημα μη αυτόματου ανεφοδιασμού ένα αντικείμενο παράγεται και χρησιμοποιείται από την ίδια την επιχείρηση. Δηλαδή αντί για στιγμιαία παραλαβή συγκεκριμένης ποσότητας αποθέματος από εξωτερικό προμηθευτή, πραγματοποιείται σταδιακή αύξηση του αποθέματος με σταθερό ρυθμό. Πριν ολοκληρωθεί η παραγωγή από την επιχείρηση, παρουσιάζεται ζήτηση και άρα κατανάλωση του αποθέματος. Για παράδειγμα, ένα εργοστάσιο παράγει 50 παλέτες ρόδες για ποδήλατα την ημέρα. Πουλάει μέρος των παλετών αυτών πριν ολοκληρώσει την ημερήσια παραγωγή σε ρόδες. Το απόθεμα σε ρόδες δεν φθάνει ποτέ τις 50 παλέτες, όπως θα γινόταν αν όλες οι ρόδες παραγγέλλονταν από έναν προμηθευτή. 3

Μη αυτόματος εφοδιασμός Διαφορές μοντέλου μη αυτόματου εφοδιασμού από άλλα μοντέλα που έχουν εξετασθεί: Αντί για στιγμιαία ανανέωση αποθέματος, γίνεται ανανέωση του αποθέματος σύμφωνα με τον ρυθμό παραγωγής. Το κόστος τοποθέτησης μιας νέας παραγγελίας περιλαμβάνει τις δαπάνες που δημιουργούνται από τον προγραμματισμό της παραγωγής, την προετοιμασία και πιθανή εγκατάσταση μέσων παραγωγής και οτιδήποτε άλλο δημιουργείται από το γεγονός ότι αρχίζει να δημιουργείται μια νέα παρτίδα προϊόντων. Διαφέρει σημαντικά από το κόστος μιας παραγγελίας όταν το απόθεμα αγοράζεται. Η αξία της μονάδας του αποθέματος είναι το κόστος παραγωγής. 4

Μη αυτόματος εφοδιασμός On-hand inventory I max Παραγωγή & Ζήτηση Ζήτηση ΤΒΟ Χρόνος 5

Μη αυτόματος εφοδιασμός Το προηγούμενο Σχήμα απεικονίζει τη συνηθισμένη περίπτωση μη αυτόματου ανεφοδιασμού, στην οποία ο ρυθμός παραγωγής είναι p και ο ρυθμός της ζήτησης d. Ο ρυθμός παραγωγής είναι μεγαλύτερος από το ρυθμό ζήτησης, οπότε το κυκλικό απόθεμα αυξάνεται πιο γρήγορα από την ζήτηση, καιέτσικατάτηδιάρκειατηςπαραγωγής υπάρχει ένα απόθεμα p d μονάδων. Όταν ολοκληρωθεί η φάση της παραγωγής το απόθεμα μειώνεται με το ρυθμό της ζήτησης. Μόλις το απόθεμα γίνει μηδέν ολοκληρώνεται ένας κύκλος και αρχίζει ξανά η παραγωγή. 6

Μη αυτόματος εφοδιασμός Αν το μέγεθος της παραγωγής είναι Q μονάδες, το απόθεμα p d συνεχίζει να δημιουργείται για Q/p χρονικές μονάδες. Έτσι, το μέγιστο απόθεμα που δημιουργείται κατά την διάρκεια ενός κύκλου είναι: Q I max = ( p d) p = Q p p d Το κυκλικό απόθεμα είναι Ι max /2. 7

Μη αυτόματος εφοδιασμός Η συνάρτηση συνολικού κόστους λειτουργίας του συστήματος είναι: Συνολικό Κόστος = Ετήσιο Κόστος Κράτησης Αποθεμάτων + Κόστος Έναρξης Παραγωγής I max D Q p d D C = H + S = H + 2 Q 2 p Q S Για να ελαχιστοποιήσουμε το συνολικό κόστος: Συνθήκες α τάξεως: dc dq = 0 p d D H 2 p 2Q S = 2 0 p p d 2DS H = Q Συνθήκες β τάξεως: 2 d C dq 2 > 0 D S > 0 3 Q, που ισχύει για οποιαδήποτε ποσότητα Q. 8

Μη αυτόματος εφοδιασμός Αρα, η ΒέλτιστηΠοσότηταΠαραγωγής(ELS ή Economic Production Lot Size) είναι: p 2DS p ELS = = p d H p d EOQ Αφού p>d, p-d<p p p d >1 ELS>EOQ 9

Παράδειγμα εφαρμογής Ο διευθυντής ενός χημικού εργοστασίου πρέπει να καθορίσει το μέγεθος παραγωγής ενός χημικού προϊόντος που έχει σταθερή ζήτηση 30 βαρέλια ημερησίως. Ο ρυθμός παραγωγής είναι 190 βαρέλια ημερησίως. Η ετήσια ζήτηση ανέρχεται σε 10.500 βαρέλια. Το κόστος έναρξης της παραγωγής είναι 200, ενώ το ετήσιο κόστος διατήρησης αποθέματος είναι 0,21 ανά βαρέλι. Το εργοστάσιο θεωρείται ότι λειτουργεί 350 ημέρες τον χρόνο. Ζητούνται: Η ποσότητα παραγωγής Το συνολικό ετήσιο κόστος λειτουργίας του συστήματος Η χρονική διάρκεια ενός πλήρους κύκλου (από την έναρξη της παραγωγής μέχρι την επανέναρξη της παραγωγής) Ο χρόνος παραγωγής (από την έναρξη μέχρι το πέρας της παραγωγικής διαδικασίας). 10

Παράδειγμα εφαρμογής Η βέλτιστη ποσότητα παραγωγής είναι: p 2DS 190 2 10.500 200 ELS = = = 4.873,4 p d H 190 30 0,21 Το συνολικό ετήσιο κόστος λειτουργίας του συστήματος είναι: 4873 βαρέλια ELS p d D C = H + S = 2 p Q 4.873 2 Η χρονική διάρκεια ενός πλήρους κύκλου είναι: TBO ELS ELS = D Ο χρόνος παραγωγής είναι: 190 30 190 0,21+ 10.500 200 = 861,82 862 4.873 4.873 ( 350ημέρες/έτος) = 350 = 162,3 162 10.500 ELS p = 4873.4 190 = 25,6 26 ημέρες ημέρες 11

Αλγόριθμος Wagner-Whitin Παραδοχές μοντέλου EOQ: 1. Στιγμιαία Παραγωγή 2. Άμεση παράδοση και παραλαβή 3. Ντετερμινιστική ζήτηση 4. Σταθερή ζήτηση Ο αλγόριθμος Wagner-Whitin προτείνει μια προσέγγιση δυναμικής επιλογής παρτίδας ανα-παραγγελίας για την αντιμετώπιση της απλουστευτικής αυτής παραδοχής. 5. Γνωστό και σταθερό κόστος τοποθέτησης μιας παραγγελίας 6. Μοναδικό είδος προϊόντων ή διακριτά είδη προϊόντων 12

Αλγόριθμος Wagner-Whitin Βασικές Παραδοχές Μοντέλου Wagner-Whitin: Περισσότερες από μια χρονικοί περίοδοι Κόστος διατήρησης αποθέματος από μια χρονική περίοδο σε επόμενη Κόστοςέναρξηςπαραγωγήςήτοποθέτησηςμιαςπαραγγελίαςσεκάθε χρονική περίοδο Γνωστή, αλλά μεταβλητή ζήτηση σε κάθε χρονική περίοδο. Στόχος Μοντέλου Wagner-Whitin: Βέλτιστη Εξισορρόπηση Κόστους τήρησης αποθέματος και έναρξης παραγωγής ή τοποθέτησης νέας παραγγελίας. Ο αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε κατά την παραγωγή είτε κατά την προμήθεια προϊόντων από εξωτερικό προμηθευτή. 13

Αλγόριθμος Wagner-Whitin Συμβολισμοί: t: χρονική περίοδος (π.χ. ημέρα, εβδομάδα, μήνας). Θεωρούμε t = 1,, T, όπου T ο χρονικός ορίζοντας. D t : ζήτηση κατά το χρονικό διάστημα t (σε μονάδες προϊόντος) c t : μοναδιαίο κόστος παραγωγής / αγοράς (χωρίς κόστος προετοιμασίας και αποθήκευσης κατά την περίοδο t) A t : κόστος παραγγελίας / προετοιμασίας παραγωγής μιας παρτίδας κατά την χρονική περίοδο t h t : κόστος διατήρησης αποθέματος από τη χρονική στιγμή t μέχρι τη στιγμή t+1 I t : απόθεμα στο τέλος της περιόδου t Q t : μέγεθος παρτίδας παραγωγής / παραγγελίας κατά την περίοδο t. (αποτελούν τις μεταβλητές αποφάσεως) 14

Αλγόριθμος Wagner-Whitin Σε περίπτωση που δεν υπήρχε το κόστος A t, τότε η πιο συμφέρουσα πολιτική είναι η lot-for-lot, δηλαδή παραγωγή σε κάθε χρονική περίοδο της ποσότητας ακριβώς που καταναλώνεται. Επειδή όμως υπάρχει σταθερό κόστος έναρξης παραγωγής ή τοποθέτησης νέας παραγγελίας A t, αναζητείται μια πιο συμφέρουσα λύση συνδυασμού ζήτησης από προηγούμενες περιόδους. Αν και η πολιτική Fixed Order Quantity (FOQ) προσφέρει μια σχετική βελτίωση, ο αλγόριθμοςwagner-whitin εξασφαλίζει ακόμα μεγαλύτερη μείωση συνολικού κόστους παρέχοντας ταυτόχρονα ικανοποίησης της ζήτησης. 15

Αλγόριθμος Wagner-Whitin Ο αλγόριθμος βασίζεται στη θεμελιώδη παρατήρηση ότι: Η εφαρμογή της βέλτιστης πολιτικής παρτίδας αναπαραγγελίας / παραγωγής θα έχει ως αποτέλεσμα είτε μηδενικό απόθεμα στην περίοδο t+1 από προηγούμενες περιόδους είτε μηδενική παραγωγή / παραγγελίαστοίδιοδιάστημα. Δηλαδή: Q t = 0 ή Q t = D t +. + D k για κάποιο k με t k T. 16

Αλγόριθμος Wagner-Whitin Αν η τελευταία περίοδος παραγωγής σε ένα πρόβλημα k περιόδων συμβολίζεται ως j k * και στην περίοδο αυτή παράγονται ακριβώς D k + D T προϊόντα. Δηλαδή οι περίοδοι 1,..., j k *-1 μπορούν να αντιμετωπισθούν ανεξάρτητα, ως ξεχωριστά προβλήματα j k *-1 περιόδων. Για παράδειγμα, για την περίπτωση μιας και μοναδικής περιόδου, αφού δεν υπάρχει απόθεμα από προηγούμενες περιόδους, δεν υπάρχει άλλη επιλογή από το να παραχθεί / παραγγελθεί ποσότητα ίση με τη ζήτηση της περιόδου αυτής. Έτσι, η τελευταία περίοδος παραγωγής για το πρόβλημα αυτό είναι: j 1 *=1. Εφόσον η ζήτηση είναι ντετερμινιστική και θα ικανοποιηθεί και το κόστος παραγωγής είναι σταθερό για όλες τις χρονικές περιόδους, το κόστος παραγωγής μπορεί να αγνοηθεί. Επομένως, το συνολικό κόστος του προβλήματος μιας περιόδου προκύπτει: Ζ 17 1* =Α 1.

Παράδειγμα εφαρμογής Αριθμητικά Δεδομένα t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D t 20 50 10 50 50 10 20 40 20 30 c t 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 A t 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 h t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Πολιτική Lot-for-Lot t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total D t 20 50 10 50 50 10 20 40 20 30 300 Q t 20 50 10 50 50 10 20 40 20 30 300 I t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Setup cost 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000 Holding cost 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Total cost 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000 18

Παράδειγμα εφαρμογής Πολιτική Fixed Order Quantity (FOQ): t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total D t 20 50 10 50 50 10 20 40 20 30 300 Q t 100 0 0 100 0 0 100 0 0 0 300 I t 80 30 20 70 20 10 90 50 30 0 0 Setup cost 100 0 0 100 0 0 100 0 0 0 300 Holding cost 80 30 20 70 20 10 90 50 30 0 400 Total cost 180 30 20 170 20 10 190 50 30 0 700 Προφανής η βελτίωση σε σχέση με πολιτική Lot-for- Lot, αλλά ο αλγόριθμος Wagner-Whitin μπορεί να προσφέρει ακόμα μεγαλύτερη μείωση συνολικού κόστους ικανοποίησης της ζήτησης. 19

Παράδειγμα εφαρμογής Βήμα 1: Ικανοποίηση ζήτησης πρώτης περιόδου D 1. Αφού δεν υπάρχει απόθεμα από προηγούμενες περιόδους: j 1* =1. Αφού το μοναδιαίο κόστος παραγωγής είναι σταθερό: Ζ 1* =Α 1 =100. Βήμα 2: Αντιμετώπιση προβλήματος 2 περιόδων (D 1 και D 2 ). Z * 2 A = min Z 1 * 1 + h1 D + A, 100 + 1(50) = 150 = min 100 + 100 = 200 = 150 2 2, παραγωγή στην χρονική περίοδο 1 για ικανοποίηση ζήτησης και δύο περιόδων ή j 2* =1 έναρξη παραγωγής στην χρονική περίοδο 2 για ικανοποίηση ζήτησης 2ης περιόδου ή j 2* =2 j 2* =1 Άρα, συμφέρει η παραγωγή / παραγγελία κατά την περίοδο 1 για την κάλυψη της ζήτησης των περιόδων 1 και 2. 20

Παράδειγμα εφαρμογής Βήμα 3: Αντιμετώπιση προβλήματος 3 περιόδων (D 1, D 2, D 3 ). Z * 3 A1 + h1 D2 + ( h1 + h * = min Z1 + A2 + h2d3, * Z2 + A3, ) D αν αν αν 100 + 1(50) + (1 + 1)10 = 170 = min 100 + 100 + (1)10 = 210 150 + 100 = 250 = 170 j 3* =1 2 3, j * 3 * 3 * 3 j j = 1 = = Άρα, συμφέρει η παραγωγή / παραγγελία κατά την περίοδο 1 για την κάλυψη της ζήτησης των περιόδων 1, 2 και 3. 2 3 21

Παράδειγμα εφαρμογής Βήμα 4: Αντιμετώπιση προβλήματος 4 περιόδων (D 1,D 2, D 3 και D 4 ). * Z * 4 A1 + h1 D2 + ( h1 + h2 ) D3 + ( h1 + h2 + h3 ) D4, αν j4 = 1 * * Z1 + A2 + h2d3 + ( h2 + h3 ) D4, αν j4 = 2 = min * * Z2 + A3 + h3d4, αν j4 = 3 * * Z3 + A4, αν j4 = 4 100 + 1(50) + (1 + 1)10 + (1 + 1+ 1)50 = 320 100 + 100 + (1)10 + (1 + 1)50 = 310 = min 150 + 100 + (1)50 = 300 170 + 100 = 270 = 270 j 4* =4 Άρα, συμφέρει την ζήτηση της περιόδου 4 να την καλύψουμε με παραγωγή / παραγγελία κατά την περίοδο αυτή. Αν είχαμε μόνο τέσσερις περιόδους, θα συνέφερε να παράγουμε D1+D2+D3 = 80 προϊόντα κατά την περίοδο 1 και D4 =50 την περίοδο 4. 22

Παράδειγμα εφαρμογής Για την περίοδο 5, δεν είναι αναγκαίο να εξετάσουμε αν συμφέρει η παραγωγή / παραγγελία της ζήτησης κατά τις περιόδους 1,2 και 3, καθώς στο προηγούμενο βήμα του αλγορίθμου Wagner-Whitin διαπιστώθηκε ότι δε συμφέρει η μεταφορά αποθέματος στην περίοδο 4. Η ιδιότητα που προκύπτει είναι η εξής: Αν j t* = ν με1 v Τ, τότε για την εύρεση της βέλτιστης πολιτικής του t+1 προβλήματος, πρέπει να εξεταστούν οι περιπτώσεις ν,ν+1,t. Έτσι, για το πρόβλημα 5 περιόδων, έχουμε j 4* =4, οπότε και εξετάζουμε τις περιπτώσεις παραγωγής στις περιόδους 4 και 5. 23

Παράδειγμα εφαρμογής Βήμα 5: Αντιμετώπιση προβλήματος 5 περιόδων (D 1,D 2, D 3,D 4, D 5 ). Z * 5 * * min Z3 + A4 + h4d5, αν j5 = * Z, αν j * 4 + A5 5 Άρα, συμφέρει η παραγωγή στην περίοδο 4 για την κάλυψη της ζήτησης των περιόδων 4 και 5. Βήμα 6: Αντιμετώπιση προβλήματος 6 περιόδων (D 1,D 2, D 3,D 4, D 5 και D 6 ). Στην περίπτωση αυτή: 4 = 5 170 + 100 + 1(50) = 320 = min 270 + 100 = 370 = 320 j 5* =4 4 = j 6* = 5 Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι t=t. 6 24

Παράδειγμα εφαρμογής Βέλτιστη Πολιτική Τελευταία Χρονική Περίοδος Παραγωγής Χρονική Περίοδος (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 100 150 170 320 2 200 210 310 3 250 300 4 270 320 340 400 560 5 370 380 420 540 6 420 440 520 7 440 480 520 610 8 500 520 580 9 580 610 10 620 Z t 100 150 170 270 320 340 400 480 520 580 j t 1 1 1 4 4 4 4 7 7 or 8 8 Παραγωγή στην 1 για ζήτηση 1, 2, 3 (80μονάδες) Παραγωγή στην 4 για ζήτηση 4, 5, 6, 7 (130 μονάδες) Παραγωγή στην 8 για ζήτηση 8, 9, 10 (90 μονάδες) 25

Παράδειγμα εφαρμογής Βέλτιστη Πολιτική Παραγωγή την περίοδο 1 για κάλυψη της ζήτησης των περιόδων 1, 2 και 3 (20+50+10=80 μονάδες) Παραγωγή την περίοδο 4 για κάλυψη της ζήτησης των περιόδων 4, 5, 6 και 7 (50+50+10+20=130 μονάδες) Παραγωγή την περίοδο 8 για κάλυψη της ζήτησης των περιόδων 8, 9 και 10 (40 +20+30=90 μονάδες) t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σύνολο D t 20 50 10 50 50 10 20 40 20 30 300 Q t 80 0 0 130 0 0 0 90 0 0 300 I t 60 10 0 80 30 20 0 50 30 0 0 Α 100 0 0 100 0 0 0 100 0 0 300 h 60 10 0 80 30 20 0 50 30 0 280 Συνολικό 160 10 0 180 30 20 0 150 30 0 580 κόστος 26

Αλγόριθμος Wagner-Whitin Αδυναμίες μοντέλου Wagner-Whitin: Το κόστος προετοιμασίας θεωρείται γνωστό, σταθερό και ανεξάρτητο από τον φόρτο εργασίας. Για τον λόγο αυτό, το μοντέλο Wagner-Whitin (όπως και το EOQ) ταιριάζει καλύτερα σε διαχείριση αποθέματος προϊόντων που προμηθεύονται από εξωτερικούς προμηθευτές και δεν ιδιοπαράγονται. Η εύρεση της βέλτιστης λύσης με την παραδοχή ντετερμινιστικής ζήτησης και παραγωγής μπορεί να αποδειχθεί ανεπαρκής, όταν υπάρχει αβεβαιότητα. Συχνές αναπροσαρμογές του βέλτιστου προγράμματος παραγωγής που απορρέει ενδέχεται να απαιτούνται. Η παραδοχή των ανεξάρτητων προϊόντων και κατ επέκταση της μη κοινής χρησιμοποίησης πόρων δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Η συνακόλουθη υπόθεση της απεριόριστης δυναμικότητας των κέντρων εργασίας οδηγεί συχνά σε ανέφικτες λύσεις. 27

Μοντέλο εφημεριδοπώλη Ένα από τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν συχνά οι υπεύθυνοι διαχείρισηςκαιοργάνωσηςαποθέματοςείναιηδιαχείρισηεποχιακών ειδών, όπως ρούχα, αντικείμενα μόδας, χριστουγεννιάτικαδένδρακ.α. ή ειδών μικρής διάρκειας ζωής, τα οποία δεν μπορούν να πουληθούν την επόμενη χρονική περίοδο στην ίδια τιμή. Επίσης, στις περιπτώσεις αυτές δεν υπάρχει η δυνατότητα αναπαραγγελίας, καθώς ο χρόνος παραλαβής μίας παραγγελίας μπορεί να είναι μεγαλύτερος από το χρόνο υψηλής ζήτησης του προϊόντος. Για παράδειγμα, εάν ο εφημεριδοπώλης δεν αγοράσει αρκετές εφημερίδες, η ζήτηση που δεν θα μπορέσει να καλύψει θα χαθεί. Αν αγοράσει παραπάνω εφημερίδες από όσες ζητηθούν, δεν θα μπορέσει να πουλήσει το πλεόνασμα την επόμενη μέρα. Αυτού του είδους τα προβλήματα αντιμετωπίζονται με Μοντέλο Newsboy (Μοντέλο Εφημεριδοπώλη). 28

Μοντέλο εφημεριδοπώλη Ένα προϊόν παραγγέλνεται στην αρχή μίας περιόδου και μπορεί να ικανοποιήσει τη ζήτηση μόνο της συγκεκριμένης χρονικής περιόδου. Τα υπεισερχόμενα σχετικά κόστη είναι: το κόστος για κάθε μονάδα αποθέματος (overage cost, c o ), το κόστος για κάθε μονάδα ζήτησης που δεν ικανοποιήθηκε, ή γιακάθε μονάδα αρνητικού αποθέματος (underage cost, c u ) Η ζήτηση D θεωρείται συνεχής, μη αρνητική, τυχαία μεταβλητή, που έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) και συνάρτηση αθροιστικής κατανομής F(x). Το μοντέλο εφημεριδοπώλη αναζητά την ποσότητα παραγγελίας Q που πρέπει να παραγγελθεί στην αρχή της περιόδου, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το αναμενόμενο κόστος στο τέλος της περιόδου. 29

Μοντέλο εφημεριδοπώλη Η διαδικασία που ακολουθείται συνοψίζεται ως ακολούθως: 1. Το κόστος εκφράζεται σαν συνάρτηση των D και Q, δηλαδή ως G(Q,D). 2. Η αναμενόμενη τιμή της παραπάνω έκφρασης εκφράζεται αναφορικά με τις F(x) και f(x). 3. ΗτιμήτουQ, η οποία ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση του αναμενόμενου κόστους, καθορίζεται. 1. Το συνολικό κόστος προκύπτει: G( Q, D) = c max(0, Q D) + c max(0, D Q) o 2. Η αναμενόμενη τιμή του συνολικού κόστους υπολογίζεται ως εξής: G ( Q) = E[ G( Q, D)] u G( Q) = c max(0, Q x) f ( x) dx + c max(0, x Q) f ( x) dx o u 0 0 30

31 Μοντέλο εφημεριδοπώλη 3. Υπολογισμός ποσότητας Q που ελαχιστοποιεί αναμενόμενο συνολικό κόστος: Συνθήκες α τάξης: Συνθήκες β τάξης: + = Q Q u o dx x f Q x c dx x f x Q c Q G 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( = dq Q dg 0 )) ( (1 ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 0 0 = = + = Q F c Q F c dx x f c dx x f c Q G u o Q Q u o 0, ) ( ) ( ) ( 2 2 + = Q f c c dq Q G d u o 0 *) ( ) ( = + u u o c Q F c c u o u c c c Q F + = *) ( που ισχύει για όλα τα Q 0

Μοντέλο εφημεριδοπώλη ΑΡΑ η ποσότητα Q που ελαχιστοποιεί το συνολικό αναμενόμενο κόστος δίνεται από την σχέση: F( Q*) = c o cu + c u Το F(Q*) ορίζεται ως η πιθανότητα η ζήτηση να μην ξεπεράσει το Q*. c u Το critical ratio=, ορίζεται ως η πιθανότητα να ικανοποιηθεί co + cu όλη η ζήτηση της περιόδου από την διαθέσιμη ποσότητα, αν στην αρχή της περιόδου αγορασθούν Q* μονάδες. Αφού c o και c u 0, το critical ratio παίρνει τιμές αυστηρά μεταξύ 0 και 1, οπότε η εξίσωση του F(Q*) έχει λύση. 32

Παράδειγμα εφαρμογής (Ι) Κάθε Παρασκευή ο ιδιοκτήτης ενός περιπτέρου αγοράζει για το περίπτερο του ένα εβδομαδιαίο περιοδικό. Το αγοράζει 2,5 και το πουλάει 7,5. Στο τέλος κάθε περιόδου επιστρέφει στον προμηθευτή κάθε περιοδικό που δεν έχει πωλήσει προς 1. Από προηγούμενα δεδομένα γνωρίζει ότι η εβδομαδιαία ζήτηση για το περιοδικό είναι τυχαία μεταβλητή και ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ=11,73 και τυπική απόκλιση σ=4,74. Θα ήθελε να γνωρίζει πόσα περιοδικά θα πρέπει να αγοράζει κάθε Παρασκευή. 33

Παράδειγμα εφαρμογής (Ι) Μια λύση θα ήταν να αγοράζει κάθε Παρασκευή τόσα περιοδικά όση είναι η εβδομαδιαία ζήτηση, δηλαδή 12. Τότε, ηπιθανότητανα παρουσιασθεί μικρότερη ζήτηση θα ήταν 50%, ενώ η πιθανότητα να παρουσιασθεί μεγαλύτερη ζήτηση θα ήταν 50% επίσης. Στην περίπτωση που η ζήτηση είναι μικρότερη, τότε το κόστος για κάθε περιοδικό που δεν πουλήθηκε είναι: (2,5-1)= 1,5. Δηλαδή: c o = 1,5. Στην περίπτωση που η ζήτηση είναι μεγαλύτερη από το διαθέσιμο απόθεμα περιοδικών, τότε το κόστος για κάθε περιοδικό, του οποίου η ζήτηση δεν ικανοποιείται, είναι: (7,5-2,5)= 5. Δηλαδή: c u = 5. Καθώς το ποσό που θα χάσει αν δεν μπορέσει να ικανοποιήσει την ζήτηση είναι σημαντικά πιο μεγάλο από το ποσό που θα χάσει αν προμηθευτεί περισσότερα περιοδικά από τα απαραίτητα, η προτεινόμενη λύση δεν είναι ικανοποιητική. Είναι συμφερότερο για τον ιδιοκτήτη περιπτέρου η πιθανότητα να μην ικανοποιήσει την ζήτηση να είναι κατά πολύ μικρότερη από την πιθανότητα να την υπερκαλύψει. 34

Παράδειγμα εφαρμογής (Ι) Αφού c o = 1,5 και c u = 5, το critical ratio προκύπτει: cu 5 = = 0,77 c c 1,5 + 5 o + u Επομένως, θα πρέπει να αγοράσει τόσα περιοδικά, ώστε να καλύψει το 77% της εβδομαδιαίας ζήτησης. Αφού F(Q*)=0,77 από πίνακες κανονικής κατανομής z=0,74. Έτσι, κάθε Παρασκευή πρέπει να αγοράζονται Q* = 11,73 + 4,74 0,74 = 15,24 15 περιοδικά. 35

Παράδειγμα εφαρμογής (ΙΙ) Ένα κατάστημα λιανικής πώλησης παραγγέλνει κάθε μήνα T-shirts. Το κόστος αγοράς κάθε T-shirt είναι 10. Η τιμή πώλησης κάθε ενός από το εν λόγω κατάστημα ανέρχεται σε 15. Τα T-shirts που δεν έχουν πωληθεί μπορούν να μεταπωληθούν σε ένα retail store προς 8 το κάθε ένα. Η μηνιαία ζήτηση T-shirts θεωρείται ότι ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1000. Πόσα T-shirts πρέπει το κατάστημα να παραγγέλνει κάθε μήνα, προκειμένου να ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος ικανοποίησης της εμφανιζόμενης ζήτησης; 36

Παράδειγμα εφαρμογής (ΙΙ) Στην περίπτωση που η ζήτηση είναι μικρότερη από το διαθέσιμο απόθεμα: c o = (10-8)= 2. Στην περίπτωση που το διαθέσιμο απόθεμα δεν επαρκεί για να καλύψει την ζήτηση: c u = (15-10)= 5. cu 5 Έτσι, το critical ratio προκύπτει: = = 0,714. o + c u 2 + 5 Δηλαδή, πρέπει να αγοράσει τόσα περιοδικά ώστε να καλύψει το 71,4% της μηνιαίας ζήτησης. Δηλαδή G(Q*)=0,714. Αλλά G(Q*)=1-e (-Q/1000) e (-Q/1000) = 0,286 Q/1000 = 1,252 Q = 1252. Κάθε μήνα πρέπει να αγοράζονται 1252 T-shirts. c 37

Μοντέλο base-stock Κάποιες επιχειρήσεις αναπληρώνουν το απόθεμα κάποιων προϊόντων τους κάθε φορά που εκδηλώνεται ζήτηση, και κατά συνέπεια πώληση τους. Ο τρόπος αυτός διαχείρισης αποθέματος χρησιμοποιείται ευρέως σε περιπτώσεις αντικειμένων με υψηλές αποθηκευτικές απαιτήσεις. Έστω για παράδειγμα ένα κατάστημα το οποίο εμπορεύεται ηλεκτρικές συσκευές και πιο συγκεκριμένα έστω ότι προμηθεύεται και πωλεί ένα συγκεκριμένο τύπο πλυντηρίου. Κάθε φορά που το κατάστημα δέχεται μια παραγγελία για το συγκεκριμένο πλυντήριο, αυτόματα παραγγέλνει από τον προμηθευτή αναπλήρωση της ποσότητας που πουλήθηκε. 38

Μοντέλο base-stock Το πρόβλημα που παρουσιάζεται στις περιπτώσεις αυτές είναι ότι η παραλαβή ενός προϊόντος δε γίνεται άμεσα αλλά μεσολαβεί ένα χρονικό διάστημα (delivery lead time). Κατά συνέπεια, το κατάστημα πρέπει να διατηρεί απόθεμα, ώστε να ικανοποιεί τη ζήτηση που θα προκύψει στο χρονικό αυτό διάστημα παραλαβής μιας παραγγελίας. Για τον υπολογισμό της ποσότητας που πρέπει να παραγγελθεί ώστε να ικανοποιηθεί η ζήτηση και να εξυπηρετηθούν οι πελάτες της επιχείρησης χρησιμοποιείται το μοντέλο base-stock. 39

Μοντέλο base-stock Βασικές παραδοχές μοντέλου base-stock: Τα προϊόντα μελετώνται ξεχωριστά. Θεωρείται ότι δεν υπάρχει υπολογίσιμο, σταθερό κόστος τοποθέτησης μιας παραγγελίας. Δεν υπάρχει περιορισμός στον μέγιστο αριθμό παραγγελιών που μπορούν να τοποθετηθούν σε μια χρονική περίοδο. Η ζήτηση σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή αφορά ένα μόνο είδος προϊόντος από ένα μόνο πελάτη (θεωρείται ότι δεν υπάρχουν μαζικές παραγγελίες). Οι αναπληρώσεις παραγγέλνονται μια-μια (δηλαδή Q=1) Ζήτηση η οποία δε δύναται να ικανοποιηθεί από το υπάρχον απόθεμα, ικανοποιείται αργότερα όταν υπάρχει απόθεμα (επιτρέπονται backorders). Ο χρόνος παραλαβής μιας παραγγελίας είναι σταθερός και γνωστός. 40

Μοντέλο base-stock Συμβολισμοί: l: χρόνος παράδοσης μιας παραγγελίας (π.χ. ημέρα, εβδομάδα, μήνας) Χ: ζήτηση κατά το χρονικό διάστημα l (σε μονάδες προϊόντος). Αποτελεί τυχαία μεταβλητή. G(x)=P(X x): αθροιστική κατανομή της ζήτησης κατά το χρονικό διάστημα l. θ=ε(x): μέση ζήτηση κατά το χρονικό διάστημα l. h: κόστος διατήρησης αποθέματος (σε μονάδες μέτρησης κόστους ανά έτος). b: κόστος καθυστερημένης παραγγελίας (σε μονάδες μέτρησης κόστους ανά έτος). r: Σημείο ανα-παραγγελίας. Αποτελεί τη μεταβλητή απόφασης. R= r+1:ύψος Base stock. S=r-θ: απόθεμα ασφαλείας. 41

Μοντέλο base-stock Πιο συγκεκριμένα αναζητείται το ελάχιστο σημείο αναπαραγγελίας r, που εξασφαλίζει αποδεκτό επίπεδο εξυπηρέτησης. Το επίπεδο εξυπηρέτησης ορίζεται ως εξής: Επίπεδο εξυπηρέτησης είναι το ποσοστό των παραγγελιών από πελάτες που ικανοποιείται από το υπάρχον απόθεμα (σε αντίθεση με τις καθυστερημένες παραδόσεις προς τους πελάτες). Γενικά ισχύει η σχέση: R = απόθεμα + παραγγελίες καθυστερημένες παραδόσεις 42

Μοντέλο base-stock Όταν πραγματοποιηθεί μια παραγγελία προς τον προμηθευτή και μέχρι αυτή να παραδοθεί, υπάρχουν R-1= r αντικείμενα σε απόθεμα προκειμένου να ικανοποιηθεί η ζήτηση για το χρονικό διάστημα l που ακολουθεί, μέχρι την παραλαβή της παραγγελίας. Συνεπώς, αν Χ R, τότε το απόθεμα δεν επαρκεί για να καλύψει την ζήτηση (back order). Ενώ αν Χ<R, η ζήτηση καλύπτεται πλήρως από το διαθέσιμο απόθεμα. Το επίπεδο εξυπηρέτησης ή αλλιώς η πιθανότητα μια παραγγελία να ικανοποιηθεί από το υπάρχον απόθεμα δίνεται από τον τύπο: S( R) = P( X < R) = G( R), G( R 1) = G( r), αν η ζήτηση λαμβάνει συνεχείς τιμές αν η ζήτηση λαμβάνει διακριτές τιμές 43

Παράδειγμα εφαρμογής (Ι) Ένα κατάστημα ηλεκτρικών συσκευών προμηθεύεται και πωλεί ένα συγκεκριμένο τύπο πλυντηρίου. Η μηνιαία ζήτηση θεωρείται ότι ακολουθεί κατανομή Poisson με μέση τιμή 10 πλυντήρια. Κάθε φορά που το απόθεμα πέφτει κάτω από μια συγκεκριμένη στάθμη, το σύστημα τοποθετεί αυτόματα μια καινούρια παραγγελία ενός πλυντηρίου προς τον προμηθευτή για αναπλήρωση του αποθέματος που πώλησε. Το διάστημα ανα-παραγγελίας (l) λαμβάνεται ένας μήνας. Ποια είναι η στάθμη ανα-παραγγελίας που το σύστημα πρέπει να χρησιμοποιεί προκειμένου να ικανοποιεί το επίπεδο εξυπηρέτησης που έχει καθορισθεί; 44

Παράδειγμα εφαρμογής (Ι) Από την κατανομή Poisson έχουμε πιθανότητα εμφάνισης ζήτησης ύψους k σε μία περίοδο: p(k) = κ e θ k 10 θ 10 e = k! k! Ηαθροιστικήκατανομήτηςζήτησηςκατάτοχρονικόδιάστημαl=1 προκύπτει: x x k 10 G( x) = p( k) = k = 0 k= 0 k! Εφόσον στη συγκεκριμένη περίπτωση η μεταβλητή ζήτησης λαμβάνει διακριτές τιμές παίρνουμε G(x) = G(r). ΑπότουςπίνακεςτηςκατανομήςPoisson, λαμβάνουμε το x=r για το οποίο έχουμε το επιθυμητό επίπεδο εξυπηρέτησης. 10 Έτσι για επίπεδο εξυπηρέτησης 91,7% λαμβάνουμε στάθμη αναπαραγγελίας 14, καθώς G(14)=0,917. e 45

Παράδειγμα εφαρμογής (ΙΙ) Εναλλακτικά επιχειρούμε να προσεγγίσουμε την κατανομή Poisson με κανονική. Επομένως, θεωρούμε ότι η μηνιαία ζήτηση ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή μ=10 πλυντήρια και τυπική απόκλιση σ= 10 = 3.16 πλυντήρια. Το κόστος διατήρησης αποθέματος πλυντηρίων του συγκεκριμένου τύπου λαμβάνεται h= 15 ανά έτος. Το κόστος μιας καθυστερημένης παραγγελίας πλυντηρίου θεωρείται b= 25 ανά έτος. 46

Παράδειγμα εφαρμογής (ΙΙ) Καθώς το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος δίνεται από την σχέση: Y(R) = hi(r) + bb(r) = h[r-θ+b(r)] + bb(r) = h(r- θ) + (h+b)b(r) Ακολουθώντας την ίδια συλλογιστική με εκείνην που ακολουθήσαμε στο Μοντέλο του Εφημεριδοπώλη προκύπτει ότι προκειμένου για ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους: * R μ * b 25 b G ( R ) = = = 0,625 Φ( ) = z, όπου Φ( z) = h + b 15 + 25 σ h + b ΕΠΟΜΕΝΩΣ: R * = μ + σ z = 10 + 0,32 3,16 = 11,01 11 47